Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze"

Transkript

1 Dobýváí zalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické iformatiky Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzity Karlovy v Praze

2 Dobýváí zalostí Pokročilé techiky pro předzpracováí dat Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické iformatiky Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzity Karlovy v Praze

3 Příprava (předzpracováí) dat Klíčový výzam pro úspěch aplikace Obtížé a časově áročé Výhodá spolupráce s expertem z daé oblasti Cíl předzpracováí: Vybrat (ebo vytvořit) z dostupých dat ty údaje, které jsou relevatí pro zvoleou úlohu dobýváí zalostí Reprezetovat tyto údaje v podobě, která je vhodá pro zpracováí zvoleým algoritmem Cílový stav ~ (jeda) datová tabulka zachycující hodoty atributů objektů I. Mrázová: Dobýváí zalostí 3

4 Strukturovaá data Časová data apř. časové řady kurzů akcií Typická úloha ~ predikce budoucí hodoty Příklad: časová řada po trasformaci VSTUPY VÝSTUP y(t 0 ), y(t 1 ), y(t 2 ), y(t 3 ) y(t 4 ) y(t 1 ), y(t 2 ), y(t 3 ), y(t 4 ) y(t 5 ) y(t 2 ), y(t 3 ), y(t 4 ), y(t 5 ) y(t 6 ). I. Mrázová: Dobýváí zalostí 4

5 Strukturovaá data (2) Prostorová data apř. geografické iformačí systémy Implicití relace sousedosti hodoty atributů sousedích objektů se ebudou avzájem příliš lišit Využití zejméa při iterpretaci Strukturálí data apř. chemické sloučeiy Zápis apř. pomocí tzv. smile-kódů ebo jako soubor faktů v Prologu apř. klasifikace chemikálií do tříd podle jejich struktury I. Mrázová: Dobýváí zalostí 5

6 Více vzájemě propojeých tabulek Spojeí (joi) ~ z jedé ebo více relací (tabulek) se vytvoří relace (tabulka) ová 1:1 ~ jeda etita prví relace je svázaá s jedou etitou druhé relace Příklad: Kliet (ID_Klieta, Příjmeí, Jméo) Trvalé_bydliště (ID_Bydliště, ID_Klieta, Ulice, Město) ová relace bude obsahovat sloupce (atributy) z obou původích relací počet řádků bude pro uvedeé relace odpovídat počtu řádků v prví relaci I. Mrázová: Dobýváí zalostí 6

7 Více vzájemě propojeých tabulek 1: ~ jeda etita prví relace je svázáa s více etitami druhé relace Příklad: Účet (ID_Účtu, Datum_založeí, Četost_výpisů) Trvalé_příkazy (ID_Příkazu, ID_Účtu, Částka, Bakoví_spojeí) ová tabulka bude obsahovat ové atributy pro agregovaé hodoty získaé z opakováí údajů (trvalých příkazů) vztahujících se k etitě a straě 1 (účtu) vztahu mezi relacemi I. Mrázová: Dobýváí zalostí 7

8 Více vzájemě propojeých tabulek (2) (1: pokračováí) agregovaé hodoty (atributy): pro umerické atributy (apř. částka): součet, miimum, maximum, průměr pro kategoriálí atributy (apř. Typ_trasakce): počet růzých hodot, výskyt kokrétí hodoty, majorití hodota, počet řádků v ové tabulce bude odpovídat počtu řádků v relaci a straě 1 (počtu účtů) I. Mrázová: Dobýváí zalostí 8

9 Více vzájemě propojeých tabulek (3) (:m) :m ~ ěkolika etitám z prví relace odpovídá jeda etita z druhé relace a současě ěkolika etitám z druhé relace odpovídá jeda etita z prví relace Příklad: relace Kliet a relace Účet jede kliet může mít přístup k více účtům; k jedomu účtu může mít přístup více klietů vztah m: lze vyjádřit pomocí další relace (apř. Dispozičí_právo), která je s původími relacemi svázáa vztahem 1: (resp. 1:m) I. Mrázová: Dobýváí zalostí 9

10 Více vzájemě propojeých tabulek (4) (:m pokračováí) při spojováí těchto tabulek se opět vytvářejí ové atributy pro agregovaé hodoty jedu relaci zvolíme za hlaví (primárí) apř. Kliet ebo Účet a spojeí budeme provádět vzhledem k í odvozeé atributy apř. agregovaé hodoty při spojováí relací, doméové zalosti (rodé číslo věk) I. Mrázová: Dobýváí zalostí 10

11 Data s příliš moha objekty problematické zpracováí v dávkovém režimu použít je určitý vzorek (sample) vybraý ze všech dat použít takový způsob uložeí dat, který by umožil přístup ke všem objektům, bez utosti ukládat je všechy do operačí paměti vytvořit více modelů a základě podmoži objektů a modely poté zkombiovat reprezetativost vybraých dat vybraé objekty by měly co ejlépe vystihovat všecha data (apř. podle shody rozděleí hodot atributů ve vybraém vzorku i ve všech datech) I. Mrázová: Dobýváí zalostí 11

12 Data s příliš moha objekty (2) evyvážeé třídy v původích datech ( tedece preferovat majorití třídu) růzé váhy pro růzý typ chybého rozhodutí vybírat příklady růzých tříd s růzou pravděpodobostí křížová validace (Cross -Validatio) z dat se opakovaě vybere je určitá část pro tréováí a jiá část pro testováí efektivější uložeí a zpracováí dat (paralelizmus) I. Mrázová: Dobýváí zalostí 12

13 Data s příliš moha atributy redukce počtu atributů pomocí experta automatická redukce počtu atributů trasformací ~ z existujících atributů vytvoříme meší počet ových atributů (apř. Karhue-Loevův rozvoj, PCA, ) ové atributy vzikou jako lieárí kombiace původích atributů utost měřit hodoty všech původích atributů ové atributy emusí mít jasou iterpretaci selekcí ~ z existujících atributů vybereme je ty ejdůležitejší (Feature Selectio) I. Mrázová: Dobýváí zalostí 13

14 Selekce hledáme takové atributy, které ejlépe přispějí ke klasifikaci objektů do tříd metodou filtru ~ ke každému atributu spočítáme charakteristiku vyjadřující jeho vhodost pro klasifikaci metodou obálky ~ použít ějaký algoritmus strojového učeí pro vytvořeí modelu z podmožiy atributů a vyhodotit model. Použije se ejlepší z vytvořeých modelů (s alezeými atributy) zdola ahoru ~ začít od modelů vytvořeých pro jedotlivé atributy a atributy postupě přidávat shora dolů ~ začít od modelu vytvořeého pro původí možiu atributů a atributy postupě odstraňovat I. Mrázová: Dobýváí zalostí 14

15 Automatická selekce metodou filtru kritéria vycházející z kotigečí tabulky C(v 1 ) C(v 2 ) K C(v S ) Σ A(v 1 ) a 11 a 12 K a 1S r 1 A(v 2 ) a 21 a 22 K a 2S r 2 M M M K M M A(v R ) a R1 a R2 K a RS r R Σ s 1 s 2 K s S A vstupí atribut C cílový atribut a kl četost (frekvece) kombiace (A(v k ) C(v l )) S r k = a kl l= 1 R s l = a kl k = 1 = R S k = 1 l= 1 a kl I. Mrázová: Dobýváí zalostí 15

16 Automatická selekce metodou filtru (2) odhad pravděpodobostí: kritéria pro výběr atributů χ 2 P P ( A( v ) C( v )) k r a k ( A( v )) = P( C( v )) k (čím větší hodota, tím lépe) 2 χ = R S k = 1 l = 1 l = kl ( a e ) kl e kl kl 2 = l R = I. Mrázová: Dobýváí zalostí 16 sl S k = 1 l = 1 a kl rk s rk sl l 2

17 Automatická selekce metodou filtru (3) Kritéria pro výběr atributů kritéria pro výběr atributů etropie H ( A ) (čím meší hodota, tím lépe) H R ( ) k A = H ( A( v )) k = 1 kde r H ( A( v )) k k = S l= 1 a r kl k log 2 a r kl k I. Mrázová: Dobýváí zalostí 17

18 Automatická selekce metodou filtru (4) Kritéria pro výběr atributů iformačí míra závislosti ID(A,C) (čím větší hodota, tím lépe) ID ( A, C ) ( A, C ) ( C ) MI MI = = S H kde vzájemá iformace MI(A,C): MI ( A, C ) = P( A( v ) C( v )) = R k = 1 l = 1 R S S k = 1 l = 1 a kl k log 2 l log akl 1 = rk sl k = 1 l = 1 l = 1 ( A, C ) I. Mrázová: Dobýváí zalostí 18 2 R P P sl log sl ( A( vk ) C( vl )) ( A( v )) P( C( v )) S a k kl log 2 k l a r s kl l

19 Automatická selekce metodou filtru (5) atributy lze uspořádat podle hodoty kritéria a poté vybrat je určitý počet těch ejlepších Postup zdola ahoru (~ přidáváí atributů) Postup shora dolů (~ odstraňováí atributů) každý atribut je posuzová zvlášť ezachyce současý vliv vícero atributů a správost klasifikace počítat hodotu kritéria pro možiu atributů (~ pro všechy kombiace hodot těchto atributů) výběr zdola ahoru (~ přidáváím atributů přímá selekce) postup shora dolů (~odstraňováím atributů zpětá selekce) I. Mrázová: Dobýváí zalostí 19

20 Numerické atributy diskretizace umerických atributů (~ rozděleí a itervaly) diskretizace a předem zadaý počet ekvidistatích itervalů (~ obor hodot umerického atributu se rozdělí a stejě dlouhé itervaly) diskretizace s využitím iformací o příslušosti objektů k růzým třídám metody se liší: strategií vytvářeí itervalů (rozdělováím itervalů shora dolů, popř. spojováím itervalů zdola ahoru) počtem výsledých itervalů typem itervalů kritériem vyjadřujícím kvalitu itervalů (miimálí klasifikačí chyba, etropie, χ 2 -test) I. Mrázová: Dobýváí zalostí 20

21 Numerické atributy: algoritmy diskretizace probereme ásledujíci algoritmy: 1. Algoritmus Fayyada a Iraiho 2. Algoritmus Leeho a Shia 3. Diskretizace pro KEX (Berka) 4. Fuzzy diskretizace I. Mrázová: Dobýváí zalostí 21

22 Algoritmus Fayyada a Iraiho zobecňuje biarizaci (~ rozdělei hodot umerického atributu do dvou itervalů) rekurzivě (shora dolů) biarizuje aktuálí iterval; bere v úvahu jedotlivé dělící bodu a staoví zda se má iterval dále rozdělit pokud ao, který dělicí bod použít kritérium pro rozděleí: iformačí zisk (~ příos rozděleí daého itervalu (It) pro klasifikaci) I. Mrázová: Dobýváí zalostí 22

23 Algoritmus Fayyada a Iraiho (2) iformačí zisk ( A ) = H A( It) ( ) H ( ( )) Zisk It A ϑ, ϑ etropie H(A(It)) se vztahuje k itervalu před biarizací T t ( ( )) ( A( It )) t ( A( It )) H A It = log ( A( It )) ( A( It )) t = 1 etropie H(A ϑ ) se vztahuje k itervalu po biarizaci H ( A ) ϑ ( A( < ϑ) ) ( A( It) ) ( A( ϑ) ) ( A( It) ) t t = H ( A( < ϑ) ) + H A ( ( ϑ) ) ( A ( It )) počet příkladů s hodotu atributu A z itervalu It t idex pro příklady z třídy t ( A (<ϑ )), resp. ( A ( ϑ )) počet příkladů, jejichž hodota atributu A je z itervalu It a je meší, resp. větší ebo rova ež ϑ I. Mrázová: Dobýváí zalostí 23

24 Algoritmus Fayyada a Iraiho (3) k biarizaci aktuálího itervalu It dojde, jestliže kde Zisk Δ A ( ( ) 1) ( A( It )) ( ) log A( It ) A > 2 It, ϑ ( ) ( k It, ϑ = log 3 ) k H A( It) 2 2 A ( It, ϑ ) ( A( It )) k počet růzých tříd pro objekty spadající do itervalu It k 1 počet růzých tříd pro objekty spadající do itervalu It <ϑ k 2 počet růzých tříd pro objekty spadající do itervalu It ϑ + Δ ( ) k1 H( A( < ϑ) ) k H( A( ϑ) ) 2 I. Mrázová: Dobýváí zalostí 24

25 Algoritmus Fayyada a Iraiho (4) Fayyadův a Iraiho algoritmus: 1. uspořádej tréovací data vzestupě podle hodoty diskretizovaého atributu 2. rekurzivě biarizuj aktuálí iterval It tak, že 2.1. ajdi ejvhodější dělicí bod ϑ a urči pro ěj Zisk ( A it,ϑ ) 2.2. je-li Zisk rozděl iterval It a itervaly It <ϑ a It ϑ pokračuj v rekurzi ( ) log ( 1) A( It, ϑ) A 2 Δ > + It, ϑ I. Mrázová: Dobýváí zalostí 25

26 Algoritmus Leeho a Shia diskretizace zdola ahoru založeá a postupém spojováí hodot umerického atributu do předem zadaého počtu výsledých itervalů při posuzováí itervalů se měří rozdíl mezi možstvím iformace ve všech datech a možstvím iformace v itervalu E = t ( ) ( It) P( Class ) P( Class It) t t I. Mrázová: Dobýváí zalostí 26

27 Algoritmus Leeho a Shia (2) E = t ( It ) P( Class ) P( Class It ) podobě pro dělicí bod ϑ E = t v obou vztazích je: ( ) t 2 ( ) ( ϑ) P( Class A( < ϑ) ) P( Class A( ϑ) ) P t 2 t t ( Class ) = a P( Class It) t t = daty se prochází opakovaě; při každém průchodu se spojí dvojice itervalů odděleých od sebe dělicím bodem s ejmeší hodotou E(ϑ) I. Mrázová: Dobýváí zalostí 27 t t 1 2 ( It) ( It) 1 2

28 Algoritmus Leeho a Shia (3) algoritmus: Iicializace 1. uspořádej tréovací data vzestupě podle hodoty diskretizovaého atributu 2. pro každý dělicí bod ϑ i = ( a i + a i+1 )/ vytvoř iterval It i = [ ϑ i, ϑ i+1 ] 2.2. spočítej E ( It i ) a E ( ϑ i ) I. Mrázová: Dobýváí zalostí 28

29 Algoritmus Leeho a Shia (4) Algoritmus: Hlaví cyklus 1. dokud eí dosaže požadovaý počet itervalů 1.1. ajdi ϑ mi takové, že E ( ϑ mi ) = mi i E ( ϑ i ) 1.2. vytvoř iterval It mi = [ ϑ mi 1, ϑ mi ] [ ϑ mi, ϑ mi + 1 ] 1.3. spočítej E ( It mi ), E ( ϑ mi 1 ) a E ( ϑ mi + 1 ) I. Mrázová: Dobýváí zalostí 29

30 Diskretizace umerických atributů pro systém KEX Cíl: diskretizace, která povede k vytvořeí pravidel A ( It ) Class; A ( It ) = [ Dmez, Hmez ] Saha vytvářet takové itervaly A(It), aby se P(Class A(It)) sigifikatě lišilo od P(Class) postup zdola ahoru spojováím I. Mrázová: Dobýváí zalostí 30

31 Diskretizace umerických atributů pro systém KEX (2) Hlaví cyklus: 1. vytvoř uspořádaý sezam hodot uvažovaého atributu 2. pro každou hodotu 2.1.spočítej četosti výskytu objektů s touto hodotou pro jedotlivé třídy 2.2.přiřaď kód třídy každé hodotě procedurou Assig 3. vytvoř itervaly hodot procedurou Iterval I. Mrázová: Dobýváí zalostí 31

32 Diskretizace umerických atributů pro systém KEX (3) Assig: pokud pro daou hodotu všechy objekty patří do stejé třídy a) pak přiřaď hodotě kód této třídy; b) jiak pokud se pro daou hodotu veličiy rozděleí objektů do tříd sigifikatě liší (a základě χ 2 -testu) od apriorího rozděleí tříd a) pak přiřaď hodotě kód ejčetější třídy b) jiak přiřaď hodotě kód? I. Mrázová: Dobýváí zalostí 32

33 Diskretizace umerických atributů pro systém KEX (4) Počátečí itervaly 1. Nechť x 1 < <x p jsou všechy hodoty, které abývá uvažovaý atribut; předpokládáme, že p 2 2. vytvoř itervaly It = DMez, HMez = x, x, It K It 1 2 p DMez DMez, HMez Spojováí itervalů: Spojeím itervalů d 1, h 1 a d 2, h 2, kde h 1 < d 2 vzike iterval d 1, h 2 = = 1 2 p 1, HMez 2 p = = 1 x 2 x, p 1 x, 2 x p, I. Mrázová: Dobýváí zalostí 33

34 Diskretizace umerických atributů pro systém KEX (5) Iterval: 3. procházej itervaly od prvího do posledího 3.1. pokud má sekvece po sobě jdoucích itervalů stejý kód třídy, pak vytvoř jede iterval spojeím těchto itervalů 3.2. jiak, pokud iterval It i patří do třídy? pak pokud jeho sousedí itervaly It i 1 a It i + 1 patří do téže třídy vytvoř iterval DMez i 1,HMez i + 1 spojeím It i 1 It i It i jiak vytvoř iterval buď spojeím It i 1 It i ebo spojeím It i It i + 1 podle výsledku χ 2 -testu 3.3. pokud dolí mez ěkterého z vytvořeých itervalů eí x 1, tak jeho dolí mez astav a horí mez předchozího vytvořeého itervalu, iterval bude zleva otevřeý dostaeme spojité pokrytí defiičího oboru atributu I. Mrázová: Dobýváí zalostí 34

35 Fuzzy diskretizace hraice fuzzy-itervalů jsou eostré ová procedura Iterval pro vytvářeí itervalů spojeím sekvecí hodot téže (fuzzy-)třídy fuzzy-itervaly 1 μ(teplota) ízká vysoká teplota I. Mrázová: Dobýváí zalostí 35

36 Fuzzy diskretizace (2) 1 0 ízká z jedé umerické hodoty můžeme získat dvě diskretizovaé hodoty tak, že součet odpovídajících charakteristických fukcí bude rove 1 vzikají fuzzy -objekty s vahou < 1 váha fuzzy -objektu je dáa součiem hodot charakteristických fukcí všech atributů: možá ztráta iformací w vysoká μ(teplota) teplota ( obj ) μ ( x ) = Π kotradikce ~ objekty se stejými hodotami vstupích (diskretizovaých) atributů patřído růzých tříd j I. Mrázová: Dobýváí zalostí 36 i

37 Fuzzy diskretizace (3): procedura Iterval 3.1.pokud má sekvece hodot stejý kód třídy, pak vytvoř iterval z těchto hodot (s charakteristickou fukcí rovou 1 v celém itervalu) 3.2. pro každý iterval It i pokud iterval It i patří do třídy? pak pokud jeho sousedí itervaly It i 1 a It i + 1 patří do téže třídy vytvoř iterval spojeím It i 1 It i It i + 1 (s charakteristickou fukcí rovou 1 v celém itervalu) jiak vytvoř dva fuzzy-itervaly spojeím It i 1 It i a spojeím It i It i + 1 viz ásledující slide I. Mrázová: Dobýváí zalostí 37

38 Fuzzy diskretizace (4): procedura Iterval jiak vytvoř jede iterval spojeím It i 1 It i tak, že charakteristická fukce je rova 1 v itervalu [Dmez i 1, Hmez i 1 ] a rova DMezi + 1 x pro x [ HMezi 1, DMezi + 1] DMez HMez i+ 1 a druhý iterval spojeím It i It i + 1 tak, že charakteristická fukce je rova 1 v itervalu [ Dmez i +1, Hmez i + 1 ] a rova x HMezi 1 pro x [ HMezi 1, DMezi+ 1] DMez HMez i+ 1 i vytvoř spojité pokrytí defiičího itervalu veličiy shodě s krokem (mezery mezi itervaly jsou chápáy jako iterval třídy? ) i 1 I. Mrázová: Dobýváí zalostí 38

39 Kategoriálí atributy Algoritmus pro seskupováí hodot (KEX): pokud abývá kategoriálí atribut příliš velkého počtu hodot, je vhodé jejich seskupováí (apř. a základě charakteristik spočítaých a tréovacích datech) Cíl: vytvořit skupiy A(Grp) takové, aby se P(Class A(Grp)) sigifikatě lišilo od P(Class) + vytvoří se tolik skupi, kolik je růzých tříd plus jeda avíc (? ) I. Mrázová: Dobýváí zalostí 39

40 Kategoriálí atributy (2) Algoritmus pro seskupováí hodot (KEX): Hlaví cyklus: 1. vytvoř uspořádaý sezam hodot uvažovaého atributu 2. pro každou hodotu 2.1.spočítej četosti výskytu objektů s touto hodotou pro jedotlivé třídy 2.2.přiřaď kód třídy každé hodotě procedurou Assig 3. vytvoř itervaly hodot procedurou Group až a voláí Group v kroku 3 stejý jako pro diskretizaci umerických atributů pro systém KEX I. Mrázová: Dobýváí zalostí 40

41 Kategoriálí atributy (3) Algoritmus pro seskupováí hodot (KEX): Assig: Pokud pro daou hodotu všechy objekty patří do stejé třídy 1. pak přiřaď hodotě kód této třídy; 2. jiak pokud se pro daou hodotu veličiy rozděleí objektů do tříd sigifikatě liší (a základě χ 2 -testu) od apriorího rozděleí tříd a) Pak přiřaď hodotě kód ejčetější třídy b) Jiak přiřaď hodotě kód? Stejý jako pro diskretizaci umerických atributů pro systém KEX I. Mrázová: Dobýváí zalostí 41

42 Kategoriálí atributy (4) Algoritmus pro seskupováí hodot (KEX): Group: vytvoř skupiu z těch hodot, které mají přiřaze kód stejé třídy I. Mrázová: Dobýváí zalostí 42

43 Chybějící hodoty igorovat objekt s ějakou chybějící hodotou ahradit chybějící hodotu ovou hodotou evím ahradit chybějící hodotu ěkterou z existujících hodot atributu ejčetější hodotou proporcioálím podílem všech hodot libovolou hodotou doplěí chybějící hodoty a základě (použitého) modelu I. Mrázová: Dobýváí zalostí 43

Příprava dat. 1. Strukturovaná data. časová data (např. časové řady kurzů akcií)

Příprava dat. 1. Strukturovaná data. časová data (např. časové řady kurzů akcií) Příprava dat vybrat (ebo vytvořit) z dostupých dat ty údaje, teré jsou reevatí pro zvoeou úohu dobýváí zaostí, reprezetovat tyto údaje v podobě, terá je vhodá pro zpracováí zvoeým agoritmem. 1. Struturovaá

Více

Rozhodovací stromy. Úloha klasifikace objektů do tříd. Top down induction of decision trees (TDIDT) - metoda divide and conquer (rozděl a panuj)

Rozhodovací stromy. Úloha klasifikace objektů do tříd. Top down induction of decision trees (TDIDT) - metoda divide and conquer (rozděl a panuj) Rozhodovací stromy Úloha klasifikace objektů do tříd. Top dow iductio of decisio trees (TDIDT) - metoda divide ad coquer (rozděl a pauj) metoda specializace v prostoru hypotéz stromů (postup shora dolů,

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

3. Sekvenční obvody. b) Minimalizujte budící funkce pomocí Karnaughovy mapy

3. Sekvenční obvody. b) Minimalizujte budící funkce pomocí Karnaughovy mapy 3.1 Zadáí: 3. Sekvečí obvody 1. Navrhěte a realizujte obvod geerující zadaou sekveci. Postupujte ásledově: a) Vytvořte vývojovou tabulku pro zadaou sekveci b) Miimalizujte budící fukce pomocí Karaughovy

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

vybrat (nebo vytvořit) z dostupných dat ty údaje, které jsou relevantní pro zvolenou úlohu dobývání znalostí,

vybrat (nebo vytvořit) z dostupných dat ty údaje, které jsou relevantní pro zvolenou úlohu dobývání znalostí, 7. Příprava dat Příprava (předzpracováí) dat je ejobtížější a časově ejáročější krok ceého procesu dobýváí zaostí z databází. Současě je to ae krok, který má kíčový výzam pro úspěch daé apikace. Je to

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Vyhledávání v tabulkách

Vyhledávání v tabulkách Vyhledáváí v tabulkách Tabulkou azveme možiu položek idetifikovatelých hodotou přístupového (idetifikačího) klíče (key, ID idetificator). Ve vodorovém směru se jedá o heterogeí pole, tz. že každá položka

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Princip paralelního řazení vkládáním (menší propadává doprava)

Princip paralelního řazení vkládáním (menší propadává doprava) ricip paralelího řazeí vkládáím (meší propadává doprava) Týde 0 aralelí řazeí. vkládáím. traspozicí lichý - sudý. bitoické. s pravidelými vzorky. přihrádkové 0,,,,,,,,,, krok aralelí řazeí vkládáím (Isertio

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Aplikace teorie neuronových sítí

Aplikace teorie neuronových sítí Aplikace teorie euroových sítí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické iforatiky Mateaticko-fyzikálí fakulta Uiverzity Karlovy v Praze Zpracováí časových vzorů (teporal processig) Stadardí algoritus

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Neuronové sítě. Biologický neuron. Modely neuronu. 1. Logický neuron (McCulloch, Pitts, 1943) w R, x, y {0, 1} Biologický neuron.

Neuronové sítě. Biologický neuron. Modely neuronu. 1. Logický neuron (McCulloch, Pitts, 1943) w R, x, y {0, 1} Biologický neuron. Biologický euro Neuroové sítě Biologický euro Modely eurou Schéma eurou 1. Logický euro (McCulloch, Pitts, 1943) w R, x, y {0, 1} P. Berka, 2019 1/23 2. DLINE (Widrow, 1960) x, w R, y {0, 1} SUM = w i

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

definované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12

definované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12 Předáška 3: Determiaty Pojem determiatu se prosadil původě v souvislosti s potřebou řešit soustavy lieárích rovic v 8 století (C Maclauri, G Cramer) Teprve později se pojem osamostatil, zjedodušilo se

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit:

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit: .3. Klasifikace podle miimálí vzdáleosti Tato podkapitola je věováa popisu podstaty klasifikace podle miimálí vzdáleosti, jež úzce souvisí s klasifikací pomocí etaloů klasifikačích tříd. Představíme si

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Systém pro zpracování, analýzu a vyhodnocení statistických dat ERÚ. Ing. Petr Kusý Energetický regulační úřad odbor statistický a bezpečnosti dodávek

Systém pro zpracování, analýzu a vyhodnocení statistických dat ERÚ. Ing. Petr Kusý Energetický regulační úřad odbor statistický a bezpečnosti dodávek Systém pro zpracováí, aalýzu a vyhodoceí statistických dat ERÚ Ig. Petr Kusý Eergetický regulačí úřad odbor statistický a bezpečosti dodávek TA ČR, 9. duba 2019 Eergetický regulačí úřad - stručě Nezávislý

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 2

4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 2 4EK311 Operačí výzkum 4. Distribučí úlohy LP část 2 4.1 Dopraví problém obecý model miimalizovat za podmíek: m z = c ij x ij i=1 j=1 j=1 m i=1 x ij = a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, x ij 0, i

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

Expertní Systémy. Tvorba aplikace

Expertní Systémy. Tvorba aplikace Tvorba aplikace Typ systému malý velký velmi velký Počet pravidel 50-350 500-3000 10000 Počet člověkoroků 0.3-0.5 1-2 3-5 Cea projektu (v tis.$) 40-60 500-1000 2000-5000 Harmo, Kig (1985) Vytvořeí expertího

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

REGRESNÍ DIAGNOSTIKA. Regresní diagnostika

REGRESNÍ DIAGNOSTIKA. Regresní diagnostika 4.11.011 REGRESNÍ DIAGNOSTIKA Chemometrie I, David MILDE Regresí diagostika Obsahuje postupy k posouzeí: kvality dat pro regresí model (přítomost vlivých bodů), kvality modelu pro daá data, splěí předpokladů

Více

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více