Integrce per prtes Speciální metod, integrce per prtes (integrce po ástech), je pouºitelná p i integrování sou inu ou funkcí. Tento leták oozuje zmín nou meto ilustruje ji n d p íkld. Abychom zvládli tuto meto, je d leºité projít mnoh prktickými cvi eními, by se stl n²í druhou p irozeností. Po p e tení tohoto textu, p ípdném shlédnutí vide, bychom m li být schopni: oodit vzorec pro integrci per prtes integrovt sou in ou funkcí pouºitím metody per prtes Obsh 1. Úvod 2 2. Oození vzorce pro integrci per prtes u = u v v 2 3. Pouºití vzorce pro integrci per prtes 5 http://mthstt.econ.muni.cz/ 1 Mtemtik 1 III. kpitol
I Úvod Funkce sto vznikjí jko sou in jiných funkcí n kdy je pot eb tkový sou in zintegrovt. Np íkld m ºeme být poºádáni, bychom ur ili x cos(x). Zde je integrnd sou inem funkcí x cos(x). Existuje metod pro integrci sou inu funkcí v náslející lekci je oodíme. II Oození vzorce pro integrci per prtes Uº víme, jk derivovt sou in: pokud y = u v potom dy d(u v) = P eskupením této rovnice obdrºíme: = u + v. u = d(u v) v. A nyní zintegrujeme ob strny rovnosti: u d(u v) = v. První len n prvé strn se zjedno²uje, protoºe jsme sndno zintegrovli to, co bylo zderivováno. u = u v v. Tento vzorec je známý jko integrce per prtes. Vzorec nhrzuje jeden integrál (ten n levé strn ) z jiný (ten prvé strn ). Zám rem je, by integrál n prvé strn byl jedno²²í n výpo et, jk uvidíme v náslejících p íkldech. Hndout 2 Mtemtik 1
III Pouºití vzorce pro integrci per prtes x cos(x). e²ení. Zde se snºíme zintegrovt sou in funkcí x cos(x). Pro pouºití integrce per prtes ozn íme jednu funkci jko druhou jko u. Ze vzorce si v²imn me, ºe funkci, kterou poloºíme rovnu u, budeme derivovt, bychom nlezli. V n²em p ípd poloºíme u rovno x, kdyº tuto funkci zderivujeme, dostneme výpo et jednoho integrálu = 1, tj. konstntu. V²imn me si, ºe vzorec nhrzuje jeden integrál (ten nlevo) jiným integrálem (tím nprvo). Pe livým výb re funkce u získáme mén komplikovný integrál, neº byl ten p vodní. Zvolme u = x = cos(x). Touto volbou derivováním obdrºíme Dále z = 1. = cos(x) integrováním nlezneme v = cos(x) = sin(x). (V tuto chvíli se neznepokojujme integr ní konstntou). pouºijeme vzorec u = u v v : zde je c integr ní konstnt. x cos(x) = x sin(x) (sin(x)) 1 = x sin(x) + cos(x) + c V dl²ím p íkld uvidíme, ºe je v n kterých p ípdech nezbytné pouºít metody per prtes vícekrát. x 2 e 3x. Hndout 3 Mtemtik 1
e²ení. Musíme si zvolit, která funkce ze sou inu bude u která bude. Obvykle volíme z u tkovou funkci, která se derivcí zjedno²í. V n²em p ípd dává smysl volit tkto u = x 2 = e3x. = 2 x nd v = e 3x = 1 3 e3x. Poté pouºijeme vzorec pro integrci per prtes. x 2 e 3x = 1 1 3 e3x x 2 3 e3x 2 x = 1 2 3 x2 e 3x 3 x e3x. Výsledný integrál je stále sou in ou funkcí 2 3 x e3x. M ºeme pouºít meto znovu, tentokrát dostneme Tkºe = 2 3 u = 2 3 x = e3x. v = e 3x = 1 3 e3x. x 2 e 3x = 1 2 3 x2 e 3x 3 x e3x = 1 { 2 3 x2 e 3x 3 x 1 1 3 e3x 3 e3x 2 } 3 = 1 3 x2 e 3x 2 9 x e3x + 2 27 e3x + c zde c je integr ní konstnt. Tkºe jsme integrovli metodou per prtes krát, neº jsme získli výsledek. Pmtujme, ºe bychom mohli pouºít vzorec, musíme být schopni zintegrovt funkci, kterou ozn íme jko. Tto ást m ºe init problémy, podívejme se n dl²í p íkld. x ln x. Hndout 4 Mtemtik 1
e²ení. P ipome me si vzorec: u = u v v. Bylo by p irozené zvolit u = x derivcí tk získt = 1. Nicmén tto volb znmená zvolení = ln x my musíme být schopni tuto funkci zintegrovt. U tohoto integrálu le není známý stndrdní tvr. Proto v tomto p ípd zvolíme u = ln x = x z ehoº = 1 v = x = x2 x 2. uºitím vzorce x ln x = x2 x 2 ln x 2 2 1 x = x2 x ln x 2 2 kde c je integr ní konstnt. = x2 2 ln x x2 4 + c ln x. e²ení. M ºeme pouºít vzorec pro integrci per prtes pro nlezení uvedeného integrálu pokud si uv domíme, ºe ln x m ºeme zpst jko sou in 1 ln x. Volíme by v = = 1 u = ln x 1 = x 1 ln x = x ln x = x ln x = 1 x. x 1 x 1 = x ln x x + c Hndout 5 Mtemtik 1
kde c je integr ní konstnt. e x sin(x). e²ení. A zvolíme z u jkoukoli funkci, nemusí to nutn znment, ºe integrcí per prtes se integrál zjedno²í. Nicmén vyberme tkºe v = = sin(x) u = ex sin(x) = cos(x) = ex. e x sin x = e x ( cos(x)) cos(x) e x = cos(x) e x + e x cos(x). Nyní znovu pouºijeme meto per prtes zvolíme tkºe Tedy v = = cos(x) u = ex cos(x) = sin(x) = ex. { } e x sin(x) = cos(x) e x + e x sin(x) sin(x) e x = e x cos(x) + e x sin(x) e x sin(x). V²imn me si, ºe integrál, se kterým jsme skon ili, je stejný jko p vodní zdný integrál. Nzv me jej I, tj. I = e x sin(x). Tkºe I = e x sin(x) e x cos(x) I z toho 2I = e x sin(x) e x cos(x) Hndout 6 Mtemtik 1
Tkºe I = 1 2 [ex sin(x) e x cos(x)]. e x sin(x) = 1 2 [ex sin(x) e x cos(x)] + c kde c je integr ní konstnt. Cvi ení. 1. Vypo ítejte náslející integrály: () x sin(x) (b) x cos(4x) (c) x e x (d) x2 cos(x) (e) 2 x2 e x (f) x2 ln x (g) tn 1 (x) (h) sin 1 (x) (i) ex cos(x) (j) sin 3 (x) (Nápov d: zpi²te sin 3 (x) jko sin 2 x sin(x).) 2. Vypo ítejte hodnotu náslejících integrál : () π 0 x cos(x) (b) 1 0 x2 e x (c) 2 1 x3 ln x (d) π/4 0 x 2 sin(2x) (e) 1 0 x tn 1 (x) Odpov di. 1. () x cos(x) + sin(x) + C (b) 1 4 x sin(4x) + 1 16 cos(4x) + C (c) x e x e x + C (d) x 2 sin(x) + 2x cos(x) 2 sin(x) + C (e) 2 x 2 e x 4 x e x + 4 e x + C (f) 1 3 x3 ln x 1 9 x3 + C (g) x tn 1 (x) ln 1 + x 2 + C (h) x sin 1 (x) + 1 x 2 + C (i) e x [cos(x) + sin(x)] + C (j) 1 3 [cos(x) sin2 (x) + 2 cos(x)] + C 2. () 2π 4 (b) e 2 (c) 4 ln(2) 15 16 (d) π 8 1 4 (e) π 4 1 2 Hndout 7 Mtemtik 1