Západočeká univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra kbernetik Bakalářká práce Řízení Trojkolového vozíku Plzeň, 23 Jan Holub
Prohlášení Předkládám tímto k poouzení a obhajobě bakalářkou práci zpracovanou na závěr tudia na Fakultě aplikovaných věd Západočeké univerzit v Plzni. Prohlašuji, že jem bakalářkou práci vpracoval amotatně a výhradně použitím odborné literatur a pramenů, jejíž úplný eznam je její oučátí. V Plzni dne... Vlatnoruční podpi
Poděkování Touto cetou bch chtěl poděkovat vedoucímu bakalářké práce, panu Prof.Ing.Miloši Schlegelovi,CSc., za odborné vedení, poktnuté rad a materiál potřebné pro řešení této práce. Dále bch rád poděkoval vé rodině za podporu během tudia.
Abtrakt Bakalářká práce e zabývá popiem koncepcí trojkolových vozíků. Jejím cílem je eznámení e základními variantami kontrukcí, etavení matematického modelu a navržení funkčního řídícího tému. Práce popiuje návrh vhodných modelů a implementaci dvou základních variant vozíků. Jedná e o tp diferenciálním podvozkem a Ackermanovým podvozkem předním řiditelným kolem a dvěma poháněnými zadními kol. Dále e práce zabývá návrhem vhodného řízení tak, ab bl plněn požadavek ledování zadané trajektorie. Algoritm řízení i matematické model bl implementován v programovém protředí MATLAB-Simulink. Klíčová lova MATLAB, Simulink, vozík Ackermanovým podvozkem, vozík diferenciálním podvozkem, matematický model, trajektorie Abtract Thi thei give an overview of three-wheeled vehicle concept. It provide a decription of the baic contruction verion, mathematical model and control tem. Suitable model for implementation of two baic contruction are preented. A model with differential chai and a model with Ackerman chai with controllable front wheel and two rear drive wheel are conidered. The net part deal with developement the control algorithm for tracking the deirable trajectorie. The control algorithm and the mathematical model ha been implemented in the MATLAB/Simulink oftware. Keword MATLAB, Simulink, vehicle with Ackerman chai, vehicle with differential chai, mathematical model, trajector
Obah. Úvod... 2. Základní pojm... 2 3. Rozdělení trojkolových vozíků... 3 3. Vozík diferenciálním podvozkem... 3 3.2 Vozík tzv. Ackermanovým podvozkem... 3 4. Sledování zadané trajektorie... 4 4. Určení požadovaných úhlových rchlotí... 4 5. Matematický model vozíku diferenciálním řízením... 7 5. Matematický model... 7 5.. Dnamika podvozku... 8 5..2 Určení algebraických rovnic popiujících vazbu mezi otáčkami motorů a pohbem podvozku... 5..3 Kinematický model... 5..4 Výpočet trajektorie otatních bodů podvozku... 5 5..5 Celkový model... 6 6. Generování požadované trajektorie... 9 7. Odezv tému na požadované úhlové rchloti... 2 7. Odezva kinematické čáti tému na požadované úhlové rchloti... 22 7.2 Odezva kinematické a dnamické čáti na požadované úhlové rchloti... 24 7.2. Řízení dnamické čáti tému... 25 7.2.2 Odezv řízeného tému na požadované úhlové rchloti ω L * a ω P *:... 28 7.2.3 Odezv řízeného dnamického tému navazující kinematickou čátí na požadované úhlové rchloti ω L * a ω P *... 29 7.3 Návrh řízení vnější zpětnou vazbou... 3 7.3. Odezv celkového řízeného tému na požadované úhlové rchloti... 35 8. Vozík tzv. Ackermanovým podvozkem... 37 8. Určení požadovaného natočení předního kola Ackermanova podvozku... 38 8.2 Určení odpovídajících úhlových rchlotí... 39 8.3 Odezv tému na požadované trajektorie... 4 8.3. Odezv tému na úhlové rchloti ω L a ω P odpovídající požadovanému úhlu natočení předního kola Φ a požadované rchloti tředu vozíku v... 42 9. Závěr... 44 Literatura
Seznam obrázků obr.() Nákre diferenciálu... 2 obr.(2) Vozík diferenciálním podvozkem... 3 obr.(3) Vozík Ackermanovým podvozkem-první varianta... 3 obr.(4) Vozík Ackermanovým podvozkem-druhá varianta... 4 obr.(5) Pohb vozíku po okulační kružnici... 5 obr.(6) Umítění těžiště na podvozku vozíku... 8 obr.(7) Zobrazení il a momentů půobících na podvozek... 8 obr.(8) Obrázek podobnoti trojúhelníků pro výpočet pouvné rchloti v T v těžišti... obr.(9) Souřadnice tředu vozíku a úhlu natočení... obr.() Pomocné vektor určené změnami poloh... 2 obr.() Určení aktuální hodnot úhlu natočení θ... 3 obr.(2) Rozložení bodů podvozku... 5 obr.(3) Rozdělení matematického modelu... 8 obr.(4) Generátor požadované trajektorie... 9 obr.(5) Použité trajektorie pro tetování modelů... 2 obr.(6) Schéma zapojení generátoru trajektorie výpočtem požadovaných úhlových rchlotí v MATLAB/Simulink... 2 obr.(7) Schéma zapojení pro tetování kinematické čáti tému na vtupní úhlové rchloti... 22 obr.(8) Porovnání požadované kontantní a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro kinematickou čát)... 23 obr.(9) Porovnání požadované kontantní a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro kinematickou čát)... 23 obr.(2) Porovnání požadované lineární a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro kinematickou čát)... 23 obr.(2) Porovnání požadované kvadratické a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro kinematickou čát)... 24 obr.(22) Porovnání požadované kvadratické a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro kinematickou čát)... 24 obr.(23) Blokové chéma regulátoru dnamické čáti tému... 26 obr.(24) Schéma zapojení pro tetování řízené dnamické čáti tému na vtupní úhlové rchloti... 27 obr.(25) Porovnání požadované a výtupní úhlové rchloti z řízené dnam.čáti tému (pro kontantní trajektorii)... 28 obr.(26) Porovnání požadované a výtupní úhlové rchloti z řízené dnam.čáti tému (pro lineární trajektorii)... 28
obr.(27) Porovnání požadované a výtupní úhlové rchloti z řízené dnam.čáti tému (pro kontantní trajektorii)... 29 obr.(28) Porovnání požadované kontantní a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro řízenou dnamickou čát kinematickou čátí)... 29 obr.(29) Porovnání požadované kontantní a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro řízenou dnamickou čát kinematickou čátí)... 3 obr.(3) Porovnání požadované lineární a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro řízenou dnamickou čát kinematickou čátí)... 3 obr.(3) Porovnání požadované kvadratické a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro řízenou dnamickou čát kinematickou čátí)... 3 obr.(32) Porovnání požadované kvadratické a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro řízenou dnamickou čát kinematickou čátí)... 3 obr. (33) Blokové chéma celkového zapojení modelu... 32 obr. (34) Schéma zapojení celého řízeného tému v programovém protředí MATLAB/Simulink... 34 obr. (35) Porovnání požadované kontantní a výledné trajektorie, průběh odchlk požadovaného úhlu natočení eθ (pro celkový tém)... 35 obr. (36) Porovnání požadované kontantní a výledné trajektorie, průběh odchlk požadovaného úhlu natočení eθ (pro celkový tém)... 35 obr. (37) Porovnání požadované lineární a výledné trajektorie, průběh odchlk požadovaného úhlu natočení eθ (pro celkový tém)... 36 obr. (38) Porovnání požadované kvadratické a výledné trajektorie, průběh odchlk požadovaného úhlu natočení eθ (pro celkový tém)... 36 obr. (39) Porovnání požadované kvadratické a výledné trajektorie, průběh odchlk požadovaného úhlu natočení eθ (pro celkový tém)... 36 obr. (4) Pohb vozíku Ackermanovým podvozkem po okulační kružnici... 37 obr. (4) Určení požadovaného natočení předního kola... 38 obr. (42) Schéma zapojení v programovém protředí MATLAB/Simulink pro určení vtupních úhlových rchlotí do tému... 4 obr. (43) Celkový model v programovém protředí MATLAB/Simulink pro Ackermanův podvozek... 4 obr. (44) Porovnání požadované kontantní a výledné trajektorie, průběh požadovaného úhlu natočení předního kola Φ (pro celkový tém)... 42
obr. (45) Porovnání požadované lineární a výledné trajektorie, průběh požadovaného úhlu natočení předního kola Φ (pro celkový tém)... 42 obr. (46) Porovnání požadované kvadratické a výledné trajektorie, průběh požadovaného úhlu natočení předního kola Φ (pro celkový tém)... 42 Seznam tabulek: tab. () Tabulka zvolených parametrů tému... 2
. Úvod Cíle bakalářké práce lze rozdělit do tří čátí: eznámení e základními kontrukčními prvk trojkolových vozíků, odvození matematického modelu a navržení funkčního řízení pro ledování požadované trajektorie. V první čáti jou tručně popán základní variant upořádání trojkolových vozíků vužívaných např. v robotice, nebo v reálných kontrukcích. Jou zde popán možnoti a rozah pohbu modelu i nejčatější vužití. Odvození matematického modelu blo provedeno pro vozík diferenciálním řízením. Samotné odvození vchází z fzikálních vlatnotí zvolených kontrukcí. Z rovnic popiující model trojkolového vozíku bl etaven tém, který e kládá ze dvou čátí. Dnamická čát je tvořena pohbovými rovnicemi popiujícími závilot pouvné a otáčivé rchloti zvoleného bodu na momentech půobících na hnací kola. Druhou čát tvoří kinematické rovnice popiující záviloti mezi pouvnou a otáčivou rchlotí zvoleného bodu a otáčkami motorů. Odvozené rovnice popiující tém vozíku tvoří tavový model. Implementace modelu bla provedena v programovém protředí MATLAB a v jeho nadtavbě Simulink, jež louží pro imulaci a modelování dnamický témů. Řízení tému je rozděleno na dvě čáti. Vnitřní mčka řízení reguluje dnamickou čát modelu. O regulaci odchlek požadované trajektorie od výledné e tará vnější heuritick odvozené řízení. Implementace řízení bla opět provedena v programovém protředí MATLAB/Simulink, kde bla pomocí imulací ověřena funkčnot navržených řízení. V závěru práce je popán způob řízení vozíku Ackermanovým podvozkem.
2. Základní pojm V této čáti bakalářké práce jou vvětlen pojm používané v náledujících tetech práce. Řiditelnot [6] Stém (A,B), A ϵ R n n, B ϵ R n m je řiditelný, jetliže pro libovolný počáteční tav eituje řízení u (t) na konečném čaovém intervalu, které převádí tav do počátku tavového protoru. Pozorovatelnot [6] Uvažujeme lineární t-invariantní tém ()=()+() ()=()+() Stém (A,B,C,D) (repektive dvojici (C,A) ) nazýváme pozorovatelný, jetliže libovolný počáteční tav v čae lze rekontruovat ze známého vtupu u (t) a výtupu (t) na intervalu [,t ] pro libovolný ča t >. Holonomní/neholonomní vozidla [4] Vozidlo nazýváme holonomní pokud e počet tupňů volnoti rchlotí hoduje počtem tupňů volnoti pozice, tzn. holonomní vozidlo může měnit voji rchlot nezávile na všech měrech. Příkladem holonomního vozidla je vznášedlo. V této práci e zabýváme popiem a řízením vozíků diferenciálním a Ackermanovým podvozkem. Oba tto tp jou příklad neholonomního vozidla, protože jejich pohb je možný pouze ve měru kolmém k oe kol. Diferenciál Diferenciál je mechanické zařízení pracující na principu planetové převodovk. Zařízení louží k rozdělení poměru otáček na výtupních hřídelích. Při pohbu vozidla po kružnici e muí vnitřní kolo vozidla pohbovat pomaleji než kolo vnější. Diferenciál rozděluje kroutící (hnací) moment na jednotlivé hřídele v poměru rchlotí otáčení kol tak, ab nedocházelo k prokluzu či ke mku. Nevýhodou použití mechanického zařízení je ztráta výkonu vlivem tření ozubení. Jednoduchý nákre diferenciálu je zobrazen na obr. (). Úkolem bakalářké práce je navrhnout řízení (vhodně volit rchloti) otáček motorů kol v takovém poměru, ab nedocházelo k prokluzu, nebo ke mku vozíku. Algoritmu řízení plní funkci diferenciálu. 2
3. Rozdělení trojkolových vozíků tato kapitola vchází z [3] Jedním z úkolů této práce je popi koncepcí trojkolových vozíků. Mezi nejpoužívanější tp trojkolových vozíků (robotů) patří robot diferenciálním podvozkem a robot tzv. Ackermanovým podvozkem. 3. Vozík diferenciálním podvozkem Patrně nejjednodušším tpem trojkolového rozložení podvozku je robot diferenciálně řízenými kol. Jedná e o neholonomní tp vozidla, protože jeho pohb je možný pouze ve měru kolmém k oe kol. Základním rem tohoto upořádání jou dvě nezávile poháněná kola a jedno volně otočné viz obr. (2), nepoháněné a neřízené měrové kolo vpředu (nebo také vzadu), které louží ke tabilizaci a bývá čato realizováno jako třecí element či kolo dvěma tupni volnoti. Pokud e obě poháněná kola pohbují tejnou rchlotí a tejným měrem, pohbuje e robot po přímce. Všší rchlot jednoho z kol způobí pohb robotu po kružnici. Největší výhodou této koncepce je manévrovatelnot. Robot je chopen otáčet e na mítě kolem vého tředu mezi nápravami. Tento bod uvažujeme jako referenční. Tato vlatnot je výhodou oproti koncepci Ackermanovým podvozkem, kde otáčení na mítě není možné. Otáčení na mítě lze realizovat tak, že e poháněná kola točí tejně rchle, ale opačným měrem. V prai e nejčatěji vužívá válcový tvar, což ještě více eliminuje možnot uvíznutí. Pro voji jednoduchou kontrukci, z ní vplívající cen a relativně nadnému řízení, bývá toto upořádání hojně vužíváno 3.2 Vozík tzv. Ackermanovým podvozkem a [4] Tento neholonomní tp tříkolového upořádání podvozku e používá ve dvou variantách. První z nich je koncepce, ve které jou zadní kola hnaná motor ( diferenciálním řízením) a přední kolo je řiditelné, natáčecí a bez pohonu. Druhou variantou jou zadní volně otočná kola (bez motorů) a přední poháněné a zároveň natáčecí kolo. Nejprve e zaměříme na první variantu hnanými zadními kol a předním natáčecím kolem znázorněné na obr. (3), které je ve měru pohbu paivně odvalováno. Natočení předního řiditelného kola určuje měr pohbu. Pokud je natočení kola nulové, 3
pohbuje e robot po přímce. Nenulové natočení naopak způobí pohb po kružnici. Mezi výhod tohoto upořádání patří nadné řízení, kd lze pomocí rchlotí kol a natočení řízeného kola určovat měr a rchlot jízd vozíku. Hlavní nevýhodou podvozku je, že není možné, ab došlo k otočení na mítě jako u předchozího upořádání. V komplikovaných protředích, ve kterých e robot pohbuje, může dojít k uvíznutí. V těchto úzkých a jinak náročných protorech, proto bývá ložitější řešení autonomního řízení. U druhé variant upořádání podvozku je přední kolo řiditelné a zároveň motorick poháněné. Zadní kola e volně (neřízeně) otáčí ve měru určeném předním kolem. Toto upořádání je patrné z obr. (4). Vozík e pohbuje po přímce za předpokladu, že má přední koloo nulové natočení. Při nenulovém natočení lze pozorovat pohb po kružnici. Princip pohbu je ted hodný jako u první variant. Hlavní výhodou druhé variant je to, že není zapotřebí použití diferenciálu. diferenciálním řízením. V prai e Ackermanův podvozek vužívá u větších vozidel a také v těžším terénu, kde má lepší průchodnot než podvozek 4. Sledování zadané t trajektorie tato kapitola vchází z [5] Úkolem řídících témů pro ovládání vozíků je ledování zadané trajektorie. Požadovaná trajektorie je zadána jako křivka v parametrickém tvaru: =(t), =(t). Křivka určuje vozíku jeho dráhu. Pro návrh regulátorů použité regulační mčk je zapotřebí znalot hodnot úhlových rchlotí jednotlivých kol. Ze zadané trajektorie lze určit požadované rchloti levého kola ω L a pravého kola ω P odpovídající požadované cetě náledujícím způobem. 4. Určení požadovaných úhlových rchlotí Při odvození odpovídajících úhlových rchlotí uvažujeme, že pro každý bod rovinné křivk lze určit jeho okulační kružnici. Střed trojkolového vozíku leduje požadovanou křivku. Pro každý okamžik můžeme uvažovat pohb vozíku po kružnici, jejíž třed je dán tředem okulační kružnice S o ouřadnicích [m, n] viz obr (5): 4
obr. (5) Pohb vozíku po okulační kružnici Vzdálenot tředu vozíku od tředu S určuje poloměr okulační kružnice r. Levé i pravé kolo e pohbují kolem totožného tředu S, e tejnou úhlovou rchlotí ω,, ale po jiném poloměru. O rozměru poloměrů od tředu S rozhoduje použitá délka zadní náprav. Rozdílná vzdálenot od tředu způobí, že kolo, které e pohbuje po větším poloměru má všší rchlot, než vnitřní kolo nižším poloměrem. Rchloti kol v L a v P popiují náledující rovnice: =Ω (+ ) =Ω ( ) () (2) Rchloti v L a v P lze pát jako oučin úhlové rchloti kola ω a poloměru kola ρ: = = (3) (4) Doazením rovnic (3) a (4) do rovnic (), (2) zíkáváme: =Ω (+ ) =Ω ( ) (5) (6) Rchlot pohbu tředu vozíku po křivce v volíme kontantní, nebo proměnnou. Vztah rchloti v a úhlové rchloti ω popiuje náledující rovnice: =Ω (7) 5
Po vjádření úhlové rchloti ω z předchozího vztahu a náledném doazení do rovnic (5), (6): = + (8) = ( ) (9) Poloměr okulační kružnice v bodě křivk r a ouřadnice tředu S [m, n] jou určen jako: = ( ) =+ = ( ) ( ) [m] () [m] () [m] (2) Do vztahů (8), (9) doadíme rovnici (): = ( ) = ( ) Po úpravě zíkáváme vztah pro požadované úhlové rchloti: ( + ) (3) ( ) (4) = () ( ) [rad/] (5) = () ( ) [rad/] (6) 6
5. Matematický model vozíku diferenciálním řízením tato kapitola vchází z [] Při etavování popiu dnamického chování trojkolového vozíku diferenciálním řízením uvažujeme požadavek na etavení matematického modelu popiujícího trajektorii zvoleného bodu vozíku v záviloti na momentech kol. Součátí popiu je i přepočítání trajektorie zvoleného bodu na trajektorii bodů, u kterých dochází ke tku rovinou pohbu. Při odvozování dnamik modelu uvažujeme, že hnací moment motoru vvolá otáčení daného kola, které náledně způobí rovinný křivočarý pohb podvozku. Rovinný pohb rozložíme na oučet pohbu otáčivého (rotaci) a pohbu pouvného (tranlaci). Z těchto pohbových rovnic lze určit jednoznačně nejen pohb vbraného bodu, ale i pohb otatních bodů podvozku. Setavení kinematických pohbových rovnic pohbující e outav vchází ze il ouviejících křivočarým pohbem. Z Corioliov vět popiující děje z hledika pozorovatele umítěného v pohbující e outavě (relativní děje) zíkáváme: čá í í 2 í ( ) = í řá (7) kde v T je okamžitá pouvná rchlot zvoleného bodu ω je okamžitá úhlová rchlot zvoleného bodu F je reálná íla půobící na hmotný bod o hmotnoti m ve vzdálenoti r od o otáčení otáčení. Hodnot jednotlivých il obažených ve vztahu Corioliov vět jou konkretizován v kapitole. 5.. dle aktuálního provedení a vlatnotí podvozku. Kromě il vznikajících křivočarým pohbem je potřeba uvažovat íl vznikající při pohbu reálného tělea. Jedná e o odporové íl (ztrát). U těchto il předpokládáme, že jou úměrné rchloti pohbu. Výledkem dnamické čáti jou pohbové rovnice popiující okamžitou pouvnou rchlot v T a úhlovou rchlot ω vbraného bodu v záviloti na hnacích momentech poháněných kol. Zvolení bodu, pro který určujeme pouvnou a úhlovou rchlot, ovlivňuje tvar uvažovaných rovnic i ložitot výledného modelu. V našem případě uvažujeme ledovaný bod v těžišti ležící uprotřed pojnice mezi hnanými kol. Takto zvolený ledovaný bod umožňuje relativně nadný přepočet okamžitých rchlotí hnacích kol na pohbové rovnice zvoleného bodu a náledné dopočítání dráh otatních bodů podvozku. 5. Matematický model Matematický model vchází ze zvoleného upořádání trojkolového vozíku. V tomto případě uvažujeme nezávilé ovládání každého motoru (diferenciální řízení). Popi modelu vozíku lze rozdělit na dvě relativně nezávilé čáti. První čát obahuje popi dnamik podvozku. Je 7
tvořena pohbovými rovnicemi popiujícími závilot pouvné a otáčivé rchloti zvoleného bodu na momentech půobících na hnací kola. V druhé čáti jme nalezli rovnice záviloti mezi pouvnou a otáčivou rchlotí zvoleného bodu a otáčkami motorů. 5.. Dnamika podvozku Dnamiku podvozku popiuje vektor pouvné rchloti v T ve zvoleném bodě a rotace tohoto vektoru úhlovou rchlotí ω. Pomocí těchto veličin bude později dopočítávána trajektorie libovolných bodů podvozku. Pozorovaný bod bl zvolen v těžišti nacházející e uprotřed pojnice hnacích kol viz obr. (6). obr. (6) Umítění těžiště na podvozku vozíku Jako první výchozí rovnici volíme bilanci jednotlivých il půobících na podvozek. Předpokládáme, že íl F L a F P půobící na podvozek v mítech, kde dochází ke kontaktu levého (L) a pravého (P) kola podložkou, lze nahradit jedinou ilou F T a kroutícím momentem M T půobícím ve zvoleném bodě-těžišti. Situace je znázorněna na obr. (7), kde lze pozorovat upořádání podvozku. obr. (7) Zobrazení il a momentů půobících na podvozek 8
Je patrné, že obě íl F L a F P půobí vžd rovnoběžně. Trojkolový vozík je dále charakterizován poloměrem poháněných kol ρ, hmotnotí m, momentem etrvačnoti J a polohou těžiště určenou parametr a a l. V této čáti budou uveden vztah pro íl půobící v bodě tků kol podložkou. Síla F půobící v bodě, kde dochází ke tku podložkou, závií na momentu přílušného motoru M a nepřímo na poloměru kola ρ. Zíkáváme vztah: = Moment M TX, kterým půobí kolo na třed otáčení podvozku ve zvoleném bodě (těžišti) závií na íle F a na ramenní půobící íl a/2: = 2 Z obr. (7) je patrné, že íl F L a F P půobí vžd rovnoběžně, zatímco jimi vvolané moment M TL a M TP vžd proti obě. Pohbové rovnice vcházejí ze vztahu (7). Tuto Corioliovu větu konkretizujeme pro dané upořádání podvozku. Jako ledovaný bod uvažujeme těžiště vozíku, jehož poloha e nemění vzhledem k oe otáčení-> Corioliova íla je rovna nule. Také není potřeba uvažovat ílu odtředivou, jejíž vliv e neprojeví, uvažujeme-li podvozek jako tuhé těleo nahrazené hmotným bodem (těžištěm). Pro zvolený bod v těžišti vozíku platí, že při rotačním pohbu oa otáčení prochází těžištěm, a proto moment vvolaný Eulerovou ilou je nulový. V pouvném pohbu uvažujeme pouze etrvačnou ílu F, která půobí opačným měrem, než okamžitá půobící íla F. Setrvačná íla e projeví i při rotaci, což je způobeno tím, že nahrazujeme těžištěm tělea celé tuhé těleo, které má při rotaci kolem o kolmé na rovinu pojezdu a umítěné v těžišti moment etrvačnoti J. Pro íl určující pouvný pohb uvažujeme kromě etrvačné íl F také odporovou ílu F o pouvného pohbu úměrnou pouvné rchloti v. Rovnici il lze pát ve tvaru: kde m [kg] je hmotnot vozíku + + + = + = [ ] (8) k v [kg* - ] je koeficient odporu pounu M L [kg*m 2 * -2 ] je moment levého pohonu M P [kg*m 2 * -2 ] je moment pravého pohonu v T [m* - ] je pouvná rchlot 9
ρ [m] je poloměr hnacích kol Při etavování bilance momentů uvažujeme kromě etrvačného momentu ještě moment M o vvolaný odporem při rotaci a úměrný rchloti rotace ω. + + + = + kde a [m] rozchod kol = [ ] (9) k ω [kg*m 2 * - ] koeficient odporu otáčení podvozku J [kg*m 2 ] moment etrvačnoti ω [ - ] úhlová rchlot otáčení v těžišti 5..2 Určení algebraických rovnic popiujících vazbu mezi otáčkami motorů a pohbem podvozku Náledující rovnice popiují vazbu mezi otáčkami obou motorů a rchlotí pohbu a otáčení podvozku vozíku. Tato vazba je pevně dána kontrukčním řešením pohonu a podvozku. Předpokládáme, že obě hnací kola mají tejný poloměr ρ a jejich obvodové rchloti v L a v P závií na úhlových rchlotechh ω L a ω P poháněných kol: = = Pro určení hodnot pouvné rchloti v T v těžišti a úhlové rchloti otáčení ω vjdeme z obr. (8). obr. (8) Obrázek podobnoti trojúhelníků pro výpočet pouvné rchloti v T v těžišti
Uvažujeme podmínku, že oběě poháněná kola mají hodnou ou otáčení, ted jejich obvodové rchloti jou rovnoběžné. Z obr. (8) je patrné vzájemné umítění mít, kde ve kutečnoti půobí obvodové rchloti v L a v P (hnací kola L a P) a těžiště T,, ve kterém chceme určit pouvnou rchlot v T a úhlovou rchlot ω tak, ab měl hodný účinek půobením obvodových rchlotí poháněných kol. S vužitím podobnoti trojúhelníků viz obr. (8) lze přepočítat obvodové rchloti kol na rchlot v T v těžišti T a na úhlovou rchlot otáčení ω: = = + = ( ) = [m/] (2) = = = [rad/] (2) 5..3 Kinematický model Pro odvození kinematických vztahů uvažujeme jako vtupní veličin tému úhlové rchloti hnacích kol vozíku. Na výtupu zíkáváme aktuální pozici, zvoleného těžiště T a aktuální úhel θ natočení vozíku viz obr. (9) obr. (9) Souřadnice tředu vozíku a úhlu natočení
Pouvné rchloti v L a v P způobují změnu poloh tředu náprav a změnu natočení vozíku. Pro jednotlivá kola vozíku lze určit vektor, které jou dán oučtem změn poloh těžiště v oách, viz obr. () a změnou natočení vozíku θ obr. () obr. () Pomocné vektor určené změnami poloh Vektor mají hodnou orientaci vektorem pouvné rchloti jednotlivých kol. Vektor podélného pohbu levého kola dl je roven oučtu vektorů daných změnami ouřadnic, a změnou úhlu natočení θ. Kladná změna natočení způobuje záporný pohb levého kola. 2
Dotáváme vztah: = + (22) Rchlot levého kola v L lze určit derivací vektoru dl podle čau: = + (23) Zíkáváme: = + in (24) Shodným způobem určíme vztah pro pravé kolo: = + + (25) V tomto případě způobuje kladná změna natočení kladný pohb pravého kola. Opět derivujeme rovnici podle čau: = + + = + in+ (26) (27) Při pohbu vozíku e mění poloh v oách a. Pohbuje-li e vozík po kružnici, dochází ke změně orientace (natočení) vozíku θ. Pro zíkání aktuální hodnot natočení vužijeme vztah pro tangentu úhlu, vcházející z obr. (), jež e určí jako podíl protilehlé tran úhlu θ, v našem případě změna ouřadnice tředu na oe (d), a přilehlé tran (změna na oe d). obr. () Určení aktuální hodnot úhlu natočení θ = d d 3
Tangen θ lze pát jako podíl : tan= Zlomek rozšíříme: a upravíme do tvaru: = = = (28) Rchloti v L a v P lze pát jako oučin úhlových rchlotí poháněných kol a poloměru kola. Po doazení do rovnic (24) a (27) dotáváme outavu 3 diferenciálních rovnic popiujících vazbu mezi úhlovými rchlotmi pohonů a pouvným pohbem: = + in (29) = + in+ (3) = (3) Ze outav rovnic vjádříme vztah pro,. Ze vztahu (3) po vjádření a doazení do vztahů (29) a (3) dotáváme: () + = (32) () Rovnice (32) a (33) ečteme a vjádříme : + + = (33) = (34) Doazením vztahu (34) do vztahu (33) a vjádření : = A doazením vztahu (35) do (3) zíkáme po vjádření : = (35) (36) Dotáváme 3 kinematické rovnice, ze kterých lze určit aktuální polohu tředu vozíku a jeho aktuální natočení: 4
= [m/] = [m/] (37) (38) = [rad/] (39) 5..4 Výpočet trajektorie otatních bodů podvozku Pro určení aktuální poloh bodů, kde dochází ke tku všech tří kol (L,P,K) podvozku pojezdovou rovinnou, je potřeba znát umítění těchto bodů. Uvažované rozložení je znázorněno na obr. (2) Z geometrických rozměrů určíme rovnice relativní poloh bodů vzhledem ke zvolenému těžišti v záviloti na úhlu natočení. Relativní poloh L a L bodu L, P a P bodu P a K a K bodu K jou závilé na úhlu natočení viz obr. (2) obr. (2) Rozložení bodů podvozku a popán rovnicemi: = in, = = in, = =in, = (4) (4) (42) 5
Při znaloti aktuální poloh zvoleného těžiště jou aktuální poloh bodů podvozku určen vztah: =+ = (43) =+ = (44) =+ =+ (45) =+ =+ (46) =+ = (47) =+ =+ (48) 5..5 Celkový model Celkový model je tvořen dvěma diferenciálními rovnicemi, pro 4 tavové veličin, jednoznačně popiujícími chování levého a pravého motoru i chování podvozku a dvěma algebraickými rovnicemi popiujícími mechanickou vazbu mezi otáčkami obou motorů (ω L a ω P ) a pohbem podvozku (v T,ω). Stavové veličin jou závilé na čaových průbězích momentů levého M L a pravého M P motoru. Souřadnice poloh zvoleného bodu (těžiště - T) podvozku, a úhel natočení vozíku θ jou popán pomocí dalších 3 diferenciálních rovnic závilých na úhlových rchlotech ω L a ω P. Z předchozích čátí odvozování modelu zíkáváme: 2 lineární dnamické rovnice tvořené pohbovými rovnicemi popiující závilot pouvné a otáčivé rchloti zvoleného bodu na momentech půobících na hnací kola: + = (49) + = (5) a 2 algebraické rovnice popiující vazbu mezi otáčkami motorů a rchlotmi pohbu a otáčení těžiště podvozku: = = (5) (52) Tto 2 dnamické rovnice a 2 algebraické rovnice e 4 tavovými veličinami předtavují matematický popi dnamického chování ideálního diferenciálně řízeného vozíku uvažováním ztrát závilých na otáčkách nebo rchloti. Vtupem do tému jou moment M L a M P. 6
Z kinematik modelu jme dále zíkali 3 nelineární kinematické rovnice popiující vztah mezi úhlovými rchlotmi motorů a polohou tředu podvozku: = = (53) (54) = (55) Po doazení algebraických rovnic (5) a (52) do dnamických rovnic (49) a (5) e tavový protor redukuje na dvě tavové veličin ω L a ω P: + + ( Vpočtením čaových derivací vztahů (56) a (57) dotáváme: ( )= (56) )= (57) + ( + ) ( + )= (58) + ( + ) ( )= (59) Ze vztahů (58) a (59) vjádříme vztah pro veličin a, které reprezentují derivace úhlových rchlotí levého a pravého kola: + = + ( + ) (6) = + ( ) (6) Nejprve vjádříme ze vztahu (6) veličinu a doadíme do vztahu (6). Poté, po matematických úpravách zíkáváme vztah pro veličinu reprezentující derivaci úhlové rchloti levého kola: = + + (62) Zpětným doazením rovnice (62) do (6) dotáváme po matematických úpravách vztah veličin reprezentující derivaci úhlové rchloti pravého kola: = + + (63) Výledný model záviloti výtupních veličin dnamické čáti modelu na vtupních proměnných lze přepat do form tandardního tavového modelu v maticové formě jako: 7
()=()+() ()=()+() () () = () ( + () () () ( = () ( + () () (64) Matematický model jme rozdělili na tři ériově zapojené čáti, jak je ukázáno na obr. (3) obr. (3) Rozdělení matematického modelu Z pohledu návrhu řízení jou akčními veličinami řídící ignál M L a M P P. Úhlové rchloti levého ω L a pravého kola ω P jou výtupními veličinami dnamické čáti modelu. Tto veličin jou vtup do navazující kinematické čáti modelu, jež má výtup ouřadnice, poloh zvoleného bodu a úhel natočení podvozku vozíku θ. Polední čátí je výpočet ouřadnic poloh dalších bodůů podvozku. 8
6. Generování požadované trajektorie Požadovaná trajektorie může být zadávána v parametrickém tvaru = (t), = (t). U této volb je známa celá trajektorie, nebo lze určovat aktuální hodnot poloh pomocí generátoru vtvořeného v programovém protředí MATLAB/Simulink. V každém kroku imulace jou generován aktuální veličin, a θ, udávající požadovanou trajektorii vozíku. V této bakalářké práci vužijeme generátor trajektorie, z důvodu nazšího určení aktuální odchlk požadované veličin od kutečné. Určení právné hodnot odchlk bude vužito pro vnější řízení veličin, a θ. Generátor trajektorie je tvořen blok integrator z knihovn Simulink viz obr. (4). d2 d vtup_ výledná křivka d2 d vtup_ dtheta2 dtheta theta vtup theta obr. (4) Generátor požadované trajektorie Použitím jednoho integrátoru jme chopni generovat kontantní průběh veličin, při zapojení druhého integrátoru průběh lineární, třetím integrátorem kvadratické průběh atd. Pro námi zvolené tetovací křivk je zapotřebí použití tří integrátorů. Hodnot veličin a určující aktuální požadovanou polohu tředu vozíku volíme libovolně. Úhel natočení vozíku naopak volíme tak, ab bl natočený ve měru trajektorie. Kontrola právného natočení bla provedena pomocí vztahu =, kde a jou generované poloh tředu vozíku. 9
Příklad použitých trajektorií loužících k tetování modelů jou znázorněn na obr. (5). 3 5 25 2 5 5 5 5 5 2 25 2 2.5 3 3.5 4 6 5 5.5 5 4.5 5 4 5 5 5 5 25 2 5 5 5 5 2 25 3 obr. (5) Použité trajektorie pro tetování modelů Použité trajektorie louží k otetování funkčnoti modelu a navrženého řízení. U používaných modelů máme jako vtupní veličin do tému požadované rchloti. Generátor požadované trajektorie muí obahovat výpočet požadovaných rchlotí jednotlivých kol v L * a v P *. Určení požadovaných rchlotí z požadované trajektorie je popáno v kapitole 4.. Pro výpočet požadovaných rchlotí lze natavit rchlot tředu vozíku na požadovanou kontantní hodnotu, nebo e rchlot vozíku určuje výpočtem tak, ab e poloha tředu vozíku hodovala aktuální hodnotou požadované trajektorie v každém čaovém okamžiku imulace. Za 2
předpokladu, že známe předem požadovanou dráhu, můžeme natavit kontantní rchlot tředu vozíku. Vozík e za těchto podmínek pohbuje po požadované dráze touto rchlotí. V této práci požíváme generování požadované poloh pomocí generátoru trajektorie, vužijeme ted dopočítávání rchloti tředu vozíku. Rchlot tředu vozíku v může být proměnná. V programovém protředí MATLAB/Simulink vužíváme na výpočet požadovaných rchlotí z požadované trajektorie blok Matlab function, obahující vztah popané v kapitole 4.. Schéma zapojení je zobrazeno na obr. (6). d2 d vtup_ Scope d2 d vtup_ u fcn MATLAB Function up_gen_poz_r To Workpace dtheta2 dtheta theta vtup theta obr. (6) Schéma zapojení generátoru trajektorie výpočtem požadovaných úhlových rchlotí v MATLAB/Simulink 7. Odezv tému na požadované úhlové rchloti Pro generované požadované úhlové rchloti ω L * a ω P * ověříme, jak na ně budou reagovat jednotlivé čáti tému. Pro tetování tému blo zapotřebí zvolit hodnot parametrů (kontant) tému, pro které e budou imulace provádět. Zvolené hodnot jou znázorněn v tab. () a jejich volba vchází z []. Označení Hodnota Rozměr Význam m 2.25 kg Celková hmotnot vozíku a.8 m Délka zadní náprav J.55 kg*m 2 Moment etrvačnoti ρ.5 m Poloměr poháněného kola k v. kg/ Koeficient odporu pouvné rchloti vozíku k ω.35 kg*m 2 / Koeficient odporu otáčivé rchloti vozíku tab. () Tabulka zvolených parametrů tému 2
7. Odezva kinematické čáti tému na požadované úhlové rchloti Nejprve ověříme, jaké budou reakce kinematické čáti tému, jehož rovnice jou odvozené v kapitole 5..3, pokud na vtup přivedeme požadované úhlové rchloti ω L * a ω P * z generátoru trajektorie. Schéma zapojení v Matlab/Simulink viz obr. (7). d2 d vtup_ d2 d vtup_ u fcn MATLAB Function f(u) vpocet_theta dtheta2 dtheta theta vtup theta Scope f(u) theta_der theta vtup_theta vtup_ f(u) _der vtup_kin_gen To Workpace vtup_ up_gen_poz_r To Workpace f(u) _der obr. (7) Schéma zapojení pro tetování kinematické čáti tému na vtupní úhlové rchloti Pro požadované úhlové rchloti ω L * a ω P * odpovídající požadovaným trajektoriím uvedeným v kapitole 6. jme zíkali výtupní trajektorie vozíku. V náledujících grafech lze pozorovat porovnání vtupní (požadované) trajektorie trajektorií výtupní, po které e vozík pohbuje a výtupní hodnot tému, a θ. 22
Odezv odpovídající požadovaným kontantním trajektoriím znázorněné na obr. (8) a (9): 35 3 25 2 5 požadovaná výledná fu n kčn í h o d n o t 35 3 25 2 5 theta * * theta* 5 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 t obr. (8) Porovnání požadované kontantní a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro kinematickou čát) 8 6 4 2 požadovaná výledná fu n kč n í h o d n o t 35 3 25 2 5 5 theta * * theta* 5 5 2 25 3 35 2 3 4 5 6 7 t obr. (9) Porovnání požadované kontantní a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro kinematickou čát) Odezv odpovídající požadované lineární trajektorii znázorněné na obr. (2): 35 3 25 2 5 požadovaná výledná fu n kč n í h o d n o t 35 3 25 2 5 theta * * theta* 5 5 5 5 2 25 3 35 2 3 4 5 6 7 t obr. (2) Porovnání požadované lineární a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro kinematickou čát) 23
Odezv odpovídající požadovaným kvadratickým trajektoriím znázorněné na obr. (2) a (22): 8 6 4 2 požadovaná výledná fu n kč n í h o d n o t 7 6 5 4 3 2 theta * * theta* 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 t obr. (2) Porovnání požadované kvadratické a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro kinematickou čát) 7 6 5 4 3 2 požadovaná výledná fu n kční h o d n o t 7 6 5 4 3 2 theta * * theta* 2 4 6 8 2 3 4 5 6 7 t obr. (22) Porovnání požadované kvadratické a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro kinematickou čát) Z výledných charakteritik je patrné, že po přivedení úhlových rchlotí odpovídajících požadované trajektorii na vtup tému, naměříme na jeho výtupu trajektorii hodující e požadavkem. V náledujících krocích je nutné zajitit, ab rchloti ω L a ω P vtupující do kinematické čáti tému odpovídali požadovaným úhlovým rchlotem ω L * a ω P *. 7.2 Odezva kinematické a dnamické čáti na požadované úhlové rchloti V této čáti práce přivádíme vtupní požadované rchloti nejprve na dnamický tém, na jehož výtupu dotáváme úhlové rchloti jednotlivých kol ω L a ω P, které jou vtupními hodnotami do kinematické čáti. Vtupem do dnamické čáti tému jou moment kol M L a M P, proto muíme navrhnout řízení dnamické čáti tému. Použitý regulátor bude mít na vtupu odchlk výtupních úhlových rchlotí (ω L, ω P ) od požadovaných (ω L *,ω P *) a na 24
výtupu moment daných kol (M L, M P ). Je potřeba plnit požadavek, abchom na výtupu regulátoru volili moment kol na vtup dnamického tému tak, ab e hodnota požadovaných rchlotí hodovala hodnotou na výtupu dnamického tému. 7.2. Řízení dnamické čáti tému tato kapitola vchází z [2] Před amotným návrhem řízení dnamické čáti tému je potřeba nejprve ověřit, zda je tém řiditelný. Ověříme i jeho pozorovatelnot. Pro ověření řiditelnoti ověřujeme podmínku, že matice řiditelnoti daného tému muí mít plnou řádkovou hodnot, ab bl tém řiditelný. Toto pravidlo jme ověřili pomocí funkcí ctrb a rank v programovém protředí MATLAB. Matice řiditelnoti měla řádkovou hodnot dva, což odpovídá dnamickému tému. Stém je řiditelný. Ab bl tém pozorovatelný, muí mít odpovídající matice pozorovatelnoti plnou loupcovou hodnot. Ověření blo provedeno pomocí funkcí obv a rank v MATLABu. Matice pozorovatelnoti měla loupcovou hodnot dva, odpovídající dnamickému tému. Z ověření plne, že dnamický tém je řiditelný i pozorovatelný. Po ověření řiditelnoti a pozorovatelnoti je popán návrh řízení dnamické čáti. Pro návrh řízení požadujeme, ab regulovaná veličina ledovala v utáleném tavu obecný průběh referenčního ignálu w (t). Pro plnění tohoto požadavku blo zvoleno řízení pomocí tavového regulátoru integrací. Stavový regulátor nezvšuje řád tému, ale zavedením zpětné vazb obahující měřitelný tav vnáobený řádkovou maticí k (matice kontantních parametrů tavového regulátoru) dochází ke změně matice dnamik. Volbou řádkové matice k lze měnit vlatní číla matice dnamik A, a ted i pól odpovídajícího charakteritického polnomu. Nul tému volit nelze. Podmínkou libovolné umítitelnoti pólů je řiditelnot tému, kterou jme ověřili výše. Samotný tavový regulátor reguluje tavové proměnné tému do nul. Pro ledování požadované hodnot w je zapotřebí přivádět kompenzační řízení u k. Pro námi zvolený regulátor přidáváme integraci regulační odchlk zavedené vnější zpětnou vazbou od regulovaného výtupu. Do otevřené regulační mčk je zaveden atatimu, zaručující přenot regulace na kontantní hodnotu. Blokové chéma regulátoru dnamické čáti tému je zřejmé z obr. (23) 25
obr. (23) Blokové chéma regulátoru dnamické čáti tému Výpočet kontantních hodnot řádkové matice k parametrů tavového regulátoru a integrační kontant k I : Do dnamického tému: ()=()+() ()=()+() (65) doadíme řízení: ()= = ()+ () (66) kde k je řádková matice parametrů tavového regulátoru a k I integrační kontanta. Zíkáváme uzavřený tém rozšířeným vektorem tavu po doazení (66) do (65): () () = = () () + () ()=[ ] () () (67) (68) Výpočet kontantních číel matice parametrů a integrační kontant podle požadovaných vlatních číel P=[-22-2 -2-9] matice dnamik jme provedli pomocí funkce place v programovém protředí MATLAB. 26
.5.54 =.24.5243 8.6834 4.9 = 3.99 9.7285 Vpočítané hodnot bl doazen do zíkaného uzavřeného tému rozšířeným vektorem (67), a poté blo ověřeno pomocí funkce eig v MATLABu, že e požadovaná vlatní číla hodují vlatními číl matice dnamik tohoto uzavřeného tému. Výledné zapojení v MATLAB/Simulink je patrné z obr. (24) Scope Integrator -K- Gain2 Subtract ' = A+Bu = C+Du State-Space tup_riz_dn_d To Workpace -K- Gain Integrator Gain3 Subtract -K- Scope2 Gain -K- d2 d vtup_ d2 d vtup_ u fcn MATLAB Function dtheta2 dtheta theta vtup theta obr. (24) Schéma zapojení pro tetování řízené dnamické čáti tému na vtupní úhlové rchloti 27
7.2.2 Odezv řízeného tému na požadované úhlové rchloti ω L * a ω P *: Požadované kontantní trajektorie znázorněné na obr. (25): 2 8 rad/ 6 4 2.2.4.6.8..2.4.6.8.2 t omegal omegap omegal* omegap* obr. (25) Porovnání požadované a výtupní úhlové rchloti z řízené dnam. čáti tému (pro kontantní trajektorii) Požadované lineární trajektorie znázorněné na obr. (26): 5 rad/ 5 omegal omegap omegal* omegap*.5..5.2.25.3 t obr. (26) Porovnání požadované a výtupní úhlové rchloti z řízené dnam. čáti tému (pro lineární trajektorii) 28
Požadované kvadratické trajektorie znázorněné na obr. (27): 22 2 98 rad/ 96 94 92 9 omegal omegap omegal* omegap*.5..5.2.25.3 t obr. (27) Porovnání požadované a výtupní úhlové rchloti z řízené dnam. čáti tému (pro kvadratickou trajektorii) Ze imulovaných charakteritik je patrná funkce regulátoru, který po určitém čae způobí ledování požadovaných úhlových rchlotí. Po otetování řízení dnamické čáti došlo k ověření reakcí řízeného dnamického tému polečně navazující kinematickou čátí. Vtupem do tému jou požadované ouřadnice žádané trajektorie *, * a θ* a výtupem ouřadnice poloh tředu vozíku, a úhel natočení θ. 7.2.3 Odezv řízeného dnamického tému navazující kinematickou čátí na požadované úhlové rchloti ω L * a ω P * Odezv odpovídající požadovaným kontantním trajektoriím znázorněné na obr. (28) a (29): 35 3 25 2 5 výledná požadovaná fu n kčn í h o d n o t 35 3 25 2 5 theta * * theta* 5 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 t obr. (28) Porovnání požadované kontantní a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro řízenou dnamickou čát kinematickou čátí) 29
8 6 4 výledná požadovaná f u n kčn í h o d n o t 35 3 25 2 5 theta * * theta* 2 5 5 5 2 25 3 35 2 3 4 5 6 7 t obr. (29) Porovnání požadované kontantní a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro řízenou dnamickou čát kinematickou čátí) Odezv odpovídající požadované lineární trajektorii znázorněné na obr. (3): 35 3 25 2 5 výledná požadovaná fu n kč n í h o d n o t 35 3 25 2 5 theta * * theta* 5 5 5 5 2 25 3 35 2 3 4 5 6 7 t obr. (3) Porovnání požadované lineární a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro řízenou dnamickou čát kinematickou čátí) Odezv odpovídající požadovaným kvadratickým trajektoriím znázorněné na obr. (3) a (32): 7 6 5 4 3 2 výledná požadovaná fu n kč n í h o d n o t 7 6 5 4 3 2 theta * * theta* -2 2 4 6 8-2 3 4 5 6 7 t obr. (3) Porovnání požadované kvadratické a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro řízenou dnamickou čát kinematickou čátí) 3
2 8 6 4 výledná požadovaná fu n kční h o d n o t 7 6 5 4 3 2 theta * * theta* 2 2 3 4 5 6 7 t obr. (32) Porovnání požadované kvadratické a výledné trajektorie, porovnání požadovaných a výledných hodnot, a θ (pro řízenou dnamickou čát kinematickou čátí) Na předchozích odezvách můžeme pozorovat, že požadované hodnot žádané trajektorie neodpovídají zcela přeně hodnotám výledné poloh tředu trojkolového vozíku. Tuto odchlku způobuje regulátor dnamické čáti, který má rozdílné přechodové děje pro levé a pro pravé kolo. Drobné odchlk jou patrné v charakteritikách odezev řízené dnamické čáti v záviloti na požadovaných rchlotech obr. (25) - obr. (27). Obě rchloti kol e utálí na hodné hodnotě, ale rchlot jednoho z kol doáhne této úrovně nepatrně rchleji. Vzhledem k této ituaci dojde k chbě v natočení vozíku, který e bude narůtajícím čaem imulace vzdalovat od požadované trajektorie. 7.3 Návrh řízení vnější zpětnou vazbou 2 3 4 5 6 7 Abchom odtranili chbu popanou v kapitole 7.2.3, je nutné navrhnou řízení vnější mčk, které bude regulovat odchlk výtupních hodnot poloh tředu vozíku a jeho natočení od požadovaných hodnot zadané (generované) trajektorie. Řízení je navrženo tak, ab na vém výtupu generovalo odchlk ω L * a ω P * vtupních požadovaných rchlotí přiváděných na vtup řízeného dnamického tému dle aktuálních odchlek e, e a e θ požadovaných hodnot od kutečných hodnot poloh vozíku. Řízení odtraňující odchlk poloh má vé opodtatnění i pro reálné trojkolové vozík, u kterých může dojít k drobným změnám natočení vlivem rozdílného podkladu pod jednotlivými kol, ke změně natočení vlivem drobné překážk např. nerovnot podkladu, po kterém e vozík pohbuje atd. Tto chb lze pomocí odchlek ω L * a ω P * na výtupu vnějšího řízení odtranit, a pohbovat e tak po zadané trajektorii. 3
Celkové zapojení regulované outav vnější regulační mčkou blo navrženo dle obr. (33). obr. (33) Blokové chéma celkového zapojení modelu Odvození řízení pomocí vnější zpětné vazb, jehož vtupem jou odchlk požadovaných veličin od kutečných e, e a e θ a výtupem odchlk úhlových rchlotí ω L * a ω P * vtupujících do řízeného dnamického tému, jme provedli heuritick. Při návrhu blo vcházeno z chb, kterou způobuje nepřené natočení vozíku viz kapitola 7.2.3. Základní mšlenkou e tal fakt, že pokud bude odchlka natočení vozíku nulová, bude vozík ledovat požadovanou trajektorii. Výpočet odchlek úhlových rchlotí ω L * a ω P * je ted převážně závilý na aktuální odchlce natočení e θ. Pokud je odchlka úhlu natočení kladná znamená to, že e pravé kolo vozíku pohbuje rchleji a způobuje odchýlení vozíku doleva od požadované trajektorie. Je ted zapotřebí úhlovou rchlot levého kola ω L zvýšit, nebo naopak nížit úhlovou rchlot ω P kola pravého. V našem případě jme zvolili, že při kladné odchlce natočení vozíku e θ zvýšíme požadovanou úhlovou rchlot levého kola ω * L, zvýší e i rchlot kutečná ω L. Čím je odchlka natočení všší, tím více zvšujeme úhlovou rchlot levého kola. Eperimentálně ě blo zjištěno, že při odchlce e θ =,3 rad je potřeba volit odchlku požadované úhlové rchloti levého kola ω L *= rad/. Vpočtenou hodnotu odchlk ω L * závilé na odchlce od požadovaného úhlu natočení e θ zíkáme náledovně: = [rad/]. (69) S narůtající úhlovou rchlotí levého kola kleá odchlka e θ a tím kleá i vpočtená odchlka požadované úhlové rchloti ω L *. Při nulové odchlce požadované úhlové rchloti kol neměníme. 32
Záporná odchlka úhlu natočení znamená, že e rchleji pohbuje kolo levé. V ouladu kladnou odchlkou zvšujeme požadovanou úhlovou rchlot kola pravého ω P *. Zvýšení kutečné úhlové rchloti ω P opět způobí, že e odchlka od požadovaného úhlu natočení e θ bude nižovat. Vpočtenou hodnotu odchlk ω P * závilé na odchlce od požadovaného úhlu natočení e θ zíkáme náledovně: = [rad/] (7). Zíkané hodnot odchlek jednotlivých kol ω L * a ω P * ze vztahů (69) a (7) přivádíme na vtup řízené dnamické čáti tému. Schéma zapojení celého řízeného tému v programovém protředí MATLAB/Simulink je patrné na obr. (34). Samotný výpočet odchlek jednotlivých kol je realizován blokem MATLAB function. 33
u d2 d2 dtheta2 d d dtheta Scope4 Integrator Integrator f(u) vpocet_theta theta -K- -K- Gain2 Gain3 vtup_ vtup_ fcn Vp_riz_vneji_kzv Subtract Scope2 vtup theta Subtract u fcn Vp_poz_uh_rch ' = A+Bu = C+Du State-Space Gain -K- -K- Gain Scope up_gen_poz_r To Workpace2 Scope tup_riz_dn_d To Workpace f(u) theta_der f(u) _der f(u) _der theta vtup_theta vtup_ vtup_ vtup_kin_gen To Workpace Scope3 tup_odchlk To Workpace3 obr. (34) Schéma zapojení celého řízeného tému v programovém protředí MATLAB/Simulink 34
7.3. Odezv celkového řízeného tému na požadované úhlové rchloti Funkčnot heuritick odvozeného řízení v celkovém řízeném tému jme ověřili pomocí imulace v programovém protředí MATLAB/Simulink. Tetování blo provedeno pro požadované trajektorie znázorněné na obr. (5). Odezv odpovídající požadovaným kontantním trajektoriím znázorněné na obr. (35) a (36): 35 3 výledná požadovaná. etheta 25.5 2 5 ra d -.5 5 2 3 4 5 6 -. 2 3 4 5 6 t obr. (35) Porovnání požadované kontantní a výledné trajektorie, průběh odchlk požadovaného úhlu natočení eθ (pro celkový tém) 8 výledná požadovaná..5 etheta 6 4 ra d 2 -.5 5 5 2 25 3 35 -. 2 3 4 5 6 7 t obr. (36) Porovnání požadované kontantní a výledné trajektorie, průběh odchlk požadovaného úhlu natočení eθ (pro celkový tém) 35
Odezv odpovídající požadované lineární trajektorii znázorněné na obr. (37): 35 3 výledná požadovaná. etheta 25.5 2 5 ra d 5 5 5 2 25 3 35 -.5 -. 2 3 4 5 6 t obr. (37) Porovnání požadované lineární a výledné trajektorie, průběh odchlk požadovaného úhlu natočení eθ (pro celkový tém) Odezv odpovídající požadovaným kvadratickým trajektoriím znázorněné na obr. (38) a (39): 7 6 výledná požadovaná. etheta 5.5 4 3 rad 2-2 2 4 6 8 -.5 -. 2 3 4 5 6 t obr. (38) Porovnání požadované kvadratické a výledné trajektorie, průběh odchlk požadovaného úhlu natočení eθ (pro celkový tém) 8 výledná požadovaná..5 etheta 6 4 ra d 2 -.5 2 3 4 5 6 7 -. 2 3 4 5 6 t obr. (39) Porovnání požadované kvadratické a výledné trajektorie, průběh odchlk požadovaného úhlu natočení eθ (pro celkový tém) 36
Z charakteritik znázorněných na obr. (35) obr. (39) lze pozorovat, že po zapojení heuritick odvozeného řízení, které má na vtupu hodnot odchlek e, e a e θ a na výtupu odchlk požadovaných úhlových rchlotí ω L * a ω P *, výledná trajektorie trojkolového vozíku diferenciálním řízení ízením leduje požadovanou trajektorii a nevzdaluje e od ní, jako v případě, kd jme řídili pouze dnamickou čát tému v kapitole 7.2. Z charakteritik průběhů odchlek požadovaného úhlu natočení eθ na obr. (35) obr. (39) je zřejmé, že odchlku způobenou chbou natočení vnitřního řízení dnamické čáti tému přivede vnější heuritické řízení do nul. Výledná trajektorie modelu pak leduje požadovanou trajektorii. 8. Vozík tzv. Ackermanovým podvozkem tato kapitola vchází z [4] a [5] Trojkolové upořádání vozíku tzv. Ackermanovým podvozkem má za úkol, podobně jako u případu diferenciálním řízením, ledovat vým tředem zadní náprav, určené ouřadnicemi a,, požadovanou trajektorii. Podobně jako v kapitole 4 uvažujeme, že pro každý bod rovinné křivk lze určit okulační kružnici e tředem S o ouřadnicích [m,n]. Pro požadavek, ab třed vozíku ledoval požadovanou trajektorii uvažujeme, že e v každém okamžiku vozík pohbuje po kružnici, jejíž třed je určen tředem okulační kružnice S a její poloměr odpovídá poloměru odpovídající okulační kružnice r.. Danou ituaci lze pozorovat na obr. (4). obr. (4) Pohb vozíku Ackermanovým podvozkem po okulační kružnici Podobně jako u vozíku diferenciálním podvozkem v kapitole 4. e levé i pravé kolo zadní náprav pohbují kolem totožného tředu určeného tředem okulační kružnice S e tejnou 37
úhlovou rchlotí ω, ale po různém poloměru. Rozdíl mezi poloměr určuje použitá délka zadní náprav a. 8. Určení požadovaného natočení předního kola Ackermanova podvozku V případě diferenciálního podvozku, e přední kolo natáčelo libovolně a vozík bl řízen pomocí pohonu zadních kol. U Ackermanova podvozku naopak natočením předního kola řídíme jeho pohb a hodnot úhlových rchlotí jednotlivých kol ω L a ω P e volí tak, ab nedocházelo k prokluzu jednotlivých kol. Uřčení vhodného natočení předního kola Φ dle požadované trajektorie je dáno poloměrem odpovídající okulační kružnice r a vzdálenotí předního kola od tředu zadní náprav l a znázorněno na obr. (4). obr. (4) Určení požadovaného natočení předního kola Z obr. (4) můžeme nadno určit vztah pro tangentu úhlu natočení předního kola Φ: = (7) Do vztahu (7) doadíme vztah pro poloměr okulační kružnice (): = () ( ) (72) A vjádříme hodnotu požadovaného úhlu natočení Φ: = () ( ) [rad] (73) 38