Jihočeská uiverzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Odděleí celoživotího vzděláváí Závěrečá ráce Výuka vybraých fiačích roduktů a Gymáziu Strakoice Vyracovala: g. Kateřia Pokorá Vedoucí ráce: doc. RNDr. Vladimíra Petrášková, Ph.D. České Budějovice 8
Prohlášeí Prohlašuji, že svoji závěrečou ráci jsem vyracovala samostatě ouze s oužitím rameů a literatury uvedeých v sezamu citovaé literatury. Prohlašuji, že v souladu s 47b zákoa č. /998 Sb. v latém zěí souhlasím se zveřejěím své závěrečé ráce, a to v ezkráceé odobě elektroickou cestou ve veřejě řístué části databáze STAG rovozovaé Jihočeskou uiverzitou v Českých Budějovicích a jejích iteretových strákách, a to se zachováím mého autorského ráva k odevzdaému textu této kvalifikačí ráce. Souhlasím dále s tím, aby toutéž elektroickou cestou byly v souladu s uvedeým ustaoveím zákoa č. /998 Sb. zveřejěy osudky školitele a ooetů ráce i zázam o růběhu a výsledku obhajoby kvalifikačí ráce. Rověž souhlasím s orováím textu mé kvalifikačí ráce s databází kvalifikačích rací Theses.cz rovozovaou Národím registrem vysokoškolských kvalifikačích rací a systémem a odhalováí lagiátů. V Českých Budějovicích de 6. leda 8 g. Kateřia Pokorá
Poděkováí Tímto bych chtěla oděkovat vedoucí mé ráce, aí doc. RNDr. Vladimíře Petráškové, Ph.D., za trělivost, ochotu a čas stráveý ři kotrole závěrečé ráce. Dále chci oděkovat Gymáziu Strakoice, jmeovitě Mgr. Pavlu Navrátilovi, za jeho ochotu a soluráci.
Aotace Předložeá závěrečá ráce se zabývá ukázkou výuky vybraých fiačích roduktů a Gymáziu Strakoice. Práce je zaměřea ředevším a ukázku výuky vybraých druhů sořeí a výočet slátky sotřebitelského a hyotečího úvěru, to vše v rámci fiačí matematiky. Součástí ráce je také ukázka říkladů vyučovaých a Gymáziu Strakoice včetě orováí výsledků s výsledky o-lie kalkulaček. V úvodu se ráce zabývá tím, co fiačí gramotost zameá a jaké dokumety uravují fiačí vzděláváí v České reublice a a Gymáziu Strakoice. Další část ráce se věuje teoretickému vymezeí vybraých fiačích roduktů, kokrétě termíovaého vkladu, sořicího účtu, sotřebitelského a hyotečího úvěru, a to vše za omoci geometrické oslouosti. Posledí část závěrečé ráce se zaměřuje a samotou ukázku výuky vybraých fiačích roduktů a Gymáziu Strakoice. Ukázka výuky je zázorěa a kokrétích říkladech a avazuje a obecé odvozeí v teoretické části. Dále ak jsou výsledky říkladů orováy s výsledky o-lie kalkulaček. Klíčová slova: Fiačí gramotost, sořicí účet, termíovaý účet, sotřebitelský úvěr, hyotečí úvěr
Abstract This thesis focuses o teachig selected fiacial roducts at Gymasium Strakoice (selective secodary school). The thesis focuses maily o teachig secific kids of savig ad calculatio of mortgage ad cosumer loa reaymets, all withi the terms of fiacial mathematics. Examles taught at Gymasium Strakoice are also art of the thesis, icludig results comariso with o-lie calculators. its itroductio, the thesis focuses o the defiitio of fiacial literacy ad documets regulatig fiacial educatio i the Czech Reublic as well as at Gymasium Strakoice. The ext art deals with the theoretical defiitios of selected fiacial roducts, esecially term deosit, savigs accout, mortgage ad cosumer loa. Geometric rogressio has bee used for all of the above-metioed examles. The last art is dedicated to teachig selected fiacial roducts at Gymasium Strakoice. Lesso cotet is demostrated by secific examles ad follows the theoretical art. The the results of the examles are comared with the results from o-lie calculators. Key words: Fiacial literacy, savigs accout, term deosit, cosumer loa, mortgage loa
Obsah Úvod... 7 Fiačí gramotost... 9. Co je to fiačí gramotost... 9. Národí strategie fiačího vzděláváí....3 Rámcový vzdělávací rogram....4 Školí vzdělávací rogram... 4 Fiačí rodukty... 7. Sořicí rodukty... 7.. Termíovaý vklad... 7.. Sořeí s ravidelou úložkou... 9... Sořeí s ravidelým vkladem a začátku úrokovacího období... 9... Sořeí s ravidelým vkladem a koci úrokovacího období.... Úvěrové rodukty..... Sotřebitelský úvěr..... Hyotečí úvěry... 5 3 Ukázka výuky vybraých fiačích roduktů a Gymáziu Strakoice... 6 3. Sořeí a jejich růzé variaty... 6 3.. Termíovaý vklad... 6 3.. Sořicí účet s jedorázovou úložkou... 3 3..3 Sořicí účet s ravidelou úložkou... 37 3. Sotřebitelské a hyotečí úvěry - odvozeí slátky dluhu... 44 4 Závěr... 54 Sezam tabulek... 56 Sezam obrázků... 57 Sezam oužité literatury... 58 Sezam zkratek... 6 Sezam říloh... 6 6
Úvod V současé době je z důvodu ejisté budoucosti klade vysoký důraz a to, aby si lidé sořili své eíze a tím je také zhodocovali. Jedím z důvodů, roč by si lidé měli sořit, je te, že již od říja roku 6 eí možost si a bydleí sjedat % hyotéku, ale je možé si sjedat ouze hyotéku a 95 % hodoty kuovaé emovitosti, a od duba roku 7 ČNB dooručuje bakám abízet ouze 9% hyotéky. Díky oatrosti a edůvěřivosti části lidí k fiačím solečostem si tito lidé ouze střádají do rasátka ebo echají své eíze ečiě ležet a bakovím účtu, kde jsou zhodocey velice ízkým až téměř ulovým úrokem. Existuje ale řada zůsobů, jak si lidé mohou asořit eíze, jako jsou aříklad termíovaý účet, sořicí účet, stavebí sořeí atd. Také se v deší době čím dál více setkáváme s rostoucí zadlužeostí občaů, s růstem eslaceých ohledávek a osobích bakrotů. Proto bylo a je uté se zaměřit a fiačí vzděláváí občaů vedoucí k růstu jejich fiačí gramotosti rostředictvím začleěí fiačího vzděláváí do Rámcových vzdělávacích rogramů a ásledě do Školích vzdělávacích rogramů. Žáci v rámci tohoto vzděláváí by měli získat eje základí iformace o jedotlivých roduktech fiačího trhu, ale také by měli být schoi si vyočítat slátku sotřebitelského úvěru či hyotéky, res. vyočítat zhodoceí svého vkladu a koci sořicího období. Pokud bychom se vrátili do roku 8, tak absece či ízká kvalita fiačího vzděláváí se také rojevila jako jeda z moha říči vziku fiačí krize. Tato fiačí krize začala v USA a osléze zasáhla celý vysělý fiačí svět. Velkou silou však zasáhla ředevším Řecko a slad. V České reublice se fiačí krize erojevila v takovém měřítku ředevším z toho důvodu, že zde ebyly abízey rodukty, které byly vysoce rizikové. Cílem této závěrečé ráce je ukázka výuky vybraých fiačích roduktů a Gymáziu Strakoice. Tato ráce bude zaměřea ředevším a ukázku výuky vybraých druhů sořeí a výočet slátky sotřebitelského a hyotečího úvěru 7
v rámci fiačí matematiky a ásledě jejich orováí s výsledky o-lie kalkulaček. 8
Fiačí gramotost. Co je to fiačí gramotost Fiačí gramotost je cháaá jako soubor zalostí, dovedostí a hodotových ostojů občaa ezbytých k tomu, aby fiačě zabezečil sebe a svou rodiu v současé solečosti a aktivě vystuoval a trhu fiačích roduktů a služeb. Fiačě gramotý obča se orietuje v roblematice eěz a ce a je schoe odovědě sravovat osobí/rodiý rozočet, včetě srávy fiačích aktiv a fiačích závazků s ohledem a měící se životí situace. (MŠMT, 7a, str. 7) Fiačí gramotost je stueň vyjadřující schoost orozumět klíčovým fiačím kocecím a sebedůvěru hosodařit s osobími fiacemi. Dále zda jsou krátkodobá rozhodutí lidí vhodá a své fiace láují jasě a s dlouhodobou ersektivou ři zohleděí životích událostí a měících se ekoomických odmíek. (Dvořáková a kol., ) Fiačí gramotost lze defiovat kocečě či fukčě: V rámci kocečí defiice lze cháat fiačí gramotost jako osobí odovědost za hosodařeí s eězi. Fukčí defiice oisuje fiačí gramotost jako schoost číst, aalyzovat, řídit a komuikovat o osobích fiačích odmíkách, které ovlivňují hmotou životí úroveň. Fukčí defiice vedou k tomu, jak změřit fiačí gramotost omocí ukazatelů, jaké jsou říjmy domácostí, oměr dluhu k majetku, zda si lidé soří a důchod a další. (Dvořáková a kol., ) Fiačí gramotost lze dělit a tři složky: eěží gramotost, ceovou gramotost, rozočtovou gramotost. (Škvára, ) Dále se fiačí gramotost ojí s gramotostí umerickou, fiačí a gramotostí ráví. Rozvíjeí kometecí získaých z těchto gramotostí vede k vytvářeí a osilováí ekoomického, olitického a rávího myšleí. (MŠMT, 7a) 9
Procesem vedoucím k fiačí gramotosti je fiačí vzděláváí, díky ěmuž se lidé saží ochoit fiačí rodukty a získat iformace o fiačích říležitostech a rizicích a tím tak zlešit své fiačí zdraví. (Dvořáková a kol., ) Potřeba fiačího vzděláváí v České reublice vzikla síše až v 9. letech. století, jelikož do té doby díky cetrálě láovaé ekoomice fiačí trh rakticky eexistoval. Následě ekoomika řešla a trží hosodářství a fiačí trh se stal komlikovaější a ro jeho ochoeí bylo uté větší míry zalostí a dovedostí. Se vzikem fiačího trhu vzikly také ekalé raktiky, a tudíž se do oředí dostala saha státu chráit sotřebitele. (Dvořáková a kol., ). Národí strategie fiačího vzděláváí Zvýšeí komlikovaosti fiačího trhu, zvýšeí sahy státu chráit sotřebitele a eexistece oviého školího fiačího vzděláváí vedlo stát k zahájeí otřebých oatřeí. Mezi tato oatřeí atří klíčové dokumety Strategie fiačího vzděláváí z roku 7, resektive aktualizovaý dokumet Národí strategie fiačího vzděláváí z roku a a to avazující dokumet Systém budováí fiačí gramotosti a základích a středích školách z roku 7, jež oisuje imlemetaci fiačí gramotosti do výuky a základích a středích školách a dále také obsahuje Stadardy fiačí gramotosti. (Dvořáková a kol., ) Národí strategie fiačího vzděláváí, vydaá v roce Miisterstvem fiací, vede občay ČR ke schoosti adekvátě racovat s iformacemi a fiačím trhu k zajištěí svých otřeb a otřeb své rodiy s ohledem a měící se životí situaci. (MŠMT, ) Cílem této strategie je vytvořeí systému fiačího vzděláváí ro zvyšováí úrově fiačí gramotosti. (MŠMT,, str. ) Základími rvky tohoto systému jsou: defiice fiačí gramotosti, vymezeí rioritích oblastí, staoveí riciů fiačího vzděláváí,
rozděleí fiačího vzděláváí do hlavích ilířů. (Dvořáková a kol.,, str. 3) Národí strategie fiačího vzděláváí vychází z řady kocečích kroků v oblasti ochray sotřebitele a z dooručeí meziárodích orgaizací, jako jsou OECD či EU. (MŠMT, ) Fiačí gramotost je součástí ekoomické gramotosti, která avíc obsahuje schoost občaa zajistit si říjem, zvažovat důsledky rozhodutí a současý a i budoucí říjem, schoost rozhodovat o výdajích a umět se orietovat a trhu racovích říležitostí. Zameá to tedy, aby měl obča otřebé zalosti, dovedosti a hodotové ostoje otřebé k ulatěí v současé solečosti. (MŠMT, ) Fiačí vzděláváí by mělo být schoé okrýt veškerou oulaci, roto a základě toho vzikla dvouilířová struktura fiačího vzděláváí: Fiačí vzděláváí žáků v očátečím vzděláváí, Fiačí vzděláváí občaů v dalším vzděláváí. (MŠMT, ) Další vzděláváí je zaměřeo římo a sotřebitele fiačích roduktů a služeb a je síše rováděo soukromým sektorem. Garatem očátečího vzděláváí je stát, který s omocí Miisterstva fiací, Miisterstva školství, mládeže a tělovýchovy a Miisterstva růmyslu a obchodu řiravil dokumet Systém budováí fiačí gramotosti a základích a středích školách z roku 7, oisující imlemetaci fiačí gramotosti do očátečího vzděláváí. (MŠMT, ) Na základě tohoto dokumetu Miisterstvo fiací odoruje imlemetaci fiačího vzděláváí do Rámcových vzdělávacích rogramů ro základí a středí školy, které vydává Miisterstvo školství, mládeže a tělovýchovy a do avazujících školích vzdělávacích rogramů vydávaých jedotlivými řediteli škol. (MŠMT, 7a) Do Rámcových vzdělávacích rogramů jsou imlemetováy také stadardy fiačí gramotosti. Tyto stadardy také slouží jako východisko ro tvorbu
vzdělávacích rogramů ro další vzděláváí. Stadardy fiačí gramotosti určují ideálí úroveň fiačí gramotosti ro růzé cílové skuiy, říadě cílový stav fiačího vzděláváí ro růzé stuě vzděláváí. (Dvořáková a kol., ) V rámci očátečího vzděláváí jsou vymezey tři stadardy: Stadard fiačí gramotosti ro. stuě ZŠ, Stadard fiačí gramotosti ro. stuě ZŠ, Stadard fiačí gramotosti ro žáka SŠ, jež je současě stadardem dosělého člověka. (MŠMT, 7a) Dle otřeby mohou vedle těchto výchozích stadardů být vymezey další stadardy fiačí gramotosti odle otřeb secifických cílových skui. (MŠMT, 7a).3 Rámcový vzdělávací rogram Na rozdíl od Národího vzdělávacího rogramu, který vymezuje ožadavky a očátečí vzděláváí jako celek, Rámcový vzdělávací rogram staovuje závazé rámce vzděláváí ro jedotlivé etay vzděláváí (ředškolí, základí a středí). (MŠMT, 7b) Rámcové vzdělávací rogramy: vylývají ze strategie vzděláváí, zdůrazňující klíčové kometece a rovázaost se vzdělávacím obsahem, dále jejich ulatěí v raxi, jsou v souladu s kocecí celoživotího učeí, určují úroveň, kterou by měli absolveti jedotlivých eta dosáhout, odorují edagogickou samostatost škol a odovědost jedotlivých učitelů za výsledky. (MŠMT, 7b) Rámcové vzdělávací rogramy jsou závazým východiskem ro tvorbu školích vzdělávacích rogramů, které vydává a zveřejňuje ředitel školy. Za samotou imlemetaci stadardů do Rámcových vzdělávacích rogramů má odovědost Miisterstvo školství, mládeže a tělovýchovy. (Dvořáková a kol., ) Rámcové vzdělávací rogramy jsou otevřeé dokumety, které jsou řístué ro edagogickou i eedagogickou veřejost a bývají iovováy odle měících se otřeb solečosti. (MŠMT, 7b)
Výuka fiačí gramotosti a gymáziích je v Rámcovém vzdělávacím rogramu zahruta v oddílu Člověk a svět ráce. Tato vzdělávací oblast má žáka řiravit a další vzděláváí či ho uvést do rofesího života jak teoreticky, tak i rakticky. Žák získá základí zalosti trží ekoomiky, hosodářských struktur státu i Evroské uie, světa fiací a světové ekoomiky. Žák se učí ejeom ochoit a zhodotit své racoví možosti a oviosti s ohledem a kokureci a ožadavky evroského trhu ráce, ale ozává také svá ráva. (MŠMT, 7b) Cílové zaměřeí vzdělávací oblasti Člověk a svět ráce je: zvládáí mikroekoomických a makroekoomických vztahů a jejich využití v raxi, zodovědé zacházeí s fiacemi s ohledem a vlastí či rodié otřeby, zodovědé využití možostí sociálího státu, využití mediálí iformace ři aalýze ekoomiky, ochoeí říosů a rizik globalizace, zodovědý výběr ovoláí, vytyčeí ožadavků trhu ráce a reakce a tyto ožadavky, ředcházeí doadu ezaměstaosti, vytvářeí ředokladů ro kvalití rofesí a zaměstaecké soužití, schoost se vhodě rezetovat a veřejosti, včetě rezetováí vlastích výsledků, volba racovího režimu zohledňující lidské zdraví, mezilidské vtahy a ochrau životího rostředí. (MŠMT, 7b) Prvky fiačí gramotosti lze alézt také v matematice, v rámci které se aříklad diskutují a zhodocují statistické iformace a daá statistická sděleí, volí se statistické metody k aalýze a zracováí dat a graficky se rerezetují soubory dat a iterretují se tabulky, diagramy a grafy. Při výuce oslouostí se iterretuje z fukčího hlediska složeé úrokováí, alikuje se exoeciálí fukce a geometrická oslouost ve fiačí matematice. (MŠMT, 7b) 3
Rámcový vzdělávací rogram staovuje zásady ro tvorbu školích vzdělávacích rogramů. (MŠMT, 7b).4 Školí vzdělávací rogram Zatímco státí úroveň vzděláváí ředstavuje Národí rogram vzděláváí a Rámcový vzdělávací rogram, školí úroveň vzděláváí zaštiťují Školí vzdělávací rogramy. Školí vzdělávací rogramy si vytváří každá škola sama ro jedotlivé oblasti vzděláváí. Za Školí vzdělávací rogram je zodovědý ředitel školy. (MŠMT, 7b) Fiačí vzděláváí se a Gymáziu Strakoice rolíá do ěkolika ředmětů, a to: Matematika, Základy solečeských věd, Fiačí gramotost (volitelý ředmět). (ŠVP, 7) Matematika se a Gymáziu Strakoice vyučuje ve všech ročících o čtyřech hodiách týdě. Cílem vzděláváí je orozuměí myšlekovým ostuům a ojmům matematiky a jejich vzájemým vztahům. Při hodiách se žáci učí oužívat ojmy, algoritmy, termiologii, symboliku a zůsoby jejich využití. (ŠVP, 7) Učivo fiačí matematiky se zařazuje do 3. ročíku a očekávaým výstuem z Rámcového vzdělávacího rogramu je, že žák iterretuje z fukčího hlediska složeé úrokováí, alikuje exoeciálí fukci a geometrickou oslouost ve fiačí matematice. Školím očekávaým výstuem je využití ozatků o oslouosti v reálých situacích v úlohách fiačí matematiky a dalších raktických roblémech. (ŠVP, 7) Ekoomie a ekoomika a fiačí gramotost se v rámci ředmětu Základy solečeských věd vyučuje ve 3. ročíku s hodiovou dotací hodiy týdě. Žák v rámci okruhu Ekoomie a ekoomika: defiuje a rozliší základí ekoomické ojmy, jedotlivé ekoomické systémy, oíše hosodářský cyklus a jeho doady a ekoomický a olitický vývoj, objasí základí riciy fugováí systému trhu, 4
staoví faktory ovlivňující úsěch výrobku a trhu a zdůvodí tyto faktory, osoudí výhody a rizika odikáí a orová se zaměstáím, staoví možosti zaměstáí a českém i evroském trhu, učí se akládat s fiačími rostředky a osoudí možosti ivestováí. (ŠVP, 7) Základy fiačí gramotosti aučí žáka: defiovat a rozlišovat základí ojmy fiačí gramotosti, uvědomovat si výhody existece eěz a vliv iflace a úsory a dluhy, zásady bezečého latebího styku, staovit úroveň cey, orietovat se v osobím a rodiém rozočtu, akládat s fiačími rostředky a orietovat se a trhu fiačích istitucí. (ŠVP, 7) Volitelý ředmět Fiačí gramotost si a Gymáziu Strakoice mohou žáci zasat ve 4. ročíku. Hodiová dotace jsou hodiy týdě a v rámci tohoto semiáře se zrostředkovává sezámeí se s roblematikou fiačí gramotosti, kdy jsou teoretické ozatky dolěy o raktické výočty ověřeé omocí fiačích kalkulaček. V ředmětu se ři ráci využívá očítačová techika, dále růzé formuláře, tiskoisy a rosekty. Výuka robíhá formou výkladu a omocí diskuzí a skuiové ráce si žáci formují vlastí ázory. Žák se v rámci tohoto semiáře aučí: rozlišovat ojmy fiačí, eěží, ceová a rozočtová gramotost, základí fukce eěz, souvislosti mezi imi, ceou a hodotou, vysvětlit obtíže eeěží směy a z toho lyoucí latby rostředictvím eěz, orietovat se ve zůsobech laceí, řeočítat eíze z jedé do druhé měy, zásady bezečého latebího styku, vysvětlit tvorbu cey a trhu, 5
faktory ovlivňující ceu, orietovat se ve vlastích říjmech a výdajích, sestavit osobí rozočet říjmů a výdajů, ochoit utost vytvořit si rezervu, orietovat se v rozočtu domácosti, objasit rozdíl mezi vyrovaým, řebytkovým ebo schodkovým rozočtem, orietovat se a fiačím trhu. (ŠVP, 7) Jedotlivé Školí vzdělávací rogramy těchto ředmětů alezete v říloze č., č., č. 3. 6
Fiačí rodukty V rámci této části závěrečé ráce se budu věovat teoretickému vymezeí vybraých fiačích roduktů, kokrétě termíovaému vkladu, sořicímu účtu, sotřebitelskému a hyotečímu úvěru. Budu se zabývat odvozeím slátky a odvozeím asořeé částky. Při odvozováí budu vycházet ze zalostí z oblasti geometrické oslouosti.. Sořicí rodukty Mezi ejčastější bakoví sořicí rodukty atří termíovaé vklady a sořicí účty. Termíovaé vklady jsou vklady a evou částku, během jejichž trváí se částka eměí a jsou do baky ukládáy a určitou dobu. Naoak sořicí účty ejsou určey ředevším k jedorázovému vkladu, ale ostuě se a ich soří. Bývá omeze ouze rví vklad i výše dodatečých vkladů. Za to, že kliet oskytuje bace fiačí rostředky, dostává kliet odměu ve výši úroku. Na výši úrokové sazby má vliv objem vkladu a doba slatosti. (Syrový & Novotý, 3).. Termíovaý vklad Níže uvedeme odvozeí vztahu ro celkovou asořeou částku u termíovaého vkladu (možé užití i u jiých druhů sořeí za ředokladu, že vkladatel kromě rví úložky žádou další částku eukládá). Modelová situace Vkladatel uloží a termíovaý vklad částku s tím, že baka klietovi oskyte ročí úrokovou sazbu %. Předokládejme ročí úrokovací období a dobu uložeí let. Jakou částku kliet obdrží o letech? Odvozeí Po ulyutí rvího úrokovacího období se k uložeé částce řičte rví úrok u : u = 7
Nasořeá částka je: = + u = + = + Po ulyutí druhého úrokovacího období se k asořeé částce řičte druhý úrok u : Nasořeá částka je: u = Po úravě: = + u = + + + = +... Po ulyutí úrokovacích období se k asořeé částce řičte úrok u : Nasořeá částka je: u = Po úravě: = + u = + + + = + () Vztah () je vztah ro asořeou částku o úrokovacích obdobích. Zároveň se jedá o -tý čle geometrické oslouosti s rvím čleem a = a kvocietem q = +. 8
.. Sořeí s ravidelou úložkou... Sořeí s ravidelým vkladem a začátku úrokovacího období Modelová situace V říadě, že vkladatel chce o celou dobu sořeí každý rok ukládat stejou částku a začátku úrokovacího období s úrokem % a ředokládáme ročí úrokové období, tak celková asořeá částka bude: Odvozeí Na začátku rvího úrokovacího období se a účet vloží rví částka. Po ulyutí rvího úrokovacího období se k rví uložeé částce řičte rví úrok u = a druhá úložka : = + + Po ulyutí druhého úrokovacího období se k asořeé částce řičte úrok u : = a další úložka = + + = + + + + Po ulyutí třetího úrokovacího období se k asořeé částce řičte úrok u 3 : = a další úložka 3 = + + = + + + + + + 3... Po ulyutí úrokovacích období se k asořeé částce řičte úrok u = a osledí úložka se již eřičítá, rotože ředokládáme koec sořeí: = + = = + + + 9 + K + + + +
Ze všech čleů součtu vytkeme ( + ) : = + + + + + K + + + 4 4444444 444444444 3 S využitím vzorce ro součet rvích čleů geometrické oslouosti je asořeá částka : Po úravě: + = + + + = + () Vztah () je vztah ro asořeou částku ři ravidelých úložkách a začátku každého úrokovacího období o dobu úrokovacích období.... Sořeí s ravidelým vkladem a koci úrokovacího období Modelová situace V říadě, že vkladatel chce o celou dobu sořeí každý rok ukládat stejou částku a koci úrokovacího období s úrokem % a ředokládáme ročí úrokové období, tak celková asořeá částka bude: Odvozeí Po ulyutí rvího úrokovacího období se k uložeé částce eřičte žádý úrok, rotože eroběhla otřebá úrokovací doba, tudíž částka a účtu =. Prví úrok u = je řisá až a koci druhého úrokovacího období. Po řisáí úroku je řidá další vklad, tudíž asořeá částka má hodotu : = + + = + +
Po ulyutí třetího úrokovacího období se k asořeé částce řičte úrok u : = a další úložka 3 = + + = + + + + Po ulyutí čtvrtého úrokovacího období se k asořeé částce 3 řičte úrok u 3 : = a další úložka 4 = 3 + + = + + + + + + 3 Po ulyutí úrokovacích období se k asořeé částce řičte úrok u = a osledí úložka : = + = + = + + + + K + + + + + S využitím vzorce ro součet rvích čleů geometrické oslouosti je asořeá částka : Po úravě: = + + + = (3) Toto je vztah ro asořeou částku ři ravidelých úložkách a koci každého úrokovacího období o dobu úrokovacích období.
. Úvěrové rodukty.. Sotřebitelský úvěr Sotřebitelské ůjčky jsou často vyřizováy a obočkách bak. Ale existují i jié tyy ůjček, které se ezískávají rostředictvím bak (ebakoví ůjčky). Sotřebitelské úvěry jsou určey ředevším a áku sotřebího zboží, služeb a osobích otřeb, ale je také možé jimi fiacovat moderizaci bydleí. Pokud je však úvěr čerá jako eúčelový, je možé ho využít k libovolému účelu. (Fiace.cz, 7) Modelová situace Nyí bude ásledovat odvozeí vztahu ro výočet výše slátky s ři sláceí dluhu D s ročí úrokovou sazbou %. Sláceí bude robíhat v ravidelých slátkách a koci každého úrokovacího období, řičemž ředokládáme ročí úrokovací období a ročí slátku. Odvozeí Na koci rvího úrokovacího období je hodota dluhu D zvětšea o úrok u = D a terve oté se z této částky odečte slátka s, a tím se hodota dluhu zmeší a hodotu D : D = D + s Na koci druhého úrokovacího období je hodota dluhu D oět zvětšea o úrok a terve oté se z této částky odečte další slátka s, a tím se hodota dluhu zmeší a hodotu D : D = D + s = D + s + s
3 Na koci třetího úrokovacího období je hodota dluhu D oět zvětšea o úrok a terve oté se z této částky odečte slátka s, a tím se hodota dluhu zmeší a hodotu 3 D : s s s D s D D + + + = + = 3 3 Na koci osledího -tého úrokovacího období je hodota dluhu D aosledy zvětšea o úrok a terve oté se z této částky odečte osledí slátka s. Takto se hodota dluhu D úlě slatí, tedy = D. s s s s D s D D + + + + = = + = = K Použijeme vzorec ro součet rvích čleů geometrické oslouosti a vyjádříme velikost slátky s: + + + + + + + + + = + s D K + + = + s D + + + = D s + + = D s (4)
Toto je vztah ro výši slátky s dluhu D ři slaceí a koci úrokovacího období o dobu úrokovacích období. Důležitým ukazatelem u ůjček je Ročí rocetí sazba ákladů, tzv. RPSN. RPSN v sobě zahruje úrokovou sazbu včetě bakovích olatků. Výše úrokové sazby závisí a tyu úvěru, době slatosti i a jiých okolostech. Velmi často se lze setkat s tím, že baky či ostatí istituce udávají ouze úrokovou míru, která ale ezahruje veškeré áklady ůjčky. Mezi ě atří aříklad olatek za vedeí účtu, olatek za vyřízeí atd. (Škvára, ) (Syrový & Novotý, 3) (Pololáík, 6) Při výočtu RPSN se vychází ze vzorce uvedeého ve Směrici Evroského arlametu a rady 8/48/ES: D = m a k k= ( + ) t i k (5) kde: D i m k a k t k výše dluhu (současá hodota), RPSN (vyjádřeá jako desetié číslo), číslo osledí slátky ebo latby olatků, číslo slátky ebo olatků, výše k-té slátky ebo k té latby olatků, iterval vyjádřeý v letech a zlomcích roku mezi datem rvího čeráí a datem každé slátky ebo latby. Časové itervaly t k - oužité ve výočtech - se vyjadřují v letech ebo ve zlomcích roku. Předokládá se, že rok má 365 dí (ebo 366 dí u řestuých roků), 5 týdů ebo stejě dlouhých měsíců. Dále se ředokládá, že měsíc má 3,4666 dí (tz. 365/), a to bez ohledu a to, zda se jedá o řestuý rok. (Směrice Evroského arlametu a rady 8/48/ES, 8, str. 84) Výše úrokových sazeb u bakovích ůjček je závislá a tyu úvěru, zda se jedá o účelový či eúčelový úvěr. Úroková sazba v rámci bakoví ůjčky je vyšší ež u hyotéky či řádého úvěru ze stavebího sořeí. Před oskytutím ůjčky baka od klieta ožaduje otvrzeí o výši říjmu. V říadě vyšší částky, kterou si chce 4
kliet vyůjčit, může baka ožadovat ručitele či může vyžadovat ručeí emovitostí. (Syrový & Novotý, 3) (Fiace.cz, 7).. Hyotečí úvěry Na ořízeí bydleí bakoví istituce oskytují hyotečí úvěry. Hyotéky jsou účelové dlouhodobé ůjčky ručeé emovitostí a území ČR. Hyotéky je tedy možé využít a stavbu domu, koui emovitosti ebo moderizaci emovitosti. Hyotéky lze využít také a vyořádáí dědictví, soluvlastictví ebo k refiacováí jiých úvěrů. Hyotéky se slácejí ejčastěji v měsíčích slátkách a úroková míra bývá fixováa a ředem zvoleé období. Po ulyutí fixace baka avrhuje ovou úrokovou sazbu, která se bude odvíjet ředevším od aktuálí situace a fiačím trhu. Dále o ulyutí této doby je možé bez sakce hyotéku slatit. (Syrový & Novotý, 3) (Mečířová, 7) Pro výočet slátky latí stejý vztah jako u sotřebitelského úvěru. 5
3 Ukázka výuky vybraých fiačích roduktů a Gymáziu Strakoice V rámci této části závěrečé ráce se budu zabývat ukázkou výuky vybraých fiačích roduktů a Gymáziu Strakoice. Tato část ráce avazuje a ředchozí obecé odvozeí slátky a sořeí a zázorí, jakým zůsobem robíhá výuka vybraých fiačích roduktů ve fiačí matematice omocí odvozeí slátky a sořeí a kokrétích říkladech. 3. Sořeí a jejich růzé variaty 3.. Termíovaý vklad Modelový říklad Střadatel si chce uložit Kč a dobu tří let a dále tuto částku ebude avyšovat. V bakovím domě mu bylo abíduto využití termíovaého vkladu s ročím úrokem ve výši = % a ročím řiisováím úroků. Z úroků se odečte daň 5 %, kterou baka odvede státu. Vyočítejte, jakou částku bude střadatel a účtu mít za tři roky od začátku sořeí. Řešeí: Pro leší řehledost výočtů je možé říct, že k uložeí částky Kč došlo. listoadu 7. Na účtu střadatele je částka: = Kč K rvímu řisáí úroků dojde. listoadu 8. Na účtu střadatele bude ůvodí částka zvětšeá o čistý úrok: úrok za rok 7 čistý úrok za rok 7 u = = Kč u č =,85 = 85 Kč částka a účtu k. listoadu 8: = +,85 = +,85 = 85 Kč 6
K dalšímu řisáí úroků dojde. listoadu 9. Na účtu střadatele bude asořeá částka zvětšeá o čistý úrok: úrok za rok 8 u = +,85 = 8,5 Kč čistý úrok za rok 8 částka a účtu k. listoadu 9: = + = + = + u č = +,85,85 =,85 + +,85 +,85,85 = = 77,3 Kč,85 857,5 Kč,85 = K osledímu řisáí úroků dojde. listoadu. Na účtu střadatele bude asořeá částka zvětšeá o čistý úrok: úrok za rok 9 čistý úrok za rok 9 u 3 = +,85 = 7,7 Kč u 3 č = +,85,85 = 864,5Kč částka a účtu k. listoadu : 3 = +,85 = +,85 = 57,74 Kč + + +,85,85 = +,85 =,85 3 = Celková asořeá částka o třech letech je 57,74 Kč. 7
Za ředokladu, že vkladatel uloží částku s úrokovou mírou % za jedo úrokovací období a daň z úroku je 5 %, celková asořeá částka o úrokovacích obdobích se sočte: = +, 85 (6) Je vhodé žákům řiomeout, že se jedá o římé užití -tého čleu geometrické oslouosti: a = a q (7) kde: rví čle geometrické oslouosti a =, kvociet geometrické oslouosti q = +, 85. Příklad č. termíovaý účet včetě orováí s o-lie kalkulačkou Pa Sořivý má k disozici 5 Kč, které se rozhodl uložit v bace. Poradce mu avrhl eíze uložit a termíovaý účet s ročím úrokem,5 % a s ročím řiisováím úroků. Určete, jakou částku bude mít vkladatel a účtu za ět let. Daň z úroků je 5 %. Řešeí: Jedá se o jedorázový vklad a začátku rvího úrokovacího období, roto ro výočet asořeé částky se oužije vztah (6): = +, 85 Víme, že ročí úroková míra je =,5 %, vložeá částka = 5 Kč a očet úrokovacích období je = 5.,5 5 = 5 +,85 = 5369,8 Kč V říadě eodvedeí žádé daě z úroků by byla celková asořeá částka: 5 5 =,5 = 5 + 8 5 53864, Kč
Obrázek č. zázorňuje orováí ředchozího říkladu s o-lie fiačí kalkulačkou. Obrázek č. : Výočet asořeé sumy ři jedorázovém vkladu a ides.cz Zdroj: htt://kalkulacky.ides.cz/kalkulacky/cr_sorei-jedorazove.h?slatka=5&urok=%c5&rok=5 Fiačí kalkulačka a htt://kalkulacky.ides.cz/kalkulacky (obrázek č. ) eočítá s odvodem daě z úroku státu. Pro orováí byla alezea i jiá o-lie fiačí kalkulačka (obrázek č. ), která ři výočtu bere v otaz utost odvést daň z úroku státu. Obrázek č. : Výočet asořeé sumy ři jedorázovém vkladu a mesec.cz Zdroj: htts://www.mesec.cz/kalkulacky/kolik-vam-vyese-termiovay-vklad/?do=maxicalc-termvkladmaxisubmit&ocatecivklad=5&urok=.5&delkavkladu=85&fromsubcomoet= 9
Tato fiačí kalkulačka očítá s odvodem daě a je možé u í astavit výši vkladu, úrokovou míru a délku sořeí. Příklad č. termíovaý účet včetě orováí s o-lie kalkulačkou Střadatel si asořil 5 Kč. Rád by tuto částku během ásledujících ěti let zhodotil a částku 8 Kč. Vyočítejte ročí výši úroku, který by k tomu otřeboval, jestliže uvažujeme ročí řiisováí úroků. a) očítejte s oviostí odvést daň 5 %, b) očítejte bez oviosti odvést daň. Řešeí: a) Počet úrokovacích období je = 5, vložeá částka je = 5 Kč, asořeá částka je řešit rovici: = 8 5 Kč. Dosazeím do vzorce (6) je možo 8 = 5 +,85 Nyí se uraví tak, aby bylo možo odmocit: Odmocí se: Ročí úroková míra je: 5 8 5 8 = +,85 5 8 5 3 = + 5 =,85 =,85 5 8 5 5,85 5 = 4,37 % b) Při výočtu výše úrokové míry bez odvodu daě z úroků se ostuuje stejě: 8 = 5 + = 5 8 5 5 = 3,7%
Následující obrázek č. 3 zobrazuje orováí říkladu č. b s o-lie fiačí kalkulačkou. Obrázek č. 3: Výočet úrokové míry z jedorázového vkladu a ides.cz Zdroj: htt://kalkulacky.ides.cz/cr_sorei-jedorazove-urok.h?slatka=5&rok=5&vyos=8 Tato fiačí kalkulačka dokáže sočítat výši úrokové míry, eodvádíme-li daň z úroku. Nastavit u í lze výši vkladu, celkovou dobu sořeí a očekávaý výos. 3.. Sořicí účet s jedorázovou úložkou Modelový říklad Střadatel si chce uložit Kč a dobu tří let a dále tuto částku ebude avyšovat. V druhém bakovím domě mu fiačí oradce dooručil využít sořicí účet s ročím úrokem % a měsíčím úrokovacím obdobím. Z úroků se odečte daň 5 %, kterou baka odvede státu. Vyočítejte, jakou částku bude mít střadatel o ulyutí tří let. Výsledek orovejte s říkladem č. a rozhoděte, která z abídutých možostí je výhodější. Řešeí: Nejrve je otřeba si ujasit ojmy: úroková míra ro jedo úrokovací období je dvaáctia ročího úroku = % =,83%, očet úrokovacích období za tři roky je = 3 = 36. 3
Pro leší řehledost výočtů lze říct, že k uložeí částky Kč došlo. listoadu 7. Na účtu střadatele je částka: = Kč K rvímu řisáí úroku dojde. rosice 7. Na účtu střadatele bude ůvodí částka zvětšeá o čistý úrok: čistý úrok za měsíc listoad 7 částka a účtu k. rosici 7:,83 u =,85 = 7,83 Kč,83,83 = +,85 =,85 = 7,83 Kč + K dalšímu řisáí úroku dojde. leda 8. Na účtu střadatele bude částka zvětšeá o čistý úrok: čistý úrok za měsíc rosiec 7,83,83 u =,85 +,85 = 7,88 Kč částka a účtu k. ledu 7:,83,83,83 = +,85,85,85 = + +,83,83,83 =,85,85,85 + = + + = 4,7 Kč = Ostatí řiisováí úroků bude a stejém riciu, to zameá, že. listoadu bude a sořicím účtu částka:,83 36 = +,85 = 58,86 Kč 36 3
V ásledující tabulce č. je zázorě celý výočet asořeé částky během tří let včetě výočtu čistého úroku. Tabulka č. : Výočet asořeé částky během 3 let sořeí v Kč Úrok. obd. Čistý úrok Nasořeá částka 33 Úrok. obd. Čistý úrok Nasořeá částka 7,83333333 7,8333 9 7,74965 354,4476 7,8835694 4,768 7,7973369 46,43 3 7,93376,656 7,84358687 498,839 4 7,983968 83,6345 7,8944768 569,9784 5 7,344 354,6688 3 7,945433 64,938 6 7,845574 45,7533 4 7,9963666 73,9 7 7,34986 496,888 5 7,47368 785,9675 8 7,859583 568,735 6 7,9839363 858,659 9 7,357874 639,39 7 7,4946333 93,53 7,867738 7,5954 8 7,569,459 7,3366775 78,93 9 7,576 74,6676 7,3879 853,393 3 7,388956 46,975 3 7,43776783 94,757 3 7,3544 9,346 4 7,48836958 996,454 3 7,4535493 9,73 5 7,53978 67,7844 33 7,456646 364,866 6 7,5896864 39,374 34 7,579655 436,6946 7 7,6439,45 35 7,559353 59,539 8 7,69357 8,756 36 7,675 58,8646 Zdroj: vlastí zracováí, 7 Celková asořeá částka o třech letech je 58,86 Kč. Porová-li se asořeá částka s úsorou z rvího říkladu 57,74 Kč je vidět, že eatrě výhodější je možost sořeí s kratším, měsíčím itervalem řiisováí úroků. Žákům je otřeba oět řiomeout, že se jedá o užití geometrické oslouosti, a také utost dbát a srávé ujasěí si ojmů, ředevším úroková míra ro jedo úrokovací období a očet úrokovacích období. Příklad č. 3 Sořicí účet s jedorázovou úložkou včetě orováí s olie kalkulačkou Pa Sořivý má k disozici 5 Kč, které se rozhodl uložit v bace. Poradce mu avrhl eíze uložit a sořicí účet s ročím úrokem, %. Určete, jakou částku bude mít vkladatel a účtu za ět let, jestliže: a) ředokládáme ročí řiisováí úroků, b) ředokládáme ololetí řiisováí úroků,
c) ředokládáme čtvrtletí řiisováí úroků, d) ředokládáme měsíčí řiisováí úroků. Daň z úroků je 5 %. Řešeí: a) V říadě ročího úrokového období se jedá o stejý ty říkladu jako v ředchozím. Tedy ročí úroková míra je =, %, vložeá částka = 5 Kč a očet úrokovacích období je = 5., 5 = 5 +,85 = 538,6 Kč V říadě eodvedeí žádé daě z úroků by byla celková asořeá částka: 5 5 =, = 5 + 5 58.7 Kč Porováí ředchozího výočtu s o-lie fiačí kalkulačkou zázorňuje obrázek č. 4. Obrázek č. 4: Výočet asořeé sumy ři jedorázovém vkladu a ides.cz Zdroj: htt://kalkulacky.ides.cz/kalkulacky/cr_sorei-jedorazove.h?slatka=5+%c&urok=%c&rok=5 Fiačí kalkulačka a htt://kalkulacky.ides.cz/kalkulacky (obrázek č. 4) eočítá s odvodem daě z úroku státu. Pro orováí byla alezea i jiá o-lie fiačí kalkulačka (obrázek č. 5), která ři výočtu bere v otaz utost odvést daň z úroku státu. 34
Obrázek č. 5: Výočet asořeé sumy ři jedorázovém vkladu a mesec.cz Zdroj: htts://www.mesec.cz/kalkulacky/kolik-vam-vyese-termiovay-vklad/?do=maxicalc-termvkladmaxisubmit&ocatecivklad=5&urok=.5&delkavkladu=85&fromsubcomoet= Tato fiačí kalkulačka očítá s odvodem daě z úroku státu. Nastavit u í lze výši očátečího vkladu, úrokovou míru a délku sořeí. Nevýhodou je, že elze astavit délku úrokovacího období. b) V říadě ololetího řiisováí úroků je úroková míra ro jedo úrokovací, období = % =,55%, vložeá částka = 5 Kč a očet úrokovacích období je = 5 =.,55 = 5 +,85 = 5387,9 Kč V říadě eodvedeí žádé daě z úroků by byla celková asořeá částka:,55 = 5 + 35 = 589,7 Kč c) V říadě čtvrtletího řiisováí úroků je úroková míra ro jedo úrokovací, období = % =,75%, vložeá částka = 5 Kč a očet 4 úrokovacích období je = 5 4 =.,75 = 5 +,85 = 5 39,4 Kč
V říadě eodvedeí žádé daě z úroků by byla celková asořeá částka: =,75 = 5 + 583,4 Kč d) V říadě měsíčího řiisováí úroků je úroková míra ro jedo úrokovací, období = % =,96%, vložeá částka = 5 Kč a očet úrokovacích období je = 5 = 6.,96 6 = 5 +,85 = 5 39.5Kč V říadě eodvedeí žádé daě z úroků by byla celková asořeá částka:,96 = 5 + 6 = 6 6 585,7 Kč Obrázek č. 6 orovává výočet s měsíčím řiisováím úroků s o-lie fiačí kalkulačkou. Obrázek č. 6: Výočet asořeé sumy ři jedorázovém vkladu a mesec.cz Zdroj: htts://www.mesec.cz/kalkulacky/kolik-vam-vyese-sorei-v-bace/?do=maxicalc-soreimaxisubmit&ocatecivklad=5&mesicivklad=&urok=.&dobasorei=5&eriodaurocei=moth&fromsubcomoet= 36
Tato fiačí kalkulačka očítá s odvodem daě z úroku státu. Nastavit u í můžeme výši očátečího vkladu, úrokovou míru, délku sořeí a délku úrokovacího období (ročí ebo měsíčí). 3..3 Sořicí účet s ravidelou úložkou Modelový říklad Vkladatel si založil sořicí účet s ročí úrokovou mírou, % a měsíčím úrokovacím obdobím. Na účet okamžitě uložil 8 Kč a a začátku každého dalšího měsíce uloží stejou částku. Po celou dobu sořeí z účtu evybere žádou částku. Daň z úroku je 5 %. Vyočítejte výši asořeé částky o dvou letech od rvího vkladu. Řešeí: Nejrve je otřeba si ujasit ojmy: úroková míra ro jedo úrokovací období je dvaáctia ročího úroku, = % =,96 %, očet úrokovacích období za dva roky je = = 4. Pro leší řehledost výočtů lze říct, že k uložeí rví částky 8 Kč došlo. listoadu 7. Na účtu vkladatele je částka: = 8 Kč K rvímu řisáí úroku dojde. rosice 7. Na účtu vkladatele bude ůvodí částka zvětšeá o čistý úrok a oté uložea druhá částka = 8 Kč : čistý úrok za měsíc listoad 7 částka a účtu k. rosici 7:,96 u = 8,85 =,6 Kč,96 = 8 +,85 + 8 = 6,6 Kč 37
K druhému řisáí úroku dojde. leda 8. Na účtu vkladatele bude částka zvětšea o čistý úrok a oté uložea třetí částka čistý úrok za měsíc rosiec 7 = 8 Kč :,96,96 u = 8 +,85 + 8,85 =,5 Kč částka a účtu k. ledu 8 o úravě:,96,96 = 8 +,85 + 8,85 + 8 = 4,87 Kč + Přiisováí úroků se i v dalších měsících řídí stejým ostuem.. listoadu 9 se vkladatel rozhode účet uzavřít, a tím ádem emá smysl ukládat další částku = 8 Kč začátkem ového úrokovacího období. Celkem střadatel a účet vložil dvacet čtyři částek = 8 Kč a každá z ich se úročila říslušým očtem měsíců: 4,96,96,96 = 8 +,85 + 8 +,85 + + 8 +, 85 4 K,96 Ze všech čleů se vytke ( +,85) 8 : 3,96,96,96 = 8 +,85 +,85 + +,85 + K + 444444444 444444444 3 4 4 Sečte se rvích 4 čleů geometrické oslouosti a získá se: 3 4 = 8 +,96 +,85 +,96,96 4,85,85 38
Po úravě je celková asořeá částka:,96,85,96 + = 8,85 +,96,85 4 4 = 9 388, Kč Nasořeá částka a účtu je o dvou letech k. listoadu 9 celkem 9 388, Kč. Za ředokladu, že vkladatel ravidelě ukládá částku a začátku úrokovacího období, s úrokovou mírou % za jedo úrokovací období a daň z úroku je 5 %, můžeme celkovou asořeou částku o úrokovacích obdobích sočítat: +,85 =,85 + (8),85 Je vhodé žákům řiomeout, že se jedá o římé užití vzorce ro součet rvích čleů geometrické oslouosti: kde: rví čle geometrické oslouosti a =, q s = a (9) q kvociet geometrické oslouosti q = +, 85. Za ředokladu, že vkladatel ravidelě ukládá částku a koci úrokovacího období, s úrokovou mírou % za jedo úrokovací období a daň z úroku je 5 %, je možé celkovou asořeou částku o úrokovacích obdobích sočítat stejě jako v ředcházející úravě vztahu (3): +,85 = (),85 39
Příklad č. 4 Sořicí účet s ravidelou úložkou včetě orováí s o-lie kalkulačkou Kuřák, který řestal kouřit, usoří každý měsíc 5 Kč. Rozhodl se, že ušetřeé eíze bude ukládat a sořicí účet s ročí úrokovou mírou,8 %, který je úroče každý měsíc. Vyočítejte, jakou částku bude araveý kuřák mít o třech letech sořeí, jestliže ušetřeou částku bude ukládat vždy a: a) začátku úrokovacího období, b) koci úrokovacího období. Daň z úroku je 5 %. Řešeí: a) Jedá se o sořeí s ravidelou úložkou a začátku úrokovacího období (8). Počátečí a ravidelá úložka = 5 Kč, úroková míra za jedo,8 úrokovací období = =,6 %, očet úrokovacích období = 3 = 36.,6,85,6 + = 5,85 +,6,85 36 36 = 54569,86 Kč 4
Porováí ředchozího říkladu s o-lie fiačí kalkulačkou zázorňuje obrázek č. 7. Obrázek č. 7: Výočet asořeé sumy ři ravidelých vkladech a mesec.cz Zdroj: htts://www.mesec.cz/kalkulacky/kolik-vam-vyese-sorei-v-bace/?do=maxicalc-soreimaxisubmit&ocatecivklad=&mesicivklad=5&urok=.8&dobasorei=3&eriodaurocei=moth&fromsubcomoet= Sořicí a úroková kalkulačka a www.mesec.cz evyočítá asořeou částku odle vztahu (8), ale odle jiého vzorce: Kde: +,85 =,85 + + () částka vložeá ři založeí sořicího účtu (emusí se shodovat s ravidelým vkladem), ravidelý vklad řisaý vždy a koci -tého úrokovacího období (úročí se tím ádem vkladů), ročí úrok v rocetech, očet úrokovacích období. 4
Vztah () očítá i se vkladem v okamžiku závěru -tého úrokovacího období (e a začátku + období, jak je asáo v zadáí), roto je výsledá asořeá částka vždy o větší ež odle vztahu (8). Výsledek o-lie kalkulačky očítá s 37 vklady, z ichž se jede eúročí. V říadě eodvedeí žádé daě z úroků by byla celková asořeá částka:,6,6 + = 5 +,6 36 36 = Porováí s o-lie fiačí kalkulačkou zobrazuje obrázek č. 8. 5467,Kč Obrázek č. 8: Výočet asořeé sumy ři ravidelých vkladech a ides.cz Zdroj: htt://kalkulacky.ides.cz/cr_sorei.h?slatka=+5%c&urok=%c8&rok=3&iterval=&ty=red Fiačí kalkulačka a obrázku č. 8 eočítá s odvedeím daě z úroku, ale lze u í astavit ravidelý vklad, úrokovou míru, celkovou dobu sořeí v letech, četost úročeí v roce (ročí, ůlročí, čtvrtletí, dvouměsíčí, měsíčí a deí), okamžik vkladu sořeé částky (a začátku itervalu, a koci itervalu). Výstuem je celková vložeá částka, celkový úrok z asořeé částky a výsledá asořeá suma. 4
b) Jedá se o sořeí s ravidelou úložkou a koci úrokovacího období (). Počátečí a ravidelá úložka je = 5 Kč, úroková míra za jedo,8 úrokovací období je = =,6%, očet úrokovacích období je = 3 = 36.,6 +,85 = 5,6,85 36 36 = 5669,86 Kč V říadě eodvedeí žádé daě z úroků by byla celková asořeá částka:,6 + = 5,6 36 36 = 54 634.79 Kč Sořeí s ravidelou úložkou a koci úrokovacího období orovává s o-lie fiačí kalkulačkou obrázek č. 9. Obrázek č. 9: Výočet asořeé sumy ři ravidelých vkladech a ides.cz Zdroj: htt://kalkulacky.ides.cz/cr_sorei.h?slatka=+5%c&urok=%c8&rok=3&iterval=&ty=o Tato fiačí kalkulačka má stejé arametry jako kalkulačka a obrázku č. 8. Výše již bylo zmíěo, že fiačí kalkulačka eočítá s odvedeím daě z úroku, ale lze 43
u í astavit ravidelý vklad, úrokovou míru, celkovou dobu sořeí v letech, četost úročeí v roce (ročí, ůlročí, čtvrtletí, dvouměsíčí, měsíčí a deí), okamžik vkladu sořeé částky (a začátku itervalu, a koci itervalu). 3. Sotřebitelské a hyotečí úvěry odvozeí slátky dluhu Modelový říklad Sotřebitel si a áku u úvěrové solečosti ůjčil 5 Kč. S úvěrovou solečostí si vyjedal, že celý dluh slatí ve čtyřech stejých ročích slátkách s tím, že rví slátka bude uhrazea rok od chvíle sjedáí úvěru. Ročí úroková míra je staovea a 6,5 % a úročeí bude robíhat jedou ročě. Vyočítejte výši ročí slátky a jakou částku dlužík o ulyutí celé doby solečosti řelatí. Řešeí: Pro leší řehledost výočtů je možé říci, že úvěr byl sjedá. listoadu 7. Dlužík rví slátku zalatí. listoadu 8. Před odečteím slátky bude výše ůjčky ejrve úročea říslušým úrokem, tím je celková dlužá částka řed zaočteím rví slátky s: D 6,5 = 5 + = 535 Kč Poté úvěrová solečost zaeviduje slátku s a celková hodota ůjčky je: 6,5 D = 5 + s Další rok. listoadu 9 se celá událost oakuje stejě, úvěrová solečost dlužou částku D ejrve zhodotí úrokem a oté odečte další vložeou slátku s: D 6,5 6,5 6,5 = D + s = 5 + s + s. listoadu dojde k dalšímu řisáí úroků a odečteí další slátky s: D 3 6,5 6,5 6,5 6,5 = D + s = 5 + s + s + s 3 44
. listoadu dlužík osledí slátkou uhradí zbytek dluhu, jehož hodota je tím ádem D = 4 : D 4 = = D + = 5 + 3 6,5 6,5 s = 4 s + Odtud je možé sočítat výšku slátky s: 4 6,5 3 s + 6,5 s + 6,5 s 6,5 6,5 6,5 6,5 = 5 + s + s + s + s Všechy čley obsahující slátku s se řevedou a levou strau rovice a vytke se slátka s. s 3 6,5 6,5 6,5 6,5 + + + + + + = 5 + Lze si všimout, že a levé straě rovice lze využít vztah ro součet rvích čtyř čleů geometrické oslouosti. 3 6,5 6,5 6,5 s + + + + + + = 5 + 4 444444 4444444 3 a + a+ a3+ a4 Nyí už ouze stačí vyjádřit slátku s: 3 q a q 4 6,5 + s = 5 + 6,5 + 44 443 6,5 6,5 6,5 4 + 6,5 s = 5 5 + = 4 4 6,5 6,5 + + 4 6,5 6,5 4 4 4 = 4595,4 Kč Nyí se ještě vyočte částka, kterou dlužík úvěrové solečosti řelatí a úrocích: x = 4 s 5 = 4 4 595,4 5 = 838,56 Kč 45
Výše každoročí slátky je 4 595,4 Kč a dlužík a úrocích celkem zalatí 8 38,56 Kč. Za ředokladu, že dlužík slácí úvěr D ravidelými slátkami s o dobu úrokovacích období se sjedaou úrokovou mírou % za jedo úrokovací období a slátkou s a koci úrokovacího období, může se výše slátky s vyočítat: + s = D () + Je vhodé žákům řiomeout, že se jedá o římé užití vzorce ro součet rvích čleů geometrické oslouosti (9): s = a q q kde: rví čle geometrické oslouosti a =, kvociet geometrické oslouosti q = +, 85. Příklad č. 5 Výočet slátky sotřebitelského úvěru včetě orováí s o-lie kalkulačkou Sotřebitel si chce ořídit ový ábytek do bytu v celkové hodotě Kč. Nemá asořeé žádé své rostředky, a roto si celou částku musí ůjčit. Baka mu abízí úvěrový rodukt s ročí úrokovou mírou 6,4 % a dobu 6 let za odmíek, že úvěr bude úroče každý měsíc a slátky budou lacey vždy a koci úrokového období. Vyočítejte, jak vysokou slátku bude sotřebitel latit a jak vysokou částku řelatí. Neuvažujte žádé olatky za zřízeí a vedeí úvěrového účtu. Předokládejte měsíčí úrokové období. 46
Řešeí: Jedá se o výočet slátky sotřebitelského úvěru odle vztahu () v hodotě 6,4 D = Kč s úrokovou mírou za jedo úrokovací období = % =,53 % a očet úrokovacích období je = 6 = 7. Výše slátky je: 7,53 + s = 7,53 +,53 = 676,4 Kč Částka, kterou dlužík řelatí, je rozdíl hodoty součtu všech slátek a očátečího dluhu: x = 676,4 7 = 689,8 - = 689,8 Kč Obrázek č. zázorňuje orováí výočtu slátky úvěru s o-lie fiačí kalkulačkou. Obrázek č. : Výočet měsíčí slátky z úvěru a ides.cz Zdroj: htt://kalkulacky.ides.cz/cr_uverova-kalkulacka.h?suma=&urok=6%c4&rok=6&iterval=&ty=o Tato fiačí kalkulačka a obrázku č. dokáže vyočítat výši slátky úvěru ebo hyotečího úvěru. Její evýhodou je, že ebere v otaz žádé další olatky, které je otřeba u většiy úvěrů ebo hyoték zalatit řed ebo během laceí 47
sjedaého úvěru, jako jsou olatky za vyřízeí, exresí čeráí, ojištěí schoosti slácet atd. Výsledá výše slátky je stejá jako u výočtu výše omocí vztahu (). U kalkulačky je možé astavit výši úvěru, úrokovou míru za rok, dobu sláceí v letech, délku úrokovacího období (měsíčí, čtvrtletí a ročí) a období řisáí slátky (a koci ebo a začátku úrokovacího období). Kalkulačka také umí vytvořit slátkový kaledář, kde je vidět částka, která umořuje jistiu a úrok. Příklad č. 6 Výočet slátky hyotečího úvěru včetě orováí s o-lie kalkulačkou Mladá rodia by si ráda kouila byt v hodotě 5 Kč. Nasořeo mají 4 Kč vlastích rostředků a a zbytek si otřebují vzít hyotečí úvěr. Baka jim abízí variatu hyotečího úvěru ve výši Kč s ročí úrokovou mírou,4 % s dobou sláceí 5 let. Předokládejte měsíčí úročeí úvěru se sláceím a koci úrokového období. Vyočítejte, jak vysoká bude měsíčí slátka takového úvěru. Řešeí: Jedá se o výočet slátky hyotečího úvěru odle vztahu () v hodotě,4 D = Kč s úrokovou mírou za jedo úrokovací období = % =,% a očet úrokovacích období je = 5 = 8. Výše slátky je: s = 8, +, + 8, = 393,93Kč 48
Obrázek č. ukazuje orováí říkladu s o-lie fiačí kalkulačkou. Obrázek č. : Výočet měsíčí slátky hyotéky a ides.cz Zdroj: htt://kalkulacky.ides.cz/cr_hyotecikalkulacka.h?suma=++%c&urok=%c4&rok=5&iterval=&ty=o Jedá se o stejý ty kalkulačky jako a obrázku č.. Jak už bylo zmíěo, evýhodou kalkulačky je, že ebere v otaz žádé další olatky, které je otřeba u většiy úvěrů ebo hyoték zalatit řed ebo během laceí sjedaého úvěru, jako jsou olatky za vyřízeí, exresí čeráí, ojištěí schoosti slácet atd. Příklad č. 7 Výočet slátky, avýšeí a RPSN Pa Novák si chce kouit ový mobilí telefo v ceě 6 99 Kč. Tuto částku emá asořeou, a tak si musí ůjčit. Oslovil tři růzé fiačí solečosti a od ich získal ásledující iformace: a) Baka mu abízí ůjčku 6 99 Kč s evou úrokovou sazbou 9,88 %, měsíčím řiisováím úroků a dobou sláceí dva roky. b) Solečost oskytující sotřebitelské ůjčky CETELEM mu abízí úvěr ve výši 6 99 Kč s měsíčí slátkou 349 Kč s ravidelým měsíčím sláceím o dobu dvou let. 49
c) Nebakoví istituce secializující se a sotřebitelské fiacováí HOME CREDT mu abízí službu % + %. Což zameá, že složí akotaci v hodotě % ákuu a dále bude o dobu měsíců slácet deseti stejými slátkami ve výši % cey ákuu. Vyočítejte výši měsíčí slátky, avýšeí a RPSN u každé z možostí. Rozhoděte, která z možostí je ro aa Nováka ejvýhodější. Řešeí: a) V tomto říadě se vyočte výše slátky odle vztahu () a oté se může vyočítat avýšeí a míra RPSN odle vztahu (5). Jedá se o výočet slátky sotřebitelského úvěru v hodotě D = 699 Kč s úrokovou mírou za jedo 9,88 úrokovací období = % =,83% a očet úrokovacích období je = = 4. Výše slátky je: s = 4,83 + 99,83 + 6 4,83 = 43,96 Kč Výše slátky je o zaokrouhleí 44 Kč. Navýšeí lze vyočítat jako rozdíl celkové zalaceé částky a ůjčky: x = 4 44 699 = 866 Kč 5
RPSN se vyočte omocí fiačí kalkulačky. Výočet zázorňuje obrázek č.. Obrázek č. : Výočet ročí rocetuálí sazby ákladů (RPSN) Zdroj: htt://kalkulacky.ides.cz/cr_sotrebitelsky-uverrs.h?ozicka=699&slatka=44&doba=4&doba_iterval=4&iterval=4&aklad=%c&di=&aklad=%c &di= Tato fiačí kalkulačka (obrázek č. ) dokáže vyočítat výši RPSN úvěru. Nastavit u í lze výši úvěru, hodotu slátky, dobu sláceí (je možé astavit v očtu týdů ebo měsíců), iterval sláceí (týdeí, dvoutýdeí, měsíčí) a dodatečé áklady. b) V tomto říadě je zámá výše měsíčí slátky s = 349 Kč, očet úrokovacích období je = = 4 a hodota úvěru je 6 99 Kč. Navýšeí lze vyočítat jako rozdíl celkové zalaceé částky a ůjčky: x = 4 349 699 = 5386 Kč 5
Obrázek č. 3 zobrazuje výočet RPSN omocí fiačí kalkulačky. Obrázek č. 3: Výočet ročí rocetuálí sazby ákladů (RPSN) Zdroj: htt://kalkulacky.ides.cz/cr_sotrebitelsky-uverrs.h?ozicka=699&slatka=349&doba=4&doba_iterval=4&iterval=4&aklad=%c&di=&aklad=%c &di= Jak už bylo zmíěo výše, tato fiačí kalkulačka (obrázek č. 3) dokáže vyočítat výši RPSN úvěru. Nastavit u í lze výši úvěru, hodotu slátky, dobu sláceí (je možé astavit v očtu týdů ebo měsíců), iterval sláceí (týdeí, dvoutýdeí, měsíčí) a dodatečé áklady. c) V tomto říadě zákazík složí v hotovosti akotaci 699 Kč a oté zalatí deset slátek ve výši s = 699 Kč, výše úvěru je D = 699 Kč a očet slátek je =. Navýšeí lze vyočítat jako rozdíl celkové zalaceé částky a ůjčky: x = 699 + 699 699 = 699 Kč 5
Následující obrázek č. 4 zázorňuje výočet RPSN omocí fiačí kalkulačky. Obrázek č. 4: Výočet ročí rocetuálí sazby ákladů (RPSN) Zdroj: htt://kalkulacky.ides.cz/cr_sotrebitelsky-uverrs.h?ozicka=49&slatka=+699%c&doba=&doba_iterval=4&iterval=4&aklad=%c&di=&aklad =%C&di= Z ředchozího je zřejmé, že z ohledu řelaceé částky je ejvýhodější třetí variata úvěru. Využije-li sotřebitel tuto možost, řelatí oroti rví variatě o 67 Kč méě. U druhé možosti kliet řelatí výrazě větší částku. Pokud bude zákazík orietovaý síše a výši slátky s, je ro ěj ejvýhodější bakoví ůjčka. Pokud bude zákazík orietovaý a výši RPSN, vybere si oět bakoví ůjčku, která má RPSN =,34 %, ejižší ze všech abídutých variat. 53