Křua Jiří, Víe Miloš (edioři). Sysémové onfliy. Vydání rvní, nálad, Vydavaelsví Univerziy Pardubice: Pardubice,, 56 s. ISBN 97887395443. SYNTÉZA FYZIKÁLNÍHO OPTIMÁLNÍHO SYSTÉMU Miroslav Barvíř Konec. a očáe. soleí znamená odsaný růni eleronicé výočení echniy do rozborů dynamicých rocesů. Byly o nejdříve analogové očíače, eré byly založeny na fyziální analogii. Později se rosadily číslicové očíače a sále výrazněji se rosazují i v současnosi. Je o ím, že dovolují využíva jednou již řiravené rogramy a že oračuje jejich neuvěřielná fyziální miniaurizace. Již v růběhu. soleí se výočy osunují směrem, aby výoče zajišťoval co nejrychlejší dosažení oimálních rajeorií dynamicých rocesů. Uázalo se, že vyhledávání exrémů je nová úloha, jejichž řešení si mnohdy vyžádá hodně času a úsilí. Dosi časo nás zajímají jen oimální řešení a aždé jiné je ro nás neřijaelné časovou zráou náročného vlasního výoču. Problémy zadání se řesouvají z oblasi čisě výočové do oblasi analyicého fyziálního oisu. Do zadávání úloh ro modelování vsuují analyici, schoní maemaicy osa řešenou roblemaiu a osléze uživaelé očíačů, eří mají oimálně rovés numericý výoče omocí očíače. Analyi by měl vědě ja má oimálním zůsobem osa sysém, aby výoče určoval modelovou rajeorii vzhledem e zvolenému riériu. Zvolíme rierium nejrašího času a uážeme, ja lze uo úlohu řeši. Deailně lze úlohu sledova v []. Zdá se, že aomizovaná (na jednolivé rvy rozdělená) říroda je ve svém rinciu oměrně jednoduchá a dynamia může bý osána souborem diferenciálních rovnic nejvýše druhého řádu. Ty složiější vzniají ombinací rovnic druhého řádu []. Sudujemeli aomizovanou čás řední čási vodní vlny, a můžeme ředvída její chování i bez znalosi dynamicých rovnic. Navíc víme, že na čele vlny není žádný očíač, erý by určoval směr jejího ou a ješě vyhledával oimální exremní rasu ohoo ohybu. Musíme řiusi, že důvodem ohybu v řírodě jsou jiné říznaové veličiny. Na yo veličiny narazil již v 8. soleí Joseh Louis Lagrange (73683). Pojmenoval je energiemi. Využil geniálních oznaů Isaaca Newona (64377). J. L. Lagrange se věnoval říznaovým vlasnosem rovnic I. Newona a racoval v období dy se zdalea lně nerozvinula eorie exremálních (oimálních) úloh. Uázal vša rovnocennos oisu, buď souřadnicemi ohybu nebo jejich říznaovými energiemi. Hledáme řešení úlohy, nám v odsaě generuje říčinnou zěnou vazbu omocí říznaových energeicých funcí ro oimální rajeorii. Srávný maemaicý určuje oamžié řízení jao oimální sojnici zadaných orajových bodů. Ideové schéma ro synézu oimálního řízení je uvedeno na obr. []. u() q (); q(); q (); q() Určení savových veličin I. Newon q () q() Určení říznaů energií J. L. Lagrange U r () Synéza oimálního řízení E (); E () Obr.. Ideové schéma ro synézu oimálního řízení Záladní y Newonovy rovnice řádu je ve varu: 7
Křua Jiří, Víe Miloš (edioři). Sysémové onfliy. Vydání rvní, nálad, Vydavaelsví Univerziy Pardubice: Pardubice,, 56 s. ISBN 97887395443. u r () = Q v () B Kq () D Kq(). () Záladní maemaicý ois synézy časově oimálního řízení je vořen rovnicemi () až (): Q () = u () u () D K q() B K q'(), de: () V r ur () je řízení určené synézou, u () je řízení ro onrolu saiy, q'( ) = K3 Qv ( ) d M je souřadnice zobecněné rychlosi, (3) q () = q'() d je souřadnice zobecněné výchyly, (4) E () { } = D q() je složa oenciální energie, (5) E () { } = M q'() je složa ineicé energie, (6) E () = E () sign q () je odchylová oenciální energie, (7) s E () = E () sign q'( ) je odchylová ineicá energie, (8) s E () = E() E() je celová energie, (9) E () = E () E () je celová odchylová energie, () s s s E () = E() E () je souče roínaných energií. () r s Na N() lze ozorova výon na S4, E( ) lze ozorova ráci na I4, H( ) lze ozorova hybnos na I6, dyž laí: N () = Q() q'( ), v E () = Nd (), H () = Q() d a () IF = Er () oom Ur () =,4nebo Er () < oom Ur () =. (3) v Rovnice () (4) oisují dle Newona ohybové rajeorie sysému. Rovnice (5) a (6) určují oenciální a ineicou energii omocí slože Lagrangeovy funce. Auor článu Barvíř M. (99) zavádí do sudia synézy ladnou a záornou odchylovou složu ěcho funcí od oncového bodu rovnicemi (7) a (8). Proínání oamžiých energií v rovnici () a určuje řeínací oamžiy mezi ladným a záorným řízením. To v říadě, zvolímeli ro řízení ouze dva maximálně říusné zobecněné signály různé olariy. Maemaicé (modelové) schéma ro číslicový očíač je uvedeno na obr.. Uážeme si nyní jednoduchý řílad časově oimální synézy. Volíme M = [g], D =MT, B = (oznáma: aramery jsou vyjádřeny v symbolech značení SI ř. MT = [gsec ]). Tao zvolené aramery vyvoří rajeorii z čásí ružnic navazujících v oimálních časech. K řízení oužijeme ladný signál u ()max=,4mlt a záorný u ()max= MLT. Řídi budeme jen v souřadnici q(). Ale můžeme řídi i v q (). Můžeme éž v růběhu řízení aramery růběžně měni ve veliosi i v čase. Rovnice () () nám dovoluje zaresli rogramové schéma synézy, viz obr.. 7
Křua Jiří, Víe Miloš (edioři). Sysémové onfliy. Vydání rvní, nálad, Vydavaelsví Univerziy Pardubice: Pardubice,, 56 s. ISBN 97887395443. E () IF S E() S S E S () E s () E S () S8 S9 E () E () S5 S6 D M sign q() ( ) ( ) I5 u () K K6 V r () S Q r () K3 M q () q () I I q() sign q () q() K B q () K D N()=výon E()=energie Klíč Ki = nebo, ro i=,,3,6 a. S7 K č T [H] I4 K č [J] I6 hybnos Obr.. Maemaicé (modelové) schéma ro číslicový očíač Obr. má ve své sruuře zaresleny oeficieny Ki (i = n), eré nám dovolují snadno měni sruuru vyšeřovaného sysému. Nař. K = zůsobí změnu ružnic v araboly, a. Schéma nám dovoluje omocí bloů sumáoru S7 a inegráoru I4 ozorova oamžié výony a energii v sysému. Sumační ro d je velmi ráý a je ovlivněn volbou numericé meody. Lze onsaova, že očíáme vždy ro jeden sumační ro s linearizovaným dynamicým modelem. Poměrně snadno můžeme vyšeřova nelineární sysémy. Oamžié hodnoy růběhů v sysému zísáme v aždém sumačním rou nebo jejich libovolném násobu změnou časového měřía. Sysém je ředsaven bloy S, I, I a odovídajícími zěnými vazbami dle oužié sruury. Bloy S a S generují ožadované řízení odle zvoleného rieria. Zvolené orajové body v demonsračním říladě jsou q ()=,4 LT, q()=l a q (T)=q(T)=. Lze sledova časové oamžiy oimálního řízení ve fázové rovině (viz obr. 3), říadně uéž úlohu v závislosi na čase. Závěrem něoli oznáme: ro naznačenou synézu je nuno řisoui aomizací oisu složiých sysémů na soubor diferenciálních rovnic druhého řádu omocí zobecněných aramerů složié sysémy mohou mí vnořené odsysémy éž druhého řádu ro analýzu je nuné roninou do fyziální odsay roblemaiy 73
Křua Jiří, Víe Miloš (edioři). Sysémové onfliy. Vydání rvní, nálad, Vydavaelsví Univerziy Pardubice: Pardubice,, 56 s. ISBN 97887395443. je žádoucí, aby ois aomizované sousavy druhého řádu byl naroso jasný aždému absolvenu záladního sudia všech odborných secializací včeně humaniních dosáhneme ím u všech absolvenů eonomicé gramonosi a jednonosi dynamicé erminologie usnadníme jejich vzájemnou omuniaci řes finanční sysémy, eré oíšeme v jiném řísěvu všechny vědní obory realizují ohyb v důsledu ransformace energie filozoficá odsaa všech oborů je jednoná svými zobecněnými aramery říznaem srovnávání sysémů je vyonaná ráce Joulem, erý je jednoduše řevodielný na finanční jednou v dané loaliě je nuné se zamysle nad rozříšěnosí a secializací vědních oborů řišla doba ro snadné očíačové vyšeřování sysémů a jejich oimální řízení q Fázová rovina U max D q()=l q ()=,4 LT U max D,4 q(t)= q (T)= q Obr. 3. Zobrazení fázové roviny Lieraura [] PONTRJAGIN L.S., BOLTJANSKIJ V.G., GAMKRELIDZE P. V., MIŠČENKO E. F.: Maemaičesja eoria oimalnych rocesov. Mosva: GIFML, 96. [] BARVÍŘ M. Modelování a idenifiace. VUT Brno, 99. [3] www.sweb.cz/barvir.miroslav Absra: V řísěvu se oisuje zůsob synézy oimální rajeorie dynamicého sysému druhého řádu. V ředládané ráci uazujeme, ja je možno využí říznaových inegrálních funcí ineicé a oenciální oamžié energie výoču oimální rajeorie omocí očíače. 74