Příklady z přednášek

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklady z přednášek"

Transkript

1 Příklady z předášek. Normálí rozložeí a rozložeí z ěj odvozeá.7. Příklad: Výledky u přijímacích zkoušek a jitou VŠ jou ormálě rozložey parametry µ 550 bodů, σ 00 bodů. S jakou pravděpodobotí bude mít áhodě vybraý uchazeč apoň 600 bodů? Řešeí: X výledek áhodě vybraého uchazeče, X ~ N(550, 00 ), P(X 600) P(X 600) X µ 600 µ P(X 600) P(X 600) P - P U Φ(0,5) σ σ 00 0,6946 0,3.8. Příklad: Nechť X ~ N(-, 4). Najděte K 0,05 (X). Řešeí: X U ~ N(0,) U K ( X) u u,96 4, 9 X 0,05 0,05 0, Příklad: Najděte a) χ 0,975 (0), b) χ 0,05(3). Řešeí: ad a) χ 0,975 (0) 0,483, ad b) χ 0,05(3) 0,35.4. Příklad: Najděte a) t 0,90 (8), b) t 0,05 (6) Řešeí: ad a) t 0,90 (8),3968, ad b) t 0,05 (6) - t 0,95 (6) -, Příklad: Najděte a) F 0,975 (5,7), b) F 0,05 (8,6) Řešeí: ad a) F 0,975 (5,7) 5,85.5. Příklad: Nechť X ~ t(4). Určete kotatu c tak, aby P ( c < X < c) 0, 9. Řešeí: 0,9 P c t ( c < X < c) Φ( c) Φ( c) Φ( c) [ Φ( c) ] Φ( c) Φ( c) ( 4), 763 0,95 0,95.9. Příklad: Nechť X ~ F(5,8). Najděte kotatu c tak, aby platilo P(X < c) 0,05. Řešeí: 0,05 P( X < c) Φ( c) c F ( 5,8) 4,883 0,05 F0,95 ( 8,5) 0,075 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

2 Příklady z předášek. Slabý záko velkých číel a cetrálí limití věta.6. Příklad: Při výtupí kotrole bylo zjištěo, že mezi 3000 kotrolovaými výrobky je 0 zmetků. Jaká je pravděpodobot, že relativí četot výkytu zmetku e od pravděpodoboti výkytu zmetku eliší o více ež 0,0? Řešeí: Y 3000 počet zmetků mezi kotrolovaými výrobky, Y 3000 ~ Bi(3000, υ), υ Y ϑ( ϑ) Podle Beroulliovy věty dotáváme: ε > 0 : P ϑ < ε. V ašem případě ε 988 ε 0,0, 3000, υ Y, tedy P 0, , ϑ < ,000.. Příklad: 00x ezávile a obě hodíme kotkou. Jaká je pravděpodobot, že šetka pade apoň 0x? Řešeí: Y 00 počet šetek ve 00 hodech, Y 00 ~ Bi(00, /6) 500 ϑ ϑ 00 3,8 > < ϑ < : < < - v pořádku P Y 0 P Y < 0 P Y 9 Ověřeí podmíek dobré aproximace: ( ) 9 ( ) ( ) ( ) 00 Y P Φ 00 ( 0,66) 0, , Příklad: Během zkoušky polehlivoti e přítroj porouchá pravděpodobotí 0,05. Jaká je pravděpodobot, že při zkoušeí 00 přítrojů e jich porouchá právě 5? Řešeí: Y 00 počet porouchaých přítrojů při zkoušeí 00 přítrojů, Y 00 ~ Bi(00, 0,05) Ověřeí podmíek dobré aproximace: 00 >30, ϑ 0,05 < 0, v pořádku P ( Y 5) ( 00 0,05) ! , e e 0,755 5! ,05 0,95 0, 5 Přeý výpočet: P( Y ) 8 00 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

3 Příklady z předášek 3. Základí pojmy matematické tatitiky 3.5. Příklad: 0 krát ezávile a obě byla změřea jitá kotata µ. Výledky měřeí byly:,8,,4,9,,8,3,. Tyto výledky považujeme za číelé realizace áhodého výběru X,..., X 0. Vypočtěte realizaci m výběrového průměru M, realizaci výběrového rozptylu S, realizaci výběrové měrodaté odchylky S a hodoty výběrové ditribučí fukce F 0 (x). Řešeí: m i x i 0 (,8...,) ( x i m) x i m (,8..., 0,06 ) i 0,0404 0,0 i,06 9 0,0404 Pro uaděí výpočtu hodot výběrové ditribučí fukce F 0 (x) upořádáme měřeí podle velikoti:,8,8,9,,,,3,4. x <,8 : F 0 (x) 0,8 x <,9 : F0 (x) 0, 0 3,9 x < : F0 (x) 0,3 0 5 x <,: F0 (x) 0,5 0 7, x <, : F0 (x) 0,7 0 8, x <,3 : F0 (x) 0,8 0 9,3 x <,4 : F0 (x) 0,9 0 x,4 : F (x) 0 3 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

4 Příklady z předášek 3.6. Příklad: U áhodě vybraých aut jité začky bylo zjišťováo jejich táří (áhodá veličia X v letech) a cea (áhodá veličia Y v tiících Kč). Výledky: (5, 85), (4, 03), (6, 70), (5, 8), (5, 89), (5, 98), (6, 66), (6, 95), (, 69), (7, 70), (7, 48). Vypočtěte a iterpretujte číelou realizaci r výběrového koeficietu korelace R. Řešeí: m m i i x y i i i i x y i i ( ) ( ) m m 0 0 5,8 88,63 ( ,8 ),0 ( ,63 ) 970,85 x iyi mm ( ,8 88,63) 40,89 i 0 40,8 r 0,9,0 970,85 Mezi áhodými veličiami X a Y exituje ilá epřímá lieárí závilot. Čím tarší auto, tím ižší cea Pozámka: Typy upořádáí pokuů 4 a) Jedoduché pozorováí b) Dvojé pozorováí - dvouvýběrové porováváí - párové porováváí c) Mohoáobé pozorováí - mohovýběrové porováváí - blokové porováváí ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

5 Příklady z předášek 4. Bodové a itervalové odhady parametrů a parametrických fukcí a úvod do tetováí hypotéz 4.0. Příklad: (Odvozeí itervalu polehlivoti pro tředí hodotu při zámém rozptylu) Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí N(µ,σ ), kde tředí hodotu µ ezáme a rozptyl σ záme. Setrojte 00(-α)% iterval polehlivoti pro ezámou tředí hodotu µ. Řešeí: V tomto případě parametrická fukce h( ϑ ) µ. Netraým odhadem tředí hodoty je výběrový průměr (viz.3.(a)) M X i. Protože M je lieárí kombiací ormálě i rozložeých áhodých veliči, bude mít také ormálí rozložeí e tředí hodotou E(M) σ µ a rozptylem D(M). Pivotovou tatitikou W bude tadardizovaá áhodá veličia M µ U ~ N(0,). Kvatil w α/ u α/ -u -α/, w -α/ u -α/. σ ϑ Ξ : α P(-u -α/ < U < u -α/ ) M µ σ σ P u α / < < u α / P M u α / < µ < M u α /. σ Meze 00(-α)% itervalu polehlivoti pro tředí hodotu µ při zámém rozptylu σ tedy jou: σ σ D M u α /, H M u α /. Při kotrukci jedotraých itervalů polehlivoti e riziko epůlí, tedy 00(-α)% σ levotraý iterval polehlivoti pro µ je M u α, a pravotraý je σ, M u α. Doadíme-li do vzorců pro dolí a horí mez číelou realizaci m výběrového průměru M, dotaeme 00(-α)% empirický iterval polehlivoti Příklad: (Kokrétí aplikace odvozeých vzorců) 0 krát ezávile a obě byla změřea jitá kotata µ. Výledky měřeí byly:,8,,4,9,,8,3,. Tyto výledky považujeme za číelé realizace áhodého výběru X,..., X 0 z rozložeí N(µ, σ ), kde µ ezáme a σ 0,04. Najděte 95% empirický iterval polehlivoti pro µ, a to a) oboutraý, b) levotraý, c) pravotraý. Řešeí: Vypočteme realizaci výběrového průměru: m,06. Riziko α je 0,05. V tabulkách ajdeme kvatil u 0,975,96 pro oboutraý iterval polehlivoti a kvatil u 0,95,64 pro jedotraé itervaly polehlivoti. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

6 Příklady z předášek ad a) d m - σ 0, u-α/,06 -,95,94 0 h m σ 0, t-α/ (-),06,95,8 0,94 < µ <,8 pravděpodobotí apoň 0,95. σ 0, ad b) d m - u-α,06 -,64,96 0,96 < µ pravděpodobotí apoň 0,95. σ 0, ad c) h m u-α,06,64,6 0 µ <,6 pravděpodobotí apoň 0, Příklad: Nechť X,..., X je áhodý výběr z N(µ, σ ), kde σ záme. Jaký muí být miimálí rozah výběru, aby šířka 00(-α)% empirického itervalu polehlivoti pro tředí hodotu µ epřeáhla čílo? Řešeí: σ σ σ Požadujeme, aby h d m u α / (m u α / ) u α /. Z této podmíky 4σ u dotaeme, že této podmíce. α /. Za rozah výběru zvolíme ejmeší přirozeé čílo vyhovující 6 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

7 Příklady z předášek 5. Úvod do tetováí hypotéz 5.. Příklad: Nechť X,..., X 400 je áhodý výběr z N(µ,0,0). Je zámo, že výběrový průměr e realizoval hodotou 0,0. Na hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu H 0 : µ 0 proti pravotraé alterativě H : µ > 0 a) pomocí itervalu polehlivoti b) pomocí kritického oboru c) pomocí p-hodoty. Řešeí: ad a) Při tetováí ulové hypotézy proti pravotraé alterativě používáme levotraý iterval polehlivoti. σ 0, 0, d m u α 0,0 u 0, 95 0,0, , Protože čílo c 0 eleží v itervalu (0,008; ), H 0 zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. ad b) Vypočteme realizaci tetové tatitiky: m c 0,0 0 0,0 0 t 0. σ 0, 0, 400 Staovíme kritický obor: u, u, ) ),64485 ) W α 0, 95, 7 Protože tetová tatitika e realizuje v kritickém oboru, H 0 zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. ad c) Při tetováí ulové hypotézy proti pravotraé alterativě e p-hodota počítá podle vzorce: p P(T 0 t 0 ). V ašem případě: p P( T0 ) Φ( ) 0,9775 0, 075. Protože p-hodota je meší ež hladia výzamoti 0,05, H 0 zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

8 Příklady z předášek 6. Parametrické úlohy o jedom áhodém výběru z ormálího rozložeí 6.3. Příklad: Hmotot balíčku krytalového cukru baleého a automatické lice e řídí ormálím rozložeím e tředí hodotou 00 g a měrodatou odchylkou 8 g. Kotrolor áhodě vybírá 9 balíčků z jedé érie a zjišťuje, zda jejich průměrá hmotot je alepoň 999 g. Pokud e, podik muí zaplatit pokutu Kč. Jaká je pravděpodobot, že podik bude muet zaplatit pokutu? Řešeí: 64 X ~ N(00, 64), M ~ N 00, 9 M P Φ ( M 999) P P U Φ Φ Φ(,5) (,3) 0, , Pravděpodobot, že podik bude platit pokutu, je ai,9% Příklad: 0 krát ezávile a obě byla změřea jitá kotata µ. Výledky měřeí byly:,8,,4,9,,8,3,. Tyto výledky považujeme za číelé realizace áhodého výběru X,..., X 0 z rozložeí N(µ, σ ), kde parametry µ, σ ezáme. Najděte 95% empirický iterval polehlivoti pro µ, a to a) oboutraý, b) levotraý, c) pravotraý. 8 Řešeí: Vypočteme realizaci výběrového průměru: m,06, výběrového rozptylu: 0,0404 a výběrové měrodaté odchylky: 0,0. Riziko α je 0,05. Jde o ituaci popaou v bodě (b), kde využíváme pivotovou tatitiku T, která e řídí Studetovým rozložeím t(9). V tabulkách ajdeme kvatil t 0,975 (9),6 pro oboutraý iterval polehlivoti a kvatil t 0,95 (9),833 pro jedotraé itervaly polehlivoti. 0,0 ad a) d m - t -α/ (-),06 -,6,9 0 0,0 h m t -α/ (-),06,6,0 0,9 < µ <,0 pravděpodobotí apoň 0,95. 0,0 ad b) d m - t -α (-),06 -,833,94 0,94 < µ pravděpodobotí apoň 0,95. 0,0 ad c) h m t -α (-),06,833,8 0 µ <,8 pravděpodobotí apoň 0,95. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

9 Příklady z předášek 6.7. Příklad: Podle údajů a obalu čokolády by její čitá hmotot měla být 5 g. Výrobce dotal ěkolik tížotí od kupujících, ve kterých tvrdili, že hmotot čokolád je ižší ež deklarovaých 5 g. Z tohoto důvodu odděleí kotroly áhodě vybralo 50 čokolád a zjitilo, že jejich průměrá hmotot je g a měrodatá odchylka 8,6 g. Za předpokladu, že hmotot čokolád e řídí ormálím rozložeím, můžeme a hladiě výzamoti 0,0 považovat tížoti kupujících za oprávěé? Řešeí: X,..., X 50 je áhodý výběr z N(µ, σ ). Tetujeme hypotézu H 0 : µ 5 proti levotraé alterativě H : µ < 5. Protože ezáme rozptyl σ, použijeme jedovýběrový t- tet. m c 5 Realizace tetového kritéria t 0, ,6 Kritický obor: W ( t ( ), t ( 49) 50 ( (,, 4044, α 0, 99. Protože e tetová tatitika realizuje v kritickém oboru, zamítáme ulovou hypotézu a hladiě výzamoti 0,0. Stížoti kupujících tedy lze považovat za oprávěé Příklad: Dvěma rozdílými laboratorími metodami e zjišťoval obah chemické látky v roztoku (v procetech). Bylo vybráo 5 vzorků a proměřeo oběma metodami. Výledky měřeí jou obažey v tabulce: čílo vzorku metoda,3,9,,4,6. metoda,4,0,0,3,5 9 Za předpokladu, že data mají ormálí rozložeí, etrojte 90% empirický iterval polehlivoti pro rozdíl tředích hodot výledků obou metod. Řešeí: Přejdeme k rozdílovému áhodému výběru, jehož realizace jou: -0, -0, 0, 0, 0,. Vypočteme m 0,0, 0,0, 0, Předpokládáme, že tato data pocházejí z ormálího rozložeí N(µ, σ ). Vypočteme meze 90% oboutraého itervalu polehlivoti pro µ při ezámém σ: 0, ,09545 d m t α / ( ) 0,0 t 0, 95 ( 4) 0,0,38 0, , ,09545 h m t α / ( ) 0,0 t 0, 95 ( 4) 0,0,38 0, ,0844 < µ < 0,44 pravděpodobotí apoň 0, Příklad: V áledující tabulce jou údaje o výooti doažeé áhodě vybraými firmami při ivetováí do meziárodího podikáí (veličia X) a do domácího podikáí (veličia Y): č.firmy X Y (Výoot je vyjádřea v procetech a předtavuje podíl a ziku vložeých ivetic za rok.) ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

10 Příklady z předášek Za předpokladu, že data pocházejí z dvourozměrého ormálího rozložeí, a hladiě výzamoti 0, tetujte hypotézu, že eexituje rozdíl mezi tředí hodotou výooti ivetic do meziárodího a zahraičího podikáí proti oboutraé alterativě. Tetováí proveďte a) pomocí itervalu polehlivoti b) pomocí kritického oboru. (Pro úporu čau máte uvedey realizace výběrového průměru m, 3 a výběrového rozptylu 4, 78 rozdílového áhodého výběru Z i X i Y i, i,,. Řešeí: Tetujeme H 0 : µ 0 proti H : µ 0 ad a) 90% iterval polehlivoti pro tředí hodotu µ při ezámém rozptylu σ má meze: d m t, 95 4,78 ( ),3,7959, ,78 h m t 0, 95 ( ),3,7959 0, 989 Protože čílo c 0 eleží v itervalu (-,4677; -0,989), H 0 zamítáme a hladiě výzamoti 0,. ad b) m c,3 Vypočítáme realizaci tetové tatitiky t 0, 085 4,78 Staovíme kritický obor, t ( ) t ( ), ) (,,7959,7959, ( ) W 0,95 0, 95 Protože tetová tatitika e realizuje v kritickém oboru, H 0 zamítáme a hladiě výzamoti 0, Parametrické úlohy o dvou ezávilých áhodých výběrech z ormálích rozložeí 7.3. Věta: Vzorce pro meze 00(-α)% empirických itervalů polehlivoti pro parametrické fukce µ - µ a σ / σ a) Iterval polehlivoti pro µ - µ, když σ, σ záme b) Iterval polehlivoti pro µ - µ, když σ, σ ezáme, ale víme, že jou hodé c) Iterval polehlivoti pro polečý ezámý rozptyl σ d) Iterval polehlivoti pro podíl rozptylů σ / σ Upozorěí: Neí-li v 7.3. (b) plě předpoklad o hodě rozptylů, lze etrojit apoň přibližý 00(-α)% iterval polehlivoti pro µ - µ. V tomto případě má tatitika T ( / / ) přibližě rozložeí t( ν ), kde počet tupňů voloti ν ( / ) ( / ) celé čílo, použijeme v tabulkách kvatilů Studetova rozložeí lieárí iterpolaci.. Neí-li ν ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

11 Příklady z předášek 7.4. Příklad: Ve dvou ádržích e zkoumal obah chlóru (v g/l). Z prví ádrže bylo odebráo 5 vzorků, z druhé ádrže 0 vzorků. Byly vypočtey realizace výběrových průměrů a rozptylů: m 34,48, m 35,59,,748,,7. Hodoty zjištěé z odebraých vzorků považujeme za realizace dvou ezávilých áhodých výběrů z rozložeí N(µ, σ ) a N(µ, σ ). Setrojte 95% empirický iterval polehlivoti pro rozdíl tředích hodot µ - µ. Řešeí: Úloha vede a vzorec 7.3. (b). Vypočteme vážeý průměr výběrových rozptylů a ajdeme odpovídající kvatily Studetova rozložeí: ( ) ( ) 4,748 9,7 *, 7384, t 0,975 (33), Doadíme do vzorců pro dolí a horí mez itervalu polehlivoti: d m m * t -α/ ( -) 34,48 35,59 -,7384, ,4 h m m * t -α/ ( -) 34,48 35,59,7384, ,06 Zjitili jme, že -,4 g/l < µ - µ < -0,06 g/l pravděpodobotí apoň 0, Příklad: V příkladu 7.4. yí předpokládáme, že daé dva áhodé výběry pocházejí z rozložeí N(µ, σ ) a N(µ, σ ). Setrojte 95% empirický iterval polehlivoti pro podíl rozptylů. Řešeí: Úloha vede a vzorec 7.3. (d). /,748 /,7,748 /,7 d 0, 8 F (, ) F (4,9) 3,64 -α/ 0,975 /,748 /,7,748 /,7,748 /,7 h, 76 F (, ) F (4,9) / F (9,4) /,707 α/ σ Dotáváme, že 0,8 < σ 0,05 0,975 <,76 pravděpodobotí apoň 0, Příklad: V retauraci "U bílého koíčka" měřili ve 0 případech ča obluhy zákazíka. Výledky v miutách: 6, 8,, 4, 7, 6, 0, 6, 9, 8, 5,, 3, 0, 9, 8, 7,, 0, 5. V retauraci "Zlatý lev" bylo daé pozorováí ukutečěo v 5 případech těmito výledky: 9,, 0, 7, 6, 4, 8, 3, 5, 5, 8, 5, 6, 8,7. Za předpokladu, že uvedeé hodoty pocházejí ze dvou ormálích rozložeí, a hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že tředí hodoty doby obluhy jou v obou retauracích tejé. Řešeí: Na hladiě výzamoti 0,05 tetujeme ulovou hypotézu H 0 : µ - µ 0 proti oboutraé alterativě H : µ µ 0. Je to úloha a dvouvýběrový t-tet. Před provedeím tohoto tetu je však uté pomocí F-tetu ověřit hodu rozptylů. Na hladiě výzamoti 0,05 tedy ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

12 Příklady z předášek tetujeme H 0 : σ σ proti H : σ σ. Nejprve vypočteme m 8,5, m 8,3, 6,307, ( ) ( ) 9 6, ,4 9,4, * 7, ,307 Podle 7.6. (c) vypočteme realizaci tetové tatitiky: t 0 0, ,4 Staovíme kritický obor: W 0,F, F,, 0,F 9,4 F 9,4, ( ) / ( ) ) 0,05( ) 0,95( ) ) ( 4,9) F ( 9,4), ) 0,/,649,8607, ) 0;0,3778,8607, ), ) α / α 0,/ F 0,95 0,95 Protože e tetová tatitika erealizuje v kritickém oboru, ulovou hypotézu ezamítáme a hladiě výzamoti 0,05. Rozptyly tedy můžeme považovat za hodé. Nyí e vrátíme k dvouvýběrovému t-tetu. Podle 7.6. (b) vypočteme realizaci tetové tatitiky: m m c 8,5 8,3 t 0 0,4. * 7, Staovíme kritický obor:, t ( α / ( ) t α / ( ), ), t 0,975 ( 33) t 0, ( 33 ), ) (,,035,035, ) W 975 ( Protože tetová tatitika e erealizuje v kritickém oboru, ulovou hypotézu ezamítáme a hladiě výzamoti 0,05. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

13 Příklady z předášek 8. Parametrické úlohy jedom áhodém výběru a dvou ezávilých áhodých výběrech z alterativích rozložeí 8.3. Příklad: Náhodě bylo vybráo 00 oob a zjištěo, že 34 z ich používá zubí kartáček zahraičí výroby. Najděte 95% aymptotický iterval polehlivoti pro pravděpodobot, že áhodě vybraá ooba používá zubí kartáček zahraičí výroby. Řešeí: Zavedeme áhodé veličiy X,..., X 00, přičemž X i, když i-tá ooba používá zahraičí zubí kartáček a X i 0 jiak, i,..., 00. Tyto áhodé veličiy tvoří áhodý výběr z rozložeí A( ϑ ). 00, m 34/00, α 0,05, u -α/ u 0,975,96. Ověřeí podmíky ϑ (- ϑ ) > 9: parametr ϑ ezáme, muíme ho ahradit výběrovým průměrem. Pak 00.0,34.0,66,44 > 9. 0,34( 0,34) 0,34( 0,34) d 0,34,96 0,47, h 0,34,96 0, S pravděpodobotí přibližě 0,95 tedy 0,47 < ϑ < 0, Příklad: Pravděpodobot vyrobeí zmetku při výrobě určité oučátky čií ϑ 0,0. Bylo áhodě vybráo 000 výrobků a zjitilo e, že mezi imi je 6 zmetků. Na aymptotické hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu H 0 : ϑ 0,0 proti oboutraé alterativě H : ϑ 0,0. 3 Řešeí: Ověřeí podmíky ϑ (- ϑ ) > 9: 000.0,0.0,99 9,9 > 9. 0,06 0,0 Realizace tetového kritéria: t 0, ,0 0, Kritický obor: W (, u 0,975 u 0, 975, ) (,96,96, ),. Protože,907 W, H 0 ezamítáme a aymptotické hladiě výzamoti 0, Příklad: Maagemet upermarketu vyhláil týde lev a ledoval, zda toto vyhlášeí má vliv a podíl větších ákupů (ad 500 Kč). Na základě áhodého výběru 00 zákazíků v týdu bez lev bylo zjištěo 97 velkých ákupů, zatímco v týdu e levou z 300 áhodě vybraých zákazíků učiilo velký ákup 6 zákazíků. Setrojte 95% aymptotický iterval polehlivoti pro rozdíl pravděpodobotí ukutečěí většího ákupu v týdu e levou a v týdu bez levy. Řešeí: Zavedeme áhodou veličiu X i, která bude abývat hodoty, když v týdu bez levy i-tý áhodě vybraý zákazík ukutečí větší ákup a hodoty 0 jiak, i,, 00. Náhodé veličiy X,,, X,00 tvoří áhodý výběr z rozložeí A( ϑ ). Dále zavedeme áhodou veličiu X i, která bude abývat hodoty, když v týdu e levou i-tý áhodě ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

14 Příklady z předášek vybraý zákazík ukutečí větší ákup a hodoty 0 jiak, i,, 300. Náhodé veličiy X,,, X,300 tvoří áhodý výběr z rozložeí A( ϑ ). 00, 300, m 97/00, m 6/300. Ověřeí podmíek ϑ (- ϑ ) > 9 a ϑ (- ϑ ) > 9: Parametry ϑ a ϑ ezáme, ahradíme je odhady m a m. 97.(-97/00) 49,955 > 9, 6.(-6/300) 74,5 > 9. Meze 00(-α)% aymptotického empirického itervalu polehlivoti pro parametrickou fukci ϑ ϑ jou: m( m) m ( m ) d m m u α / h m m ( 00 ) ( 300 m( m) m ( m ) u ),96 0, ( ) ( ) ,96 0, Zjitili jme tedy, že pravděpodobotí přibližě 0,95 0,443 < ϑ ϑ < 0,0343. α / 8.. Příklad: Pro údaje z příkladu 8.8. tetujte a aymptotické hladiě výzamoti 0,05 hypotézu, že týde e levami ezvýší pravděpodobot ukutečěí většího ákupu. Řešeí: Tetujeme hypotézu ϑ ϑ 0 proti levotraé alterativě H : ϑ ϑ < 0 a aymptotické hladiě výzamoti 0,05. 00, 300, m 97/00, m 6/300, m * (97 6)/500 0,58. Podmíky dobré aproximace byly ověřey v příkladu 8.8. Tetováí pomocí itervalu polehlivoti: Pro levotraou alterativu používáme pravotraý iterval polehlivoti: m( m) m ( m ) h m m u α ( ) ( ),645 0, Protože čílo c 0 je obažeo v itervalu ( ;0, 0 hladiě výzamoti 0,05. Tetováí pomocí kritického oboru: Realizace tetového kritéria: m m t 0 m m 0,58 * ( )( ) ( 0,58)( ) * , H 0 ezamítáme a aymptotické,058. Kritický obor je (, u (, u (,, 645 W α 0, 95. Protože tetové kritérium epatří do kritického oboru, H 0 ezamítáme a aymptotické hladiě výzamoti 0,05. Tetováí pomocí p-hodoty: Pro levotraou alterativu e p-hodota počítá podle vzorce p P(T 0 t 0 ): p P( T0,058) Φ(,058) Φ(,058) 0,886 0, 39 Protože p-hodota je větší ež 0,05, H 0 ezamítáme a aymptotické hladiě výzamoti 0,05. 4 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

15 Příklady z předášek 9. Aalýza rozptylu jedoduchého tříděí 9.6. Příklad: U čtyř odrůd brambor (ozačeých ymboly A, B, C, D) e zjišťovala celková hmotot brambor vyrotlých vždy z jedoho tru. Výledky (v kg): odrůda hmotot A 0,9 0,8 0,6 0,9 B,3,0,3 C,3,5,6,,5 D,,,0 Na hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že tředí hodota hmototi tru brambor ezávií a odrůdě. Zamítete-li ulovou hypotézu, zjitěte, které dvojice odrůd e liší a hladiě výzamoti 0,05. Řešeí: Data považujeme za realizace čtyř ezávilých áhodých výběrů ze čtyř ormálích rozložeí e tejým rozptylem. Tetujeme hypotézu, že všechy čtyři tředí hodoty jou tejé. 4, 3, 3 5, 4 3, 5, m. 0,8, m.,, m 3.,4, m 4.,, m..,4, 0,0, 0,03, 3 0,04, 4 0,0, ( ) ( ) ( 3 ) 3 ( 4 ) 4 * 4 3 0,0 0,03 4 0,04 0,0 3 0, SE ( 4) * 0, 3, f E 4 0 S m m m m m m m m A (... ) (... ) 3 ( 3... ) 4 ( 4... ) ( 0,8,4) 3 (,,4) 5 (,4,4) 3 (,,4) 0,86, f r 3 4 S T S A S E 0,86 0,3,6, f T 4 SA / f A 0,86 / 3 Tetová tatitika: FA 9, 97 S / f 0,3/ Kritický obor: F ( 3, ), ) 3,59; ) E E W 0, 95. Protože tetová tatitika e realizuje v kritickém oboru, H 0 zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. A 5 Výledky zapíšeme do tabulky ANOVA: Zdroj variability Součet čtverců Stupě voloti podíl F A kupiy S A 0,86 f A 3 S A /3 0,7 S S reziduálí S E 0,3 f E S E / 0,077 - celkový S T,6 f T A E f f A E 9,97 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

16 Příklady z předášek Nyí pomocí Scheffého metody zjitíme, které dvojice odrůd e liší a hladiě výzamoti 0,05. rovot tředích hodot µ k a µ l zamíteme a hladiě výzamoti α, když M k. M l. S* k l ( r ) F ( r, r) α. Srovávaé odrůdy Rozdíly m k. m l. Pravá traa vzorce A, B 0,4 0,4 A, C 0,6 0,36 A, D 0,3 0,4 B, C 0, 0,40 B, D 0, 0,44 C, D 0,3 0,40 Na hladiě výzamoti 0,05 e liší odrůdy A a C. 0. Neparametrické tety o mediáech 0.3. Jedovýběrový zamékový tet a jeho aymptotická variata 0.4. Příklad: U 0 áhodě vybraých vzorků bezíu byly zjištěy áledující hodoty oktaového číla: 98, 96,8 96,3 99,8 96,9 98,6 95,6 97, 97,7 98,0. Na hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že mediá oktaového číla je 98 proti oboutraé alterativě. 6 Řešeí: rozdíly x i 98: 0, -, -,7,8 -, 0,6 -,4-0,9-0,3 0,0 S Z 3, eulových rozdílů je 9. Ve tatitických tabulkách ajdeme pro 9 a α 0,05 kritické hodoty k, k 8. Protože kritický obor W 0, 8, 9 eobahuje hodotu 3, emůžeme H 0 zamítout a hladiě výzamoti 0, Párový zamékový tet 0.6. Příklad: U omi oob byl změře ytolický kreví tlak před pokuem a po ěm. č. ooby tlak před tlak po Na hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že poku eovliví ytolický kreví tlak Řešeí: rozdíly x i y i : Tetová tatitika S Z.Ve tatitických tabulkách ajdeme pro 8 a α 0,05 kritické hodoty k 0, k 8. Protože kritický obor W 0 8 eobahuje hodotu, emůžeme H0 zamítout a hladiě výzamoti 0,05. Zameá to, že rizikem omylu ejvýše 0,05 je zvýšeí krevího tlaku tejě pravvděpodobé jako jeho pokle. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

17 Příklady z předášek 0.7. Jedovýběrový Wilcoxoův tet a jeho aymptotická variata 0.8. Příklad: Pro zadáí příkladu 0.4. proveďte jedovýběrový Wilcoxoův tet. Řešeí: Abolutí hodoty rozdílů x i 98 etřídíme vzetupě podle velikoti (přitom vyecháme ulový rozdíl a kladé rozdíly začíme tučě): ab (x i 98) 0, 0,3 0,6 0,9,,,7,8,4 pořadí R i Součet pořadí pře kladé hodoty rozdílů: S W Součet pořadí pře záporé hodoty rozdílů: S W - 33 Tetová tatitika mi(,33), tabelovaá kritická hodota pro α 0,05 a a 9 je 5. Protože > 5, H 0 ezamítáme a hladiě výzamoti 0, Párový Wilcoxoův tet 0.0. Příklad: Pro data z příkladu 0.6. proveďte párový Wilcoxoův tet. Řešeí: Abolutí hodoty rozdílů x i y i etřídíme vzetupě podle velikoti (kladé rozdíly začíme tučě): ab (x i y i ) pořadí R i Součet pořadí pře kladé hodoty rozdílů: S W 4 Součet pořadí pře záporé hodoty rozdílů: S W - 3 Tetová tatitika mi(4,3) 4, tabelovaá kritická hodota pro α 0,05 a 8 je 3. Protože 4 > 3, H 0 ezamítáme a hladiě výzamoti 0, Dvouvýběrový Wilcoxoův tet a a jeho aymptotická variata 0.. Příklad: Výrobce určitého výrobku e má rozhodout mezi dvěma dodavateli polotovarů vyrábějících je růzými techologiemi. Rozhodující je procetí obah určité látky.. techologie:,5,57,7,34,68. techologie:,75,67,56,66,7,79,64,55 Na hladiě výzamoti 0,05 pouďte pomocí dvouvýběrového Wilcoxoova tetu, zda je oprávěý předpoklad, že obě techologie pokytují tejé proceto účié látky. Řešeí: up.h.,34,5,55,56,57,64,66,67,68,7,7,75,79 pořadí T , T U / - 7 8, U / - 64 Kritická hodota pro α 0,05, mi(5,8) 5, max(5,8) 8 je 6. Protože mi(8,) >, emůžeme a hladiě výzamoti 0,05 zamítout hypotézu, že obě techologie pokytují tejé proceto účié látky Krukalův Walliův tet 0.4. Příklad: V roce 980 byly zíkáy tři ezávilé výběry obahující údaje o průměrých ročích příjmech (v tiících dolarů) čtyř ociálích kupi ve třech růzých oblatech USA. jiží oblat: pacifická oblat: ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

18 Příklady z předášek everovýchodí oblat: Na hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že příjmy v těchto oblatech e eliší. Zamítete-li ulovou hypotézu, vyšetřete, které dvojice výběrů e od ebe liší a hladiě výzamoti 0,05. Řešeí: Up.hodoty Pořadí.výběru 3 7 Pořadí.výběru Pořadí 3.výběru T, T 9, T 3 7, Q 3 3 0, , χ 0,95 () 5,99. Protože Q < 5,99, H 0 ezamítáme a aymptotické hladiě výzamoti 0,05. Rozdíly mezi průměrými ročími příjmy v uvedeých třech oblatech e eprokázaly Mediáový tet 0.6. Příklad: Pro data z příkladu 0.4. proveďte mediáový tet. Řešeí: Mediá všech hodot je 4,5. V. výběru jou dvě hodoty větší ebo rovy mediáu, ve. výběru hodoty, ve 3. výběru hodoty. QM 4 ( ) 0 4, χ 0,95 () 5,99. Protože Q M < 5,99, H 0 ezamítáme a aymptotické hladiě výzamoti 0, Tetováí ezáviloti omiálích a ordiálích áhodých veliči.6. Příklad: V ociologickém průzkumu byl z uchazečů o tudium a vyokých školách poříze áhodý výběr rozahu 360. Mimo jié e zjišťovala ociálí kupia, ze které uchazeč pochází a typ školy, a kterou e hláí. Výledky jou zazameáy v kotigečí tabulce: Typ školy Sociálí kupia j. I II III IV uiverzití techický ekoomický k Na aymptotické hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu o ezáviloti typu školy a ociálí kupiy. Vypočtěte Cramérův koeficiet. Řešeí: Nejprve vypočteme všech teoretických četotí: , 38,9, ,5, 30,6, ,3, ,3, ,8, ,6, 360 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

19 Příklady z předášek ,5, 30,6, 8,3, 33, Vidíme, že podmíky dobré aproximace jou plěy, všechy teoretické četoti převyšují čílo 5. Nyí doadíme do vzorce pro tetovou tatitiku K: ( 50 35) ( 30 38,9) ( 50 33,6) K Κ 76,84, r 3, 4, χ 0,95(6),6. Protože 35 38,9 33,6 K,6, hypotézu o ezáviloti typu školy a ociálí kupiy zamítáme a aymptotické 76,4 hladiě výzamoti 0,05. Cramérův koeficiet: V 0, 367. Hodota Cramérova 360 koeficietu vědčí o tom, že mezi veličiami X a Y exituje tředě ilá závilot..0. Příklad: U 35 uchazečů o tudium a jitou fakultu byl hodoce dojem, jakým zapůobili a komii u útí přijímací zkoušky. Na aymptotické hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že přijetí a fakultu ezávií a dojmu u přijímací zkoušky. přijetí dojem j. dobrý špatý ao 7 8 e k Řešeí: Ověříme plěí podmíek dobré aproximace: a b 8 > 5, c d 97 > (a c)/3 56/3 8,66 v pořádku Doadíme do zjedodušeého vzorce pro tetovou tatitiku K: ( ad bc) 5 ( ) K 3,6953 a b c d a c b d ( )( )( )( ) Kritický obor: W χ 0, 95 ( ), ) 3,84, ). Protože tetová tatitika e erealizuje k kritickém oboru, ulovou hypotézu ezamítáme a aymptotické hladiě výzamoti 0, Příklad: Pro údaje z příkladu.0. vypočtěte a iterpretujte podíl šací, etrojte aymptotický iterval polehlivoti pro podíl šací a jeho pomocí tetujte hypotézu, že přijetí a fakultu ezávií a dojmu u přijímací zkoušky. Řešeí: ad 7 58 OR,98. Podíl šací ám říká, že uchazeč, který zapůobil a komii bc 39 dobrým dojmem, má ai,3 x větší šaci a přijetí ež uchazeč, který zapůobil špatým dojmem. Provedeme další pomocé výpočty: l OR 0,83, 0,439, u 0,975,96 a b c d Doadíme do vzorců pro meze aymptotického itervalu polehlivoti pro podíl šací: ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

20 Příklady z předášek l d l OR a b c u d α / 0,83 0,439,96 0,08 l h l OR u α / 0,83 0,439,96,69 a b c d Po odlogaritmováí dotaeme: 0,08,69 d e 0,97, h e 5,433 Protože iterval (0,97; 5,433) obahuje čílo, a aymptotické hladiě výzamoti 0,05 ezamítáme hypotézu o ezáviloti dojmu u přijímací zkoušky a přijetí a fakultu..8. Příklad: Dva lékaři hodotili tav edmi pacietů po témž chirurgickém zákroku. Potupovali tak, že ejvyšší pořadí dotal ejtěžší případ. Čílo pacieta Hodoceí. lékaře Hodoceí. lékaře Vypočtěte Spearmaův koeficiet r S a a hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že hodoceí obou lékařů jou pořadově ezávilá. Řešeí: 6 [ ] 0, 857 ( ) ( 4 4) ( ) ( 6 5) ( 5 6) ( 3 ) ( 3) ( 7 7) 7 rs 7 Kritická hodota: r S,0,95 (7) 0,745. Protože 0,857 0,745, ulovou hypotézu zamítáme a hladiě výzamoti 0, Úvod do korelačí aalýzy.8. Příklad: Máme k dipozici výledky tetů ze dvou předmětů zjištěé u omi áhodě vybraých tudetů určitého oboru. Čílo tudeta Počet bodů v. tetu Počet bodů ve. tetu Na hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že výledky obou tetů ejou kladě korelovaé. Řešeí: Nejprve e muíme převědčit, že uvedeé výledky lze považovat za realizace áhodého výběru z dvourozměrého ormálího rozložeí. Lze tak učiit orietačě pomocí dvourozměrého tečkového diagramu. Tečky by měly vytvořit elipovitý obrazec, protože vrtevice hutoty dvourozměrého ormálího rozložeí jou elipy. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

21 Y Y Příklady z předášek Obrázek vědčí o tom, že předpoklad dvourozměré ormality je oprávěý a že mezi počty bodů z. a. tetu bude exitovat určitý tupeň přímé lieárí záviloti. Tetujeme H 0 : ρ 0 proti pravotraé alterativě H : ρ > 0. r 0, Výpočtem zjitíme: r 0,6668, t, 97. V tabulkách r 0,6668 ajdeme t 0,95 (6),943. Kritický obor: W,943; ). Protože t W, hypotézu o eexiteci kladé korelace výledků z. a. tetu zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. X.. Příklad: Pracovík peroálího odděleí určité firmy zkoumá, zda exituje vztah mezi počtem dí abece za rok (veličia Y) a věkem pracovíka (veličia X). Proto áhodě vybral údaje o 0 pracovících. Č.prac X Y Za předpokladu, že uvedeé údaje tvoří číelé realizace áhodého výběru rozahu 0 z dvourozměrého ormálího rozložeí, vypočtěte výběrový korelačí koeficiet a a hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že X a Y jou ezávilé áhodé veličiy. Setrojte 95% aymptotický iterval polehlivoti pro kutečý korelačí koeficiet ρ. Řešeí: Předpoklad o dvourozměré ormalitě dat ověříme orietačě pomocí dvourozměrého tečkového diagramu Vzhled diagramu vědčí o tom, že předpoklad je oprávěý. Tetujeme H 0 : ρ 0 proti H : ρ 0. Vypočítáme r -0,935, tedy mezi věkem pracovíka a počtem dů pracoví echopoti exituje ilá epřímá lieárí závilot. Realizace tetové W,,306,306,. tatitiky: t -7,3053, kvatil t 0,975 (8),306, kritický obor ( ) Jelikož X t W, zamítáme a hladiě výzamoti 0,05 hypotézu o ezáviloti veliči X a Y. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

22 Příklady z předášek r 0,935 Vypočítáme z l l, 677. Meze 95% aymptotického itervalu r 0,935 polehlivoti pro ρ jou přibližě 0,95.,96 tgh,677 ±, tedy -0,984 < ρ < -0,7336 pravděpodobotí 7.3. Příklad: U 600 vzorků rudy byl taove obah železa dvěma aalytickými metodami výběrovým koeficietem korelace 0,85. V literatuře e uvádí, že koeficiet korelace těchto dvou metod má být 0,9. Na aymptotické hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu H 0 : ρ 0,9 proti H : ρ 0,9. Řešeí: 0,85 0,9 0,9 z l,56, u,56 l ,976, u 0,85 0,9 ( 600 ) 0,975 W,,96,96,. Protože u W, H 0 zamítáme a aymptotické hladiě,96, ( ) výzamoti 0, Příklad: Lékařký výzkum e zabýval ledováím kocetrací látek A a B v moči pacietů trpících určitou ledviovou chorobou. U 00 zdravých jediců čiil výběrový korelačí koeficiet mezi kocetracemi obou látek 0,65 a u 4 oob trpících zmíěou chorobou byl 0,37. Na aymptotické hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že korelačí koeficiety v obou kupiách e eliší. Řešeí: 0,65 * 0,37 0,7753 0,3884 z l 0,7753, z l 0,3884, u, 94, u 0,975 0,65 0,37,96, (,,96,96, ) W. Protože u W, H 0 zamítáme a aymptotické hladiě výzamoti 0, Jedoduchá lieárí regree 3.8. Příklad: U šeti obchodíků byla zjišťováa poptávka po určitém druhu zboží loi (veličia X - v kuech) a leto (veličia Y - v kuech). čílo. obchodíka poptávka loi (X) poptávka leto (Y) a) Orietačě ověřte předpoklad, že data pocházejí z dvourozměrého ormálího rozložeí. Vypočtěte výběrový koeficiet korelace mezi X a Y, iterpretujte jeho hodotu a a hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že X a Y jou ezávilé áhodé veličiy. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

23 Y Příklady z předášek b) Předpokládejte, že závilot letoší poptávky a loňké lze vytihout regreí přímkou. Setavte regreí matici, vypočtěte odhady regreích parametrů a apište rovici regreí přímky. Iterpretujte parametry regreí přímky. c) Najděte odhad rozptylu, vypočtěte idex determiace a iterpretujte ho. d) Najděte 95% itervaly polehlivoti pro regreí parametry. e) Na hladiě výzamoti 0,05 proveďte celkový F-tet. f) Na hladiě výzamoti 0,05 proveďte dílčí t-tety. g) Vypočtěte regreí odhad letoší poptávky při loňké poptávce 0 kuů. h) Nakrelete dvourozměrý tečkový diagram proložeou regreí přímkou. Řešeí: ad a) Vytvoříme dvourozměrý tečkový diagram proložeou 95% elipou kotatí hutoty pravděpodoboti: X Ze vzhledu diagramu je patré, že předpoklad dvourozměré ormality je oprávěý a že mezi loňkou a letoší poptávkou exituje vcelku ilá přímá lieárí závilot. r 0,97 6 Výpočtem zjitíme: r 0,97, t 8, 695. Kritický obor: r 0,97 (, t α / ( ) t α / ( ), ) (, t 0,975 ( 4) t 0, ( 4), ) (,,7764,7764, ) W 975 Tetová tatitika e realizuje v kritickém oboru, hypotézu o ezáviloti veliči X a Y tedy zamítáme a hladiě výzamoti 0, ' ' ad b) Setavíme regreí matici X Podle vzorce b ( X X) X y zíkáme odhady regreích parametrů. Nejprve vypočítáme matici X X a k í iverzí ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

24 Příklady z předášek matici (X X) - 0, , Dále zíkáme ouči X y a 0,0030 0, , , ,6868 akoec b.. 0,0030 0, ,665 Regreí přímka má tedy rovici y 0,6868,665 x. Zameá to, že při ulové loňké poptávce by letoší poptávka čiila 0,6868 kuů a při zvýšeí loňké poptávky o 0 kuů by e letoší poptávka zvedla o,665 kuů. ad c) Nyí vypočteme vektor regreích odhadů proměé Y (vektor predikce): ŷ Xb (6,0 76,68 89,34 7,34 90,66 39,97). Staovíme vektor reziduí: e y yˆ (3,98-6,68-9,34-7,34 39,34-9,97). Pomocí vektoru reziduí vypočteme reziduálí oučet čtverců: S E e e 345,. S 345, Odhad rozptylu: E 853, 78 p 6. Dále potřebujeme celkový oučet čtverců S T (y m ) (y m ), kde m je loupcový vektor typu x ložeý z průměru m závile proměé veličiy Y. V ašem případě je m 40. Po doazeí do vzorce pro celkový oučet čtverců tedy dotaeme S T (Celkový oučet čtverců lze zíkat také tak, že výběrový rozptyl veličiy Y vyáobíme -: S T ) Regreí oučet čtverců pak je: S R S T S E , 58348,89. SR 58348,89 Idex determiace: ID 0, 944. ST 6800 Zameá to, že variabilita hodot závile proměé veličiy je z 94,4% vyvětlea regreí přímkou. (V případě regreí přímky platí ID r. V ašem případě bylo zjištěo, že r 0,97, tedy ID 0,9447.) 4 ad d) Vypočteme měrodaté chyby odhadů regreích parametrů b 0 a b. Přitom i uvědomíme, že v 00 0,499084, v 0,00007 v 853,78 0, ,644, b 0 00 b v 853,78 0, ,53. Staovíme meze 95% itervalů polehlivoti pro regreí parametry β 0 a β. K tomu louží vzorec b j ± t α / ( p ) b, j 0,. j 95% iterval polehlivoti pro β 0 : b t 4 0,6868,7764 0,644 56, ( ) b 63 ( 4) 0,6868,7764 0, d 0,975 0 h b 0 t 0,975 b 0 0 Zameá to, že -56,63 < β 0 < 58 pravděpodobotí apoň 0,95. 95% iterval polehlivoti pro β : b t 4,665,7764 0,53 0, d 0,975 h b t 0,975 b ( ) b 84 ( 4),665,7764 0,53, 69 Zameá to, že 0,84< β <,69 pravděpodobotí apoň 0,95. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

25 Příklady z předášek ad e) Provedeí celkového F-tetu: a hladiě výzamoti α 0,05 tetujeme H 0 : β 0 proti H : β 0. S / p 58348,89 / Tetová tatitika F R 68, 384 S /( p ) 345,/(6 ), E kritický obor: F ( p, p ), ) F (,4 ), ) 7,7086 ) W α 0, 95,. Protože e tetová tatitika realizuje v kritickém oboru, hypotézu o evýzamoti regreího parametru β (tj. měrice regreí přímky) zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. Výledky tetováí výzamoti modelu jako celku zapíšeme do tabulky ANOVA: zdroj variab. oučet čtverců tupě voloti podíl tatitika F model S R 58348,89 p S R /p58348,89 68,384 reziduálí S E 345, -p- 4 S E /(-p-)853,78 - celkový S T ad f) Provedeí dílčích t-tetů: Na hladiě výzamoti α 0,05 tetujeme H 0 : β 0 0 proti H : β 0 0. b 0 0,6868 Tetová tatitika: t 0 0, 337, 0,644 kritický obor:, t b 0 ( α / ( p ) t α / ( p ), ) (, t 0,975 ( 4) t 0, ( 4), ) (,,7764,7764, ) W 975 Protože e tetová tatitika erealizuje v kritickém oboru, hypotézu o evýzamoti regreího parametru β 0 (tj. pouutí regreí přímky) ezamítáme a hladiě výzamoti 0,05. Ke tejému výledku dopějeme, podíváme-li e a 95% iterval polehlivoti pro β 0. Vypočítali jme, že -56,63 < β 0 < 58 pravděpodobotí apoň 0,95. Protože teto iterval obahuje 0, hypotézu H 0 : β 0 0 ezamítáme a hladiě výzamoti 0,05. Na hladiě výzamoti α 0,05 tetujeme H 0 : β 0 proti H : β 0. b,665 Tetová tatitika: t 8, 7, 0,53 kritický obor:, t b ( α / ( p ) t α / ( p ), ) (, t 0,975 ( 4) t 0, ( 4), ) (,,7764,7764, ) W 975 Protože e tetová tatitika realizuje v kritickém oboru, hypotézu o evýzamoti regreího parametru β (tj. měrice regreí přímky) zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. Ke tejému výledku dopějeme, podíváme-li e a 95% iterval polehlivoti pro β. Vypočítali jme, že 0,84< β <,69 pravděpodobotí apoň 0,95. Protože teto iterval eobahuje 0, hypotézu H 0 : β 0 zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. V případě modelu regreí přímky je dílčí t-tet pro parametr β ekvivaletí celkovým F- tetem... 5 ad g) Regreí odhad pro x 0 dotaeme pouhým doazeím do rovice regreí přímky: ŷ 0,6868, ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

26 Příklady z předášek ad h) Y X 6 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007

Kapitola 3.: Úlohy o jednom náhodném výběru z normálního rozložení

Kapitola 3.: Úlohy o jednom náhodném výběru z normálního rozložení Kapitola 3.: Úlohy o jedom áhodém výběru z ormálího rozložeí Cíl kapitoly Po protudováí této kapitoly budete - zát vlatoti pivotových tatitik odvozeých z áhodého výběru z ormálího rozložeí a budete je

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

,6 32, ,6 29,7 29,2 35,9 32,6 34,7 35,3

,6 32, ,6 29,7 29,2 35,9 32,6 34,7 35,3 Př 7: S 95% polehlivotí odhaděte variabilitu (protředictvím odhadu měrodaté odchylky) a tředí hodotu obahu vitamíu C u rajčat. Záte-li výledky rozboru 0-ti vzorků rajčat: 3 4 5 6 7 8 9 0 9,6 3,4 30 3,6

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Kapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech

Kapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech Kapitola 6 : Neparametrické testy o mediáech Cíl kapitoly Po prostudováí této kapitoly budete umět - provádět testy hypotéz o mediáu jedoho spojitého rozložeí - hodotit shodu dvou ezávislých áhodých výběrů

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Matematická statistika I přednášky

Matematická statistika I přednášky Statitika (004) - Kába, Svatošová Cvičeí ze tatitiky - Prášilová, Svatošová Matematická tatitika I předášky SAS (Statitical Aalyi Sytem) - tatitický oftware (v dalším emetru) Základí tatitické pojmy -

Více

Odhady a testy hypotéz o regresních přímkách

Odhady a testy hypotéz o regresních přímkách Lekce 3 Odhad a tet hpotéz o regreích přímkách Ve druhé lekc jme kotruoval kofdečí terval a formuloval tet hpotéz o korelačím koefcetu Korelačí koefcet je metrckou charaktertkou tezt závlot, u které ezáleží

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

7 VYUŽITÍ METOD OPERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DOPRAVY

7 VYUŽITÍ METOD OPERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DOPRAVY 7 VYUŽITÍ METOD OERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DORAVY Operačí aalýza jao jeda z oblatí apliovaé matematiy achází vé široé uplatěí v průmylových a eoomicých apliacích. Jedím z oborů, ve teré hraje ezatupitelou

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

BIOSTATISTIKY A ANALÝZ

BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Tety hypotéz - úvod Statitika v průzkumém tudiu Prováděí odhadů Tety hypotéz Cílová populace Závěr? Reprezetativot? Vzorek Závěr? Iterpretace POPIS Ověřeí Výledek OTÁZKY Elemetárí prvky tatitických tetů

Více

Vztahy mezi základním souborem a výběry. Základní pojmy a symboly. K čemu to je dobré? Výběrové metody zkoumání

Vztahy mezi základním souborem a výběry. Základní pojmy a symboly. K čemu to je dobré? Výběrové metody zkoumání K čemu to je dobé? Obvyklým případem při zpacováí homadých jevů je, že máme poměě malý počet pozoováí ějaké veličiy a chceme učiit závěy o tom, co bychom obdželi, kdybychom měli pozoováí mohokát více.

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Téma 4: Výběrová šetření

Téma 4: Výběrová šetření Výběrová šetřeí Téma : Výběrová šetřeí Předáška Výběrové charaktertky a jejch rozděleí Výzam a druhy výběrového šetřeí tattcké šetřeí úplé vyčerpávající eúplé výběrové výběrové šetřeí aha o to aby výběrový

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

stavební obzor 1 2/2014 11

stavební obzor 1 2/2014 11 tavebí obzor /04 Exploratorí aalýza výběrového ouboru dat pevoti drátobetou v tlau Ig. Daiel PIESZKA Ig. Iva KOLOŠ, Ph.D. doc. Ig. Karel KUBEČKA, Ph.D. VŠB-TU Otrava Faulta tavebí Věrohodé vyhodoceí experimetálích

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

} kvantitativní znaky

} kvantitativní znaky Měřeí tattcké závlot, korelace, regree Obecé prcpy závlot vzájemá ouvlot měřeých zaků Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. fukčí závlot x tattcká závlot átroje pro měřeí závlot leár rí regree korelace }

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 3 Verze 3 je shodná s původní Směrnicí 1/2011 verze 2, za čl. 2.3 je vložen nový odstavec

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 3 Verze 3 je shodná s původní Směrnicí 1/2011 verze 2, za čl. 2.3 je vložen nový odstavec Směrice /0 Statitické vyhodocováí dat, verze 3 Verze 3 e hodá ůvodí Směricí /0 verze, za čl..3 e vlože ový odtavec. Statitické metody ro zkoušeí zůobiloti Statitická aalýza oužívaá ro aalýzu výledků zkoušky

Více

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Kvantily. Problems on statistics.nb 1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a

Více

Soustava momentů. k s. Je-li tedy ve vzorci obecného momentu s = 1, získáme vzorec aritmetického průměru.

Soustava momentů. k s. Je-li tedy ve vzorci obecného momentu s = 1, získáme vzorec aritmetického průměru. Soutava mometů Momety (Obecé, cetrálí a ormovaé) Do ytému mometových charatert patří ty ejdůležtější artmetcý průměr (mometová míra úrově) a rozptyl (mometová úroveň varablty). Obecý momet -tého tupě:

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI 8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI a ke tudiu kapitoly: 30 iut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete ut: charakterizovat další typy pojitých rozdleí:, Studetovo, Ficher- Sedocorovo - - Výklad:

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Z mých cvičení dostalo jedničku 6 studentů, dvojku 8 studentů, trojku 16 studentů a čtyřku nebo omluveno 10 studentů.

Z mých cvičení dostalo jedničku 6 studentů, dvojku 8 studentů, trojku 16 studentů a čtyřku nebo omluveno 10 studentů. 1. Příklad Hodíme 60krát šestistěou hrací kostkou. Jedotlivé stěy padly v ásledujícím poměru: 7:9:10:6:15:13. Proveďte test a 5% hladiě výzamosti, zda je kostka v pořádku. H 0 : π 1 = 1/6, π = 1/6, π 3

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Teováí hypoéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Teováí hypoéz Teováí hypoéz Nechť je áhodá proměá, kerá má diribučí fukci Fx, ϑ. Předpokládejme, že záme var diribučí fukce víme jaké má rozděleí a ezáme

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

Příklady k přednášce 3 - Póly, nuly a odezvy

Příklady k přednášce 3 - Póly, nuly a odezvy Příklady k předášce 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 06 9--6 Schurův doplěk - odvozeí Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Obecě ( + l) ( + l) ( + l) ( + m) ( + m) ( + m) I 0

Více

Zá k l a d y k v a n t i t a t i v n í g e n e t i k y

Zá k l a d y k v a n t i t a t i v n í g e n e t i k y Virtuálí vět geetiky 1 Základy kvatitativí geetiky Zá k l a d y k v a t i t a t i v í g e e t i k y Doud byly základí geetické procey (přeo geetické iformace) ledováy a zacích a vlatotech dikrétími hodotami

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I.

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I. Lieárí a adaptiví zpracováí dat 8. Modely časových řad I. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více