Nerovnice Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.16/01.0065 Matematika jinak Realizátorem tohoto projektu je Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Pracovní list č. 8 Nerovnice Lineární nerovnice řešíme stejně jako lineární rovnice, jen s tím rozdílem, že když násobíme nebo dělíme rovnici záporným číslem, musíme otočit znaménko na druhou stranu. Ptáte se proč to tak je? Vysvětlení je prosté, ke stejnému výsledku dojdeme tak, že si záporný člen s neznámou přesuneme na druhou stranu rovnice a potom celou rovnici vydělíme kladným číslem. Mějme například nerovnici. Tu můžeme řešit výše zmiňovanými dvěma způsoby. Možné výsledky lineárních nerovnic Podobně jako u lineárních rovnic i zde můžeme dostat tři typy výsledků. Na rozdíl od lineárních rovnic tu nedostáváme jeden kořen, ale interval. Interval, například pro Všechna reálná čísla, pro Prázdná množina, pro Lineární nerovnice: Př. 1: Řešte v R nerovnici: Řešení: strana 2
Řešení v programu Wolfram Mathematica: Př. 2: Řešte v R nerovnici: Řešení: Řešení v programu Wolfram Mathematica: Př. 3: Řešte v R nerovnici: Řešení: strana 3
Řešení v programu Wolfram Mathematica: Kvadratické nerovnice: Kvadratické nerovnice můžeme řešit v podstatě třemi způsoby: graficky dosazováním rozkladem na součin Výsledkem může být: prázdná množina číslo interval dva intervaly Grafické řešení: Při grafickém řešení kvadratických nerovnic se předpokládá pokročilá znalost kvadratických funkcí. Nejprve si kvadratický výraz vyneseme jako kvadratickou funkci do grafu a potom se podle nerovnítka rozhodujeme, která část křivky odpovídá nerovnosti. Interval na ose x odpovídající vyhovující části křivky je řešením nerovnice. Při vynášení funkcí do grafu mohou vzniknout v podstatě tři situace. strana 4
1. Příklad funkce Možný výsledek nerovnice všechna reálná čísla Náčrt grafu prázdná množina 2. Příklad funkce Náčrt grafu všechna reálná čísla prázdná množina číslo dva intervaly 3. Příklad funkce jeden interval - vnitřní Náčrt grafu dva intervaly - krajní Řešení kvadratických nerovnic dosazováním Postupujeme tak, že si nejprve vypočítáme kořeny kvadratické rovnice vzniklé z kvadratické nerovnice. Mohou nastat tři situace: 1. rovnice má 2 reálné kořeny x1, x2 - dostáváme 3 intervaly 2. rovnice má 1 dvojnásobný kořen x - dostáváme 2 intervaly 3. rovnice nemá žádný reálný kořen - dostáváme 1 interval Následně si zvolíme x z každého intervalu a dosadíme do nerovnosti. Pokud je nerovnost splněna, je daný interval řešením nerovnice. V případě 1, kde máme 3 intervaly, mohou vyjít jen dvě možnosti, buď budou řešením oba krajní intervaly, nebo prostřední interval. Pokud je to možné, je velmi výhodné volit x = 0. strana 5
Řešení kvadratických nerovnic rozkladem na součin Tato metoda je omezená jen na případy, kdy kvadratická rovnice vzniklá z nerovnice má dva reálné kořeny x1, x2. Můžeme si udělat převod kvadratického členu na součin podle předpisu: +/- +/- +/- +/- +/- +/- Výsledné znaménko +/- +/- +/- Poznámka: Kulaté závorky u x 1, x 2 odpovídají ostré nerovnosti. Výsledkem jsou ty intervaly, kde výsledné znaménko výrazu po dosazení odpovídá původní nerovnosti. Tuto metodu je výhodné aplikovat pouze je-li kvadratická rovnice zadána v součinovém tvaru ( například: (x - 1)(2x + 3) > 0), jinak je lepší dávat přednost výše uvedeným metodám, které jsou univerzálnější. Tento způsob řešení je totožný se způsobem řešení nerovnic v podílovém tvaru: Řešte v nerovnici. Kořeny příslušné kvadratické fce jsou: strana 6
Načrtneme graf příslušné kvadratické fce a vyznačíme interval, který vyhovuje zadané nerovnici. Kdybychom řešili nerovnici v, pak by řešením byla. Protože řešíme nerovnici v, bude. Řešení v programu Wolfram Mathematica: řešení v R Exponenciální nerovnice Exponenciální nerovnicí nazýváme každou nerovnici, ve které je neznámá v exponentu nějaké mocniny. Na exponenciální nerovnice lze nahlížet i jinak. Exponenciální nerovnice vznikne z exponenciální rovnice nahrazením symbolu rovnosti = jedním ze symbolů nerovnosti. Připomeneme si, co znamená vyřešit nerovnici. Vyřešit nerovnici s neznámou x platí daná nerovnost. R znamená určit všechny hodnoty neznámé x, pro které strana 7
Při řešení nerovnice mohou nastat různé případy při určování množiny všech kořenů. Často půjde o nekonečně mnoho čísel, které zapisujeme pomocí intervalu či jejich sjednocení. Např. nerovnici x 5s neznámou x R vyhovují čísla z intervalu ( 5). Množina všech kořenů této nerovnice je tedy K=( 5). Postup při řešení nerovnice Postup při řešení nerovnic se bude skládat ze stejných kroků jako postup při řešení rovnic: 1. Určíme obor řešení nerovnice O. 2. Určíme definiční obor nerovnice D. 3. Řešíme nerovnici s využitím ekvivalentních úprav. 4. Určíme množinu všech kořenů nerovnice K. Upozorníme na několik drobností, ve kterých se liší řešení rovnic a nerovnic. Liší se ekvivalentí úpravy rovnic a nerovnic: Při násobení nerovnice záporným číslem otáčíme znak nerovnosti. Nesmíme násobit nerovnici výrazem, který může nabývat kladných i záporných hodnot (pokud si nejste jisti, vyvarujte se násobení výrazem s neznámou). Liší se použití ekvivalentních úprav zavedených v této práci (porovnání exponentů, logaritmování a porovnání argumentů). Jednotlivými úpravami se budeme zabývat v následujících kapitolách. Ekvivalentními úpravami nerovnici upravíme na tvar, ze kterého můžeme určit řešení. Mezi takové jednoduché tvary patří: Nerovnice, které přímo dávají podmínku pro neznámou x, např. nerovnice x 2. Nerovnice v součinovém tvaru, např. nerovnice x(x 2)(2x+1) 0. K řešení takové nerovnice použijeme číselnou osu, jak je vidět na obrázku. Kvadratické nerovnice, které převedeme na součinový tvar a řešíme jako v předchozím bodě. Např. nerovnici 2x2+x 3 0 převedeme na nerovnici (2x+3)(x 1) 0, která je již v součinovém tvaru. Zbývá určit množinu všech kořenů K. Do množiny všech kořenů patří takové hodnoty neznámé x získané v předchozím kroku, které leží v definičním oboru nerovnice. Pokud jsou definičním oborem všechna reálná čísla, potom je množina všech řešení K rovna řešení, získanému ekvivalentními úpravami nerovnice (typické pro exponenciální nerovnice a zcela výjimečné pro logaritmické nerovnice). Př 1.: Řešte nerovnice s neznámou x R : strana 8
Řešení Definiční obor nerovnice D=R. Nejprve převedeme výraz na pravé straně nerovnice na mocninu se základem 3, abychom mohli porovnat exponenty: 27=3 3. Porovnáme exponenty mocnin na obou stranách nerovnice. Protože je základ mocniny větší než jedna, neotáčíme znak nerovnosti. Získáme nerovnici x+1 3, která je ekvivalentní s nerovnicí x 2. Množina všech kořenů K=( 2. Zápis řešení: x+1 porovnání exponentů x K= Řešení v programu Wolfram Mathematica: řešení v R Př 1.:Řešte nerovnice s neznámou x R : Řešení: Definiční obor nerovnice D=R. Nejprve převedeme výraz na pravé straně nerovnice na mocninu se základem, abychom mohli porovnat exponenty: 3= Porovnáme exponenty mocnin na obou stranách nerovnice. Protože je základ mocniny menší než jedna, otáčíme znak nerovnosti. Získáme nerovnici x 2 1, která je ekvivalentní s nerovnicí x 1. Množina všech kořenů K=( 1). strana 9
Řešení v programu Wolfram Mathematica: řešení v R Logaritmická nerovnice Logaritmickou nerovnicí nazýváme každou nerovnici, ve které je neznámá v argumentu nebo základu nějakého logaritmu. Na logaritmické nerovnice lze opět nahlížet i jinak. Logaritmická nerovnice vznikne z logaritmické rovnice nahrazením symbolu rovnosti = jedním ze symbolů nerovnosti. Postup při řešení nerovnice jsme již vysvětlili v kapitole o exponenciálních nerovnicích. Na rozdíl od exponenciálních nerovnic je potřeba si dávat pozor na určování definičního oboru logaritmické nerovnice. Definiční obor Postup při určování definčního oboru logaritmické nerovnice je stejný, jako určování definičního oboru logaritmických rovnic. Připomeňme si, že do definičního oboru logaritmické nerovnice patří čísla, pro která je: argument logaritmu větší než nula, základ logaritmu větší než nula a různý od jedné. Zbývá ukázat, jak určíme množinu všech kořenů K. Předpokládejme, že chceme určit řešení nerovnice, jejíž definiční obor D=(3 8) a úpravami původní nerovnice vznikne nerovnice x 5. Postup: Na číselné ose vyznačíme definiční obor nerovnice D=(3 8). Pro přehlednost ho zakreslíme modrou barvou. Následně na číselnou osu zakreslíme hodnoty, pro které je splněna nerovnost x 5. Jedná se o interval 5 + ). Pro přehlednost ho zakreslíme černou barvou. Určíme průnik těchto intervalů, které na číslené ose vyznačíme šrafováním. Je jím interval 5 8). Hodnoty neznámých z tohoto intervalu jsou řešením původní nerovnice, proto množina všech kořenů K= 5 8). strana 10
Př. 1: Určíme definiční obor: Porovnáme argumenty logaritmů na obou stranách nerovnice. Protože je základ logaritmu větší než jedna, neotáčíme znak nerovnosti. řešíme: Řešení v programu Wolfram Mathematica: strana 11
Použité zdroje: Wolfram Mathematica. [online]. [cit. 2013-01-05]. Dostupné z: <http://www.wolfram.com/mathematica/> Aristoteles.cz. [online]. [cit. 2013-01-06]. Dostupné z: <http://www.aristoteles.cz/matematika/matematika.php> strana 12