Informace, systémy, stabilita

Transkript

1 Inormace ytémy tablta Mloš Schlegel

2 Teore normace. Množna možných elementárních gnálů e nazývá abeceda.. Řetězec znaů pímen abecedy tvoří zprávu. 3. Počet znaů ve zprávě nazýváme délou zprávy. rušení zdro odér deodér příemce abeceda zpráva ódy zabezpečené deteční oreční redundance proputnot [bt/]

3 Entrope [ ] p p H p H bt p H p c H p p p p p p A P A P A A P p p p p p H log log log < > Entrope č neurčtot -tého evu pravděpodobnotí e denována náleduícím podmínam: H p n p Entrope -tého evu. Entrope celého pouu.

4 Shannonova věta Je-l zpráva dotatečně dlouhá můžeme rozdělením na dotatečně velé upny znaů ódovat dvoově ta že eí redundance e lbovolně málo lší od nuly. Aplace: paování ouborů dgtalzace obrazu

5 Sytém D: Sytém e omezená čát reálného nebo abtratního protoru aně vymezenou hrancí mez ním a oolím. D: Sytém e oubor reálných nebo abtratních obetů vázaných taovým způobem že tvoří cele. Sytém g S: ytém h g : O S h : S O Oolí O: oolí

6 Přílady reálných ytémů bologe atronome techna buňa moze žvočch eoytém luneční outava hvězdoupa vemír motor reator eletrárna

7 Řídcí ytémy-unční dagram Zpětnovazební řízení Reprezentace měření Proce rozhodování dynama Ace Proce půobení Řízení v otevřené myčce - ompenzační Reprezentace rozhodování Ace měření Proce dynama Proce Porucha

8 Řídcí ytémy-truturální dagram Zpětnovazební řízení Senzory Reprezentace Agent měření Proce ace Řízení v otevřené myčce - ompenzační Senzory Reprezentace Agent měření ace Proce Porucha

9 Řídcí ytém regulačního typu Zednodušený dagram Požadovaná hodnota reprezentace Senzory Komparátor ŘS odchyla Agent S r p C e A měření Proce ace Poruchy m P a d Agent regulátor mnmalzue regulační odchylu mez požadovanou hodnotou a regulovanou velčnou. Jeho cílem e udržet malou odchylu př půobení poruch a př změně dynamcých vlatnotí proceu. Regulovaná velčna e zíává měřením na proceu.

10 Herarchcý řídcí ytém p ŘS S r S r C e A p C e A Úol agenta A e mnmalzovat regulační odchylu e zatímco agent A mnmalzue regulační odchylu e. Výtup generovaný agentem A e požadovaná hodnota pro vntřní myču agenta A. Čato e používá více herarchcých úrovní. m m P a d

11 Regulace teploty v budovách venovní teplota mítnot EQI čerpadlo pož. teplota R R otel

12 Dtrbuovaný řídcí ytém p p pn ŘS ŘS ŘSn m a m a m3 a3 Proce V dtrbuovaném řídcím ytému pracue paralelně něol regulátorů. Důležté př tom e že aždý regulátor řídí pouze ednu regulovanou velčnu nebo ech omezený počet a užívá pouze data terá ám na proceu měří.

13 Herarchcý dtrbuovaný ŘS Operátor ŘS p p pn ŘS ŘS ŘSn m a m a m3 a3 Proce

14 Regulace rychlot a napětí válcovaného pau M E M E M E PI PI PI pož. tah pož. rychlot pož.tah

15 Abtratní autonomní ytém onečným počtem tavů onečný automat { } { } n n n n X X X K K K a K : : Je-l ytém v oamžu ve tavu potom e v čae ve tavu. tavová rovnce tavový protor tranormační ce S: Stav v čae nezáví na tavech v čae - -. Vešerá normace pro další evoluc ytému e obažena ve tavu ytému.

16 Matce a gra ytému S ] [ F { } n H h V H V G K Matce ytému S Gra ytému S F 3 4 Přílad v otatních případech

17 Vlatnot grau obecného ytému S nvarantní podgra ezera. Z aždého uzlu vede právě edna hrana.. Gra G e rozpadá na omponenty typu ezero. 3. Každá omponenta grau typu ezero má právě ednu tablní nvarantní množnu uzlů. Podgra grau G na této nvarantní množně uzlů e cylu.

18 Vlatnot matce ytému S. V aždém loupc má matce ytému právě ednu ednču.. Součanou permutací řádů a loupců přečílováním tavů ytému lze matce ytému S převét na bloově dagonální matc F PFP dag{ F F K F l F M F O L L O O M F l de matce F F K F l odpovídaí omponentám grau G ezerům. Jetlže matce F odpovídá omponentě typu ezero nvarantní množnou obahuící r vrcholů potom má matce F právě r vlatních nenulových číel teré ou řešením rovnce r. 3. Náobnot vlatního číla matce ytému určue počet nvarantních množn ve tavovém protoru X.

19 Buňový automat - hra Le. Mrtvá buňa právě třem ouedy e tává žvou zrození.. Žvá buňa dvěm nebo třem žvým ouedy zůtává žvá přežtí. 3. Ve všech otatních případech buňa umírá přemnožení... 3.

20 Hra Le

21 Otevřené problémy 66 X { 36 } K?. Co tvoří všechny nvarantní tvary v omezené doméně.. Je možné nalézt onečný tvar olone na záladě počátečního. 3. Co e tane onečným tvarem změníme-l trochu počáteční? 4. Je možné predovat budoucnot ve ložtých ytémech?

22 Automat e vtupem { } X U X a a a U u X u m n : } { K K tavová rovnce tavový protor tranormační ce S: množna vtupů a a a a a a Přílad:

23 Pratcý přílad automatu Spouštění vozoomorové pece Jao přílad použtí onečného automatu zde uvedeme pouštění vozoomorové pece určené pro výpal šamotu a amenny př teplotách až 5 C. Sevence příazů př tartování pece e náleduící: Po povelu START e puštěn ventlátor prmárnírho vzduchu a čeá e na příchod dgtální vtupu tla OK. Náledue povel na puštění odtahového ventlátoru a čeání na příchod vtupu podtla OK. V další áz e rozhodue zda e pec pouštěna ve áz chlazení nebo ve áz výpalu. Pro áz chlazení e proce pouštění uončen. Pro áz výpalu e nutno zapnout plyn a počat na vtup plyn OK a potom natartovat hořáy přčemž ro tartování hořáů e nutno většnou neméně ednou opaovat. Po natarování ventlátorů e čeá na dgtální vtupy teré oznamuí že tyto ventlátory doopravdy běží tlaové derence Nepřdou-l tyto vtupy do předem tanovené doby e proce pouštění uončen.

24 Pratcý přílad automatu

25 Pratcý přílad automatu Q START C Povel START Q SPOUŠTĚNÍ PRIMÁRU puť prmár C Tla prmáru OK Q SPOUŠTĚNÍ ODTAHU puť odtah Tla odtahu OK & výpal C C7 Tla odtahu OK & chlazení puť plyn SPOUŠTĚNÍ PLYNU Q3 Tla plynu OK C3 zapn plyn puť čaovač SPOUŠTĚNÍ HOŘÁKŮ Q4 C4 Čaovač dočaoval & hořáy OK Čaovač dočaoval & hořáy neou OK C5 Q5 OPAKOVÁNÍ HOŘÁKŮ vypn plyn puť čaovač C6 Čaovač dočaoval Q6 PEC JEDE

26 Abtratní ytém drétní v čae a potý v protoru n n n R R R X : tavová rovnce tavový protor tranormační ce S: Autonomní ytém Sytém e vtupem n m n m n R R R R U u R X u : tavová rovnce tavový protor tranormační ce S: protor vtupů

27 Přílad : logtcá rovnce Logtcá rovnce popue růt populace: b b 4 b b čím větší populace tím větší přírůte př přemnožení dochází e zpomalení přírůtu The logtc equaton gve the rule or determnng the relatve populaton n at the n th year n term o the populaton n the n th year. To get a phycal undertandng o the term n the the logtc equaton we can thn o the b* n term a a potve eedbac term n the ene that a n ncreae o doe the value o b n. Th ame a ayng that the populaton ze n the net year n determned by the product o the prevou populaton ze n and the rate b at whch the populaton grow. Smlarly the term - n can be thought o a a negatve eedbac nce ncreang n wll decreae - n and thereore - n can be thought o a populaton declne due to over populaton and carce reource. So what the bg deal about logtc equaton. Well t the mplet one dmenonal nonlnear quared term ngle parameter b n equaton model that how an amazng varety o dynamcal repone.

28 Přílad : logtcá rovnce por. Gracá terace y b y The graph correpondng to the logtc uncton y b**- a parabola whch pae through the pont and ndependent o the choce o the parameter b. The mama o the parabola whch alway located at.5.5*b. There a nce graphcal vualzaton o the teraton proce o logtc map va what called the graphcal teraton plot whch how how the terate... can be obtaned graphcally. To decrbe the teratve proce we plot the graph y b**- hown a yellow curve and the y dagonal lne hown n red. The graphcal teraton plot n agant n. We tart rom the ntal pont on the -a. Net we draw a vertcal lne egment howwn n blue rom th ntal pont untl t ht the parabola. From that pont we draw a horzontal lne egment untl we ht the dagonal lne. From there we contnue to draw a vertcal lne egment untl we ht the parabola agan and o on. The vertcal lne plot mply a graphcal repreentaton o the etratve proce and the horzontal lne could be thought o a a repreentatve o the eedbac mechanm.

29 Přílad : logtcá rovnce por. Rovnovážný tav

30 Přílad : logtcá rovnce por. Mezní cyly

31 Přílad : logtcá rovnce por. Případ b 4 { co[ co ]}

32 Přílad : podvný atrator Geometrcá hra přílad ytému drétního v čae a potého v protoru náhodným vtupem: náada. Narelíme vrcholy lbovolného troúhelníu a barevně e označíme červená modrá zelená.. Uvntř troúhelníu zvolíme bod náada. 3. Nyní opaovaně házíme hrací otou terá má dvě těny červené modré a zelené. Jetlže padne napřílad červená předeme z atuálního bodu X tavu do nového bodu tředu úečy eíž raní body ou: červený vrchol troúhelníu a atuální bod X. Podobným způobem potupueme padne-l zelená nebo modrá. Otáza:

33 Přílad : podvný atrator por. Evoluce ytému: Na obrázu ou naznačeny prvé dva roy ytému pro náleduící případ:. Náada e umítěna do tředu troúhelnía.. V prvém hodu padne červená a v druhém modrá. Zřemě platí:. Př aždém rou přede atuální bod z bílého troúhelníu do bílého troúhelníu polovční velotí.. Atuální bod onvergue bodu troúhelníu terý e vyznačen černě. 3. Hromadné body traetore ytému tvoří tzv. Serpńého troúhelní.

34 Přílad : podvný atrator por. Dence Serpńého troúhelníu:

35 Přílad 3: tandardní zobrazení Složtý ytém:.97635n π /π Perodcá řešení ou zobrazena uzavřeným řvam různé barvy.

36 Spotý autonomní derencální ytém Fyzální záony e neednoduše a nepřrozeně ormuluí ve tvaru derencálních rovnc. n n n h h R R R X h h : / / lm lm & Spotý derencální ytém lze zíat lmtním přechodem z derenčního ytému terý e drétní v čae a potý v protoru. tavová rovnce tav ytému Staconární body Rovnovážné body

37 Lneární potý ytém Neednodušší případ at at at C e t e e e t C at adt d adt d a dt d a ln & e reálné čílo a e omplení čílo a n co t t e e e t t at ω ω σ ω σ

38 Lneární potý ytém n n n n n n n z z z z z z z z z ATz T A T T z Tz T z R A R A Λ & L & & O & & & & Λ Λ Λ Λ Λ T AT AT T At At At I e e e T Te z Te Tz z e z e e e z At At At t t t t t t n 3 3!! K O Sloupce matce ou vlatní vetory matce neboť platí T A

39 Fázový portrét lneárních ytémů druhého řádu z e z z e z z z e h c e h c t A a a a a t t t t & & & & h h z z < > : z :

40 Portréty ve ázové rovně z uzel: edlo: třed: ohno: < < > > > < < > σ ω σ ω σ ω ω

41 Přílad F t Matematcé yvadlo: m ϕ ϕ l ϕ netablní rovnovážný tav F a t t ma v t g ϕ&& l t lϕ&& nϕ mg nϕ mg ϕ ϕ& poloha úhlová rychlot ϕ π tablní rovnovážný tav & & g n l pop ytému ve tvaru vetorové derencální rovnce prvého řádu

42 Přílad por. Netablní rovnovážný tav Loální lnearzace v rovnovážných tavech: l g l g l g I A l g A l g dt d l g l g det n Stablní rovnovážný tav l g l g l g I A l g A l g l g dt d l g l g l g det n n π π π π π

43 Přílad por. Vetorové pole: Netablní rovnovážný tav Stablní rovnovážný tav

44 Přílad Acelerometr : m b m a ma b m b a m F && & & && & && y a y & & V utáleném tavu: m m b m b m m b I A m b m A a m b m dt d 4 det ± & Zrychlení e úměrné poloze. a

45 Přílad 3 Mohou ry ežrat všechny zaíce? & počet zaíců počet ryů Kdyby zaíc neměl nepřátele: ε ε > Kdyby etoval pouze ryy: & ε ε > Za předpoladu že ží v edné oblat: & & ε ε γ γ rovnovážný tav ε γ ε ε γ ± γ ε ε ε γ

46 Přílad 3 por. Mohou ryy ežrat všechny zaíce?

47 Přílad 4 Sytém generuící chao Lorentz: & σ y y& r y z z& bz y Traetore zůtává v omezené oblat tavového protoru ale není perodcá an neonvergue e taconárnímu bodu.