IV. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Posudek - oruchy - havárie 3.až 4.4.003 Dům techniky Ostrava ISBN 80-0-01551-7 179 POSUDEK SPOLEHLIVOSTI VYBRANÉ OCELOVÉ KONSTRUKCE NUMERICKÝM ŘEŠENÍM Petr Janas, Martin Krejsa a Ivan Kološ Abstract The aer briey reviews one of the roosed robabilistic assessment concets. The otential of the roosed concet and of the corresonding software is emhasized. The new edition of the Czech secification for structural design, ČSN 73 1401 (1998), already contains rovisions allowing for alication of robabilistic concet, using criterion P f < P d, where P f is the robability of failure and P d is the target robability defined in secifications. The reliability referring to carrying caacity of a steel beam exosed to an imact is exressed by robability of failure. 1. Úvod Při osuzování solehlivosti konstrukcí je atrná snaha oužívat ve stále větší míře lně ravděodobnostních metod na úkor metod deterministických, i když i tyto metody dle našeho názoru budou hrát stále svou orávněnou úlohu. Plně ravděodobnostní metody jsou schony odstatně věrohodněji a řirozeněji simulovat vstuy mající nezanedbatelný vliv ro osuzování chování stavebního objektu a jeho solehlivosti. Tyto mají totiž většinou do značné míry náhodný charakter, který jediná deterministicky určená rerezentativní hodnota nemůže často lně charakterizovat. Plně ravděodobnostní osuzování solehlivosti stavebních objektů je úloha nelehká nejen z hlediska zajištění souborů otřebných vstuních údajů, ale také z hlediska jejich zracování. Značně se však urychluje a umožňuje rozvojem výočetní techniky. Rozvíjí se celá řada metod uvedených nař. v [10] nebo [11], většinou založených na využití simulační techniky Monte Carlo. Stále větší možnost je věnovaná ůvodní lně ravděodobnostní metodě SBRA ([9] a [10]), která rovněž využívá simulační techniku Monte Carlo. Předložený řísěvek využívá alternativní ostu lně ravděodobnostního výočtu solehlivosti konstrukce namáhané nárazem, využívající římý numerický ravděodobnostní výočet bez využití této simulační techniky. Byl rezentován nař. v [1] a []. Vychází ze základních ojmů a ostuů teorie ravděodobnosti.. Numerické řešení růhybu nosníků a jeho řetvárná energie Při výočtu řetvoření ohýbaného nosného rvku s uvažováním ružno-lastického chování materiálu je nutno vyjádřit závislost mezi naětím a oměrným ružno-lastickým řetvořením. Jedna z alternativ (viz [6] a [7]) vychází z rovnice Ramberg Osgood. Zůsob řevodu lasticitní úlohy na úlohu ružnostní, oužitý v tomto řísěvku, však sleduje záměr zachovat všechny veličiny, jež zůsobují změnu řetvárné vlastnosti nosníku, beze změny. Za neměnné veličiny jsou ovažovány vnější síly, ohybový moment (oř. ostatní vnitřní síly) a růřezové charakteristiky nosníku (locha, moment setrvačnosti, modul růřezu). Petr Janas, Doc. Ing., CSc., Martin Krejsa, Ing., Ph.D., Ivan Kološ, Ing., Katedra stavební mechaniky, Fakulta stavební, VŠB TU Ostrava, Ludvíka Podéště 1875, 708 00 Ostrava; tel.: +40 59 699 1308, fax: +40.59 699 1558; e-mail: etr.janas@vsb.cz, martin.krejsa@vsb.cz, ivan.kolos@vsb.cz.
180 Změna řetvárné vlastnosti se vyjádří změnou ohybové tuhosti. V růřezech nosníku, které ůsobí ružně, se onechává skutečná ohybová tuhost růřezu EI a v růřezech lastizujících se zavádí tzv. náhradní ohybová tuhost E*I (viz také [3], [4] a [5]). Vzhledem k výočetní náročnosti osudku solehlivosti, kdy bylo nutno získat velké množství výsledků, které se statisticky zracovaly, byl řijat kromě výše uvedených ředokladů také ředoklad o ideálně ružnolastickém materiálu. To, že racovní diagram materiálu uvažujeme jako ideálně ružnolastický, který má obdobný tvar v tahu i tlaku, úlohu do jisté míry zjednodušuje a umožňuje vyjádřit náhradní ohybovou tuhost růřezu exlicitně. Po rovedení analýzy najatosti růřezu, jenž je vystaven ůsobení ohybového momentu M, lze vyjádřit náhradní ohybovou tuhost E*I jako funkci ohybového momentu M, modulu ružnosti E, meze kluzu σ a vzdálenosti mezi ružnou a lastickou částí růřezu měřenou od neutrální osy y el : ( E * I ) M E y el = (1) σ Výočet vzdálenosti y el se liší odle toho, zda rozhraní mezi ružnou a lastickou částí růřezu leží v ásnici nebo ve stojině. Kritériem ro určení olohy rozhraní y el je velikost ohybového momentu M. Přesáhne-li jeho hodnota hraniční hodnotu M hran určenou odle (), ak leží rozhraní mezi ružnou a lastickou částí růřezu ve stojině a y el se určí odle (3). Je-li M menší než M hran, ak leží rozhraní v ásnici a y el se určí odle (4). ts ts ( h t ) + ( h t ) ( h ) = b M hran σ t 8 4 t () y el = 3 b t t s 3 3M ( h t ) + ( h t ) (ro M M ) 4 σ t s hran (3) 3 σ h 4M σ ( )( ) b ts t h σ h 4M σ b y = cos arccos 3 (4) el σ b ( 4M σ h ) Ve vzorcích () až (4) označují roměnné b, h, t a t s charakteristiky tvaru I-rofilu odle nákresu u grafu na obr.. Hodnoty náhradní ohybové tuhosti lze sestavit do tzv. křivky tuhosti (obr.1), která vyjadřuje závislost ohybové tuhosti na velikosti ohybového momentu M. Z křivky tuhosti je zřejmé, že dokud v růřezu nevznikají nevratné lastické deformace (naětí o celé výšce růřezu je menší než mez kluzu σ ), náhradní ohybová tuhost (E*I) je konstantní a rovná se součinu modulu ružnosti E a momentu setrvačnosti I. Jakmile však dosáhnou krajní vlákna růřezu meze kluzu a v růřezu se začne rozvíjet lastická zóna, náhradní ohybová tuhost klesá. Když je lastická kaacita růřezu vyčerána, vzniká v růřezu lastický kloub a jeho náhradní ohybová tuhost je rovna 0. Při výočtu v tomto E*I [knm ] 90000 80000 70000 60000 50000 40000 30000 0000 10000 0 0 00 400 600 800 1000 M [knm] Obr.: Závislost tuhosti I-růřezu na velikosti ohybového momentu M
181 konkrétním říadě však nebyl za mezní stav únosnosti, ři němž dochází ke vzniku lastického kloubu, ovažován okamžik, kdy ohybová tuhost dosahuje hodnoty 0, nýbrž byla onechána zanedbatelně malá lastická rezerva ve výši 5% hodnoty tuhosti v ružném stavu EI. Prakticky to tedy znamená, že ohybový moment na nosníku mohl dosáhnout maximálně takové velikosti, ři níž měla náhradní ohybová tuhost velikost 0,05EI. Samotné určení růhybu nosníku v ružnolastickém stavu je rovedeno omocí metody jednotkových sil. Vzhledem k nelinearitě úlohy bylo nutno rovést řešení numericky. Délka nosníku L se nejrve rozdělí na n dostatečně malých částí L i, i = 1...n. Každé části L i je řiřazena odovídající náhradní tuhost (E*I) i, kterou lze odečíst z grafu. Pomocí rinciu virtuálních rací se ak určí růhyb δ x v libovolném místě x nosníku odle vztahu (5) n M m δ = L (5) x i xi ( E * I ) i= 1 Obr.: Křivka závislosti síly F na deformaci δ, která je silou zůsobena. Plocha od křivkou je rovna řetvárné energii. i i kde M i je ohybový moment v části L i nosníku od zatížení, m xi je ohybový moment v části L i nosníku od jednotkové síly ůsobící v místě x, L i je délka části L i nosníku a (E*I) i je náhradní ohybová tuhost části L i nosníku. V daném říadě byl nosník rozdělen na 00 dílků a růhyb se určoval urostřed rozětí. Nosník byl zatěžován urostřed rozětí osamělým břemenem F, jehož hodnota neustále rostla. Zároveň se silou F vzrůstal růhyb δ a jejich vzájemný růst se zastavil ři vyčerání lastické kaacity nejnamáhanějšího růřezu (tzn. náhradní ohybová tuhost v růřezu má hodnotu 0,05EI). Osamělé břemeno dosáhlo své maximální hodnoty F max a tomu odovídá řetvoření δ max (obr.). Celková řetvárná energie U otřebná k dosažení růhybu δ max je rovna loše od křivkou vyjadřující závislost síly F na deformaci δ (viz obr.) a lze ji určit odle (6). Vzhledem k tomu, že máme k disozici ouze funkční hodnoty funkce F (δ), rovedli jsme integraci numericky. δ max U = F ( δ d )δ 0 Graf na obr. byl sestaven s těmito deterministickými vstuními arametry: b=00 mm, h=500 mm, t = 16 mm, t s =10, mm, E=10 GPa, σ =35 MPa, L=6 m, n=00. 3. Přímý ravděodobnostní výočet Náhodný charakter veličin vstuujících do ravděodobnostního výočtu ři osuzování solehlivostí konstrukcí se často vyjadřuje histogramy vycházejícími z ozorování a měření často i dlouhodobých. Ve vlastním výočtu se ak dostáváme do situace, kdy se jednotlivé náhodné veličiny vzájemně násobí, dělí, sčítají a odčítají, okud nejsou otřebné složitější očetní úkony. Vzniká tedy otřeba očetních oerací s náhodnými veličinami, které jsou vyjádřeny histogramy. Tyto ostuy jsou odrobně osány v [1] a [] a byly oužity ři tvorbě výočetního modulu. 4. Náhodný charakter vstuních veličin a raktický výočet Při řešení dané úlohy ředokládáme, že do výočtu vstuují tyto náhodné veličiny: (6)
18 růřezové charakteristiky nosníku, tj. jeho všechny rozměry včetně lochy, růřezového modulu a momentu setrvačnosti mez kluzu oužitého materiálu energie nárazu Jestliže v daném výočtu můžeme ředokládat, že mez kluzu a energie nárazu jsou v daném výočtu charakterizovány vždy jediným histogramem ro danou hodnotu, tak u růřezové charakteristiky to je oněkud složitější. Průřezová locha, moment setrvačnosti, růřezový modul atd. jsou řesnou funkcí geometrických rozměrů. Jsou funkčně závislé na geometrických rozměrech. Průřezové charakteristiky mají tedy náhodný charakter odovídající náhodnému charakteru geometrických rozměrů, vzájemně jsou však závislé. Pravděodobnosti geometrických rozměrů rofilu odovídají ravděodobnosti ro lochu, moment setrvačnosti a růřezový modul. Takovéto náhodné veličiny by do ravděodobnostního výočtu měly vstuovat vzájemně vázaně a ne jako nezávislé vzájemně izolované náhodné veličiny. Lze-li neřesnost rofilu charakterizovat jedinou relativní délkovou chybou rofilu ε (viz [1] nebo [8]), ak řibližně latí: l var = l N (1-ε) (7) A var = A N (1-ε) = A N (1 - ε), (8) W var = W N (1-3ε), (9) I var = I N (1-4ε) (10) kde l var, A var, W var, I var jsou roměnné variabilní hodnoty délkového rozměru, růřezové lochy, růřezového modulu a momentu setrvačnosti, l N, A N, W N, a I N jsou charakteristické hodnoty těchto veličin. Má-li každá v úvahu řicházející hodnota ε svou ravděodobnost, mají stejnou ravděodobnost hodnoty l varo, A var, W var, I var určené s touto relativní chybou. Vstuují-li do ravděodobnostního výočtu všechny tyto hodnoty, ak se (odovídající vzájemně funkčně závislé hodnoty) volí se stejnou ravděodobností. Tento ostu, který se oužil i v dané úloze, je srávný a řitom snižuje očet oerací ři ravděodobnostním výočtu, neboť funkčně závislé hodnoty se volí vždy současně. 5. Přetvárná energie rázově zatíženého nosníku Jako náhodně roměnné veličiny byly zavedeny b, h, t, t s a σ. Charakteristiky tvaru růřezu b, h, t, t s se však neměnily vzájemně nezávisle, nýbrž závisle. Nař. náhodně roměnná b var se určila odle ředisu b var =b(1-ε), který byl analogicky oužit na zbylé roměnné h, t, t s. Význam b var (h var, t,var, t s,var ) a ε je stejný jako u vztahů (7) až (10). Klesla-li tedy nař. šířka b na 95% své ůvodní hodnoty, oklesly na 95% své ůvodní hodnoty také ostatní rozměry. Mez kluzu σ byla ak roměnnou zcela nezávislou. Každá náhodně roměnná se ve výočtu vyskytuje s určitou ravděodobností danou histogramem četnosti. Pro všechny jejich možné hodnoty se řetvárná energie vyočte ostuem dle kaitoly. 6. Funkce solehlivosti nosníku namáhaného nárazem Jako vhodný říklad na ukázku ravděodobnostního osudku ocelového nosníku, který je namáhán nárazem, může osloužit svařovaný ocelový nosník růřezu I, který je součástí těžní věže uhelného dolu. Klec tohoto výtahového systému má hmotnost m=50 kg a ohybuje se rychlostí v=3 m.s -1. V říadě selhání klece slouží osuzovaný nosník jako zarážka, která absorbuje kinetickou energii klece a u níž se o tomto zatížení nárazem ředokládá výměna.
183 Funkce solehlivosti, omocí níž bude roveden osudek solehlivosti má tvar: SF = U W (11) kde U je odolnost konstrukce (řetvárná energie nosníku) a W účinek zatížení (kinetická energie nárazu), která již byla určena v ředchozím oddíle. Kinetickou energii nárazu W lze určit s oužitím následujícího vztahu: m. v W =. Wvar (1) kde W var je koeficient (rerezentovaný useknutým histogramem s normálním rozdělením +/- 5%), který vyjadřuje roměnnost nárazu. Posudek solehlivosti konstrukce byl roveden určením ravděodobnosti oruchy P f a jejím orovnáním s návrhovou ravděodobností P d, danou normou ČSN 73 1401. Vlastní výočet ravděodobnosti P f byl roveden alikačním rogramem, jehož výstu se vstuními údaji, výsledným grafem funkce solehlivosti a vyočtenou ravděodobností oruchy je uveden na obr.3. Obr.3: Výsledná hodnota ravděodobnosti P f a histogram funkce solehlivosti SF Výsledná ravděodobnosti zadaného nosníku, který je namáhán nárazem tedy činí P f = 0,0000531, což dle ČSN 73 1401 odovídá obvyklé úrovni solehlivosti konstrukce. 7. Závěr Při římém ravděodobnostním výočtu se náhodné veličiny negenerují náhodně, do výočtu vstuují deterministicky, římo dle zadaného algoritmu. Výsledek řitom může být kvalitativně stejný jako u metody Monte Carlo, nař. histogram hledané funkce. Při stejných vstuních histogramech, ři stejné funkci a ři stejné volbě intervalů vstuních veličin, tj. ři stejném očtu oerací P je u římého výočtu ravděodobnosti výsledek
184 vždy stejný. U metody Monte Carlo se bude výsledek ři stejných vstuech, stejné funkci i ři stejném očtu simulací zravidla oněkud lišit, neboť generované vstuní veličiny nebudou okaždé stejné, jsou vybrány náhodně a očet simulací je rakticky vždy konečný. Přímý ravděodobnostní výočet solehlivosti konstrukce je nutno cháat jako alternativu simulační techniky Monte Carlo oužívané v metodě SBRA. Oznámení Přísěvek byl vyracován v rámci řešení rojektu GA ČR 103/01/1410 a 105/01/0783. Literatura [1] Janas, P., Krejsa, M.: Numerický výočet ravděodobnosti užitím useknutých histogramů ři osuzování solehlivosti konstrukcí, sborník vědeckých rací FAST VŠB-TU Ostrava, 00, v tisku. [] Janas, P., Krejsa, M.: Numerický výočet ravděodobnosti užitím useknutých histogramů, sborník III.ročníku celostátní konference Solehlivost konstrukcí, Dům techniky Ostrava, 10.4.00, ISBN 80-0-01489-8. [3] Janas, P., Kološ, I.: Stiffness of beam in elasto-lastic state, Advances in Civil Engineering 5 th International Congress, 5.-7 Setember 00, Istanbul, Turkey, ages 645 653, ISBN 975-561-0-3. [4] Kološ, I.: Ohybová tuhost I-růřezu v ružnolastickém stavu, sborník 4. odborné konference doktorského studia, 13.-14.února 00, VUT FAST v Brně, str. 55, ISBN 80-14-067-7. [5] Janas, P., Kološ, I.: Ohybová tuhost rutu v ružnolastickém stavu, sborník II.ročníku celostátní konference Solehlivost konstrukcí, Dům techniky Ostrava, 1.3.001, ISBN 80-0-01410-3. [6] Krejsa, M., Marek, P.: Posudek solehlivosti ocelového nosníku namáhaného nárazem, sborník konference Dynamika v ozemním stavitelství a doravních konstrukcích a větrné inženýrství, Vyhne, září 000, Slovenská reublika, ISSN 80-7100-734-X. [7] Krejsa, M., Lokaj, A.: Posouzení nosné ocelové konstrukce vystavené mimořádnému zatížení nárazem omocí simulační metody SBRA, sborník konference Solehlivost a diagnostika v doravě, 1.rosince 000, Univerzita Pardubice, Doravní fakulta Jana Pernera, ISSN: 80-7194-303-7. [8] Vokoun, S.: Roztyl geometrických arametrů otevřených válcovaných rofilů, VŠB-TUO, sborník studentských rací 00, SEKCE IV.- Stavební mechanika, str.17-14, ISBN 80-48-0139-6. [9] Marek, P., Guštar, M., Anagnos, T.: Simulation-Based Reliability Assessment for Structural Engineers, CRC Press Inc., Boca Raton, ISBN 0-8493-886-6. [10] Marek, P., Haldar, A., Guštar, M. Tikalský, P. (editors): Euro-SiBRAM, Mezinárodní kolokvium, Praha, 4.-6. červen 00, ISBN 80-8646-17-5. [11] Telý, B., Novák, D.: Solehlivost stavebních konstrukcí, CERM Brno, 1999, ISBN 80-14-1149-X. [1] Gere, M.: Mechanics of Materials, 5 th edition, 000, ISBN 0 534-37133-7.