Stvení sttik, 1.ročník kominovného stui Rovinné nosníkové soustvy Složené rovinné nosníkové soustvy Sttiká určitost neurčitost rovinnýh soustv Gererův nosník Trojklouový rám Trojklouový rám s táhlem Kter stvení mehniky Fkult stvení, VŠB - Tehniká univerzit Ostrv
Sttiky neurčité konstruke Spojitý nosník: Přímý sttiky neurčitý nosník poepřený n víe než vou poporáh, z nihž pouze jen je pevná osttní posuvné Rám: 2
Rovinné složené nosníkové soustvy Vzniknou spojením tuhýh esek (prutů) nvzájem klouy neo táhly. Spojitý nosník: Rám: 3
Jenouhé klouy vnitřní vz vojnásoná Klouy spojujíí vě tuhé esky - zrňují vzájemnému posunu konů připojenýh tuhýh prutů v ose x z. ( vě silové vzy interke). Klouy nezrňují vzájemnému ntočení konů prutů (moment 0). Počet tuhýh prutů spojenýh klouem: n p 2 tuhý prut +x Složky interkí ve vnitřní vzě, spojujíí nvzájem v tuhé pruty R x R z R z +z Vnitřní klou, spojujíí nvzájem v tuhé pruty tuhý prut v i 2 R x 4
Klouy spojujíí víe než vě tuhé esky +x tuhý prut Klou spojujíí tři tuhé esky (n p 3) ruší soustvě 4 stupně volnosti (4násoná vnitřní vz) +z Vnitřní vz, spojujíí nvzájem tři tuhé pruty tuhý prut tuhý prut Oeně: v i 2.(n p - 1) S kžým přiným prutem přiývjí soustvě vě vnitřní silové vzy (neo-li přiáme soustvě jeen stupeň volnosti moment) 5
Název vzy VNĚJŠÍ VAZBY Náso nost vzy Oznčení vzy reke VNITŘNÍ VAZBY Název vzy Náso nost vzy Oznčení vzy Kyvný prut 1 R z klou 2 Posuvná klouová popor 1 R z neo R z klou 4 Pevná klouová popor 2 R x R z neo R x R z klou 6 Posuvné vetknutí 2 M R z táhlo 1 Dokonlé vetknutí 3 R x M R z klou 2 6
Stupeň sttiké neurčitosti složené soustvy v rovině Tuhá esk v rovině 3 volnosti Soustv tuhýh esek (p) nvzájem spojenýh klouy elkem p. 3 volnosti Počet stupňů volnosti složené soustvy v rovině: n v 3.p Vzy - v e - vnější (reke v poporáh) - v i - vnitřní (vzy v kloueh, spojení prutů táhlem) Celkový počet vze elkový počet oernýh stupňů volnosti soustvě: v v e + vi Stupeň sttiké neurčitosti s v n v n v v n v < v n v > v 0 sttiky i kinemtiky určitá soustv sttiky neurčitá, kinemtiky přeurčitá soustv sttiky přeurčitá, kinemtiky neurčitá soustv s 7
Příkly stupeň sttiké neurčitosti Příkly určete stupeň sttiké neurčitosti n v 3.p v v e + v i s v n v
Záklní typy sttiky určitýh nosníkovýh soustv v rovině xz ) Spojitý nosník s vloženými klouy (tzv. Gererův nosník) Heinrih Gerer (1832-1912) význmný němeký konstruktér oelovýh mostů Vložením klouů o spojitého nosníku tk, že vznikne nosník sttiky určitý Gererův nosník. Vnitřní klouy nelze vklát liovolně. () ) Trojklouový rám neo olouk () Záklní typy kinemtiky určitýh rovinnýh klouovýh soustv 11
nv R x R z F 1 Gererův nosník - stupeň sttiké neurčitosti spočtěte počet tuhýh esek vynásote třemi R z F 1 F 2 R z e R z F 2 ve v i F 3 f sečtěte vnější reke spočtěte klouy vynásote věm R z e F 3 F 4 R z R z R x M n v 3.p v v e + v i s n v v e v i v n v v e v v i v n v 12
nv R x spočtěte počet tuhýh esek vynásote třemi R z Gererův nosník - stupeň sttiké neurčitosti F 1 R z e F 2 ve v i f sečtěte vnější reke spočtěte klouy vynásote věm v v e + v 5 + 2 2 9 n v 3. p 3 3 9 s v n v 0... s. urč. i R z F 3 R z v i n v 3.p v v e + v i s v n v v e n v 9 5 2 2 4 v 9 F 1 F 2 F 3 F 4 e M R x R R v z R z i z v v e + v 5 + 2 2 9 n v 3. p 3 3 9 s v n v 0... s. urč. i n v v e 9 5 2 2 13 4 v 9
Správné rozvržení klouů n spojitého nosníku Pltí násleujíí prvil: ) v krjním poli s klouově poepřeným neo převislým konem smí ýt nejvýše 1 klou k 1 k 2 ) v krjním poli s vetknutým konem musí ýt lespoň 1 smí ýt nejvýše 2 klouy k 1 k 2 k 3 k 1 k 2 k 3 14
Správné rozvržení klouů n spojitého nosníku ) ve vnitřním poli smí ýt nejvýše 2 klouy k 1 k 2 ) ve vojii souseníh polí musí ýt lespoň 1 klou (nesmí souseit 2 pole ez vloženýh klouů) k 1 k 2 e) ve vojii souseníh polí, z nihž jeno je krjní s vetknutým konem, musí ýt lespoň 2 klouy k 1 k 2 k 3 k 1 k 2 k 3 15
Pohylivý mehnismus výjimkové přípy N nosníku nesmí vzniknout nestilní část pohylivý mehnismus. Vzniká v ůsleku neoržení přehozíh prviel. k 1 k 2 k 1 k 2 k 3 k 1 k 3 k 2 Pohylivý mehnizmus Or. 9.3. / str. 146 16
Typiké způsoy rozvržení klouů v konstruki ) krjní pole ez klouů, vnitřní pole s 2 klouy k 1 k 2 ) krjní pole s 1 klouem, vnitřní ez klouů k 1 k 2 ) první (krjní) pole ez klouu, v osttníh políh po 1 klouu k 1 k 2 Nosníky nesouí (červená tlustá čár) nesené (černá tenká čár). 17
Typiké způsoy rozvržení klouů v konstruki Nesouí nosníky (červená tlustá čár) osttečně poepřeny vnějšími vzmi, nosná funke zhován i při ostrnění nesenýh nosníků. Nesené nosníky (černá tenká čár) poepřeny tké koni nosníků nesouíh Příp () neoporučuje, při vyřzení jeiného nesouího nosníku hrozí řetězové zhrouení elé konstruke. () () () Spojitý nosník s vloženými klouy Tři typiké způsoy rozvržení vloženýh klouů ve spojitém nosníku Or. 9.4. / str. 147 18
Postup při řešení spojitého nosníku s vloženými klouy ) Nejříve vyřešit osovou úlohu veškeré voorovné ztížení přeírá jeiná voorovná složk reke v pevné popoře. ) Rozělení spojitého nosníku n ílčí pole - nosníky nesouí nesené. (Postup montáže x postup výpočtu rekí). ) Oh směrů svislýh vnějšíh rekí v poporáh vnitřníh interkí v kloueh. e) Výpočet zčít vžy n neseném nosníku. Z momentovýh pomínek rovnováhy k poporovým oům určit reke v poporáh interke v kloueh ného pole. () f) Přejít s výpočtem o lšího pole nosníku, nesouí nosník ztížit kemi nesenýh nosníků (silou stejně velkou opčně orientovnou), opět z pomínek rovnováhy určit reke interke. () Rozkl spojitého nosníku s klouy n nosníky nesouí nesené - příčná úloh 20
Příkl 1 ověření sttiké určitosti soustvy F z q 5 kn m 1 F 8 kn M 7 kn m F x α 70 R x M k 1 e k 2 f R z 1 2 2 2 3 2 3 3 4 R z R z n v v e s v i v Dokžte, že je úloh sttiky určitá 21
Příkl - Výpočet voorovné reke R x normálové síly F z F x F os α 2,736 kn F z F sin α 7,518 kn q 5 kn m 1 F 8 kn M 7 kn m F x α 70 R x k 1 e k 2 f 1 2 2 2 3 2 3 3 4 Průěh normálovýh sil: ΣF x 0: F x + R x 0 R x F x R x 2,736 kn ( ) N [kn] 0 +2,736 (+) 22
Příkl rozkl n nesouí nesené nosníky I II III k 1 k 2 M R z R z R z.. snžíme ohnou správný směr rekí R z k 1 R z Řešíme nejprve reke nesenýh nosníků. Upltní se 3. Newtonův zákon ke reke. k 2 R z M
Příkl výpočet rekí v příčné úloze 31,25 kn R z 3 2 q 5 kn m 1 k 1 R k1 R k1 6,25 kn opčným směrem než reke n I I 6,25 kn Reke z pomínek rovnováhy oělenýh nosníků Σ M i, 0, Σ M i,k1 0, q 5 kn m 1 k 1 R z e F z 7,518 kn 5,012 kn 1 2 3 3 k 2 R k2 kontrol: F iz 0 II Σ M i, 0, Σ M i,k2 0, kontrol: F iz 0 3,756 kn ( ) III Σ M i, 0, Σ M i,k2 0, R k2 3,756 kn opčným směrem než reke n II kontrol: F iz 0 k 2 M 7 kn m f 2 2 4 M R z 22,023 knm 3,756 kn
Příkl řešení příčné úlohy q 5 kn m 1 F z 7,518 kn M 7 knm V M 0-5,625 0 k 1 e k 2 f R z 31,25 kn R z 5,012 kn 1 2 2 2 3 2 3 3 4 2 +16,25 + 15 1 22,5 8,75 +6,25 2 n 1,25 x n +3,762 + xn 1,225 m +4,771 +3,75 +7,512 3,756 14,512 7,512 22,023 2 3 + M 22,023 knm R z 3,756 kn Kontrol rekí: nutná!!!: Ověřte rovnováhu sil ve svislém směru. ΣF iz 0 Kontrol posouvjííh sil: Ověřte, že honoty posouvjííh sil v kloueh opovíjí interkím R k1 R k2. Kontrol ohy. momentů: Ověřte, že honoty ohyovýh momentů v kloueh vyšly nulové.
Příkl výpočet extrému M po trojúhelníkovým ztížením ze všeh sil zprv q n 2,042 knm 1 F z q 5 kn m 1 Q n 1,25 kn F 8 kn M 7 kn m α 70 k 1 e k 2 f R z n x n / 3 x n 1 2 2 2 R z 3 2 3 3 4 F x R z R x M M np M + R z (7+x n ) +M F z (1+x n )+ R z x n Q n (x n / 3) neo M + R z (7+x n ) +M F z (1+x n )+ R z x n q (x n3 / 6 L trojúh ) M np +4,771 knm
Příkl 1 výpočet extrému M po trojúhelníkovým ztížením - jiná možnost - uvolnění prutu v klouu k2 q 5 knm 1 q n 2,042 knm 1 Q n 1,25 kn F z 7,518 kn M k2 0 k 1 3 n x n / 3 M np V k2 (3+x n ) F z (1+x n )+ R z x n Q n (x n / 3) x n neo V k2 (3+x n ) F z (1+x n )+ R z x n q (x n3 / 6 3) M np +4,771 knm R z 1 5,012 kn e 3 k 2 V k2 N k2 Směr šipek je pole konvene pro vnitřní síly (v tomto přípě zprv). 27
Příkl 1 výpočet V M, pro x 1m q 5 knm 1 x q x q 1,66kN / m l q X Q X 2 1 xx Qx qx. xx. q. 0,833kN 2 2. l M k 1 x x / 3 N 3 x 1 V k1 Pozor V není R z!!! V xp +V k1 + Q X +V k1 + q (x 2 / 2 3) -0,417 kn M xp +M V k1 x Q x (x / 3) neo +M V k1 x q (x 3 / 6 3) M np +3,75 ( 1,25) 1,0 0,833 (1,0 / 3) M np +4,722 knm 28 22
Trojklouový rám neo olouk Sttiky neurčitý rovinně lomený neo zkřivený nosník v rovinné úloze se věm klouovými voorovně i svisle neposuvnými (pevnými) popormi vojklouový rám neo olouk. () Vložením 1 klouu vznikne sttiky určitý trojklouový rám neo olouk. Klouy nesmí ýt v jené příme! () Záklní typy kinemtiky určitýh rovinnýh klouovýh soustv 29
Stupeň sttiké neurčitosti trojklouového nosníku v rovině Počet stupňů volnosti složené soustvy v rovině: n v 3. p 3 2 6 Vzy - v e - vnější (reke v poporáh) - v i - vnitřní (vzy v kloueh, spojení prutů táhlem) Celkový počet vze: v v e + v 4 + 2 6 i Stupeň sttiké neurčitosti s v n v n v v sttiky i kinemtiky určitá soustv s 0 30
Postup při výpočtu složek rekí trojklouového rámu neo olouku L P Výpočet čtyř složek rekí: 3 pomínky rovnováhy + pomínk M M 0 Postup: 1. M i 0 2. P M 0 Pomínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reke v poporovém oě. R x, R z 3. 4. M i L M 0 0 Pomínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reke v poporovém oě. R x, R z ix Fiz Kontrol: 5. F 0 6. 0 Výpočet vee n soustvy vou rovni o vou neznámýh () () 31
Postup při výpočtu složek rekí trojklouového rámu neo olouku Výhonější poří rovni 1.vrint Postup: 1. M i 0 2. P M 0 Pomínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reke v poporovém oě. R x, R z 3. 4. Fix 0 M i 0 R x R z Kontrol: 5. L M iz 0 6. F 0 () () 32
Postup při výpočtu složek rekí trojklouového rámu neo olouku Výhonější poří rovni 2.vrint Postup: 1. 2. M i L M 0 0 Pomínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reke v poporovém oě. R x, R z Kontrol: 3. 4. 5. Fix 0 M i 0 M i iz 0 6. F 0 R x R z P M 0 () () 33
Vnitřní vzy Složky interke ve vnitřníh vzáh klouu R x, R z z pomínek rovnováhy levé neo prvé části rámu (olouku). (Vysvětleno n Gererově nosníku) () () Složky rekí interke trojklouového rámu 34
Příkl 1 - reke R x Q 1 R z 4kN e P 2kN 2 4 Q 2 8kN q 2kN/m R z 3 f 1 R x Ověřte, že zná konstruke je sttiky určitá: n v P 1. 0 : M M i 2., 0 : M i 3., 0: Q 1.5 + Q 2. 2 + R x. 1 R z.4 P.1 0 L 4. 0 : M v e v i v s R x. 4 P.3 0 Q 1.1 Q 2. 2 R x. 1 + R z.4 0 R x R z 1,5kN, 3,375kN Q 1.5 + Q 2. 2 R x. 3 R z.4 0 R x 0,5kN, R z 8,625kN Kontrol: F i, z 0: F i, x 0: U trojklouovýh rámů nutné 2 kontrolní rovnie Řešení vee n soustvu 2 rovni o 2 neznámýh.
Příkl 1 - reke Konstruke tohoto trojklouového nosníku umožňuje výhonější řešení. Důvoem je uložení klouu n nositele jené ze složek rekí (ty R z ), tuíž z kžé pomínky rovnováhy spočítáme jenu reki přímo. Není tře řešit soustvy 2 rovni o 2 neznámýh. Q 1 4kN Q 2 8kN 1. M P 0 R x R x. 4 P.3 0 R z e 0,5kN, R x 8,625kN P 2kN q 2kN/m 3 f 1 R x 2. Fi, x 0 3. Mi, 0 4. Mi, 0 R R z R x R x + P 0 Q 1.1 Q 2. 2 R x. 1 + R z.4 0 z Q 1.5 + Q 2. 2 + R x. 1 R z.4 P.1 0 1,5kN, Poří 2. 3. rovnie možno změnit 2 4 R z 3,375kN U trojklouovýh rámů nutné 2 kontrolní rovnie F i, z 0 L M 0 9
Příkl 1 - normálové síly Q 1 4kN Q 2 8kN q 2kN/m N [kn] e 0,5 0,5 R z R x 0,5kN 8,625kN P 2kN f R x 3 1 1,5kN e -8,625 f 2 4 R z 3,375kN -3,375
Příkl 1 - posouvjíí síly Q 1 4kN Q 2 8kN q 2kN/m V [kn] x n x n e 4,625 R z R x 0,5kN P 2kN 8,625kN 2 4 R z 3 f 1 R x 1,5kN 3,375kN 0,5 e -4 n -0,5-3,375 f 1,5 V n 0 V e - q.x n 0 x n 2,312 m V n 0 V e + q.x n 0 x n 1,688 m
Příkl 1 - ohyové momenty Q 1 4kN Q 2 8kN q 2kN/m kontrol momentů v trojném styčníku e: 4 e 2,5 1,5 R x R z e P 2kN 2 4 R z Uvolněný prut e (příčná úloh): x n 2,312 x n 1,688 3 f 1 R x 2-4 e x n 2,312-2,5 1,5 M 2,85 [knm] x n 1,688 n 2 f M e -Q 1.1 M e R x. 3 M e -Q 1.1 + R x. 3 ve styčníku musí ýt moment nulový je tm klou! -1,5-2,5 M e V e 4,625 M 0 n V e -3,375 M L n V e. x n + M e q.x n2 /2 M np - V e. x n + M q.x n2 /2 Momenty v polovináh úseků: M 0,5e 2,75kNm, M 0,5e -1kNm 12
Stupeň sttiké neurčitosti trojklouového rámu s táhlem Počet stupňů volnosti složené soustvy v rovině: n v 3. p 3 2 6 F 1 F 2 F 3 R x táhlo Vzy - v e - vnější (reke v poporáh) - v i - vnitřní (vzy v kloueh, spojení prutů táhlem) táhlo jenonásoná vnitřní vz Celkový počet vze: v v e + v 3 + 2 + 1 6 i R z R z Stupeň sttiké neurčitosti s v n 6 6 0 v n v v sttiky i kinemtiky určitá soustv s 0 42
Stupeň sttiké neurčitosti trojklouového rámu s táhlem F 2 F 3 F 1 R x R z R z R z n v 3. p 9 v v e + vi 4 + 5 9 s v nv 0 s. urč. 43
Kontrol sttiké určitosti nosníku s táhlem F 2 F 3 F 1 R x R x R z R z R z n v 3. p 9 v v e + vi 5 + 5 10 s v n v 1 1x sttiky neurč. 44
Trojklouový rám olouk s táhlem Postup výpočtu: Vnější vzy (reke): sttiké pomínky rovnováhy. Vnitřní vz (N t v táhle): ostrnit táhlo nhrit jej interkí v klném směru (táhlo tžené). Velikost N t z momentové pomínky: L M M P 0 () () () Vnitřní síly: (půsoí větší N t ) lší postup shoný jko u rámu(olouku) ez táhl. Do výpočtu je nutno zhrnout půsoení N t. Trojklouový rám olouk s táhlem 45
Okruhy prolémů k ústní části zkoušky Složené rovinné soustvy, výpočet stupně sttiké neurčitosti, pomínk sttiké určitosti složenýh rovinnýh soustv Gererův nosník, způsoy rozvržení vloženýh klouů Postup výpočtu rekí vnitřníh sil Gererov nosníku Trojklouový rám, postup výpočtu rekí vnitřníh sil Trojklouový rám s táhlem, postup výpočtu rekí, síly v táhle vnitřníh sil 46
Progrm q 20kN/m P 2kN e f g M0,5kNm 3 2 1 1 2 2 0,5