Matematické modelování elmg. polí 1. kap.: Elektrostatika

Matematické modelování elmg. polí 1. kap.: Elektrostatika Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/ Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni

Matematické modelování elmg. polí Elektrostatika Osnova Elektrostatika Modelová úloha Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků

Elektrostatika popisuje časově neměnná eletrická (silová) pole nabitých těles. Coulombův zákon vyjadřuje síly mezi náboji. PSfrag replacements PSfrag replacements q 2 q 1 F 1 F 2 F 1 q 1 q 2 F 2 F 1 = q 1 q 2 4πε 0 x 2 x 1 2 e 12 = F 2, q 1, q 2 R... elektrické náboje (v Coulombech), x 1, x 2 R 3... polohy nábojů, e 12 := (x 2 x 1 )/ x 2 x 1, ε 0 8.854 10 12... permitivita vakua

Intenzita elektrického pole Elektrostatika je síla elektrického pole na jednotkový náboj. pole kladného náboje pole dvou nesouhlasných nábojů 1.2 1.2 1 1 0.8 0.8 0.6 0.4 + 0.6 0.4 + 0.2 0.2 0 0 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0.2 0 0.5 1 1.5 2 Platí princip superpozice, např.: E(x) = 1 4πε 0 Ω ρ(y)(x y) x y 3 dv (y), kde ρ(y) je objemová hustota náboje v Ω R 3, tj. supp(ρ) Ω.

Gaussův zákon (ve vakuu) Elektrostatika Tok elektrického pole z povrchu objemového elementu je určen náboji v tomto objemu. Gaussův zákon je ekvivalentní s Coulombovým zákonem. E(x) n(x) ds(x) = 1 ρ(x) dv (x) pro Ω R 3, ε 0 Ω kde n R 3 je vnější jednotková normála k Ω. Gaussova věta: Ω E(x) n(x) ds(x) = Ω div(e(x)) dv (x) dává Ω div(e(x)) = ρ(x) ε 0 pro x R 3.

Příklad 1: Pole dlouhé nabité tyče E(x) n(x) ds(x) = ρ(x) ε 0 dv (x) Ω Ω E(r)2πrl = ρsl E(r) = ρs 2πrε 0 ε 0 Příklad 2: Pole nabité desky E + (x) n(x) ds(x) = Ω Σ 2E + Σ = σ Σ ε 0 E + = σ 2ε 0 σ(x) ε 0 Elektrostatika ds(x) E E ρ σ E E E E E r E E l E E E E PSfrag replacements Ω Ω σ E E S Příklad 3: Pole deskového kondenzátoru E E PSfrag Ω, Σ replacements E E E =2E + = σ ε 0

Elektrostatika Příklad 4: Pole dvou vnořených deskových kondenzátorů s opačnou orientací E = E E p = σ σ p ε 0 σ E E E E σ p σ p σ E E E E PSfrag replacements E E E E Příklad modeluje chování polarizovaných nábojů (vnitřní kondenzátor) v dielektriku, které je vloženo do elektrostatického pole (vnější kondenzátor).

Gaussův zákon v dielektriku Elektrostatika V dielektrických materiálech se po vložení do elektrostatického pole vytvoří vrstvy polarizovaných nábojů orientovaných v souladu s vnějším polem. Ty se chovají jako vnořené kondenzátory, viz příklad 4, tedy zeslabují vnější pole. Označme ρ pol (x) = div( P(x)) hustotu polarizovaného náboje v dielektriku, kde P je elektrostatická polarizace. div(ε r E(x)) := div div(e(x)) = ρ(x) + ρ pol(x) ( ε 0 E(x) + P(x) ) = ρ(x), ε 0 ε 0 kde ε r 1 je relativní permitivita. Označme D(x) := ε 0 ε r (x)e(x) el. indukci: div(d(x)) = ρ(x) pro x R 3.

Elektrický potenciál (napětí) Elektrostatické pole je potenciální: Elektrostatika E(x) = u(x), kde u je elektrický potenciál (napětí). Tzn. práce, kterou vykoná elektrostatické pole působící na jednotkový náboj, nezávisí na dráze: b W a b = E(x) dl(x) = u(x) dl(x) = u(b) u(a) a PSfrag replacements Stokesova věta: S E(x) dl(x) = S c a b = W a c + W c b a tedy: k a b pro jakoukoliv uzavřenou křivku k. E(x) dl(x) = 0 rot(e(x)) n(x) ds(x) dává rot(e(x)) = 0 pro x R 3.

Podmínky na rozhraní Elektrostatika PSfrag replacements Γ, σ Γ D 1 Ω ε 1 ε ε 1 2 ε k 2 n 1 n 1 E 1 D 2 E 2 Ω D(x) n(x) ds(x) = Ω ρ(x) dv (x) (D 1(x) D 2 (x)) n 1 (x) = σ(x) pro x Γ. k E(x) dl(x) = 0 (E 1(x) E 2 (x)) n 1 (x) = 0 pro x Γ.

3d geometrie, redukce do 2d Modelová úloha x 2 x 2 Ω Ω + PSfrag replacements Ω r Ω r x x 1 1 Ω Ω + x 3 Ω +... kladný potenciál U, Ω... záporný potenciál U, Ω r... dielektrikum ε r

Modelová úloha Matematický model Hledáme u 0 : Ω 0 R a u r : Ω r R tak, že u r (x) = 0 x Ω r, u 0 (x) = 0 x Ω 0 := R d \ Ω r Ω + Ω, u 0 (x)/ n(x) ε r u r (x)/ n(x) = 0 x Ω r, u 0 (x) u r (x) = 0 x Ω r, u 0 (x) = U x Ω +, u 0 (x) = U x Ω, u 0 (x) 0 x, kde d := 3, resp. d := 2, viz předchozí obrázek vlevo, resp. vpravo.

Ořezání výpočetní oblasti Variační formulace Uvažujme Ω R d pokrývající Ω r, Ω + i Ω takovou, že Ω Ω + = Ω Ω =, a necht u(x) = 0 pro x Ω \ ( Ω + Ω ). Neuvažujeme tedy nadále neomezenou oblast. Dopuštíme se tím chyby v modelování! Zjednodušme zápis geometrie, konstanty ε r a řešení takto: { { ε 0 ε r, x Ω r, u r (x), x Ω r, ε(x) := u(x) = ε 0, x R d \ Ω r, u 0 (x), x Ω 0 := Ω \ Ω r Ω + Ω. Greenova věta Pro spoj. dif. funkce q, v : ω R a pěkné ω R d s vnější jedn. normálou n(x) platí: q(x) v(x) dx = q(x) v(x) dx + q(x) v(x) n i (x) ds(x). x i x i ω ω ω

Odvození variační formulace Variační formulace Vezměme diferencovatelnou funkci v : Ω R, v(x) = 0 pro x Ω. Z první rovnice Ω r ε 0 ε r u r (x) v(x) dx = 0 a aplikací Greenovy věty dostáváme Ω r ε 0 ε r u r (x) v(x) dx u r (x) ε 0 ε r Ω r n(x) v(x) ds(x) = 0. Podobně přenásobíme v a ε 0 druhou rovnici, zintegrujeme ji a užijeme Greenovu větu u 0 (x) ε 0 u 0 (x) v(x) dx ε 0 v(x) ds(x) = 0. Ω 0 Ω 0 n(x)

Variační formulace Odvození variační formulace (pokrač.) Sečteme předchozí rovnice s vědomím, že normály k Ω r a k Ω 0 na Ω r Ω 0 jsou opačné u 0 (x) ε(x) u(x) v(x) dx ε 0 v(x) ds(x)+ Ω Ω n(x) ( ) u0 (x) + n(x) ε u r (x) r v(x) ds(x) = 0. n(x) Ω r ε 0 Použijeme v = 0 na Ω a definice ε(x) a u(x) a dostáváme variační rovnici ε(x) u(x) v(x) dx = 0. Ω Zbývá určit množinu, v níž budeme hledat řešení u a množinu testovacích funkcí v.

Variační formulace Sobolevův prostor Má-li mít variační rovnice smysl, pak integrály Ω w(x) 2 dx musí mít smysl a být konečné, platí rovnost v(x) = 0 pro x Ω a u(x) vyhovuje předepsaným okrajovým podmínkám pro x Ω a x Ω +. Z teorie variačních metod prvnímu požadavku vyhovuje Sobolevův prostor V := H 1 (Ω) := {v(x) L 2 (Ω) : v(x) [L 2 (Ω)] d }, kde funkce z L 2 (Ω) splňují Ω v2 < a je zobecněný gradient. Pro námi uvažovanou Ω lze V definovat také následujícím zúplněním H 1 (Ω) := C ( Ω ). 1, v 1 := v(x) 2 + v(x) 2 dx, tedy H 1 (Ω) obsahuje funkce z C (Ω), ale i všechny jejich cauchyovské posloupnosti. Ω

Prostor testovacích funkcí Variační formulace V prostoru H 1 (Ω) již nemá smysl vyžadovat splnění v(x) = 0 bodově na Ω. Testovací funkce v budeme vybírat ze Sobolevova prostoru V 0 := H 1 0(Ω) := C 0 (Ω). 1, kde v C 0 (Ω), právě když v C (Ω) a supp v := {x Ω : v(x) 0} Ω. Množina řešení Řešení u hledáme v množině V U := C U (Ω). 1, kde C U (Ω) := {v C (Ω) : supp v Ω Ω + Ω, v(x) = U na Ω + a v(x) = U na Ω }.

Variační formulace Variační formulace Hledáme u V U tak, že Ω ε(x) u(x) v(x) dx = 0 v V 0. Pro tuto úlohu lze dokázat existenci jednoznačného řešení a jeho spojitou závislost na změnách geometrie Ω i materiálové funkce ε. Energetická formulace K variační formulaci lze dojít i z principu minima elektrostatické energie ϕ(v) := 1 ε(x) v(x) 2 dx. 2 Ω Minimum ϕ nastane ve stacionárním bodě u V U, tj. ϕ ϕ(u + tv) ϕ(u) (u, v) := lim = ε(x) u(x) v(x) dx = 0 v V 0. t 0 t Ω

Variační formulace Nehomogenní Dirichletova okr. podmínka: metoda partikulárního řešení Je nepraktické, že V U V 0. Řešení rozložíme u := u H + u P, kde u H V 0 a u P V U. Pak řešíme úlohu: najdi u H V 0 tak, že ε(x) u H (x) v(x) dx = ε(x) u P (x) v(x) dx v V 0. Ω u P závisí na geometrii, naštěstí se po diskretizaci ukáže, že u P nepotřebujeme. Ω 1 0.5 up 0 0.5 PSfrag replacements 1 5 5 0 x 2 5 5 0 x 1

Variační formulace Nehomogenní Dirichletova okr. podmínka: metoda penalizace V inženýrské komunitě je oblíben tento přístup: hledáme u ρ V tak, že v V ε(x) u ρ (x) v(x) dx + ρ u ρ (x) v(x) dl(x) + ρ u ρ (x) v(x) dl(x)+ Ω Ω + Ω + ρ u ρ (x) v(x) dl(x) = ρ U v(x) dl(x) ρ U v(x) dl(x), Γ Ω + Ω kde Γ := Ω \ Ω + Ω, ρ 0 je penalizační parametr. Platí, že u ρ u 1 0 pro ρ.

Variační formulace Nehomogenní Dirichletova okr. podmínka: smíšená formulace Matematicky přímočarý přístup je hledání vázaného extrému ϕ vzhledem k omezením u(x) = U na Ω +, u(x) = U na Ω a u(x) = 0 na Γ. Vázaný extrém nastane ve stacionárním bodě lagrangeovského funkcionálu L(u; λ +, λ ) := ϕ(u) + λ + (x)(u(x) U) dl(x)+ Ω + + λ (x)(u(x) + U) dl(x) + λ(x)u(x) dl(x) Ω Γ

Variační formulace Nehomogenní Dirichletova okr. podmínka: smíšená formulace Řešíme úlohu: hledáme (u; λ +, λ, λ) V L 2 ( Ω + ) L 2 ( Ω ) L 2 (Γ) tak, že ε u v dx + λ + v dl(x) + λ v dl(x) + λ v dl(x) = 0 v V, Ω Ω + Ω Γ u q + dl(x) = U q + dl(x) q + L 2 ( Ω + ), Ω + Ω + u q dl(x) = U q dl(x) q L 2 ( Ω ), Ω Ω u q dl(x) = 0 q L 2 (Γ). Γ Řešení u je jednoznačné a spojitě závisí na datech, tj. Ω, Ω +, Ω, ε a U. Lagrangeovské multiplikátory λ +, λ a λ jsou nejednoznačné.

Metoda konečných prvků Galerkinova metoda = projekce na podprostor Metoda partikulárního řešení i penalizace vedou na následující abstraktní úlohu. Mějme Hilbertův prostor V, jeho duál V, spojitý lineární operátor A L(V, V ), který je symetrický a eliptický, spojitý lin. funkcionál b V, hledáme u V : A(u) = b, t.j. v V : A(u), v = b, v. Dle Rieszovy věty je úloha jednoznačně řešitelná a řešení je stabilní u V = b V. Uvažujme dále podprostor V h V a hledejme Galerkinovu aproximaci u h V h : v h V h : A(u h ), v h = b, v h. Tato úloha je také jednoznačně řešitelná a u h V b V. Odečtením rovnic zjistíme, že Galerkinova aproximace u h je A ortogonální projekcí řešení u v h V h : A(u u h ), v h = 0, t.j. u h = P A (u). Metoda konečných prvků spočívá ve specifické volbě konečně dimenzionálního podprostoru V h.

Metoda konečných prvků Galerkinova metoda = projekce na podprostor Uvažujme Galerkinovu aproximaci na konečně dimenzionálním podprostoru V h V v h V h : A(u h ), v h = b, v h. Mějme bázi generující V h = e h 1,..., e h n a hledejme souřadnice u := (u 1,..., u n ) R n, přičemž u h = n j=1 u j e h j. Dosadíme-li za vh postupně všechny bázové funkce, dostáváme díky linearitě A následující soustavu lineárních rovnic A u = b, kde (A) ij := A(e h j ), e h i a (b) i := b, e h i. Jelikož je libovolné v h V h lineární kombinací bázových funkcí, stejnou lineární kombinací řádků soustavy dostaneme původní rovnici. Galerkinova aproximace na konečně dimenzionálním podprostoru je tedy soustava lineárních rovnic.

Metoda konečných prvků Odhad chyby Galerkinovy aproximace: Céaovo lemma u u h V C Důkaz. Pro libovolné v h V h : u u h 2 V inf u vh =: C dist(u, V h ) v h V h A elip. 1 A(u u h ), u u h C A = 1 A(u u h ), u A(u u h ), u h A(u u C A }{{} h ), v h }{{} =0, viz P A A spoj. c A C A u u h V u v h V =0, viz P A

Diskretizace oblasti Metoda konečných prvků Necht d := 2. Diskretizujme Ω do m trojúhelníků tak, že sousedé mají společnou hranu nebo bod, hrany zachytí hranice podoblastí a nejostřejší úhel je zdola omezený Ω = m k=1t k, T i T j = pro i j, 5 4 3 2 x2 1 0 1 2 3 4 PSfrag replacements 5 x 1 6 4 2 0 2 4 6

MKP báze Metoda konečných prvků Nad každým uzlem diskretizace x i, i = 1, 2,..., n definujeme konečně prvkovou bázovou funkcí e h i (x) : Ω R tak, že i k : e h i (x) T k = a k i + b k i x 1 + c k i x 2 a e h i (x j ) = δ ij := { 1, i = j, 0, i j, kde a k i, bk i, ck i R. Takto získáváme aproximaci V h := e h 1(x),..., e h n(x) prostoru V. MKP aproximace penalizované formulace MKP aproximace penalizované formulace je následující: hledáme u h ρ(x) = n A ρ u ρ = b ρ, kde (A ρ ) ij := a ρ (e h j, e h i ), (b ρ ) i := b ρ (e h i ), j=1 u j e h j (x): kde a ρ (u ρ, v), resp. b ρ (v), je bilineární, resp. lineární, forma na levé, resp. pravé, straně penalizované variační rovnice.

Metoda konečných prvků MKP aproximace metody partikulárního řešení Mějme partikulární řešení u P V U a hledejme homogenní řešení u h H V 0 h a(u h H, v h ) := ε u h H v h = ε u P v h v h V0 h, Ω kde V0 h V h jsou konečně prvkové funkce nabývající nuly na Ω. Uspořádejme uzly diskretizace tak, že V0 h := e h 1,..., e h p e h 1,..., e h p,..., e h n =: V h, a necht u P V h. Hledáme u H R p : A 0 u H = A u P, u := (u H, 0) + u P R n, kde A 0 R p p a A R p n jsou diskretizace bilineární formy a(.,.) na prostorech V0 h V0 h, resp. V0 h V h vzhledem k zmíněným uzlovým bázím. Konstrukce u P závisí na geometrii Ω. Ve skutečnosti nás zajímá u, které závisí pouze na hraniční části u P,Γ := ((u P ) p+1,..., (u P ) n ) R n p, kde (u P,Γ ) i {0, U, U}. Hledáme ũ H R p : A 0 ũ H = A 0,Γ u P,Γ, u := (ũ H, u P,Γ ) R n, kde A 0,Γ R p (n p) je diskretizace a(.,.) na e h 1,..., e h p e h p+1,..., e h n. Ω

Metoda konečných prvků MKP aproximace smíšené formulace Necht diskretizace pokrývá hranice úsečkami S k takto: m + k=1 Sk + = Ω +, m k=1 Sk = Ω a m k=1 Sk = Γ, a necht Q h + := f+, 1..., f m + + L 2 ( Ω + ), Q h := f, 1..., f m L 2 ( Ω ) a Q h := f 1,..., f m L 2 (Γ), kde f i +(x) S j + = δ ij pro i, j = 1,..., m +, f i (x) S j = δ ij pro i, j = 1,..., m a f i (x) S j = δ ij pro i, j = 1,..., m. MKP aproximace smíšené formulace vede na sedlo bodovou soustavu lineárních rovnic A B T + B T B T u 0 B + 0 0 0 B 0 0 0 λ + λ = c + c, B 0 0 0 λ 0 kde u := (u 1,..., u n ), u h (x) := n j=1 u j e h j (x), (A) ij := Ω ε eh j e h i, (B + ) ij := S+ i eh j, (B ) ij := S i eh j, (B) ij := S i e h j, (c + ) i := U S+ i a (c ) i := U S. i

Sestavení MKP matic a vektorů Metoda konečných prvků Iterujeme přes trojúhelníky a sčítáme lokální matice a vektory pravých stran, tj. např. m m + m + A = G k (A k ), B + = G+(B k k +), c + = H+(c k k +), k=1 k=1 kde A k R 3 3, B k + R 1 2, c k + R, G k : R 3 3 R n n, G k + : R 1 2 R m + n, zobrazují lokální matice na globální, H k + : R R m + zobrazuje lokální vektory na globální. Na každém trojúhelníku (prvku) T k zavedeme afinní substituci x := R k ( x) := R k x + x k 1, kde R k := ( x k 2 x k 1, x k 3 x k 1 ), zobrazující referenční trojúhelník T s vrcholy (0, 0), (1, 0) a (0, 1) na T k s x k 1, x k 2 a x k 3. Zaved me ref. bázi ê 1 ( x) := 1 x 1 x 2, ê 2 ( x) := x 1, ê 3 ( x) := x 2, přičemž ê i ( x) = e k i(r k ( x)) pro i = 1, 2, 3 a x T. Pak např. A k := ε ( ) k B k T B k det(r k ), ε k := ε(x) 2 T k, B k := ( R k) ( ) T 1 1 0. 1 0 1 k=1

Metoda konečných prvků Transformace referenčních bázových funkcí PSfrag replacements v R k v 1 ê 1 ( x) e k 1(x) 0 T 1 x 2 x 2 1 T k x 1 x 1

Metoda konečných prvků Numerické řešení u a E := u smíšené formulace Volba ε r := 2, U := 1, Ω := ( 7, 7) ( 5, 5), Ω := ( 5, 3) ( 3, 3), Ω + := (3, 5) ( 3, 3), Ω r := ( 1, 1) 2, s diskretizačním parametrem h := 0.25 vede na n := 2015, m + := m := 64, m := 192. 6 0.8 4 0.6 0.4 2 0.2 x2 0 0 0.2 2 0.4 4 6 x 1 6 4 2 0 2 4 6 0.6 PSfrag replacements 0.8

Hraniční integrální formulace Metoda potenciálů Uvažujme d := 2 a přeškálujme geometrii tak, že diam (Ω r Ω Ω + ) < 1. Hledáme řešení pomocí poteciálů jednoduché vrstvy u r (x) := w r (y) g(x, y) dl(y), x Ω r, Γ r u 0 (x) := w 0 (y) g(x, y) dl(y) + w + (y) g(x, y) dl(y) + w (y) g(x, y) dl(y), x Ω 0, Γ r Γ + Γ kde Ω 0 := R d \ Ω r Ω + Ω, Γ r := Ω r, Γ + := Ω +, Γ := Ω, g(x, y) := 1 2π ln x y je fundamentální řešení Laplaceovy rovnice a kde w r, w 0 : Γ r R, w + : Γ + R a w : Γ R jsou neznámé hustoty potenciálů. Řešení splňuje u r (x) = 0, x Ω r, u 0 (x) = 0, x Ω 0 a u 0 (x) C, x, kde C = 0 díky symetrii úlohy. Zbývá splnit podmínky přechodu a okrajové podmínky.

Hraniční integrální formulace Vlastnosti potenciálu jednoduché vrstvy Pro po částech spojité w r je Γ r w r (y) g(x, y) dl(y) harmonická funkce v Ω r a v R 2 \Ω r. Pro x Γ r bod spojitosti w r, v jehož okolí je Γ hladká, platí, že pro Ω r x x Γ r : w r (y) g( x, y) dl(y) w r (y) g(x, y) dl(y), Γ r Γ r n r (x) x w r (y) g( x, y) dl(y) Γ 1 r 2 w g(x, y) r(x) + w r (y) Γ r n(x) dl(y). přičemž / n(x) je derivace podle vnější jednotkové normály k Ω r. Podobně platí pro spojité w 0 a Ω 0 x x Γ r : w 0 (y) g( x, y) dl(y) w 0 (y) g(x, y) dl(y), Γ r Γ r n r (x) x w 0 (y) g( x, y) dl(y) Γ 1 r 2 w g(x, y) 0(x) + w 0 (y) Γ r n(x) dl(y).

Formulace úlohy Hraniční integrální formulace Pro x Γ r Γ + Γ (až na příslušné rohy)zaved me: g(x, y) [V r w](x) := w(y) g(x, y) dl(y), [K r w](x) := w(y) Γ r Γ r n(x) dl(y), g(x, y) [V + w + ](x) := w + (y) g(x, y) dl(y), [K + w + ](x) := w + (y) Γ + Γ + n(x) dl(y), g(x, y) [V w ](x) := w (y) g(x, y) dl(y), [K w ](x) := w (y) Γ Γ n(x) dl(y). Pak podmínky přechodu a okrajové podmínky dávají hraniční integrální formulaci ε r ( 1 2 I + K r) w r +( 1 2 I + K r) w 0 + K + w + + K w = 0, x Γ r, V r w r + V r w 0 + V + w + + V w = 0, x Γ r, V r w 0 + V + w + + V w = U, x Γ +, V r w 0 + V + w + + V w = U, x Γ, kde I značí identické zobrazení.

Diskretizace hranic Metoda hraničních prvků Diskretizujme Γ r, Γ + a Γ do disjunktních úseček m r k=1 Sk r = Γ r, m + k=1 Sk + = Γ +, m k=1 Sk = Γ a uvažujme po úsečkách konstantní bázové funkce f i r, f i + a f i tak, že f i r(x) S j r = δ ij pro i, j = 1,..., m r, f i +(x) S j + = δ ij pro i, j = 1,..., m + a f i (x) S j = δ ij pro i, j = 1,..., m. Hledáme souřadnice neznámých hustot w r, w 0 R m, w + R m +, w R m w r (x) := w + (x) := m r k=1 m + k=1 w rk f i r(x), w 0 (x) := w + k f i +(x), w (x) := m r k=1 m k=1 w 0k f i r(x), w k f i (x).

Metoda hraničních prvků Kolokační metoda Rovnice splníme pouze ve středech úseček x k r Sr k, x k + S+, k x k S k ε r ( 1 2 I r + K r,r ) 1 2 I r + K r,r K r,+ K r, w r V r,r V r,r V r,+ V r, 0 V +,r V +,+ V +, w 0 w + = 0 V,r V,+ V, w 0 0 U + U kde I r R m r m r je jednotková matice a kde pro p, q {r, +, } definujeme vektory pravé strany U p := (U,..., U) R m p a prvky matic V p,q, K p,q R m p m q následovně: (V p,q ) ij := g(x i p, y) dl(y), (K p,q ) ij := x g(x i p, y) n i p dl(y), S j q kde n i r, n i + a n i jsou jednotkové normály k S i r, S i + a S i směřující ven z Ω r, Ω +, Ω. S j q,

Metoda hraničních prvků Výpočet prvků matic V p,q S j q S j q ln x i p y dl(y) = b j q a j ( q ln b j q a j q ln 2 1 ) pro Sp i = Sq, j ([ x i p ( ) a j q b j q + a j q bq] j A ij pq + ln x i p y 1 dl(y) = b j q a j q + ( [( b j q aq) j x i p aq) j ln x i p a j q ( x i p b j q pro Sp i Sq, j ) ln x i p b j q ]) kde uvažujeme parametrizaci S j q : y(t) := a j q + t ( b j q a j q), t 0, 1, kde (b j q a j q) (x i p a j q) (b j q a j q) (x i p b j q) pq := arctg a j q (b j q x i p) + b j arctg q x i p a j q (b j q x i p) + b j q x i p A ij a kde pro u, v R 2 definujeme součiny u v := u 1 v 1 + u 2 v 2 a u v := u 1 v 2 u 2 v 1.

Metoda hraničních prvků Výpočet prvků matic K p,q S j q S j q x ln x i p y n i p dl(y) = 0 pro S i p = S j q, x ln x i p y n i 1 ( p dl(y) = b j q a j n i p ( ) b j q a j q A ij pq + q +n i p (a ) j q b j x i p a j q q ln x i p b j pro Sp i Sq. j q

Numerické řešení w r, w 0, w + a w Metoda hraničních prvků Volba ε r := 2, U := 1, Ω := ( 0.05, 0.03) ( 0.03, 0.03), Ω + := (0.03, 0.05) ( 0.03, 0.03), Ω r := ( 0.01, 0.01) 2, s diskretizačním parametrem h := 0.0025 vede na m r := 32, m + := m := 64. 0.8 0.6 0.4 0.2 w 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.04 0.02 PSfrag replacements 0 x 2 0.02 0.04 x 1 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Numerické řešení u a E := u Metoda hraničních prvků Volba ε r := 2, U := 1, Ω := ( 0.05, 0.03) ( 0.03, 0.03), Ω + := (0.03, 0.05) ( 0.03, 0.03), Ω r := ( 0.01, 0.01) 2, s diskretizačním parametrem h := 0.0025 vede na m r := 32, m + := m := 64. 0.06 0.04 1 0.8 0.6 x2 0.02 0 0.4 0.2 0 0.02 0.04 0.2 0.4 0.6 PSfrag replacements 0.8 0.06 x 1 0.06 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0.06 1