ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je různý od nuly Singulární matice hodnost je menší než její řád determinant je roven nule
DETERMINNT - výpočet Determinant řádu počítáme křížovým rozvojem. det a b c d = a d - b c Determinant řádu 3 počítáme Sarrusovým pravidlem. det a a a 3 a a a a a 3 a a = a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 a a a 33 + a a 3 a 3 + + a 3 a a 3 a 3 a a 3 a a 3 a 3 a a a 33 Determinanty vyšších řádů počítáme rozvojem.
DETERMINNT geometrický význam bsolutní hodnotu determinantu lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech (,), (a,b), (c,d), (a+c, b+d). Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci vektorů v a v. y v = (a+c,b+d) V třídimenzionálním prostoru určují vektory objem rovnoběžnostěnu. v = (c,d) I v reálných prostorech vyšších řádů lze determinant chápat jako objem n-rozměrného rovnoběžnostěnu. v = (a,b) O x
Př.. Vypočtěte determinanty: = 4 5 B = -4 3 - Determinant řádu počítáme křížovým rozvojem. det 4 5 = 4*5 * = 8 Determinant řádu 3 počítáme Sarrusovým pravidlem. det -4 3-3 - = ** + **(-) + (-4)*3* (-4)**(-) ** *3* = 4 4 4 6 = -38
Př.. Rozhodněte, která z matic je regulární a která je singulární: = 6 3 det() = Singulární matice B = -4 - det(b) = -4 Regulární matice Upravte matici B na Gaussův tvar a zjistěte čemu se rovná determinant, pokud je matice v tomto tvaru.
Platí: det() = det( T ) det(*b) = det()*det(b) Dále platí: Při přehazování dvou řádků determinantu se mění znaménko determinantu Z řádku lze vytknout číslo před determinant Determinant se nemění, když k řádku přičteme (odečteme) lineární kombinaci řádků ostatních
Výpočet determinantů matic vyšších řádů Je-li čtvercová matice řádu n, pak pro každé i =,,, n a pro každé j =,,, n definujeme její submatici #ij řádu n, která vznikne vyškrtnutím i-tého řádku a j-tého sloupce z původní matice. Pro každý prvek a ij matice definujeme jeho algebraický doplněk v matici : ij = (-) i + j det #ij.
7 9 6 B 7 9 # 7 # 9 #3 6 # # 6 #3 7 9 6 #3 7 #3 9 6 #33
algebraický doplněk: ij = (-) i + j det #ij 7 9 6 B 9 7 9 det # 3 7 det 3 # 3 8... atd.
Věta o rozvoji Je-li čtvercová matice řádu n, pro každé i =,,, n definujeme rozvoj matice podle i-tého řádku jako výraz a i i + a i i + + a in in a pro každé j =,,, n definujeme rozvoj matice podle j-tého sloupce jako výraz a j j + a j j + + a nj nj.
Př. 3. B 6 9 7 Rozvoj podle. řádku: a + a + a 3 3 = (-) 9 + 6 3 + 8 = 96 Rozvoj podle 3. řádku: a 3 3 + a 3 3 + a 33 33 = (-) 3 + 3 + 33 = = (-) (-6) + (-) + (-4) = 96 Rozvoj podle. sloupce: a + a + a 3 3 = (-) 9 + (-6) + (-) (-6) = = 96
INVERZNÍ MTICE inverzní matice k matici a platí: * = * = E Pouze regulární matice mají matici inverzní, singulární matice inverzní matici nemají. Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je různý od nuly Singulární matice hodnost je menší než její řád determinant je roven nule
Vlastnosti inverzních matic Pro regulární čtvercové matice, B stejného řádu platí: B je též regulární matice a platí: ( B) - = B - - je-li B = E, jsou, B navzájem inverzní a platí: det det B = T a - jsou též regulární a platí: ( T ) - = ( - ) T, ( - ) - = pro přirozené číslo k je k též regulární a ( k ) - = ( - ) k = -k inverzní matice je samoinverzní, tj. - =
Výpočet inverzní matice. eliminací E ~ ~ ~ E -. pomocí matice adjungované - = (adj ) det Pro druhý řád je: = a b c d - = det() d -b -c a
Výpočet adjungované matice - Pro libovolnou čtvercovou matici aspoň druhého řádu = (a ij ) označme dopl matici tvořenou algebraickými doplňky jednotlivých prvků a ij v matici, tj. dopl = ( ij ) djungovanou matici k matici (adj ) nazýváme transponovanou matici doplňků, tj. adj = (dopl ) T
Př.4.? det det 3 det dopl adj
Př.5. Najděte inverzní matici k matici eliminační metodou. - ~ -4-4 ~ 4-4 - 4-4 - - ~ - -4 - - - ~ - - 4 4 = 4 - - 4
MTICOVÉ ROVNICE typu *X = B Je-li regulární matice, maticovou rovnici *X = B řešíme takto: *X = B Matici X násobíme maticí zleva, tak celou rovnici násobíme zleva **X = *B Využijeme vztahu: * = E E*X = *B Využijeme vztahu: E*X = X X = *B
MTICOVÉ ROVNICE typu X* = B Je-li regulární matice, maticovou rovnici X* = B řešíme takto: X* = B Matici X násobíme maticí zprava, tak celou rovnici násobíme zprava X** = B* Využijeme vztahu: * = E X*E = B* Využijeme vztahu: X*E = X X = B*
Př.6. Vyřešte maticovou rovnici: 3 8 X = - 4 X = 3 8 - - 4 X = 8 - -3-4 = 6 8 - -5 - X = 3 6 4 - - 5 -