( LEVEL 3 Laplaceova tranformace jako nátroj řešení lineárních diferenciálních rovnic. ) Podívejme e tentokrát na dynamiku pracovní edačky řidiče prizmatem matematiky aneb trocha teorie jitě nikomu neuškodí... Matematickým modelem edačky je diferenciální rovnice, jejíž řešení popiuje její pohyb. Připomeňme její odvození. F F y c m k y m F1 F F3 F m. g váha řidiče F 1 c. y reakce pružiny F k. y k. dy/dt reakce tlumiče F 3 m. y m. d y/dt etrvačný odpor F 3 F F 1 F m. y k. y c. y F m m 1 m m 1 hmotnot edačky m hmotnot řidiče g gravitační zrychlení c koeficient tuhoti pružiny k koeficient tlumení tlumiče Pro konkrétní hodnoty : m 1 0 kg m 0 kg m m 1 m 0 0 100 kg g 10 m/ c. 10 3 N/m F m. g 0. 10 00 N k,4. 10 3 N/m nabývá diferenciální popi tvaru : 100. y 400. y 000. y F Poloha edačky y je vztažena k utálenému tavu, odpovídajícímu deformaci pružiny vyvolané amotnou její váhou bez vnějšího zatížení. Váhu řidiče lze považovat za vnější ílu F [N] půobící na edačku. Poznamenejme, že kladnou výchylku y imulované reakce je nutné chápat tak, jak je naznačeno na obrázku, tedy proednutí měrem dolů.
Předpokládejme, že v utáleném klidovém tavu edačky ( nulové počáteční podmínky : y(0) 0, y (0) 0 ) doedne náhle řidič a vyvolá tak její pohyb. Řešení diferenciální rovnice za těchto podmínek a tímto buzením analyticky popiuje vyvolaný pohyb. Řešení : Nejprve připomeňme tatickou úvahu uvedenou již v první čáti textu. Jedná e o určení y( ) lim y(t), tj. celkové proednutí edačky v utáleném tavu, po odeznění t přechodového děje. Tuto hodnotu můžeme určit velmi nadno i jednoduchou úvahou bez použití ložité matematiky ( matematický rozbor však muí tento závěr amozřejmě potvrdit ). Z fyzikální podtaty je zřejmé, že e jedná o tabilní ytém v tom mylu, že po doednutí řidiče na edačku dojde k přechodovému ději, který e za konečný ča prakticky utálí. Po dotatečně dlouhé době t proto platí : F F( ) 00, y y ( ) 0, y y ( ) 0, y y( ) 0. Diferenciální popi tak přechází do tvaru : 100. y ( ) 400. y ( ) 000. y( ) F( ) 0 0 00 000. y( ) 00 y( ) m 10 cm Zabývejme e dále pohybem edačky po doednutí řidiče. Její pohyb je analyticky popán v čae řešením uvedené diferenciální rovnice. Řešme ji pomocí Laplaceovy tranformace. Je to velmi jednoduchý a efektivní aparát, který nám umožní převét lineární diferenciální rovnici na rovnici algebraickou, v tomto tvaru pak nalézt řešení ( jeho obraz ) a opět ho převét zpět do čaové oblati. Byť tento potup vypadá na první pohled ložitě, řešení diferenciální rovnice je tímto způobem velmi jednoduché. K formálnímu řešení vytačíme několika málo korepondencemi a vlatnotmi, viz příloha na konci tohoto textu. Obraz diferenciální rovnice nalezneme nadno : 100. y 400. y 000. y F viz příloha na konci textu F(t) 00 / F( 100.[ y(0 ) y'(0 ) ] 400.[ y(0 ) ] 000. F( Obraz diferenciální rovnice je rovnice algebraická jedinou neznámou, obrazem řešení : 1.100 y(0 ) [100 y'(0 ) 400 y(0 ) ] F( 100 400 000 100 400 000
vyjádřili jme tak obraz reakce dynamického ytému pro jakékoliv buzení a počáteční podmínky, v našem konkrétním případě však : 00 y( 0 ) y'(0 ) 0 ; F( 1 00 100 400 000 ( 4 0 ) ( 4 )( 0 ) Poznámka : Hodnotu y( ) reakce edačky po odeznění přechodového děje můžeme ověřit již v této fázi řešení z nalezeného obrazu využitím limitních korepondencí mezi obrazem a předmětem (viz příloha na konci textu). y( ) lim lim 0 0 ( 4 )( 0 ) SROVNEJ! Použitím druhé limitní korepondence určíme naopak začátek pochodu, který muí být v ouladu e zadanými počátečními podmínkami. y( 0 ) lim lim ( 4 )( 0 ) 0 y' (0) lim ( 4 )( 0 ) Ověření hody těchto limitních hodnot v této fázi řešení je vhodnou kontrolou právnoti nalezeného obrazu. Poznamenejme však, že hoda hodnot nedokazuje právnot obrazu, ale naopak rozpor by prokázal chybu. 0 Řešení popiující pohyb edačky v reálném čae zíkáme zpětnou Laplaceovou tranformací. Nejprve obraz rozložíme na oučet parciálních zlomků, které pak potupně podle lovníku korepondencí uvedených v příloze na konci textu převedeme do hledaného předmětu. ( 4 )( 0 ) A B ( 4 ) C ( 0 ) A lim lim 0 0 ( 4 )( 0 ) B 1 lim ( 4 ) lim 4 4 ( 0 ) C 1 lim ( 0 ) lim 0 0 ( 4 ) 40 5 0,05
Poznámka : Koeficienty parciálních zlomků lze určit i jiným způobem. Sečteme-li formálně uvažované parciální zlomky a rovnáme-li koeficienty u přílušných mocnin vzniklého polynomu v čitateli polynomem čitatele rozkládaného obrazu, dotaneme outavu algebraických rovnic, jejíž řešením jou hledané koeficienty (tzv.metoda neurčitých koeficientů). A B C A( 4 )( 0 ) B ( 0 ) C ( 4 ) ( 4 ) ( 0 ) ( 4 )( 0 ) (A B C) ( 4A 0B 4C) 0A ( 4 )( 0 ) ( 4 )( 0 ) A B C 4A 0B 4C 0A 0 0 A B C 5 0,05 Metoda neurčitých koeficientů e zdá být jednodušší (nad je i čatěji používaná), výpočet je však v obecném případě pracnější. Uvedený přítup limitními manipulacemi je vyoce efektivní zejména v případě reálných jednonáobných kořenů jmenovatele rozkládané funkce. Poznámka : Povšimněme i, že koeficienty A, B, C parciálních zlomků jou rezidua obrazu v jeho ingulárních bodech (pólech) a také e tak jako rezidua i počítají. Vzhledem ke tupňům polynomů čitatele (nula) a jmenovatele (tři) obrazu muí být jejich oučet roven nule. ( Součet reziduí je roven podílu koeficientů (n-1)-ní mocniny čitatele a n-té mocniny jmenovatele, kde n je nevyšší mocnina ve jmenovateli obraz muí být racionální lomená funkce ryzí. ) Tato kontrola je vhodným ověřením právnoti rozkladu. Ale pozor! V případě vícenáobných pólů nejou obecně koeficienty všech parciálních zlomků rezidua rozkládaného obrazu. V tomto případě je nutné i uvedený výpočet koeficientů parciálních zlomků poněkud modifikovat, viz např. /1/. Pokud máme obraz rozložený na oučet parciálních zlomků, jme již jen kouíček od hledaného řešení diferenciální rovnice. Z integrální podtaty Laplaceovy tranformace totiž vyplývá, že obraz oučtu dílčích funkcí e rovná oučtu jejich obrazů (a obráceně). Můžeme proto velmi jednoduše nalézt pomocí lovníku L-tranformace předměty odpovídající jednotlivým parciálním zlomkům a vyjádřit hledané řešení jejich oučtem. - 5 ( 4 ) 0,05 ( 0 ) Výledné řešení y(t) y'(t) ( - 5 e ( 0,5 e -4t -4t 0,5 e 0,05 e -0t ) η(t) -0t Rychlot pohybu edačky určíme jako derivaci ) η(t) 1 pro t 0 Symbol η (t) 0 t < 0 ( tzv.heaviideův jednotkový kok ) formálně ošetřuje platnot uvedeného vztahu jen pro t 0.
Ověřme právnot limitních hodnot řešení na začátku a na konci děje : y (0) lim y (t) lim ( - 5 e -4t 0,05 e -0t ) 0 t 0 y'(0 ) lim y'(t) y ( ) y '( ) lim y '(t) t t 0 t 0 t 0 lim y (t) t lim ( 0,5 e lim ( t -4t - 5 0,5 e e -4t -0t ) -4t -0t lim ( 0,5 e 0,5 e ) 0 SROVNEJ! t 0,05 e Ověření analytického a imulačního výledku imulací v protředí Matlab - Simulink : -0t 0 ) Soubor Model_edacky_3a.mdl viz příloha textu Simulační model edačky řidiče byl doplněn funkčním blokem (ve chématu označeno žlutě) realizujícím analytické řešení diferenciální rovnice. Praktická hoda je prokázána překrytím obou průběhů zakrelených do jednoho grafu (fialový průběh). Technická poznámka : Zobrazení různých průběhů do paralelních oken grafu zajitíme natavením parametru Number of axe v liště zobrazovače.
Situace. Dynamický ytém na mezi periodicity. Minimální hodnota tlumení k, při které e ještě neobjevují kmitavé ložky průběhu. Kořeny charakteritické rovnice jou reálné náobné. ( Modifikace matematického řešení. ) Obraz řešení diferenciální rovnice za tejných okolnotí jinými hodnotami kontrukčních parametrů pec. 1 00 m 100 m k c ( k 10 0 ) c 000 charakteritická rovnice a její kořeny 4 k 10 ± k 10 4 0 k 10 0 0 ; 1, pro dvojnáobný kořen k 10 4 4 0 0 k 4 0 10 4 17,9 10 [ N/m] 17,9 10 10 1,,94 Hodnota na mezi aperiodicity Obraz řešení je v tomto případě A B Y ( ( k 10 0 ) (,94 ) (,94 ) A lim lim 0 0 (,94 ) B lim (,94 ) lim 0,9,94,94 1 d d C lim { (,94 ) } lim lim,94 1! d,94 d,94 C (,94 ) Poznámka : V případě vícenáobných pólů by e koeficienty parciálních zlomků kleající mocninou kořenového činitele počítaly jako limita ze tejně rotoucí derivace {dtto} vynáobené faktoriálním koeficientem 1/n!, n řád derivace. Poznamenejme, že uvedené limity jou v regulárních bodech, takže e jedná jen o pouhé doazení hodnot (tejně tak, jako i v předcházejícím případě). Poznámka : V tomto případě jou rezidua pouze koeficienty A a C ( pozor! - B není reziduum ). Také i zde amozřejmě platí, že oučet reziduí je roven nule A C 0. 0,9 (,94 ) (,94 ) y(t) ( 0,9 t e -,94t e -,94t ) η(t)
Situace 3. Dynamický ytém kmitavý vlatními harmonickými ložkami pohybu. Kořeny charakteritické rovnice jou komplexní. Předpokládejme hodnoty parametrů m 100 [kg], k 400 [N/m], c. 10 3 [N/m] Y m 1 00 k c m 100 k 400 c 000 ( Charakteritická rovnice a její kořeny 4 0 0 ; 1, 4 ± ( 4 4 0 4 0 ) ± i,7 Kořeny charakteritické rovnice jou komplexní, dynamický ytém má vlatní kmity frekvencí,7 [rad/] a exponenciálním tlumením e -t. Rozklad na parciální zlomky předpokládáme díky komplexním kořenům ve tvaru A B C ( 4 0 ) 4 0 Koeficient A určíme nejlépe reziduálním výpočtem, koeficienty B a C metodou neurčitých koeficientů A lim lim 0 0 4 0 B C (B ) (C 0,4) 4 0 ( 4 0 ) ( 4 0 ) B 0 C 0,4 0 0,4 4 0 B ; C 0,4 Náleduje důležitá úprava druhé čáti rozkladu ( parciálního zlomku odpovídajícího dvojici komplexně družených kořenů ) do tvaru podle poledních dvou korepondencí uvedených ve lovníku na konci textu TRIK! y(t) ( e { e 0,4 ( ) 76 -t -t co 76 t 0, e 76 ( ) 0, ( ) 76 ( ) ( ) 76 dále už jen jednoduchý převod podle uvedeného lovníku do předmětu in 0, 76 76 t ) η(t) [ co(,7 t) 0,0 in(,7 t) ]} η(t) -t 76 ( ) 76
Podle vkuu, případně další kometická úprava y(t) [ e -t in (,7 t 1,37) ] η(t) [ e -t co (,7 t 0,) ] η(t) 0,0 ϕ ψ arctg 0,0 0,0 arctg 1,37 0, Situace 3.- jiná varianta řešení Předpokládejme tejnou ituaci, tejnou diferenciální rovnici, ukažme i však jinou variantu přechodu od obrazu k řešení v čaové oblati. Předpokládáme tejné hodnoty parametrů m 100 [kg], k 400 [N/m], c. 10 3 [N/m] Y m 1 00 k c m 100 k 400 c 000 ( ( Stejná je amozřejmě i charakteritická rovnice a její kořeny 4 0 0 ; 1, 4 0 ) 4 ± 4 4 0 ± i,7 Rozklad na parciální zlomky však předpokládáme ve tvaru komplexními koeficienty ( 4 0 ) A B C ( i,7) ( i,7) Všechny koeficienty A, B, C jou v tomto případě rezidua obrazu v jeho pólech a určíme je A lim lim 0 0 B C lim i,7 lim i,7 ( i,7) ( i,7) 4 0 lim i,7 lim i,7 L 0,05 i 0,01 ( i,7) L 0,05 i 0,01 ( i,7) Poznámka : Koeficienty B a C muejí být nutně komplexně družené, nebylo proto nutné C znovu počítat. Zde jou všechny tři koeficienty parciálních zlomků rezidua obrazu v jeho pólech, proto také platí A B C 0. Rozklad na parciální zlomky ( 4 0 ) 0,05 i 0,01 ( i,7) 0,05 i 0,01 ( i,7) pomocí lovníku (viz na konci textu) přechod do předmětu
y(t) [ { e L ( 0,05 i t [( 0,05 i { e 0,01) e -t ( i,7 )t 0,01) (co,7t ( 0,05 i 0,01) e iin,7t) ( 0,05 i ( i,7 )t 0,01) (co,7t [ co(,7 t) 0,0 in(,7 t) ]} η(t) ] η(t) iin,7t)]} η(t) SROVNEJ! Samozřejmě, že výledek je naproto tejný. Obě varianty e liší jen přítupem ke zpětné Laplaceově tranformaci. ( Všechny cety přeci vedou do Říma. :o) ) Jak je tedy ctěná libot, mně e první přítup, bez práce v komplexní oblati, zdá poněkud jednodušší a příjemnější. Čaový průběh pohybu edačky řidiče F y m c k Vypracoval : Janeček J., KŘT TU Liberec