Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018
Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
Lokální extrémy Definice Funkce y = f (X ) má v bodě A D(f ) lokální minimum, jestliže existuje takové okoĺı O(A) D(f ) bodu A, že pro každý bod X O(A) platí nerovnost f (X ) f (A). Funkce y = f (X ) má v bodě A D(f ) lokální maximum, jestliže existuje takové okoĺı O(A) D(f ) bodu A, že pro každý bod X O(A) platí nerovnost f (X ) f (A). Necht funkce y = f (X ), která je definovaná na určitém okoĺı O(A) bodu A má v tomto bodě lokální extrém. Existuje-li parciální derivace f x i, potom se tato parciální derivace v bodě A rovná nule. Nutná podmínka existence lokálního extrému. Jestliže funkce f (X ), která je definovaná na určitém okoĺı O(A) bodu A má v tomto bodě parciální derivace podle všech proměnných, pak f (A) x 1 = f (A) x 2 =... f (A) x n = 0
Stacionární bod Definice Bod A D(f ) je stacionárním bodem funkce f (X ), jestliže f (A) f (A) f (A) = =... = 0 x 1 x 2 x n Věta Necht funkce f (X ) má v bodě A D(f ) lokální extrém a necht v tomto bodě existujé všechny parciální derivace funkce f. Potom bod A je stacionárním bodem funkce f. Poznámky Funkce může mít extrém v bodě, ve kterém neexistuje některá parciální derivace. Podmínka pro stacionární bod je ekvivalentní podmínce df (A) = 0 Pokud df (A) 0, funkce nemá lokální extrém v bodě A.
Funkce dvou proměnných Postačující podmínky existence lokálního extrému. Necht funkce z = f (x, y) je spojitá se svými parciálními derivacemi prvního a druhého řádu v okoĺı bodu P = (a, b) a necht Označíme Potom platí: f (P) x = 0, 2 f (P) (P) = x 2 2 f (P) x y f (P) y = 0. 2 f (P) x y 2 f (P) y 2 1 Při (P) > 0 má funkce f (x, y) v bodě P lokální extrém. 1 Pokud 2 f (P) x 2 > 0 má funkce v bodě P lokální minimum; 2 pokud 2 f (P) x 2 < 0 má funkce v bodě P lokální maximum; 2 Při (P) < 0 nemá funkce f (x, y) v bodě P lokální extrém. 3 Je-li (P) = 0 nelze dělat závěr o existenci nebo neexistenci
Příklad: nelze rozhodnout a) z = x 4 + y 4 b) z = x 3 + y 3 V obou případech mají funkce jediný bod, ve kterém jsou derivace 1. řádu rovny nule, bod P = [0, 0]. Druhé derivace jsou v tomto bodě také rovny nule a (P) = 0. a) X (O)(P) : f (X ) f (P), protože f (P) = 0 a f (X ) 0. Z definice lokálního minima plyne, že funkce f má v bodě P = [0, 0] lokální minimum rovné nule. b) Funkce z = x 3 + y 3 má v bodě P nulovou hodnotu, ale v okoĺı tohoto bodu nabývá jak kladných, tak záporných hodnot. Proto v tomto bodě nemá lokální extrém.
Příklad: z = x 3 + y 3 3xy 1 Parciální derivace 1. řádu: f x = 3x 2 3y f y = 3y 2 3x 2 Bod(y), ve kterých jsou tyto derivace nulové: 3x 2 3y 3y 2 3x y = x 2, y 2 = x 4 x 4 x = 0 x 1 = 0, x 2 = 1 a hledané body jsou P 1 = [0, 0], P 2 = [1, 1] 3 Určíme druhé derivace: 4 (P 1 ) = 2 z x 2 = 6x, 0 3 3 0 2 z x y = 3, = 9 (P 2) = 2 z y 2 = 6y 6 3 3 6 = 27 5 Závěr. V bodě P 1 je (P 1 ) < 0, proto funkce z nemá lokální extrém v bodě P 1. V bodě P 2 je (P 2 ) > 0, proto funkce z má v tomto bodě lokální extrém; typ extrému: 2 z(p 2 ) > 0, x 2 tedy v tomto bodě je lokální minimum f (P 2 ) = 1.
Příklady Určete lokální extrémy: 1 f (x, y) = x 3 x 2 + 1 2 y 2 xy 6x 2 f (x, y) = 2x 3 + xy 2 + 5x 2 + y 2 3 f (x, y) = 2y y 2 xe x 4 f (x, y) = x 2 + xy + y 2 6 ln x 5 f (x, y) = ln(1 x 2 y 2 ) 6 f (x, y) = e x 2 (x + y 2 )
Vázané extrémy Extrémy funkce vzhledem k předem zadaným podmínkám. Definice Řekneme, že funkce f (x 1,..., x n ) má v bodě A D(f ) lokální extrém, vázaný m podmínkami (m < n): g 1 (x 1,..., x n ) = 0,... g m (x 1,..., x n ) = 0, jestliže pro všechny body X O(A) D(f ), které vyhovují uvedeným podmínkám, platí jedno z: f (X ) f (A), má funkce f v bodě A vázané lokální minimum f (X ) f (A), má funkce f v bodě A vázané lokální maximum Geometrický význam pro funkci 2 proměnných. Podmínka g(x, y) = 0 určuje plochu v prostoru. Hledaný extrém funkce f (x, y) musí ležet v průsečíku z = f (x, y) a g(x, y) = 0. Vázané extrémy funkce f (x, y) jsou tedy lokálními extrémy křivky k = f (x, y) g(x, y)
Příklad Jestliže lze z rovnice g(x, y) = 0 jednoznačně vyjádřit y = ϕ(x) resp. x = ψ(y), pak lokální extrémy funkce z = f (x, y) vázané podmínkou g(x, y) = 0 můžeme určit jako lokální extrémy funkce jedné proměnné z = f (x, ϕ(x)) resp. z = f (ψ(y), y). Určíme lokální extrémy f (x, y) = xy x + y 1, vzhledem k podmínce x + y = 1. 1 Definiční obor D(f ) = R 2. 2 Z podmínky g(x, y) = 0, tj. x + y 1 = 0 můžeme vyjádřit například y = 1 x. 3 Dosadíme y = 1 x do funkce z = f (x, y) = xy x + y 1 a dostaneme funkci jedné proměnné x: h(x) = f (x, 1 x) = x(1 x) x + (1 x) 1 = x 2 x 4 Hledáme extrémy funkce jedné proměnné: h = 2x 1, h (x) = 0 pro x = 1 2 h(x) = x 2 x má v bodě x = 1 2 lokální maximum (proč?). 5 Dopočítáme y = 1 x = 3 2. 6 Funkce z = f (x, y) má v bodě A = [ 1 2, 3 2 ] vázané lokální maximum z = f ( 1 2, 3 2 ) = 1 4
Příklad Určíme lokální extrémy 1 f (x, y) = 2(x 2 + y 2 ), vzhledem k podmínce x + y = 1. 2 f (x, y) = x 3 + y 4 vzhledem k podmínce x 2 + y 2 = 1. Geometricky se jedná o nalezení extrémů z-ové souřadnice na průsečné křivce roviny z = x 3 + y s rotační válcovou plochou 4 x 2 + y 2 = 1.
Lagrangeova metoda Věta (Lagrangeova metoda) Mějme funkci f (x 1,..., x n ) a m, (m < n) podmínek g i (x 1,..., x n ) = 0. Jestliže má funkce Φ (Lagrangeova funkce) m Φ = f (x 1,..., x n, λ 1,..., λ m ) = f (x 1,..., x n )+ λ j g j (x 1,..., x n ), kde λ 1,..., λ m R jsou tzv. Lagrangeovy multiplikátory ve svém stacionárním bodě lokální extrém, má i funkce f v tomto bodě lokální extrém vázaný podmínkami g j (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Stacionární body funkce Φ určíme jako řešení soustavy rovnic j=1 Φ x 1 = 0 Φ x 2 = 0. Φ x n = 0 g 1 (x 1,..., x n ) = 0. g m (x 1,..., x n ) = 0
Příklad Najdeme extrámy funkce z = x + y vázané podmínkou 1 g(x, y) : x 2 + 1 y 2 = 1. ( 1 1 Sestavíme Lagrangeovu funkci Φ = x + y + λ x 2 + 1 ) y 2 1. 2 Parciální derivace funkce Φ Φ x = 1 2λ x 3, Φ y = 1 2λ y 3 3 Soustava rovnic: 1 2λ x 3 = 0, 1 2λ y 3 = 0, 1 x 2 + 1 y 2 1 = 0 tj. pro x 0, y 0: x 3 = 2λ, y 3 = 2λ, x 2 + y 2 = x 2 y 2, x = 3 2λ, y = 3 3 2λ, 32λ 2 = 3 16λ 4 tj. λ 2 (λ 2 2) = 0. 4 řešení soustavy: λ 1 = 2, x 1 = y 1 = 2, λ 2 = 2, x = y = 2, λ 3 = 0 (x 0, y 0) 5 Dále určíme druhé derivace funkce Φ a z nich určíme existenci a typ extrému v bodech [ 2, 2] a [ 2, 2]
Příklad Najdeme extrámy funkce z = x 2 + 2y 2 vázané podmínkou g(x, y) = x 2 2x + 2y 2 + 4y = 0.
Globální extrémy Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice Funkce y = f (X ) má na uzavřené podmnožině M definičního oboru M D(f ) globální (absolutní) minimum bodě A M, jestliže že pro každý bod X M platí nerovnost f (X ) f (A). Funkce y = f (X ) má na uzavřeném podmnožině M definičního oboru M D(f ) globální (absolutní) maximum bodě A M, jestliže že pro každý bod X M platí nerovnost f (X ) f (A). Poznámka Na rozdíl od lokálních extrému, které se hledají na okoĺıch bodů, hledáme globální extrémy na celé množině D(f ).
Určování globálních extrémů Uvažujme spojitou a alespoň dvakrát spojitě diferencovatelnou funkci (tj. existují spojité parciální derivace alespoň až do druhého řádu) z = f (x, y), definovanou na uzavřené množině M D(f ). Necht hranice této množiny je křivka o rovnici g(x, y) = 0. Globální extrémy funkce f na množině M budeme určovat takto: 1 Určíme lokální extrémy funkce f na množině M, ze které vyloučíme hranici. 2 Určíme lokální extrémy této funkce vázané podmínkou g(x, y) = 0. 3 Porovnáme funkční hodnoty všech extrémů. Extrém s největší funkční hodnotou bude globálním maximem, extrém s nejmenší funkční hodnotou bude globálním minimem. Je-li hranice tvořena konečným počtem křivek, vyšetřujeme vázané extrémy na jednotlivých křivkách. V tomto případě ovšem musíme uvažovat i vrcholy hraničních křivek při konečném porovnávání funkčních hodnot.
Příklady 1 Najdeme globální extrémy funkce z = f (x, y), na množině f (x, y) = x 2 2y 2 + 4xy 6x 1, M = {[x, y] R 2 x 0 y 0 y x + 3} 2 f (x, y) = x + ln x y 2 1 M = {[x, y] E 2 : y = x + 1, 4 x 1} 3 f (x, y) = x 2 + xy 3x y M = {[x, y] E 2 : x + y 3, x 0, y 0} 4 f (x, y) = x 2 2x + y 2 M = {[x, y] E 2 : x 2 + y 2 9, y 0}
Gradient, derivace ve směru Gradient funkce y = f (x 1,..., x n ) ( f grad f =, f,..., f ) x 1 x 2 x n Gradient funkce v bodě určuje směr největšího růstu (největší spád) funkce v tomto bodě. Pro diferencovatelnou funkci je derivace funkce (skalárního pole) f v bodě A ve směru s f (A) f (A) f (A) df (A) grad f (A) s x = = 1 s 1 + x 2 s 2 + + x n s n d s s s 2 1 + s2 2 +... s2 n Derivace skalárního pole f (x, y, z) v bodě A ve směru s určuje přírůstek skalárního pole f (x, y, z) v bodě A ve směru vektoru s neboli rychlost růstu skalárního pole f (x, y, z) v bodě A ve směru vektoru s. Vlastnosti gradientu Gradient skalárního pole f (x, y, z) je v každém bodě kolmý k hladině tímto bodem procházející. Ve směru gradientu roste skalární pole f (x, y, z) nejrychleji, ve směru opačném nejrychleji klesá. Maximální rychlost růstu skalárního pole f (x, y, z) má velikost v = grad f.
Příklady 1 Určete úhel mezi gradienty daných funkcí v bodě A f (x, y, z) = xy + yz, g(x, y, z) = sin(xz) + x + y zy 1, A = [1, 1, 0] 2 Určete, ve kterých bodech z D(f ) = E 3 je gradient funkce f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 = 2xyz roven nulovému vektoru.
Příklad Vypočítejte derivaci funkce f (x, y, z) = 3x 2 4y 3 + 2z 4 v bodě A = [1, 2, 1] ve směru s = (3, 4, 5). 1 parciální derivace f x = 6x, f y = 12y 2, f z = 8z3 2 parciální derivace v bodě A f (A) f (A) f (A) = 6, = 48, x y z = 8 3 grafient grad f (A) = (6, 48, 8) 4 df (A) d s = (6, 48, 8) (3, 4, 5) 9 + 16 + 25 = 134 50 = 134 5 2