Řešení úloh celostátního kola 48. ročníku fyzikální olympiády. Autořiúloh:J.Jírů(1),P.Šedivý(2)aKvant(3,4)

Transkript

1 Řešení úloh celosáního kola 48. ročníku fyzikální olympiády. Auořiúloh:J.Jírů(),P.Šedivý()aKvan(3,4). a) Zvolme souřadnicovou osu x procházející oběma hmonými body a s počákem vboděsnábojem Q.Pakelekrickýpoenciálnaspojniciobounábojůvbodě osouřadnici xje ϕ=k Q x + k nq r x. () Hledáme maximum éo funkce splňující podmínku 0 < x < r. Provedeme derivaci podle x: ( ) dϕ dx = kq n x + (r x). Zpodmínkynulovéhodnoyderivaceplyne x = r n+. (Nulová hodnoa derivace je ekvivalenní podmínce nulové inenziy elekrického pole, kerou je možné při řešení použí jako podmínku výchozí míso derivování poenciálu,známe-livzah E x= dϕ dx ). Dosazením x=x dorovnice()dosaneme ϕ max= kq r (+ n). (Žesejednáomaximum,jezřejmézoho,želim ϕ=lim ϕ=.) x 0 x r Číselněvychází x =0,309r=0,068m, ϕ max= 47kV. 4body b) Ze zákona zachování energie plyne pro liminí kineickou energii urychleného elekronu E k = eϕ max.klasickyplaí m0v = e k Q r (+ n), v= (+ e k Q n) =(+ ke Q n) m 0 r m. 0r Podle eorie relaiviy je splněna rovnice m 0c = e k Q r (+ n). v c Zrovniceplyne v= c m ( 0c 4 m 0c + e k Q ). r (+ n) Číselněvycházípodleklasickéfyziky v=4, m s,podleeorierelaiviy v=0,854c=, m s. Skuečnosiprodanéčíselnéhodnoyodpovídá pouze relaivisický výsledek. 6bodů

2 . a) Poloměry rajekorií jsou r = vt p =,75 09 m=0,0au, r = vt p =8,00 09 m=0,053au, bod b) Graviační síly, kerými na sebe obě složky dvojhvězdy vzájemně působí, se uplaňují jako síly dosředivé. Plaí κ m m κ m m 4p (r + r ) = m 4p T r, (r + r ) = m T r. Vydělíme-liprvnírovnici m,druhourovnici m aoběrovnicesečeme,dosaneme κ(m + m ) (r + r ) = 4p T (r+ r), m + m = 4p κ T (r + r ) 3 = T pκ (v+ v)3 =8, kg. m Dále plaí = r = v. Zoho m r v v m =(m + m ) = T v + v pκ v(v+ v) =7, kg=3,7m, v m =(m + m ) = T v + v pκ v(v+ v) =, kg=0,8m. c) Graviační síly vzájemného působení mají velikos 4body F= κ mm vv(v+ v) (r + r ) = =8,3 0 κ 30 N. bod d) OběsložkyAlgolusesřídavěpřibližujíkZemiavzdalujíodZemě.Promeně hmonou složku Algolu je maximální rychlos vzdalování a maximální rychlos přibližování v = v + v c+ v zcos β. =37km/s v = v v c+ v zcos β. =9km/s. V prvním případě se v důsledku Dopplerova jevu změří maximální vlnová délka spekrální čáry ( ) λ c+v = λ 0 c v λ 0 + v =767,0nm, c V druhém případě je změřená vlnová délka minimální a má hodnou ( ) λ c v = λ 0 c+v λ 0 v =765,9nm. c 4body

3 3.a) Veschémauvyznačímeveličiny i, u L a u D,kerénászajímají (obr.r).při zvolené orienaci plaí u L= L di di d d = ul L. L i D + U u L S u D U a Obr. R Sepnuímspínačenazačákučasovéhoinervalu τ rozdělímecelýobvodnadva samosané okruhy. Souče napěí v každém z nich je nulový. V levém okruhu plaí u L U=0 u L= U, di d = U =kons >0, L proudcívkouedyzpočáečnínulovéhodnoyrovnoměrněporoseavčase =τ dosáhnehodnoy I max,prokerouplaí i = Imax = U I τ L max= Uτ L =0,050A. Vpravémokruhuběhemčasovéhoinervalu τ plaí u D+ U a=0 u D= U a <0. Diodajeedyvinervalu τ zapojenavzávěrnémsměruaproudvpravémokruhu je nulový. 3body Vokamžikurozpojeníspínačenazačákučasovéhoinervalu τ seproudcívkou nepřeruší, ale pronikne do diody, kerá se dosane do propusného savu, a napěí naníbudenulové.celézapojenísezměnínajedinýokruh,vekerémplaí u L+ u D+ U a U= u L+ U a U=0 u L= U U a=kons <0. Napěí na cívce má opačný směr než procházející proud, kerý se bude z počáeční hodnoy I maxzmenšovapodlevzahu i = i Imax = U Ua L i=i max Ua U L (měřímeodzačákuinervalu τ ).Proudklesnenanuluzadobu τ ImaxL 3= U a U = U U a U τ=0,0074s<τ. Vezbývajícímčasedokonceinervalu τ přejdediodadozávěrnéhosavu,cívkou přesaneprocházeproudanapěínaniklesnenanulu.napěínadioděsenaopak změníznulyna U U a= 7V. 5bodů b) Nabíjecíproudprocházídoakumuláorujenvčasovéminervalu τ 3ajehovelikos selineárnězmenšujezi maxnanulu.zauodobuprojdedoakumuláorunáboj 3

4 Q= Imaxτ3 U = τ L(U a U). Sřední hodnoa nabíjecího proudu je i ma 50 I sř = Q U = τ τ + τ L(U a U)(τ + τ =8,9mA. ) body u LV 0 0 7,4 0 ms 5 7 ms u DV 7 τ 3 τ τ ms Obr. R 4

5 4.a) Zvolmevzažnousousavupodleobr.R3aoznačme αúhel,kerýsvíráúsečka OA sezápornoupoloosou y.poodrženíodkolakonákapkavrhšikmodolůspočáeční rychlosíovelikosi v 0= Rωaselevačnímúhlem α,kerýpopisujíparamerické rovnice x= Rsin α+v 0cos α, () y= Rcos α v 0sin α g. () body Vokamžikudopaduplaí x=0, y= H. Podosazenído()a()dosaneme = Rg α v 0 = g α ω, (3) Rcos α Rg αsin α gg α ω = H. (4) Úpravou(4)dojdemekekvadraickérovnici(g+ω H)cos α ω Rcos α g=0. Úloze vyhovuje kladný kořen cos α= ω R+ ω 4 R + g +ghω g+ω. H Dobu leu pak vypočíáme dosazením do(3). Prodanéhodnoyvychází cos α=0,6034, α=5,9, =0,64s. 5bodů Jiný způsob výpoču doby leu kapky: Pohyb kapky probíhá jako pohyb složený zrovnoměrnéhopřímočaréhopohyburychlosí v 0avolnéhopádu.Zobr.R4plyne R + v 0 + g = H. g Úpravou dojdeme k rovnici 4 4 (ω R + gh) + H R =0. Úlozevyhovujekořen = ( ) g ω R + gh R ω 4 R +ω gh+ g, neboťdobaleukapkyjejisěmenšíneždobavolnéhopáduzvýšky H,keráje H/g. b) Velikos v d rychlosidopaduurčímeužiímzákonazachováníenergie: mv d= mv 0+ mg(h Rcos α) Zoho v d = v 0 +g(h Rcos α)= ω R +g(h Rcos α)=7,4m s. Vodorovná složka rychlosi kapky se během vrhu nemění. Proo v 0cos α=v d cos β cos β= v0cos α v d =0,468, β=65,4. 3body 5

6 y ω y R A α v0 O α B β v H x Obr. R3 Obr. R4 A R α O α v0 B g H x 6