Budeme se zabývat rozkladem prostoru V na p»r mý sou»cet tzv. invariantn ch podprostorνu,

Transkript

1 Matematicky ustav Slezske univerzity v Opave U»cebn texty k p»redná»sce ALGEBRA II, letn semestr 22/23 Michal Marvan 8 Prvn rozklad lineárn transformace Vtéto p»redná»sce V ozna»cuje vektorový prostor (obvykle kone»cn»erozm»erný) nad polem P a f V! V je jistá pevn»e zvolená lineárn transformace Pro praktické výpo»cty sesta»c omezit na vektorový prostor V = P n a lineárn transformaci f P n! P n, f(u) =Au, kde A je»ctvercová matice Budeme se zabývat rozkladem prostoru V na p»r mý sou»cet tzv invariantn ch podprostorνu, s»c m»z je spojeno uveden matice A do blokov»e diagonáln ho tvaru Prvn (primárn ) rozklad je indukován rozkladem anuluj c ho (nap»r charakteristického) polynomu na nesoud»elné sou»cinitele (nap»r klad ko»renové»cinitele) Invariantn podprostory Je-li U V podprostor, pak symbolem fu ozna»cujeme jeho obraz p»ri zobrazen f, to jest, podprostor f f(u) j u 2 U g Definice Podprostor U V se nazývá invariantn (vzhledem k lineárn transformaci f), kdy»z plat fu U, tj kdy»z pro ka»zdé u 2 U je f(u) 2 U Je-li U invariantn podprostor, pak zobrazen U! U, zadané p»redpisem u 7! f(u), nazýváme restrikce (»cesky ohrani»cen ) lineárn ho zobrazen f na invariantn podprostor U Zna»c sefj U U! U ajez»rejm»e op»et lineárn (ov»e»rte) P»r klad () Celý prostor V anulový podprostor jsou invariantn podprostory (2) Je-li f v 7! cv, pak je ka»zdý podprostor invariantn (3) Je-li u vlastn vektor s vlastn hodnotou c, pak [[u]] jeinvariantn podprostor a fj [[u]] je zobrazen v 7! cv (4) Uva»zujme o rotaci ffi v prostoru E 3 kolem osy L procházej c po»cátkem o úhel ff 2 (; 2ß) Invariantn podporostory jsou nulový podprostor fg, osa rotace L, jej ortogonáln dopln»ek L? acelý prostor E 3 Libovolný vektor u 2 L se zobraz sám na sebe, proto ffij L je identické zobrazen id L Libovolný vektor v 2 L? zνustane v rovin»e L? a ffij L? je otá»cen roviny L? oúhel ff L u = ffi(u) 6 ffi(v) P PPq L? v (5) Uva»zujme o zrcadlen v prostoru E 3 vzhledem k rovin»e U procházej c po»cátkem Invariantn podporostory jsou nulový podprostor fg, rovina U a ka»zdý jej podprostor V U, ortogonáln dopln»ek U? a celý prostor E 3 Zobrazen j V je identické zobrazen id V Zobrazen j U? je zrcadlen p»r mky U? vzhledem k po»cátku Cvi»cen () Jednorozm»erný podprostor [[u]], u 6=, je invariantn práv»e tehdy, kdy»z u je vlastn vektor Doka»zte (2) Prνunik a sou»cet invariantn ch podprostorνu jsou invariantn podprostory Doka»zte (3) Ker f je invariantn podprostor Doka»zte Co je fj Ker f? (4) Im f je invariantn podprostor Doka»zte

2 8 Prvn rozklad lineárn transformace (5) Bud' v 2 V libovolný vektor Doka»zte,»ze [[v; f(v);f(f(v));f(f(f(v)));]] je invariantn podprostor (6) Necht' lineárn transformace f;g V! V komutuj, to jest, f ffig = gffif Bud' U V invariantn podprostor vzhledem k transformaci f Pak je gu invariantn podprostor i vzhledem k transformaci f Rozklad prostoru V na p»r mýsou»cet invariantn ch podprostorνu vede ke zjednodu»sen matice transformace f 2 Tvrzen Necht' existuje p»r mý rozklad V = U + U 2, kde U ;U 2 jsou invariantn podprostory Zvolme n»ejakou bázi e ;;e m v podprostoru U a n»ejakou bázi e m+ ;;e n vpodprostoru U 2 Pak e ;;e n je báze v prostoru V atransformace f vn má matici tvaru A = B a a m a m a mm a m+;m+ a m+;n Ozna»c me-li A = B a a m a n;m+ a nn a m a mm CA; A2 = pak A i je matice lineárn transformace fj Ui CA B a m+;m+ a m+;n a n;m+ a nn CA 3 Dνukaz Jako cvi»cen ov»e»rte,»ze e ;;e n je báze v prostoru V Ohledn»e matice A v me,»ze prvn ch m jej ch sloupcνu je tvo»reno sou»radnicemi vektorνu f(e );;f(e m )vbázi e ;;e n Vektory f(e );;f(e m )ov»sem le»z v podprostoru U s baz e ;;e m, tak»ze zbývaj c bázové vektory e m+ ;;e n budou m t nulové koeficienty Submatice A je pak matic zobrazen fj U vbázi e ;;e m (ov»e»rte) Zbytek analogicky O shora uvedené matici A»r káme,»ze je v blokov»e diagonáln m tvaru s bloky A, A 2 diagonále Stru»cn»e zapisujeme A = A A 2 na»r káme té»z,»ze A je p»r mý sou»cet submatic A a A 2 Podobn»e sevp»r pad»e p»r mého sou»ctu V = U + + U n invariantn ch podprostorνu U ;, U n, matice zobrazen f rozpadá nap»r mýsou»cet submatic A,A n odpov daj c ch lineárn m zobrazen m fj U,,fj Un A = B A A 2 A n CA ; O matici A pak rovn»e»z prav me,»ze je blokov»e diagonáln 2

3 8 Prvn rozklad lineárn transformace»casto se stává,»ze existuje dostatek jednorozm»erných invariantn ch podprostorνu (generovaných vlastn mi vektory), tak»ze prostor V lze rozlo»zit na jejich p»r mý sou»cet Bloky jsou potom velikosti, a znovu dostáváme ji»z známý p»r pad diagonalizovatelné matice 2 Anuluj c polynomy Od tohoto m sta se omez me na p»r pad lineárn transformace f P n! P n, f(u) =Au, kde A je»ctvercová matice Poznamenejme,»ze ka»zdou lineárn transformaci f kone»cn»erozm»erného vektorového prostoru V mνu»zeme takto interpretovat Sta»c zvolit bázi prostoru V a t m i izomorfismus V ο = P n a matici A zavést jako matici lineárn ho zobrazen f vtéto bázi Nejde proto o»zádné podstatné omezen Symbolem P [x] ozna»c me okruh polynomνu jedné neur»cité x s koeficienty z pole P Algebra polynomνu bude vylo»zena v jiné p»redná»sce; pro základn porozum»en tomuto textu sta»c v»ed»et,»ze ka»zdý polynom f 2 P [x] lze rozlo»zit na sou»cin dále nerozlo»zitelných»cinitelνu Ty jsou potom nutn»e po dvou nesoud»elné (»zádné dva nemaj nekonstantn ho spole»cného d»elitele) P»r kladem je ko»renový rozklad polynomu f 2 C[x] f = (x ο ) k (x ο 2 ) k2 (x ο r ) kr ; kde ο i 2 C jsou ko»reny polynomu f a k i jsou jejich násobnosti 2 Ozna»cen Bud' A»ctvercová matice Bud' p = a m x m + + a x + a 2 P [x] polynom skoeficienty zpolep Polo»zme p(a) =a m A m + + a A + a E,kdeE je jednotková matice stejného rozm»eru jako matice A» R káme,»ze matice p(a) jevýsledkem dosazen matice A do polynomu p 22 Tvrzen Jsou-li p; q 2 P [x] dva polynomy, pak plat (p + q)(a) = p(a) + q(a); (pq)(a) = p(a) q(a) pro libovolnou»ctvercovou matici A 23 Dνukaz Cvi»cen 24 Dνusledek Pro libovolnou»ctvercovou matici A máme p(a) q(a) = q(a) p(a); tj matice z skané dosazen m A do rνuzných polynomνu komutuj Mνu»ze se stát,»ze dosazen m do polynomu z skáme nulovou matici 25 Definice Necht' p 2 P [x], p 6=» Rekneme,»ze p je anuluj c polynom»ctvercové matice A, jestli»ze p(a) = Z následuj c ho tvrzen vyplývá,»ze anuluj c polynom matice lineárn transformace nezávis na volb»e báze 26 Tvrzen Podobné matice maj stejné anuluj c polynomy 27 Dνukaz Plat (Q AQ) i = Q AQ Q AQ Q AQ = Q A i Q,na»ce»z p(q AQ) = a m (Q AQ) m + + a Q AQ + a E = a m Q A m Q + + a Q AQ + a E = Q (a m A m + + a A + a E)Q = Q p(a)q 3

4 8 Prvn rozklad lineárn transformace Odtud tvrzen Pozd»eji uvid me,»ze v»sechny»ctvercové matice maj n»ejaký anuluj c polynom q 28 Tvrzen Bud' q anuluj c polynom matice A Necht' existuje rozklad q = q q 2 q m,kde polynomy q ;;q m jsou po dvou nesoud»elné Uva»zujme o lineárn m zobrazen f i P n! P n, u 7! q i (A)u Ozna»cme U i = Ker f i P n, i =;;m Pak plat (i) Ka»zdý podprostor U i je invariantn ; (ii) P n = U + + U m ; (iii) polynom q i je anuluj c m polynomem matice transformace fj Ui,proka»zdé i =;;m 29 Dνukaz (i) Necht' u 2 U i,tjq i (A)u =Pak q i (A)Au = Aq i (A)u = A =(pou»zili jsme tvrzen,»ze A a q i (A) spolu komutuj ) Tud»z, Au 2 U i (ii) Nejd»r ve p»r pad m = 2 Necht' tedy f = q q 2 a polynomy q ;q 2 jsou nesoud»elné Pak existuj polynomy p ;p 2 takové,»ze = q p + q 2 p 2 (tento fakt bude dokázán v jiné p»redná»sce; n»ekteré speciáln p»r pady jsou rozebrány ve cvi»cen ch n»ze) Dosazen m matice A z skáme rovnost E = q (A)p (A) + q 2 (A)p 2 (A); tak»ze pro libovolný vektor v 2 V plat v = q (A)p (A)v + q 2 (A)p 2 (A)v Uka»zme,»ze prvn s»c tanec v = q (A)p (A)v le»z vu 2, to jest,»ze v 2 Ker q 2 (A) Máme ale q 2 (A)v = q 2 (A)q (A)p (A)v = q(a)p (A)v =; proto»ze q je anuluj c polynom pro A Podobn»e seuká»ze,»ze druhý zes»c tancνu le»z vu Tud»z, v 2 U + U 2 Proto»ze v byl libovolný vektor z V,máme V = U + U 2 Uka»zme je»st»e,»ze U U 2 = Necht' tedy v 2 U U 2, tj q (A)v = a q 2 (A)v = Máme E = q (A)p (A)+q 2 (A)p 2 (A) =p (A)q (A)+p 2 (A)q 2 (A) (proto»ze p i (A) aq i (A) spolu komutuj ), na»ce»z v = p (A)q (A)v + p 2 (A)q 2 (A)v = p (A)+p 2 (A) = Dokázali jsme tedy,»ze V = U + U 2 Obecný p»r pad m>2sedoká»ze indukc (cvi»cen ) (iii) Zvolme báze v i ;;v iri v prostorech U i, r i =dimu i, r + r m = n Jakv me, v bázi tvo»rené t»emito vektory je matice A blokov»e diagonáln a jej m itým blokem je práv»e matice A i transformace fj Ui vbázi v i ;;v iri Uka»zme,»ze polynom q i je anuluj c m polynomem matice A i Snadno se vid,»ze matice q i (A) jeblokov»e diagonáln matice s bloky q i (A );;q i (A m ) Proto»ze v»sak U i = Ker q i (A), je blok q i (A) odpov daj c podprostoru U i nulový, co»z sem»elo dokázat Podm nkám p»redchoz ho tvrzen vyhovuje nap»r klad rozklad na ko»renové»cinitele (x a) m Problém Uka»zte,»ze (x a) m u +(x b) n v = const, pokud u = v = n X i= m X i= (m +i)! (m )! i! (b x)i (b a) n i ; (n +i)! (n )! i! (a x)i (a b) m i 4

5 8 Prvn rozklad lineárn transformace K nalezen práv»e uvedeného rozkladu mus me znát alespo»n jeden anuluj c polynom 2 V»eta Hamilton Cayleyova Charakteristický polynom»ctvercové matice nad P je jej m anuluj c m polynomem 2 Dνukaz Pro libovolnou»ctvercovou matici B jsme kdysi odvodili vztah B adj B = det B E Dosad'me za B matici A xe (A xe) adj(a xe) = χ A (x) E Je-li matice A typu n=n, pak je jej charakteristický polynom χ A polynomem stupn»e n,»rekn»eme χ A = c n x n + + c x + c Dále je (z definice adjungované matice) jasné,»ze prvky matice adj(a xe) jsou polynomy stupn»e n v x Sdru»z me-li s»c tance s tými»z mocninami x, z skáme vyjád»ren adj(a xe) =C n x n + + C x + C,kdeC i jsou»ctvercové matice typu n=n Po dosazen máme tj (A xe) (C n x n + + C x + C ) = (c n x n + + c x + c ) E; C n x n + (AC n C n 2)x n + + (AC C )x + AC = c n Ex n + + c Ex + c E Porovnán m koeficientνu u stejných mocnin x obdr»z me C n = c n E; C n 2 + AC n = c n ; C + AC = c AC = c Vynásob me-li i-tou rovnost i-tou mocninou A i matice A a vzniklé rovnosti se»cteme, z skáme co»z se m»elo dokázat =c n A n + c n A n + c A + c ; 22 Dνusledek Charakteristický polynom»ctvercové matice je jej m anuluj c m polynomem P»r klad Necht' A = 2 A 2 Charakteristický polynom je χ A = x 3 5x 2 +9x 5=(x )(x 2 4x +5) (ov»e»rte) Vid me,»ze χ A je sou»cinem nesoud»elných polynomνu q = x aq 2 = x 2 4x +5 Po»c tejme U = Ker q (A) =Ker(A E) Jádro Ker(A E) vypo»cteme»re»sen m homogenn soustavy s matic q (A) = A E = 2 A A = A 2 5

6 8 Prvn rozklad lineárn transformace a fundamentáln m»re»sen m e =(; ; ) (ov»e»rte) Dostáváme jednorozm»erný invariantn podprostor U = Ker q (A) = [[(; ; )]] Podobn»e U 2 =Kerq 2(A) = Ker(A 2 4A+5E) Toto jádro vypo»cteme»re»sen m homogenn soustavy s matic q 2 (A) = A 2 4A +5E = A a fundamentáln m»re»sen m e 2 =(; ; ), e 3 =(; ; ) (ov»e»rte) Dostáváme dvourozm»erný invariantn podprostor U 2 = Ker q 2 (A) = [[(; ; ); (; ; )]]; Z skali jsme (a) p»r mý rozklad R 3 = U + U 2 na invariantn podprostory U a U 2; (b) bázi e ;e 2;e 3 s matic p»rechodu Q = A vn»z má zobrazen ff blokov»e diagonáln matici Q AQ = 2 A 2 3 Minimáln polynom P»r klad Matice 2 A = 2 2 A má anuluj c polynom q = x 2 =(x +)(x ) (ov»e»rte) Charakteristický polynom matice A je χ A = x 3 x 2 x +=(x +)(x ) 2 Posledn p»r klad ukazuje,»ze charakteristický polynom mνu»ze m t netriviáln ho d»elitele, který je rovn»e»z anuluj c m polynomem Uka»zme,»ze mezi anuluj c mi polynomy existuje jeden, který d»el v»sechny ostatn 3 Definice Anuluj c polynom se nazývá minimáln polynom, je-li nejmen»s ho stupn»e ze v»sech anuluj c ch polynomνu Ke ka»zdé»ctvercové matici A existuje anuluj c, a proto i minimáln polynom 32 Tvrzen Ka»zdý anuluj c polynom je d»elitelný minimáln m polynomem 33 Dνukaz Bud' f anuluj c polynom matice A, bud' g minimáln polynom matice A D»elme se zbytkem f = qg+r, kder = nebo je stupe»n polynomu r ost»re men»s, ne»z stupe»n polynomu g Vp»r pad»e r = jsme hotovi P»ripust'me opak, tj r 6= Potom =f(a) = q(a)g(a) + r(a) = r(a); proto»ze g(a) = Tud»z, r je anuluj c polynom ni»z»s ho stupn»e ne»z polynom g, a to je spor 6