Téma 4: Výběrová šetření

Transkript

1 Výběrová šetřeí Téma : Výběrová šetřeí Předáška Výběrové charaktertky a jejch rozděleí Výzam a druhy výběrového šetřeí tattcké šetřeí úplé vyčerpávající eúplé výběrové výběrové šetřeí aha o to aby výběrový oubor dobře reprezetoval základí oubor potom je možé zobect pozatky z výběrového ouboru a celý základí oubor výběr áhodý pravděpodobotí záměrý ejjedodušší áhodý výběr je tzv. protý áhodý výběr tj. přímý výběr kde každá jedotka má tejou pravděpodobot výběru výběr opakováím vraceím a bez opakováí bez vraceí je-l / N 5 ebo základí oubor je ekoečý hypotetcký považuje e požadavek a ezávlot za plěý jedoduché a ložeé výběry techka áhodého výběru Výběrové charaktertky a jejch rozděleí Mějme základí oubor o rozahu N jedotek zajímá á zak apř. objem pva v lahv. Ze základího ouboru vybereme jedotek. Výběr každé jedotky můžeme považovat za áhodý poku. Zkoumaý zak je vlatě áhodá velča která je popáa buď pravděpodobotí fukcí ebo fukcí hutoty pravděpodobot. Rozděleí pravděpodobotí áhodé velčy kterou pozorujeme e azývá tattcký model. U každé jedotky která e dotae do výběrového ouboru zjtíme hodotu zkoumaého zaku x. Tuto hodotu můžeme chápat jako jedu z možých hodot áhodé velčy. Každá z těchto áhodých velč má tejé rozděleí jako zak. Náhodý výběr je tedy poloupotí ezávlých velč e tejým rozděleím. Můžeme ho chápat jako vektor. Kokrétí realzac budeme začt x x x x. Naměřeé hodoty x x x azýváme pozorováí ebo také vtupí emprcká data. Fukce áhodých velč e azývá tattka: T T... T. Výběrové charaktertky jou právě takové tattky: - 7 -

2 Výběrová šetřeí Výběrový úhr M Výběrový průměr Výběrový rozptyl Výběrová měrodatá odchylka Výběrový r-tý cetrálí momet M r r Základí rozptyl z výběru M Výběrový koefcet škmot M A 3 M M Výběrový koefcet špčatot A 3 M 3 3 Všechy tyto charaktertky popujeme jako každou jou áhodou velču hovoříme o rozděleí výběrových charaktertk ebol o výběrových rozděleích. Nejvíce á budou zajímat tředí hodoty a rozptyly: M M. Výběrový úhr Má-l lbovolé rozděleí z ěhož áhodý výběr pochází tředí hodotu a rozptyl tj. a potom platí M a eboť jou ezávlé. Výběrový úhr M má tedy tředí hodotu M M a rozptyl M

3 Výběrová šetřeí Výběrový průměr Má-l lbovolé rozděleí z ěhož áhodý výběr pochází tředí hodotu a rozptyl tj. a potom platí a eboť jou ezávlé. Výběrový průměr má tedy tředí hodotu a rozptyl. Výběrový rozptyl a základí rozptyl z výběru Má-l lbovolé rozděleí z ěhož áhodý výběr pochází tředí hodotu rozptyl a. cetrálí momet tj. platí pro výběrový rozptyl a základí rozptyl z výběru: a 3 a 3. tattka vyjadřuje míru varablty aměřeých hodot a je výběrovým protějškem rozptylu ke kterému př rotoucím koverguje podle pravděpodobot. Př odvozeí budeme vycházet z těchto vztahů: [ ] [ ] [ ] + + [ ] [ ] [ ] + +. využtím těchto vztahů ejprve dokážeme :. + +

4 Výběrová šetřeí Protože lze dál odvodt tedy. Pochází-l áhodý výběr z ormálího rozděleí e tředí hodotou a rozptylem pak a výběrový úhr má ormálí rozděleí parametry M M tj. M ~ N b výběrový průměr má ormálí rozděleí parametry tj. ~ N. Předáška - Odhady charaktertk základího ouboru Úkolem výběrového šetřeí je podat formac o ezámé hodotě charaktertky základího ouboru č o parametrech rozděleí základího ouboru a základě áhodého výběru. Charaktertky základího ouboru azýváme parametry příp. teoretcké charaktertky a začíme je řeckým pímey Θ. Charaktertky áhodého výběru azýváme výběrové charaktertky ebo tattky a začíme je latkým pímey Q.... Bodový odhad parametru Bodovým odhadem parametru Θ rozumíme tattku T T... T jejíž hodoty kolíají kolem Θ. Bodový odhad parametru Θ tedy počívá v jeho ahrazeí jedím čílem bodem; potom píšeme odh Θ Θˆ T x ebo et Θ T a čteme: odhadem etmátorem parametru Θ je tattka T. Př bodovém odhadu hledáme takovou tattku která co ejlépe aproxmuje kutečou hodotu parametru a pokytuje tak ejkvaltější odhad. Na odhady jou proto kladeé požadavky: etraot vydatot a koztece. Netraý odhad tattka T je etraým ezkreleým evychýleým odhadem jetlže platí [ T ] Θ

5 Výběrová šetřeí Teto požadavek vyjadřuje kutečot že použtý bodový odhad kutečou hodotu charaktertky a eadhodocuje a epodhodocuje. [ T ] Θ B T Θ e azývá vychýleí odhadu T. Např. etraým odhadem tředí hodoty je ˆ x protože pro lbovolé rozděleí platí. Aymptotcky etraý odhad Některé odhady jou ce zkreleé ale rotoucím rozahem výběru e jejch zkreleí zmešuje. Je-l T odhad založeý a pozorováích a jetlže platí lm T [ ] Θ pak říkáme že T je aymptotcky etraým odhadem parametru Θ. Např. eí etraým odhadem parametru ale je aymptotcky etraým odhadem eboť platí lm lm. Vydatot odhadu Může atat případ že budeme mít k dpozc více etraých odhadů. Potom dáme předot tattce která má meší rozptyl. V moha obvyklých tuacích lze tattku která má ze všech možých tattk daého typu pokytujících etraý odhad parametru Θ ejmeší rozptyl azvat ejlepším etraým odhadem ebo také vydatým odhadem parametru Θ. Např. pro parametr λ Pooova rozděleí lze alézt etraé odhady: λˆ x rep. ˆ λ protože platí: λ a λ. Lze ale ukázat že < proto také lepším etraým odhadem parametru λ je λˆ x. Koztece odhadu Jetlže e rotoucím rozahem výběru zvětšuje pravděpodobot že bodový odhad T bude blízký hodotě parametru Θ základího ouboru tj. platí-l pro lbovolě malé ε > říkáme že odhad T Θ < ε lm P Θˆ T je koztetí. Potačující podmíka koztece: je-l T etraý odhad ebo alepoň aymptotcky etraý odhad parametru Θ a rozptyl T tohoto odhadu koverguje k ule potom odhad Θˆ T je koztetí

6 Výběrová šetřeí Např. pochází-l áhodý výběr z lbovolého rozděleí e tředí hodotou a rozptylem potom výběrový průměr je koztetím odhadem protože platí: a proto odhad ˆ x je etraý b lm lm tedy koverguje k ule. Přeot odhadu Je-l T tattka pomocí íž provedeme odhad parametru Θ potom přeot tohoto odhadu pouzujeme pomocí tředí kvadratcké chyby M [ T Θ ]... T + B T Θ kde T Θ je výběrová chyba T je rozptyl tattky T B T Θ je čtverec vychýleí odhadu. Je-l T etraým odhadem parametru Θ tj. [ T ] Θ potom B Θ a platí že tředí kvadratcká chyba je rova přímo rozptylu výběrové charaktertky T tj. M T. měrodatá odchylka tattky T je potom tzv. měrodatá tředí chyba odhadu M T T. tředí chyba odhadu eudává velkot výběrové chyby T Θ př odhadu a základě jedoho výběru ale charakterzuje jaká je průměrá výběrová chyba odhadů př všech možých výběrech daého rozahu a za tejých podmíek ze základího ouboru. Např. pro tředí hodotu lbovolého rozděleí platí že odhad ˆ je etraý proto měrodatá chyba odhadu je rova měrodaté odchylce výběrového průměru tj. M. Protože ezáme odhademe měrodatou chybu pomocí výběrové tředí chyby ˆ ˆ. Poz.: opoud jme áhodý výběr začl jako možu áhodých velč a hodoty áhodého výběru jako hodoty těchto velč x x x. Bez újmy a obecot budeme dále používat jtého zjedodušeí ve vyjádřeí áhodého výběru v podobě x x x

7 Výběrová šetřeí Itervalový odhad parametru Itervalový odhad parametru Θ počívá v kotrukc číelého tervalu jehož krají body jou tattky a ve kterém e odhadovaý parametr achází předem zvoleou pravděpodobotí. Mějme áhodý výběr x x x z rozděleí f x Θ. Jou-l T d x x x a T h x x x tattky pro ěž platí P T d < Θ < T * h potom terval T d T h e azývá -% terval polehlvot pro parametr Θ. Čílo je koefcet polehlvot polehlvot čílo azýváme rzko odhadu. Volba koefcetu je ovlvěa dvěma protchůdým požadavky: jedak aby byla doažea co ejvětší polehlvot odhadu avšak také aby terval ebyl přílš šroký. V prax e ejčatěj používá hodota 5. Poz.: Čím je větší polehlvot tím je terval polehlvot šrší tím e ale také žuje přeot - vz dále. Jetl-že pro terval polehlvot odpovídající rovc * platí P Θ Td P Θ Th pak terval T < Θ < T azýváme oboutraým tervalem polehlvot. d h / - / T d Θ T h Někdy je důležté odhadout ezámý parametr pouze hora ebo pouze zdola. Pak uvažujeme jedotraé tervaly polehlvot. Platí-l PΘ < T h - a PΘ T h pak terval Θ < Th azýváme pravotraým tervalem polehlvot. - Θ T h Platí-l PΘ > T d - a PΘ T d pak terval Θ > Td azýváme levotraým tervalem polehlvot. - T d Θ

8 Výběrová šetřeí Itervaly polehlvot pro parametry ormálího rozděleí Nechť áhodý výběr x x x pochází z rozděleí N. Př kotrukc tervalu polehlvot pro ezámý parametr budeme uvažovat že a rozptyl ezáme. Vychází e z věty o ormálím rozděleí a používá e tattka x t která má rozděleí t - tudetovo rozděleí - tup volot. Potom je oboutraý terval polehlvot x t < < x + t pravotraý terval polehlvot levotraý terval polehlvot < x + t > x t. Př kotrukc tervalu polehlvot pro ezámý parametr budeme opět vycházet z toho že tředí hodotu ezáme. Východkem je opět věta o ormálím rozděleí a používá e tattka z která má rozděleí χ Pearoovo χ rozděleí - tup volot. Potom je < < oboutraý terval polehlvot χ χ pravotraý terval polehlvot < χ levotraý terval polehlvot > χ. Itervaly polehlvot pro výběry velkého rozahu Nechť áhodý výběr x x x pochází z lbovolého rozděleí e tředí hodotou a koečým rozptylem. Př kotrukc tervalu polehlvot pro ezámý parametr e vychází z cetrálí lmtí věty. Předpokládáme že tj. dota

9 Výběrová šetřeí tečě velké > 3 př výrazější aymetr ledovaého zaku raděj > a použjeme tattku x u která má aymptotcky rozděleí N. Potom je oboutraý terval polehlvot pravotraý terval polehlvot x u < < x + u < x + u levotraý terval polehlvot > x u. Poz.: výraz u e azývá příputá chyba tředí hodoty a její ouvlot odhadem měrodaté chyby ˆ je vdět a tomto chématu apř. pro dolí odhad: příputá chyba > x u Ŝ Odtud je také zřejmé že pro větší polehlvot má terval tedec e rozšřovat a pro větší aopak zužovat. taoveí velkot výběru Jak velké taovt abychom dot vyokou pravděpodobotí - mohl tvrdt že odchylka výběrového průměru x od tředí hodoty základího ouboru epřekročí taoveou příputou chybu e ado odvodí z pravděpodobot: P. x < u < > u Nemáme-l žádé předběžé měřeí k dpozc potom e doporučuje provét předvýběr výběr o malém rozahu a za předpokladu ormálího rozděleí taovt rozah ze vztahu > t

10 Výběrová šetřeí Předáška - Tetováí hypotéz tattckou hypotézou e rozumí určté tvrzeí o parametrech rozděleí zkoumaé áhodé velčy π λ... o tvaru rozděleí ormálí. Předpokládáme-l apř. že tředí hodota základího ouboru e rová určté kokrétí hodotě vylovl jme hypotézu o parametru základího ouboru. Na základě vyčerpávajícího šetřeí celého základího ouboru by bylo možé bezpečě rozhodout o právot č eprávot hypotézy. Takové vyčerpávající šetřeí je většou eekoomcké ebo techcky eprovedtelé proto podrobíme šetřeí je určtou čát základího ouboru výběrový oubor. Te použjeme pro rozhodutí o právot vyloveé hypotézy. Př tetováí hypotéz formulujeme dvojc tvrzeí H předpoklad který vylovíme o určtém parametru č tvaru rozděleí základího ouboru azývá e ulová hypotéza apř. hypotéza o kokrétí tředí hodotě H: A tvrzeí které popírá vlatot vyloveou v ulové hypotéze azývá e alteratví hypotéza. hodota parametru je já ež oboutraý tet. > hodota parametru je větší ež jedotraý tet 3. < hodota parametru je meší ež jedotraý tet Př tetováí hypotéz e můžeme doputt chybých závěrů eboť úudky jou prováděy pomocí áhodého výběru. kutečot H je pravdvá H je epravdvá úudek o H prav-t prav-t e ezamítá právé rozhodutí e zamítá eprávé rozhodutí chyba I. druhu eprávé rozhodutí chyba II.druhu PII. β PI. právé rozhodutí β Zamíteme-l ulovou hypotézu přetože je ve kutečot pravdvá dopouštíme e chyby I. druhu. Maxmálí pravděpodobot chyby I. druhu ozačujeme hlada výzamot. Čílo vyjadřuje mmálí pravděpodobot jakou ezamíteme právou hypotézu

11 Výběrová šetřeí Přjmeme-l aopak ulovou hypotézu přetože je ve kutečot eprává dopouštíme e chyby II. druhu. Maxmálí pravděpodobot chyby II. druhu ozačujeme β. Čílo β íla tetu vyjadřuje mmálí pravděpodobot jakou zamíteme ulovou hypotézu H platí-l ve kutečot alteratví hypotéza A. Přrozeým požadavkem je aby pravděpodobot obou chyb byly co ejmeší. Př daém rozahu výběru ale vede žováí ke zvyšováí β kol leárě a aopak. Př zvoleém můžeme β ížt pouze zvětšeím rozahu výběru. Fukce hutoty rozděleí pravděpodobotí pro tetovaou hypotézu a alteratvu a také vztah mez pravděpodobotm a β je zobrazeý a áledujícím obrázku: alteratví hypotéza taoveá mez tetovaá hypotéza β -..5 β obor zamítutí tetovaé hypotézy obor přjetí tetovaé hypotézy K tetu hypotézy použjeme vhodou tattku h hx x x tzv. tetové krterum která má př platot hypotézy H zámé pravděpodobotí rozděleí zpravdla t u χ F. Protor hodot této tattky e rozdělí a djuktí obory: W - obor přjetí hypotézy H - moža těch hodot áhodého výběru které vědčí ve propěch hypotézy H W - krtcký obor obor zamítutí hypotézy H - obahuje hodoty áhodého výběru vědčící ve propěch hypotézy A. Např. pro tet hypotézy H: Θ Θ Α: Θ > Θ bude krtcký obor W {x x x ; h hx x x > h P } kde Θ je předpokládaá hodota parametru Θ h je hodota tetového krtéra a h P je tzv. krtcká hodota. Př praktckém tetováí hypotéz budeme krtcký obor zapovat zjedodušeě: W {h h > h P }

12 Výběrová šetřeí Krtcké hodoty jou hrace oddělující krtcký obor a obor přjetí. Jou to zpravdla kvatly rozděleí tetového krtera př platot hypotézy H

13 Výběrová šetřeí Potup př tetováí. Zformulujeme hypotézy H A jako alteratví většou volíme hypotézu kterou chceme ohledem a věcý problém prokázat.. Zvolíme hladu výzamot zpravdla 5 a. 3. Zvolíme vhodé tetové krterum pochoptelě vzhledem k tetovaému parametru ebo tetovaé vlatot.. Vymezíme krtcký obor W ohledem a formulac hypotézy A. 5. Vypočteme hodotu tetového krtera a určíme přílušé kvatly. 6. Zformulujeme závěr: Jetlže hodota tetového krtera pade do krtckého oboru zamíteme hypotézu H a říkáme že pravděpodobotí platí hypotéza A. Rzko eprávot tohoto výroku je %. Jetlže hodota tetového krtera pade do oboru přjetí říkáme že hypotézu H emůžeme a daé hladě výzamot zamítout. Výroku o právot H e vyheme eboť ebudeme určovat pravděpodobot chyby β. Poz: tattcký oftware ve vých výledkových výtupech většou epoužívá krtcké hodoty. Míto ch zde ajdeme tzv. p-hodotu tj. mmálí hladu výzamot př které je možé ještě zamítout hypotézu H ve propěch alteratvy A. Tety hypotéz o parametrech ormálího rozděleí Nechť x x x je áhodý výběr o rozahu z ormálího rozděleí N. Tet hypotézy o tředí hodotě ormálího rozděleí Tetovaým výrokem H je tvrzeí že parametr je rove hodotě : H: x tetové krterum je tattka t která má př platot hypotézy H tudetovo rozděleí t ν ν tup volot ν

14 Výběrová šetřeí Podle alteratví hypotézy volíme áledující krtcké obory: alteratví hypotéza krtcký obor > W { t t t ν } < W { t t t ν } W t t t ν kde t t jou kvatly tudetova rozděleí. Tet hypotézy o rozptylu ormálího rozděleí Tetovaým výrokem H je tvrzeí že parametr je rove hodotě : H: tetové krterum je tattka χ která má př platot hypotézy H Pearoovo rozděleí χ ν ν tup volot. ν. Podle alteratví hypotézy volíme áledující krtcké obory: alteratví hypotéza krtcký obor > W { χ χ χ ν } < W { χ χ χ ν } W χ χ χ ν ebo χ χ ν kde χ χ χ χ jou kvatly Pearoova rozděleí. Tet hypotézy o tředí hodotě pro výběry velkého rozahu Nechť x x x je áhodý výběr o rozahu z lbovolého rozděleí e tředí hodotou je dot velké

15 Výběrová šetřeí Tetovaým výrokem H je tvrzeí že parametr je rove hodotě : H: x tetové krterum je tattka u která má př platot hypotézy H aymptotcky ormálí rozděleí N. Podle alteratví hypotézy volíme áledující krtcké obory: alteratví hypotéza krtcký obor > W { u u u } < W { u u u } W u u u u kde u u jou kvatly rozděleí N. Předáška 3 - vouvýběrové tety Tety hypotéz o parametrech ormálích rozděleí Nechť x x x je áhodý výběr o rozahu z ormálího rozděleí N a y y y je áhodý výběr o rozahu z ormálího rozděleí N. Předpokládejme že áhodé výběry jou ezávlé. Tet hypotézy o hodě rozptylů ormálích rozděleí Tetovaým výrokem H je tvrzeí že parametr je rove hodotě : H: tetové krterum je tattka F která má př platot hypotézy H Fher-edecorovo rozděleí F ν ν ν a ν tup volot ν ν rozptyl druhého výběru. je výběrový rozptyl prvího výběru je výběrový - 6 -

16 Výběrová šetřeí Podle alteratví hypotézy volíme áledující krtcké obory: alteratví hypotéza krtcký obor > W { F F F ν } ν < W { F F ν ν } F W F F F ν ν F F ν ν kde F jou kvatly Fherova-edecorova rozděleí. F F F Tety hypotéz o hodě dvou tředích hodot ormálích rozděleí. za předpokladu hody rozptylů tzv. homokedatcta Tetovaým výrokem H je tvrzeí že parametr je rove parametru : tetové krterum je tattka H: x y t + + kde tattka t má př platot hypotézy H tudetovo rozděleí t ν ν tup volot ν + přčemž x y jou výběrové průměry + a jou výběrové rozptyly zíkaé z prvího rep. druhého výběru. Podle alteratví hypotézy volíme áledující krtcké obory: alteratví hypotéza krtcký obor > W { t t t ν } < W { t t t ν } W t t t ν kde t t jou kvatly tudetova rozděleí

17 Výběrová šetřeí. za předpokladu ehody rozptylů tzv. heterokedatcta Tetovaým výrokem H je opět tvrzeí že parametr je rove parametru : tetové krterum je tattka H: x y t + která má př platot hypotézy H přblžě tudetovo rozděleí t ν ν tup volot: + ν přčemž x y jou výběrové průměry a + rozptyly. Podle alteratví hypotézy volíme áledující krtcké obory: jou výběrové alteratví hypotéza krtcký obor > W { t t t ν } < W { t t t ν } W t t t ν kde t t jou kvatly tudetova rozděleí. Tet hypotézy o hodě dvou tředích hodot a základě velkých výběrů Nechť x x x je áhodý výběr o rozahu z lbovolého rozděleí e tředí hodotou a y y y je áhodý výběr o rozahu z lbovolého rozděleí e tředí hodotou Y. Předpokládejme že áhodé výběry jou ezávlé a rozahy a jou dotatečě velké. Tetovaým výrokem H je tvrzeí že parametr je rove hodotě : H: tetové krterum je tattka x y u

18 Výběrová šetřeí která má př platot hypotézy H aymptotcky ormálí rozděleí N. Podle alteratví hypotézy volíme áledující krtcké obory: alteratví hypotéza krtcký obor > W { u u u } < W { u u u } W u u u kde u u jou kvatly ormovaého ormálího rozděleí N. Párový tet o hodě dvou tředích hodot Uvažujme tuac kdy ve výběru o rozahu polu vždy dvě měřeí určtým způobem ouví apř. a jedom prvku výběru je provedeo měřeí dvakrát za růzých podmíek. To zameá že uvažujeme dvě závlé áhodé velčy a Y e tředím hodotam a Y u kterých á budou zajímat jejch dferece Y. Předpokládejme tedy áhodý výběr d d d kde d x y jou ezávlé dferece mající ormálí rozděleí N kde - eí třeba zát. Tetovaým výrokem H je tvrzeí že parametr je rove hodotě : H: tetové krterum je tattka d t d která má př platot hypotézy H tudetovo rozděleí t ν ν tup volot ν d je průměr dferecí d je jejch výběrová měrodatá odchylka. Podle alteratví hypotézy volíme áledující krtcké obory: alteratví hypotéza krtcký obor > W { t t t ν } < W { t t t ν } W t t t ν kde t t jou kvatly tudetova rozděleí

19 Výběrová šetřeí Předáška - Tety o tvaru rozděleí v základím ouboru χ - tet dobré hody Náhodý výběr x x x roztřídíme do k djuktích tříd přčemž j j k je četot j-té třídy rep. j-té obměy a π j je pravděpodobot že áhodá velča abude hodoty z j-té třídy rep. j-té obměy počítaá za předpokladu že má předpokládaé rozděleí. Východkem pro kotrukc tetového krtera je porováí tattcké pravděpodobot relatví četot j / hypotetckou pravděpodobotí π j. Formulujeme hypotézu a alteratvu: H: áhodá velča má rozděleí určtého typu áhodá velča emá rozděleí určtého typu. Tetové krterum je tattka k j π j χ π j která má za předpokladu právot hypotézy H pro velké aymptotcky Pearoovo χ rozděleí ν k c tup volot kde c je počet odhadovaých parametrů ověřovaého rozděleí. Krtcký obor { χ χ χ ν } W kde χ je kvatl Pearoova rozděleí. ν Poz.: Př praktckém prováděí tetu e požaduje aby ve všech třídách byly teoretcké četot větší ež 5 tj. j π > 5 j... k. Neí-l tato podmíka plěa přtupujeme ke lučováí tříd. j A - tet ormalty O ormálím rozděleí víme že má ulové koefcety škmot a špčatot 3 a. Toho e využívá k ověřeí hypotézy že má ormálí rozděleí. Z výběru e vypočtou odhady obou těchto koefcetů a 3 3 x x x x a 3. 3 Formulujeme hypotézu a alteratvu: H: áhodá velča má ormálí rozděleí áhodá velča emá ormálí rozděleí

20 Výběrová šetřeí Pokud rozděleí je ormálí muí mít oba koefcety ulové. Proto tet rozdělíme a dvě čát:. H: 3 3 Tetové krterum a3 u 3 a 3 6 kde a Krtcký obor W u 3 u3 u kde u je kvatl rozděleí N.. H: Tetové krterum u a a 3 kde a Krtcký obor W u u u kde u je kvatl rozděleí N. Hypotézu o ormaltě ezamítáme tehdy pokud j elze zamítout oběma tety zároveň. Užtí A-tetu e doporučuje pro dotatečě velké výběry alepoň > 5 lépe >. C - tet ormalty Pro tetováí ormalty je možé využít zámý pozatek že oučet k čtverců ezávlých ormovaých ormálích velč má Pearoovo rozděleí k tup volot. Formulujeme hypotézu a alteratvu: H: áhodá velča má ormálí rozděleí áhodá velča emá ormálí rozděleí. Tetové krterum C + u 3 u kde u u 3 jou tattky defovaé v A - tetu ormalty. Krtcký obor { C C } W kde χ je kvatl Pearoova rozděleí. χ