2014 GONIOMETRICÉ FUNCE OBECNÉHO ÚHLU opis způsobu použití: teorie k samostudiu (i- learning) pro 3. ročník střední školy technického zaměření, teorie ke konzultacím dálkového studia Vypracovala: Ivana lozová Datum vypracování: 25. ledna 2014 oužité zdroje: Doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., RNDr. Jana Řepová: Matematika pro odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 3. část, rometheus, s. r. o. 1985, ISBN 978-80-7196-039-3 RNDr. avel Hejkrlík: Sbírka řešených příkladů (rovnice a nerovnice) matematika, Nakladatelství SSŠ, s. r. o. 2006, ISBN 978-80-903861-0-5 RNDr. avel Čermák, Mgr. etra Červinková: Odmaturuj zmatematiky 1 Nakladatelství DIDATIS, s. r. o. 2004, ISBN 80-7358-014-4
GONIOMETRICÉ FUNCE OBECNÉHO ÚHLU Znaménka hodnot goniometrických funkcí: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) *... nemá řešení Hodnoty funkcí pro některé základní ostré úhly: 0 ř: a) teré z goniometrických funkcí jsou pro zadaný úhel kladné a záporné: a) b) c) π < < IV. kvadr. Zadaný úhel leží ve IV. kvadrantu. Do jednotkové kružnice zapíšeme místo os, y funkce, které popisují souřadnice bodů kružnice, tj. osa, osa. omocí těchto os pak snadno určíme znaménka funkcí us a kous../. ~ 1 ~
IV. kvadr.: omocí vzorců pro funkce tangens <... a kotangens >... tg ; cotg tg ; cotg zjistíme znaménka hodnot i těchto funkcí. ro úhel kotangens. je kladná funkce kous a záporné jsou funkce us, tangens, b) π II. kvadr. řevedením radiánů na stupně a otočením orientovaného úhlu v záporném směru otáčení (po směru hodinových ručiček) skončí koncové rameno úhlu ve II. kvadrantu. Z jednotkové kružnice vyčteme znaménka hodnot funkcí a. II. kvadr.: ( π ) >... tg ( π ) <... ; cotg omocí vzorců pro funkce tangens a kotangens zjistíme znaménka hodnot i těchto funkcí. ro úhel kotangens. 5π 4 je kladná funkce us a záporné jsou funkce kous, tangens, c) Musíme určit základní úhel. zb. k Jedno celé otočení po kružnici je o 360, proto určíme, kolikrát se číslo 360 vejde do zadaného čísla 2 015. zb. Tak zjistíme, které dosadíme 0 k 360 do vzorce k a dopočítáme základní úhel. < < Zadaný úhel lze vyjádřit pomocí pěti otoček celé kružnice a základního úhlu. oncové rameno základního úhlu končí ve III. kvadrantu. ~ 2 ~
0 Z jednotkové kružnice a z goniometrických vzorců určíme znaménka všech funkcí (viz. příklady a), b) ). III. kvadrant: <... III. kvadr.: <... ro úhel us a kous. tg ; cotg jsou kladné funkce tangens, kotangens a záporné jsou funkce Vztahy mezi goniometrickými funkcemi obecného a ostrého úhlu: Základní ostrý úhel ( z I. kvadrantu jednotkové kružnice) lze pomocí vlastností shodných trojúhelníků převést do dalších kvadrantů. Tím získáme převodní vzorce mezi obecným úhlem a základním ostrým úhlem. II. kvadr. O O 4 O 2 O 3 I. kvadr. 2 1 0 2 0 1 3.. O. 0 0 4 III. kvadr. 3 4 IV. kvadr. I. kvadrant: 0 1 II. kvadrant: 2 180 0 nebo 2 π 0 III. kvadrant: 3 180 0 nebo 3 π 0 IV. kvadrant: 4 360 0 nebo 4 2π 0./. ~ 3 ~
ř: Určete hodnoty zbývajících goniometrických funkcí bez určení úhlu, kde cotg tg tg cotg pro ( π π) ( rad) (π) ( ) / tg tg / ( ) : tg Žádná podmínka není ve IV. kv. odle vztahu lze vyjádřit funkci kotangens Je nutné určit podmínky v ( ), tj. ve IV. kvadrantu. ( π ) ( π) Zakázané hodnoty úhlů určíme z tabulek nebo kalkulačkou. Na jednotkové kružnici znázorníme podmínky. zpět (str. 5) cotg / / ( ) 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 Ze vzorců a získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých,. odmínku jsme určili už v předešlé části úlohy. žádná tato podmínka není Vyřešíme soustavu rovnic. Dosadíme za IV. kvadr. ve IV. kvadr., v intervalu ( 3 2 π do druhé rovnice. vadratickou rovnici anulujeme a dvojčlen rozložíme pomocí vzorce na součin ( ) ( ) π) ~ 4 ~
ro každého činitele součinu vytvoříme rovnici a každou dořešíme zvlášť. / : / : 2 Z jednotkové kružnice vyčteme, že kous není kladný ve IV. kvadr....nř... III.,IV. kvadr. pro ( 3 2 π π) Definiční obor ( ) je ( ) ( 3 ). 2 Hodnoty dalších goniometrických funkcí jsou: Usměrníme zlomky a vrátíme je zpět do rovnic. latí pro ( ) Zjištěnou hodnotu funkce dosadíme do první rovnice soustavy a dopočítáme funkci. odle jednotkové kružnice je hodnota funkce us záporná ve III. a IV. kvadr. (číslo - 31 < ), ale původní ( ) je jen 1 IV. kvadrant. tg ~ 5 ~