4 Kombinatorika a matice 4 Princip inkluze a exkluze Předpokládejme, že chceme znát počet přirozených čísel menších než sto, která jsou dělitelná dvěma nebo třemi Označme N k množinu přirozených čísel menších než sto, která jsou dělitelná číslem k, tj N k = {n N; n < 00, k n} Našim cílem je spočítat N N Počet prvků sjednocení N N je dán vztahem N N = N + N N N Prvky z průniku N N leží jak v N, tak v N a jsou tedy ve výrazu N + N započteny dvakrát Proto je musíme jednou odečíst Průnik N N je množina těch čísel, která jsou dělitelná dvěma a současně třemi, což jsou právě čísla dělitelná šesti, tedy N N = N 6 Snadno spočítáme, že N = 49, N =, N N = N 6 = 6 Pak N N = 49 + 6 = 66, tedy existuje 66 přirozených čísel menších než, která jsou dělitelná dvěma nebo třemi Předchozí úvahu lze aplikovat i na zcela abstraktní situaci Uvažme dvě konečné množiny A, A Pak počet prvků jejich sjednocení je dán vztahem A A = A + A A A Nyní vzorec zobecníme na libovolný konečný počet množin Uvažme systém konečných množin, i I = {,,, n}, kde n je libovolné přirozené číslo Pak velikost sjednocení i I je dána vztahem Speciálně pro n = máme i= = ( ) X + (4) A A A = A + A + A A A A A A A + A A A Vzorec (4) lze dokázat indukcí vzhledem k n Pro n = jsme tento vzorec již odvodili Bud tedy n > libovolné přirozené číslo a předpokládejme, že pro menší počet množin vzorec (4) platí Označme B = n i= Pak platí B A n = n i=, a tedy podle indukčního předpokladu máme i= = B An = B + A n A n B
Průnik A n B je sjednocením n množin, nebot platí n A n B = A n = Můžeme tedy použít indukční předpoklad i= = ( ( = = ( ) X + ( ) X + ( ) X + i= n ( A n ) i= ) ( + A n ) ( + n X ( ) X + ) ( A n ) = ( ) X + ) = 4 Problém šatnářky Příklad 4 (Problém šatnářky) V šatně si 4 návštěvníci odložili své kabáty a klobouky Nešt astnou náhodou všechny klobouky spadly na zem Šatnářka chce klobouky opět pověsit, ale protože si nepamatuje, který patří komu, pověsí je k jednotlivým kabátům zcela náhodně Kolika způsoby může klobouky pověsit, tak aby alespoň jeden návštěvník dostal svůj klobouk, alespoň dva návštěvníci dostali svůj klobouk Řešení Označme P (n, k) počet všech možností, jak pověsit n klobouků tak, aby alespoň k návštěvníků dostalo svůj klobouk Dále označme množinu všech možností, kdy i-tý návštěvník získá svůj klobouk Snadno se vidí, že =! A j =! pro i j A j A k = pro i j, i k, j k A A A A 4 = Chceme spočítat P (4, ), což je tedy počet prvků množiny A A A A 4 Velikost této množiny lze elegantně spočítat pomocí principu inkluze a exkluze: A A A A 4 = A + + A 4 A A A A 4 + + A A A + + A A A 4 A A A A 4 = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 =!! + = 4 + 4 = 5 4 Existuje tedy 5 různých způsobů, jak pověsit klobouky tak, aby alespoň jeden návštěvník dostal svůj klobouk
V tomto případě chceme spočítat P (4, ) Označme N počet možností, kdy právě jeden návštěvník dostane svůj klobouk Je jasné, že počet možností, jak pověsit klobouky tak, aby alespoň dva návštěvníci dostali svůj klobouk, je podle předchozího 5 N Zabývejme se tedy otázkou, jak spočítat N Označme T i počet všech možností, jak pověsit klobouky tak, aby právě i-tý návštěvník dostal svůj klobouk (tj jen on a nikdo další) Pak N = T + T + T + T 4, přičemž T i =! P (, ) - pokud má pouze i-tý dostat svůj klobouk, znamená to, že nikdo ze zbylých návštěvníků nedostane svůj klobouk; opakem je, že alespoň jeden z nich dostane svůj klobouk Hodnotu P (, ) spočítáme stejným způsobem jako v předchozím případě Odtud dostáváme P (, ) = ( )! ( ) + ( ) = 6 + = 4 N = T + T + T + T 4 = 4(! P (, )) = 4(6 4) = 4 = 8 To znamená, že existuje 5 8 = 7 různých způsobů, jak pověsit klobouky tak, aby alespoň dva návštěvníci dostali svůj klobouk Jiné řešení: Pro i < j, i, j {,,, 4} označme j = A j, tj j jsou tz možnosti, kdy i-tý a j-tý návštěvník získají svůj klobouk Platí P (4, ) = A A A 4 A A 4 A 4, tedy můžeme použít princip inkluze a exkluze Všimněme, že průnik alespoň dvou různých množin j odpovídá průniku alespoň různých množin, a taková množina je jednoprvková Všechny množiny j mají dva prvky, proto platí P (4, ) = + + 4 5 = 5 + 0 5 + 6 = 7 6 4 Rekurentní metoda Příklad 4 Kolik je posloupností délky 6 sestávají z 0 a, které neobsahují tři nuly za sebou? Řešení Označme a n počet posloupností délky n, které neobsahují tři nuly za sebou Posloupnosti tvoříme postupným přidáváním 0 a Uvážíme několik případů v závislosti na tom, jak mohla posloupnost délky n vzniknout posloupnost vznikla přidáním k posloupnosti délky n V tomto případě máme a n možností posloupnost vznikla přidáním 0 k posloupnosti délky n V tomto případě máme a n možností posloupnost vznikla přidáním 00 k posloupnosti délky n V tomto případě máme a n možností
Předchozí úvahy nám dávají následující rekurentní vztah a n = a n + a n + a n pro n > (4) Snadno se vidí, že a =, a = 4, a = 7 Z rekurentního vztahu (4) odvodíme a 4 = a + a + a = 7 + 4 + =, a 5 = a 4 + a + a = + 7 + 4 = 4, a 6 = a 5 + a 4 + a = 4 + + 7 = 44 Posloupností délky 6 sestávají z 0 a, které neobsahují tři nuly za sebou, je celkem 44 44 Matice Maticí m n budeme rozumět obdélníkové schéma (tabulku), které má m řádků a n sloupců (m a n jsou přirozená čísla) V každém řádku a v každém sloupci jsou prvky (čísla), které zpravidla náleží některému z číselných oborů Jsou-li všechna tato čísla celá, hovoříme o celočíselných maticích, jsou-li reálná, pak hovoříme o reálných maticích apod Příklad matice : ( ) A = π 0 Pro označení prvků matice se obvykle používá dvojitého indexu, tedy např prvek ležící v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A budeme značit jako a ij Díky tomuto značení můžeme velice snadno a poměrně elegantně definovat základní operace, které můžeme s maticemi provádět Sčítání a násobení matic: Sčítat můžeme pouze matice stejných rozměrů Necht A = (a ij ) a B = (b ij ) jsou matice typu m n Pak jejich součet A + B je matice C = (c ij ) typu m n taková, že c ij = a ij + b ij Součin dvou matic A B je definován pouze tehdy, pokud počet sloupců matice A je stejný jako počet řádků matice B, tedy matice A = (α ij ) je typu m n a matice B = (β ij ) je typu n k pro vhodná m, n, k N V takovém případě jejich součinem je matice C = (γ ij ) typu m k taková, že n γ ij = α il β lj Příklad 4 Jsou dány matice A = ( ) 0, B = 0 l= 0 0, C = 0 4 Určete, které součiny jsou definované, a tyto pak spočtěte ( ) 0 0 4
Řešení Definovaný je pouze součin A B A B = ( ) 0 0 0 0 = 0 4 ( ) 0 5 8 6 6 4 6 Příklad 44 Necht je dána matice A = 0 0 0 0 Spočtěte A n pro libovolné n N Řešení Spočítáme několik prvních mocnin a pokusíme se na základě těchto příkladů získat obecný vztah 0 A = 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A = 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 A 4 = 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 V předchozích speciálních případech lze spatřit jistý vzor, který nás vede k následující domněnce n 0 0 = n ( )n 0 0 (4) 0 0 0 0 ( ) n Platnost (4) dokážeme indukcí Pro n = to zřejmě platí Předpokládejme, že rovnost (4) již byla dokázána pro n a dokažme ji pro n 0 0 0 0 = (n ) n ( )n 0 0 0 0 ( ) n n = 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 = n ( )n 0 0 0 0 0 0 ( ) n, tím je rovnost (4) dokázána 5