Abstrakt. Bairstowovy iterační metody. V práci je odvozena Bairstowova metoda
|
|
- Věra Hana Ševčíková
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Hledání kořenů algebraické rovnice Michaela Kožuchová 1,MichaelaSládková 2,Vojtěch Pék 3 Abstrakt Práce se zabývá hledáním kořenů algebraické rovnice za pomoci Bairstowovy iterační metody. V práci je odvozena Bairstowova metoda a je zde uvedeno několik příkladů jejího použití. 1 Úvodem Úkolem projektu bylo prověřit využití Hornerova algoritmu a Bairstowovy metody pro libovolnou algebraickou rovnici jak v C, tak v R číslech a naprogramování daných algoritmů v programu Matlab 6.5 Release 13. Úloha stanovit kořeny algebraické rovnice polynomu ve tvaru p(z) =a z n + a 1 z n a n 1 z + a n se v matematické praxi vyskytuje natolik často, že nás to motivuje k samostatnému projektu. Výpočet kořenů algebraické rovnice se provádí pomocí metody Bairstowovy a Hornerova algoritmu. Podrobnější informace můžete nalézt v odkazech doporučené literatury [2, 4, 5, 6]. 2 Algebraická rovnice Rovnice typu a z n +a 1 z n a n 1 z+a n =,kdea k pro k =, 1, 2,...,n jsou daná čísla (koeficienty rovnice) a a,nazýváme algebraickou rovnicí n-tého stupně. Na levé straně algebraické rovnice je polynom n p(z) = a k z n k k= obecněskomplexními koeficienty. Základní operace s polynomy jsou sčítání, odčítání, násobeníadělení. Řešením (kořenem) rovnice tohoto typu rozumíme každé číslo α, které anuluje polynom p(z), tj. takové číslo α, prokteréplatí rovnost p(α) =.Pakplatínásledující velice důležitá základní věta algebry. Důkaz této věty naleznete (viz. [7], kapitola 7 a 8). 1 mysicka1@students.zcu.cz, Západočeská univerzita v Plzni 2 michslad@students.zcu.cz, Západočeská univerzita v Plzni 3 vpek@students.zcu.cz, Západočeská univerzita v Plzni
2 2.1 Základní věta algebry Každá algebraickárovnicemá v oboru komplexních čísel alespoň jeden kořen. Jinými slovy řečeno: Je-li dána nějaká algebraická rovnice (je lhostejné, zda má reálné či komplexní koeficienty),pak vždy existuje alespoň jedno komplexní číslo, jež je kořenem této rovnice. 2.2 Stupeň polynomu Necht C je těleso komplexních čísel, necht a,a 1,...,a n C, a. Funkce p : C C definovaná předpisem p(z) =a z n + a 1 z n a n 1 z + a n se nazývá polynom (mnohočlen) stupně n. Čísla a,a 1,..., a n se nazývají koeficienty polynomu p(z). Jestliže pro každé i =, 1,...,n je a i R, kder označuje těleso reálných čísel, potom mluvíme o polynomu s reálnými koeficienty. Jestliže a i =prokaždé i, potom p =senazývá nulový polynom. (U nulového polynomu nebudeme mluvit o stupni). Má-li algebraická rovnice n-tého stupně p(z) = za kořen číslo α, pak polynom p(z) je dělitelný kořenovým činitelem (z α) aplatírovnostp(z) =(z α)g(z), kde g(z) je polynom stupně n 1. Zřejmým důsledkem právě uvedené věty a základní věty algebry jsou následující dvě tvrzení: Každý polynom p(z) =a z n + a 1 z n a n 1 z + a n lze, až napořadí činitelů, jednoznačně rozložit na součin kořenových činitelů, tj. p(z) =a (z α 1 )(z α 2 )(z α 3 )...(z α n ), kde α 1,α 2,...,α n jsou kořeny algebraické rovnice p(z)=. Algebraická rovnice n-tého stupněmánejvýše n různých obecně komplexních kořenů. Předpokládejme, že ve vztahu p(z) =a (z α 1 )(z α 2 )(z α 3 )...(z α n )jsouprávějenčísla α 1,α 2,...,α n vesměs různá. Pak evidentně můžeme psát p(z) =a (z α 1 ) n 1 (z α 2 ) n 2...(z α s ) ns, kde s k=1 n k = n. Přirozené číslo n k (1 n k n s +1) nazýváme násobností kořene α k algebraické rovnice p(z) =. 2.3 Kořen polynomu Číslo α C se nazývá kořen polynomu p(z), jestliže p(α) =.
3 Podle základní věty algebry má uvedená algebraická rovnice právě n kořenů α 1,α 2,...,α n,počítáme-li každýkořen tolikrát, kolik je jeho násobnost a polynom p(z) lzepsát ve tvaru p(z) =a (z α 1 )(z α 2 )(z α 3 )(z α n ) 2.4 Polynom s reálnými a komplexními koeficienty Jestliže koeficienty a,a 1,...,a n jsou reálné, potom eventuální komplexní kořeny se vyskytují vkomplexněsdružených dvojicích. Všechny kořeny algebraické rovniceleží v mezikruží r< z <R. Při řešení algebraických rovnic se často ukazuje účelným využít znalost jednoho nebo více kořenů (resp. jejich aproximací) ke snížení stupně uvažovaného polynomu. V další fázi pak hledáme kořen (kořeny) rovnice nižšího stupně. Necht a(z), b(z) jsou polynomy s komplexními koeficienty, necht b(z). Potom existují a jsou jednoznačně určeny polynomy q(z), r(z) takové, že a(z) = b(z)q(z) + r(z), st(r) < st(b) nebor =. Polynom a(z) senazývá dělenec, polynom b(z) dělitel, polynom q(x)(částečnýpodíl) a polynom r(z) zbytek. Je-li α C kořen polynomu a(z), potom a(z) =(z α)q(z), kde st(q) = st(a) 1. Použijeme nyní opakovaně základní větu algebry, a věty předchozí na polynom a(z) stupně n: vezměme α 1 C kořen polynomu a(z), potom a(z) =(z α 1 )q 1 (z), kde st(q 1 )=n 1, vezměme α 2 C kořen polynomu q 1 (z), potom q 1 (z) =(z α 2 )q 2 (z), kde st(q 2 )=n 2, vezměme α 3 C kořen polynomu q 3 (z), potom q 3 (z) =(z α 3 )q 3 (z), kde st(q 3 )=n 3, atd. vezměme α n C kořen polynomu q n 1 (x), potom q n 1 (z) = (z α n )q 2 (z), kde st(q n )=n n =. Tedy a(z) =(z α 1 )(z α 2 )(z α 3 )...(z α n )q n. Je li polynom a(z) =a z n + a 1 z n a n 1 z + a n, potom porovnáním koeficientů umocninyz n vidíme, že a = q n.tím jsme ukázali následujcí větu.
4 2.5 Souvislost kořenů a koeficientů algebraické rovnice Věta o rozkladu polynomu na součin kořenových činitelů nám umožňuje odvodit obecné vzorce udávající vztahy mezi koeficienty a kořeny algebraické rovnice n-tého stupně, které jsou všeobecně známé propřípad kvadratické rovnice. např. pro n =2 z 2 + a 1 z + a 2 =(z α 1 )(z α 2 )=z 2 (α 1 + α 2 )z + α 1 α 2 Tyto vztahy jsou známy jako Viétovy vzorce. V následující větě uvedeme alespoň dva. Jsou-li α 1,α 2,...,α n všechny kořeny rovnice a z n + a 1 z n a n 1 z + a n =pakplatí (tzv.vietovy vzorce) a n =( 1) n a α 1 α 2...α n a 1 = a (α 1 + α α n ). Důkaz naleznete (viz 1.1 [3]). Je-li číslo α C kořenem polynomu p(z) =a z n + a 1 z n a n 1 z + a n s reálnými koeficienty, potom také číslo komplexně sdružené α C je kořenem polynomu p(z). Každý polynom s reálnými koeficienty lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen. Jeli α 1 s 1 násobný kořen polynomu p(z), α 2 s 2 násobný kořen polynomu p(z), až α k s k násobný kořen polynomu p(z), potom p(z) =a (z α 1 )(z α 2 )...(z α n )=a (z α 1 ) s 1 (z α 2 ) s 2...(z α k ) s k, kde s1 +s s k = n. Jestliže polynom p(z) stupně n je polynom s reálnými koeficienty, potom všechny komplexní kořeny jsou po dvojicích (vždy s kořenem komplexně sdruženým). Jestliže v rozkladu polynomu na kořenové činitele roznásobíme každé dva kořenové činitele, které odpovídají dvojici komplexně sdružených kořenů, získáme reálný rozklad polynomu p(z) =a (z α 1 ) s 1 (z α 2 ) s 2...(z α k ) s k (z 2 + p 1 z + q 1 ) t 1 (z 2 + p 2 z + q 2 ) t 2...(z 2 + p l z + q l ) t l, kde s 1 + s s k +2t 1 +2t t l = n, kdeα 1,...,α k jsou navzájem různé reálné kořeny polynomu p(z) a kvadratické trojčleny z 2 + p i z + q i mají za kořeny vždy dvojici komplexně sdružených komplexních čísel pro každé i =1,...,l.
5 3 Bairstowova metoda Předpokládáme, že d(z) =z 2 pz q =(z z 1 )(z z 2 ) je aproximace kvadratického trojčlenu d (z) =z 2 p z q =(z α)(z α), kde α, α jsou komplexně sdružené kořeny rovnice s reálnými koeficienty p(z) a z n +a 1 z n a n 1 z+a n =, n 4. Čísla z 1 a z 2 proto aproximují kořeny α, α. Dělením polynomu p(z) trojčlenem d(z) (algoritmus, který je analogií Hornera) dostaneme polynom stupně n 2 azbytek apřičemž platí Q(z) =b z n 2 + b 1 z n b n 2 ϕ(z) =b n 1 z + b n, p(z) =d(z)q(z)+ϕ(z). Koeficienty b n 1, b n lineárního polynomu ϕ závisejí na parametrech p, q, což zapíšeme ve tvaru b n 1 =f(p, q), b n =g(p, q). Protože polynom P je dělitelný polynomem d, budou koeficienty b n 1, b n pro p = p, q = q nulové, tj. f(p,q )=, g(p,q )=. Tedy čísla p, q můžeme považovat za řešení soustavy (nelineárních) rovnic f(p, q)=, g(p, q)=.
6 Tuto soustavu převedeme Newtonovou metodou (viz 15.4 [1]) na posloupnost lineárních rovnic typu ( f(p,q) f(p,q) ) p g(p,q) p q g(p,q) q ) ( p q = ( f(p, q) g(p, q) ), (1) kde p, q jsou opravy parametrů p, q. Abychom mohli stanovit derivace funkcí f, g budeme polynom Q určený vztahem p(z) = d(z)q(z) + ϕ(z) dělit tak, aby kde Q(z) =d(z)r(z)+ψ(z), R(z)=c z n 4 +c 1 z n c n 5 z+c n 4, ψ(z)=c n 3 z+c n 2. Dosazením do vztahu p(z) = d(z)q(z)+ ϕ(z) dostáváme p(z) =d(z)[d(z)r(z)+ψ(z)]+ϕ(z) =d 2 (z)r(z)+d(z)(c n 3 z+c n 2 )+zf +g. Derivujeme tuto rovnost [p(z) na p, q nezávisí] podle p a q: = 2d(z)zR(z) z(c n 3 z + c n 2 )+d(z) (c q n 3z + c n 2 )+z f + g, p p = 2d(z)R(z) (c n 3 z + c n 2 )+d(z) (c q n 3z + c n 2 )+z f + g. q q Protože d(z i )=,i=1, 2, máme odtud (po dosazení z 2 i = pz i + q) z i ( f p c n 2 pc n 3 )+( g q qc n 3) =, z i ( f p c n 3)+( g q c n 2) =. Pro z 1 z 2 lze tyto vztahy současně splnit pouze, kdyžvýrazy v závorkách jsou nulové. Soustavu (1) proto můžeme psát ve tvaru Tedy ( pcn 3 + c n 2 c n 3 qc n 3 c n 2 )( p q ) = ( bn 1 b n ). p = c n 3b n c n 2 b n 1, q = c n 3W c n 2 b n, N N kde jsme označili W = qb n 1 pb n,m = pc n 2 qc n 3,N = c n 3 M + c 2 n 2.
7 Tímto postupným zpřesňováním koeficientů kvadratického trojčlenu odpovídajícího aproximacím kořenůdostáváme určující součin kořenových činitelů přesných kořenů. 3.1 Algoritmus Bairstowovy metody Vstup: (n 4), p, q, a,a 1,...,a n,δ. b = c = a. b 1 = c 1 =. Pro k =1, 2,...,n 1: b k = a k + pb k 1 + qb k 2. b n = a n + qb n 2. Pro j =1, 2,...,n 3: c j = b j + pc j 1 + qc j 2. c n 2 = b n 2 + qc n 4. M = pc n 2 qc n 3. W = qb n 1 pb n. N = c 2 n 2 + Mc n 3. p =(c n 3 b n c n 2 b n 1 )/N. q =(c n 3 W c n 2 b n )/N. Výstup: p + p, q + q. 4 Hornerovo schéma Dělení polynomu p(z) polynomem z c lze jednoduše zapsat do tabulky. Tento způsob dělení polynomu polynomem z c bývá nazýváno Hornerovo schéma. Označme p(z) =(z c)q(z) +a(c), kde p(z) =a z n + a 1 z n a n 1 z + a n,q(z) =q z n 1 + q 1 z n q n 2 z + q n 1. Potom a z n + a 1 z n a n 1 z +a n =(z c)(q z n 1 +q 1 z n q n 2 z +q n 1 )+a(c)= q z n + q 1 z n q n 1 z cq z n 1 cq 1 z n 2... cq n 2 z zq n 1 + a(c). Porovnáním koeficientů u mocnin z obdržíme následující rovnosti:
8 z n : a = q q = a z n 1 : a 1 = q 1 q c q 1 = a 1 + q c z n 2 : a 2 = q 2 q 1 c q 2 = a 2 + q 1 c... z 1 : a n 1 = q n 1 q n 2 c q n 1 = a n 1 + q n 2 c z : a n = a(c) q n 1 c a(c) =a n + q n 1 c Získanou rovnost koeficientů zapíšeme do tabulky Hornerova schématu takto: a a 1 a 2 a 3 a n 1 a n c q c q 1 c q 2 c q n 2 c q n 1 c q q 1 q 2 q 3 q n 1 a(c) Hornerovo schéma platí jak pro reálné, tak pro komplexní koeficienty. Pro programování jedobrésiuvědomit, že tvar rekurencí a (j) n = a n (j 1) umožňuje průběžně nahrazovat veličiny a (j 1) i postupně vypočítávanými veličinami a (j) i, takže je třeba uchovávat v paměti pouze jeden (n+1) dimenzionální vektor. 5 Testování 5.1 První výsledky a předpoklady Bairstowova metoda při hledání kořenů s přesností.1 ( p <.1 q <.1) velice rychle konvergovala (průměrnýpočet iterací nepřesahoval 1 iterací, maximální počet nikdy nebyl vyššínež 25) a shodovala se i s výsledky funkce roots systému Matlab. Např. pro polynom s koeficienty [ ] byl počet iterací 7,7,6 během jednotlivých průběhů metody při vstupních stupních polynomů 7,5,3. Bairstowova metoda nacházela kořeny velmi rychle i při zcela nevhodné počáteční aproximaci koeficientů p, q. Zpomalení oproti vhodné počáteční aproximaci (zkoušeli jsme polynom aproximovat parabolou a pomocí ní určit koeficienty p, q) nebylo větší než 4 iterace. Toto nás vedlo k domněnce, že k Bairstowově metodě nebudemepotřebovat žádnou,,nástřelovou metodu, protože to pouze zdržuje program výpočtu. Proto jsme si vytvořili jen metodu na řešení kvadratické rovnice, kterou jsme použili k nalezení kořenů z koeficientů p, q a k závěrečnému určení posledních kořenů, kdy už bylo použití Bairstowovy metody nemožné. Dále jsme ještě vytvořili algoritmus Hornerova schématu k otestování výsledků Bairstowovy metody a ke snížení stupně polynomu.
9 5.2 Závěrěčné testování Náš program jsme po dokončení začali testovat na různých polynomech (řádově několika stech), nejčastěji však desátého a dvacáteho stupně s celočíselnými koeficienty v rozsahu až 9.Ve většině případů byly výsledky velmi zajímavé, při přesnosti hledání kořenů 1 7 (zastavovací podmínka iteračního procesu Bairstowovy metody) se výsledky našeho programu shodovaly s výsledky roots, ve zhruba 5 procentech případů byly dokonce nepatrně přesnější(jako přesné řešení jsme považovali symbolický výpočet řešení pomocí vlastních čísel matice), přičemž byl náš program 1 až 1 pomalejší než roots. Např. na tomto polynomu: [ ] byla chyba roots: zatímco chyba našeho programu: V některých případech, především u vyšších stupňů polynomu se stávalo, že Bairstowova metoda vracela nepřesné výsledky (ve většině případů hned při prvním průběhu Bairstowovy metody), které jsou způsobeny oscilací aproximovaných koeficientů p,q mezi různými kořeny, které se pro takto volené polynomy vyskytují ve velmi malých vzdálenostech od sebe. Tato chyba, by se, jak se domníváme dala odstranit vhodnou,,nástřelovou metodou. Nutné je však podotknout, že během našeho testování jsme našli i polynomy, ve kterých velkou chybu dělala také metoda roots (řádově až desítky). Např. pro následující polynom: [ ] byla chyba roots: a chyba našeho programu:
10 6 4 2 Zavislost delta p na iteracich Zavislost delta q na iteracich abs. hodnota 1.korenu 8 6 abs. hodnota 2.korenu uhel 1. korenu 4 3 uhel 2. korenu Obrázek 1: Obrázek ukazuje oscilaci koeficientů p, q mezi různými kořeny a tedy i chybu Bairstowovy metody Reference [1] Stanislav Míka: Numerické metody- Lineární algebra, Plzeň 1996 [2] Petr Přikryl: Numerické metody (Aproximace funkcí a matematická analýza), Plzeň 1994 [3] Libuše Tesková: Lineární algebra, Plzeň 23 [4] Milan Práger: Vybrané kapitoly z numerické analýzy, Plzeň 1993 [5] Anthony Ralston: Základy numerické matematiky, Praha, Academia 1973 [6] Emil Vitásek: Numerické metody (Technický průvodce 67), SNTL Praha 1987 [7] A.G.Kuroš: Kapitoly z obecné algebry, Praha, Academia 1968
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
Více[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
VícePolynomy a racionální lomené funkce
Polnom a racionální lomené funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Polnom Definice a základní pojm Násobnost kořene Počet kořenů Kvadratický polnom Rozklad na součin kořenových
Vícea a
1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
VíceŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Vícel, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky
Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení
VíceŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN
ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN Rozkladedem mnohočlenu na součin rozumíme rozklad mnohočlenu na součin jednodušších mnohočlenů, které z pravidla již nejsou dále rozložitelné. Pro rozklad mnohočlenu na součin
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VícePolynomy. Vlasnosti reálných čísel: Polynom v matematice můžeme chápat dvojím způsobem. 5. (komutativitaoperace )provšechnačísla a, b Rplatí
Polynomy Vlasnosti reálných čísel: 1 (komutativitaoperace+)provšechnačísla a, b Rplatí, a+b=b+a 2 (asociativitaoperace+)provšechnačísla a, b, c Rplatí a+(b+c)=(a+b)+c, 3 (existencenulovéhoprvku)provšechnačísla
Více4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy
4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
VíceJan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011
Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných
Více4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VíceMetoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012
Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Matematicko-statistická metoda používaná zejména při zpracování nepřesných dat (typicky experimentálních empirických
Více9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceČebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
VícePOLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie
POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Metody pro výpočet kořenů polynomů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Metody pro výpočet kořenů polynomů Vedoucí diplomové práce: RNDr. Horymír Netuka,
VíceVYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt
VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceAlgebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.
Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů
ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Komplexní
VíceMAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce
MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011
Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceHorner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc
Horner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc Proč historická metoda v dnešní počítačové době? Dnes údajně počítače
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceMatematika IV 9. týden Vytvořující funkce
Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Vytvořující funkce a Fibonacciho čísla 2 Vytvořující funkce - připomenutí 3 Řešení
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceKapitola 1. Hlavním cílem této kapitoly je naučit se rychle a bezchybně upravovat složité algebraické výrazy. To ovšem
Kapitola Algebraické výrazy Hlavním cílem této kapitoly je naučit se rychle a bezchybně upravovat složité algebraické výrazy. To ovšem předpokládá bezproblémové zvládnutí základních úprav jednoduchých
Více2. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy:
Sbírka příkladů z polynomů pro předmět Cvičení z algebry I Dělení v okruzích polynomů 1. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy a) (x 5 + x 3 2x + 1) : ( x 3 + x + 1), b) (3x 3 + 10x 2 + 2x 3) : (5x 2 + 25x
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceNázev školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
VíceSoustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda.
Úvod Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Mnoho technických problémů vede na řešení matematických úloh, které se následně převedou na úlohy řešení soustav nelineárních rovnic
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem
VíceDosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.
Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VíceMOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod
Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
VíceKlauzurní část školního kola kategorie A se koná
56. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. rčete všechna reálná čísla s, pro něž má rovnice 4x 4 20x 3 + sx 2 + 22x 2 = 0 čtyři různé reálné kořeny, přičemž součin
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceJak funguje asymetrické šifrování?
Jak funguje asymetrické šifrování? Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Petr Vodstrčil
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceCharakteristika tělesa
16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním
VíceKongruence na množině celých čísel
121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem
VíceOkruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
VíceInverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceSTŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace
Více