3 Metody. 3.1 Historie Tradiční morfometrika 9

Transkript

1 1 Obsah 1 Obsah Úvod Metody Historie Tradiční morfometrika Revoluce v geometrické morfometrice Přístupy založené na landmarcích Landmarkové metody Souřadnicové metody Euclidean distance matrix analysis Rao and Suryawanshi Vizualizace a grafické znázornění výsledků landmarkových přístupů Transformation grids Finite element scaling analysis FESA Bioorthogonal grids Hlavní problémy landmarkových přístupů Přístupy nezávislé na landmarcích Outlineové metody Shape factors Moments Skeletons and medial axis transform Semilandmarky Polar coordinates Curvatures Complexity Analysis of Outline Data Problémy outlineových metod Jak si vybrat správnou metodu? Závěr Přehled použité literatury

2 2 Úvod Geometrická morfometrika (nebo také morfometrie) se zajímá studiem tvaru biologických objektů. Aplikuje statistické metody na porovnávání tvaru. Účelem je zjistit, v jakém místě se tvar vyznačuje největší variabilitou, což vede posléze k úvahám dalších vědních disciplín, které zkoumají, proč tomu tak je, nebo jak by se zjištěné výsledky daly využít. Biologie se zabývá tvarem už celá staletí, klasifikace organismů je založena i na morfologii. Teprve v 19. století se ale objevila snaha tvar kvantifikovat, porovnávat jej na základě dat, která nám umožní být objektivnější. To vedlo ke vzniku geometrické morfometriky, která zpočátku jen sbírala data měřením různých parametrů objektů. Těžko ale porovnávat tvar, který se scvrknul do množiny dat (obvykle vzdáleností) a informace o tvaru byla ztracena. Ve 20. století přišel přelom metody, které zachovávaly tvar objektu a možnosti jejich zpracování novými metodami statistiky. A právě o těchto metodách pojednává má seminární práce. V současnosti bohužel nejsou dostupné materiály, které by pojednávaly o geometrické morfometrice v českém jazyce. V důsledku toho neexistuje ani české názvosloví, které čeká na své vytvoření. Musela jsem tedy použít většinu termínů v anglickém jazyce, v opačném případě by se ztratila návaznost na původní texty. 2

3 3 Metody 3.1 Historie Tradiční morfometrika 9 Tradiční morfometrika, nazývaná i multivariate morphometric 9, začala aplikovat multivarietní statistiku na množinu proměnných, získanných měřením objektu. Obvykle se zpracovávaly lineární vzdálenosti, ale užíval se i součet, podíl (procento, koeficient), úhel. Takto se statisticky porovnávaly odchylky a jejich tendence, vzhledem k nějakému vzoru. Tyto metody přinášely řadu problémů. Měřené vzdálenosti nebyly zcela jasně definované, tedy se měřila například maximální délka objektu, což není úplně ideální, maximální délky mohou dosáhnout různé body, které si fylogeneticky nemusí vůbec odpovídat. Měření může dát pro jiné tvary stejné hodnoty měření, neboť místo měření je relativní (např. tvar elipsy a kapkovitý tvar mohu mít stejnou maximální šířku i délku a přesto jde o tvar na první pohled zcela odlišný). Navíc nelze tvar odvodit zpětně, výsledkem je množina čísel, jež odpovídají vzdálenostem, obvykle uspořádané do matice, ze které je nemožné vykreslit původní tvar. Předmět zkoumání tvar objektu je tedy měřením ztracen. Měřené velikosti samozřejmě souvisí s velikostí zkoumaného vzorku, abychom dokázali porovnat tvar, musíme eliminovat právě vliv velikosti. Tedy byly vyvinuty metody na korekci velikosti. Což přineslo mnoho problémů, neboť jejich nejednotné užití dávalo různé výsledky Revoluce v geometrické morfometrice V 80. letech se pozornost obrací k metodám zpracování dat, která už nejsou ve středu zájmu. Navíc byly zdokonaleny statistické metody. Důraz se klade na možnost zpětné vizualizace. Objevují se nejen landmarky (přesně definovatelné body), což zpřesnilo měření, způsobilo lepší možnosti porovnání, ale i outlineové metody (definující tvar jako funkci) a práce se systémem souřadnic. Zkoumané objekty často převádíme do počítače, obvykle pomocí fotografie nebo videa. 3

4 Některé metody pracují se souřadnicemi bodů, v tom případě se užijí souřadnice pixelů obrázku vzniklého v počítači. 3.2 Přístupy založené na landmarcích 9,8 Landmark je specifický bod na objektu (např. špička zubu), vybraný dle určitého pravidla. Landmarky jsou biologicky definované (a matematicky významné, právě je pokládáme za základ našich měření). Důležitá je možnost je lokalizovat opakovaně. Pozice těchto landmarků budeme porovnávat na jednotlivých objektech měření. Lze tedy říci, že landmarky jsou významné body, které se nalézají na všech měřených objektech a jež můžeme snadno nalézt (když budete porovnávat tvar různých trojúhelníků, také budete vycházet z pozice vrcholu a nevyberete si libovolný bod někde na straně toho trojúhelníku). Landmarků rozeznáváme 3 typy: 1. K jeho určení potřebujeme nejvíce informací. Je biologicky zdůvodnitelný, lokalizujeme ho právě na biologickém (a nikoli matematickém) základě, může se nacházet kdekoli. Často citovaným příkladem je spojení tří lebečních kostí. 2. Je založen na matematickém základě. Je dán tvarem křivky tvaru, leží v jejích extrémech (např. tvoří li křivka tvaru parabolu, bude ležet v jejím vrcholu). 3. Není dokonale určitelný. Leží v extrému tvaru (ne křivky). Je (na rozdíl od typu 1 a 2) částečně závislý na orientaci. Příkladem jsou hraniční body nejdelší naměřené vnitřní vzdálenosti. Nejsou plně zaměnitelné s landmarky ostatních typů, říká se jim také semilandmarky. Sice je můžeme použít jako landmarky, ale musíme mít neustále na paměti, že jejich užití může způsobit chyby ve výsledku Landmarkové metody Většina landmarkových metod přiřadí landmarkům souřadnice, jež poté různými způsoby vyhodnocuje. Přiřazení souřadnic s sebou ale nese jisté problémy objekty získají pozici a orientaci, již je nutno upravit, mohou být zrcadlově převrácené, a zároveň je zde stále problém s velikostí, takže musely být vyvinuty metody na potlačení těchto deformací. Jiné metody se snaží tyto problémy obejít a staví na vzdálenostech landmarků, případně na úhlech v objektu. 4

5 Souřadnicové metody Souřadnice přináší možnosti je dále statisticky zpracovávat, umožňují přímou vizualizaci objektu, což je jedna z jejich nesporných výhod. Nicméně, aby se daly hodnotit, je potřeba je nejprve jednotně upravit, redukovat ne tvarové diference (otočení, velikost). Tento problém řeší Prokrustova superimpozice (Procrustes superimposition). Procrustes superimposition 9 = Generalized Procrustes analysis (GPA) = Generalized least squares (GLS) Metoda, jež se snaží odstranit výše uvedené problémy, jako proměnná zde slouží součet druhých mocnin vzdáleností sobě odpovídajících si landmarků. Užívá se následující postup: 1) centroid (landmark lokalizovaný uvnitř objektu) objektu je posunut do centroidu vzoru 2) objekt je opatřen měřítkem 3) objekt je rotován tak, aby vzdálenosti odpovídajících landmarků umocněné na druhou a sečtené dávaly co nejmenší číslo. Tento postup se opakuje, až získáme nejlepší možné měřítko a rotaci objektu, který tak upravíme a poté můžeme aplikovat nějakou další metodu. Rozdíly mezi zkoumanými objekty můžeme také vyjádřit pomocí Prokrustovské vzdálenosti. Provnáme dva objekty upravené Prokrustovou superimpozicí, sečteme vzdálenosti jejich ekvivalentních landmarků umocněné na druhou a to celé odmocníme (= uděláme druhou odmocninu součtu druhých mocnin vzdáleností ekvivalentních landmarků) 9, tedy pro vzdálenosti ladnmarků a je Procrusovská vzdálenost l rovna: l= k 2 a n n=1 GRF = generalized resistant fit 9, Tato metoda se použije, jestliže je velká variabilita vázána jen na několik málo landmarků, neboť na tento případ je GPA velmi citlivá. GRF nevyužívá druhých mocnin vzdáleností jako GPA, nýbrž jako proměnnou bere median. Rotační úhel a měřítko se spočítají jako median mediánů rotačních úhlů/vzdáleností ekvivalentních landmarků a posunutí je určeno mediánem souřadnic landmarků. Oproti GPA, GRF nevede k další statistické analýze. 9 Po takovémto překrytí, jako proměnné ve statistické analýzy můžeme užít rozdíly v souřadnicích korespondujícíh landmarků. Nebo přichází v úvahu metoda thin plate spline (viz níže), a následně pomocí partial warp scores, relative warp analysis 9 5

6 Euclidean distance matrix analysis Myšlenka porovnávat vzdálenosti landmarků vzešla z kraniometrie ( soustava metod k měření jednotlivých částí lebky ) 12. Euclidean distance matrix analysis (EDMA), již navrhli Lele and Richtsmeier, je založena na porovnávání matic vzdáleností párů landmarků daného organismu. Pro měřený objekt se určí landmarky, změří se jejich vzájemné vzdálenosti a ty se vepíší do matice tzv. Form matrix. Geometrické vztahy jsou uchovány v matici, protože ta obsahuje vzdálenosti všech dvojic landmarků průměrné populace. Při zkoumání 2 objektů se vytvoří jejich matice podle stejných pravidel a jsou navzájem porovnávány. Vytvoříme poměr vzdáleností odpovídajích si landmarků a jestliže je shodný konstantní, jedná se o tvarově shodné organismy, jež se liší pouze velikostí. Pokud tvarově shodné nejsou, získáme tak landmark/y, jež vykazuje nejvyšší proměnlivost. Zhodnocení Tato metoda má ovšem řadu nevýhod: Výskedkem EDMA je matice plná vzdáleností landmarků, což znamená, že jsme přišli o informace o vzájemné poloze landmarků. Tu lze díky uskutečněným měřením zpětně rekonstruovat, což ne vždy je snadno uskutečnitelné. Dalším důsledkem užití právě matice je fakt, že výsledky jsou velmi obtížně představitelné, nelze je snadno vizualizovat. Řešením je právě rekonstrukce pozice landmarků, se kterými se dále pracuje pomocí souřadnicových metod (viz dále). Je ke zpracování ve statistice ne úplně vhodná. Nejlépe funguje, pokud jsou vzdálenosti landmarků velmi podobné, blíží se rovnosti. Ne li vznikají v odhadu tvaru chyby. A má samozřejmě chyby, které se netýkají jen jí, ale landmarkových přístupů obecně: Není zachována žádná informace vztahující se k zakřivení objektu mimo landmarky Vzdálenosti landmarků jsou závislé na rozdílné velikosti, takže se musí užívat některé metody jež upraví měřítko objektu a učiní ho porovnatelným. Ale má i výhody spočívající ve faktu, že se jedná o ne souřadnicovou metodu. Vzdálenosti jsou nezávislé na zvolené soustavě souřadnic, při rotaci a translaci objektu se nemění a při porovnávání dvou objektů se nemusí převádět. Navíc jsou nezávislé na eventuální převrácenosti objektů. A při vzdálenostech blížících se extrémům jsou její výsledky srovnatelné s výslekdy Procrustes superimposition. Užití interlandmarkových vzdáleností 6 Vzdálenosti jednotlivých landmarkůs a informace z nich získané mohou být využity ve fenetice (způsob klasifikace živých organismů, založený na morfologické podobnosti, nebere v úvahu evoluční vztahy). Měření vzdálenosti se dá ale zpracovat a využít i v kladistice (způsob klasifikace živých organismů, který kopíruje přirozené vztahy skupin, jednotlivé skupiny odvozuje podle nově vytvořených znaků posledního společného prapředka, který mají všichni jeho potomci, ne však druhy mimo dotyčnou skupinu) 3, ta se užívá se především v evoluční biologii. (Kladistická analýza vybere nějaké znaky a 6

7 zkoumanou skupinu podle nich srovnává. Výsledkem je známý evoluční strom. Tento postup se opakuje, pokud nám pro jiný soubor znaků vyjde stejný strom, zřejmě je utvořen správně. Kladistické pojetí se příliš nesrovnává s tradiční biologickou taxonomií, vyjde například, že latimerie je příbuznější člověku naž kaprovi, což bourá celé tradiční pojetí ) Rao and Suryawanshi 9 Rao a Suryawanshi (1998) se pokusili odstranit problém měřítka. Měřený objekt se rozdělí na trojúhelníky, jejichž vrcholy jsou tvořeny landmarky, a změří se jejich vnitřní úhly. Dva z nich se užijí (ten třetí lze snadno dopočítat) a následně se porovnávají úhly různých objektů. Tato metoda, pracující s podobností trojúhelníků je ovšem problematická z hlediska výběru úhlů existuje více možností, jak vybrat právě ty dva, s nimiž se počítá, tedy výsledky různých měření mohou být obtížně porovnatelné Vizualizace a grafické znázornění výsledků landmarkových přístupů Transformation grids Metoda, jež vychází ze souřadnicové mřížky. Obvykle se pracuje s 2D objektem, neboť třetí rozměr už lze jen velmi těžko zobrazit na papír (a papír je stále ještě nejčastěji užívané médium). Objekt se upraví dle GPA. Zkoumaným objektem se proloží pravoúhlá mřížka souřadnic. Objekt i s mřížkou se pak tvaruje dle nějakého vzoru, dokud se neshodují. Dochází k deformaci mřížky a právě tato deformace vypovídá o tvarové změně objektu. Tuto metodu publikoval v roce 1915 D Arcy Wentworth Thomson ve svém díle On Growth and Form (O růstu a formě). Tato metoda znamenala velký převrat v dějinách geometrické morfometriky, neboť oproti ostatním přístupům objekty neporovnávala, ale deformovala. Vycházel z přesvědčení, že...proměnlivost forem v přírodě je určitým způsobem uspořádána a ovlivňována více či méně jednoduchou a poznatelnou soustavou usměrňujících sil a že složité tvary organizmů lze převést na jednoduchý systém pravoúhlých souřadnic I jeho metoda ale měla své nedostatky. Především body, z nichž vycházel při deformaci mřížky, nebyly nijak biologicky zdůvodnitelné, pokud by se při opakování pokusu rozhodl pro jiné body, nemohl rozhodnout, který výsledek je ten správný. Za druhé, jeho výsledky nebyly kvantitativně popsatelné, výsledkem byla deformovaná mřížka, jíž nebylo možno ani porovnávat, ani statisticky zpracovat (mimochodem statistické metody na své zdokonalení také ještě čekaly) Myšlenku transformace mřížky rozvinul Frederic Bookstein v roce Metodu nazýváme thin plate spline metoda ohebných pásků. Objektem se proloží mřížka a jsou určeny souřadnice landmarků (pomocí osy x a y). Totéž se udělá u cílového objektu, do nějž budeme ten první deformovat (souřadnice x a y ). Nyní si v třírozměrném prostoru proložíme soustavu souřadnic [x; y; z] a zakreslíme: 7

8 1) do roviny určené osami x a y zakreslíme landmarky objektu (souřadnice [x; y; 0]) 2) nyní přiřadíme zakresleným landmarkům třetí souřadnici z. Ta je číselně rovna hodnotě x' (tedy hodnotě souřadnice bodů cílového objektu). Získáme body o souřadnicích [x;y;x ] 3) výslednými landmarky [x; y; x ] proložíme thin plate spline již deformovanou mřížku pomocí ní lze určit změnu souřadnic pro každý uzel mřížky (již jsme proložili na začátku postupu) 4) výsledkem je množina vektorů, jež nám udávají posunutí uzlů mřížky původního objektu ve směru osy x (Ilustrace 1,3). Postup opakujeme pro souřadnici y na osu z naneseme souřadnice y a proces se opakuje. Získáme dvojici thin plate spline. Zjistíme, jak posunout uzly mřížky ve směru obou os. Tak nám vznikne mřížka deformovaná v obou směrech. Tu můžeme dále statisticky zpracovávat a zároveň je výsledek snadno čitelný, obrázek lze snadno interpretovat. Teď máme tzv. Transformation grid. 8

9 Ilustrace 1 6 : Konstrukce thin plate spline; a) souřadnice landmarků jsou zakresleny do roviny dané osami x a y; b) zakreslíme hodnoty x' a vzniklými body [x;y;x'] proložíme novou mřížku Tvarovou variabilitu objektu nyní můžeme popsat pomocí deformace mřížky. S popisem mřížky souvisí pojem tzv. Bending energy deformační energie. Macholán 10 k ní říká:... Představa je založena na konfiguraci bodů umístěných na nekonečně velké nekonečně tenké ploché kovové desce, kterou je nutno různým ohýbáním 9

10 deformovat tak, aby bylo dosaženo žádoucího posunu jednotlivých bodů; deformační energie potom představuje idealizovanou energi, kterou je nutno vynaložit k těmto tvarovým změnám její velikost je tudíž inverzně úměrná rozsahu ohybu: čím je deformace lokalizovanější, tím je energie vyšší a naopak; extrémním případem je afinní změna tvaru, kdy je deformační energie nulová (deska ja nakloněna, nikoli ohnuta) Vypočteme matici bending energy (získáme ji umocněním souřadnice landmarků původního objektu, vynásobením velikostí posunutí ve směru osy x a přičteme tento postup zopakovaný pro souřadnici y). Z ní spočteme velikosti eigenvectors vektory vypočtené ze matice bending energy (lineární kombinace nejvýznačnějších proměnných této matice). Algebraicky jim odpovídají partial warps jsou interpretací tvarových změn. Z nich můžeme spočítat partial warp scores jedná se o kvantitativní vyjádření partial warps. Jejich důležitou vlastností je, že je můžeme užít jako proměnnou ve statistickém zpracování. Nový přístup k tomuto zpracování přinesla relative warp analysis v devadesátých letech. Kritika Neboť pracujeme se souřadnicvými mřížkami, je třeba zachovat jejich jednotný systém, kvůli možnosti porovnat výsledky různých měření. Různé mřížky mohou dávat mírně odlišné výsledky. Avšak přestože užíváme souřadnice bodů, ve výsledku na nich nejsme závislí, což patří k výhodám tohoto přístupu. Na druhou stranu je třeba říci, že je třeba užít metodu pro úpravu velikosti (např. Procrustovu superimpozici). Neocenitelnou výhodou je ovšem grafický výstup, který je velmi blízký našemu vnímání Finite element scaling analysis FESA FESA (popsali ji Lew and Lewis 1977) zkoumá směr a velikost deformace, jež vznikne při transformaci jednoho tvaru do druhého. Objekt se rozdělí na části, obvykle na trojúhelníky (v 2D nebo na tetraedry v 3D prostoru), jejichž vrcholy jsou tvořeny landmarky. Každému trojúhelníku se vepíše kružnice. Pak jej deformujeme (spolu s jeho vepsanou kružnicí) do odpovídajícího trojúhelníku v jiném objektu. Z kružnice se stane elipsa a její hlavní a vedlejší osa a jejich směr určují tvarovou deformaci směr os určí směr největší a nejmenší tvarové deformace a jejich délka ukazuje relativní rozsah těchto deformací (Ilustrace 2,3). Ilustrace 2 13 : Transformace trojúhleníku a jemu vepsané kružnice. Po zakreslení poloos vzniklé elipsy je vidět hlavní tvarová deformace 10

11 Kritika Hlavním nedostatkem je dělení objektu na porovnávané části (trojúhelníky) pokud jsou zvoleny jinak, výsledky mohou být diametrálně odlišné, různé tvary inklinují k různým výsledkům. Na druhou stranu je metoda nezávislá na soustavě souřadnic a nezabývá se pohybem landmarků jako ostatní metody Bioorthogonal grids Řešení vyjádření deformací vnitřních bodů struktury, navržené roku 1978 Booksteinem, bylo nazváno bioorthogonal grids. Cílem bylo vytvořit vhodné grafické vyjádření deformací vnitřních bodů. Roku 1993 jej O Higgins a Dryden aplikovali na deformace získané metoudou thin plate spline. Rozdělili objekt na malé trojúhelníky. U prvního z nich spočítali metodou thin plate spline největší deformaci. Zakreslili velikost a směr deformace a postup opakovali pro další trojúhelník. Vytvořili největší deformace všech trojúhelníků a stejně spočítali deformace nejmenší. Výsledkem je bioorthogonal grid (Ilustrace 3). Nevýhodou je mírná deformace vnitřních bodů vzniklá během procedury. Výhodou je grafické zpracování. 11

12 Ilustrace 3 6 : Transformace samičí lebky gorily na samčí: a) Cartesian transformation grid; b) Finite element analysis (kříže znázonují osy vepsaných elips); c) bioorthogonal grid Hlavní problémy landmarkových přístupů Hlavním problémem landmarkových metod je sama definice landmarku, jak najít landmarky korespondující např. mezi odlišnými živočišnými druhy (u nichž nám záleží 12

13 např. na porovnání vývoje určitého znaku). Uplatnit můžeme hledisko fylogenetické, funkční, snažit se vyjádřit vliv okolností... Další nevýhodou je fakt, že landmarky nic neříkají o tvaru objektu mezi nimi. Je li tvar objektu význačný právě v oblasti mimo landmarky, je třeba najít semilandmark a tak si pomoci. Problémem je, že lokalizace semilandmarků (viz níže) je ještě těžší než lokalizace landmarků. Navíc s nimi nelze pracovat jako s landmarky, je třeba mít na paměti, že jsou zdůvodnitelné spíše matematicky než biologicky. Užití Jak už bylo řečeno, landmarkové metody mohou být základem pro fenetiku, kladistiku, pomáhají při biogeografii, fylogenezi (i historii např. vývoj člověka), lékařství (např. rozeznávání malformací buněk), radiografických (metody užívající ionizující záření ke zkoumání objektu, aniž by byl narušen 9 ) a biomechanických studiích (např. srovnání křídel ptáků a netopýrů). Všude tam, kde je třeba analyzovat rozdíly tvaru. Data pak slouží k dalšímu zpracování např. hledání důvodu transformací objektů, což už je ale předmětem zkoumání jiných vědních disciplín. 3.3 Přístupy nezávislé na landmarcích Pakliže nejsou k dispozici vhodné landmarky (napkřídlad u...buňky, listů, hmyzích křídel... 6 ) nebo se struktura objektu mění v prostoru mezi nimi, (lebeční klenba) je nutno použít jiné přístupy. Byly první pužívanou morfometrickou metodou. Tyto metody pracují s okrajem, hranicí objektu. Užijeme je tedy tehdy, dá li se okraj objektu dobře vymezit. Bodům na okraji se obvykle přiřadí souřadnice. Díky nim můžeme tvar objektu zpětně vizualizovat Outlineové metody První metody byly založeny na zkoumání vzdálenosti bodů od středu objektu. Tento přístup se dá bohužel použít jen u jednoduchých objektů, bylo nutno nalézt jiné přístupy ty zkoumají úhly tečen jednotlivých bodů, nebo křivce okraje se přiřadí odpovídající matematická funkce, jejíž parametry jsou dále statisticky zpracovávány. Nebo zkoumají souřadnice bodů jako řetězec komplexních čísel. Nyní se seznámíme s některými metodami. 13

14 Shape factors Metoda založená na měření se různých vzdáleností, a počítání jejich podílu. Provádíme tři měření: max délka F 1 = max šířka 6 kde měřená maximální délka objektu je kolmá na maximální šířku. F 2 = 4S O 2 6 F 3 = O O 2 4S O O 2 4S 6 kde S je obsah objektu a O je obvod jeho hranice. F 1 vyjadřuje protažení objektu a F 2 a F 3 měří odchylku tvaru vůči tvaru kružnice, (v níž O 2 =4S 6 ) Tyto tři výpočty je nutno provádět najednou, neboť různé tvary mohou při jednotlivých výsledcích dosáhnout stejných hodnot. Výhodou je nezávislost metody na pozici, orientaci, nevýhodou nemožnost zpětné vizualizace tvaru. Příkladem užití je studie tvaru buňky nebo lebky primátů Moments Pokud je tvar specifikován vnitřními body, přiřadí se těmto bodům souřadnice, vzniklá křivka se zapíše jako funkce dvou proměnných (té x a y souřadnice). Pomocí dvojitého integrálu této funkce získáme novou funkci, její parametry můžeme použít pro statistické zpracování. Vzniklá funkce nám umožňuje vzhled objektu dobře popsat a zároveň jej rekonstruovat. Je ale citlivá na translaci a rotaci. Navíc její statistické zpracování má tendenci zaokrouhlovat chyby. Metoda se užívá například v buněčné biologii Skeletons and medial axis transform 6 Tuto metodu popsal Blum roku Definuje zkoumaný tvar pomocí pojmu skeleton ( kostra ) množina bodů, u nichž, hledáme li bod na okraji, jež je jim nejblíže, nalezneme dva/více takových hraničních bodů. Nebo li: o každém bodu objektu můžeme říct, ke kterému místu okraje má nejblíže. Jestliže toto místo nedokážeme jednoznačně určit, našli jsme bod skeletu. S body tohoto skeletu je spojena funkce, určující vzdálenosti těchto bodů od okraje (okrajů, jsou stejně daleko od více míst okraje). 14

15 V roce 1973 zavedl Blum grassfire model. Představme si tvar jako plochu plnou suché trávy. Ten začne v jednom okamžiku hořet po celém svém okraji a oheň postupuje rovnoměrně směrem dovnitř tvaru. Setká li se oheň ze dvou odlišných hranic, narazili jsme na bod skeletu. Tvar skeletu se dá popsat i jako množina středů kružnic, jež mají vnitřní dotyk s alespoň dvěma body okraje. Tento skelet posléze porovnáváme. Problémem této metody mohou být rozdílné algoritmy pro vytváření skeletu. Uplatnila se například při studiích ontogeneze dolní čelisti. Ilustrace 4 14 : Skeleton Semilandmarky Metodu využívající body, jež mají do jisté míry nahradit chybějící landmarky, popsal Bookstein roku Někdy je nazývána též pseudolandmarks. Zkoumaný objekt rozdělíme na části ohraničené pomocí semilandmarků. Semilandmarky nalezneme pomocí Prokrustovy analýzy, obdobně jako landmarky. Najdeme li je, zpracováváme standardní landmarkovou metodou. Jinou metodou jsou sliding semilandmarks. Na vzoru se určí semilandmarky. Na porovnávaném objektu se lokalizují odpovídající semilandmarky a jejich poloha. Ta samozřejmě nekoresponduje s polohou na vzoru. Semilandmarky, jejichž umístění nejvíce odpovídá, se vezmou jako určující. Ty ostatní se musí posunout do místa, v němž jsou semilandmarky vzoru. Posouvají se po povrchu hranice objektu. Toto posunutí zakreslíme a můžeme dále zpracovávat. Umístění semilandmarků je relativní, musíme tedy mít na paměti, že nejsou s landmarky 15

16 zcela ekvivalentní. Landmarky nelze plně nahradit semilandmarky, zvláště při biologickém pohledu. Metoda se uplatnila při zkoumání mozku pacientů se schizofrenií. Ilustrace 5 9 : Semilandmarky aplikované na lidskou lebku Polar coordinates Tato metoda se užívá pro konvexní tvary. Objektu je stanoven centroid a počáteční bod ležící na okraji. Mělo by jít o landmarky, abychom je mohli bezpečně určit u všech porovnávaných objektů. Chyba ve výběru těchto bodů se fatálně projeví ve výsledku. Zvolíme centroid a počáteční bod a uděláme jejich spojnici. Této spojnici říkejme poloměr r 0. Změříme jejich vzdálenost. Vyhledáme další poloměr. Narýsujeme polopřímku, svírající s poloměrem r 0 předem daný úhel. Vzdálenost průsečíku této přímky a hranice objektu označme r 1. Zkonstruujme další polopřímku, svírající daný úhel s poloměrem r 1 a nazvěme ji r 2. Tímto způsobem je hranice objektu vyjádřena pomocí úhlu, který svírají jednotlivé poloměry a jejich délkou. Získáme vlastně funkci. Rotováním objektů kolem centroidu se dostaneme k formě Prokrustovy superimpozice. Tato metoda se užívala např. při popisu lidské lebky. 16

17 Ilustrace 6: Polar coordinates; bod a je počáteční bod, bod b je centroid Curvatures Metoda taktéž využívající souřadnice x a y. Je li to možné, lze například otevřené křivky někdy popsat jako funkci (kupříkladu polynomická). Jedná li se o uzavřenou křivku, nelze ji tak popsat a je třeba užít jiný popis. Objekt můžeme popisovat pomocí úhlu, jež svírají tečny objektu v různých (opakovatelně lokalizovatelných) bodech okraje objektu s danou přímkou (obv. jednou osou soustavy souřadnic). Nemůžeme li snadno určit takové body, určíme je podle jednoho počátečního bodu, který odpovídá požadavkům a umístíme je v daných odstupech od tohoto bodu. Úhel tečny a přímky, k níž je vztahován (dále jen úhel tečny) je ovšem závislý na orientaci objektu. Tento problém odstraníme, pokud úhly tečen vztahujeme k úhlu tečny počátečního bodu. Tedy t = t 0 6 kde t 6 vyjadřuje rozdíl úhlu mezi tečnou měřeného bodu na hranici struktury a úhlu tečny počátečního bodu. Délce obvodu objektu přiřaďme hodnotou 2, vzdálenost mezi počátečním a měřeným bodem měřenou po obvodu tvaru s takto upraveným měřítkem označme t. Měříme li úhly v radianech, můžeme zavést novou veličinu t t = t t 6 Hodnotu t udanou jako část 2 (část obvodu objektu, který je roven 2 ), můžeme porovnávat s úhly (vyjádřenými také jako část 2 ). Hodnota t bude rovna 0, pro každý bod na okraji kruhu (obvod části kruhu ( o=2 r), kde jsme určili r=1, tedy o 17

18 položili za rovné 2, lze snadno vyjádřit jen pomocí hodnoty úhlu výseče, jejíž obvod měříme). t tedy vyjadřuje odchylku tvaru zkoumané části vůči tvaru kruhu. Získáme tak funkci. Ilustrace 7 9 : Curvatures: obrys lebky Tato metoda je nezávislá na translaci, rotaci ale ani velikosti. Výsledky se dají zpracovat pomocí Fourierovy analýzy a dále statisticky. Užita byla při zkoumání tvaru komářích křídel. 18

19 Bending energy Roku 1974 popsal Young metodu, která vychází z porovnávání objektu a kružnice, využívajíce metodu předešlou. Vychází z předpokladu, že dvourozměrný objekt, vyrobený ze stejnorodého materiálu, jemuž dovolíme zaujmout libovolný tvar, přijme tvar kruhu, neboť je to tvar s nejmenší vázanou energií. Pro vytvoření složitějšího tvaru tedy musela být dodána jistá energie bending energy. Počítá se takto: Tvar se rozdělí na N malých částí. Zakřivení K N každé části je definováno jako změna ve směru na jednotku délky. Celková bending energy je rovna součtu všech K n 2 6 energií částí. Tento přístup podporuje pocit, že je třeba více energie k vytvoření kruhu z krátkého než z dlouhého tvaru. Metoda je nezávislá na pozici a orientaci, ale je závislá na velikosti Complexity 6 Jde o metodu, jež se zajímá o složitost křivky, která, je li složitě tvarovaná (svinutá, spirálovitá), zabírá na ploše o jisté šířce více místa, než křivka jednoduchá. Je založena na principu fraktální dimenze (popsán Mandelbrotem roku 1983) ( fraktál útvar s velkou vnitřní členitostí, jehož motiv se opakuje v nekonečně mnoha různých velikostech 7 ). Objekt s hranicí tvaru přímky zaujímá v rovině nejmenší možný prostor. Tvar přímky má řádovou velikost D=1 (určení míry její složitosti). Rozdělme přímku délky l na N stejných částí o délce r. Jistě platí: Nr =l 6 pro tvar s řádovou velikostí D=2, platí Nr 2 =l 6 kde r je délka, kterou by křivka získala při promítnutí do jednoho rozměru... např. poloměr kružnice nebo délka strany čtverce 6 Takto získáme obecnou rovnici Nr D =l 6 kde D je hledaná řádová velikost. Je vztahem mezi délkou obvodu objektu a vzdáleností jeho nejkrajnějších bodů. 19

20 3.3.2 Analysis of Outline Data Fourierova analýza Fourierova analýza přináší způsob, jak lépe porovnávat výsledky metod jako jsou například polar coordinates nebo curvatures, kde výsledkem je soubor souřadnic, vzdáleností, funkce. Snaží se data týkající se prostoru, přeměnit na data týkající se frekvence. Cílem je obvykle zjednodušit/zmenšit obsáhlou množinu výsledků. Výsledkem Fourierovy analýzy je rozložení původní funkce (polar coordinates, curvatures) na množinu sinusových vln různých frekvencí. Jejich součet vytvoří původní funkci (a z ní můžeme reprodukovat původní tvar). Zhruba je lze vyjádřit takto: k k F t =a 0 a n cos nt b n sin nt 6 n=1 n=1 a n a b n charakterizují kosinové a sinové složky na jednotlivých frekvencích. Pro složitější křivky Fourierova analýza zpracovává obě souřadnice (x a y) odděleně nebo zpracovává obě souřadnice přímo. Také je možné zpracovávat fázový posun a amplitudu výsledných sinových a kosinových křivek a nikoli frekvence. Koeficienty vzešlé z Fourierovy analýzy se dají užít k rekonstrukci původního tvaru Problémy outlineových metod Outlineové metody obecně se obvykle zpracovávají Fourierovou analýzou, která vydá výsledky vhodné pro statistické zpracování, ale žádná vhodně zobrazitelná data. Thin plate spline mřížka je určitě mnohem názornější. Stejně jako u některých landmarkových metod i tady může platit, že nelze zpětně bezpečně rekonstruovat tvar (což ale platí jen pro některé!). U metody využívající úhly tečen je nutné, aby šla tečna zkonstruovat ve všech bodech objektu. Také volíme li nějaké body (centroid, počáteční bod), je zde nebezpečí špatné volby, jež ovlivní celý výsledek a učiní ho nepoužitelným. S těmito metodami je ovšem spojen problém jejich výstupy můžeme statisticky zpracovávat více přístupy, které dávají různé výsledky, nicméně dosud se nedá rozhodnout, který z nich je nejlepší. Užití těchto metod je stejně široké, jako užití metod landmarkových. Landmarkové metody doplňují o informaci týkající se křivky mimo landmarky, nabízejí možnosti pro zpracování objektů bez landmarků. A pro omezení vlivu velikosti se mohou použít podobné postupy jako u landmarkových metod. 20

21 3.3.4 Jak si vybrat správnou metodu? 9 Při výběru metod se řídíme několika hledisky: Lze metodu použít i v případě, že se velikost objektu (nebo jeho části) blíží nekonečnu? Jedná se o extrémní případy, kdy má objekt jeden rozměr velmi malý a druhý velký (nemusí jít zrovna o nekonečné rozměry, ale větší nepoměr rozměrů může dělat problémy). Jak metoda funguje pro reálné rozměry objektů? Většina objektů nemá nekonečné rozměry, zkoumáme tedy, jak metoda funguje v běžné praxi. Odpovídají výstupy statistického zpracování původním datům? Vyjde li nám, že jsou si dva objekty velmi podobné, a přitom vidíme, že to není pravda, asi se někde stala chyba. Lze zrekonstruovat původní tvar? Není dobré, když se ztratí původní předmět studia. Je možné výsledky snadno graficky znázornit? Množina čísel na první pohled mnoho nevypoví, je tedy důležité najít vhodný grafický výstup. Splnit takové množství podmínek je velmi těžké, děláme tedy kompromisy a je jen na nás, kde ustoupíme a kde se budeme snažit dodržet podmínky. Zatím se nenašel nikdo, kdo by řekl, jakou metodu si vybrat pro který případ, a nezbývá než počkat na další výzkumy. 21

22 4 Závěr Geometrická morfometrika je mladá a rychle se rozvíjející věda. Což s sebou logicky přináší mnoho problémů existuje značné množství metod, jejich zpracování, analýza dat, metody interpretace většina z nich vydává odlišné výsledky, ale zatím není k dispozici dostatek zkušeností a informací, které by umožnily rozhodnout, která je z nich správná. Většina metod dosud zpracovává pouze dvourozměrné objekty. Přestože existují způsoby, jak použít známé metody i pro trojrozměrné objekty, jsou problémy s podpůrnými zařízeními získat 3D data je složité a vyžaduje drahé přístroje, které nejsou snadno dostupné, jsou limitovány rozlišovacími schopnostmi nebo použitelností pro různé velikosti vzorků. Dalším důvodem je způsob publikování na papír se 3D data zobrazují velmi obtížně. Dále morfometrika nebyla dosud doceněna a její užívání je řídké, i když v budoucnu by mohla být velmi významným pomocníkem biologie a lékařství. Zdá se, že má před sebou velkou budoucnost. Zatím nezbývá než počkat, jak se vyvinou dosud známé postupy a modely. 22

23 5 Přehled použité literatury sk.wikipedia.org/wiki lexikon.wz.cz 6 PAUL O' HIGGINS; Methodological Issues in the Description of Forms; University College, London 7 cizich slov.abz.cz/web.php/ 8 Geometric Morphometric and Geological Form Classification Systems; N. MacLeod 9 Geometric Morphometrics: Ten Years of Progress Following the Revolution ; Dean C. Adams 1, F. James Rohlf 2, and Dennis E. Slice 3 ; 10 MILOŠ MACHOLÁN; Prokruses, deformace a nová morfometrie; Vesmír 78, leden cizich slov.abz.cz/web.php/ 12 F. James Rohlf and Leslie F. Marcus; A Revolution in Morphometrics; TREE vol 8, no. 4, April FOUNDATIONS OF MORPHOMETRIC; Fred L. Bookstein; 14 SHAPE DESCRIPTION USING WEIGHTED SYMMETRIC AXIS FEATURES; HARRY BLUM and ROGER N. NAGEL 15 glossary 23