Křivé pruty. Kapitola Úvod

Kapitola Křivé pruty. Úvod Zakřivené elementy konstrukcí, u kterých, stejně jako u přímých prutů, převládá jeden rozměr,senazývajíkřivýmipruty.mohoubýtstatickyurčité(obr..a,b,c,d), nebostatickyneurčité(obr..a,b,c,d). Prutynaobr..a,bjsoustatickyneurčité q q a b c d Obrázek.: vdůsledkuuloženíkonců,prutynaobr..c,djsoustatickyneurčitévnitřně jsou to rámové konstrukce. Podle způsobu zakřivení a zatížení mohou křivé pruty být rovinné (obr.. a.), nebo prostorové (obr..3). U rovinných křivých prutů ležístřednicespolečněspůsobícímisilamivestejnérovině,naobr..a.vrovině nákresny. Významnou charakteristikou křivých prutů je jejich zakřivení definované poměrem r T /hvizobr..4.jestližetentopoměrsplňujepodmínku r T h 6, můžeme předpokládat, že normálová napětí od ohybu jsou v příčném průřezu rozdělena lineárně, dle stejného předpokladu jako u tenkých přímých prutů. Tyto pruty nazýváme tenkýmikřivýmipruty.připoměru r T /h < 6sejednáoprutysilnězakřivené. U těchto prutů je průběh normálových napětí od ohybu nelineární. čkoliv se budeme

M a b c d Obrázek.: a b Obrázek.3: c v celé kapitole zabývat tenkými křivými pruty, uvedeme pro informaci v úvodu zjednodušený postup výpočtu rozdělení ohybových napětí v průřezu silně zakřiveného prutu. Uvažujme silně zakřivený rovinný prut s jednou osou symetrie průřezu v rovině ohybu (obr..4),zatíženýpouzedvojicemi M o. Řešení je založeno na předpokladu, že průřezy prutu zůstanou rovinné i po zatížení. Uvažujme element křivého prutu určený dvěma radiálními řezy pootočenými o úhel dα kolemstředukřivostistřednices,přičemžr T označujepoloměrkřivostikřivkyspojující těžiště, R poloměr křivosti neutrální osy a r poloměr křivosti obecného místa. V důsledku nelineárního průběhu osových napětí od ohybu očekáváme polohu neutrální osy mimo těžiště průřezu. Její poloměr křivosti označíme R. Ohybový účinek dvojic M o vyvolázměnuúhlu dαohodnotu dα(přímka ab).vláknovevzdálenosti yodposunuténeutrálníosysezpůvodnídélky r dα = ĉdprodloužíodélku dg y dα = (R r) dα (.) Normálovánapětívelementuprůřezu durčímezrovnice,kde εvyjádřímejakopoměr velikosti prodloužení k původní délce prutu σ = E ε = E (R r) dα (.) r dα Upravme tuto rovnici na tvar σ r R r = E dα =konst., (.3) dα

dg^ a - h e h e T z M o y b dα d dα c r R r T M o y y d r R r T { S Obrázek.4: který napovídá, že pro určitý řez je uvedený poměr konstantní. Poloha neutrální osy vyplývá z podmínky, že součet vnitřních sil kolmých k průřezu jerovennule N = 0, t.j. σ d = E (R r) dα r dα d = 0 (.4) V důsledku platnosti rovnice(.3) můžeme podmínku(.4) upravit následovně E dα dα R r d = E dα r dα d R r d = 0, (.5) odkud pro poloměr R určující polohu neutrální osy plyne R = d r (.6) Polohaneutrálníosyseneshodujespolohoustředniceprůřezur t,jakjetomuupřímých prutů. Dalším krokem bude stanovení průběhu normálových napětí v průřezu křivého prutu od ohybu. Z podmínky rovnováhy momentu vnějších a vnitřních sil plyne M o = σ (R r) d = }{{} y 3 E (R r) dα r dα d (.7)

S ohledem na rov.(.3) obdržíme vztah M o = E dα (R r) dα r který upravíme následovně M o = σ r R R r d r R d = σ r R r d R (R r) d, r d+ r d (.8) První dva členy v závorce, podle rov.(.5), jsou rovny nule. Třetí integrál je roven obsahu průřezu a čtvrtý definuje lineární(statický) moment průřezu k ose procházející středem křivosti S. r d = r T (.9) Rovnice(.8) pak bude mít tvar M o = σ r R r (r T R) (.0) Jestliže kladný směr osy y směřuje ke středu křivosti S, pak posunutí neutrální osy vyjádříme vztahem e = r T R Z rovnice(.0) odvodíme vztah pro napětí T střednice neutrální osa y R r T σ max Obrázek.5: t.j. σ = M o R r, kde y = R r r (r T R) σ = M o e y R y (.) Rovnice(.) definuje hyperbolický průběh napětí(obr..5) v průřezu silně zakřiveného prutu(jeřábový hák). Maximální napětí je ve vnitřním vlákně, směrem ke středu křivosti. Napjatost v průřezu silně zakřiveného prutu je složitější a vyskytuje se zde i napětí radiální[4],[5]. 4

. Tenké křivé pruty Tenkékřivéprutymajímaloukřivost κ =.T.j. r (R r) = y,vevztahu.4tedy r T můžeme ruvažovatzakonstantnívporovnánísy= R rapsát E R r r dα dα d = E r dα dα Ze vztahu. plyne, že neutrální osa prochází těžištěm průřezu. Podobně upravíme vztah.7 M o = E (R r) dα r dα d = E r dα dα y d = 0 (.) y d = E r dα dα J z (.3) Použijeme-li tento výsledek ve vztahu., dostáváme pro tenké křivé pruty vyjádření napětí ve tvaru σ = M o J z y, (.4) což je výsledek shodný s vyjádřením velikosti napětí pro přímé tenké pruty..3 Průběhy posouvajících sil a ohybových momentů u křivých prutů Průběhy posouvajících sil a ohybových momentů u křivých prutů určujeme pomocí závislostí daných Schwedlerovou větou nebo metodou řezu. Vzhledem k zakřivení prutů vyvolává vnější zatížení v řezech kolmých k ose prutu i normálovou složku vnitřní síly. Vliv normálové síly na celkové namáhání a deformacemi prutu uvedeme dále. V obecném případě je střednice křivého prutu orientována prostorově(obr..6) a vnější síly mohou působit zcela libovolně. Vnitřní síly v určitém řezu ξ, kolmém ke střednici S, určíme metodou řezu. Jak již víme, spočívá tento postup ve stanovení statických podmínek rovnováhy mezi zatížením jedné části prutu(části nebo B) a vnitřními silovými účinky působícími v řezu ξ. Účinek vnější části prutu(b) na jeho levou část() nahradíme výslednou silou R a dvojicí M v průřezu určeném rovinou ξ.složkyvektorů RaMvlokálnímsystému( x, ȳ, z)jsou {R} = {R x, Rȳ, R z } T a {M} = {M x, Mȳ, M z } T (.5) Složky Rȳa R z namáhajíprutvuvažovanémřezuvesmyku,složka R x vtahunebo tlaku.složkyvýslednédvojice Mȳa M z namáhajíprutvohybuasložka M x,kteráje kolmákřezu ξ,namáházdevuvažovanémřezuprutkrutem. Pro větší názornost uvažujme při odvození vztahů mezi vnitřními silami rovinný případ prutležívroviněnákresny,průřezmájednuosusymetrie(obr..7). Vrovině symetrie působí i zatěžující síly. Rovina symetrie je tedy i rovinou ohybu. Dvěma řezy, pootočenými vzájemně o úhel dα(obr..7(a)), vytkneme z prutu element o délce ds přičemž ds = ϱ dα, 5

n S ȳ 0 x ξ B n - ȳ R x ξ M z z S Obrázek.6: q(s) T N M o p B M o +dm o N+dN ȳ ϱ T+dT dα z (a) (b) Obrázek.7: kde ϱ je poloměr křivosti střednice prutu. Spojité zatížení q(s) elementu má rozměr v N/m. V levém i pravém řezu nahradíme účinky odstraněných částí prutu odpovídajícímisložkami T, Nadvojicí M o,resp.silami T +dta N +dnadvojicí M o +dm o. Podmínky rovnováhy sil působících na element ve směru kolmém k přímce p, dále vesměrupřímky pasoučetmomentůsilkbodu Bmajítvar [N (N +dn)] cos dα +[T +(T +dt)] sin dα = 0, [N +(N +dn)] sin dα +[(T +dt) T] cos dα + +q(s) ϱ dα = 0, }{{} ds M o (M o +dm o ) N ϱ [ cos(dα)]+t ϱ sin(dα) (.6) q(s) ϱ dα ϱ sin dα = 0 Prostředovýúhelplatí dα 0,atudížfunkce cos(dα/) asin(dα/) dα/. 6

Rovnice.7 upravíme a dostaneme dn T = 0, dα N dα+dt +q(s) ϱ dα = 0, dm o T ϱ dα = 0 Dosadíme-lidotěchtovztahů ϱ dα = ds,získámediferenciálnízávislostimezi N, Ta M o vkonečnémtvaru dn ds = T ϱ, dt ds = N ϱ dm o ds = T q(s), (.7) Srovnáme-litytorovnice(zapředpokladu ϱ = ads = dx)srovnicemi[]:(93),(96) a(98), zjistíme shodu se Schwedlerovou větou, platnou pro přímý nosník. Použití rovnic(.8), které vyjadřují analytickou závislost mezi veličinami q, N, T a M o prokřivépruty,analogickyjakoschwedlerovavětapro q, Ta M o přímýchnosníků, uvedeme v následující staticky určité úloze naznačené na obr.??. Střednice prutu je tvořena obloukem kružnice. Nejdříveurčímevobecnémřezu ξ,meziřezy0a,normálovousílu Njakoprůmět všechvnějšíchsilpůsobícíchnaprutpojednéstraněřezu ξdosměrutečny t N = sinϕ Průběhsíly Npodélstřednicejenaznačennaobr.??b.Nynípomocí určímefunkci T,tedy odkud po integraci plyne dt ds = N r dt ds = N ϱ q(s) ds, pro ϱ = r =, q(s) = 0, dϕ T = cosϕ+c Pro ϕ = π/je T = 0,atudíž C = 0.Posouvajícísílutedyurčímezrovnice T = cosϕ Průběh této funkce je uveden na obr.??c. Pro určení ohybového momentu použijeme rovnici dm o ds = T = cosϕ, odkud po integraci plyne M o = r sinϕ+d 7

Integračníkonstantu Durčímeprořez0,kde ϕ = 0aodkudvyplývá M o (0) = 0 = D. Proprůběh M o (obr.??d)platítudížvztah M o = r sinϕ Znaménkafunkcí N(ϕ), T(ϕ), M o (ϕ)vyplývajízpostupupřiodvozovánírov.(.8). Uvedenýanalytickýpostupurčovánífunkcí N, Ta M o přiřešeníkonkrétníchúloh převážně nahrazujeme metodou řezů, kterou budeme užívat většinou i v dalším výkladu a kterou jsme používali při řešení přímých nosníků. Na obrázku?? je naznačena staticky určitá konstrukce, která se skládá jen z přímých částí a je uložena ve dvou podporách stejným způsobem, jako ukládáme přímé pruty. Úlohoujestanovitprůběhy N, T a M o odspojitéhozatížení q o.vpodpoře0vzniká od spojitého zatížení jen vertikální reakce R = q o a, kterájeurčenazestatické podmínky.unkce N, T a M o stanovímemetodouřezu vjednotlivýchpolích.začnemevpoli0odvolnéhokonce0(protostačíkřešeníúlohy znalostreakce R ).Normálovásílavpoli0je N = R = q o a a posouvající síla, resp. ohybový moment T = 0, M o = 0 Vdruhémpolijenormálovásíla N = 0.Proposouvajícísíluvlibovolnémmístě pole plyne [ T = R +q o x = q o x a ] x a pro ohybový moment M o = R x q o x = q o x a ( x ) a Průběhy N, Ta M o vpoli3jsoustejnéjakovčásti0(symetrie).průběhyhledaných funkcí v jednotlivých polích jsou naznačeny na obr.??b,c,d. Na obrázku?? je uveden vetknutý křivý prut s kombinací přímé a zakřivené části. Vzhledemkezpůsobuzatíženíatvarustřednicebudemeurčovatfunkce N, T a M o samostatněvpoli0a.vprvémpoli0je N = 0, T = q o x, M o = q o x Průběhy jsou naznačeny na obr.??b,c,d. V druhém poli, v obecném řezu označeném ξ, jsou výsledné účinky vnějších sil rovny N = q o a sinϕ, T = q o a cosϕ, M o = q o a [ + r ] a sinϕ Průběhy N, Ta M o vpolijsouopětuvedenynaobr.??b,c,d. Při aplikaci metody řezů dodržujeme důsledně zvolený systém znamének v průběhu řešení celé úlohy. V technické praxi se při řešení tenkých křivých prutů zpravidla určují jenohybovéúčinky.vliv Na Tnanamáháníapřetvořenítenkýchprutůsesohledem na jejich účinek zanedbává. 8

.4 Vliv osových a posouvajících sil při rovinném ohybu křivých prutů S výjimkou případu prostého ohybu je ohybové namáhání křivých prutů téměř vždy v obecném řezu kombinováno s účinkem normálové a posouvající síly. Normálová síla N vyvolává v každém bodě průřezu normálové napětí σ = N Napětí od normálové síly jsou v průřezu rozložena rovnoměrně a výslednice vnitřních sil prochází těžištěm průřezu. Výsledné normálové napětí v libovolném bodě průřezu jedánosoučtemnormálovýchnapětíodohybovéhomomentu M o (.)aosovésíly N σ = M o e y R y + N Při uvažování Hookeova zákona ε = σ E, rovnice(.6)ar=r y,pakvyjádřímedeformačníenergiiutlustýchkřivýchprutů při prostém ohybu takto U = V = E σ ε dv = E s Mo e s ( Mo e y R y + N ) d ds = y (R y) d + Mo N e Pozn. y R y d = y R y d }{{} =0,viz.5 R r r ) + N ds d = 0 (.8) U tenkých křivých prutů uvažujeme následovně. Při vyjádření normálového napětí opět vycházíme ze vztahu σ = M o e y R y + N, respektive u tenkých křivých prutů Bereme-li dále v úvahu Hookeův zákon σ = M o J y + N ε = σ E, 9

pak určíme deformační energii napjatosti elementu při prostém ohybu u tenkých křivých prutů ze vztahu U = σ ε dv = ( Mo E J y + N ) d ds = V s = E s ( M o J J + Mo N J y d }{{} =0,viz.5 ) + N ds (.9) Deformační energie elementu(obr..7) od posouvající síly T je určena vztahem β du T = G T ds (.0) Úhrnná deformační energie prutu o délce l se určí součtem deformačních prací elementů U = U Mo +U N +U T = = E Mo ϱ ds e + E N ds+ β G Pro tenké křivé pruty(rov..6) vztah(.) upravíme na tvar U = E Mo J ds+ E N ds+ β G T ds (.) T ds (.) Při stanovení přetvoření tenkých křivých prutů pomocí deformační energie se obvykle zanedbávají poslední dva členy rov.(.), a to vzhledem k jejich malému vlivu na celkovou hodnotu deformace, která je určena převážně účinkem ohybových momentů. Pak pro energii elementu plyne kde du Mo = λ Mo dv = σ E dv = E M o(s) J z(s) y d ds, σ = M o(s) y ; dv = d ds, J z (s) takže celková energie tenkého křivého prutu od ohybových momentů je dána vztahem U Mo = E Mo(s) ds, (.3) J z (s) jelikož (s) y d = J z (s) Jak malý je vliv normálové a posouvající síly na výslednou deformaci tenkého křivého prutu, uvedeme na následujícím příkladu. Na obr.?? je naznačen vetknutý křivý prut, zatíženýsilou.stanovímevelikostprůhybu v podsilou. EJprutujekonstantní. Průřezprutujeobdélníkový.Vobecnémmístěpole0,t.j.vřezu ξ,jevelikostohybovéhomomentu M o (s),normálovésíly N(s)aposouvajícísíly T(s)následující M o (s) = r sinα ; N(s) = sinα ; T(s) = cosα 0

Poznámka: V dosavadních úvahách jsme jako kladný moment uvažovali ten, která natahuje spodní vlákno. To je však u křivých prutů problematický pojem. Dohodněme se proto, že v dalších úvahách budeme za kladný moment považovat ten, který se prut snaží zabalit(snaží se zvětšit jeho křivost). Celkovou deformační energii určíme podle rov.(.) U = E J π/ 0 r sin α r dα+ E + π/ 0 β G sin α r dα+ π/ 0 cos α r dα Po integraci upravíme rovnici tak, aby první člen v závorce reprezentoval vliv ohybu, ostatní členy vliv osové a posouvající síly [ U π = 8 E J r 3 + J ] r +, E J G r Zvolíme-li r/h = 6aE/G =,6,bude U = Průhyb v určímepomocícastiglianovyvěty π 8 E J r 3 [+0,04] v = U = π 4 r3 [+0,04] (.4) E J Z uvedené rovnice je patrné, že vliv normálové a posouvající síly, při zvoleném mezním poměru r/h = 6, je oproti účinku ohybu nepatrný a deformaci vzniklou od ohybového účinku zvětšuje jen o,4%..5 Deformace střednice tenkých křivých prutů Vliv osových a posouvajících sil na přetvoření křivých rovinných prutů vyplývá z rovnice (.). Prostorové křivé pruty jsou namáhány i krutem. Celkovou deformační energii při současném působení ohybu, tahu, smyku a také krutu určíme rozšířením rov.(.) U = E Mo(s) J(s) ds+ E + β G N (s) (s) ds+ T (s) (s) ds+ G M k (s) J k (s) ds (.5) Mají-livektory M o a T vroviněřezu (0,y,z)(obr..7) obecnoupolohu,zapíšíse odpovídajícíčlenyvrov.(.5)vesložkách yaz.celkovádélkakřivéhoprutuje.

Při určování přetvoření tenkých křivých prutů je ohybový účinek rovněž dominantní viz rov.(.4). Z rovnice(.5) se používá obvykle jen první člen, nejsou-li důvody pro uplatnění ostatních. Deformační energie od ohybu je funkcí silových účinků působících na křivý prut U = U(,,..., i,..., n ) (.6) Pomocí Castiglianovy věty odvodíme Mohrův integrál pro zobecněný posuv střednice u i = U = i E M o (s) J(s) M o(s) ds = i E M o (s) J(s) m oi(s) ds, (.7) kde M o (s) = M o (,,..., i,..., n ); i 0,ale i 0; m oi (s)jeohybový momentod jednotkového účinku,kterýpůsobívmístě avesměruhledaného zobecněnéhoposuvu u i. Srovnáme-li rov.(.7) s obdobnou rovnicí[],(34, rov. 0.8) pro deformace přímých nosníků, můžeme konstatovat jejich totožnost. Z této shody vyplývají i stejné postupy a podmínky pro určování přetvoření tenkých křivých prutů. Tak např. vzhledemktomu,že M o (s)am oi (s)jsoufunkcemiodlehlosti s,lzepoužítprovyjádření Mohrova integrálu graficko-analytickou metodu jednotkového silového účinku(vereščagin): u i = E M o (s) J(s) m oi(s) ds = E n i= J Mi m oti, (.8) kdesumaceiveličiny Mi, m oi (s)am oti majístejnývýznamjakoupřímýchnosníků[],(38). S výhodou lze použít Vereščaginovu metodu u lomených prutů, které se skládají jen z přímých částí. Příklad.: Tenký prizmatický prut, jehož střednice má tvar oblouku kružnice(obr.??), je zatížen silou.úkolemjeurčitúhelnatočení ϕ středniceprutuvmístěpůsobištěsíly. Pomocí Mohrova integrálu kde u = E J M o (s) m o (s) ds, M o (s) = x = r sinϕ... jeohybovýmomentvřezu ξ(ξ(x,y)jeobecné místovpoli0), m o (s) =... jeohybovýmomentvtémžeřezuodjednotkové dvojice(obr.??b), ds = r dϕ... elementdélkystředniceprutu, 0 ϕ π/... intervalintegračníproměnné. Poúpravějeúhelnatočeníkřivéhoprutuvmístěpůsobenísíly ϕ = r E J π/ 0 sinϕ dϕ = r E J

Kladnéznaménkoudeformaceϕ potvrzujeshodnostsesmyslemjednotkovéhosilového účinku(obr.??b). Maximální ohybový moment je ve vetknutí křivého prutu a pevnostní podmínka má tvar max M o (s) = r σ max = M omax W o σ D Příklad.: U prizmatického tenkého křivého prutu(obr.??) stanovíme horizontální posuv kloubu B a určíme maximální ohybový moment. Třecí síly v uložení neuvažujeme. S ohledem na symetrii prutu a symetrii zatížení podle osy y pro vertikální reakce plyne R = R B = Symetrické je i namáhání a deformace obou polovin prutu. Symetrii prutu využijeme i ke stanovení horizontálního posuvu kloubu B. V bodě C, kterým prochází osa symetrie střednice prutu, nezmění tečna ke střednici svoji polohu ani při zatěžování silami. Úhelnatočenívtomtomístě ϕ C = 0.Oběčástiprutusedeformujísymetricky,aproto můžemevmístě Cprutrozdělitavetknout(obr.??b).Posuv u B /určímepomocí Mohrova integrálu(.7) u B = E J z M o (s) m ob (s) ds (P-.a) Ohybovýmomentm ob (s)určímepomocíjednotkovésílypůsobícívboděb.proobecné místo ξ(obr.??b,c)vpoli0platí meze integrační proměnné ϕ jsou M o (s) = r ( cosϕ), m ob (s) = r sinϕ, ds = r dϕ, 0 ϕ π Proobecnémísto η(obr.??b,c)vpoliurčíme M o (s) = x+ (x r) = r, m ob (s) = r 3

a meze integrálu jsou r x 3 r Maximální ohybový moment je v poli : M omax = r K získání lepšího přehledu je vhodné vztahy v jednotlivých polích zapisovat do tabulky (viz tab. P-.). Výrazy z tabulky dosadíme do rov.(p-.a) Pole 0 M o (s) r ( cosϕ) r m ob (s) r sinϕ r ds r dϕ dx l 0 ϕ π r x 3 r Tabulka P-.: u B = π/ E J r 3 (sinϕ sinϕ cosϕ) dϕ+ r 0 3 r/ r dx Po integraci a úpravě obdržíme pro celkový posuv u B = r3 E J Při určování přetvoření lomených prutů složených pouze z přímých částí používáme s výhodou Vereščaginovu metodu jednotkových účinků. Příklad.3: Na obrázku??a je rovinný, vetknutý křivý prut s přímými částmi, zatížený spojitým břemenem q o =konst.uveďmepostupurčováníhorizontálníhoposuvukonceprutu B astanovme M omax. Na obrázku??b je znázorněn průběh ohybového momentu podél střednice prutu od spojitého zatížení. Při určování průběhu ohybových momentů postupujeme od volného konce B. Zcelkovéhoprůběhu M o (x)vyplývá,že M omax = q o h Ke stanovení horizontálního posuvu bodu B použijeme Vereščaginův vztah u B = n E J Mi m oti i= 4 (P-3.a)

i Mi m oti Mi m oti 6 q 0h 3 3 4 h 8 q 0h 4 q 0lh h q 0lh 3 3 q 0h 3 h 4 q 0h 4 4 q 0h 3 h 3 6 q 0h 4 Mi m oti = q 0h 3 l [ + 5 ] h l Tabulka P-3.: Průběhfunkce m ob (s)odjednotkovésílypůsobícívbodě B(obr.??c)jeuveden naobr.??d.ztabulky.5jepatrnýpostupzískáváníveličinprorovnici(p-3.a).vpoli jeprůběh M o (s)určendvojicí (q o h )/asilou q o h,působícíminačástprutu vbodě. Prvkyvposlednímsloupcitabulkysečteme apodlerov.(p-3.a) proposuv u B dostaneme konečný výraz u B = qo h 3 [ l + 5 E J h ] l 5

Literatura [] HájekE.,ReifP.,Valenta.:PružnostapevnostI.SNTL,Praha,988 [] Höschl C.: Pružnost a pevnost ve strojírenství. SNTL, Praha, 97 [3] Pešina E., Reif P., Valenta.:Sbírka příkladů z pružnosti a pevnosti. SNTL, Praha, 964 [4] Nauka o pružnosti a pevnosti. Technický průvodce. Česká matice technická. VTN, Praha, 950 [5] Němec J., Dvořák J., Höschl C.: Pružnost a pevnost ve strojírenství. Technický průvodce 69. Česká matice technická. SNTL, Praha, 989 [6] Timoschenko S.P.- Gere J.M.: Mechanics of Materials. Van Nostrand Reinhold C.,NewYork,97 [7] William.N.: Theory and Problems of Strength of Materials. McGraw-Hill Book Company, New York, 97 [8] Birger I.., Mavljutov R.R: Soprotivlenije materialov. Nauka, Moskva, 986 6

Obsah Křivé pruty. Úvod....... Tenkékřivépruty...... 5.3 Průběhyposouvajícíchsilaohybovýchmomentůukřivýchprutů.... 5.4 Vlivosovýchaposouvajícíchsilpřirovinnémohybukřivýchprutů... 9.5 Deformacestřednicetenkýchkřivýchprutů.... 7