Vztahy mezi základním souborem a výběry. Základní pojmy a symboly. K čemu to je dobré? Výběrové metody zkoumání

Transkript

1 K čemu to je dobé? Obvyklým případem při zpacováí homadých jevů je, že máme poměě malý počet pozoováí ějaké veličiy a chceme učiit závěy o tom, co bychom obdželi, kdybychom měli pozoováí mohokát více. Z069 Statitické metody a zpacováí dat IV. Odhady paametů Cílem je ukázat: ) Jaké vlatoti má mít (áhodý) výbě ) Jaké vlatoti (ozděleí) mají výběové tatitiky 3) Jak lze odhadout paamety základího oubou ze oubou výběového Výběové metody zkoumáí Základí oubo (populace) a jeho paamety Výběový oubo a jeho tatitiky Odhadováí jako základ tatitického uuzováí Používáme tatitickou idukci - uuzujeme z čáti (výbě) a celek (základí oubo). Z výběu povádíme úudky (odhady) kutečých hodot paametů základího oubou To i můžeme dovolit pokud má výběový oubo tejé vlatoti jako oubo základí (je epezetativí) Toho doáheme áhodým výběem Odhad ezámých paametů základího oubou povádíme: ) a základě tatitických chaakteitik výběu. ) a základě jitých předpokladů o jejich ozděleí Jaké jou důvody, poč pacujeme výběovými ouboy? Vztahy mezi základím ouboem a výběy Základí pojmy a ymboly tohle ezáme a poto to odhadujeme Dva způoby odhadu paametů základího oubou bodový odhad itevalový odhad Odhady paametů základího oubou: ˆ ˆ Nejčatěji odhadujeme tředí hodotu a ozptyl základího oubou K odhadováí potřebujeme pozatky o teoetických ozděleích Odhady paametů základího oubou z výběu povádíme učitou pavděpodobotí (přeotí, polehlivotí)

2 Bodový odhad paametů základího oubou Je to odhad paametu základího oubou (tředí hodoty, ozptylu) z výběového oubou pomocí jedé hodoty. Bodový odhad aitmetického půměu základího oubou Bodový odhad paametů základího oubou Bodový odhad měodaté odchylky základího oubou Učuje e z odchylek jedotlivých pvků od výběového půměu. Po - tupňů voloti platí: ˆ i i ˆ i ( i ) Půmě výběového oubou je ezkeleým odhadem tředí hodoty (půměu) základího oubou Směodatá odchylka (ozptyl) výběového oubou eí ezkeleým odhadem měodaté odchylky (ozptylu) základího oubou Stupě voloti Máme odhad aitmetického půměu a platí áledující výaz: K učeí hodoty ˆ tzv. tupňů voloti i i lze tedy využít pouze (-) ezávilých čleů Odhadem půměu ztácíme jede ezávilý poku Příklad: půmě vypočteý ze tří měřeí je 5 ˆ dvě áhodá (ezávilá) měřeí budou 4 a 5 i zbývající třetí měřeí muí být 6, aby byl půmě ove 5, tedy eí ezávilé (pozámka) ( i ) Bodový odhad paametů základího oubou Směodatá odchylka základího oubou Směodatá odchylka výběového oubou Po malá (<30) bychom měli. výběovou měodatou odchylku počítat podle výše uvedeého vzoce. Bodový odhad je odhad jedím čílem. Nevíme jak je toto čílo přeé či polehlivé. Výhodější je odhad pomocí itevalu, kteý bude vyokou pavděpodobotí obahovat ezámý paamet. Pomocí výběového půměu kotuujeme iteval uvitř kteého e kutečá hodota populačího půměu achází vyokou pavděpodobotí Itevalový odhad, itevaly polehlivoti Itevaly polehlivoti Z vlatotí omálího ozděleí lze pomocí hodoty aitmetického půměu a áobků měodaté odchylky učit meze, kteé vyjadřují pavděpodoboti, imiž daé hodoty leží v učitém itevalu Vitří iteval vymezeý jitým áobkem měodaté odchylky e ozačuje jako iteval polehlivoti. Odchylky od půměu, kteé e acházejí uvitř tohoto itevalu ozačujeme jako odchylky příputé, evýzamé. Aalogicky jou defiováy odchylky výzamé. Meze polehlivoti dále vymezují tzv. kitický obo (oblat zamítutí) a oblat přijetí.

3 Itevaly polehlivoti Šířku itevalu polehlivoti volíme podle povahy poblému a závií také a ozahu áhodého výběu. Nejčatěji používaé itevaly: Náobky Oblat přijetí Oblat zamítutí, % 5 %, % % 3,9 99,9% 0, % Itepetace itevalů polehlivoti: 95 % iteval polehlivoti taoveý a základě áhodého výběu zahe pavděpodobotí 95 % kutečou hodotu odhadovaého paametu. Itevalový odhad paametů základího oubou Na ozdíl od bodového odhadu zde učujeme iteval, v ěmž e zadaou pavděpodobotí leží odhadovaý ezámý paamet. Itevalový odhad e liší podle ozahu oubou a také podle toho, jaké paamety záme. Dále budeme začit: q, q - kají hodoty itevalu polehlivoti meze polehlivoti hladia výzamoti - pavděpodobot, že kutečý paamet základího oubou eí z itevalu polehlivoti. (-) hladia polehlivoti (polehlivot odhadu) předtavuje pavděpodobot, že kutečý paamet základího oubou e achází uvitř itevalu polehlivoti. Itevalový odhad dvoutaý P( q q) Itevalový odhad jedotaý zdola ohaičeý P( q ) (-) / / (-) Itepetace: Pavděpodobot, že paamet základího oubou e achází mezi hodotami q, q je (-) Itepetace: Pavděpodobot, že paamet základího oubou má větší hodotu ež q, je (-) Itevalový odhad jedotaý hoa ohaičeý P( q) (-) Itepetace: Pavděpodobot, že paamet základího oubou má meší hodotu ež q, je (-) Itevalový odhad paametu ( > 30) Itevalový odhad lze obecě zapat: po velké ozahy výběu P( q ) q Pokud záme hodotu hodoty q, q lze učit takto: z q z q + z je přílušý kvatil omovaého omálího ozděleí (lze ho ajít v tabulkách či vypočítat) je tzv. měodatá chyba odhadu půměu (viz pozámky) měodatá odchylka základího oubou ozah výběu hladia výzamoti

4 Itevalový odhad paametu ( > 30) q z Pokud ezáme hodotu hodoty q, q lze učit takto: po velké ozahy výběu q + z měodatá odchylka výběového oubou Itevalový odhad paametu ( > 30) po velké ozahy výběu Výše uvedeá eovice je plěa pavděpodoboti (-): P[ z aalogicky při ezámém P[ z < < + z < < + z ] ] Itevalový odhad paametu lze potom zapat: Výaz (delta) z e ozačuje jako příputá chyba z < < + z Itevalový odhad paametu lze jedoduše zapat jako ± Příklad (/): Učete 95% iteval polehlivoti po půměou ávštěvot ekeačího tředika, když po áhodý výbě 00 ávštěvíků je půměá délka pobytu, de a ozptyl délky pobytu všech ávštěvíků je 0,36 00, 0,36 0,6 0,05 Z tabulek kvatilů omovaého omálího ozděleí učíme hodotu z po 0,05: z z z, 96 0,05 0,975 Příklad (/): Vypočítáme haice itevalu polehlivoti: q 0,6,,96 00 z q 0,6, +, z Výledý itevalový odhad lze zapat:,084,376 P(,084,376) 0,95 Můžeme tvdit, že pavděpodobotí 95% (a hladiě výzamoti 0,05) e půměá délka pobytu všech ávštěvíků ekeačího tředika pohybuje v itevalu <,084;,376> dále vypočítáme haice itevalu polehlivoti Čato užívaé itevalové odhady paametu Itevalový odhad paametu ( < 30) po malé ozahy výběu 0, 0,05 0,0 P[,645 < < +,645 ] 90% P[,96 < < +,96 ] 95% P[,576 < < +,576 ] 99% V případě výběů malého ozahu je uté ahadit hodotu jitého kvatilu omovaého omálího ozděleí (z) kitickou hodotou t- ozděleí po ν tupňů voloti. Pokud tedy záme hodotu ozptylu potom po kají hodoty itevalu polehlivoti q, q dotáváme: q t q + t ;( ) ;( ) Pokud ezáme hodotu ozptylu potom použijeme k jeho odhadu výběové hodoty : q t ;( ) q + t ;( )

5 Itevalové odhady řešeí v pogamu Statitica Itevalový odhad paametu základího oubou Předpokládáme, že základí oubo má omálí ozděleí. Itevalový odhad bude mít obecý tva: P( q q ) Itevalový odhad e opíá o pozatek ozděleí výběového ozptylu, že totiž áhodá veličia ( ) má ozděleí ν tupi voloti. Hodoty q, q učujeme pomocí odhaduté hodoty z výběového oubou: ( ) ( ) q q ;( ) ;( ) Ze tatitických tabulek či využitím vhodého tatitického pogamu potřebujeme učit kitické hodoty ozděleí po (-) tupňů voloti Itevalový odhad paametu základího oubou Itevalový odhad paametu lze potom zapat: ( ) P ( ) < < ] [ ;( ) ;( ) Odmocěím zíkáme výaz po itevalový odhad měodaté odchylky základího oubou. Řešeí v pogamu Statitica: Příklad: Po výběový oubo měřeí výšky vodí hladiy byla zjištěa hodota ozptylu 0,64. Učete itevalový odhad ozptylu po hladiu polehlivoti 0,90 ( ) P ( ) < < ] [ ;( ) ;( ) Učeí ozahu áhodého výběu Potřebujeme ho k tomu, abychom z výběu odhadli ezámý půmě předem zvoleou přeotí tedy aby měl iteval polehlivoti požadovaou šířku. Rozah vypočteme ze vztahu po výpočet tzv. příputé chyby (delta), kteá je poloviou požadovaé šířky itevalu polehlivoti. ± z z čehož po platí: z Učeí ozahu áhodého výběu Příklad: Z áhodého výběu 60-ti zákazíků hypemaketu jme jme zjitili jejich půměý věk 8 oků. Za předpokladu, že záme měodatou odchylku všech zákazíků (9 oků) učete: ,05 a) 95 % iteval po půměý věk všech zákazíků ( 8, ,96 60 ( 5,7 30,3) 9 ) 60 b) potřebujeme, aby 95 % iteval byl pouze plu miu oky. Jak velký výbě je zapotřebí? Předpokládáme, že příputá chyba je z 9,96 Výbě by muel obahovat 78 zákazíků 8,8 78

6 Základí děleí způobů výběu Je-li pavděpodobot každého čleu základího oubou, že bude zařaze do výběu, tejá, potom hovoříme o áhodém výběu potý áhodý výbě výbě opakováím ep. bez opakováí výbě oblatí (typický, tatifikovaý) výbě ytematický (mechaický) výbě vícetupňový výbě záměý (ubjektiví e áhodý) Pozámky Techiky loováí a geeováí áhodých číel k zajištěí požadavku áhodoti výběu Základí děleí způobů výběu Výběová ozděleí Z jitého základího oubou můžeme učiit ěkolik áhodých výběů jejich tatitické chaakteitiky budou odlišé jou áhodými poměými. Příklad ytematického, áhodého a tatifikovaého áhodého výběu Výběové metody ouvií teoií odhadu Půmě výběových půměů ( )/ i i Výběový půmě a výběové ozděleí půměů V případě velkého ozahu základího oubou omálím ozděleím a paamety, platí, že ozděleí výběových půměů je také omálí paamety: Směodatá odchylka výběových půměů půmě kde je počet výběů. i ( i ) měodatá odchylka / Směodatá odchylka ozděleí výběových půměů je meší ež měodatá odchylka základího oubou a to tím meší, čím větší je ozah výběu.

7 Rozptyl výběových půměů ( ) i a tedy měodatá odchylka výběového půměu: / (pozámka) Vlatoti paametů výběového ozděleí půměů Závilot tvau ozděleí (a také hodot ozptylu a měodaté odchylky) a ozahu výběu < < 3 < 4 Bez ohledu a tva původího ozděleí e ozděleí výběového půměu blíží k omálímu ozděleí po ozah výběu jdoucí do ekoeča. Rozděleí velkého počtu takových výběových půměů bude tedy užší ež původí ozděleí a bude mít tejý třed. Směodatá odchylka výběového ozděleí půměů e azývá měodatá chyba odhadu půměu (ebo též tředí chyba půměu). Vlatoti odhadů ve tatitice Přeot a polehlivot odhadu Odhad muí být kozitetí ozdíl mezi odhadutou a kutečou hodotou e zmešuje ůtem (ozah výběu). Odhad má být ezkeleý (evychýleý) - všechy odchylky odhadu od kutečé hodoty e kompezují (aopak odhad vychýleý). Odhad má být vydatý vydatou je chaakteitika, jejíž ozptyl je ze všech možých výběů ejmeší Odhad ezámých paametů základího oubou povádíme jitou přeotí a polehlivotí. Přeot odhadu je dáa áobkem měodaté chyby odhadu (tj. šířkou itevalu polehlivoti) Spolehlivot odhadu je učea pavděpodobotí, e kteou je možé učitý odhad považovat za pávý. Po učeí přeoti a polehlivoti je utá zalot ozděleí výběových chaakteitik. Po > 30 e výběové ozděleí obvykle považuje za omálí. Jiá teoetická ozděleí e používají u malých výběů.