Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE

Transkript

1 Uverza Karlova v raze Maemako-fyzkálí fakula DILOMOÁ RÁC Jakub Merl Meodky Solvey II pro ežvoí pošěí Kaedra pravděpodobos a maemaké sasky edouí dplomové práe: rof. RNDr. er Madl, DrS. Sudí program: Maemaka Sudí obor: Fačí a posá maemaka 008

2 oděkováí Na omo mísě byh rád poděkoval prof. RNDr. eru Madlov, DrS. za eho rpělvos, pomo a moho poděýh rad, keré m poskyl během vypraováí éo práe. rohlašu, že sem svou dplomovou prá apsal samosaě a výhradě s použím ovaýh prameů. Souhlasím se zapůčováím práe. raze de 8. červee 008. Jakub Merl

3 Obsah Úvod 5. Způsoby měřeí rzk 7.. Hodoa v rzku Zbyková hodoa v rzku Agregae ehkého rzka ze skup pošěí.... Solveos II QIS3, GD 5.. Srukura výpoču kapálového požadavku Le obhodu QIS GD QIS 3 - NL pr posé rzko a rzko rezerv QIS 3 - výpoče NL pr ýpoče obemu posého ýpoče směrodaé odhylky ýpoče elkové směrodaé odhylky GD - výpoče NL Saoveí směrodaé odhylky GD - výpoče NL NL a ežvoí kaasrofké rzko ýpoče podle QIS ýpoče podle GD Kapálový požadavek ežvoího pošěí IAA Celkový ráme pro hodoeí solveos poselů Fakorový model RBC...3. Švýarský solvečí es 36.. orováí Solveos II a SST rpy a hlaví íle SST Cílový a rzkový kapál Nežvoí pošěí v SST Séáře Numerké porováí edolvýh meod 5.. Daa bez dosaečé hsore Daa s dosaečou hsorí romělvá směrodaá odhylka romělvá výše škodího poměru Časová srukura škodího poměru...8 Závěr 50 Leraura 5 řílohy 53 3

4 Název práe: Meodky Solvey II pro ežvoí pošěí Auor: Jakub Merl Kaedra (úsav): Kaedra pravděpodobos a maemaké sasky edouí dplomové práe: rof. RNDr. er Madl, DrS. e-mal vedouího: per.madl@mff.u.z, per.madl@karl.mff.u.z Absrak: předložeé prá sudueme meodky Solveos II ýkaíí se ežvoího pošěí. opsueme růzé přísupy podle posledíh ázorů a mezárodím pol. prví čás se zabýváme způsoby měřeí rzk hodoou v rzku, zbykovou hodoou v rzku a akoe obeou agregačí formulí edolvýh skup pošěí. e druhé čás dskuueme éma Solveos II dle současého ofálího ávrhu. odrobě vyházíme z posledí dopadové sude QIS 3. Tao kapola aké obsahue pops meodky avržeé Němekou asoaí poselů (GD). Další kapola e zaměřea a amerký přísup a fakorový model. oé uvádíme Švýarský solvečí es (SST) a eho spefka pro ežvoí pošěí. posledí kapole se věueme kokréím výpočům a předložeýh modeleh a zkoumáme eh slé a slabé sráky. Klíčová slova: Solvey II, Solveos II, ežvoí pošěí, Švýarský solvečí es Tle: Solvey II Mehods for No Lfe Isurae Auhor: Jakub Merl Deparme: Deparme of robably ad Mahemaal Sass Supervsor: rof. RNDr. er Madl, DrS. Supervsor's e-mal address: per.madl@mff.u.z, per.madl@karl.mff.u.z Absra: I he prese work we sudy he mehods of Solvey II for o-lfe surae. We desrbe dffere approahes aordg o he laes world opos. I he frs par we deal wh he oep of measurg rsk alue a Rsk, Tal alue a Rsk ad fally wh he geeral aggregao formula of eah le of busess. I he seod par we dsuss he heme of Solvey II self aordg o he oemporary offal proposal. We deal wh he las quaave mpa sudy QIS 3 deal. Ths haper also ludes a desrpo of mehods drafed by Germa Assoao of Isurers (GD). The ex haper fouses o he Amera approah ad he faor based model. I he ex seo we meo Swss Solvey Tes (SST) ad s spefs for o-lfe surae. I he las haper we dedae our aeo o he parular ompuao o he prese models ad we explore her srog ad weak pos. Keywords: Solvey II, o-lfe surae, Swss Solvey Tes

5 Úvod Solveos II (Solvey II) e proek zaměřeý a vorbu ového sysému v oblas regulae pošťovví v elé vropské u. Jedá se o velm radkálí změu ovaou vropskou komsí. Teo koep by měl dokáza zohled všehy ypy rzk, keré pošťova podsupue, a aké závslos mez m. Solveos II se proo ezaměřue pouze a posé rzko, ale a osaí rzka rží, úvěrové, operačí a é. ýsavba Solveos II e založea a ří-plířovém sysému. rví plíř obsahue kvaaví požadavky. Hlavím bodem e saoveí solvečího ebo aké požadovaého (SCR) a mmálího kapálového požadavku (MCR). Solvečí kapálový požadavek e založe a prpu hodoy v rzku za určé období. Mmálí kapálové požadavky sou určou saoveou hraí, pod kerou by eměl kapál poklesou. okud se kapál dosae pod uo hra, musí reguláor zasáhou. Mělo by bý dodržeo pravdlo, že 5 MCR SCR. Druhý plíř e zaměře a kvalaví požadavky především řízeí rzk, vří korolu č prpy dohledu. Třeí plíř obsahue požadavky a raspareos sysému a povos zveřeňováí formaí dalším subekům. roek Solveos II byl započa poděem vropské komse. Jeho sahou e ahrad sávaíí sysém Solveos I, kerý e v plaos ž od 70. le. Za elou dobu vývoe Solveos II vzklo ž moho podob. Nyí se aházíme v druhé fáz proeku, kerá e zaměřea převážě a ehkou sráku vě a přesou kalbra sysému. omoým orgáem vropské komse e v éo oáze Commee of uropea Isurae ad Oupaoal esos Supervsors (CIOS). od vedeím ohoo výboru se ž uskuečly ř kvaaví dopadové sude. osledí z h byla mmo é zaměřea a fálí kalbra SCR a MCR. současé době probíhá čvrá kvaaví sude. roes vzku Solveos II e zdálvě velm dlouhý, ale eho ílem e dosáhou opravdu kvalího a fuguíího sysému. Nyí se ž blížíme do závěrečé fáze, přeso e sále o doháě, eboť v současýh ávrzíh se vyskyue dosaek koroverzíh éma. Jelkož koep Solveos II má předsavova ueleý áhled a sav pošťove, eí možé v éo prá rozebra všehy eho součás. Zaměříme se a eho posěmaemakou čás ýkaíí se vykazováí solveos ežvoího pošěí. prá budou popsáy kapálové požadavky pro daá posá rzka ežvoího pošěí. Jelkož ázory a uo problemaku esou edoé, předložíme další modely a ávrhy, o kerýh e dskuováo.

6 rví kapola bude věováa poměrě základímu émau, méě klíčovému pro problemaku měřeí rzk. Bude se eda o hodou v rzku (ar) a zbykovou hodou v rzku (TaR). Tuo kapolu věovaou způsobům měřeí rzk zakočíme popsem sadardí agregačí formule. e druhé čás se budeme věova ávrhu Solveos II, kerý předložl vropský parlame a Rada vropské ue. ředevším bude klade důraz a řeí kvaaví dopadovou sud QIS 3. Teo výklad bude doplě komeář z dokumeu Němeké asoae poselů GD (Der Gesamverbad der Deushe ersherugswrshaf). další kapole se podíváme a případovou sud vyvořeou praoví skupou př IAA (Ieraoal Auaral Assoao). e čvré čás se budeme věova Švýarskému solvečímu esu. éo zem vývo započal pozdě ež proek Solveos II, přeso e ž od roku 006 sysém v provozu. Je založe a poěkud ýh prpeh, a ak bude zaímavé porova oba přísupy. posledí čás provedeme kokréí výpočy a výše zmíěýh modeleh. Ukážeme rozdíly mez edolvým přísupy, zvlášě pak s ohledem a dosupos da z mulos. K výpoču bude použ sofware Mahemaa. řesože eí eo sofware pro výpoče zela ezbyý, ukázal se ako ede z evýhoděšíh. 6

7 . Způsoby měřeí rzk prví kapole se budeme zaíma o ukazaele, keré sou eběžě používaé př měřeí rzk. rvím z h e ukazael hodoa v rzku, kerý e v současé době ve svěě velm rozšířeý. okusíme se rozebra eho výhody evýhody. Obdobě ak učíme pro ukazael zbykové hodoy v rzku. Na ko éo kapoly se zaměříme a agregačí formul mez edolvým skupam pošěí. Hodou v rzku a zbykovou hodou v rzku sme do éo kapoly ezařadl bezdůvodě. rávě yo dva způsoby měřeí rzk byly avržey k dskuz př výpočeh v Solveos II. Myšleky éo kapoly sou převážě čerpáy z exu Němeké asoae poselů GD [ 8 ], Aex, kerá se k ěmo problémům podrobě vyadřue... Hodoa v rzku Hodoa v rzku (ar, alue a Rsk) e velm důležým pomem, kerý e řeba vysvěl v souvslos s měřeím velkos rzka. Je avržea ako základí míra ve vykazováí solveos ve sadardím modelu. Teo fak však ešě doedáva ebyl akovou samozřemosí. Hodoa v rzku svedla pomyslý bo se zbykovou hodoou v rzku (vz další kapola). Navzdory Mezárodí akuárské asoa (IAA), kerá se kloí ke zbykové hodoě v rzku, o yí vypadá, že pro výpoče Solveos II bude opravdu v plaos hodoa v rzku. Defe : Hodoa v rzku Hodoa v rzku kvafkue maxmálí možou zráu, kerá ebude překročea se zvoleou pravděpodobosí α v určém časovém horzou. ( ) ( S) f{ x F ( x) α} f{ x ( S > x) α}, kde 0< α < ar S α a F S e dsrbučí fuke škod S za zvoleé období. Jým slovy hodou v rzku můžeme vyádř ako mmálí možou zráu, kerou můžeme urpě u ( α) % ehoršíh případů v daém časovém horzou. Co se ýče výpoču solveos, za daý časový horzo se bere v úvahu ede rok. Hodoa α e přaelá od 95%, elépe však 99% č dokoe 99,5% (víe porováí ar a TaR). odle defe obrázku se a prví pohled může zdá, že hodoa v rzku poskyue dokoalou forma o výš možé zráy. Hodoa v rzku udává edo číslo, keré e založeo a výš kvalu dsrbučí fuke škod. Z lakého pohledu e velm pouavé mí 7

8 ede výsledek, kerý vyadřue výš rzka a aví přímo v peěžíh edokáh. Na druhou srau ezohledňue hováí rozděleí škod za ímo kvalem. ýpoče hodoy v rzku e založe a pravděpodobosí báz a umožňue agrega rzk, ak ukážeme pozdě. Zde e ué pozamea, že ao agregae e možá, pokud budeme agregova dílčí hodoy v rzku se seou hladou α. Škmé asymerké rozděleí zrá/škod [ S x ] sředí hodoa směrodaá odhylka ar (α kval) TaR (sředí hodoa čás převyšuíí ar) zráa / škoda Obrázek - Hodoa ar a TaR pro asymerké rozděleí zrá Na druhou srau musíme bý oparí př erprea. Jedý získaý výsledek může bý velm zaváděíí. Mez hlaví evýhody, keré ás uí k obezřeos, paří zasé ásleduíí body: ar eharakerzue velm málo pravděpodobé zráy, ar eí subadví míra, ar eobsahue výhled do budoua. Na prví pohled by se mohlo zdá, že hodoa v rzku harakerzue velm málo pravděpodobé zráy. okud se podíváme apříklad a def, zsíme, že se v í hovoří pouze o zrááh, keré urpíme do určé saoveé hlady pravděpodobos. Do éo hlady záme předpokládaou výš zrá. Zaímo o om, o se děe ad uo hladu, eříká defe a ím pádem a hodoa v rzku. Může se sá, že se v éo čás vyskyue velm vysoká zráa, kerá výrazě převyšue hodou v rzku. Z oho plye, že s velm malou pravděpodobosí může asa exrémí zráa přes poměrě opmskou hodou v rzku. Naví může asa suae, že máme dvě škodí rozděleí, kerá maí seou hodou v rzku, ale rozdílou maxmálí epravděpodobou zráu. Měl byhom m přřad seou hodou ukazaele rzka? Odpovědě e edoduhá, rozhodě e. 8

9 K obasěí druhého bodu eprve defume kohereí míru rzka, eboť subadva e edím ze čyř požadavků éo defe a hodoa v rzku esplňue. Touo mírou se zabýval auoř Arzer, Delbae, ber a Heah [ ]. Defe : Kohereí míra rzka Uvažume možu reálýh áhodýh velč. Fuke ρ : R se azývá kohereí míra rzka, pokud splňue ásleduíí vlasos pro () mooóos: Y ρ ρ( Y) () subadva: ρ ( Y) ρ ρ( Y) () pozví homogea: λ > 0 : ρ( λ) λρ (v) raslačí ae: R, Y : a : ρ ( a) ρ a Bod () se ýká velkos rzka. okud máme edo rzko věší ež druhé, musí uo vlasos zahova míra rzka. Teo bod hodoa v rzku splňue. Důkaz (): Nehť, Y L( Ω, A, ) fuke plaí ásleduíí akové, že Y. zhledem k mooo dsrbučí ( ) Y ( x) ( Y x) { ( x) α} { ( Y x) α}. řehodem k fmu pro x a použím defe hodoy v rzku dosaeme požadovaé. Bod () ám říká, že hodoa souču rzk by měla bý meší ebo rova souču rzk odděleě. To zameá, že by eměla asa suae, kdy pouhým děleím rzk dosáheme zmešeí elkového rzka. Tao vlasos eí hodoou v rzku obeě splěa. Ale plaí za předpokladu, že rozděleí zsku a zrá de popsa ormálím rozděleím (obeě elpkým rozděleím). roo se hodoa v rzku epovažue za kohereí rzkovou míru. Bod () se ýká ásobeí lbovolým ezáporým paramerem a posledí bod (v) zahruí zaručeého zsku a. Obě yo vlasos hodoa v rzku splňue. Důkaz: () Nehť L( Ω, A, ) a 0 arα( λ) f{ x ( λ x) α} f{ λ y ( λ λ y) α} ( 3 ) λ f{ y ( y) α} λar. λ. oužím defe hodoy v rzku (v) Nehť L( Ω, A, ) arα( a) f{ x ( a x) α} f{ y a ( a y a) α} ( ) f{ y ( y) α} a ar a. a a 0. Opě použím defe dokážeme požadovaé α α 9

10 Další evýhoda hodoy v rzku se ýká převážě fačíh rhů, keré se eusále měí a reaguí a vývo v ekoome dalšíh sekoreh. Na ěho rzíh může doháze k překoým změám, keré mohou ovlv, že hodoa v rzku eposkye odpovídaíí výsledky. Uvedl sme ěkeré vlasos hodoy v rzku. Osaě ako a é míry rzka a eo ukazael pauí růzé ázory. ěkerýh suíh se od ě upouší a používaí se é ukazaele. Někeré sue získávaí lepší formae použím hodoy v rzku pro růzé pravděpodobosí hlady. I přes ěkeré epřízvé vlasos, esmíme zapomeou, že e epoužívaěším ukazaelem a možá proo byl zvole ako hlaví ásro ve výpočeh Solveos II... Zbyková hodoa v rzku Druhým přísupem k měřeí rzk e použí zbykové hodoy v rzku (TaR, Tal alue a Rsk). Někdy bývá aké ozačováa ako Codoal alue a Rsk (CaR) ebo aké Mea xess Loss. Tao hodoa má přízvěší maemaké vlasos. flug [ 7 ] dokázal, že zbyková hodoa v rzku má subadví vlasos a e kovexí. Jelkož splňue další body z defe, e kohereí mírou. Zbyková hodoa v rzku e podmíěá očekávaá zráa převyšuíí hodou v rzku ( 5 ) TaR [ ar ]. α > ro spoé rozděleí můžeme zbykovou hodou vyádř ásledově ( 6 ) TaR ar [ -ar > ar ] α α α α α ( 7 ) TaR α ar α ( xar) df( x) arα. α x df x F ar arα Zbyková hodoa v rzku e oparěší ež obyčeá hodoa v rzku, eboť bere ohled a výš škod převyšuíí krkou hladu. Ze vzore ( 6 ) vdíme, že zbyková hodoa v rzku př seé hladě spolehlvos e vždy věší ež hodoa v rzku, eboť podmíěá sředí hodoa bude vždy věší ebo rová ule. hodou volbou hlad pro ar, resp. TaR můžeme dosáhou rovos ěho hodo. Uvedeme odvozeí pro ormovaé ormálí rozděleí pro hlady ε a δ. 0

11 Hodoy získáme úpravou vzore ( 7 ), do kerého dosadíme husou ormálího rozděleí ϕ ( x). Naví využeme oho, že víme, ak vypadá hodoa v rzku pro oo rozděleí. ro hladu δ e dáa kvalem ormálího rozděleí z δ. ( 8 ) TaR zδ x x e δ δ x e dx e z π δ π δ π δ zδ ϕ ( z ) δ δ Zvolíme-l hladu δ pro TaR, pak hodou ε pro ar dopočeme pomoí dsrbučí fuke ormálího rozděleí ϕ z Φ δ ( 9 ) δ ε. okud za δ dosadíme kokréí hodoy, dosaeme výsledky v abule. ro zvoleé δ musíme vol meší ε, ož e v souladu s předhozím vrzeím, že zbyková hodoa v rzku e vždy věší ebo rova hodoě v rzku př seé hladě spolehlvos. δ δ ε ε TaR ar δ ε 0,050 0,950 0,096 0,980,067 0,05 0,975 0,0097 0,9903, ,00 0,990 0,0038 0,996,665 0,005 0,995 0,009 0,998,8995 Tabulka porováí hlad výzamos pro rovos ar a TaR, výpoče Mahemaa Mez evýhody sě paří, že k určeí éo hodoy musíme zá rozděleí pro málo pravděpodobé škody. Teo předpoklad eí vždy dobře splě (způsobeo převážě edosakem da), a ak do modelu vášíme ový druh rzka odhaduí modelu. prax o př výpoču zbykové hodoy může bý velm evýhodé. Na závěr ěho dvou kapol uvedeme přehled základíh vlasosí. lasos ar TaR Kohereí míra N ANO Ierpreovaelos z lakého pohledu sazší zaímá se e o edu kokréí ehorší škodu obížěší - pořeba maemakýh základů zaímá se o průměrou výš určého poču ehoršíh škod Daa k výpoču lépe dosupá možos edosaku da exrémíh hodo yuží víe pošťovy víe zašťovy šrší použí erí modely Tabulka porováí ar a TaR

12 Co se ýče Solveos II, o volbě rzkové míry byly vedey velké dskuze. současé době sou modely založey a hodoě v rzku a hladě 99,5% s horzoem edoho roku. zhledem k současému vývo ž pravděpodobě hlavím ukazaelem zůsae. Auorům předkládaého ávrhu se edá hlavě o edoduhou a raspareí meodu, kerá poskye odpovídaíí výsledky. roo se m ako lepší alerava eví hodoa v rzku. Možos použí zbykovou hodou v rzku se však oevírá u eríh modelů. Mez země používaíí zbykovou hodou v rzku ako základí míru paří Švýarsko. Osaí země prozaím používaí hodou v rzku..3. Agregae ehkého rzka ze skup pošěí éo čás se zaměříme a agrega ehkého rzka. souladu s ávrhem Solveos II budeme agregova rzko a základě hodoy v rzku. Odvozeí uvedeo v GD [ 8 ]. okud budeme mí elkovou zráu, hodou v rzku získáme vyádřeím z defe ako kval příslušé dsrbučí fuke a zvoleé hladě ( α). ( 0 ) ar F (α ). Obeý vzore pro agrega edolvýh skup č lí obhodu odvodíme s předpokladem přblížeí mohorozměrému ormálímu rozděleí. Měme závazků se sředím hodoam ν, rozpylem a korelaí mez m ρ. [ 8 ] vyadřuí sředí hodou se záporým zamékem µ. případě závazku e µ záporé a edy µ zameá avýšeí hodoy v rzku. ro edodušší pohopeí budeme v ašem odvozeí používa paramer kladý ν zameaíí výš závazku v kladýh hodoáh. ro výše uvedeýh závazků můžeme elkovou výš zráy vyádř ako souče dílčíh zrá, seě ak pro sředí hodoy. zore ( 3 ) e urče dle vlasos souču rozpylů. ( ) ( ) ν ν ( 3 ) ρ. Dále pro zedodušeí zápsu budeme praova se směrodaým odhylkam korelaí ρ. a

13 okud uvažueme dsrbučí fuk elkové zráy odpovídaíí ormálímu rozděleí s kvalem q Φ ( ), použím ( 0 ) lze hodou v rzku vyádř ásledově α α ( ) ar q α. ν Dosazeím z ( ) a ( 3 ) dosáváme ν ( 5 ) ar q α ρ ( 6 ) ar ( q α ν ν )( q α ν ν ) ρ ν ( 7 ) ar ( ar ν )( ar ν ) ρ ν. zore ( 7 ) e důležým vzorem pro agrega edolvýh hodo v rzku do elkové hodoy. Nesmíme zapomeou, že ao agregae má smysl pouze pro seou hodou α pro všehy skupy pošěí, eboť můžeme srováva pouze odpovídaíí hodoy v rzku. omoí vzore ( 7 ) lze aké dokáza, že pro α < 0, 5 hodoa v rzku splňue subadvu,. druhé krérum v def koheree rzka. Důkaz: ořebueme dokáza, že pro hladu α < 0, 5 plaí ( 8 ) ar ar. Upravíme obě sray erovos s využím ( 7 ) a ( ) ( 9 ) ( ar ν )( ar ν ) ρ ν ( q α ν ) α α ( 0 ) q ρ q. Nyí byhom mohl erov vyděl kvalem q α,. ohopelě heme zas, aby erovos sále plala. To zameá, že kval musí bý věší ež ula. zhledem k symerkému ormálímu rozděleí ao suae asává pro α < 0, 5. Rov vydělíme a získáme ( ) ρ. 3

14 Tuo erov můžeme akoe umo (výraz a pravé sraě e vždy ezáporý). A ím získáme požadovaé ( ) ρ. Teo vzah e splě vždy, eboť korelae e vždy meší ebo rova edé. To pro α < 0, 5 dokazue původí erovos. Rovos asává v případě, že všehy korelae sou rové edé.

15 . Solveos II QIS3, GD Druhá kapola se bude věova solvečímu požadavku ežvoího pošěí založeému a dvou podobýh přísupeh. rví z h e ehká spefkae kvaaví dopadové sude 3 (QIS 3 [ 6 ]), kerá e v souladu s ávrhem vropského parlameu a Rady azvaým O přísupu k pošťovaí a zašťovaí čos a eím výkou ze de Druhý ávrh e popsá v Dsusso aper for a Solvey II od Němeké asoae poselů Gesamverbad der Deushe ersherugswrshaf GD [ 8 ]... Srukura výpoču kapálového požadavku Než se pusíme do samoého émau ežvoího pošěí, popíšeme srukuru výpoču obou ávrhů, abyhom se v elé problemae lépe oreoval. Shéma rozděleí a agregae rzk se sále s časem vyvíí. Skupy rzk sou modfkováy, vyvářey č přesouváy do ýh čásí výpoču solvečího požadavku. Tyo změy maí vlv a výsledek, ale žádá z ěho změ však emá zásadí vlv a způsob výpoču.... Le obhodu Le obhodu (Le od Busess, LoB) sou prvím pomem, kerý e pořeba vysvěl v souvslos s výpočem solveos. Jak ž ázev sám apovídá, edá se o růzá odvěví pošěí. Každý výpoče solveos musí eo způsob dversfkae obsahova. Neí možé každému odvěví přřad seé paramery výpoču, a právě proo e zavedeo oo děleí. odobě ako se vyvíí ázory a způsoby výpoču solvečího požadavku, prohází vývoem le obhodu. Zaímo v QIS a QIS se sekáváme pouze s edeá lem obhodu (edou z h e zašěí), v QIS3 ž alézáme 5 lí obhodu, z hž ř sou věováy zašěí. ohopelě e ěžké přzpůsob poče lí obhodu růzým zemím v elé vropě. Například v Němeku používaí lí obhodu. e Švýarsku h alezeme e. Zde uvádíme le obhodu, ak ak byly avržey pro QIS3. Ade ad healh - workers ompesao Ade ad healh - healh surae Ade ad healh - ohers/defaul Moor, hrd pary lably Moor, oher lasses Mare, avao ad raspor Fre ad oher damage o propery Thrd-pary lably Cred ad sureyshp Legal expeses Asssae Msellaeous o-lfe surae N res propery N res asualy N res MAT 5

16 ... QIS 3 Celý výpoče QIS 3 elépe zázoríme pomoí obrázku. elm přehledě zobrazue srukuru všeh rzk a e z ě pará posupá agregae solvečího požadavku. Na vrholu e výsledá hodoa kapálového požadavku, kerou získáme součem základího solvečího kapálového požadavku s operačím požadavkem. Operačím rzkem se v omo případě rozumí rzko zráy vyplývaíí z edosaečos, selháí eríh proesů, praovíků a sysémů ebo z věšíh událosí. ýpoče ohoo rzka se opro mulos mírě změl a seě ak ve výpoču QIS. Naví do ohoo ového ávrhu byl přdá ový efek, a o úprava o absorp rzka děleí budouíh zsků a odložeýh daí. Jak shéma ve QIS zůsalo beze změy. Obrázek Shéma kapálovýh požadavků Solveos II, převzao z ehké spefkae QIS 3 [ 6 ] Nžším supěm e agregae solvečíh požadavků všeh hlavíh skup pošěí (ežvoí rzko, žvoí rzko, zdravoí rzko, rží rzko a kredí rzko). K omuo účelu se používá obeá agregačí formule popsáa v předhozí kapole s korelačí maí v příloze D. Jedolvá hlaví rzka se skládaí ešě z dílčíh rzk. Každé z h má své spefké vlasos a popsováí všeh ěho rzk eí možé zahrou do éo práe. Naším úkolem e sousřed se a problemaku ežvoího pošěí, a ak se v dalšíh kapoláh budeme věova v obrázku sloup alevo. díme, že se skládá ze dvou položek, a o kapálového požadavku posého rzka a rzka rezerv (premum ad reserve rsk) a ežvoího kaasrofkého rzka (aasrophe rsk). 6

17 ..3. GD Jak sme ž azačl a začáku, edolvé srukury se od sebe přílš elší. GD rozezává šes základíh skup. G vesčí rzko: úvěrové rzko, rží rzko, úrokové rzko a rzko měové G operačí rzko L rzka žvoího pošěí NL rzka ežvoího pošěí: rzko posého a rezerv NL rzko selháí zasele H rzka emoeského pošěí Tao rzka se ve výsledku kombuí ž popsaou agregačí formulí v prví kapole ( 7 ). okud ás ao formule bude zaíma e pro ežvoí pošěí, do kerého se uvažue kaegore G a G, výsledek e ásleduíí ( 3 ) SCR ( SCR G ) G ( SCRG G)( SCRG SCRNL SCRNL) SCR ( SCR SCR ) SCR SCR G NL SCR G NL SCR NL NL SCRNL G. NL Teo výsledek obdržíme z agregačí formule, pokud uvažueme korelae mez všem skupam pošěí ρ 0,5,. roměá G předsavue očekávaý výos z ves... QIS 3 - NL pr posé rzko a rzko rezerv osá rzka a rzka rezerv sou hlavím zdroem rzka v ežvoím pošěí. e směr vropského parlameu [ ] e uvedeo, že se pro ao rzka voří ásleduíí kapálové požadavky: Kapálové požadavky rzka zráy ebo epřízvé změy hodoy posýh závazků vyplývaíího z kolísáí ačasováí, čeos a závažos posýh událosí a ačasováí a výše čásek a lkvda posýh událosí. od pomem posého rzka rozumíme akové rzko, keré e způsobeo věším výda a obemem zrá, ež aké e obdržeé posé. Rzko rezerv, ak ž ázev apovídá, se ýká edosaečýh rezerv. Jedá se edy o edosaečé kryí ž asalýh škod, ož může bý zapříčěo špaým odhadem rezerv ebo o aké plye z povahy áhodos budouíh závazků. 7

18 .3. QIS 3 - výpoče NL pr Nyí se podíváme a kokréí ávrh výpoču uvedeý v QIS 3 [ 6 ]. Teo ávrh vyhází ze zkušeosí a výsledků QIS. ávrhu QIS probíhá výpoče velm podobě, ovšem e aví zahrua zeměpsá dversfkae. Too geografké rozlšeí se obevue v průběhu elého výpoču. éo prá se omezíme a původí model, ak ak e avrže v QIS 3. K výpoču pořebueme zá ásleduíí hodoy (poeháo původí začeí). CO lob elepší odhad závazků pro každou LoB, predepsaé ( lob (, predepsaé lob zasloužeé, lob y zasloužeé lob odhad předepsaého posého ásleduíího roku pro všehy LoB předepsaé posé za posledí rok pro všehy LoB odhad zasloužeého posého ásleduíího roku pro všehy LoB, zasloužeé posé z mulýh le y,,..., lob poče zámýh mulýh le pro edolvé le obhodu, evíe však 5, v QIS e ao maxmálí hodoa upravea a 5,0 ebo 5 le, dle ypu le obhodu y lob LR (loss rao) škodí poměr pro každou LoB z mulýh le y,,...,. Teo poměr se spoče ako vzklé závazky děleé zasloužeým posým. očíá se a ko roku a pro každou LoB. Kapálový požadavek e urče vzorem ( ), kde e obem zohledňuíí výše y lob (vz dále), směrodaá odhylka a q N,0, 995 e kval ormálího rozděleí. exp q N,0,995 l( ) ( ) NL pr CO lob a Čás vzore obsažeá v hraaé závore e odvozea za předpokladu logarmko-ormálího rozděleí a v souladu s hodoou v rzku a hladě 99,5%. Jelkož odvozeí ohoo vzore eí a prví pohled zřemé a eí kde v zadáí QIS 3 uvedeo, azačíme eo posup zde. íme, že se má eda o kval logarmko-ormálího rozděleí. Uvažueme-l LN ( ν ; τ ), poom kval ohoo rozděleí vypadá ásledově ( 5 ) q LN, α exp( ν qn, α τ ). Auoř vyházeí ze vzahu rovos sředí hodoy a rozpylu s momey logarmkoormálího rozděleí LN ( ν ; τ ). yádříme paramery logarmko-ormálího rozděleí ze sousavy ěho rovosí τ ( 6 ) exp ν µ 8

19 ( 7 ) exp( ν τ )( exp( τ ) ). Úpravou dosaeme ( 8 ) ν l µ ( 9 ) τ l. µ Jelkož se závorka ýká edokového obemu, položíme sředí hodou rovu edé. okud yí vzore ( 8 ) a ( 9 ) dosadíme do rove ( 5 ), dosaeme ž hledaý vzore v hraaé závore. Rove ( ) se dá ešě uprav do podoby, kerou lze lépe erpreova. NL pr exp q,0,995 l( ) ( 30 ) N Na levé sraě máme vyádřeí, o kolk vzrose hodoa edokového obemu v případě započeí kapálového požadavku. Na pravé sraě máme kval logarmko-ormálího rozděleí s paramery ( 8 ) a ( 9 ), keré sou odvozey pro sředí hodou a rozpyl. Jak víme z předhozí čás, eo kval odpovídá hodoě v rzku..3.. ýpoče obemu posého ýpoče hodo obemu posého a směrodaé odhylky probíhá ve dvou kroíh. Neprve se pořebé hodoy spočíaí pro edolvé le obhodu a v druhém kroku se spoí dohromady. obem posého rzka, respekve rzka rezerv ( prem, lob), ( res, lob) směrodaá odhylka posého rzka, respekve rzka rezerv ( prem, lob), ( res, lob) ýpoče obemu rzka rezerv e saove pouze přřazeím rezerv a posá plěí ( 3 ) CO. ( res, lob) lob Obem rzka posého e dá vzahem, predepsaé, zasloužeé, predepsaé ( 3 ) max( ; ;,05 ). ( prem, lob) lob ( lob 9 lob ( CO lob e druhém kroku získáme elkový obem ako souče obemů obou složek rzk přes všehy le obhodu ( 33 ) ( ). lob ( prem, lob) ( res, lob)

20 .3.. ýpoče směrodaé odhylky ýpoče směrodaé odhylky posého rzka e dá vzorem kredblí kombae vlasíh a ržíh odhadů směrodaé odhylky. Obě hodoy sou vážey kredblím ásobelem, ehož velkos e závslá a déle da, kerá máme př výpoču k dspoz. ( 3 ) ( U, prem, lob) ( prem, lob) lob ( U, prem, lob) lob ( M, prem, lob) vlasí odhad směrodaé odhylky pro posé rzko posého rží odhad směrodaé odhylky pro posé rzko ( M, prem, lob) lob kredblí ásobel Trží odhad směrodaé odhylky byl provede z da ěmekého rhu. Je urče ak, aby odpovídal vlasímu odhadu (obeě začeému s dexem d) ( 35 ) M d. Z ohoo důvodu auoř QIS 3 volí pro alezeí odhadu mmalza odhylky čverů (vážeou průměrou velkosí přaého posého pro každého upsovaele a příslušou LoB za daé období) ( 36 ) ( M d). d Kredblí ásobel se vypoče dle vzore ( 37 ). QIS e eo vzore ahraze pouze kokréím hodoam, keré sou ovlvěy růzou velkosí lob. ( 37 ) lob lob lob k 0,, lob& lob ak 7 zore ( 37 ) elý výpoče e založe a Bühlma-Sraubově modelu. e vzor se vyskyue kosaa k lob. Tao kosaa e určea a základě vzore ( 38 ). Auoř uváděí, že se eí hodoa pro edolvé le obhodu pohybovala v rozmezí od 3 do 5, a ak z důvodů zedodušeí zvoll hodou. ( 38 ) lob lob, lob, [ ] ( ) [ ( )] [ Σ ] zore ( 38 ) e odhadem kredblího fakoru z Bühlma-Sraubova modelu. Jedá se o odvozeí založeém a výpoču posého podle prpu rozpylu. Základí myšleky lze 0

21 aléz v kze Hase Bühlmaa [ ] ebo podrobě v čláku profesorky Lourdes Ceeo působíí a ehké uverzě v Lsabou [ 7 ]. Začeí: S škodí poměr v rzkové řídě v roe, kde,..., N;,...,. Odvozeí e provedeo za ásleduííh začeí a předpokladů: [ ] µ ( ) podmíěá sředí hodoa škodího poměru pro rzkovou řídu, ( ) [ ] podmíěý rozpyl pro škodí poměr v rzkové řídě, µ 3 [ ] ( ) podmíěý čvrý mome pro rzkovou řídu za předpokladu ormálího rozděleí, [, ] 0, r s ov podmíěá koae pro rzkovou řídu e mez růzým r s časovým okamžky ulová. Jedolvé rzkové řídy sou ezávslé a,..., sou seě rozděleé áhodé velčy. Kredblí posé se dá rozlož a ř čás čás odpovídaíí sředí hodoě, rozpylu a proměé čás. Nás především bude zaíma čás, kerá se ýká výpoču rozpylu. Čás sředí hodoy Hledáme kredblí odhad hodoy sředí kvadraké odhylky. ), ( 39 ) ˆ µ ( ) z ( z µ ( ) kde µ ve u 0 a základě mmalzae z a a s, s e dohad ( ), a e odhad ( ) µ.

22 Čás rozpylu ř odhadu éo čás posupueme aalogky ako v případě odhadu čás sředí hodoy. Opě budeme mmalzova sředí kvadrakou odhylku, ale yí vyházíme z u 0. Tedy hledáme řešeí pro, abyhom mmalzoval ( 0 ). 0 omoí prvíh dervaí položeýh rové ule získáme ásleduíí vyádřeí ( ) 0.,...,,, ov, ov k k k Druhou rov lze uprav a pro k,..., dosaeme ( ). k k k k k K výše uvedeé úpravě e pořeba ěkolka dalšíh kroků vz Ceeo [ 7 ]. Odvozeí e uvedeo v příloze A. Dále rov vyásobíme k a sečeme přes k ( 3 ). k k k ( ). Nyí dosadíme ( ) do ( ) a pro k,..., dosaeme ( 5 ). k k k k

23 Upraveím kulaé závorky a vyděleím rove sředí hodoou dosaeme rovos [ ] [ ( )] ( 6 ) ( ) k ( ) k k k, k,...,. Ozačíme ( 7 ) C [ ( )] [ ( )]. ( ) Hledáme vyádřeí pro k, upravíme rov ( 6 ) C ( 8 ) k ( k),,...,. k k k k k yužeme-l oho, že ( 9 ), pak porováím levé a pravé sray dodeme k výsledku ( ) [ ( )] C, k,...,. k k [ ( )] k ( ) ( ) Dosazeím ohoo vzahu do ( ) - vyádřeí pro 0 [ ( )] ( 50 ) [ ] ( ) ( ) [ ( )] [ ]( C ). 0 Nyí máme ž vyádřey všehy koefey pomoí vzorů ( 9 ), ( 50 ), keré dosadíme do leárího u odhadu. Tím získáme kredblí odhad čás rozpylu, kde ( 5 ) ˆ δ C Σ ( C ) ( ) Σ k ( ). k díme, že proměá C (určeá vzorem ( 7 )) e kredblím ásobelem. Naví sme získal hledaé vyádřeí vzore ( 38 ). ro úplos lze ukáza, že ( 5 ) [ Σ ] [ ( )] [ ( ) ]. ( ) Teo důkaz e aké uvede v Ceeo [ 7 ], vz příloha B. 3

24 Z ohoo plye, že kredblí ásobel lze opravdu erpreova ásleduíím vzorem ( 53 ) lob [ ( )] [ Σ ] Auoř QIS 3 saovl hodou kosay. k lob rovu čyřem. ř odhadu uvedeýh hodo pravděpodobě posupoval ásledově. Zavedeme ásleduíí začeí µ [ µ ( )], ( ) φ,, Σ. ξ ϕ oom sou odhady ásleduíí N ( 5 ) ˆ µ, ˆ φ Σ, N N N ( Σ ˆ φ) N ˆ ξ, ˆ ˆ ϕ ξ ( Σ ). N Lze dokáza, že ako saoveé odhady sou esraé. (pro pro ˆ ξ, ˆ ϕ Ceeo [ 7 ]). ˆ µ, ˆ φ Bühlma, Sraub [ ] a Nyí se opě vraťme k výpoču v QIS 3. osledí hodou, kerou ve výpoču pořebueme zá, e vlasí směrodaá odhylka. Neprve zsíme sředí hodou škodího poměru, kerou získáme vážeým součem škodíh poměrů z edolvýh le, kde ako váhu bereme zasloužeé posé. oé ž samoý výpoče směrodaé odhylky ( 55 ) y ( LR µ ), y ( U, prem, lob) lob lob lob lob ( prem, lob) y kde sředí hodoa škodího poměru e y y LR lob lob y ( 56 ) µ lob. y y lob Oba vzore vyhází z odvozeí uvedeého výše. rví vzore můžeme srova s ( 5 ). Druhý e odhadem sředí hodoy. Hodoa směrodaé odhylky rzka rezerv e v zadáí QIS 3 přímo určea kokréím hodoam (říloha ). maeráleh QIS 3 - kalbrae [ ] e pouze řečeo, že odhad byl saove podobě ako u rzka posého. Hodoy sou odvozey z aglkého a fraouzského rhu. Někeré z h sou určey a základě QIS. Bohužel se obeě

25 spefkae zadáí ezabývaí vysvělováím ěkerýh fxě saoveýh hodo, a ak ebyla možos e dále zkouma ýpoče elkové směrodaé odhylky Nyí se dosáváme ke kroku k elkové agrega. Celkový obem ž záme a yí musíme spočía elkovou relaví směrodaou odhylku ( 57 ),. CorrLobrr r r r, Odvozeí vzore ( 57 ) e možé pomoí vlasos rozpylu souču (obdobě ako vzore ( 3 ). Idexy r a vyadřuí všehy dvoe (prem,lob) ebo (res,lob). roměé r a pak vyadřuí relaví směrodaou odhylku příslušému r ebo vzhledem k obemu r a. CorrLobr r, sou odhady prvků korelačí mae mez rzkem posého a rzkem rezerv. Co se ýče korelačí mae, podkladem pro eí hodoy byly údae z ěmekého rhu. U edolvýh pošťove se sledovaly hodoy eméě v deseleém horzou a z ěho pozorováí byly vypočey základí hodoy pro uo ma. Hodoy v éo ma byly saovey pro účely vyhodoeí kvaaví dopadové sude... GD - výpoče NL Nyí se vraťme k ávrhu Němeké asoae poselů GD. Rozdílý pohled alezeme a klíčový ukazael. Neuvažuí škodí poměr ako v zadáí QIS 3, ale volí kombovaý poměr (ombed rao). Te aví zahrue provozí áklady pošťovy. Teo poměr by pošťovy měly bý shopé dopočía pro edolvé le obhodu ěkolk le azpě S BK B ( 58 ) T. S škodí áklady očšěé o zašěí B zasloužeé hrubé posé očšěé o zašěí BK provozí áklady Teo ukazael e poměrě dobře erpreovaelý. okud e meší ež eda, výdae sou meší ež zasloužeé posé a dohází k zsku. okud e omu aopak, pošťova musí uhrad víe, ež obdržela zasloužeého posého. To ovšem ešě emusí zamea, že dohází ke zráě, eboť pošťova může realzova zsk z vesovaého přaého posého. 5

26 omo ukazael sou zahruy oba dva ypy rzk ežvoího pošěí (posého a rezerv). Model spoléhá a vlasí hodoy pošťovy, keré sou dobře korolovaelé dohledem. odle auorů modelu GD rozděleí rzka a čás posého a rezervy e velm obížé a přeslo by epřesé výsledky. zhledem ke sahám o poměrě edoduhý a raspareí model se považue eo přísup za vhoděší. ř odvozeí kapálového požadavku v QIS 3 bylo použo logarmko-ormálího rozděleí pravděpodobě z oho důvodu, aby lépe vyshlo svým zeškmeým em podsau škod. Němeká asoae poselů GD používá př výpoču posého rzka ormálí rozděleí a hodou v rzku. yházíme z kombovaého poměru T, kerý považueme za áhodou velču s prvím a druhým momeem ( µ, ). Cílem e získa solvečí kapál K v proeuálím vyádřeí ze zasloužeého posého B. Solvečí kapál musí splňova podmíky hodoy v rzku. Nežádouí suae asává, pokud T > 00%, z oho plye ( 59 ) ( 00% > K ) α. T oužím kvalu q α rozděleí T ( 60 ) 00% q. K α Nyí se zavede věrohodosí fakor a q α µ, kerý se dosadí do ( 60 ) ( 6 ) K a µ 00%. případě ormálího rozděleí se edá o kval sadardzovaého ormálího rozděleí, eboť se sředí hodoa odeče a směrodaá odhylka zkráí. odobě omu e pro logské rozděleí ebo dvoě expoeálí. příloze e uvedeo podroběší odvozeí a z ě plyouí důsledky (říloha C). Kombovaý poměr za elou pošťovu e slože z dílčíh kombovaýh poměrů B z edolvýh lí obhodů vážeýh podílem a elkovém hrubém posém b. B ( 6 ) T b T. Z čehož ž plye vyádřeí pro a ve vzor ( 6 ). ( 63 ) a a ρ b b ρ K K, K ab, ρ or( T, T ).,, 6

27 Dosazeím do vzore ( 6 ) a zašěím kladé hodoy získáváme ásleduíí relaví kapálový požadavek ( 6 ) K max 00%; 0. ρ K K µ, ýsledkem e podobá agregačí formule pro edolvé le obhodu ako v případě QIS 3. Korelačí mae e odvozea ze škodíh poměrů za edolvé le obhodu z le Záporé hodoy sou v éo ma ahrazey ulam. Hodoa µ e vážeý průměr mmálě pě kombovaýh poměrů. případě, že eí k dspoz pě hodo poměrů, e µ 00%. Směrodaá odhylka by měla bý bráa z posledíh paá le. íe o éo problemae v ásleduíí čás. Co se ýče volby věrohodosího fakoru a, auoř hovoří o možos koroly ze sray dohledu a aví přzpůsobeí podmíkám rhu. Záleží a zvoleém rozděleí a aké a zvoleé hladě α. zhledem ke kvalům ormálího č logského rozděleí a hladě výzamos 99% a 99,5% auoř modelu GD volí hodou a 3 (vz říloha C).... Saoveí směrodaé odhylky ro výpoče e důležé urč správé hodoy směrodaýh odhylek. očíaí se z paáleýh da, ož u ěkerýh pošťove může způsob komplkae, eboť yo hodoy emaí. Může o bý z růzýh důvodů, apříklad, že sou přílš mladé a o, aby ao daa měly k dspoz ebo e esou shopy ze získaýh da zpěě zs. okud máme všehy údae k dspoz, ak o zameá, že máme k dspoz velkos škodíh poměrů z mulýh období,,..., 5, pak výpoče probíhá ásleduíím, lob způsobem. Neprve spočeme průměrou hodou ze škodíh poměrů B, lob, lob ( 65 ) lob. 5 B 5, lob A yí odhademe směrodaou odhylku ( 66 ) B ( ). B 5 lob, lob, lob lob případě, že emáme dosaek údaů, musíme použí hodoy, keré sou odvozey z ěmekého rhu. Too odvozeí lze aléz v příloze GD [ 8 ]. e vzor ( 58 ) pro kombovaý poměr se uvažue pouze podíl škodíh ákladů k zasloužeému posému. 7

28 Odvoďme, ak vypadá rozpyl škodíh ákladů. ředpokládáme, že má složeé rozděleí. ( 67 ) S k ( N ) k ( N ) N 0 N k N 0 k ( N ) ( ) ( N ) 8 N N. Což po vyděleí zasloužeým posým (hápáo podle GD ako obem obhodu), dosáváme S B N B B N N ( 68 ). Zaměříme se a čley N / B a N / N. Lze předpokláda, že sou éměř ezávslé a velkos posého. okud budeme apříklad uvažova pro poče škod ossoovo rozděleí, e druhý poměr rove edé. Na druhou srau sou závslé a frekve škod a oho využeme. Spoíme všehy proměé ezávslé a B do proměé f. Tao umoěá proměá má seou edoku ako zasloužeé posé. Naví zavedeme začeí pro proměou sze faor sf. ( 69 ) & f B ( 70 ) sf B A závěrem získáme vzore pro výpoče ablího fakoru pro každou l obhodu. Je odvoze ze vzore ( 69 ). ro každou l obhodu za B dosadíme průměrou hodou pozorovaou a rhu B ( 7 ) f &, kde B e obem posého a rhu pro daou l obhodu a poče pošťove a rhu. Nyí sme ž shop spočía kapálový požadavek pro daou l obhodu, kerý můžeme dosad do agregačí formule ( 6 ). říloha F obsahue číselé hodoy. ( 7 ) K a B sf f. opsal sme oba dva přísupy saoveí směrodaé odhylky. GD avrhue mezsupeň mez ěmo exrémím přísupy. okud sou k dspoz daa za víe ež dese le, e možé brá poměr obou zmíěýh přísupů. Teo kombovaý model e použ ve výpočeh v posledí kapole.

29 .5. GD - výpoče NL Tao čás kapálového požadavku se ýká rzka selháí zasele. Je založea a ragu zasele. Každé kaegor e přřaze ásobel (rsk faor RF). Tímo ásobelem e pak ásobea čás rezerv odpovídaíí zasel sížeá o akredvy a zasá depoza. oé se použe opě koačí formule pro zkombováí s osaím rzky (vz vzore ( 3 )). Je použa hodoa korelačího koefeu 0,5. Nkde eí vysvěleo, proč e zvolea ao hodoa a zda e ao agregae v éo podobě opodsaěá..6. NL a ežvoí kaasrofké rzko Kaasrofké rzko paří mez rzka, kerá mohou mí velký dopad a hod pošťovy. Mohou se ož proev ve víe obhodíh líh aedou. Defe kapálového požadavku pro oo rzko opě ze směre vropské komse [ ]. Kapálový požadavek kaasrofkého rzka e hápá ako požadavek a rzka zráy ebo epřízvé změy hodoy posýh závazků vyplývaíího ze začé eurčos předpokladů př vorbě e a saoveí rezerv v souvslos s mmořádým ebo výmečým událosm. ř výpoču éo čás kapálového požadavku e důležé se vyhou dvoímu započíáí rzk, kerá sou ž započea v rzku posého a rezerv..6.. ýpoče podle QIS 3 Modelováí ohoo rzka se provádí pomoí séářů. Tím se výpoče lší od dřívěšíh ávrhů GD. Kvaaví dopadová sude uvádí kokréí rzka, kerá musí bý do séářů zahrua. Dále se musí brá ohled a událos, keré saoví příslušý mísí dohled. Samoý výpoče probíhá podle ásleduíího vzore: ( 73 ) NL. CAT CAT Souče sumy e přes akové, pro keré séáře přesáhly určý práh, kerý byl ouo kvaaví sud saove a 5% ehoršího séáře. Ze vzore e paré, že se euvažue závslos mez edolvým séář. ávrhu QIS e aké možý sadardí přísup, pokud esou k dspoz příslušé séáře. 9

30 .6.. ýpoče podle GD ředpokládaé škody se odvozuí ze škod a elém posém rhu. Na rozdíl od popsu ve QIS 3 e zde uvedeo podrobé odůvoděí posupu výpoču, a ak se mu můžeme blíže věova. Jak e uvedeo výše, e řeba s uvědom, že kaasrofké škody aké zahrueme do výpoču kombovaého rzka. Jelkož e však epřípusé zahruí dvoího započíáváí rzka, ) zavádí se kval q q q. α αo q α e kval z rozděleí všeh škod. Zaímo druhý kval q α o e zde příome, aby odsral dvoí započíáváí. Jelkož se směrodaé odhylky počíaí z da s paáleým horzoem, kval o odpovídá rozděleí škod s dobou opakováí do paá le. q α Začeí ýkaíí se přírodíh kaasrof: S M, S ročí výše škod (dex M ozačue elkovou rží, dex dvduálí) M, příslušé posé čásky B M, B zasloužeé hrubé posé Za předpokladu ( 7 ) S BK & ( S BK ) M M dosaeme přblžou hodou dvduálího kombovaého poměru ( 75 ) ( S BK ) M M M T B T M M B B M e sadardím modelu se zavádí zedodušeí. řblžě můžeme předpokláda, že B ( 76 ) M & a T M &. B M M. oom ze vzore ( 76 ) plye, že s dvduálí a rží kombovaý poměr odpovídaí a sředí hodoa dvduálího kombovaého poměru e rova přblžě edé. okud provedeme obdobé odvozeí ako pro posé rzko a rezerv, dosadíme upraveou hodou kvalu, kapálový požadavek bude vypada ásledově ( 77 ) ) ) B K NC q q M. B M 30

31 ohopelě u ohoo ypu rzk e řeba brá ešě v úvahu zašěí. Co se ýče proporoálího zašěí s poměrem, vzore můžeme uprav ásledově ( 78 ) K ( ) q. NC ) M B B M okud aví budeme uvažova eproporoálí yp, a o zašěí časového adměrku škod s výší, vzore ešě můžeme uprav do ásleduíí podoby ) B q M BM ( 79 ) max ( ) ;0. K NC.7. Kapálový požadavek ežvoího pošěí od ázvem éo kapoly se eskrývá ého ež agregae NL pr a NL CAT za pomo sadardí agregačí formule. Kapálový požadavek e podle éo formule vypoče ásledově rx ( 80 ) SCR CorrNL NL NL. l rx r Suma ve vzor se sčíá přes všehy prvky korelačí mae. NL r, NL sou hodoy příslušýh kapálovýh požadavků NL pr a NL CAT v závslos a poz v korelačí ma. rx CorrNL NL pr NL CAT NL pr NL CAT 0 Tabulka 3 Korelačí mae agregae hlavíh skup ežvoího pošěí Jelkož se požadavky předpokládaí ezávslé, vzore ( 80 ) můžeme přepsa do ásleduíí podoby ( 8 ) SCR NL NL. l pr a 3

32 3. IAA Celkový ráme pro hodoeí solveos poselů Dokume A Global Framework for Isurer Solvey Assessme byl sepsá praovím ýmem Mezárodí akuárské asoae v období Jeho účelem bylo popsáí způsobu měřeí solveos. Mělo se eda o podpůrý dokume, kerý přspěe k vybudováí elosvěového přísupu výpoču solveos. IAA shledala eo dokume ako velm dobrý sudí maerál. Nás z ě bude převážě zaíma případová sude věuíí se ežvoímu pošěí. Cílem éo případové sude e prakká ukázka výpoču solveos. Jako sadardí model e použa fakorová RBC formule. Jsou zaedbáváa rzka, kerá esouvsí s upsováím. ýpoče e provede pomoí zbykové hodoy v rzku a hladě 99%. ro ázoros výpoču auoř uváděí výpočy a dvou růzýh pošťováh a pro růzé druhy zašěí. Jeda z pošťove e desekrá meší. rví způsob výpoču e bez zašěí, ve druhém způsobu e kryo 95% převyšuíí 50 mloů dolarů (respekve 5 mloů) ze zrá z kaasrof. Třeí způsob aví přdává mlóový lm a osaí skupy rzk, é ež e kaasrofké. ro vývo škodí rezervy během účeího období se předpokládá seý model ako pro vývo škod. ABC Isurae Copay YZ Isurae Copay Le of Isurae Dre remum Loss Reserve Dre remum Loss Reserve Auo Lably 30,000,000 03,0,7 3,000,000 0,3,07 Auo hysal Damage 35,000,000 9,55,630 3,500,000,95,563 Homeowers 75,000,000 6,578,83 7,500,000 6,57,88 Commeral Lably 30,000,000 35,90,005 3,000,000 35,9,00 Commeral ropery 00,000,000 6,0,06 0,000,000 6,0, Toal,560,000, ,538,735 56,000,000 99,953,873 Tabulka - modelový příklad pošťove, převzao z [ ] 3.. Fakorový model RBC ýpoče e založe a fakorovém modelu. omoí ěho se odvozuí prví dva momey elkového rozděleí škod. Tyo hodoy lze ž poé použí k výpoču zbykové hodoy v rzku. ředpokládá se, že dsrbučí fuke škod odpovídá logarmko-ormálímu rozděleí. Model e lvý a velkos a volalu každé le obhodu, podmíky zašěí a vzahy mez edolvým lem obhodu vyádřeou apříklad korelaem. Jako vsupí formae 3

33 e řeba mí k dspoz očekávaé zráy za každou l obhodu. Další paramery modelu asavue příslušý dohled ebo posel. ops algormu:. ro každou obhodí l : Zvolíme áhodé číslo Gamma rozděleí: p a x Γ p ( p) χ z gamma rozděleí se sředí hodoou a rozpylem ax p p e, x 0 s,. a a Jelkož sředí hodoa má bý rova edé, dosaeme rovos vyádř p a dosaeme rozděleí gamma p Zvolíme áhodý poče závazků kde ( p p x Γ. a p. Dále můžeme p ( p) e px, x 0. K z ossoova rozděleí se sředí hodoou χ λ, λ e očekávaý poče škodíh ároků pro l obhodu K λ a K λ λ ). ro každé a k,, K zvolíme velkos škodího ároku Z k z logarmkoormálího rozděleí se sředí hodou µ a směrodaou odhylkou.. Úhr škod pro každou l obhodu e pak defová ásledově Z k K k. zhledem k zámým hodoám momeů výpoče momeů. K pomoí Waldovy rovos dosaeme λµ KZ K Z Z λ λ λ µ K ( 8 ) 3. Zvolíme áhodé číslo p z rovoměrého rozděleí a [, ] vybereme [ β ] b ro každou l obhodu β akožo p-ý kval rozděleí se sředí hodoou β a rozpylem. Tímo krokem získáme mohorozměré rozděleí, kde se koefe korelae předpokládá rove edé. Hodoy mez edolvým obhodím lem.. Spočeme elkový úhr škod β. β použeme v dalším kroku k vyádřeí závslos Jak sme ž řekl, budou ás zaíma momey a. ýpoče sředí hodoy e ž sadý, eboť víme, ak vypadaí sředí hodoy a β. ( 83 ) β [ ] [ ] λ µ

34 ř výpoču rozpylu musíme vzí v úvahu korela edolvýh složek. ( 8 ) β ov[ β, β ]. ro ( 85 ) A pro : ov [ β, β ] [ β ] ( [ β ] ) [ β ] [ ] ( [ β ]) [ ] β [ β ] [ ] ( [ β ])( [ ] ) ( b) [ ] b ( [ ] ) ( b )( λ ( λ λ ) µ ) bλ µ. obdobě: ov[ β, β ] λµλ µ ρ b b. ( [ ]) Nyí ž máme vše pořebé k omu, abyhom mohl spočía zbykovou hodou v rzku. yhází se logarmko-ormálího rozděleí, vz Loss Models [ 3 ].. Neprve rozděleí škod ahradíme rozděleím ˆ s logarmko-ormálím rozděleím ak, aby se sředí hodoa a rozpyl rovaly odhaduým momeům z předhozí čás.. Dále se určí hodoa v rzku a 99% hladě pro logarmko-ormálí rozděleí ( 86 ) ar exp( ν z ) exp z. α α α 3. Následue výpoče omezeé očekávaé hodoy, ebol sředí hodoy z mma velčy a hodoy v rzku z pro logarmko-ormálí rozděleí.. ak ž můžeme vypočía zbykovou hodou v rzku ( 87 ) TaR α ar α α [ arα]. S ímo vyádřeím zbykové hodoy v rzku sme se ešě v aší prá esekal. roo s ukažme eho odvozeí. ydeme ze vzore ( 7 ) a rozdělíme eo egrál a dva α α ( 88 ) TaR α x df x x df x x df x. arα Nyí s vyádříme, ak vypadá sředí hodoa z mma áhodé velčy (s dsrbučí fukí F) a pevě zvoleé hodoy x x arα ( 89 ) [ x] df( ) x df( ) df( ) x F ( x) x x. 3

35 Za x dosadíme hodou v rzku a vyádříme egrál a pravé sraě x ( 90 ) df( ) [ ar ] ar ( F ( ar )) [ ar ] ar ( α). α α α α α Dosazeím ( 90 ) do ( 88 ) dosáváme hledaý vzore ( 87 ). Co se ýče asaveí proměýh v modelu, auoř se dále e vyadřuí k volbě hodo b a. okud vyádříme rozpyl škodího poměru pro velču Y, kerá e součem ezávslýh seě rozděleýh áhodýh velč Y, dosaeme ( 9 ) Y Y Y ( Y ). Rozpyl škodího poměru se pro rosouí sžue, ož by zamealo e velm malé rzko. Model uvedeý výše se uo sua saží odsra a zašťue sou mmálí mez ve výš b b pro každou l obhodu ( 9 ) b µ [ b ] λµ ( b ) b. okud zvyšueme poče škodíh ároků λ, rozpyl škodího poměru kdy eklese pod ž zmíěou hra. aramer váší do modelu korela mez edolvým závazky v rám edé le obhodu, zaímo paramer b ovlvňue korela mez růzým lem obhodu. posupu pro výpoče zbykové hodoy v rzku hybí přesá defkae modelu. Tedy máme model, kerý se používá k výpoču, ale ž se auoř ezbývaí ím, zda e opravdu eo model možo použí a daá daa. omoí modelu dosaeme rozložeí pravděpodobos s paramery dle záměru užvaele, ale ž model dále ezkoumáme. 35

36 . Švýarský solvečí es éo kapole se zaměříme a vývo a současý sav výpoču solveos ve Švýarsku. Jelkož ao země eí čleem vropské ue, mohlo by se zdá, že se o vývo Solveos II emusí zaíma. Opak e pravdou. éo zem započal vývo ového přísupu k regula a měřeí rzk ve zhruba seé době ako záem o Solveos II v vropě. Avšak v současé době e ž v éo zem zavede plě fukčí sysém pod ázvem Švýarský solvečí es (SST Swss Solvey Tes). Celá kapola byla vypraováa dle ásleduííh exů [ 0 ], [ ], [ 5 ], [ 6 ]. rví podě k ovému regulačímu mehasmu přesl Herber Lühy (ředel FOI - Federal Offe for rvae Isurers) koem roku 00. Hlavím ílem ohoo přísupu byla ohraa pošěů a fačí sabla pošťove a zašťove. Na počáku roku 003 byly započay dskuze ohledě podoby solvečího esu. Byla vydáa zv. Bílá kha (Whe papers), ve keré sou usaovey hlaví myšleky ového přísupu. Do koe roku 005 rvala esovaí a kalbračí fáze. Od počáku roku 006 e v plaos záko, kerý upravue daou problemaku. S ímo zákoem vsupue v plaos povos pro velké žvoí a ežvoí pošťovy vykazova podle ovýh pravdel. Od roku 008 se ěmo pravdly ž musí říd všehy pošťovy zašťovy ve Švýarsku bez výmek... orováí Solveos II a SST Neprve se podíveme a zaímavé srováí časového vývoe obou proeků. díme, že proek SST začal o ěo pozdě, přeso e ž v plaos. Zasé o může bý velkosí a edoosí švýarského rhu ve srováí s elou vropou. SST Fáze I Fáze II Fáze III přípravá fáze kalbrae modelů mplemeae vývo modelů dvě esovaí záko plaý od období od 008 pro všehy pově Solveos II Fáze I Fáze II Fáze III přípravá fáze esovaí fáze mplemeae - zákoy vorba ří plířového QIS, QIS Solvey II Dreve sysému Calls for Adve QIS3, QIS Obrázek 3 Časové porováí SST a Solveos II 36

37 Jak ž bylo řečeo, Švýarsko eí čleem vropské ue, přeso SST byl vyvíe s ohledem a kozse se Solveosí II. Můžeme však pozorova rozdíly, z hž ěkeré shrue ásleduíí abulka. SST Solveos II 99% TaR 99,5% ar MCR saoveo ako 60% SCR Dosud erozhoduo, zda MCR bude urče ako podíl SCR ebo zda bude probíha dvduálím výpočem Nesou saovey podmíky a kvalu kapálu Nekvafkue operačí rzka plaos od rpal-based možé rozšířeí movae a zlepšeí rospekví (aké holadský a kaadský model) Je brá ohled a kvalu kapálu zv. ers I, II, III Kvafkue operačí rzka e vývo, současá fáze QIS Rule-based přesě spefkovaé, možos eríh modelů Rerospekví (věša) Tabulka 5 orováí SST a Solveos II Společýh zaků mez ěmo modely alezeme bezesporu hodě. Rozhodě mez ě paří smysl a íl obou proeků. případě Solveos II se aví auoř museí poýka s odlšým ormam v edolvýh zemíh. Další shodou vlasosí e možos výběru sadardího č erího modelu. e Švýarsku e však klade důraz a vývo vlasíh modelů. Na sadardí modely e pohlížeo ako a ěo velm edoduhého, ož e u zvlášě velkýh společosí evhodé. Zaímo v proeku Solveos II e a sadardí model klade velký důraz. Auoř SST považuí vorbu eríh modelů za ěo velm pozvího, o přspěe k porozuměí vlasím rzkům. Naopak odsuzuí použí předem saoveého modelu bez dalšíh úvah. Mez další společé vlasos paří moderzae zasaralého sysému, ří-plířový sysém podobě ako v bakovví, fačí sabla rhu a v eposledí řadě ohraa spořebele. Co se ýče rzk, oba esy berou v poaz růzé druhy rzka a e pouze rzko posé. Oba esy sou svým účelem a srukurou vele podobé. Dále se podíváme blíže a způsoby výpoču a v souladu s émaem éo práe se zaměříme a výpoče solvečího požadavku ežvoího pošěí. 37

38 .. rpy a hlaví íle SST éo kapole uvedeme hlaví prpy Švýarského solveího esu. Někeré z h sme ž azačl v předhozí kapole. Akva závazky sou oeňováy ržě kozseím způsobem e důležé obě skupy oe pomoí seýh meod. okud e o možé, akva sou ohodoea dle ržíh hodo, ak pomoí srovaelýh hodo s ohledem a lkvdu a další paramery. U závazků se ako rží odhad bere souče elepšího odhadu (bes-esmae) a rzkové marže (rsk marg). Kompabla s U a Solveosí II dva růzé esy, obdoba MCR a SCR. - Mmálí solveos Mmum solvey (sauárí) - Cílový kapál Targe apal (ržě kozseí) Mmálí solveos e založea a sauárí rozvaze, eí výpoče e edoduhý, ale eodráží elkovou rzkovou sua a rozdíl od ílového kapálu spočeého a základě ržího přísupu. Obrázek Rozdíl mez sauárím a ržím přísupem, převzao z prezeae SST [ 5] Kapálová přměřeos e považováa za dosačuíí, pokud e ílový kapál meší ež rsk-bearg kapál. TC < RBC víe v ásleduíí kapole. Kompabla s osaím účasíky výpoče kredího rzka dle BASL II v ěh oblaseh, kde maí společé podmíky s bakovím sekorem. okud eí možo použí sadardí model, musí se použí čásečě ebo zela vlasí model. SST se ýká všeh společosí a skup, keré maí sídlo ve Švýarsku. 38

39 Společos e pova zas raspareí zprávu přehledos, smysluplos a odůvoděí zvoleýh modelů a meod. Od e ve Švýarsku zavedea fuke odpovědého posého maemaka, kerý e za uo zprávu a elý výpoče zodpovědý.... Cílový a rzkový kapál Jž záme rozdíl mez sauárím a ržím přísupem. Nyí se podrobě podíváme a výpoče ílového kapálu v ržím přísupu. Cílový kapál e slože ze dvou hodo, a o z rzkové marže a zbykové hodoy v rzku z rzkového kapálu s obdobím edoho roku a hladou 99% (ve švýarské ermolog používáa velča expeed shorfall). řesože se edá o hodou v rzku, e řeba dá pozor, že ao velča eí defovaá pro pravý okra rozděleí výše škod. Zaímáme se o levý okra rozděleí rzkového kapálu. ro rozlšeí budeme uo hodou zač S α a můžeme defova ásledově, SST ( 93 ) S ar kde ar SST sup x : ( x) α α α ( α). Rzková marže předsavue dskoovaou hodou hypoekého budouího ru-off všeh posýh závazků. yadřue případou kompeza pro řeí srau za převzeí závazků v případě epřízvé suae. Cílový kapál (TC) Rzkový kapál (defová pomoí S) Rzková marže (kryíí případé ru-off) Obrázek 5 Rozklad ílového kapálu Rzkový kapál (Rsk Bearg Capal RBC) e defová ako rozdíl mez ržě kozseí hodoou akv a dskoovaou hodoou elepšího odhadu závazků (vz Obrázek 6). Dále ukážeme, ak se hová RBC v čase. Obrázek 6 Chováí RBC v čase, převzao z [ 6 ] 39

40 Na obrázku vdíme vývo hodoy RBC a začáku a a ko účeího období. Zaímo a počáku e hodoa dáa, a ko eí hodou ezáme. podsaě mohou asa ř možos, kerýh může RBC abý. případě horí čás eí žádý problém, rží hodoa akv e věší ež rží hodoa závazků. e zbylýh dvou případeh se dosáváme do problémů. Obě suae zameaí sua, kdy asává ru-off. případě prosředí čás e suae zvláduelá, eboť e hodoa akv dosaečě vysoká a o, aby pokryla očekávaou hodou budouíh závazků. e spodí čás bohužel esou yo prosředky k dspoz a eí možo plě uspoko závazky. Hra mez prosředí a spodí čásí lze vyádř pomoí rzkové marže, kerá e popsaá výše. Nyí ž můžeme přsoup k popsu výpoču ílového kapálu. Te se má rova současé hodoě RBC 0, přčemž víme, že zbyková hodoa v rzku RBC e rova současé hodoě rzkové marže RM 0 ( 9 ) S ( RBC RBC TC). α 0 RM 0 e Švýarském solvečím esu se používá aproxmae (odvozeo Gsler [ 9 ]) ( 95 ) RBC TC Sα RBC0 RM 0, r kde r e ročí bezrzková úroková míra v čase Nežvoí pošěí v SST Jelkož e elá práe zaměřea a ežvoí pošěí, v kapole SST se omuo émau budeme věova podrobě. řesože e v Švýarsku klade velký důraz a erí modely, v éo kapole popíšeme prpy sadardího modelu. Způsob výpoču solvečího esu e v éo zem založe a ém prpu ež v Solveos II. Jedá se o model, kerý praue s růzým druhy pravděpodobosíh rozděleí, keré ásledě agregue dohromady. Cílem e dosáhou kokréího rozděleí vyadřuíí možé změy rzkového kapálu v období edoho roku. Mez fakory ovlvňuíí eo výpoče paří výše zasloužeého posého, áklady pošťovy, budouí závazky a změy v rezerváh. Rezervy sou modelováy pro všehy le obhodu dohromady a pomoí pouze edoho rozděleí. Co se ýče budouíh závazků vzklýh škodam, dělí se a ř kaegore. rví z h sou škody velké, keré sou méě časé, druhou skupu voří aopak škody meší respekve ormálí, ale frekveovaěší. 0