Výsledek. 1/4 Návod. BUNO malá kružnica má obsah 1, druhá tiež, veľká 4. Súčet obsahov dvoch vyznačených častí je potom 2.

Transkript

1 Vzorová řešeí Úloha 1. V kružici sú vpísaé dve kružice so spoločý dotyko a polovičý prieero. Akú časť obsahu veľkej kružice zaberá vyzačeá oblasť? 1/4 Návod. BUNO alá kružica á obsah 1, druhá tiež, veľká 4. Súčet obsahov dvoch vyzačeých častí je poto 2. Úloha 2. Ukažte, že těžice dělí trojúhelík a šest částí o stejé obsahu. Tohle je trivka. Návod. Úloha.NaobrázkujeschéatickáapkaSicílie ěstputíky)asilicúsečky)eziii.ukaždé silice je připsáa její délka v kiloetrech. Včera a celé Sicílii zeadáí apadl síh a ochroil dopravu. Jelikož ale ejsou takové sěhové závěje oc časté, eají ístí ářadí a jeho odklízeí a usí vše odházet ručě. Kolik ejéě kiloetrů usí odklidit, chtějí-li se dostat z každého ěsta do každého? Návod. Jde o hledáí iiálí kostry. Jedié řešeí je toto: Úloha 4. Řešte soustavu rovic x 2 +y= z, y 2 +z= x, z 2 +x=y. x=y= z=0 Návod.Všechytřirovicesečtee,převedeeavšechyezáéajedustrauadostaee x 2 + y 2 +z 2 =0.

2 2 Úloha5.Nechť ABC, BDEjsoudvapodobétrojúhelíkytakové,že A, B, DležívpříceaC, E vestejépoloroviětoutopříkouurčeé.buď F= AC DE.Nechť r,r 1,r 2 jsoupostupěpoloěry kružicvepsaýchtrojúhelíků ADF, ABC, BDE.Vyjádřete rpoocí r 1 a r 2. r=r 1 +r 2. Návod.Trojúhelíky ABC, BDEa ADFjsoupodobéaproodpovídajícísistrayplatí AB + BD = AD. Tetýž vztah usí platit i pro odpovídající si poloěry vepsaých kružic. Úloha 6. Os lidí sedí okolo kulatého stolu. Věk každého je průěr věků jeho sousedů. Ukažte, že všichi lidé jsou stejě staří. Dôkaz Návod. Nájdie ajstaršieho, ak je ich viac, tak takého, ktorý susedí s ejaký ladší. Jeho vek á byť prieero dvoch ešíchrových), spor. Úloha7.Mějetětivovýčtyřúhelík ABCD,kde ABC =90 a DAB =60 Určete AC BD. 2 Návod.Podlesiovévěty AC si60 = BD si90,tedy AC BD =1/si60. Úloha8.Rozhodi,zdaůžebýtposloupost112245skóregrafu.Pokudao,akreslihoa pokud e, dokaž.skóre grafu dostaee tak, že seřadíe stupě jeho vrcholů vzestupě za sebe.) Ao. Návod. Stačí libovolý obrázek, co odpovídá, řešeí je víc. Úloha9.Kolikexistujeuspořádaýchčtveřicx,y,z,t)přirozeýchčíseltakových,že x+y+z+t=1? 0 ) =5060 Návod. 1.řešeí: Vytvořující fukce je x+x 2 +x +...) 4 = x 4 1 x4 1 x) 4= ) + ) 4 x+ ) 5 x ) ) x , takžekoeficietux 1 je 0 ) = řešeí:Budeehledatpočetčtveřic x,y,z,t N 0 splňujících x +y +z +t =27.Tejestejý jakopočetzpůsobů,jakezi27putíkůuístitpřepážky,coždá 0 ) =5171. Úloha10.Najdětevšechyfukce f: R R,kterésplňují fx)=x ffx)+fy))=fx)+y. Návod.Syetrie:): fx)+y= ffx)+fy))=ffy)+fx))=fy)+x,ztoho fx)=x+f0). Dosadíedopůvodíroviceazjistíe,žejisplňujefukce fx)=x. Úloha11.Měje16bodůvroviěposkládaédořížky4 4.Najdětevívšechytedy4)osiprvkové podožiysouěré a rotovaé ožiy epočítejte vícekrát) takové, že žádé tři body této podožiy eleží a jedé příce. Návod.

3 Úloha 12. Kolika způsoby lze srovat do řady 50 želv afrických sloích a 21 želv idických sloích, platíli pro jejich srováváí ásledující pravidla. Zástup usí uzavírat a začíat želva africká sloí. Žádé dvě želvy idické sloí epůjdou bezprostředě po sobě, žádý celistvý úsek zástupu esí být tvoře 1 po sobě jdoucíi želvai africkýi sloíi ) Návod. Nejprve zafixujee jedu želvu africkou sloí a začátek. Pak utvoříe dvojice želva idická a bezprostředě za í želva africká a tyto dvojice spojíe do jedoho člea zástupu. Tí á zbyde 28 ezařazeých afrických želv. Ty ůžee do zástupu zařadit libovolě proíchaé s 21 spojeýi dvojcei. Podíka a posledí želvu africkou je okažitě splěa a případ 1 želv afrických po sobě astat eůže, ejvýše se jich seřadí 28 volých a jeda z dvojice. Úloha1.Trojúhelíku ABCpřipišekružicikestraě a.tasestray adotkevbodě D.Dokažte, že úsečka AD půlí obvod trojúhelíka. Proste se to spocita. Návod.Ozačezvyšébodydotyku B resp. C. BD = BB, CD = CC,takže AB + BD = AB, AC + CD = AC.Aletietoúsečkysúobedotyčicekašejkružicizbodu A,takžesadĺžky rovajú. Úloha 14. Môže existovať ekoštatý polyó p s celočíselýi koeficietai taký, že pre každé N je číslo p) prvočíslo? Neôže + dôkaz. Návod.Ozače p1)=, jeejaképrvočíslo.špeciále p1) p1+k),čojepreejaké veľké kspor.poz:ohlobysatotižstať p1)=p1+).) Úloha 15. Představ si půdorys bytu ístosti, obvodové zdi a zakresleé dveře. Ukaž, že pokud z každého pokoje vede sudý počet dveří, pak á byt sudý počet východů. Důkaz. Návod. Byt je graf. Místosti vrcholy, dveře hray. V každé grafu je sudý počet vrcholů lichého stupě, všechyístostiajístupeňsudý vevedesudýpočethra=dveří. Úloha16.Najdětevšechyfukce f: R R,kterésplňují fx+y)+2fx y)=fx) y. fx)=x+c Návod.Dosadíe[0,y]a[0, y]adostaeerovice fy)+2f y)=f0) y, f y)+2fy)=f0)+y. Tyseějakdajíposčítatapoodčítattak,abyáztohovypadlo fy)apříkladodečtee-liprví rovicioddvojásokudruhéavydělíe-litotřei).vyjde fy)=y+ f0)azkouškouověříe,že skutečěvšechyfukcetvaru fx)=x+cvyhovujíašírovici. Úloha17.Nakružicileží bodů.vybereeáhodětřizichaozačíeje A, B, C.Ozačíeještě rověžáhoděěkterézetřízbývajících bodů K, L, M.Zjistěte,jakájepravděpodobost,žese trojúhelíky ABC a KLM protíají. 7/10 Návod. Libovolých šest růzých bodů z kružice ůžee pospojovat do dvou trojúhelíků deseti způsoby.ztěchtoseprotíávždyprávěsed.

4 4 Úloha18.Miškodostalpolyó Px)= x2 +2x 6).Zistitesúčetkoeficietovpolyóu PP...PPx))...)) }{{} 2009 Návod. Abysezistilisúčetkoeficietovpolyóu,stačíza x dosadiť1. P1) = 0, P0) = a P )=1,takže PPP1))) =1.2009dávazvyšok2podeleí,takžesúčetkoeficietovášho polyóuje PP1))=. Úloha 19. Řešte soustavu rovic x+y) = z, y+z) = x, z+x) = y. x=y= z=0,± Návod.NejprvesizvolíeBÚNO x yatedy x y=z+x) y+z) x,ježetotoůžeplatitje prorovostatedy x=y.podobědokážee x=zatedy x=y=zayíjedosadíeadostaee 8x = x xx 1 2 )x ). 2 Úloha20.Rozhodi,zdaůžebýtposloupost skóregrafu.Pokudao,akresli ho a pokud e, dokaž.skóre grafu dostaee tak, že seřadíe stupě jeho vrcholů vzestupě za sebe.) Ne. Návod.Grafá11vrcholů.Nakreslí10a9 tojejedozačé.8ůžejítbuďzvrcholu,zekterého teďvedejejedahraatísealeurčitěrozbijezačátekskóre,spor)ebozějakého,kateďvedou dvězbydeijedevrcholstupě1,jedestupě2a6stupětři.kdyžsealepodíváazačátek poslouposti, potřebuji dva vrcholy stupě 2. Spor.) Úloha21.Nechť N.Zjistěteožéhodotyvýrazu2+1,+7).Poz.:a,b)začíejvětšího společého dělitele čísel a, b. 1, 1. Návod.SpoužitíEukleidovaalgoritudostaee2+1,+7)=+7, 6)= 6,1).Výraz ůžebýttedyrove1pokudje 6esoudělés1)ebo1pokud1dělí 6). Úloha 22. Poťouchlý Doatelo si epere poožky, a proto u už zase došly. Proto ukradl část poožek svý kaarádů z jejich šuplíků a zaíchal je, aby a ěj epadlo podezřeí. Poožky Leoarda, MichelagelaaRafaelakaždýzichá2+1poožekvjedébarvě)přerozdělildojejichtříšuplíků aěkterédaldosvéhošuplíku.kolikazpůsobytoůžeudělat,víe-li,žepoožkyjsouvšuplíkuvždy seřazey a že si Doatelo ukradl alespoň jedu poožku? ) 4+2 ) ) Návod.Nejprveseřadíepoožkydoposlouposti.Vlastěsiz6+poožek2+1obarvíea Leoardovu bravu. Ze zbývajících poožek obarvíe a Michelagelovu barvu. Zbylé budou Rafaelovy. Ještě do poslouposti potřebujee zařadit přepážky a rozděleí úseků příslušý šuplíků. Ty ale eůžee zařadit libovolě, ale za. přepážkouúsek příslušý Doatelovi) usí zbýt alespoň jeda poožka. Proto vyloučíe jedu poožku a koci poslouposti a přepážky zaícháe je s poožkai před í. Souči počtu ožostí jedotlivých kroků dává výsledek. Úloha2.Najdětevšechaceločíselářešeírovice x+y= x 2 xy+y 2. x,y)=0,0),1,0),0,1),2,1),1,2),2,2). Návod.Vyásobecelourovicidvěa.Dostaee2x+2y=2x 2 2xy+2y 2,poúpravěx y) 2 + x 1) 2 +y 1) 2 =2.Tedyjedezvýrazůx y),x 1),y 1)jerove0azbylédvajsourovy ±1. Rozeberee všechy ožosti.

5 Úloha24.Mějepravoúhlýlichoběžík ABCDAB CD,AB AD, AB > CD DA ).Ozače postupě e, f, g, hosyúhlůzvrcholů A, B, C, D.Nechť e f = S,g h=t,e h=u,f g= V,h AB= E.Dokažte,žebody B, E, S, Tležíajedékružici.ápověda:Dokažte AB UV) Návod. UCD = UAD = UAB,obdobě VCD = VBC = VAB.Ztoho AB UV a TUV = TEB. UTVSjetětivový, SUT = SVT =90 )aproto TUV = TSV. TEB = TSB, takže BEST je tětivový. Úloha 25. Dokažtevšecha čísla jsou přirozeá) ) + r ) ) =. r k r k Důkaz k=0 Návod.1.řešeí:Stačíporovatkoeficietux r vpolyou1+x) + =1+x) 1+x).Důvod,proč tochcee,je,žeposloupost a k = k) ávytvořujícífukci ax)= 0) + 1) x+ + ) x =1+x), posloupost b k = k) ávytvořujícífukci bx)= 0) + 1) x+ + ) x =1+x) aposloupost c r = r k=0 a kb r k = r ) k=0 k r k) ávytvořujícífukci ax)bx)=1+x) řešeí: Kobiatoricky. V parlaetu je kouistů a deokratů, kolika způsoby lze vybrat r-čleoukoisi?napravéstraějesoučetpřesvšechykoiseskládajícísezkkouistůar k deokratů. Úloha26.Mejetrojúhelík ABCaakružiciopsaézvolebod P.Dokažte,žepatykoliczbodu P a stray trojúhelíka ABC leží a jedé príce. Návod.BÚNO Pležíakratšíoblouku BC.Patykolica AB, BC, ACsipostupeozace K, L, MMležíveaKležíuvitrkružice).Necht ABP =α,pak ACP =180 αa MCP =α. Ztetivovéhoctyrúhelíku LPMC CLP =α.ztetivovéhoctyrúhelíku KBPL KLP =180 α. Díkytou KLM =180. Úloha27.Najděteejvětší N,prokteréjevýraz druhouociouceléhočísla. 11. Návod.Pro =11jevýrazrove1,atedyjedruhouociouceléhočísla.Pokud >11,lzesado ukázat,žeplatí 10) 2 < < 9) 2.Odtudplye,že eůžebýtčtverec pro >11. Úloha 28. Osy vitřích úhlů trojúhelíka ABC protou protější stray postupě v bodech K, L, M. Z těchto bodů vedee tečy ke kružici vepsaé růzé od stra trojúhelíka ABC. Body dotyku azvee pořadě X, Y, Z.Dokažte,žepříky AX, BY, CZprocházejíjedíbode. Důkaz Návod.Vyúhlíserovoběžostezi XY a ABaaalogickyuvšechostatích.Pakseřeke,žeexistuje stejolehlost ezi ABC a XY Z a její střede všechy tři příky určitě procházejí. Úloha29.KeysPepousibylikoupitsvačiu.Pepaělzaplatit7KčaKey47Kč.Keyse podívaldosvojípeěžekyazjistil,ževíáspoustustovky:))pětikoru,dvoukoruakoru,ale užžádéjiéice.nachvílisezayslel,okolikvícezpůsobyůžezaplatitsvojísvačiu,ežbyohl zaplatit Pepovu, ale a řešeí epřišel. Poraďte u. 46 Návod.Řešeí:Vytvořujícífukceje1+x+x 2 +x +...)1+x 2 +x 4 +x )1+x 5 +x 10 +x )= 1 1 x)1 x 2 )1 x 5 ) =: ax).vísechceepodívatakoeficietux47 apotoakoeficietux 7.Vezee proto ax) x 10 ax)apodíváeseakoeficietux 47.Rozkladaparciálízlokydá 1 x 10 1 x)1 x 2 )1 x 5 ) = 1+x 5 ) 1 x) 2 1+x) =1+x5 ) x) x 2 ) ) = 5

6 6 = 1+x5 2 Koeficietux 47 vyjde x+x 2 +4x + +1+x 2 +x 4 +x ). Úloha0.Vroviějsoudáydvěeprotíajícísekružice k, l,přičež kležíuvitř l.buď kružice, kterááskružicei k, lvitřídotykpostupěvbodech K, L.Dokažte,žepříka KLprochází pevý bode ezávislý a volbě. Důkaz. Návod. Složeí dvou stejolehlostí s kladýi koeficiety vziká stejolehlost s kladý koeficiete asestředeaspojicidílčíchstředůtoje záé tvrzeí). K: k,l: lpříka KLtedy prochází střede té orálí stejolehlosti ezi k a l. Úloha1.Nechť AK, BL, CMjsouvýškyostroúhléhotrojúhelíka ABCa Hjehoortocetru. S= BL KM, Pjestřed AHa T= LP AM.Dokažte TS BC. Je potřeba ukázat, že TMLS je tětivový. Návod.