NEJISTOTA ODHADU AMPLITUDOVÉHO DFT SPEKTRA

Transkript

1 EJISTOTA ODHADU AMPLITUDOÉHO DFT SPEKTRA Marti ovotý, Miloš Sdláč Čsé vysoé č tchicé v Praz, Fal ltrotchicá, atdra měř 1. Úvod Frvč aalýza, čili alz rvčho sptra sigál, patř důlžitým úlohám v moha tchicých obstch. S rozvojm čslicové tchiy s stál častěji začalo vyžvat výhod čslicového zpracová sigálů v rvč aalýz jd o zsá odhad sptra pomoc DFT). Z ho důvod j vhodé zabývat s otázo přsosti odhad sptra při požit DFT. sočasé době s postpě přcház ovým mdám vyjadřová odchyl měř. Dosavad chyby měř jso ahrazováy mi měř. Z ho důvod považjm za vhodé strčě problmati t měř připomot.. ty měř praxi jso žádé měř, žádá měřic mda ai žádý přstroj absoltě přsé. jrůzějš ga vlivy, tré s v rálém měřicm procs vysytj, s projv odchylo mzi aměřo a stčo hodo měřé vličiy. ýsld měř s vždy pohybj v tém lračm poli olm stčé hodoty, al téměř idy astává idál zžě obo hodot. Rozsah hodot, jž j možo racioálě přiřadit měřé vličiě, charatrizj paramtr azvaý měř..1 ty měř - diic.1.1 Sdard ty měř s rozm výsld měř přidržý paramtr charatrizjc rozptýl hodot, tré lz odůvoděě poládat za hodot vličiy, trá j objtm měř [1]. Zád vati charatristio j sdard. J směrodatá odchyla vličiy, pro ž j dáváa. Sdard ty s podl způsob svého vyhodoc děl a sdard ty typ A sové z výsldů opaovaých měř obcě stistico aalýzo séri aměřých hodot a a sdard ty typ B zsaé jiými způsoby. Sdard ty typ B pocházjc z růzých zdrojů s slčj do výsldé sdard ty typ B..1. Kombiovaá sdard praxi s j zřda vysč s jdm bo drhým typm ty samostě. Pa j za potřb sovit výsldý t ombiovaých t měř obo typů, A i B. Kombiovaá sdard s zsá sločm sdard ty typ A s výsldo sdard typ B: x) x) + x) A B d x) j ombiovaá sdard, A x) j sdard typ A, B x) j výsldá sdard typ B. 1).1.3 Rozšřá Původě sová směrodatá odchyla tdy i sdard ) přdsvj apř. jčastěji požvaého ormálho rozděl itrval rčý s pravděpodobost asi 68 %. Podobě j m i jiých záoů rozděl. Aby bylo dosažo lpšho itrval poryt blžcho s 1 %, j třba rozšřit sdard t čiitlm rozšř r [1]. Pro ormál rozděl r odpovdá úrovi oidc 95 %, r 3 odpovdá oidci 99,7%. Rozšřo t lz pa vyjádřit: U r d U j rozšřá, r oicit rozšř, sdard. S rozšřo j vést čiitl rozšř r. )

2 . Záo šř t Pro přmá měř lz t vličiy y závislé a vličiách x i rčých přmým měřm jjich odhady a ty jso zámy), j-li záma č závislost y x 1, x,..., x ), rčit z vzh [1]: y) x ) 3) i i 1 xi d y) j ombiovaá sdard vličiy y, x i ) sdard měřé vličiy x i. T vzh pt poz pod jso vličiy x 1 až x orlovaé. opačém přpadě j třba orci do vzh zahrot viz [1]..3 Zdroj t Měřic systém s sládá z ěolia bloů. přpadě čslicových systémů jso většio smač, obvody pro přdzpracová sigál, měřic ar pro sběr dat s vzorovačm, AČ přvod a počč vybavý přslšým sotwarm. Každý blo měřcho řtězc j zdrojm t, tré s šř s průchodm sigál do ásldjcch bloů a přispvaj výsldé ombiovaé tě výsld měř. My s zaměřm a ty způsobé vavám přdsvjc domiat zdroj t) a jjich šřm algoritmm DFT..4 způsobá vavám Kvavá j jčastěji modlováo šmm s rovoměrým rozložm pravděpodobosti v rozsah ± ½ vatizačho ro. t způsobo vavám vzor můžm vyjádřit jao směroda odchyl áhodé vličiy s rovoměrým rozdělm dl vzh: rag 4) 1 1 d j jmš vavac ro, rag j rozsah AČ přvod a j počt bitů AČ přvod. U rálých AČ přvodů s lz spolhot a rozliš odpovdajc omiálm počt bitů, stčé rozliš j mš a popisj ho paramtr zvaý počt bitů []. Pomoc můžm vyjádřit t zsaého vzor pomoc vzh [3]: rag 1 5).5 vstho algoritm DFT zh 5) rčj t jdotlivých odbraých vzorů. ás zajmá jaým způsobm s projv v výsldé posloposti, tro zsám apliac DFT a vstp vzory. To ztm požitm záoa šř t 3) a algoritms DFT. DFT j diováa vzhm [4,5]: X ) 1 x ) π j d x) j poslopost vzorů a X) j omplx poslopost vzorů rprztjc sptrm. Poslopost X) j v obcém přpadě omplx a lz ji tdy zapsat jao X) R) j I). Pom rálo slož R) a imagiár slož I) můžm vyjádřit s vyžitm Elrova vzh ásldově: 1 π ) x ) cos 1 π ) x ) si R I 6) 7) 8)

3 Pomoc těch slož j možé vyjádřit amplitdovo část sptra: M ) X ) R ) + I ) 9) Apliac záoa šř t ztm, ja s projv vavá v výsld DFT: M )) pro pro 1) 3. Odhad amplitdového sptra Z posloposti DFT rsp z modl jjch hodot) chcm zsat odhad amplitdového sptra. Pro postp zsá odhad j rozhodjc zda s jdá o přpad ohrtho vzorová, dy poslopost DFT rprztj rvč sptrm ortě, bo j přpad ohrtho vzorová, při trém vziá rozmazá sptra. 3.1 Kohrt vzorová Aby došlo rozmazá sptra, j třba zatit odbrá clistvého počt priod vstpho sigál. To odpovdá požadav a splě podmy: m 11) sig vz d sig j rvc sigál, j počt vzorů DFT, vz j vzorovac rvc a m j přirozé čslo. Odhady střd hodot sigál a amplitdy jdotlivých harmoicých slož rčm z modl sptra: M ) im M i), i d přdsvj střd hodot a im j amplitda i-té harmoicé složy. ty těch odhadů způsobé vavám vyjádřm za pomoci 3) dosazm 1): 1 1 ) M )) M )) M ) 1) 13) 14) im ) M i)) M i)) im ) M i 15) 3. ohrt vzorová přpadě, ž splěa podma 11), dojd rozmazá sptra boli prosaová rgi v sptr [4,5], ozačovaé běžě aglicým trmm ag. T jv j důsldm vhodého výběr vzorů, trý má za ásld ávazost priodicého prodlož a sigál v zádm itrval. Ergi sptrál čáry odpovdajc orét harmoicé složc s rozprostř do oolch prvů posloposti DFT, jž přdsvj vzorovaé sptrm. Laag tvoř při splě vzorovac věty obvyl jzávažějš slož chyby DFT sptrál aalýzy. Možost potč j požit o, trým s vstp poslopost vyásob. To má za ásld sostřdě podsté části rgi harmoicé složy do mšho počt sosdch prvů DFT a tm mš vliv a vzdálějš prvy vzory sptra). jčastěji s v té sovislosti požvaj osiová oéa diovaá vzhm: P ) πr w cos P r r d os P s azývá řád oa.,1, )

4 Odhad hodoty rčité rvč složy sptra sigál ásobým osiovým om s zsá pomoc ásldjcho vzh [6]: d M ) M ) 17) pg pg w i), přičmž wi) j poslopost přdsvjc važovaé oo, M) j modl i sptra sigál ásobého važovaým om a 1 a jso ové rvc, aby s obsáhlo P+1 slož DFT olm hv rvč složy a stjý počt olm jjho zrcadlového obraz, P j řád oa. Zsat aalyticý vzh pro výsldo t při ohrtm vzorová by bylo vlmi obtžé, boť jdotlivé sptrál složy včtě svých zrcadlových obrazů s avzájm ovlivňj, přičmž závislost orc j vlic ompliovaá. 4. Simc Simc poslož ověř psti rticých vzhů zjméa z hldisa važová orc mzi jdotlivými vstpmi vličiami), popřpadě prvot přdsvě závislosti ty v přpadě, ž aalyticý vzh zám. Simc spočvá v grová tsvacch sigálů a jjich zpracová. Sigál ms modlovat vavá, což spočvá v přidá áhodé vličiy aždém vzor grovaého harmoicého sigál. Ta áhodá vličia přdsvjc vavac šm, podléhá rovoměrém rozlož pravděpodobosti a jj směrodatá odchyla s rová tě způsob vavám 5). Pro přpad ohrt vzorová j třba avc v sérii grovaých sigálů měit rvc rozsah : sig m m.5 +, vz.5 vz m přirozé d m j zvolá poloha čáry v posloposti DFT. Pro střd rvci sigál Hz, pět priod sigál m 5) vycház rozpět rvc sigál 18 až Hz. yhodoc ty spočvá v spočt DFT sigál a rč sdard ty. Zd a i pohlžm, jao a t typ A. To zamá, ž ji vyhodocjm stisticými mdami. Z ho ply požadav a dostčý počt ralizac. ašm přpadě byl procs opaová 1x. 5. Exprimtál ověř Ta áz j zaměřá a ověř vybraého modl zdrojů t, važovaých v přdšlých rocch. Exprimtál ověř probhá podobě jao v přdchozm ro, výpočtm zomaého algoritm, trát ovšm z rálého sigál s paramtry shodými jao v přdchozch dvo rocch, a hardwar, jž byl modlová v rticé aalýz i mricé simci. yhodoc probhá stjým způsobm jao v přpadě simc. 18) 6. Hardwarové a sotwarové vybav Při výběr sotwarového prostřd pro simc i rálá měř pad volba amaticy a prodt irmy MathWors : MATLAB v ombiaci s Sigal procssig olboxm a Da Acisitio olboxm. Hardwarové prostřd tvořil grár sigál a zásvá měřic dsa I 63E irmy atioal Istrmts. Ta ar obsahj dvaáctibivý přvod pracjc a pricip postpé aproximac. Požadavy a grová sigál splňj č grár HP 331A irmy Hwltt Pacard. T grár možňj grová harmoicého sigál, obdélového, trojúhlového a pilového sigál. avc posytj ci swp rvč rozmtá), trá by poži pro grová sigál při ohrtm vzorová.

5 r ]- ) odhad střd hodoty počé z sptra při ohrtm vzorová počt vzorů a priod [-] Trticá aalýza mricá simc Exprimtál ověř Obr. 1 Závisl ost t oty odhad střd hodo ty poč é z sptr a při ohr t m vzor ová odhad hodoty počé z sptra při ohrtm vzorová. ]ṟ ) Trticá aalýza mricá simc Exprimtál ověř počt vzorů a priod [-] Obr. Závislost ty odhad hodoty počé z sptra při ohrtm vzorová

6 6 odhad střd hodoty z sptra při ohrtm vzorová mricá simc Exprimtál ověř ]ṟ ) počt vzorů a priod [-] Obr. 3 Závislost ty odhad střd hodoty počé z sptra při ohrtm vzorová vliv lag) odhad hodoty počé z sptra při ohrtm vzorová 15 ]ṟ 1 ) 5 mricá simc Exprimtál ověř počt vzorů a priod [-] Obr. 4 Závislost ty odhad hodoty počé z sptra při ohrtm vzorová obdélové oo)

7 .3 hodoty z sptra při požit oa Hammig mricá simc Exprimtál ověř r ]- ) počt vzorů a priod [-] Obr. 5 Závislost ty odhad hodoty počé z sptra při ohrtm vzorová požitém oě Hammig.5.45 odhad hodoty z sptra při požit oa vo Ha mricá simc Exprimtál ověř r ]- ) počt vzorů a priod [-] Obr. 6 Závislost ty odhad hodoty počé z sptra při ohrtm vzorová požitém oě vo Ha

8 7. Závěr ětré z výsldů aš sahy v obsti t odhad amplitdového DFT sptra j možé spatřit a obrázcch obr.1 obr.6. jdotlivých grach jso zobrazy závislosti ty zsaé rtico aalýzo, simc i xprimtálm ověřm pro ohrt vzorová a pro ohrt vzorová simc a xprimtálm ověřm. Exprimtál ověř bylo provdo a harmoicém sigál s těmi paramtry: amplitda pp 4, stjosměrá složa 1, rvc 5 Hz, spoštěc úrovň t 1. Pro ohrt vzorová střd hodo rvc Hz. Z graů j vidět dobrý sod výsldů zsaý váděými způsoby. Zajmavý pozat ply pro požit o při ohrtm vzorová. Závislost ty a počt vzorů, lsá s vzrůsjcm počtm vzorů DFT j do rčité hodoty, od tré výš j téměř ost, dalš zvyšová ad t hodot má z hldisa zvýš přsosti smysl. J třba podotot, ž v přspěv byly zomáy poz hv zdroj t. Pod by výpočty byly prováděy s mš přsost, ž odpovdá požit poččů PC, bylo by vyštřit é vliv očé dély slova a t výsld. To můž být přpad miroprocsorových systémů. Rověž při vysoých vzorovacch mičtch by s moh ptit časová rčist vzorová jittr) a dalš vlivy v měřicm řtězci. Poděová Přspěv byl zpracová v rámci výzmého záměr čslo J4/98:115 a ČUT v Praz, podporovaého Miistrstvm šolstv, mládž a tělovýchovy Čsé rpbliy. 8. Litratra [1] ISO Gid th Exprssio o Ucrity i Masrmt, Itratioal Orgaisatio or Sdardizatio, Swizrd, 1993 []. Haasz, J. Rozčil, J. ová: Čslicové měřic systémy. ČUT, Praha [3] G. Bt, C. Ligori, A. Pitrosa: Strctrd Approach Estimat th Masrmt Ucrity i Digil Sigal Eboratio Algorithms, IEE Proc.-Sci. Mas. Tchol. ol. 146, o. 1, Jaary 1999, str.1-6. [4] M. Sdláč: Zpracová sigálů v měřic tchic. ČUT, Praha 1993 [5] J. Uhlř, P. Sova: Čslicové zpracová sigál, ČUT, Praha 1995 [6] O. M. Solomo, Jr.: Th Us o DFT Widows i Sigal--ois Ratio ad Harmoic disrtio comptios, IEEE Trasactios o Istrmtio ad Masrmt, vol. 43, pp , April 1994 Kot adrsa: Ig. Marti ovotý, Doc. Ig. Miloš Sdláč, CSc. Čsé vysoé č tchicé v Praz, Fal ltrotchicá, atdra měř, Tchicá, Praha 6. Tl: +4 ) , ax: +4 ) {ovotm5,