.2.4 Racionální číla II Předoklady: 20 Pedagogická oznámka: S říkladem 0 je třeba začít nejozději 0 minut řed koncem hodiny. Př. : Sečti. Znázorni vůj otu graficky. 2 2 = = 2 Sčítáme netejné čáti muíme je zmenšit tak, aby byly tejné a ak je můžeme ečít. 2 2 = 2 Př. 2: Dolň náledující ravidla: Pro libovolná dvě racionální číla, r latí: a) r = b) r = c) r r = d) : =. Při etavování vzorců i můžeme omoci konkrétním říkladem. Naříklad ečtením dvou konkrétních zlomků. 2 r r = = (v říkladech, které nám mají odhalit obecné vzorce 2 2 oučiny neroznáobujeme, abychom mohli ledovat ohyb jednotlivých číel a ve výledku je nadno nahradili ímeny). Pro libovolná dvě racionální číla, r latí: r r = r r = r r r = : = = r 0 r r
Př. : Vyočti bez kalkulačky. a) 2 = b) 4 = c) 7 9 4 = d) : 9 9 28 7 4 = a) 2 2 7 9 4 2 = = = 7 7 2 2 b) 4 4 9 2 = = = 9 9 4 4 c) 4 2 7 = = 9 28 4 7 d) 9 4 2 : = = 7 = 4 7 4 7 9 7 Poznámka: Ča, který je otřeba k očtení zadání c) a d) v ředchozím říkladu hodně závií na zůobu výočtu. Nejrychlejší je otuovat zůobem naznačeným v řešení ři náobení a dělení rozložit číla na oučinitele a nažit e o maximální zkrácení. 4 20 0 Potu = = = =, ři kterém nejdříve číla vynáobíme a ak zlomek 9 28 22 2 8 krátíme, je ice také možný, ale nerovnatelně omalejší a daleko větší ravděodobnotí chyby. Pedagogická oznámka: Předchozí oznámku je nutné e tudenty robrat. Vždycky e najdou tací, kteří nejdřív náobí a ak krátí. Zejména bez kalkulačky je to velmi rikantní. Př. 4: Složené zlomky Najdi vztah ro zjednodušení loženého zlomku r. r r ředtavuje odíl dvou zlomků (číel) : : r = =. r r Př. : Jak e změní hodnota zlomku, když zvětšujeme čílo? Jak hodnotu zlomku ovlivňuje zvětšování číla? Zlomek ředtavuje dělení : když zvětšujeme čílo, velikot zlomku e zvětšuje (zvětšujeme čílo, které dělíme), když zvětšujeme čílo, velikot zlomku e zmenšuje (zvětšujeme čílo, kterým dělíme), zvětšování zvětšuje velikot zlomku, zvětšování velikot zlomku zmenšuje. Př. : Vzorec ro zjednodušení loženého zlomku je možné odůvodnit, odobným zůobem, jakým jme argumentovali v ředchozím říkladu ( čílo zvětšuje 2
hodnotu zlomku (zvětšuje čílo, které dělíme) ři odtranění ho íšeme ). Odůvodni tímto zůobem otavení každého z číel,, r, v uraveném zlomku. Zíkaný vzorec můžeme nadno odůvodnit: čílo zvětšuje hodnotu zlomku (zvětšuje čílo, které dělíme) ři odtranění ho íšeme do čitatele, čílo zmenšuje hodnotu zlomku (zmenšuje čílo, které dělíme) ři odtranění ho íšeme do jmenovatele, čílo r zmenšuje hodnotu zlomku (zvětšuje čílo, kterým dělíme) ři odtranění ho íšeme do jmenovatele, čílo zvětšuje hodnotu zlomku (zmenšuje čílo, které dělíme) ři odtranění ho íšeme do čitatele, =. r r Př. 7: Odtraň ložené zlomky. 9 a) b) 7 0 c) 4 2 d) 00 000 e) 2 2 9 0 a) = = 4 b) 7 9 = = c) 4 4 = = 7 7 2 2 0 2 000 0 d) 00 = = = e) 2 2 = = = = 2 00 8 000 2 2 2 Porovnávání racionálních číel Př. 8: Zdůvodni ravidlo ro orovnání dvou zlomků: Zlomek je větší než zlomek r, rávě když > r. Využij ravidlo ro orovnání zlomků 0 a 8 2. Chceme orovnat 0 a 8 2. Na rvní ohled řešení nevidíme řevedeme na tejného jmenovatele, nebudeme 0 0 2 8 8 roznáobovat: = = 2 2 2 Záleží jen na oučinech v čitatelích, jmenovatele jou tejné. 0 2 = 20 8 = 24
0 8 0 2 < 8 <. 2 Obecně: Porovnáváme zlomky a r řevedeme na olečného jmenovatele a r orovnáváme čitatele rozšířených zlomků a r. Pedagogická oznámka: Je zajímavé ledovat, kdo i očítá oučin ve jmenovateli, který ro rozhodnutí o výledku není vůbec otřeba. Pamatovat i ředchozí ravidlo je íše nemylné. Je velká ravděodobnot, že e letete. Leší je zaamatovat i otu, který k němu vedl. Př. 9: Jakým zůobem je možné orovnávat více než dvě racionální číla? V čem jou nevýhody jednotlivých možnotí? Porovnáváme více číel vše řevedeme na deetinná číla (jedno z málo dobrých využití deetinných číel, která jou jinak v matematice íše neužitečná), výhoda: janý a řehledný výledek, nevýhoda: muíme dělit, vše na tejný jmenovatel, výhoda: ouze náobíme, nevýhoda: u většího očtu číel ložité hledání olečného dělitele, orovnávat dvojice mezi ebou (ozor na to, která orovnání jou nutná a která kvůli výledkům ředchozích orovnávání už zbytečná) výhoda: jednodušší orovnávání dvou číel než více číel najednou, nevýhoda: nutné udržení řehledu o tom, které dvojice ještě muíme orovnat. Př. 0: Uořádejte vzetuně číla: ; ; 0,4. Pokud máš dotatek čau, vyzkoušej více 2 metod z ředchozího řehledu. a) řevedení na deetinná číla = 0, 2 =0,47 latí: < 0,4 <. 2 b) řevedení na tejného jmenovatele 4 7 0,4 = =, 00 0, 2 0 = 2, 2 = 4 8 = 2 olečný jmenovatel 2 2 8 00 800 = = = 2 2 2 2 2 2 2 7 82 = = = 2 2 2 2 2 2 2 4 7 7 2 8 0,4 = = = 2 4 2 0 2 2 2 2 2 4
latí: < 0,4 <. 2 c) orovnávání dvojic mezi ebou a : 2 = 2 a 2 = <. 2 0,4 a : : 0,... = = 0,4 < Ještě muíme orovnat olední dvojici (nevíme, zda je 0,4 větší nebo menší než 2 ). 2 =0,47 0,4 < 2 Celkově: < 0,4 <. 2 Číelná oa Přímka vyznačenou nulou (očátkem) a zvolenou jednotkovou velikotí na znázorňování číel. Vzdálenot číla od očátku e rovná jeho abolutní hodnotě, kladná číla krelíme naravo, záorná nalevo. -4 - -2-0 2 4 Každé racionální čílo dokážeme zobrazit na ou. Na oe exitují body, ke kterým nemůžeme řiřadit racionální čílo(naříklad nejme u konce číelnými obory. 2 ) ještě Př. : Vyočti: a) 4 4 2 22 b) 2 : 4 2 a) 4 9 4 4 4 2 = = = = = = 4 2 2 2 b) 2 22 2 22 22 22 2 : 2 : 2 : : 4 2 = 2 = 2 == 2 = 9 2 22 = : = = 22 4 Pedagogická oznámka: Bod b) očítám na tabuli a komentuji trategii úrav.
Př. 2: Vyočti 4 2 4 2 7 0 2 : : 2 8 2 = 49 2 4 4 2 4 2 7 0 2 2 4 2 2 2 : : 2 : 2 8 2 = 49 2 4 = 4 2 2 7 0 4 2 2 8 2 2 2 2 4 4 4 4 = = = = 4 4 2 2 Pedagogická oznámka: Oba ředchozí říklady jou říravou na kaitoly..9, ve kterých e tudenti učí uravovat výrazy. Zdroje chyb jou dva (tejně jako budou ozději) šatná znalot ravidel (třeba krácení ře lu) a šatné oiování nedbalou úravou. Rychlejší žáci očítají oba, omalejší jenom rvní říklad naůl tabulí. Shrnutí: Při čítání zlomků řevádíme na olečného jmenovatele, abychom čítali tejně velké díly.