VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií. doc. Ing. Lubomír Brančík, CSc.
|
|
- Matěj Pavlík
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1
2 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Faulta eletrotechny a omunačních technologí doc. Ing. Lubomír Brančí, CSc. ANALÝZA CITLIVOSTÍ V SOUSTAVÁCH S ROZPROSTŘENÝMI PARAMETRY SENSITIVITY ANALYSIS IN DISTRIBUTED PARAMETER SYSTEMS TEZE PŘEDNÁŠKY K PROFESORSKÉMU JMENOVACÍMU ŘÍZENÍ V OBORU TEORETICKÁ ELEKTROTECHNIKA BRNO 8
3 KLÍČOVÁ SLOVA Analýza ctlvotí, outava rozprotřeným parametry, vícevodčové přenoové vedení, operátorová oblat, čaová oblat, Laplaceova tranformace, ntegrta gnálu KEY WORDS Sentvty analy, dtrbuted parameter ytem, multconductor tranmon lne, Laplace doman, tme doman, Laplace tranform, gnal ntegrty Lubomír Brančí, 8 ISBN ISSN 3-48X
4 OBSAH PŘEDSTAVENÍ AUTORA... 4 ÚVOD... 5 FORMULACE ŘEŠENÍ U SOUSTAVY S VÍCEVODIČOVÝMI PŘENOSOVÝMI VEDENÍMI CITLIVOSTI PODLE SOUSTŘEDĚNÝCH PARAMETRŮ SOUSTAVY CITLIVOSTI ODVOZENÉ ZE SPOJITÝCH MODELŮ VPV METODA KONVERZE ŘETĚZOVÉ A ADMITANČNÍ MATICE VEDENÍ Obecné řešení pro případ nehomogenního vedení Ctlvot na změny prmárních parametrů vedení Ctlvot na změnu dély vedení Ctlvot na změny fyzálních parametrů Zjednodušené řešení pro případ homogenního vedení Ctlvot napětí a proudu na vodčích vedení METODA ZALOŽENÁ NA MODÁLNÍ ANALÝZE Ctlvot na změny prmárních parametrů vedení Ctlvot na změnu dély vedení PŘÍKLADY ANALÝZY CITLIVOSTÍ Stanovení ctlvotí v čaové oblat Ctlvot v lneární hybrdní outavě Ctlvot napětí a proudu na vodčích vedení... 5 CITLIVOSTI ODVOZENÉ ZE SEMIDISKRÉTNÍCH MODELŮ VPV VYUŽITÍ ŘETĚZOVÉ MATICE MODELU APLIKACE METODY STAVOVÝCH PROMĚNNÝCH Formulace tavové rovnce modelu a její řešení Ctlvot podle rozprotřených parametrů Ctlvot podle outředěných parametrů PŘÍKLADY ANALÝZY CITLIVOSTÍ ZÁVĚR... 3 LITERATURA... 3 ABSTRACT
5 PŘEDSTAVENÍ AUTORA Lubomír Brančí e narodl v roce 96 v Kyjově. Vytudoval Střední průmylovou šolu eletrotechncou v Brně, obor Radoeletroncá a dělovací zařízení (976 98). Vyoošolé vzdělání zíal na Faultě eletrotechncé Vyoého učení techncého v Brně v oboru Mroeletrona (98 985). Dplomovou prác obhájl na téma Využtí měření šumu dagnotce tlutovrtvých hybrdních ntegrovaných obvodů. Abolvoval vědecou apranturu pracovníů šolcích pracovšť na Útavu nedetrutvní dagnoty FE VUT v Brně ve vědním oboru Měřcí techna (989 99). Kanddátou dertační prác obhájl na téma Aplace víceparametrových metod nedetrutvního zoušení pro rozlšování truturního tavu feromagnetcých materálů (993). Habltoval e v oboru Teoretcá eletrotechna, habltační prác obhájl na téma Technque of tme-doman mulaton of tranmon lne baed on Laplace tranformaton method na FEKT VUT (). V roce 985, do nátupu na záladní vojenou lužbu, pracoval v TESLE Lanšroun,. p. jao techn, oncem rou 986 pa rátce na OVC VŠ ČVUT v Praze jao odborný pracovní a v PIKAZ Praha,. p., poboča Brno, jao atent. Od rou 987 je zamětnán na Vyoém učení techncém v Brně, Faultě eletrotechny a omunačních technologí (dříve FEI, FE). Do rou 989 pracoval na Katedře teoretcé a expermentální eletrotechny jao odborný pracovní ve upně dagnoty feromagnetcých materálů, v letech na Útavu nedetrutvní dagnoty. V letech půobl na Útavu teoretcé a expermentální eletrotechny potupně jao techncý pracovní (do rou 994), jao pedagogco-vědecý pracovní a odborný atent (do rou ), po habltac v roce pa jao docent. Od rou 5 pracuje na pozc docenta na Útavu radoeletrony FEKT VUT v Brně. V pedagogcé oblat byl potupně zapojen do výuy předmětů Teoretco-eletrotechncé pratum, Eletrcá měření a Teore eletromagnetcého pole (laboratorní cvčení, do rou 994), Teoretcá eletrotechna I a II (laboratorní a numercá cvčení, 994 ). Byl garantem předmětu Eletrotechna baalářého tudjního programu EEKR na FEKT, výuu vedl v předmětech Eletrotechna a (přednášy, laboratorní a počítačová cvčení, 5). Od rou 5 je garantem předmětu Analogové eletroncé obvody baalářého tudjního oboru EST, programu EEKR na FEKT, ve terém přednáší a vede laboratorní, numercá počítačová cvčení. Je zapojen do výuy předmětu Eletroncé pratum téhož tudjního oboru a programu. Od rou 6 e rovněž podílí na výuce dotorého předmětu Návrh moderních eletroncých obvodů. V roce 5 byl přededou oborové rady dotorého tudjního oboru Teoretcá eletrotechna na FEKT, od rou 6 pa jejím členem. Doud byl vedoucím baalářých, 3 dplomových a dotoré dertační práce, teré byly na FEKT úpěšně obhájeny. Je autorem a poluautorem ttulů rpt, včetně ttulu czojazyčného. V odborné oblat byl dříve zapojen do výzumu nedetrutvního zoušení feromagnetcých materálů, především v oblat zpracování naměřených dat (do rou 994). Přblžně od rou 995 e zabývá výzumem numercých metod v teor obvodů, počítačovou mulací eletrcých outav rozprotřeným parametry, především outav vícevodčovým přenoovým vedením, aplací Laplaceovy tranformace a numercého řešení nverzní LT v eletrotechnce. Byl zodpovědným řeštelem projetu GA ČR Smulace a optmalzace míšených eletroncých ytémů ohledem na ntegrtu gnálů (3 5) a členem týmu řeštelů projetu GA ČR Eletrcá mpedanční tomografe ve ztrátovém protředí (3 4). Dále byl zapojen do výzumných záměrů FEKT Eletroncé omunační ytémy a technologe (999 4) a Mroeletroncé ytémy a technologe ( 4), atuálně pa v záměru Nové trendy v mroeletroncých ytémech a nanotechnologích (od 5). Je autorem a poluautorem 4 článů v čaopech (7 zahrančních), 8 přípěvů na onferencích (45 zahrančních) a 6 výzumných zpráv ( meznárodní). Doud byly jeho práce ctovány ve 4 čaopecých č onferenčních článcích (35 v zahrančí), na vé práce má rovněž dalších 9 doložtelných odezev (8 ze zahrančí), jao jou vyžádání opí prací č programových ódů pro numercou nverz Laplaceových obrazů. Je členem dvou meznárodních profeních organzací: IEEE (U.S.A) a IEICE (Japono). Atuálně zatává func přededy Čeolovené ece IEEE pro ro 8. 4
6 ÚVOD Hlavní motvace pro tudum ctlvotí v outavách rozprotřeným parametry úzce ouví problematou řešení tzv. ntegrty gnálů ve míšených (analogově-dgtálních) eletroncých obvodech. V taovýchto ytémech pracujících v oučané době na velm vyoých hodnových frevencích jou reálné propojovací trutury vodvé cety dee plošných pojů, drátové poje, přívody pouzder, vývodní olíy, onetory a abeláž hlavním fatory, teré způobují poruchy ntegrty gnálu a mohou být příčnou špatné funce zařízení. Tyto poruchy vznají v důledu nehomogent přenoové cety, náhodným změnam fyzálních parametrů a taé nteracem něterým prvy ytému jeho oolím. V rámc oučané mroeletroncé technologe e otázy ntegrty gnálu řeší př návrzích propojovacích cet na ubtrátech čpů. Všechny apety problematy ntegrty gnálu mohou být zahrnuty do dvou záladních ategorí, totž čaového eřízení a valty gnálu. V této ouvlot muí být zajštěny dva požadavy: první, aby gnál dorazl do cíle v době, dy je očeáván, druhý, aby gnál dorazl v přjatelné valtě a mohl ta být oretně vyhodnocen a zpracován. Záladní přehled řešené problematy lze nalézt např. v nhách [] [6]. V oučaných vyoorychlotních ytémech může fyzální a mechancý návrh podtatně ovlvnt ntegrtu gnálu a tedy polehlvý přeno dat. Identface a řešení problematy ntegrty gnálů e tává naléhavější polu e zvyšováním hodnové frevence. Př návrhu dee plošných pojů, modulů multčpů pouzder ntegrovaných obvodů muí být proto požadavy na ntegrtu gnálů a eletrcé parametry loubeny tradčním návrhovým dcplnam, CAD, logcým návrhem, mechancým návrhem analýzou polehlvot. Přblžně před čtvrt toletím mohly být ještě propojovací trutury považovány za deální vodče, nulovou mpedancí zpožděním. Pro přenášené gnály byly proto uvažovány jao deálně proputné. U většny eletroncých zařízení, teré pracují hodnovým frevencem nad MHz nebo náběžným hranam ratším něž n, jž nelze propojovací trutury za deálně proputné uvažovat. Vlvem jejch reálných fyzálních vlatnotí e začínají projevovat vlvy zpoždění gnálu, jeho zrelení, odrazy přelechy mez gnálovým vodč. U rozáhlých ytémů e távají vztahy mez obvodovým parametry a rtér návrhu velm omplované. Objevuje e proto potřeba optmalzace návrhu, př teré jou parametry propojovacích trutur použty v celém jeho průběhu. Metodam optmalzace přenoových trutur e zabývá celá řada prací, např. [7] [5]. Aplace výonných optmalzačních techn založených zpravdla na gradentních metodách je podmíněna znalotí ctlvotí výtupních odezev daného ytému. Př výpočtu ctlvotí e všeobecně užívá metody adjungovaného obvodu [6], [7]. S rotoucí frevencí přenášených gnálů e eletrcá déla propojovacích trutur tává podtatnou čátí jejch vlnové dély, dy onvenční modely propojovacích trutur založené na jednoduchých článcích e outředěným parametry jž adevátně nepopují jejch utečné vlatnot. Týá e to ale např. velm dlouhých lových vedení v energetce, de př nízých frevencích je podmína rovnatelné vlnové dély a geometrcých rozměrů plněna. Toto vede potřebě použtí modelů vázaných přenoových vedení rozprotřeným parametry. Vícevodčová přenoová vedení (VPV) jou charaterzována matcem prmárních parametrů na jednotu dély, teré mohou být ontantní (případ homogenních VPV), nebo proměnné po délce vedení (případ nehomogenních VPV), frevenčně nezávlé závlé [8]. Právě pro tanovení ctlvotí podle parametrů VPV byla vypracována celá řada pecalzovaných metod. Lteratura [9] [35] mapuje něteré tyto práce za zhruba polední čtvrt toletí, další práce a nové přítupy řešení e tále objevují. Předládané teze e zaměřují především na ty metody, ve terých má jejch autor vůj vlatní příno [36] [6]. Výjmu tvoří metoda modální analýzy [], terá je uvedena jao jedna z nejrozšířenějších metod pro homogenní VPV, a ovšem taé výpočetní rámec pro řešení celé outavy, modfovaná metoda uzlových napětí (MMUN) [6], terá byla v řadě ctovaných prací rovněž použta. Kromě pojtých modelů VPV, teré vedou na řešení matcových telegrafních rovnc, jou zde uvedeny záladní emdrétní modely VPV vedoucí na řešení rozáhlých outav obyčejných dferencálních rovnc, v závlot na zvolené dretzac modelu. 5
7 FORMULACE ŘEŠENÍ U SOUSTAVY S VÍCEVODIČOVÝMI PŘENOSOVÝMI VEDENÍMI Budeme uvažovat lneární outavu, terá etává z čát prvy e outředěným parametry a P podytémů, teré jou tvořeny vícevodčovým přenoovým vedením (VPV), tedy prvy parametry rozprotřeným, vz obr.. () () () () () P () P VPV VPV VPV P () u () u () u () u () u P () u P Čát outavy prvy e outředěným parametry Obr. Soutava vícevodčovým přenoovým vedením V další čát práce budou odvozeny rovnce pro tanovení ctlvotí na oba druhy parametrů. V prvním případě to budou ctlvot na změnu odporu reztorů, apacty apactorů a ndučnot ndutorů, ve druhém případě pa ctlvot na změnu prmárních parametrů vícevodčových přenoových vedení, vč. jejch dély. Pro naše účely budou uvažovány pouze VPV nulovým počátečním napětím a proudy podél všech vodčů. Rovnce popující hybrdní outavu v čaové oblat může být velm obecně formulována pomocí modfované metody uzlových napětí (MMUN) [6] ve tvaru P dv() t H A +HRv() t + D () t = j () t, () dt = de H A je matce tvořená parametry aumulačních prvů, H R pa matce tvořená parametry prvů reztvních, obě řádu N N, v(t) je N loupcový vetor uzlových napětí, terá jou doplněna proudy nezávlým napěťovým zdroj a ndutory, j(t) je N loupcový vetor parametrů nezávlých budcích zdrojů. Vetor (t), řádu n, obahuje proudy vtupující do -tého VPV, D je pa tranformační matce řádu N n, prvy d,j {,}, terá zobrazuje vetor (t) do protoru uzlových napětí outavy. Aplací Laplaceovy tranformace na () dotáváme rovnc MMUN v operátorovém tvaru P H + H V() + D I () = J() + H v (). () ( ) R A A = Přílušné -té VPV etává z m = n atvních vodčů a může být proto považováno za m -bran. Vetor I ( ) v rovnc () je proto ložen ze dvou dílčích vetorů defnujících proudy vtupní () () a výtupní brány, I () [ (), ()] T = I I. Budeme-l uvažovat pouze nulové počáteční podmíny, lze admtanční rovnc -tého VPV zapat ve tvaru I () = Y () U (), (3) () () de vetor U () [ (), ()] T = U U je ložen ze dvou dílčích vetorů defnujících napětí vtupní a výtupní brány daného VPV. Po doazení (3) do () dotáváme výlednou rovnc MMUN jao ( ) V H J H v, (4) - () = () () + A () 6
8 de pro matc outavy platí P = R + A + = T H() H H D Y () D. (5) Způob nalezení admtanční matce Y ( ) vícevodčových přenoových vedení bude podrobněj ovětlen v dalších čátech. V první řadě bude prezentována metoda založená na onverz řetězové na admtanční matce [37], dále pa metoda vyplývající z aplace modální analýzy []. První z obou metod bude rozpracována rovněž pro vedení nehomogenní. Uvažujme nyní parametr γ, vzhledem němuž bude ctlvot počítána. Dále uvažujme rovnc (4) v upraveném tvaru H() V() = J() + H v (). (6) Dervací (6) podle parametru γ dotáváme A H() V() HA V() + H() = v (), (7) de byly uváženy nulové dervace J() γ = v() γ =, neboť ctlvot podle vntřních proudů/napětí nezávlých budcích zdrojů ctlvot podle počátečních podmíne aumulačních prvů nejou uvažovány. Z rovnce (7) onečně dotáváme V() - HA H() = H () v() V (). (8) Rovnce je obecně platná, další řešení pa bude rozděleno podle typu uvažovaného parametru γ. 3 CITLIVOSTI PODLE SOUSTŘEDĚNÝCH PARAMETRŮ SOUSTAVY Nechť γ je outředěný parametr něterého prvu obvodu. Je proto jtě obažen buď v matc H A nebo H R. Uvážíme-l dále vztah pro matc outavy (5), dotáváme V případě, že γ zatímco je-l γ V() H H = ( ) - A R H () v() V() V (). (9) ha je parametr aumulačního prvu, pa V() h A H H () v() V (), () ( ) A = ha hr parametr prvu reztvního, pa V() = h R H R H () V (). () hr Ja lze nadno uázat, vz např. [], je-l prve zapojen mez -tým a j-tým uzlem, dervace matc v rovncích () nebo () lze zapat jao ( e - )( - ) T ej e e j, de e je loupcový vetor řádu N, jednotou na -té pozc a nulam na pozcích otatních. Poud je j-tý uzel uzlem referenčním, T potom je přílušná matce rovna ee. 7
9 4 CITLIVOSTI ODVOZENÉ ZE SPOJITÝCH MODELŮ VPV Uvažujme γ jao parametr -tého VPV. Může to být jeho déla, prve obažený v jeho matc prmárních parametrů č lbovolný fyzální parametr, terý tuto matc ovlvňuje. Parametr γ je proto obažen v admtanční matc Y ( ) v (5). Vyjdeme-l z (8) a uvážíme-l (5), dotáváme neboť pro všechna j je Yj () γ =. V() Y () T = H () D DV (), () Abychom tanovl ctlvot (), je třeba nejdříve tanovt dervac admtanční matce VPV Y (). Forma admtanční matce VPV a její dervace záví především na modelu, terým je vedení v outavě reprezentováno. V prncpu lze užít modely pojté (VPV je popáno telegrafní rovncí v matcovém tvaru), emdrétní (VPV je dretzováno v protorové ouřadnc typcy aádní pojení zobecněných Π (T) článů e outředěným parametry) č plně drétní (dretzace je provedena ja v čaové, ta protorové oblat typcy aplace FDTD metody). Vedle uvedeného dělení lze použít různé přítupy v rámc dané ategore. Zde prezentované řešení patří do ategore modelů pojtých, přčemž je použto nového potupu ve rovnání potupy běžně užívaným. Specálně v případě homogenních VPV je nejčatěj užíváno metody modální analýzy []. Metoda vyžaduje řešení outavy lneárních rovnc pro nalezení ctlvotí vlatních vetorů a vlatních číel jao jeden z roů, přčemž zobecnění pro vedení nehomogenní je poměrně problematcé. Popovaná metoda je založena na onverz řetězové a admtanční matce VPV, terá umožňuje bez větších obtíží pracovat vedením nehomogenním [39]. 4. METODA KONVERZE ŘETĚZOVÉ A ADMITANČNÍ MATICE VEDENÍ 4.. Obecné řešení pro případ nehomogenního vedení Uvažujme obecně nehomogenní VPV dély l, matcem prmárních parametrů R (x), L (x), G (x) a C (x). V čaové oblat můžeme pát telegrafní rovnce v matcovém tvaru [8] u( x, t) - R( x) u( x, t) L( x) u( x, t) = x ( x, t) - ( x) ( x, t) ( x) t ( x, t). (3) G C Po uvážení nulových počátečních podmíne (tj. nulových napětí a proudů rozložených podél všech vodčů VPV), můžeme pát rovnc (3) v operátorovém tvaru jao de U( x, ) = L { u( x, t) } a I( x, ) = { ( x, t) } d U( x, ) - Z(x, ) U( x, ) dx ( x, ) = - ( x, ) ( x, ), (4) I Y I L jou loupcové vetory Laplaceových obrazů napětí a proudů v geometrcé ouřadnc x, je nulová matce. V předchozí rovnc e rovněž objevují podélná měrná mpedance (5) a příčná měrná admtance (6) v operátorových tvarech Formálně lze rovnc (4) pát ve tvaru Z ( x, ) = R ( x) + L ( x), (5) Y ( x, ) = G ( x) + C ( x). (6) dw( x, ) = M( x, ) W ( x, ), (7) dx 8
10 de Rovnce (7) má známý tvar řešení M( x, ) = - Y ( x, ) - Z (x, ). (8) W( x, ) = Φ ( ) W( x, ), (9) x x x de čtvercová matce Φ () x je tzv. ntegrální matce (matrzant), terou lze vyjádřt pomocí Volterova oučnového ntegrálu [6] Φ x x x [ M ξ dξ] () = E+ (,). x () Budeme-l nyní uvažovat vtup VPV pro x = a jeho výtup pro x = l, pa ntegrální matce l Φ () předtavuje v termnolog teore vícebranů řetězovou matc Φ (), tedy Φ Φ () Φ () l () = = () () () Φ Φ Φ přčemž det Φ ( ) =, neboť VPV je recproctním n-branem. Označíme-l proto rovnce (9) má tvar, () () () () W(, ) = W ( ) = [ U ( ), I ( )] T, () () () () W(, l) = W ( ) = [ U ( ), I ( )] T, (3) () () U () Φ() Φ () U () () = () () () (). (4) I Φ Φ I () Po úpravě (4) dotáváme admtanční rovnce VPV odpovídající rovnc (3) jao de admtanční matce má tvar () () I () Y() Y () U () () = T () () () (), (5) I Y Y U () Φ () Φ() Φ () Y() = T, (6) ( Φ () ) Φ () Φ () T přčemž rovnot Y() = Y () je dána recproctou VPV. Admtanční matce (6) tanovené pro všechny VPV v outavě jou potřebné v rovnc (5), tedy pro výpočet matce outavy u MMUN. Abychom určl dervac Y () pro rovnc (), je dotatečné určt dervace ubmatc admtanční matce (6). Dotáváme () Y () () () () = Φ Φ Φ Φ, (7) Y() Φ () =, (8) () () Y () () () = Φ Φ Φ Φ, (9) 9
11 de Y() Y() = T, (3) Φ () Φ() = Φ () Φ (). (3) Pro nalezení dervace admtanční matce je tedy třeba nalézt dervac řetězové matce (), tedy Další řešení bude rozděleno podle typu parametru γ. Φ() Φ () l Φ() Φ () = =. (3) Φ() Φ () 4.. Ctlvot na změny prmárních parametrů vedení Prmární parametry vícevodčového přenoového vedení jou reprezentovány čtvercovým matcem R (x), L (x), G (x) a C (x), teré rovněž určují matc M(x,) podle (8). Proto je parametr γ obažen v této matc, což determnuje metodu dervace ntegrální matce (). Je známo, že ntegrální matce vyhovuje vztahu [6] Φ () = Φ () Φ () LΦ () Φ () LΦ () Φ (), (33) xm xm xm x x x x x xm xm x x x x de m značí počet ntervalů. Zvolíme-l x = a x m = l, lze rovnc (33) použít pro určení přblžné l matce Φ (), neboť obecně nelze přené řešení nalézt. Využjeme toho, že pro M(x,) M(), tj. dy matce M není funcí ouřadnce x, vede ntegrální matce () na exponencální func matcového argumentu. Rozdělíme-l rozah ntegrace na dotatečně malé ntervaly Δx = x - x -, =,,...,m, vede rovnce (33) na m xm (, ) x x () e M ξ Δ = Φ, (34) de pro ξ ( x, x) jou matce M ( ξ, ) uvažovány ontantní a pořadí náobení odpovídá (33). Zároveň bude vlatnot (33) využto pro tanovení dervace řetězové matce (3). Vyjdemel z (33), můžeme pát rovnc x () x () x Φ = Φ Φ (), (35) a její dervací reurentní vztah x x x x x x Φx () Φ () () x Φ x x x = Φx () + Φ () x, (36) vycházeje z =. Výledy jou pouze přblžné, neboť př výpočtu je užto exponencální funce matce pro přblžný výpočet matce ntegrální dle vztahu (34). Vedle toho záví přenot na metodě výpočtu amotné exponencální funce matce a její dervace. Použít lze např. jejího rozvoje do Taylorovy řady, dy pro dervac dílčí ntegrální matce dotáváme x M( ξ, ) () Δx r r Φx e ( Δx ) (, ) M ξ =, (37) r! pro dervac r-té mocnny matce M lze pa užít dalšího reurentního vztahu r=
12 r ( ξ, ) ( ξ, r M ) r (, ) ( ξ, )+ ( ξ, ) ξ = M M M M, (38) vycházeje z r =. Důležtým fatem pro pratcý výpočet je to, že e zvyšujícím e počtem členů v rovnc (34), tj. e zmenšujícím e ntervaly Δx, e požadave na počet členů v neonečné řadě (37) velm rychle nžuje. Ja je zřejmé, př známých dervacích M (,) x je problém vyřešen. V závlot na parametru γ lze dále udat čtyř varanty dervace podle tab.. Parametr γ R( x) γ L( x) γ G( x) γ C( x) R M(,) x ( x ) ( x L ) ( x ) G ( x ) C Tab. Dervace matce M podle různých parametrů γ Další metody pro výpočet dervace exponencální funce matce vz např. práce [53] [56]. Dervac admtanční matce VPV potřebné př výpočtu ctlvot () pa nalezneme pomocí vztahů (7) (3). Předpoládejme dále, že všechny prvy matc prmárních parametrů lze vyjádřt jao jté parametrcé funce, tedy R( x) = Rj ( rj, x), L( x) = Lj ( lj, x), G( x) = Gj ( gj, x), C( x) = Cj ( c j, x), (39),j =,,...,n, de r j, l j, g j a c j jou vetory počtem n r, n l, n g a n c parametrů. Označme obecně výše uvedené matce zápem P ( ) (, ) x = P p x, (4) j de p j je vetor n p parametry. Dále defnujme n loupcový vetor e obahující jednču na -té pozc a nuly na pozcích otatních. Pa můžeme dervac P ( x) vyjádřt náledovně. Pro -tý parametr dagonálního prvu, tedy γ p j p, jao P ( ) (, ) x P p x T = ee, (4) p p =,,...,n, zatímco pro -tý parametr prvu na nedagonální pozc, tedy γ p j j p, jao P (, ) ( x) Pj pj x T T = ( ee j + eje ), (4) p p j j,j =,,...,n, j, a to z důvodu ymetre matc prmárních parametrů, de platí rovnot P j = P j. Výše uvedené vztahy vedou na matce jedným (rovnce (4)) č e dvěma (rovnce (4)) nenulovým prvy. V případě, že budeme uvažovat parametr p, terý je polečný pro více č pro všechny vetory p j, dotaneme matc přílušným počtem nenulových prvů. Tato je v prncpu rovna oučtu výše uvedených matc počítaných pře přílušné ndexy Ctlvot na změnu dély vedení Předpoládejme parametr γ l. Protože e déla vedení nevyytuje v matcích prmárních parametrů, pa uvážíme-l vlatnot ntegrální matce (), rovnce (3) má jednoduchý tvar Φ() = M(, l) Φ ( ). (43) l
13 Př uvážení (8) pro M(l,) a () pro Φ() dotáváme po roznáobení Φ() Ζ(, l) Φ( ) Z(, l) Φ( ) = l (, l) ( ) (, l) ( ) Y Φ Y Φ. (44) Srovnání (44) a (3) dává dervace potřebné v rovncích (7) (3). Doončením ubttucí, další úpravou př uvážení (5) a (6) lze dervac admtanční matce vyjádřt ve tvaru T Y() Y() Z(,) l Y() Y() Z(,) l Y() = T l Y() Z(,) l Y() Y() Z(,) l Y() Y (,) l Výlede bude použt v rovnc () pro výpočet ctlvot V () l.. (45) 4..4 Ctlvot na změny fyzálních parametrů Konečně uvažujme γ jao obecný fyzální parametr VPV, např. parametr ouvející jeho geometrcým upořádáním, jao je šířa, tloušťa č vzdálenot mez vodč, dále parametr ouvející vlatnotm materálu vodčů č deletra apod. Taovýto parametr může ovlvnt obecně všechny matce prmárních parametrů (39). Proto taé všechny parametry p j, =,,...,n p, teré defnující nehomogentu matce (4), budou parametrem γ ovlvněny. Dervac admtanční matce potřebné pro výpočet ctlvot dle () pa určíme aplací řetězového pravdla. Použjeme-l značení z předchozího odtavce, můžeme pát n n n () p Y Y() pj = p de n značí řád matce prmárních parametrů VPV. p= { r,, l g, c} = j= = j, (46) 4..5 Zjednodušené řešení pro případ homogenního vedení Z pratcého hleda je velm důležté nalézt rovnce pro vícevodčová přenoová vedení homogenní. Mohou být odvozeny přímo z výše uvedené teore, přčemž dochází podtatnému zjednodušení. Především vztah () pro ctlvot zůtává v platnot. Všechna zjednodušení pa vyplývají z metody tanovení admtanční matce Y() a její dervace Y (). V tomto případě v důledu ontantních matc prmárních parametrů R, L, G a C jou podélná měrná mpedance Z () dle (5), příčná měrná admtance Y () dle (6) a proto matce M() dle (8) nezávlé na geometrcé ouřadnc x. Náledem toho přechází Volterův oučnový ntegrál () v exponencální func matce Řetězová matce () má pa tvar ( x x ) Φ x ( ) x () = e M. (47) M( x, ) = M( ) Φ () Φ () Φ() = = e Φ M( ) l Τ () Φ(), (48) Τ de dentta Φ() = Φ () vyplývá z podélné ouměrnot VPV. Admtanční matce (6) e pa zjednoduší do tvaru Φ () Φ () Φ () Y() =, (49) Φ () Φ () Φ()
14 de byly užty dentty Y T () = Y () a Y() = Y (). Pro nalezení dervace admtanční matce Y () proto tačí použít rovnce (7), (8) a (3). Dervace řetězové matce (3) přtom přechází na problém výpočtu dervace exponencální funce matcového argumentu Φ() Φ() () γ γ Φ e = = Τ Φ γ () Φ() Ctlvot na změny prmárních parametrů vedení M( ) l. (5) Abychom nalezl dervac (5) podle parametru γ, terý je prvem matce M(), použjeme něterou z metod pro dervac exponencální funce matcového argumentu [55]. Zde e omezíme pouze na jednu z možnotí, na rozvoj do Taylorovy řady Pa můžeme pát e M( l ) r l r = M (). (5) r! r= r r Φ () l ( ) = M, (5) r! r= podobně jao tomu bylo ve vztahu (37) pro -tý element Δx v případě nehomogenního vedení. Reurentní vztah pro dervac r-té mocnny matce M() vyplývající z (38) je pa tvaru vycházeje z r =. r r- M () () r- () = M M ()+ M () M, (53) Dervace matce M () jou dány tab., de uvažujeme ontantní matce prmárních parametrů. Uvážíme-l dále formální označení P pro matce prmárních parametrů VPV zavedené v rovncích (4) a (4), dotáváme P =ee T, (54) pro γ P P, a podobně P P = ee + e e, (55) T T j j P j pro γ Pj P, j. Protože jou u matc C a G prvy mmo hlavní dagonálu záporné, lze zde taé uvažovat dervace podle parametru γ P j, což by vedlo e změně znaména dervace (55). Ctlvot na změnu dély vedení V případě homogenního vedení přechází dervace (5) na tandardní dervac exponencální funce, neboť matce M() je zde nyní ontantou. Rovnc (43) lze pa pát jao Φ() = M() Φ() = Φ () M(), (56) l neboť oučn matc je v tomto případě omutatvní. Pa má taé (44) dva evvalentní tvary 3
15 Φ() Z () Φ () Z () Φ () Φ () Y ( ) Φ () Z ( ), (57) T = = T l () () () () () ( ) () ( ) Y Φ Y Φ Φ Y Φ Z což vede e zjednodušení dervace admtanční matce (45) do tvaru Y() Y() Z() Y() Y() Z() Y() = l () () () () () (). (58) Y Z Y Y Z Y Ctlvot na změny fyzálních parametrů Konečně budeme uvažovat parametr γ jao obecný fyzální parametr, terý může ovlvnt hodnoty všech matc prmárních parametrů R, L, G a C. K výpočtu dervace admtanční matce potřebné ve vztahu () e tanovení ctlvotí užjeme opět řetězového pravdla. Rovnce (46) přechází do tvaru n n Y() Y() Rj Y() Lj Y() Gj Y() C j = + + +, (59) = j= Rj Lj Gj Cj de Rj R, Lj L, Gj G a Cj C jou ontantní prvy přílušných matc prmárních parametrů (v předchozím odtavc značené jao P j ) Ctlvot napětí a proudu na vodčích vedení Výše uvedené potupy umožňují nalézt nejen ctlvot velčn ve vetoru modfované metody uzlových napětí, tj. napětí v uzlech a proudů ve větvích dané outavy, ale taé vyřešt rozložení napětí a proudů podél jednotlvých vodčů VPV a jejch ctlvot na změny všech dříve uvažovaných parametrů. Dále budou uvedeny dva možné přítupy. Aplace řetězové matce VPV Uvedené řešení vychází přímo z metody onverze řetězové matce VPV na matc admtanční, ja bylo popáno v předešlých čátech práce. Metoda bude formulována obecně pro nehomogenní vedení, pro vedení homogenní platí opět jtá zjednodušení. Vyjdeme z rovnce (9), dy její dervací podle parametru γ př uvážení x = dotáváme x W( x, ) Φ () x W(, ) = W(, ) + Φ ( ), (6) de W (, ) a W (, ) záví na hrančních podmínách VPV, tj. na vlatnotech a řešení celé hybrdní outavy na obr., zatímco Φ x () a Φ x () γ vyjadřují vlatnot přílušného VPV, vz rovnce () a (36). Hranční podmína (), tj. je tvořena prvním ubvetory vetorů T () () [ ] W(, ) = U(, ), I(, ) = ( ), ( ) T U I, (6) () () T T () (), () () U = U U = D V, (6) () () T () (), () () () I = I I =Y U, (63) de V ( ) je řešení hybrdní outavy (4) a Y ( ) je admtanční matce VPV (6). Matce tranponovaná tranformační matce zavedená rovncí (). Druhou podmínu, matc T D je 4
16 () W(, ) U(, ) U () = = () (, ), (64) I I () nyní můžeme nalézt jao první ubvetory dervací výše uvedených vetorů (6) a (63), tedy U U () U () () () T V() = = () D I I () Y U I () () () () () = () () () = U + Y γ γ γ γ, (65), (66) de dervace řešení outavy V () je dána rovncí (8) a dervace admtanční matce VPV Y () pa rovncem (7) (3). V řešení (6) jou tedy obaženy abolutní ctlvot napětí proudů rozložených podél vodčů přílušného VPV, v ubvetorech U ( x, ) a I ( x, ). Aplace dvojrozměrné Laplaceovy tranformace Metoda zde uvedená je použtelná pouze pro VPV homogenní. Je totž založena na Laplaceově tranformac v proměnné ouřadnce x aplované na řešení v operátorové oblat (9). Pro homogenní VPV lze (9) pát ve tvaru ( ) x W( x, ) = Φ ( x, ) W(, ) = e M W(, ), (67) dy řetězová matce VPV přešla v exponencální func matcového argumentu, M() je dána (8), př uvažování parametrů homogenního vedení, tedy Z () = R + L a Y () = G + C. Aplací Laplaceovy tranformace podle x dotáváme { } { M ( ) x } ( ) W( q, ) = L W( x, ) = L e W(, ) = qi-m( ) W(, ), (68) x x de I značí jednotovou matc. Dotal jme ta řešení v (q,) oblat, teré odpovídá aplac dvojrozměrné Laplaceovy tranformace na původní matcovou parcální dferencální rovnc (3) formulovanou ovšem pro případ homogenního VPV. Hlavním přínoem je především mnohem nazší nalezení dervace (68) podle parametru γ, terý je prvem matc prmárních parametrů, ve rovnání dervací (67), dy bylo třeba hledat dervac exponencální funce matce. Pro abolutní ctlvot v (q,) oblat pa můžeme pát [47] W(,) q M() W(,) = ( qi-m() ) ( qi-m() ) W (,) +, (69) de hranční podmíny W (, ) a W (, ) jou dány rovncem (6) (66) výše, dervace M () záví na parametru γ dle tab., př uvážení homogenty VPV. 4. METODA ZALOŽENÁ NA MODÁLNÍ ANALÝZE Uvažujme matcovou rovnc (4) pro případ homogenního VPV, a to v rozepaném tvaru du( x, ) = Z()(,) I x, (7) dx di( x, ) = Y () U (,) x, (7) dx de Z () = R + L oreponduje rovncí (5), Y () = G + C pa rovncí (6). 5
17 Dervacem (7) a (7) podle x př ubttuc vždy druhé z rovnc obdržíme amotatné rovnce pro vetory napětí a proudu d U( x, ) = Z () Y() U (,) x, (7) dx d I( x, ) = Y () Z()(,) I x. (73) dx Vázané dferencální rovnce (7) (73) lze pomocí lneární podobnotní tranformace převét do eparovaného tvaru, vz např. []. Označme vlatní číla oučnu matc Z ()Y () z rovnce (7) jao λ () a jm přdružené vlatní vetory jao x (), =,,...,n. Z množny druhých odmocnn vlatních číel vytvoříme dagonální matc Λ () = dag λ (), λ (), K, λ (), (74) ( ) a dále matc, ve teré budou vlatní vetory tvořt přílušné loupce, tedy [ ] Pa může být admtanční matce vyjádřena ve tvaru [] přčemž matce de l značí délu vedení. n S () = x (), x (), L, x (). (75) U Y() Y() SI() E() SU () SI() E() SU () Y() = () () =, (76) Y Y SI() E() SU () SI() E() SU () n S () = Z () S () Λ (), (77) I U ( λ λ λ ) E () = dag coth (),coth l (), l K,coth () l, (78) ( λ λ λ ) E ( ) = dag nh ( ) l, nh ( ) l, K, nh ( ) l, (79) 4.. Ctlvot na změny prmárních parametrů vedení Ja je z rovnce (76) zřejmé, admtanční matce vedení Y() obahuje pouze dva různé prvy jao důlede jeho recprocty a homogenty. Pro nalezení její dervace proto tačí nalézt dervace de dále platí Y() SI () E() SU () = E() + SI() Y() S U (), (8) Y() SI () E() SU () = E() + SI() Y() S U (), (8) SI () SU () Λ() Z() = Z () Λ () + SU() SI(). (8) Dervace Λ (), E () a () γ E záví na ctlvotech vlatních číel, dežto dervace S () γ na ctlvotech vlatních vetorů. Abychom je nalezl, vyjdeme ze záladní dentty U ( ) λ () I Z () Y () x () =, (83) =,,...,n, de I značí jednotovou matc a nulový vetor. Dervací (83) podle γ dotáváme n n 6
18 ( λ ) ( Z () Y () ) x λ () I Z () Y () x () x (), (84) () () + = =,,...,n. Matcová rovnce (84) má být řešena vzhledem dervac přílušného vlatního číla a dervacím prvů vlatního vetoru. Máme tedy n+ neznámých, ale pouze n rovnc daných (84). Soutava je proto doplněna rovncí, terá vychází z normalzační podmíny vlatního vetoru [] Dervace (85) totž vede na vztah T x () x () =. (85) T () () x x =, (86) terý bude polední rovncí v outavě. Sloučíme-l tedy (84) a (86), hledané řešení má tvar de výraz na pravé traně x () ( () () ) γ Z Y λ () () () () () I Z Y x x = γ T λ () (), (87) x ( ) Z () Y () () () = Z Y() + Z () Y (88) lze jž nadno nalézt ze známých matc prmárních parametrů. Soutavu (87) je třeba vyřešt pro všechny =,,...,n. Ve vetoru aždého -tého řešení pa předtavuje prvních n prvů dervac x, terá je -tým loupcem matce S, vz vztahy (8) (8), polední prve je vždy dervace λ () γ, ze teré e určí Vztah (89) pa louží etavení matce a taé matc U λ = λ ( ) () λ (). (89) Λ() λ() λ () n() dag, λ,, = K, (9) E () λ () l = dag l + λ () γ nh λ ( l ) γ γ = E () coh λ () l λ () l = dag l + λ () γ nh λ ( l ) γ γ = n n, (9), (9) užtých v rovncích (8) (8). Z uvedených vztahů je zřejmé, že př výpočtu ctlvotí na změny prmárních parametrů vedení dojde e zjednodušení, totž ve vztazích (9) a (9) je l γ =. 4.. Ctlvot na změnu dély vedení Protože je v tomto případě γ l, je v rovncích (9) a (9) dervace l l =. Kromě toho dochází dalšímu podtatnému zjednodušení, neboť vlatní číla an vlatní vetory nejou funcí dély vedení. Proto jou zde nulové dervace λ () l = a v rovncích (8) (8) odvozené 7
19 dervace Λ () l =, S U () l = S () I l =. Dervac admtanční matce lze proto nalézt pomocí zjednodušených vztahů (8) a (8), totž Y() E() = SI() S U (), (93) l l Y() E() = SI() S U (), (94) l l přčemž E() λ() λ() λn () = dag,, K,, (95) l nh λ( ) l nh λ( ) l nh λn ( ) l E() coh λ() l coh λ() l coh λn ( l ) = dag λ (), λ (), K, λ () n. (96) l nh λ( ) l nh λ( ) l nh λn ( ) l Není tedy nutno opaovaně řešt ytém lneárních rovnc dle (87), neboť jeho řešení je nulové. 4.3 PŘÍKLADY ANALÝZY CITLIVOSTÍ 4.3. Stanovení ctlvotí v čaové oblat Ctlvot v čaové oblat jou počítány na záladě vztahů pro ctlvot v operátorové oblat, aplací vhodné metody pro numercou nverzní Laplaceovu tranformac (NILT), totž v() t - V() = L. (97) Počítány jou přtom emrelatvní ctlvot v() t Sγ ( v (),γ t ) = γ, (98) teré zachovávají fyzální rozměr přílušné velčny, zde tedy napětí č proudu. Pro případ ctlvotí napětí a proudů rozložených podél vodčů VPV e pa počítá dle vztahu w( x, t) (, ) = L, (99) W x je-l pro řešení použta metoda založená na řetězové matc VPV v operátorové oblat, nebo je užto vhodné metody pro numercou nverzní Laplaceovu tranformac dvou proměnných, tedy w( x, t) W( q, ) = L xt, () bylo-l pro řešení užto metody založené na dvojrozměrné Laplaceově tranformac. Pratcy pa bude opět vyhodnocena emrelatvní ctlvot w( x, t) Sγ ( w ( xt, ),γ) = γ. () V dále uvedených příladech je užta NILT založená na FFT a quotent-dfference algortmu, terá je algortmcy přzpůobena pro rychlou nverz Laplaceových obrazů ve vetorovém a matcovém tvaru [57], [58]. Pro případ dvojrozměrné NILT je použta metoda založená na témže prncpu [59], [6]. 8
20 l 4.3. Ctlvot v lneární hybrdní outavě Uvažujme lneární hybrdní outavu na obr., terá obahuje tř (+) vodčová přenoová vedení déle l =.5m, l =.4m a l 3 =.3m [36]. 5Ω C =pf R =5Ω VPV pf VPV 5Ω Ω v cro v out v n 75Ω Ω 5Ω 5Ω VPV 3 nh Ω Ω pf Obr. Lneární hybrdní outava e třem VPV V náledující čát budou uvedeny výledy výpočtů ctlvotí na změny něterých parametrů přenoových vedení outředěných parametrů outavy. Matce prmárních parametrů VPV jou Re Re Le Le Ge Ge Ce Ce rx rx lx lx gx gx cx cx ( x) =, ( x) =, ( x) =, ( x) = rx rx lx lx gx gx cx cx R e Re L e Le G e Ge Ce Ce R L G C, () př R = R = 75Ω/m, R = 5Ω/m, L = L = 496.6nH/m, L = 63.3nH/m, G = G =.S/m, G = -.S/m, C = C = 6.8pF/m, C = -4.9pF/m. Jou zde tedy zavedeny nehomogenty exponencálního typu, pomocí oefcentů r j = l j =.4 a g j = c j = -.4,, j což vede na.5 náobně větší č menší hodnoty ve rovnání počátem vedení. Zbývající dvě vedení, VPV a VPV 3, jou uvažována jao homogenní matcem prmárních parametrů (), ovšem př r j = l j = g j = c j =,, j. V obrázcích jou rovnány případy, dy je VPV uvažováno jao nehomogenní homogenní, vz popy výše. Budcím napětím v n (t) je mpulz výšy V, náběžnou a etupnou hranou.5 n a šířou 7.5 n (obr. 3), de je uvedena napěťová odezva obvodu v out (t). Na obr. 4 6 jou pa uvedeny emrelatvní ctlvot na změnu dély l (obr. 4) a prvů matc prmárních parametrů R a C (obr. 5), vše pro vedení VPV, a dále na změny outředěných parametrů obvodu R a C (obr. 6). Input/output voltage (volt) v n v out (nonunform) v out (unform) Tme (econd) x -8 (volt) Semrelatve entvty S MTL nonunform unform Tme (econd) x -8 Obr. 3 Napěťová odezva obvodu v out Obr. 4 Semrelatvní ctlvot podle dély S(v out,l ) 9
21 R (volt) Semrelatve entvty S MTL 4 x nonunform unform Tme (econd) x -8 L (volt) Semrelatve entvty S MTL nonunform unform Tme (econd) x -8 a) b) Obr. 5 Semrelatvní ctlvot podle rozprotřených parametrů: a) S(v out,r ), b) S(v out,l ) Semrelatve entvty S R (volt) nonunform unform Tme (econd) x -8 Semrelatve entvty S C (volt) nonunform unform Tme (econd) x -8 a) b) Obr. 6 Semrelatvní ctlvot podle outředěných parametrů: a) S(v out,r ), b) S(v out,c ) Uážeme rovněž, ja lze počítat ctlvot podle fyzálních parametrů VPV. Uvažujme opět outavu na obr., ovšem bezeztrátovým VPV dle obr. 7, parametry daným (3) (5). ploché vodče w l lamnát, ε r h zemncí dea d Obr. 7 Dvojvodčové páové vedení nad zemncí deou εε r w h w C = C KL KC ln +, C = C εε r KC C, 4π h d h μμ r h μμ r h L = L ln +, L = L L, 4π d KL w (3)
22 de π h ε 8h w w K =, K = K, Z 6ln + pro Z w w 4h h r( eff ) L C L ( εr = ) ( εr = ) ε r, (4) ε r je relatvní permtvta, ε = Fm - &, r( eff ) ε je funcí výšy h a šířy w, podrobněj 7 - vz [63], μ r je relatvní permeablta a μ = 4π Hm. Výpočet byl proveden pro geometrcé rozměry w =.58mm, h =.7mm a d =.49mm. Z těchto hodnot pa vyplývají matce prmárních parametrů na jednotu dély nh = m L &, pf C = & (5) m Dély jednotlvých VPV jou tejné jao v předešlém případě. Na obr. 8 je emrelatvní ctlvot přelechového napětí v cro podle poměru wd, př ontantním hw, u vedení VPV. (volt) Semrelatve entvty S MTL w/d Tme (econd) x -8 Obr. 8 Semrelatvní ctlvot S(v cro,w/d) Ctlvot napětí a proudu na vodčích vedení Na obr. 9 jou přílady vypočtených ctlvotí napětí rozložených na prvním vodč druhého vedení MTL počítané na záladě čátečné řetězové matce v operátorové oblat a nálednou aplací NILT [58], dle (99) a (). Je zde uvažována outava na obr. původně zavedeným nehomogentam všech VPV v ouladu matcem (). Voltage emrelatve entvty on the t wre of MTL Voltage emrelatve entvty on the t wre of MTL R (volt) S MTL x L (volt) S MTL Dtance (meter).5 Tme (econd) x Dtance (meter) a) b) Obr. 9 Semrelatvní ctlvot: a) S(v (x,t),r ), b) S(v (x,t),l ).5 Tme (econd) x -8
23 Na dalších obrázcích jou přílady ctlvotí pro případ homogenních VPV, matcem prmárních parametrů (), ovšem př rj = lj = gj = cj =,, j, tedy 75 5 Ω nh.. S pf R =, L =, G =, C =. (6) 5 75 m m.. m m Výpočet byl proveden použtím metody D Laplaceovy tranformace a aplací D NILT [59] dle (), obr., a použtím metody řetězové matce a aplací NILT [58] dle (99), obr.. Voltage entvty on the t wre of MTL Voltage entvty on the t wre of MTL x -3.5 SMTL (volt) L MTL SR (volt) Dtance (meter). x Dtance (meter) Tme (econd) a) -8 Tme (econd) Voltage entvty on the t wre of MTL Voltage entvty on the wre of MTL. SC (volt).5.5 MTL MTL x b) t SG (volt) Dtance (meter).3. x Dtance (meter) Tme (econd) x -8 Tme (econd) c) d) Obr. Semrelatvní ctlvot: a) S(v(x,t),R), b) S(v(x,t),L), c) S(v(x,t),G), d) S(v(x,t),C) Voltage emrelatve entvty on the t wre of MTL Current emrelatve entvty on the t wre of MTL x. (ampere) -. R R (volt) -. - S S Dtance (meter).5 Tme (econd)..5-8 x Dtance (meter) Tme (econd) a) b) Obr. Semrelatvní ctlvot napětí a proudu: a) S(v(x,t),R), b) S((x,t),R) -8 x
24 5 CITLIVOSTI ODVOZENÉ ZE SEMIDISKRÉTNÍCH MODELŮ VPV Semdrétní model vícevodčového přenoového vedení bude tvořen aádním pojením článů e outředěným parametry, tj. dochází zde dretzac geometrcé ouřadnce x, ča zůtává pojtou velčnou. Původní outavy parcálních dferencálních rovnc přechází v čaové oblat na outavy obyčejných dferencálních rovnc, v operátorové oblat pa na outavy rovnc algebracých [64]. Počty článů e v prax volí ohledem na nejvyšší mtočtové ložy, teré jou v přenášeném gnálu obaženy, příp. podle trvání nejratších náběžných č etupných hran přenášených mpulzů []. Záladem modelu je zobecněný Π nebo T článe jaožto obvod e outředěným parametry, vz chematcá znázornění na obr.. + R L u C G + C G u + a) zobecněný Π článe b) zobecněný T článe Obr. Stavební bloy emdrétního modelu vícevodčového přenoového vedení V obrázu jou vyznačeny vetory napětí u a proudů, nehomogenní VPV je popáno matcem R = R (ξ )Δx, L = L (ξ )Δx, G = G (ξ )Δx a C = C (ξ )Δx, de Δx = x x -, =,,...,m, přčemž x = a x m = l, de l značí délu vedení a m počet článů jeho modelu. Konečně R (x), L (x), G (x) a C (x) jou matce prmárních parametrů vyjádřené v ouřadncích ξ ( x, x). Zpravdla e volí evdtantní dělení Δx = Δx = l/m,, a dále ξ = (x - + x )/ na tředu ntervalu. Na obr. 3 je aádní pojení zobecněných Π článů v rozrelené podobě, pro dva atvní vodče ( a j) nad polečným vodčem zpětným, vč. vyznačených vazeb a možného buzení z externích zdrojů. Uvedená značení odpovídají egmentu homogenního vedení. vodč vazby vodč j Obr. 3 Segment modelu homogenního vícevodčového přenoového vedení 3
25 5. VYUŽITÍ ŘETĚZOVÉ MATICE MODELU Oba výše uvedené modely jou pro dotatečně vyoý počet článů pratcy rovnocenné. Jou přímo použtelné pro výpočet ctlvotí dle rovnce (), onverzí přblžné řetězové matce %Φ () na admtanční matc Y % ( ). V operátorové oblat na záladě teore vícebranů dotáváme pro řetězovou matc tého zobecněného Π článu VPV (vz obr. a) Z() Y() In + Z() Φ% () =, (7) Y() Z() Y() Z() n + () I Y In + 4 =,,...,m, de Z () = R + L a Y () = G + C jou mpedance podélné a admtance příčné větve článu, I n je jednotová matce řádu n, uvažujeme-l vedení n atvním vodč. Celová řetězová matce modelu je pa dána oučnem dílčích řetězových matc jednotlvých článů m ( m) = = = Φ% () Φ% () Φ % (). (8) ( ) Označíme-l v ouladu e (8) Φ% () = Φ% () Φ% () KΦ% () Φ % () jao umulatvní oučn prvních dílčích řetězových matc, pa na záladě rovnot ( ) ( ) Φ% () = Φ% () Φ % () (9) můžeme pát reurentní vztah pro výpočet dervace řetězové matce dle parametru VPV jao ( ) ( ) Φ% () Φ% () ( ) % () = % () + % Φ Φ Φ (), () () =,3,...,m, přčemž Φ % () = Φ % (). Pro odlšení řetězové matce emdrétního modelu VPV od řetězové matce modelu pojtého byla zvolena vlnova nad znaem matce. Je zřejmé, že je zde jtá výpočtová podobnot případem nehomogenního vedení, teré jme popal pojtým l modelem ntegrální matcí Φ (), vz (34). Záadní rozdíl je vša v tom, jaým způobem tyto modely popují homogenní VPV. Rovnce (34) u pojtého modelu vedla přenému řešení danému exponencální funcí matce, zatímco rovnce (8) je vždy přblžná a záví na jemnot dělení, tedy počtu článů modelu m. Zde e pouze zjednoduší vyhodnocení vztahů (8) a (), neboť ja dílčí řetězovou matc (7), ta její dervac (vz dále), tačí tanovt pouze jednou. Výledná řetězová matce homogenního vedení je pa rovna mocnně matce m Φ% ( ) = Φ % ( ), () de %Φ ( ) je dílčí řetězová matce (7), ontantní. Rovnce () pa přejde do tvaru d d () () Φ% d Φ% d d () d () d() % = % + % Φ Φ Φ, () =,3,...,m, odud je výše zmíněné výpočtové zjednodušení zřejmé. Pro vyhodnocení () č () jž tedy tačí tanovt dervac dílčí řetězové matce (7) podle přílušného parametru γ. Je zřejmé, že výlede lze nadno nalézt dervacem jednotlvých ubmatc matce %Φ ( ) (),,j =,. Můžeme proto pát j 4
26 Φ% () Z() Y() () () = Y + Z, (3) Φ% () Z() =-, (4) Φ% () Y() Z() Y() Z() Y() =- Z() + Y() Y() n + 4 I 4, (5) Φ% () Y() Z() () () = Z + Y. (6) Potřebné dervace Z ()/ a Y ()/ ve vztazích (3) (6) lze nalézt dle tab. v závlot na typu parametru γ. Zde je uváženo evdtantní dělení VPV délou úeů Δx = l/m. Parametr γ R( x) γ L( x) γ G( x) γ C( x) γ l Z () R ( ) x l L ( x ) l Z ( x, ) m m m Y () G ( x ) l C ( x ) l Y ( x, ) m m m Tab. Dervace matc Z () a Y () podle parametru γ Pro dervace matc prmárních parametrů jž platí vše, co bylo uvedeno v ouvlot e pojtým modelem v ap. 4.., vz rovnce (39) (4). Měrná podélná mpedance a příčná admtance byly zavedeny rovncem (5) a (6). Rovněž přílušná zjednodušení pro homogenní vedení vyplývají z ap. 4..5, vz rovněž [5]. 5. APLIKACE METODY STAVOVÝCH PROMĚNNÝCH Dále prezentovaný způob výpočtu vychází z popu modelu metodou tavových proměnných. Odvození zde bude opět uázáno pro model tvořený aádou zobecněných Π článů dle obr. a. V tomto případě vša nejou brány v úvahu branové proudy, ale proud ndutorem jaožto tavové velčny, v obrázu vyznačen čárovaně. Vedle toho jou zde tavovým velčnam dvě napětí na apactorech. Podobně by pro případ T článu dle obr. b bylo bráno v úvahu tavové napětí na apactoru vyznačeno čárovaně namíto napětí branových. Pro lepší ovětlení metody vyjdeme z modelu jednoduchého přenoového vedení, terý je zde reduován na aádní pojení pouhých dvou Π článů [49], [5], vz obr. 4. R Z R d L d R d L 3 d 3 Z Z3 RZ3 C d G d u Z u u u C d 3 Z C d G d G d u Z3 R Z u Z Obr. 4 Reduovaný model jednoduchého přenoového vedení aáda dvou Π článů 5
27 Každý uzel v obvodu může být napájen z externího zdroje, u něhož budeme předpoládat extenc Thévennova náhradního modelu nenulovým vntřním odporem. Tento předpolad je plně oprávněný, má-l model vyjadřovat vlatnot reálného eletrcého obvodu. Případná počáteční napětí apactorů a počáteční proudy ndutorů předtavují počáteční rozložení napětí a proudů podél atvního vodče. Je zřejmé, že v daném obvodu extuje pravý trom, aplací myčových proudů a řezů proto nadno odvodíme tavové rovnce (7). Cd u ( t) Gd GZ u () t GZ uz( t) C d u( t) Gd GZ u d () t G Z uz( t) Cd u3( t) = Gd + GZ 3 Ld dt u3() t + GZ3 uz3( t) ( t) Rd () t L d 3( t) R d 3() t. (7) Hranční podmíny původního vedení jou repetovány matcem vntřním vodvotm G Z a vetorem vntřním napětím u Z (t), =,,3, náhradních modelů externích budcích zdrojů (obvodů). V našem příladě tedy Π člány modelu vedly na 5 tavových proměnných, 3 napětí apactorů a proudy ndutorů. Obecně povede m článů na m+ tavových proměnných, m+ napětí na apactorech a m proudů ndutory. Proudy náhradním modely zdrojů e pa určí ze vztahu Z = (u Z u )/R Z. Stavová rovnce reduovaného modelu (7) bude nyní zobecněna pro m článový model vícevodčového přenoového vedení, vz obr. a a taé obr Formulace tavové rovnce modelu a její řešení Vzhledem tomu, že vícevodčové přenoové vedení (VPV) je charaterzováno matcem prmárních parametrů pro vedení homogenní L, R, C a G, řádu n n pro n atvních vodčů, přechází alární prvy tavové rovnce (7) v matce, v příp. napětí a proudů pa ve loupcové vetory. Formálně proto můžeme pát tavovou rovnc [5] de byla zavedena náledující označení. Vetor dx() t M = ( H+P) x() t + Pu () t, (8) dt [ ] x() t = u (), t () t T (9) C je vetorem neznámých tavových proměnných. Obecně pro m článový model obahuje tento vetor n(m+) prvů, teré jou eupeny do ubvetorů řádu n, totž u C (t) obahuje m+ vetorů napětí na apactorech a L (t) pa m vetorů proudů ndutory. Aumulační matc lze pro případ homogenního VPV etavt pomocí ubmatc L C M = () L C= Im+ C d a = m d L I L, () de I m+ a I m jou jednotové matce (řádu daného přílušným ndexem), ymbol značí tzv. Kronecerův tenzorový oučn matc, C d = C l/m a L d = L l/m. Reztvní matce může být vytvořena obdobně pomocí ubmatc G E H= T () -E R G = Im+ G d a = m d R I R, (3) de G d = G l/m a R d = R l/m. Submatce E má truturu odpovídající rovnc (7), dy prvy ± a jou zaměněny matcem ±I n (jednotovou) a (nulovou). 6
28 Vztahy () a (3) platí pouze pro homogenní vedení, pro vedení nehomogenní je třeba užít obecnější potup, totž etavt bloově dagonální matce repetujíce přtom proměnné matce prmárních parametrů podél vedení. Zdrojová matce Y Z P= (4) obahuje čtvercovou ubmatc Y Z, terá záví na parametrech externích budcích zdrojů. Zvolený pop obvodu předpoládá extenc regulárních zobecněných Thévennových náhradních modelů, tj. extenc nverzní matce vntřní odporové matc modelu R Z. Proudové vetory zdrojů jou pa dány rovncí Z = RZ( uz u ), =,,...,m+, přčemž množna matc R Z tvoří bloovou dagonálu ubmatce Y Z. Zde je třeba poznamenat, že případné nenulové nedagonální prvy v odporové matc R Z vyjadřují externí reztvní vazby mez přílušným uzly daného článu modelu VPV. V modelu na obr. 3 by tomu odpovídaly odpory R j Z (mez uzly a j), teré zde jž z důvodu přehlednot nejou zareleny. Z obr. 3 je taé zřejmé, že daný model je vhodný pro účely, dy je třeba analyzovat odezvy na buzení v lbovolných uzlech (na různých mítech původního VPV), což je v modelu vyznačeno čárovaně. Konečně vetor [ t ] T u () t = u (),, (5) de u Z (t) obahuje vetory vntřních napětí zobecněných Thévennových evvalentů. Z Aplací Laplaceovy tranformace na (8) a úpravou dotáváme řešení v operátorovém tvaru de x() = L { x() t } a u() = { u() t } a = () t t = ( ) ( ) x() = H+ P+ M Mx + Pu (), (6) L značí Laplaceovy obrazy čaově závlých proměnných x x je vetor počátečních podmíne. Z operátorového řešení je zřejmé, že toto může být rozšířeno na VPV napájené č zatížené obvody aumulačním prvy, ce protřednctvím matce P P(). Podobně lze repetovat frevenční závlot matc prmárních parametrů, zde rze matce M M() a H H(). Na záladě řešení (6) lze nyní formulovat abolutní ctlvot v operátorové oblat, totž dervací podle parametru γ a úpravou dotáváme x() H M P = ( H+ P+ M) x() + ( x() x ) + ( x() u () ). (7) Další řešení bude rozděleno podle typu parametru γ. 5.. Ctlvot podle rozprotřených parametrů Je-l parametr γ prvem něteré matce prmárních parametrů L, R, C, G nebo délou vedení l, je dervace P/ = a z rovnce (7) vyplývá x() ( ) H M = H+ P+ M x() + ( x() x ), (8) de dervace v ouladu rovncem () a () jou dány vztahy M C = L podrobněj pa v závlot podle parametru γ v tab. 3. a H G =, (9) R 7
29 Parametr γ C γ L γ G γ R γ l M H A C C j L L j A A l = I G Aj Aj m G j R R j C G l l A A L = I R l m l l Tab. 3 Dervace matc M a H podle parametru γ Označíme-l A lbovolnou z matc prmárních parametrů a A odpovídající matc podle () nebo (3), jou přílušné dervace určeny pravým loupcem tabuly 3, de I I m+ nebo I I m jou odpovídající jednotové matce Ctlvot podle outředěných parametrů V tomto případě je parametr γ prvem matce Y Z defnující truturu externích obvodů, je tedy prvem matce P. V důledu toho jou dervace M/ = H/ = a ze (7) dotáváme de v ouladu e (4) je dervace x() P = ( H+ P+ M) ( x() u () ), (3) P YZ =. (3) Je-l γ R Z odpor obažený ve vntřní matc R Z zobecněného Thévennova modelu, pa R R - Z Z R = R R (3) - Z - Z Z RZ je ubmatcí na odpovídající dagonální pozc matce Y Z / R Z, nulam všude jnde. S rozvojem výpočetní techny ve měru zvyšující e rychlot velot operační pamět lze v oučanot řešt problémy, teré vedou na outavy řádů tíců rovnc na běžném oobním počítač. Potupy analýzy emdrétních modelů vícevodčových přenoových vedení, teré jou založeny na metodě tavových proměnných, vedou právě na tato rozáhlé outavy. Vhodným programátorým přítupem, zde využtím řídých matc, lze řešení provét bez nutnot použtí techn reduce řádu outavy []. 8
teorie elektronických obvodů Jiří Petržela syntéza a návrh elektronických obvodů
Jří Petržela yntéza a návrh eletroncých obvodů vtupní údaje pro yntézu obvodu yntéza a návrh eletroncých obvodů vlatnot obvodu obvodové funce parametry obvodu toleranční pole (mtočtové charaterty fltru)
VíceTeorie plasticity PLASTICITA
Teore platcty PLASTICITA TEORIE PLASTICKÉHO TEČENÍ IDEÁLNĚ PRUŽNĚ-PLASTICKÝ MATERIÁL BEZ ZPEVNĚNÍ V platcém tavu nelze jednoznačně přřadt danému napětí jedné přetvoření a naopa, ja tomu bylo ve tavu elatcém.
Více7. ZÁKLADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ
7. ZÁKADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ 7.. SPOJITÉ SYSTÉMY Téměř všechny fyzálně realzovatelné spojté lneární systémy (romě systémů s dopravním zpožděním lze vytvořt z prvů tří typů: proporconálních členů
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ týden doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Otrava 013 doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Vyoká škola báňká Technická univerzita
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela syntéza elektronických obvodů
Jiří Petržela příklad nalezněte dvě různé realizace admitanční funkce zadané formou racionální lomené funkce Y () () ( ) ( ) : první krok rozkladu do řetězového zlomku () 9 7 9 výledný rozklad ( ) 9 9
VíceMožnosti vyžití statistiky a teorie zpracování dat v práci učitele na 1. stupni ZŠ
Možnot vyžtí tatty a teore zpracování dat v prác učtele na. tupn ZŠ Význam tatty je v oudobé polečnot všeobecně uznáván. Svědčí o tom člány v denním odborném tu, lýcháme o ní čato ve vytoupeních hopodářých
Více25 Dopravní zpoždění. Michael Šebek Automatické řízení 2013 21-4-13
5 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 3-4-3 Dopravní zpoždění (Time delay, tranport delay, dead time, delay-differential ytem) V reálných ytémech e čato vykytuje dopravní zpoždění yt ( )
VíceMatematické modelování turbulence
Matematcé modelování turbulence 1. Reynolds Averaged Naver Stoes (RANS) Řeší se Reynoldsovy rovnce Výsledem ustálené řešení, střední velčny Musí se použít fyzální model pro modelování Reynoldsových napětí
VíceANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha
ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl
Více1 Seznamová barevnost úplných bipartitních
Barvení grafů pravděpodobnotní důazy Zdeně Dvořá 7. proince 208 Seznamová barevnot úplných bipartitních grafů Hypergraf je (labě) -obarvitelný, jetliže exituje jeho obarvení barvami neobahující monochromaticou
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
Více11 - Regulátory. Michael Šebek Automatické řízení
- Regulátory Michael Šebe Automaticé řízení 7 6-3-7 Nejjednodušší regulátory Automaticé řízení - Kybernetia a robotia v jitém mylu nejjednodušší regulátor je On-Off (Bang-bang) má jen dvě možné výtupní
Víceu (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo
Metoda sítí základní schémata h... krok sítě ve směru x, tj. h = x x q... krok sítě ve směru y, tj. q = y j y j τ... krok ve směru t, tj. τ = j... hodnota přblžného řešení v uzlu (x,y j ) (Possonova rovnce)
VíceMODELOVÁNÍ A SIMULACE
MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VOKÁ ŠKOLA BÁŇKÁ TECHNICKÁ NIVEZITA OTAVA FAKLTA TOJNÍ ZÁKLAD ATOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 9. týden doc. Ing. enata ANEOVÁ, Ph.D. Otrava 03 doc. Ing. enata ANEOVÁ, Ph.D. Vyoká škola báňká Technická univerzita Otrava
Více11 - Regulátory. Michael Šebek Automatické řízení 2015 24-3-15
- Regulátory Michael Šebe Automaticé řízení 5 4-3-5 Nejjednodušší regulátory Automaticé řízení - Kybernetia a robotia v jitém mylu nejjednodušší regulátor je On-Off (Bang-bang) má jen dvě možné výtupní
Více5. cvičení z Matematické analýzy 2
5. cvičení z Matematické analýz 2 30. října - 3. litopadu 207 5. linearizace funkce a Pro funkci f, = e nalezněte její linearizaci v bodě a 0 = 6, 0. Použijte ji k přibližnému určení hodnot funkce f v
Více( s) ( ) ( ) ( ) Stabilizace systému pomocí PID regulátoru. Řešený příklad: Zadání: Uvažujme řízený systém daný přenosovou funkcí
tbilizce ytému pomocí regulátoru Řešený příld: Zdání: Uvžujme řízený ytém dný přenoovou funcí ) ožte, že je ytém netbilní. ) Nvrhněte dnému ytému regulátor, terý bude ytém tbilizovt. ) Úpěšnot vého nárhu
VíceNumerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První
Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá
VíceNumerická matematika A
Numercká matematka A 5615 A1 Máme dánu soustava lneárních rovnc tvaru AX = B, kde 4 1 A = 1 4 1, B = 1 a Zapíšeme soustavu rovnc AX = B ve tvaru upravíme a následně (L + D + P X = B, DX = (L + P X + B,
VícePružnost a plasticita II
Pružnost a plastcta II 3 ročník bakalářského studa doc Ing Martn Kresa PhD Katedra stavební mechank Řešení pravoúhlých nosných stěn metodou sítí Statcké schéma nosné stěn q G υ (μ) h l d 3 wwwfastvsbcz
VícePříklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka
Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní
Více3 ČSN EN : Zatížení sněhem
3 Zatížení něhem Zatížení tavebních ontrucí 3 ČSN EN 1991-1-3: Zatížení něhem V normě ČSN EN 1991-1-3 jou uvedeny poyny pro tanovení hodnot zatížení něhem pro navrhování ontrucí pozemních a inženýrých
VíceFrekvenční metody syntézy
Frevenční metody yntézy Autor: etr Havel, havelp@fel.cvut.cz 23..25 Frevenční metody návrhu e naží upravit frevenční charateritiu otevřené myčy L ta, aby výledná frevenční charateritia uzavřené myčy T
Více( LEVEL 3 Laplaceova transformace jako nástroj řešení lineárních diferenciálních rovnic. )
( LEVEL 3 Laplaceova tranformace jako nátroj řešení lineárních diferenciálních rovnic. ) Podívejme e tentokrát na dynamiku pracovní edačky řidiče prizmatem matematiky aneb trocha teorie jitě nikomu neuškodí...
VíceSystém vztahů obecné pružnosti Zobecněný Hookeův zákon
Stém vtahů obecné pružnoti Zobecněný Hookeův ákon V PPI e řešil úloh pružnoti u prutů. Pro řešení pouvů napětí a přetvoření obecného 3D těleo je třeba etavit a řešit tém vtahů obecné pružnoti. Jeho řešení
VíceANALÝZA PRŮCHODU PAPRSKOVÝCH SVAZKŮ KOUTOVÝM ODRAŽEČEM
ANALÝZA PRŮCHODU PAPRSKOVÝCH SVAZKŮ KOUTOVÝM ODRAŽEČEM P Kytka J Novák ČVUT v Praze Fakulta tavební katedra fyziky Práce e zabývá analýzou průchodu paprků koutovým odražečem což je typ hranolu který je
VíceVzorový test k přijímacím zkouškám do navazujícího magisterského studijního oboru Automatické řízení a informatika (2012)
Vzorový tet k přijímacím zkouškám do navazujícího magiterkého tudijního oboru Automatické řízení a informatika (22). Sekvenční logický obvod je: a) obvod, v němž je výtupní tav určen na základě vtupních
VícePříklady k přednášce 16 - Pozorovatel a výstupní ZV
Příklady k přednášce 6 - Pozorovatel a výtupní ZV Michael Šebek Automatické řízení 08 6-4-8 Příklad: Pozorovatel pro kyvadlo naivně pro kyvadlo frekvencí ω 0 a rovnicemi x 0 x 0 navrhneme pozorovatel dvojitým
VíceHODNOCENÍ DODAVATELE SUPPLIER EVALUATION
oční 6., Číslo IV., lstopad 20 HODNOCENÍ DODAVATELE SUPPLIE EVALUATION oman Hruša Anotace: Článe se zabývá hodnocením dodavatele pomocí scorng modelu, což znamená vanttatvní hodnocení dodavatele podle
VícePřibližné řešení algebraických rovnic
Přblžné řešení lgebrcých rovnc Algebrcou rovncí stupně n nzýváme rovnc =, tj n n x x x =, de n N, x C, oefcenty P n,,, n R, Budeme prcovt s tzv normovou lgebrcou rovncí ( = ) n n x x x = Řešením (ořenem)
Více4 HMM a jejich trénov
Pokročilé metody rozpoznávánířeči Přednáška 4 HMM a jejich trénov nování Skryté Markovovy modely (HMM) Metoda HMM (Hidden Markov Model kryté Markovovy modely) reprezentujeřeč (lovo, hláku, celou promluvu)
VíceMechanické vlastnosti materiálů.
Mechancké vastnost materáů. Obsah přednášky : tahová zkouška, zákadní mechancké vastnost materáu, prodoužení př tahu nebo taku, potencání energe, řešení statcky neurčtých úoh Doba studa : as hodna Cí přednášky
Více21 Diskrétní modely spojitých systémů
21 Dikrétní modely pojitýc ytémů Micael Šebek Automatické řízení 2015 29-4-15 Metoda emulace Automatické řízení - Kybernetika a robotika pojitý regulátor nazývá e také aproximace, dikrétní ekvivalent,
VíceTechnická kybernetika. Linearizace. Obsah
Aademcý ro 06/07 řpravl: adm Farana Techncá ybernea Idenface yémů, algebra bloových chéma Obah Lnearzace. Analycá denface. Expermenální denface. Algebra bloových chéma. Záladní přenoy reglačního obvod.
VíceANALÝZA A KLASIFIKACE DAT. Institut biostatistiky a analýz
ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT prof. Ing. Jiří Holčík,, CSc. III. PŘÍZNAKOVÁ KLASIFIKACE - ÚVOD PŘÍZNAKOVÝ POPIS Příznakový obraz x zpracovávaných dat je vyjádřen n-rozměrným loupcovým vektorem hodnot x i,
Více8. STATISTICKÝ SOUBOR SE DVĚMA ARGUMENTY
8. STATISTICKÝ SOUBOR SE DVĚMA ARGUMETY Stattcký oubor e dvěma argument Průvodce tudem Vužeme znalotí z předchozí kaptol, která poednávala o tattckém ouboru edním argumentem a rozšíříme e. Předpokládané
Více2.4. DISKRÉTNÍ SIGNÁLY Vzorkování
.4. DISKRÉTÍ SIGÁLY.4.. Vzorování Vzorování je nejběžnější způsob vznu dsrétních sgnálů ze sgnálů spojtých. Předpoládejme, že spojtý sgnál (t) je přveden na spínač, terý se velce rátce sepne aždých T vz
VíceVysokofrekvenční obvody s aktivními prvky
Vokofrekvenční obvod aktivními prvk Základními aktivními prvk ve vokofrekvenční technice jou bipolární a unipolární tranzitor. Dalšími aktivními prvk jou hbridní nebo monolitické integrované obvod. Tranzitor
VíceKorelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d
Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím
VíceUsing a Kalman Filter for Estimating a Random Constant Použití Kalmanova filtru pro výpočet odhadu konstantní hodnoty
II. Semnar ASR 007 Instruments and Control, Farana, Smutný, Kočí & Babuch (eds) 007, VŠB-TUO, Ostrava, ISB 978-80-48-7-4 Usng a Kalman Flter for Estmatng a Random Constant Použtí Kalmanova fltru pro výpočet
Více2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
25 MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak lze obecnou soustavu lneárních rovnc zapsat pomocí matcového počtu; přesnou formulac podmínek řeštelnost soustavy lneárních rovnc
VíceAutomatizace Úloha č.1. Identifikace regulované soustavy Strejcovou metodou
Automatizace Úloha č. Identifikace regulované outavy Strejcovou metodou Petr Luzar 008/009 Zadání. Zapojte regulační obvod reálnou tepelnou outavou a eznamte e monitorovacím a řídicím programovým ytémem
Více1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti
1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je
VícePříklad 1 Ověření šířky trhlin železobetonového nosníku
Příklad 1 Ověření šířky trhlin železobetonového noníku Uvažujte železobetonový protě podepřený noník (Obr. 1) o průřezu b = 00 mm h = 600 mm o rozpětí l = 60 m. Noník je oučátí kontrukce objektu pro kladování
VícePracovní list č. 3 Charakteristiky variability
Pracovní lt č. 3 Charaktertky varablty 1. Př zjšťování počtu nezletlých dětí ve třcet vybraných rodnách byly zíkány tyto výledky: 1, 1, 0,, 3, 4,,, 3, 0, 1,,, 4, 3, 3, 0, 1, 1, 1,,, 0,, 1, 1,, 3, 3,. Upořádejte
VíceMaticová exponenciála a jiné maticové funkce
Matcová exponencála a jné matcové funkce Motvace: Jž víte, že řešením rovnce y = ay, jsou funkce y(t = c e at, tj exponencály Pro tuto funkc platí, že y(0 = c, tj konstanta c je počáteční podmínka v bodě
VíceTeorie elektronických obvodů (MTEO)
Teorie elektronických obvodů (MTEO) Laboratorní úloha čílo teoretická čát Filtry proudovými konvejory Laboratorní úloha je zaměřena na eznámení e principem činnoti proudových konvejorů druhé generace a
VíceANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN
ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší
VíceLiteratura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí pro 2D úlohy. Possonova rovnce. Vlnová rovnce. Rovnce vedení tepla. Lteratura: Kaptola 5 ze skrpt Karel Rektorys: Matematka 43, ČVUT, Praha, 2. Text přednášky na
VícePříklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění
Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 28 5-5-8 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { } t f(): t f() t = t
VíceNásobení. INP 2008 FIT VUT v Brně
Náobení INP 2008 FIT VUT v Brně Náobení a náobičky Při náobení číel v dvojkové outavě můžeme náobit abolutní hodnoty číel a pak doplnit do výledku znaménko, anebo raději náobit přímo číla e znaménkem.
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ROZLOŽENÍ PROUDU NA LINEÁRNÍCH ANTÉNÁCH CURRENT DISTRIBUTION ON LINEAR ANTENNAS
VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V BRNĚ BRNO UNVERSTY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNKY A KOMUNKAČNÍCH TECHNOLOGÍ ÚSTAV RADOELEKTRONKY FACULTY OF ELECTRCAL ENGNEERNG AND COMMUNCATON DEPARTMENT OF RADO ELECTRONCS
VícePOROVNÁNÍ MEZI SKUPINAMI
POROVNÁNÍ MEZI SKUPINAMI Potřeba porovnání počtů mez určtým skupnam jednců např. porovnání počtů onemocnění mez kraj nebo okresy v prax se obvykle pracuje s porovnáním na 100.000 osob. Stuace ale nebývá
VíceOsově namáhaný prut základní veličiny
Pružnost a pevnost BD0 Osově namáhaný prut základní velčny ormálová síla půsoící v průřezu osově namáhaného prutu se získá ntegrací normálového napětí po ploše průřezu. da A Vzhledem k rovnoměrnému rozložení
VíceVzorový protokol pro předmět Zpracování experimentu. Tento protokol by měl sloužit jako vzor pro tvorbu vašich vlastních protokolů.
Vzorový protokol pro předmět Zpracování experimentu. Tento protokol by měl loužit jako vzor pro tvorbu vašich vlatních protokolů. Na příkladech je zde ukázán právný zápi výledků i formát tabulek a grafů.
Více(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.
2 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv2tex Definice pojmů a záladní vzorce Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost P splňuje pro libovolné jevy A a B následující vlastnosti: 1 0, 1 2 P (0) = 0, P
Víces požadovaným výstupem w(t), a podle této informace generuje akční zásah u(t) do
Vážení zákazníci, dovolujeme i Vá upozornit, že na tuto ukázku knihy e vztahují autorká práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má loužit výhradnì pro oobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø
VíceKatedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY
Katedra obecné elektrotechnky Fakulta elektrotechnky a noratky, VŠB - T Otrava 4. TROJFÁOVÉ OBVODY 4. Úvod 4. Trojázová outava 4. Spojení ází do hvězdy 4.4 Spojení ází do trojúhelníka 4.5 Výkon v trojázových
VíceGodunovovy metody pro 1D-Eulerovy rovnice
Godunovovy metody pro D-Eulerovy rovnice Řešte Eulerovy rovnice w t + f(w) w(0, t) = = o, x (0, l), t (0, T ), w(l, 0) w(x, 0) = w 0 (x), = 0, t (0, T ), x (0, l), w = (ϱ, ϱu, E) T, f(w) = (ϱu, ϱu + p,
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela obvodové funkce
Jiří Petržela obvod jako dvojbran dvojbranem rozumíme elektronický obvod mající dvě brány (vstupní a výstupní) dvojbranem může být zesilovač, pasivní i aktivní filtr, tranzistor v některém zapojení, přenosový
VíceKatedra geotechniky a podzemního stavitelství
Katedra geotechn a podzemního tavteltví Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů (prezentace pro výuu předmětu Modelování v geotechnce) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace tudního oboru Geotechna
Více3. cvičení 4ST201 - řešení
cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry
VíceRovnice rovnoměrně zrychleného pohybu
..8 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu Předpoklady: 7 Pedagogická poznámka: Stejně jako u předchozí hodiny je i v této hodině potřeba potupovat tak, aby tudenti měli minimálně píše minut na řešení příkladů
VíceTransformátory. Mění napětí, frekvence zůstává
Transformátory Mění napětí, frevence zůstává Princip funce Maxwell-Faradayův záon o induovaném napětí e u i d dt N d dt Jednofázový transformátor Vstupní vinutí Magneticý obvod Φ h0 u u i0 N i 0 N u i0
VícePružnost a plasticita II
Pružnost a plastcta II 3. ročník bakalářského stua oc. Ing. Martn Kresa Ph.D. Katera stavební mechank Řešení nosných stěn metoou sítí 3 Řešení stěn metoou sítí metoa sítí (metoa konečných ferencí) těnová
VíceBuckinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003)
Bucinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003) Formalizace rozměrové analýzy ( výsledné jednoty na obou stranách musí souhlasit ). Rozměr fyziální veličiny Mějme nějaou třídu jednote, napřílad [(g,
VícePříklady k přednášce 19 - Polynomiální metody
Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody Michael Šebek Automatické řízení 016 15-4-17 Dělení polynomů: e zbytkem a bez Polynomy netvoří těleo (jako reálná číla, racionální funkce, ) ale okruh (jako
VíceAplikace matematiky. František Nožička Fundamentální principy mechaniky a jejich ekvivalence. Terms of use:
Aplkace matematky Frantšek Nožčka Fundamentální prncpy mechanky a jejch ekvvalence Aplkace matematky, Vol. 4 (1959), No. 4, 243--277 Pertent URL: http://dml.cz/dmlcz/102668 Term of ue: Inttute of Mathematc
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceLab. skup. Spolupracoval Měřeno dne Odevzdáno dne. Příprava Opravy Učitel Hodnocení
Jméno a příjmení ID FYZIKÁLNÍ PRAKTIK Ročník 1 Předmět Obor Stud. kupina Kroužek Lab. kup. FEKT VT BRNO Spolupracoval ěřeno dne Odevzdáno dne Příprava Opravy čitel Hodnocení Název úlohy Čílo úlohy 1. Úkol
VícePosouzení stability svahu
Inženýrký manuál č. 8 Aktualizace: 02/2016 Poouzení tability vahu Program: Soubor: Stabilita vahu Demo_manual_08.gt V tomto inženýrkém manuálu je popán výpočet tability vahu, nalezení kritické kruhové
Více4. Přednáška: Kvazi-Newtonovské metody:
4 Přednáša: Kvazi-Newtonovsé metody: Metody s proměnnou metriou, modifiace Newtonovy metody Efetivní pro menší úlohy s hustou Hessovou maticí Newtonova metoda (opaování): f aproximujeme loálně vadraticou
VícePříklady k přednášce 20 - Číslicové řízení
Příklady k přednášce 0 - Čílicové řízení Micael Šebek Automatické řízení 07-4- Vzorkování: vzta mezi a z pro komplexní póly Spojitý ignál má Laplaceův obraz póly v, Dikrétní ignál má z-obraz αt yt ( )
VícePříklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění
Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 23 2-4-3 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { f t } { } t f(): t f() t = t
VíceSIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10
SIMULACE numercké řešení dferencálních rovnc smulační program dentfkace modelu Numercké řešení obyčejných dferencálních rovnc krokové metody pro řešení lneárních dferencálních rovnc 1.řádu s počátečním
Více1.1.7 Rovnoměrný pohyb II
1.1.7 Rovnoměrný pohyb II Předpoklady: 16 Minulou hodinu jme zakončili předpovídáním dalšího pohybu autíčka. Počítali jme jeho dráhy v dalších okamžicích pomocí tabulky a nakonec i přímé úměrnoti: autíčko
VíceIDENTIFIKACE REGULOVANÉ SOUSTAVY APLIKACE PRO PARNÍ KOTEL
IDENTIFIKACE REGULOVANÉ SOUSTAVY APLIKACE PRO PARNÍ KOTEL Ing. Zeněk Němec, CSc. VUT v Brně, Fakulta trojního inženýrtví, Útav automatizace a informatiky. Úvo, vymezení problematiky Přípěvek ouvií řešením
VíceNÁVRH PROVOZOVÁNÍ NOVÉHO ZDROJE 120 MW VÝTOPNA MALOMĚŘICE V DISTRIBUČNÍ SOUSTAVĚ 110 KV E.ON
VYSOKÉ ČENÍ TECHNCKÉ V BRNĚ BRNO NVERSTY OF TECHNOLOGY FAKLTA ELEKTROTECHNKY A KOMNKAČNÍCH TECHNOLOGÍ ÚSTAV ELEKTROENERGETKY FACLTY OF ELECTRCAL ENGNEERNG AND COMMNCATON DEPARTMENT OF ELECTRCAL POWER ENGNEERNG
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceMechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory
Mechatroncké systémy s elektroncky komutovaným motory 1. EC motor Uvedený motor je zvláštním typem synchronního motoru nazývaný též bezkartáčovým stejnosměrným motorem (anglcky Brushless Drect Current
VíceTLUMENÍ TLAKOVÝCH A PRŮTOKOVÝCH PULZACÍ
VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V BNĚ FAKULA SONÍHO INŽENÝSVÍ ENEGEICKÝ ÚSAV ODBO HYDAULICKÝCH SOŮ V. KAPLANA Ing. Vladmír HABÁN LUMENÍ LAKOVÝCH A PŮOKOVÝCH PULZACÍ PESSUE AND FLOW PULSAION DAMPING eze dertační
VíceMODELOVÁNÍ VYSOKOFREKVENČNÍCH PULSACÍ
VYSOKÉ UČNÍ TCHNICKÉ V BNĚ BNO UNIVSITY OF TCHNOLOGY FAKULTA STOJNÍHO INŽNÝSTVÍ NGTICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MCHANICAL NGINING NGY INSTITUT MODLOVÁNÍ VYSOKOFKVNČNÍCH PULSACÍ HIGH-FQUNCY PULSATIONS MODLING
VíceEnergie elektrického pole
Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela topologie obvodů, analýza obvodů s regulárními prvky
Jří Petržela topologe obvodů, analýza obvodů s regulárním prvk metod analýz obvodů topologe obvodů, analýza obvodů s regulárním prvk heurstcké metod jsou založen na zkušenostech řeštele vžadují tvůrčí
VícePříklady k přednášce 6 - Ustálený stav, sledování a zadržení poruchy
Přílady přdnášc 6 - Utálný tav, ldování a zadržní poruchy Mchal Šb Automatcé řízní 08 3-3-8 Automatcé řízní - Kybrnta a robota Frvnční odzva, charatrta, přno Má-l tablní LTI ytém y () = Gu ()() na vtupu
VíceCITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I
Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005 CITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I KÜNZEL GUNNAR Abstrakt Příspěvek uvádí základní definice, fyzikální interpretaci
Více3. cvičení 4ST201. Míry variability
cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry varablty
Vícef (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
VícePříklady k přednášce 6 - Spojování a struktury
Příklad k přednášce 6 - Spojování a truktur Michael Šebek Automatické řízení 07 7-3-8 Automatické řízení - Kbernetika a robotika Zpětnovazební pojení tavových modelů Odvození obecného případu (značení
Více1.1.14 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu
..4 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu Předpoklady: 3 Pedagogická poznámka: Stejně jako u předchozí hodiny je i v této hodině potřeba potupovat tak, aby tudenti měli minimálně minut na řešení příkladů
Více4. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z Matematické analýzy 2 22. - 26. října 208 4. Po funkci fx, y, z xy 2 + z 3 xyz učete v bodě a 0,, 2 deivaci ve měu u, kteý je učen tím, že víá kladnými měy ouřadných o potupně úhly 60, 45
VíceC Charakteristiky silničních motorových vozidel
C Chaaktetky lnčních otoových vozel Toto téa e zabývá záklaní etoa tanovení někteých povozních chaaktetk lnčních otoových vozel, kteé pak náleně louží k pouzování užtných vlatnotí těchto vozel. Stanovení
VícePropočty přechodu Venuše 8. června 2004
Propočty přechodu Venuše 8. června 2004 V tomto dokumentu předkládáme podmínky přechodu Venuše pře luneční kotouč 8. června roku 2004. Naše výpočty jme založili na planetárních teoriích VSOP87 vytvořených
Více4. Třídění statistických dat pořádek v datech
4. Třídění statstcých dat pořáde v datech Záladní členění statstcých řad: řada časová, řada prostorová, řada věcná věcná slovní řada, věcná číselná řada. Záladem statstcého třídění je uspořádání hodnot
Více7. TRANSFORMÁTORY. 7.1 Štítkové údaje. 7.2 Měření odporů vinutí. 7.3 Měření naprázdno
7. TRANSFORMÁTORY Pro zjednodušení budeme měření provádět na jednofázovém transformátoru. Na trojfázovém transformátoru provedeme pouze ontrolu jeho zapojení měřením hodinových úhlů. 7.1 Štítové údaje
VícePřednáška v rámci PhD. Studia
OBVODY SE SPÍNANÝMI KAPACITORY (Switched Capacitor Networks) Přednáška v rámci PhD. Studia Doc. Ing. Lubomír Brančík, CSc. UREL FEKT VUT v Brně ÚVOD DO PROBLEMATIKY Důsledek pokroku ve vývoji (miniaturizaci)
VíceDoplňky k přednášce 23 Diskrétní systémy Diskrétní frekvenční charakteristiky
Doplňky k přednášce 3 Dikrétní ytémy Dikrétní frekvenční charakteritiky Michael Šebek Automatické řízení 011-1-11 Automatické řízení - Kybernetika a robotika e jω Matematika: Komplexní exponenciála = coω+
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
VYOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚTAV ELEKTROTECHNOLOGIE FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF ELECTRICAL
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela analýza obvodů metodou orientovaných grafů
Jiří Petržela analýza obvodů metodou orientovaných grafů podstata metod spočívá ve vjádření rovnic popisujících řešený obvod pomocí orientovaných grafů uzl grafu odpovídají závislým a nezávislým veličinám,
Více