1.1 Numerické integrování
|
|
- Nikola Bílková
- před 9 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1.1 Numerické integrování Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme integrál v (1.1) spočítt nlyticky, Tedy npř.: f(x)dx = F (b) F (). (1.) π sin(x)dx = [ ] π cos x =. (1.3) Obvykle le primitivní funkci neznáme integrál (1.1) musíme počítt numericky. Mluvíme o numerické kvdrtuře. Lze npř. využít součtové definice určitého integrálu. Intervl, b rozdělíme body x < x 1 < x <... < x n 1 < x n b (1.4) n dosttečně mlé intervly x k 1, x k, k = 1,,..., n. Pk n I f(ξ k ) x k, (1.5) k=1 kde x k = x k x k 1 je šířk k-tého podintervlu ξ k je jeho libovolný bod, npř. ξ k = x k nebo ξ k = x k 1+x k. Pro rozumné funkce f konverguje sum n prvé strně vzthu (1.5) pro x k k přesné hodnotě I. Jiná metod spočívá v nhrzení funkce f(x) vhodnou proximující funkcí p(x), jejíž integrál dokážeme spočítt nlyticky. Z přibližné rovnosti f(x) p(x) vyplývá I p(x)dx. (1.6) Funkci p(x) volíme zprvidl ve formě interpolčního polynomu. Polynom n-tého stupně p(x) = q n x n + q n 1 x n q 1 x + q (1.7) obshuje n + 1 koeficientů q n, q n 1,..., q 1, q. Ty jsou určeny soustvou n + 1 rovnic p(x k ) = f(x k ), k =, 1,,..., n.
2 Po rozepsání x n q n + x n 1 q n x q 1 + q = f(x ), x n 1q n + x n 1 1 q n x 1 q 1 + q = f(x 1 ), (1.8). x n nq n + x n 1 n q n x n q 1 + q = f(x n ). Dělící body x k intervlu, b (viz(1.)) jsou zprvidl voleny jko ekvidistntní. V prxi se obvykle používá kombince obou předchozích metod - součtové interpolční: intervl, b se rozdělí n podintervly x k 1, x k, I = f(x)dx = N k=1 x k x k 1 f(x)dx, (1.9) poté se funkce f(x) proximuje funkcí p(x) zvlášť n jednotlivých podintervlech, x k x k 1 f(x)dx x k x k 1 p(x)dx. (1.1) Jsou-li podintervly x k 1, x k dosttečně úzké, vystčíme s polynomy p nízkého stupně Interpolční metod Nším úkolem je n intervlu, b interpolovt funkci f(x) polynomem n-tého stupně p(x) (1.7). Interpolční uzly x k, k =, 1,,..., n zvolíme pro jednoduchost jko ekvidistntní, x k = + kh, k =, 1,,..., n, h b n. (1.11) Omezíme se n polynom nultého stupně (proximce funkce f(x) konstntou, obdélníková metod interpolce), prvního stupně (proximce lineární funkcí, lichoběžníková metod) stupně druhého (proximce kvdrtickou funkcí, Simpsonov metod). ) Obdélníková metod Obdélníková metod vychází z proximce kde q je konstnt. Zvolíme-li q = f( +b ), pk I = f(x)dx f(x) q pro x, b, (1.1) ( ) ( ) + b + b f dx = (b )f. (1.13)
3 Geometricky odpovídá tto proximce nhrzení plochy pod křivkou f(x) plochou obdélník o výšce f( +b ) (obr.1). b) Lichoběžníková metod V tomto přípdě je funkce f(x) n intervlu, b proximován funkcí lineární, f(x) p(x) q 1 x + q. (1.14) Koeficienty p 1, p určíme z interpolčních podmínek p() = f(), p(b) = f(b): q 1 + q = f(), bq 1 + q = f(b). (1.15) Řešením této jednoduché soustvy je f(b) f() q 1 =, q = b Aproximce integrálu je tedy bf() f(b). (1.16) b I (q 1 x + q )dx = [ q 1 x + q x ] b = (b ) f() + f(b). (1.17) Geometricky odpovídá tto proximce nhrzení plochy pod křivkou f(x) lichoběžníkem o výšce b zákldnách f(), f(b) (obr.).
4 c) Simpsonov metod Funkce f je n intervlu, b proximován kvdrtickou funkcí p(x) = q x + q 1 x + q. Intervl, b rozdělíme uzly x =, x 1 = + b, x = b (1.18) n dv podintervly o šířce h = b. Koeficienty q, q 1, q jsou určeny soustvou tří lineárních rovnic (1.8) pro n =. Tento postup je dosti těžkopádný, to prcujeme s polynomy pouze. řádu! Elegntnější způsob nlezení interpolčního polynomu nbízí Lgrngeov metod. Polynom p(x) n-tého řádu, procházející n + 1 body [x k, f(x k )], k =, 1,,..., n, je v této metodě vyjádřen ve tvru kde n p(x) = f(x i )l i (x), (1.19) i=1 l i (x) = (x x )(x x 1 )... (x x i 1 )(x x i+1 )... (x x n ) (x i x )(x i x 1 )... (x i x i 1 )(x i x i+1 )... (x i x n ) jsou tzv. Lgrngeovy polynomy. Ty jsou zkonstruovány tk, by l i (x k ) = 1, k = i, k i, (1.) (1.1)
5 tkže p(x k ) = tj. grf polynomu p(x) prochází body [x k, f(x k )]. Z přibližného vzthu f(x) p(x) dostáváme n f(x i )l i (x k ) = f(x k )1, (1.) i= b b n n b I p(x)dx = f(x i )l i (x)dx = f(x i )w i, w i l i (x)dx. (1.3) i= i= Koeficienty w i se nzývjí váhy v uzlech x i. Speciálně pro polynom. řádu s uzly (1.18), dává Lgrngeov metod interpolci f(x) p(x) = f(x ) (x x 1)(x x ) (x x 1 )(x x ) + +f(x 1 ) (x x )(x x ) (x 1 x )(x 1 x ) + f(x ) (x x )(x x 1 ) (x x )(x x 1 ). (1.4) Při výpočtu váhových fktorů w, w 1, w budeme využívt substituci x = + ht, dx = hdt, t. w = w 1 = = h b w = (x x 1 )(x x ) (x x 1 )(x x ) dx = (t 1)(t )dt = 1 3 h, } {{ } 3 (x x )(x x ) (x 1 x )(x 1 x ) dx = = h = h t(t )dt = 4 3 h, (x x )(x x 1 ) (x x )(x x 1 ) dx = t(t 1)dt = 1 3 h. ( + ht h)( + ht h) hdt = ( h)( h) ( + ht )( + ht h) hdt = (1.5) h( h) ( + ht )( + ht h) hdt = hh
6 Simpsonův vzorec má tedy tvr I f(x ) 1 3 h + f(x 1) 4 3 h + f(x ) 1 3 h = h 3 [f(x ) + 4f(x 1 ) + f(x )] (1.6) Anlogicky bychom odvodili interpolční formule vyšších řádů Složené vzorce Čím užší bude intervl integrce, tím přesnější bude proximce funkce f polynomem p(x). Intervl, b proto rozložíme n mlé podintervly x k 1, x k, n nichž lze chybu proximce f(x) p(x) očekávt reltivně mlou. Uzly x k ze vzthu (1.4) zvolíme pro jednoduchost ekvidistntní s krokem h, ) Složená obdélníková metod x k = + kh, k =, 1,,..., n, h = b n. (1.7) Formule (1.9) spolu s formulí (1.13) plikovnou n dílčí intervly x k 1, x k dávjí pro tento přípd [ I h f b) Složená lichoběžníková metod ( ) ( ) ( x + x 1 x1 + x xn 1 + x n + f f )]. (1.8) Lichoběžníkovou proximci (1.17) plikujeme n jednotlivé intervly x k 1, x k : I h [( ) ( ) ( )] f(x ) + f(x 1 ) + f(x 1 ) + f(x ) f(x n 1 ) + f(x n ), (1.9) tj. [ 1 I h f(x ) + f(x 1 ) + f(x ) f(x n 1 ) + 1 ] f(x n). (1.3) c) Složená Simpsonov metod V tomto přípdě musíme mít sudý počet uzlů, n = m, h = b. Simpsonův vzorec m (1.6) plikujeme postupně n intervly x, x, x, x 4,..., x m 1, x m : I h [( ) ( ) f(x ) + 4f(x 1 ) + f(x ) + f(x ) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) + ( )] f(x m ) + 4f(x m 1 ) + f(x m ). (1.31)
7 Po úprvě I h [ f(x ) + 4f(x 1 ) + f(x ) + 4f(x 3 )+ 3 ] f(x m ) + 4f(x m 1 ) + f(x m ). (1.3) Povšimněte si, že i složené kvdrturní vzorce lze vyjádřit pomocí tbelizovných hodnot f(x k ) váhových fktorů w k v uzlech x k, n f(x)dx f(x k )w k. (1.33) k= Pro lichoběžníkovou metodu je kdežto pro Simpsonovu metodu w = w n = h, w 1 = w =... = w n 1 = h, (1.34) w = w m = 1 3 h, w 1 = w 3 =... = w m 1 = 4 3 h, w = w 4 =... = w m = h. (1.35) Cykly složených metod, Richrdsonov metod Oznčme numerickou kvdrturu integrálu symbolem N chybu integrce jko E. Přesná hodnot I je tedy Pro lichoběžníkovou metodu lze chybu E vyjádřit ve tvru I = N + E. (1.36) (b ) E = f (η)h, (1.37) 1 kde f (η) znčí druhou derivci integrovné funkce f v blíže nespecifikovném bodě η intervlu, b. Lichoběžníková metod poskytuje tedy přesný výsledek pro lineární funkce, které mjí druhou derivci nulovou. Protože bod η není znám, odhdujeme chybu E shor. Oznčme Pk M k = mx,b f (k) (x). (b ) E M h. (1.38) 1 Chyb je druhého řádu v mocninách kroku h. Lze ji rovněž vyjádřit ve formě E = Ch + členy vyšších řádů v h, (1.39)
8 kde C je konstnt nezávislá n kroku h. Pro složenou Simpsonovu metodu lze odvodit (b ) E = 18 f (1.39) (η)h 4. (1.4) Simpsonov metod dává přesnou hodnotu integrálu pro polynomy do třetího řádu, neboť mjí čtvrtou derivci nulovou. Anlogií vzthů (1.39), (1.4) jsou pro Simpsonovu metodu vzthy E (b ) 18 M 4h 4, (1.41) E = Ch 4 + členy vyšších řádů. (1.4) Poždovné přesnosti integrce lze dosáhnout zmenšováním integrčního kroku. Mámeli nvíc numerickou integrci provedenou pro dv různé kroky h 1, h, můžeme provést tzv. Richrdsonovu extrpolci n krok h =, odpovídjící přesné hodnotě integrálu. Pro kroky h 1, h pišme I. = N 1 + Ch k 1, I. = N + Ch k, (1.43) V tomto vzthu jsou N 1, N numerické hodnoty integrálu získné s kroky h 1, h. V rozvoji chyby E (vzthy (1.39), (1.4)) jsme se omezili n hlvní člen, přičemž k = pro lichoběžníkovou k = 4 pro Simpsonovu metodu. Vzthy (1.43) jsou proto jen přibližné. Vzthy (1.43) předstvují soustvu dvou rovnic pro neznámé I, C. Aproximci přesné hodnoty I dostneme nejsnáze tk, že první rovnici vynásobíme h k, druhou h k 1, obě rovnice poté od sebe odečteme. Dostneme I =. N h k 1 N 1 h k. (1.44) h k 1 h k Při zjemňování kroku h je výhodné v kždé iterci zdvojnásobit počet dělících bodů, neboť pk v následujícím kroku plně využijeme dělící body funkční hodnoty z kroku předchozího. Dosdíme-li h 1 = h do (1.44), obdržíme I =. k N N 1. (1.45) k 1 Speciálně pro lichoběžníkovou metodu dává předchozí formule I =. 4N N 1, (1.46) 3 to všk odpovídá metodě Simpsonově. Rozdělme intervl, b n n = m stejných dílků s rozestupem h uzly x k,
9 h = b m, x k = + kh, k =, 1,,..., m. (1.47) Kvdrtur s krokem h dává N = h ( 1 y + y 1 + y y M kdežto kvdrtur s dvojnásobným krokem dává N 1 = h ( 1 y + y + y y M Po doszení (1.48), (1.49) do (1.46) dostneme což je le Simpsonov sumce Jk je to v Mtlbu Funkce QUAD ), (1.48) ). (1.49) I. = h 3 (y + 4y 1 + y y M ), (1.5) QU AD = Numerické vyhodnocení integrálu, dptivní Simpsonov metod. Q = QU AD(F U N, A, B) proximuje integrl funkce F U N v mezích od A do B, kromě chyby 1.e 6 s použitím rekurzivní dptivní Sipsonovy metody. Funkce Y = F UN(X) prcuje s vektorem X jko výsledek vrcí vektor Y, vyhodnocený integrnd kždého z prvků vektoru X. Q = QUAD(F UN, A, B, T OL) používá bsolutní chybu tolernce T OL nmísto implicitní hodnoty 1.e 6. Větší hodnoty tolernce T OL, poté proběhne méně výpočtů funkce tedy rychleji výpočet, le n úkor přesnosti výsledků. Funkce QU AD ve verzi MATLAB 5.3 používá méně spolehlivý lgoritmus implicitní tolernce má hodnotu 1.e 3. [Q, F CNT ] = QUAD(...) vrcí počet vyhodnocení funkce. QUAD(F UN, A, B, T OL, T RACE) s nenulovou stopou (TRACE) ukáže hodnotu [fcnt b Q] během rekurze. QUAD(F UN, A, B, T OL, T RACE, P 1, P,...) poskytuje jko dlší rgumenty P 1, P,... předány přímo funkci F UN, F UN(X, P 1, P,...). Průchod prázdné mtice co se týče T OL nebo T RACE k použití implicitních hodnot. Použití mticových operátorů.,./. v definici F UN tk, že to lze vyhodnotit s vektorovým rgumentem (vektor). Funkce QU ADL může prcovt více účinně s vysokou přesností hldkou integrovnou funkcí.
10 Příkld: F UN můžeme zdt třemi různými způsoby. Řetězcové vyjádření umocnění jednoduché proměnné: Q = qud( 1./(x. 3 x 5),, ); Inline objekt: F = inline( 1./(x. 3 x 5) ); Q = qud(f,, ); Ukztel funkce Q = qud(@myfun,, ); kde myfun.m je M-soubor: function y = myfun(x) y = 1./(x. 3 x 5); Funkce QUADL QU ADL = číselné vyhodnocení integrálu, dptivní Lobttov metod. Q = QUADL(F UN, A, B) vyšetřujeme přibližnou hodnotu integrálu funkce F UN v mezích od A do B, kromě chyby 1.e 6 s použitím vysoce uspořádné rekurzivní dptivní metody. Funkce Y = F UN(X) prcuje s vektorem X jko výsledek vrcí vektor Y, vyhodnocený integrnd kždého z prvků vektoru X. Q = QUADL(F UN, A, B, T OL) používá bsolutní chybu tolernce T OL nmísto implicitní hodnoty 1.e 6. Větší hodnoty tolernce T OL, poté proběhne méně výpočtů funkce tedy rychleji výpočet, le n úkor přesnosti výsledků. [Q, F CNT ] = QUADL(...) vrcí počet vyhodnocení funkce. QUADL(F UN, A, B, T OL, T RACE) s nenulovou stopou (TRACE) ukáže hodnotu [fcnt b Q] během rekurze. QUADL(F UN, A, B, T OL, T RACE, P 1, P,...) poskytuje jko dlší rgumenty P 1, P,... předány přímo funkci F UN, F UN(X, P 1, P,...). Průchod prázdné mtice co se týče T OL nebo T RACE k použití implicitních hodnot. Použití mticových operátorů.,./. v definici F UN tkže to lze vyhodnotit s vektorovým rgumentem (vektor). Příkld: F UN můžeme zdt třemi různými způsoby.
11 Řetězcové vyjádření umocnění jednoduché proměnné: Q = qudl( 1./(x. 3 x 5),, ); Inline objekt: F = inline( 1./(x. 3 x 5) ); Q = qudl(f,, ); Ukztel funkce Q = qudl(@myfun,, ); kde myfun.m je M-soubor: function y = myfun(x) y = 1./(x. 3 x 5);
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VíceURČITÝ INTEGRÁL FUNKCE
URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
VícePřehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
Více2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]
- FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Více17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
Více(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a
Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
VíceOhýbaný nosník - napětí
Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
VíceLineární nerovnice a jejich soustavy
teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice
VíceMatematické metody v kartografii
Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími
VícePříklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem
Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
Vícematematických úloh N2612 Elektrotechnika a informatika 1802T007 Informační technologie Bc. Zdeněk Kybl RNDr. Dana Černá, Ph.D.
Aplikce pro numerické řešení mtemtických úloh Diplomová práce Studijní progrm: Studijní obor: Autor práce: Vedoucí práce: N2612 Elektrotechnik informtik 1802T007 Informční technologie Bc. Zdeněk Kybl RNDr.
Více3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
VíceMatematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné
Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.
VíceObsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
VíceKřivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
VíceKapitola 10. Numerické integrování
4.5.o7 Kpitol 0. Numerické integrování Numerický výpočet odnoty určitéo integrálu Formulce: Mějme n ; bi dánu integrovtelnou funkci f = f(x). Nším cílem je určit přibližnou odnotu určitéo integrálu I(f)
Více8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
VíceJsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.
Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce
VíceNumerické metody a statistika
Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu
VíceLaboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami:
Truhlář Michl 3 005 Lbortorní práce č 6 Úloh č 5 p 99,8kP Měření odporu, indukčnosti vzájemné indukčnosti můstkovými metodmi: Úkol: Whetstoneovým mostem změřte hodnoty odporů dvou rezistorů, jejich sériového
Vícevás seznámí s učivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování měli umět.
POKYNY KE STUDIU Pokyny ke studiu V úvodu si vysvětlíme jednotnou pevnou strukturu kždé kpitoly tetu, která by vám měl pomoci k rychlejší orientci při studiu Pro zvýrznění jednotlivých částí tetu jsou
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF RNDr. Petr Rádl RNDr. Bohumil Černá RNDr. Ludmil Strá 0 Petr Rádl, 0 ISBN 97-0-77-9- OBSAH Předmluv... Poždvky k přijímcí zkoušce z mtemtiky..
Více3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru
Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém
Vícea i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11
Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
VíceM - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
VíceZáklady teorie matic
Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie
Více10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
Více( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.
Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou
VícePrimitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce
Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................
VíceObr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou
MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
Více7. Numerický výpočet integrálu
7. Numerický výpočet integrálu Tento učení text yl podpořen z Operčního progrmu Prh- Adptilit Hn Hldíková Pro numerickou proximci určitého integrálu se užívá termín numerická kvdrtur, příslušné vzorce
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro
VíceŘešené příklady k MAI III.
Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
Více7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic
7 Algebrické nelgebrické rovnice nerovnice v C. Numerické (typy lgebrických rovnic zákldní metody jejich e²ení lineární, kvdrtické, reciproké rovnice rovnice vy²²ích ád, rovnice nerovnice nelgebrické s
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
Více13. Soustava lineárních rovnic a matice
@9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky
VíceSTANOVENÍ POMĚRNÉ PLOŠNÉ DRSNOSTI POVRCHU
STAOVEÍ POMĚRÉ PLOŠÉ DRSOSTI POVRCHU J. Tesř, J. Kuneš ové technologie výzkumné centrum, Univerzitní 8, 06 4, Plzeň Ktedr fyziky, Fkult plikovných věd, Zápdočeská univerzit, Univerzitní, 06 4, Plzeň Abstrkt
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
VíceLaboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav:
Truhlář Michl 7.. 005 Lbortorní práce č.8 Úloh č. 7 Měření prmetrů zobrzovcích soustv: T = ϕ = p = 3, C 7% 99,5kP Úkol: - Změřte ohniskovou vzdálenost tenké spojky přímou Besselovou metodou. - Změřte ohniskovou
VíceHyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
VíceIntegrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.
Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,
VíceJemný úvod do numerických metod
Jemný úvod do numerických metod Mtemtické lgoritmy (K611MAG) Jn Přikryl 10. přednášk 11MAG pondělí. prosince 013 verze:013-11-5 18:7 Obsh 1 Numerická integrce 1.1 Formulce úlohy....................................
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
Více1. Pokyny pro vypracování
1. Pokyny pro vyprcování Zvolený příkld z druhé kpitoly vyprcujte písemně (nejlépe vysázejte pomocí LATEXu) dodejte osobně po předchozí domluvě milem n krbek@physics.muni.cz. Dále si vyberte tři z jednodušších
VíceÚlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C
52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.
VíceFunkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2
Více4. Determinanty. Výpočet: a11. a22. a21. a12. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31. a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33
. Determinnty Determinnt, znčíme deta, je číslo přiřzené čtvercové mtici A. Je zveden tk, by pro invertibilní mtici byl nenulový pro neinvertibilní mtici byl roven nule. Výpočet: = + = + + - - - + + +
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
VíceA DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).
A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu
VíceII. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)
. NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
VíceSprávné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010
právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá),
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
VíceKapitola 1. Taylorův polynom
Kpitol Tylorův polynom Definice. Budeme psát f = o(g) v R, je-li lim x ( f )(x) =, f = O(g) g v R, je-li ( f ) omezená n nějkém U (). g Příkld. lim x (x + x + 3) 5 (x 5 x 3 + 7x 9) = lim x + o(x ) x x
VíceMatematika pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY
Mtemtik pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY 8 ešení soustvy lineárních rovnic užitím mtic Gussov eliminní metod (GEM) MATICE 6 6 Hlvní digonál TROJÚHELNÍKOVÁ MATICE Pozn.: i... i-tý ádek mtice PIVOT = první
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
Vícem n. Matice typu m n má
MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme
Více4 Numerické derivování a integrace
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,
Více