Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, Hronov

Transkript

1 Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: VY_4_INOVACE_MA_ Název sady DUM: Funkce a rovnice I. Název a adresa školy: Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90, Hronov Registrační číslo projektu: Číslo a název šablony: Obor vzdělávání: Tématická oblast ŠVP: Předmět a ročník: Autor: Použitá literatura: CZ..07/.5.00/ IV/ Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků SŠ 6-4-M/0 Elektrotechnika, 3-4-M/0 Strojírenství Počítačové řídicí systémy Lineární funkce, rovnice a nerovnice, Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice, Goniometrie a trigonometrie, Funkce, Přehled elementárních funkcí, limita funkce Výrobní a informační systémy - Lineární funkce, rovnice a nerovnice, Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice, Goniometrie a trigonometrie, Funkce, Přehled elementárních funkcí, limita funkce Matematika,.-4. ročník Mgr. Lucie Pošvářová, Mgr. Vladimír Klikar Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo; RNDr. BOČKOVÁ, Jana; RNDr. CHARVÁT, CSc., Jura. Matematika pro gymnázia Rovnice a nerovnice. Praha: Prometheus, 995, ISBN , Doc. RNDr. ODVÁRKO, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN , RNDr. HRUBÝ, Dag; RNDr. KUBÁT, Josef. Matematika pro gymnázia Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 005, ISBN Doc. RNDr. ODVÁRKO, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 997, ISBN Datum vytvoření: leden říjen 03 Anotace Sada obsahuje prezentace, pracovní listy, testy a hru funkční rozcvička. Využití ve výuce Vysvětlení nového učiva i možné samostudium, které je podpořeno názornými ukázkami na obrázcích a příkladech. Seznámení s novými pojmy i jejich upevnění, procvičení vysvětlené látky na příkladech. Vytvořeno v rámci projektu OP VK zavedení nové oblasti podpory.5 s názvem Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách. Stránka z

2 5..04 VY_4_INOVACE_MA 0 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Vlastnosti funkcí VY_4_INOVACE_MA 0 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 03 Je dána funkce f a interval J D Funkce f se nazývá klesající v intervalu je - li <, pak f S rostoucím, klesá f ( ). Klesající funkce ( ) > f ( ). ( f ). J, právě když pro všechna, J platí : Je dána funkce f a interval J D Funkce f se nazývá rostoucí v intervalu je - li <, pak f S rostoucím, roste f ( ). Rostoucí funkce ( ) < f ( ). ( f ). J, právě když pro všechna, J platí :

3 5..04 Funkce f je - li ANO Prostá funkce se nazývá prostá, právě když pro všechna, pak f ( ) f ( ).!, D ( f ) platí : Funkce f. Pro každé.pro každé D Sudá funkce se nazývá sudá, právě když platí zároveň : D ( f ) je také D( f ) ( f ) je f ( ) = f ( ). NE Funkce f. Pro každé. Pro každé Lichá funkce se nazývá lichá, právě když platí zároveň : D D ( f ) je také D( f ) ( f ) je f ( ) = f ( ). Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware).

4 VY_4_INOVACE_MA 0 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA 0 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

5 VY_4_INOVACE_MA 0 Vlastnosti funkcí - Pracovní list zadání, záznamový arch. Určete, které z níže uvedených grafů funkcí představují funkci prostou na celém definičním oboru. a) b) c) d)

6 VY_4_INOVACE_MA 0. Určete, která z níže uvedených funkcí je klesající na intervalu ( ;) a která je rostoucí na intervalu ( ; ). a) b) c) d) 3. Dokončete graf funkce tak, aby funkce byla: a. sudá b. lichá 3

7 VY_4_INOVACE_MA 0 Vlastnosti funkcí - Pracovní list řešení. a) prostá b) není prostá c) prostá d) prostá. a) klesající na intervalu ( ;) d) rostoucí na intervalu ( ; ) 3. sudá lichá 4

8 VY_4_INOVACE_MA 0 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 5

10 VY_4_INOVACE_MA 03 Vlastnosti funkcí test Skupina A Určete intervaly monotónnosti, zda je funkce prostá. Ponechte jen část grafu pro 0; 5, pak jej doplňte pro 5;0) tak, aby se jednalo o funkci sudou.

11 VY_4_INOVACE_MA 03 Vlastnosti funkcí test Skupina B Určete intervaly monotónnosti, zda je funkce prostá. Ponechte jen část grafu pro 5; 0, pak jej doplňte pro ( 0; 5 tak, aby se jednalo o funkci lichou. 3

13 8..04 VY_4_INOVACE_MA 04 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 VY_4_INOVACE_MA 04 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Lineární funkce AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 03 Lineární funkce je funkce daná předpisem:. y a + b - průsečík s osou y = a,b R a 0 -grafem lineární funkce je přímka, která je různoběžná s osou y - pro načrtnutí grafu nám tedy stačí určit dva body - průsečíky s osami soustavy souřadnic: P [ ;0] P y [ 0 ; y] P y [ 0;b]? b = 0 přímá úměra y = a Graf vždy prochází počátkem soustavy souřadnic. f : y = f : y = f f 3 4 : y = 5 : y = a Čím vetší je číslo, tím strmější je přímka.

14 8..04 b = 0 přímá úměra y = a b 0 y = a + b Graf vždy prochází počátkem soustavy souřadnic. f f f f 3 4 : y = : y = : y = 5 : y = Graf je rovnoběžný s grafem funkce y = a a prochází na ose y bodem b. f f f f 3 4 : y = + 8 : y = + 6 : y = : y = 4 f : y = f a = 0 Konstantní funkce y = b Grafem je přímka rovnoběžná s osou a procházející na ose y bodem b. f f f 3 : y = 5 : y = 7 : y = 0 osa Lineární funkce - shrnutí y = a + b. - průsečík s osou y a, b R a 0 a > 0 a < 0 - rostoucí - klesající

15 8..04 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 3

17 VY_4_INOVACE_MA 05 Lineární funkce graf lineární funkce Pracovní list zadání, záznamový arch. Do téže soustavy souřadnic načrtněte grafy funkcí daných předpisem: a. f : y = f : y = 3 f 3 : y = b. g : y = + g : y = 3

18 VY_4_INOVACE_MA 05. Načrtněte graf funkce a určete obor hodnot: a. f : y = 3 ( 3; b. 3, ;0 g : y = 3, ( 0; ( ) 3

19 VY_4_INOVACE_MA 05 Lineární funkce graf lineární funkce Pracovní list řešení.a.b.a.b H ( f ) = 5;7) H ( g) = 3; ) 4

22 VY_4_INOVACE_MA 06 Lineární funkce graf lineární funkce Test Skupina A. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy: f : y = f : y = 3 5. Načrtněte do výše znázorněné soustavy souřadnic graf funkce f : y =, R.

23 VY_4_INOVACE_MA 06 Lineární funkce graf lineární funkce Test Skupina B. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy: f : y = 3 5 f : y = Načrtněte do výše znázorněné soustavy souřadnic graf funkce f : y = +, R. 3

26 VY_4_INOVACE_MA 07 Lineární funkce a rovnice grafické řešení lineárních rovnic Lineární rovnice o jedné neznámé Taková rovnice může mít: R je rovnice ve tvaru: a + b = 0, kde a, b R. b. Jedno řešení ve tvaru = pro a 0. a Jednotlivé strany rovnice můžeme chápat jako dvě funkce. Levou stranu jako lineární funkci y = a + b. Protože a 0, jedná se o přímku různoběžnou s osou. Pravá strana představuje konstantní funkci y = 0, jejímž grafem je osa. Řešení rovnice je vlastně hledání společného bodu těchto dvou přímek, tedy průsečíku přímky y = a + b a osy. Ukážeme si to na příkladu. Př. Řešte graficky rovnici pro R : + 4 = 0. Načrtneme si tyto funkce: f : y = + 4 a f : y = 0. Určíme jejich průsečík. K = 3. Množinu řešení zapíšeme jako { }. Nekonečně mnoho řešení, je-li a = 0 b = 0. Rovnice má tvar 0 = 0, obě strany představují tutéž přímku, osu. Mají tak přímku společných bodů, osu. Množinu K = ;. řešení zapíšeme jako ( )

27 VY_4_INOVACE_MA Prázdnou množinu řešení. (Rovnice nemá řešení.) Tento případ nastane, pokud je a = 0 b 0. Dostaneme tak například rovnici 6 = 0. První funkce má předpis y = 6. Je to přímka rovnoběžná s osou. Nemají tedy žádný společný bod. Výsledek zapíšeme jako K = { } nebo jako K=Ø. 3

28 VY_4_INOVACE_MA 07 Pozn. Rovnice nemusí být v základním tvaru. Může být například zadaná takto: 4 = 3 Potom načrtneme dvě přímky: f : y = 4 a f : y = 3. Řešením je opět jejich K =. průsečík, { } 4

31 VY_4_INOVACE_MA 08 Lineární funkce a rovnice grafické řešení soustav lineárních rovnic Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Pokud řešíme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, nejprve si z každé rovnice vyjádříme y v závislosti na. Potom můžeme každou rovnici chápat jako lineární funkci, jejímž grafem je přímka. Hledání řešení soustavy je tak vlastně určení průsečíku těchto přímek. Mohou nastat tři případy, které si popíšeme na příkladech:. Přímky budou různoběžné a soustava bude mít jedno řešení. Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro, y R : 4 + y + 6 = 0 y = 0 Nejprve z každé rovnice vyjádříme y : y = 3 y = Načrtneme grafy příslušných funkcí a určíme souřadnice průsečíku. Výsledek K = ;. zapíšeme jako {[ ]}

32 VY_4_INOVACE_MA 08. Pokud budou přímky rovnoběžné různé, nebudou mít žádný společný bod a soustava nebude mít řešení. Výsledek zapíšeme jako K = { } nebo jako K=Ø. Tento případ můžeme demonstrovat na následujícím příkladu: Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro, y R : 4 + y + 6 = 0 + y = 0 Pokud vyjádříme y, dostaneme funkce: y = 3 y = 3. Pokud budou přímky rovnoběžné totožné, bude mít soustava jednoparametrické řešení. Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro, y R : 4 + y + 6 = 0 + y + 3 = 0 Vyjádříme-li y, dostaneme funkce: y = 3 y = 3 Je tedy patrné, že obě rovnice představují tutéž přímku. Můžeme si ji načrtnout. 3

33 VY_4_INOVACE_MA 08 Soustava má tedy nekonečně mnoho řešení, protože tyto dvě přímky mají nekonečně mnoho společných bodů. Ale ne ledajakých bodů. Tyto body leží na přímce dané předpisem y = 3. Souřadnice těchto bodů jsou tak na sobě závislé. Tuto závislost vyjádříme pomocí parametru a tím dostaneme již zmíněné jednoparametrické řešení. Za zvolíme parametr, například t. Druhou souřadnici všech bodů, které jsou řešením soustavy vypočítáme jako t 3. Řešení zapíšeme jako K = {[ t; t 3] }, t R. 4

35 5..04 VY_4_INOVACE_MA 09 VY_4_INOVACE_MA 09 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Kvadratická funkce Posuny na grafech AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 03 y = 3 každou funkční hodnotu funkce y= vynásobíme 3 y = 5 každou funkční hodnotu funkce y= posuneme o 5 dolu ve směru osy y 0 3 = 0 co bylo v nule, zůstane v nule 3 = 3 co bylo v, přejde do = 9 co bylo ve 3, přejde do 9

36 5..04 y ( ) = 5 dané funkční hodnoty funkce y= budeme dostávat pro o 5 větší než původní graf y= se nám tak posune o 5 doprava po ose ( proti znaménku ) Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware).

38 VY_4_INOVACE_MA 0 Kvadratická funkce posuny na grafech - Pracovní list, záznamový arch Vycházíme ze základního grafu kvadratické funkce Načrtněte následující funkce: y = f : y =. y = = 4 ; y = 4 ; y y = + y = 3

39 VY_4_INOVACE_MA 0 y = ( + ) y = ( 4) y = ( + 3) 3

40 VY_4_INOVACE_MA 0 y = 5 + ( ) 3 4

41 VY_4_INOVACE_MA 0 Kvadratická funkce posuny na grafech - Výsledky 5

42 VY_4_INOVACE_MA 0 6

44 VY_4_INOVACE_MA Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Funkce absolutní hodnota VY_4_INOVACE_MA AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 03 Nejprve si připomeneme definici absolutní hodnoty. Absolutní hodnota reálného čísla a je číslo, pro které platí: Funkce absolutní hodnota - je dána předpisem je-lia 0, pak a = je - li a < 0, pak a a = a y =

45 Graf se bude skládat ze dvou částí: Graf funkce absolutní hodnota pro 0; ) to bude funkce y = y= pro ( ;0) to bude funkce y = y=- Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware).

46 VY_4_INOVACE_MA Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

47 VY_4_INOVACE_MA Funkce s absolutními hodnotami - Pracovní list zadání, záznamový arch. Do téže soustavy souřadnic zakreslete grafy následujících funkcí: f : y = f : y = + f 3 : y = 4

48 VY_4_INOVACE_MA. Do téže soustavy souřadnic zakreslete grafy následujících funkcí: g : y = g : y = g 3 : y = 3

49 VY_4_INOVACE_MA 3. Řešte graficky rovnici pro R : + =

50 VY_4_INOVACE_MA Funkce s absolutními hodnotami - Pracovní list řešení.. 3. Každá strana rovnice nám představuje jednu funkci: f : y = + g : y = f = g K = { 4; } 5

51 VY_4_INOVACE_MA Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 6

53 VY_4_INOVACE_MA 3 Funkce s absolutními hodnotami Test Skupina A. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy (Obr.): f : y = 5 f : y = 7 f 3 : y = Dokreslete do grafu k dané funkci f ( ) (Obr.) funkci ( ) f : Obr. Obr. 3. Řešením rovnice + 4 = + 6 je: a. K = { ;5 } b. K = { 5; } c. K = { 5;;5 } d. K = 5;

54 VY_4_INOVACE_MA 3 Skupina B. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy (Obr.): f : y = 5 + f : y = + f 3 : y = 5 8. Dokreslete do grafu k dané funkci f ( ) (Obr.) funkci ( ) f : Obr. Obr. 3. Řešením rovnice 4 = + 6 je: a. K = 6; 6 b. K = { ;5 } c. K = { ;5 } d. K = { ;;5 } 3

56 5..04 VY_4_INOVACE_MA 4 VY_4_INOVACE_MA 4 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Funkční rozcvička AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Než začneme cvičit Naznačte pažemi rostoucí funkci. postavte se, prosím udělejte si kolem sebe místo na rozpažení vaše tělo představuje osu y vaše paže jsou grafem funkce panáček k vám stojí zády

57 5..04 Naznačte pažemi klesající funkci. Naznačte pažemi konstantní funkci. Naznačte pažemi tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = y =

58 5..04 Naznačte pažemi tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = y = Naznačte pažemi tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = y = 3

59 5..04 Naznačte pažemi tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = y = Naznačte pažemi tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = y = 4

60 5..04 Naznačte pažemi tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = y = + Naznačte pažemi tyto funkce: Dodělejte funkci, aby byla sudá: y = ( +) 5

61 5..04 Dodělejte funkci, aby byla lichá: Naznačte pažemi ve trojicích tyto funkce: y = tg 0;π ) Naznačte pažemi ve dvojicích tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = cot g ( 0;π ) y = sin π ;π 6

62 5..04 Naznačte pažemi tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = 3 3 y = Naznačte pažemi tyto funkce: Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). y = e 7

63 VY_4_INOVACE_MA 5 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Mocninné funkce VY_4_INOVACE_MA 5 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Únor 03 n liché Mocninné funkce s přirozeným eponentem n y = f : y = g : y = h : y = n N 3 5 n sudé Mocninné funkce s přirozeným eponentem n y = f : y = g : y = h : y = n N 4 6

64 y = Mocninné funkce s celým eponentem n n = 0 specifický případ nemůžeme na nultou umocnit nulu definiční obor jsou všechna reálná čísla, kromě nuly f : y = D 0 ( f ) = ( ;0) ( 0; ) y = Mocninné funkce s celým eponentem n n Z -n liché můžeme také psát jako: D y = n ( f ) = ( ;0) ( 0; ) 3 f : y = g : y = h : y = 5 y = Mocninné funkce s celým eponentem n n Z -n sudé můžeme také psát jako: D y = n ( f ) = ( ;0) ( 0; ) 4 f : y = g : y = h : y = 6 4 y = 3 y = Přehled y = n 3 y = y =

65 Mocninné funkce Změny na grafech f 4 můžeme také psát: : y = D( f ) = ( ;0) ( 0; ) každou funkční hodnotu vynásobíme 0,5 f : y = 4 f : y = 7 + můžeme také psát: f : y = + 7 D f = ;0 0; ( ) ( ) ( ) f ( ) : y = + D můžeme také psát: ( f ) = ( ; ) ( ; ) f : y = + ( ) posune se o nahoru posune se o doleva 3

66 f 5 : y = D ( f ) = ( ; ) Pro zajímavost záporné funkční hodnoty se stanou kladnými f : y = 3( ) D ( f ) = ( ; ) Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 4

67 VY_4_INOVACE_MA 6 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA 6 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

68 VY_4_INOVACE_MA 6 Mocninné funkce Pracovní list zadání, záznamový arch. Načrtněte grafy daných funkcí: y = y 4 = ; y = 4 ; y = y = + y = 3

69 VY_4_INOVACE_MA 6 y = ( + ) y = ( 4) y = ( + 3) 3

70 VY_4_INOVACE_MA 6. Pomocí grafu vhodné mocninné funkce porovnejte následující čísla: a. A = ( ) 3 B = 3 b. ( ) 7 A = B = 0,9 ( 0,8) 7 4

71 VY_4_INOVACE_MA 6 Mocninné funkce Pracovní list řešení 5

72 VY_4_INOVACE_MA 6 6

74 VY_4_INOVACE_MA 7 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ VY_4_INOVACE_MA 7 Kvadratické nerovnice AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Únor 04 Kvadratickou nerovnicí o jedné neznámé je každá nerovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na jeden z tvarů: a + b + c a 0 + b + c < 0 a + b + c 0 a + b + c > 0 Řešení kvadratické nerovnice nejprve vyřešíme příslušnou kvadratickou rovnici = 0 ( )( 3) = 0 = = 3 kořeny této rovnice jsou průsečíky příslušné funkce s osou kvadratická funkce y= -5+6 je konvení, protože koeficient u kvadratického členu je kladný zjistíme, kdy jsou funkční hodnoty záporné nebo rovny nule - když parabola protíná osu nebo je pod osou - to je pro - + ;3

75 Další příklady na procvičení > < > = 0 ( + )( + 5) = 0 = = 5 ( ; 5) ( ) ; < = = 0 Další možnosti ( 5) = 0 = = 5 ( ;5) ( 5 ) ; R

76 Další možnosti Další možnosti > 0 NIC Ø { 5} = 0 D = b 4ac D = = 6 0 = 4 kvadratická rovnice nemá řešení Další možnosti > 0 -příslušná kvadratická funkce nemá průsečíky s osou - protože koeficient u kvadratického členu je kladný, kvadratická funkce y= +4+5 je konvení - parabola bude celá nad osou R R 3

77 Další možnosti Další možnosti < NIC NIC Ø Ø = 0 / ( ) + 4 = 0 = 4 kvadratická rovnice nemá řešení - příslušná kvadratická funkce nemá průsečíky s osou - protože koeficient u kvadratického členu je záporný, kvadratická funkce y= je konkávní - parabola bude celá pod osou NIC Ø Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 4

78 VY_4_INOVACE_MA 8 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA 8 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

79 VY_4_INOVACE_MA 8 Inverzní funkce Pracovní list zadání, záznamový arch a) U následujících grafů funkcí určete definiční obor D ( f ), obor hodnot H ( f ) k funkci f inverzní fukci hodnot ( f ) H., načrtněte f (pokud eistuje) a napište její definiční obor D ( f ), obor b)

80 VY_4_INOVACE_MA 8 c) d) 3

81 VY_4_INOVACE_MA 8 e) f) 4

82 VY_4_INOVACE_MA 8 Inverzní funkce Pracovní list řešení a) b) funkce není prostá, neeistuje k ní inverzní funkce D H D H ( f ) = ( ; ) ( f ) = ( ; ) ( f ) = ( ; ) ( f ) = ( ; ) D H ( f ) = ( ; ) ( f ) = 0; ) c) d) D ( f ) = 0; ) D( f ) = ( ; ) H ( f ) = 0; ) H ( f ) = ( 4; ) D H ( f ) = 0; ) ( f ) = 0; ) D H ( f ) = ( 4; ) ( f ) = ( ; ) 5

83 VY_4_INOVACE_MA 8 e) f) D ( f ) = ( ; ) D( f ) = ( ;3 H ( f ) = ( 0; ) H ( f ) = 4; ) D H ( f ) = ( 0; ) ( f ) = ( ; ) D H ( f ) = 4; ) ( f ) = ( ; 3 6

85 5..04 VY_4_INOVACE_MA 9 VY_4_INOVACE_MA 9 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Logaritmy Intelektuální čísla AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Březen 03 Od námořní dopravy k logaritmům Logaritmické pravítko Tycho de Brahe (546 60) dánský astronom kreslil nejpřesnější mapy v 6. stol.

86 5..04 Logaritmické tabulky Logaritmické tabulky Stránka s logaritmickými tabulkami pocházející z díla Mirifici logarithmorum canonis constructio Johna Napiera Napierovy tabulky byly prvními logaritmickými tabulkami s nadšením přijaty námořníky a astronomy nutnost v mnoha vědních oborech nejlepší tabulky sestavil anglický matematik Michael Taylor ( ) obsahují logaritmy 0000 přirozených čísel Ještě že máme... Johannes Kepler svým dílem přispěl k rozšíření pojmu logaritmus v Německu

87 5..04 Logaritmická spirála Vzniká pohybem daného bodu konstantní úhlovou rychlostí kolem jiného bodu a zároveň se eponenciálně zvětšuje poloměr otáčení Určování síly zemětřesení Intenzita zvuku 3

88 5..04 log z n = z > 0 z Definice logaritmu l n > 0 logaritmus n z l = n o základu z log z z = Hodnoty logaritmu log z = 0 a log z z = nápověda: log z n = l a z l = n log n log n = l = 0 Dekadický logaritmus ln n = log e n = Přirozený logaritmus l 0 l = n n > 0 e l = n n > 0 e =,788 Eulerovo číslo 4

89 Tento obrázek nyní nelze zobrazit log n = n z Vlastnosti logaritmů ( a b) = log a log b log + z z e ln n = n log log z z a b a n = log z = n log a log z a z b Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Sbírka Mozkolam, ISBN: (č.9) Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 5

90 VY_4_INOVACE_MA 0 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Eponenciální funkce VY_4_INOVACE_MA 0 Graf a vlastnosti AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Březen 03 Eponenciální funkce o základu a f : y = a a > 0 a D ( f ) = ( ; ) Eponenciální funkce o základu a y = a 8 f : y = 9 4 g : y = 5 h : y = 3 a ( 0; )

91 Eponenciální funkce o základu a y = a a ( ; ) Eponenciální funkce o základu 0 y = 0 ( ) f : y = 3 3 g : y = h : y = 0 Eponenciální funkce o základu e y = e y = a a ( 0; ) D( f ) = ( ; ) a ( ; ) Je klesající na celém definičním oboru. H ( f ) = ( 0; ) f ( 0 ) = Je prostá. Je rostoucí na celém definičním oboru. e =,788 Eulerovo číslo

92 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 3

93 VY_4_INOVACE_MA Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Logaritmická funkce VY_4_INOVACE_MA Graf a vlastnosti AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Březen 03 Logaritmická funkce o základu je inverzní k eponenciální funkci o stejném základu f : y = a f : y = log a a Logaritmická funkce o základu y = log a a ( 0; ) a D ( f ) = H ( f ) = ( ; ) f 4 : y = 5 a a > 0 f : y = log 4 5

94 Logaritmická funkce o základu y = log a a ( ; ) a Logaritmická funkce o základu 0 y = log0 f : y = f : y = log y = log Dekadický logaritmus Logaritmická funkce o základu y = log e e =,788 e y = log a a ( 0; ) D( f ) = ( 0 ; ) a ( ; ) Je klesající na celém definičním oboru. H ( f ) = ( ; ) f ( ) = 0 Je prostá. Je rostoucí na celém definičním oboru. Eulerovo číslo y = ln Přirozený logaritmus

95 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 3

96 VY_4_INOVACE_MA Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

97 VY_4_INOVACE_MA Eponenciální funkce využití grafu v úlohách - Pracovní list zadání, záznamový arch. Užitím grafu vhodné eponenciální funkce rozhodněte, která z rovností platí: 0,6 3 a. < 0,6 3 b. >. Užitím grafu vhodné eponenciální funkce rozhodněte, které z čísel A, B je větší: a. A = 0,3 B = 0,3 0,6 0,8 b. 3 A = 8 3 B = 8 3,6 3,8

98 VY_4_INOVACE_MA 3. Užitím grafu vhodné eponenciální funkce rozhodněte, které z čísel m, n je větší: a. 5 8 m 5 > 8 n b. 8 5 m 8 < 5 n 4. Rozhodněte, jaký je základ a eponenciální funkce y = a, pokud platí: a. 5 3 a < a b. a > a 3

99 VY_4_INOVACE_MA Eponenciální funkce využití grafu v úlohách - Řešení. Užitím grafu vhodné eponenciální funkce rozhodněte, která z rovností platí: 3 0,6 <. Užitím grafu vhodné eponenciální funkce rozhodněte, které z čísel A, B je větší: a. A = 0,3 B = 0,3 0,6 0,8 b. 3 A = 8 3 B = 8 3,6 3,8 4

100 VY_4_INOVACE_MA 3. Užitím grafu vhodné eponenciální funkce rozhodněte, které z čísel m, n je větší: a. 5 8 m 5 > 8 n b. 8 5 m 8 < 5 n 4. Rozhodněte, jaký je základ a eponenciální funkce 5 3 a. a < a S rostoucím 5 < 3, 5 3 roste y ( a < a ). Funkce 5 4 y = a je rostoucí, > 4 3 b. a > a 5 4 S rostoucím <, klesá y ( a > a ). Funkce 4 a. y = a je klesající, ( 0;) a. y = a, pokud platí: 5

101 VY_4_INOVACE_MA Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 6

102 VY_4_INOVACE_MA 3 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA 3 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

103 VY_4_INOVACE_MA 3 Logaritmická funkce využití grafu v úlohách - Pracovní list zadání, záznamový arch. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, která z rovností platí: a. log 0, 3 < 0 b. log 0, 3 > 0. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel A, B je větší: a. A = log B = log b. A = log B = log

104 VY_4_INOVACE_MA 3 3. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel m, n je větší: a. log 5 m > log 5 n 8 8 b. log 8 m > log 8 n Rozhodněte, jaký je základ a logaritmické funkce y = log, pokud platí: a. log 3 log 5 a < a a b. log 5 4 a > log a 4 3 3

105 VY_4_INOVACE_MA 3 Logaritmická funkce využití grafu v úlohách - Řešení. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, která z rovností platí: log, 3 0 < 0. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel A, B je větší: a. A = log B = log b. A = log B = log

106 VY_4_INOVACE_MA 3 3. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel m, n je větší: a. log 5 m > log 5 n 8 8 b. log 8 m > log 8 n Rozhodněte, jaký je základ a logaritmické funkce y = log, pokud platí: a. log a 3 < log a 5 S rostoucím 3 < 5, roste y ( log a 3 < log a 5). Funkce y = log a je rostoucí, a >. 5 4 b. log a > log a S rostoucím <, klesá y ( log a > log a ). 4 3 Funkce y = log a je klesající, a ( 0;). a 5

108 5..04 VY_4_INOVACE_MA 4 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ VY_4_INOVACE_MA 4 Eponenciální rovnice AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Březen 03 Řešte v R eponenciální rovnici: 3 = 9 Řešte v R eponenciální rovnici: = Graficky: K Početně: = 3 = 3 = { } Protože eponenciální funkce je prostá! Graficky: K Početně: = ( ) = = 3 5 = 4 3 = 9 = 3 { 3}

109 5..04 Řešte v R eponenciální rovnici: 0 6 0,5,5 0 = = + { } = K Substituce: 0 6 = = + y = 0 6 = + y y ( ) ( ) 0 3 = + y y 3 = y y = = NEVYHOVUJE = = > 0 a Řešte v R eponenciální rovnici: 0 6 0,5,5 0 = + { } = K Graficky: Prameny a literatura Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN

110 5..04 VY_4_INOVACE_MA 5 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ VY_4_INOVACE_MA 5 Logaritmické a eponenciální rovnice AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Březen 03 Řešte v R logaritmickou rovnici: ( 4) = log ( 5) Protože logaritmická funkce je prostá: 4 = 5 = 7 K = 0 ( + 7 ) ( ) = 0 = = NEVYHOVUJE { 7} log 3 3 Podmínky: 4 > 0 5 > 0 ( + 4 ) ( 4) > 0 < 0 průnik ( ; 4) ( 4 ) ; ( ; 4) ( ;0) Řešte v R eponenciální rovnici: log + log 6 = 0 y Substituce: + y 6 = 0 K log = y ( y + 3 ) ( y ) = 0 y = 3 y = NEVYHOVUJE = { } Podmínky: > 0

111 5..04 Řešte v R eponenciální rovnici: 3+ 5 ( ) = 7 číslo 7 nelze napsat jako mocninu dvou celou rovnici zlogaritmujeme log 3 5 = log7 ( 3 5) log = log7 log = log log7 3 = 5 log 5 log = 7 3 log 5 log = 7 log8 = log7 5log 3 = log log 5 log7 = 3 log 5 log K = 7 log8 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware).

112 VY_4_INOVACE_MA 6 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Jednotková kružnice VY_4_INOVACE_MA 6 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Červen 03 Jednotková kružnice je kružnice o poloměru jedna. k ( S; r = ) délka jednotkové kružnice je: o = π r o = π délka kružnicového oblouku AB je: π π = (

113 stupňová míra velikost úhlu ve stupních - stupně minuty vteřiny = 60 = 3600 Příklad: Vyznačte na jednotkové kružnici úhly o dané velikosti. π π oblouková míra velikost úhlu v radiánech rad Radián je středový úhel, který na jednotkové kružnici přísluší oblouku o délce. nemusí se psát π 3 π Příklad: Doplňte tabulku. Orientovaný úhel - uspořádaná dvojice polopřímek se společným počátkem α víme, které rameno je počáteční a které koncové π 0 6 π 4 π 3 π 3 π π π

114 Základní velikost orientovaného úhlu je velikost toho z úhlů, který opíše polopřímka VA při otočení kolem vrcholu V z počátečního ramene VA do koncového ramene VB v kladném smyslu Velikost orientovaného úhlu je každé číslo α + k π, k Z, kde α je základní velikost. α + k pro základní velikost orientovaného úhlu platí: 0 α < π 0 α < 360 Nulový orientovaný úhel 0 = 0 rad má základní velikost. Příklad: Vyznačte na jednotkové kružnici úhly o dané velikosti. 4π 7 π 3π Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 997, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 3

115 5..04 VY_4_INOVACE_MA 7 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ VY_4_INOVACE_MA 7 Funkce sinus a kosinus na jednotkové kružnici AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Červen 03 - soustava souřadnic, jednotková kružnice - pravoúhlý trojúhelník ABC: A k ( S; r = ), S[ 0;0] [ 0;0], B k, C B [ b; a] a sinα = c sinα = a b cosα = c cosα = b - rozšíříme definici funkcí sinus a kosinus pro π α 0; na α R L [ ; y L L ] L[ cos ; sin ] [ α; sinα ] B cos

116 5..04 α 0 ; π π ; π sinα cosα Roste nebo klesá? 3 3 π ; π π; π roste klesá klesá roste klesá klesá roste roste π 3 α 0 π π sinα cosα Doplň hodnoty! Periodické ( + k π ) sin ( + k π ) cos sin = cos = Perioda je π α sinα cosα 0; π π 3 3 ;π π ; π π; π Kladné nebo záporné? Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 997, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). Sudá nebo lichá? sin ( ) = sin ( ) cos cos = lichá sudá

117 5..04 VY_4_INOVACE_MA 8 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Graf funkce sinus VY_4_INOVACE_MA 8 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Červen 03 Načrtněte graf funkce y = 5sin y = asin D ( f ) = R H ( f ) = ; mění obor hodnot ( f ) = a a H ; SINUSOIDA y = sin H ( f ) = 5; 5 amplituda

118 5..04 Načrtněte graf funkce y = sin H ( f ) = ; Načrtněte graf funkce y = sin H ( f ) = 0; dvoucestně usměrněný signál Načrtněte graf funkce y = sin y = sin b Načrtněte graf funkce y = sin mění periodu π b do původního grafu se vejde b změněných

119 5..04 Načrtněte graf funkce y = sin π 4 ( c) y = sin + Načrtněte graf funkce y = sin + 3 y = sin + d posouvá graf po ose y po znaménku posouvá graf ve směru osy proti znaménku fázový posun stejnosměrná složka Načrtněte graf funkce y = sin Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 997, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). stejnosměrná složka 3

120 5..04 VY_4_INOVACE_MA 9 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Graf funkce kosinus VY_4_INOVACE_MA 9 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Červen 03 y = cos y = sin D ( f ) = R H ( f ) = ; y = cos KOSINUSOIDA y = cos - posuny na grafu jsou stejné jako u funkce sinus y = sin cos = sin ( + π )

121 5..04 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 997, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware).

122 5..04 VY_4_INOVACE_MA 30 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Funkce tangens a kotangens na jednotkové kružnici VY_4_INOVACE_MA 30 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Červen 03 - soustava souřadnic, jednotková kružnice k ( S; r = ), S[ 0;0] y = tg

123 soustava souřadnic, jednotková kružnice k ( S; r = ), S[ 0;0] y = cotg α 0 ; π π ; π tgα Roste nebo klesá? 3 3 π ; π π; π roste roste roste roste cotgα klesá klesá klesá klesá π 3 α 0 π π tgα Periodické ( + k π ) tg ( + k π ) cotg tg = cotg = Perioda je π α tgα cotgα 0; π π 3 3 ;π π ; π π; π Kladné nebo záporné? cotgα Doplň hodnoty! 0 0 * * 0 * 0 *

124 5..04 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 997, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). Sudá nebo lichá? tg cotg ( ) = tg ( ) = cotg lichá lichá 3

125 5..04 VY_4_INOVACE_MA 3 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Graf funkce tangens a kotangens VY_4_INOVACE_MA 3 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Červen 03 tg = sin cos cos 0 π ( k + ) cos cotg = sin sin 0 π liché násobky k π k Z celé násobky π k Z

126 5..04 tg = sin cos cotg = cos sin y = tg π ( k + ) tg = cotg cotg = tg liché násobky π tg cotg = y = cotg k π Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 997, ISBN celé násobky π Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware).

Zobrazit více