Sbírka p íklad z analýzy funkcí více prom nných

Transkript

1 ƒeské vysoké u ení technické v Prze Fkult elektrotechnická Sbírk p íkld z nlýzy funkcí více prom nných Miroslv Korbelá Prh 6

2 P edmluv Tento text je ur en pro studenty technických vysokých ²kol, zejmén student m Fkulty elektrotechnické ƒvut, k procvi ení nlýzy funkcí více prom nných, p edev²ím diferenciálního integrálního po tu. Sbírk obshuje vzorová e²ení p íkld k t mto témt m. K e²ením jsou tké p ipojen zn ní v t denic to tm, kde to slouºí bu k p ipomenutí pojmu nebo k lep²ímu pochopení postupu. Protoºe sbírk bude slouºit p edev²ím jko podkld ke cvi ením z p edm tu Mtemtická nlýz Mtemtikvícedimenzionální klkulus vyu ovných n FEL ƒvut, obshuje tké p íkldy z Fourieových d. ƒást p íkld byl vytvo en pedgogy vyu ujími n FEL ƒvut ást byl p evzt ze zdroj uvedených n konci sbírky byl dopln n e²eními. Sbírk byl vytvo en s podporou grntu RPAPS. /5/56C5.

3 Obsh Mnoºiny v R n jejich vlstnosti 4 Limity funkcí více prom nných 9 Derivce ve sm ru, grdient, totální diferenciál 4 Tylor v polynom, lokální extrémy 5 Vázné bsolutní extrémy 9 6 Dvojný integrál 9 7 Trojný integrál 5 8 K ivkový integrál 57 9 Plo²ný integrál 64 Integrální v ty 67 Fourierovy dy 75

4 Mnoºiny v R n jejich vlstnosti P íkld.. Nech A, B R n nech A c : R n \ A zn í dopln k complement mnoºiny A v R n. Ukºte, ºe pltí: c, c, i A A A c c A ii A, B otev ené A B otev ená, iii A B A B, iv A, B uzv ené A B uzv ená, v A B A B. Pojem otev ená mnoºin intuitivn zvádíme jko mnoºinu, která s kºdým bodem obshuje je²t dost prostoru kolem n j je to kv li pozd j²ímu pouºití pro derivování - pot ebujeme se k bodu p iblíºit odkudkoliv. P esn ji: Otev ená mnoºin G je tková, ºe s kºdým bodem x obshuje i n jké jeho okolí U ε x v podob tzv. otev ené koule s polom rem ε > st edem v bod x : tj. U ε x def {x R n x x < ε}. G je otev ená def x G ε > U ε x G Pojmem uzv ené mnoºiny zse intuitivn myslíme tkovou mnoºinu, ze které nem ºeme vypdnout p i limitách posloupností, tj. tková mnoºin obshuje v²echny body, ke kterým se m ºeme z této mnoºiny p iblíºit libovoln blízko. P esn ji: Uzv ená mnoºin F je tková, ºe kºdý bod x R n, jehoº libovolné okolí U ε x má s mnoºinou F pr nik, uº musí leºet v F : F je uzv ená def x R n ε > U ε x F x F Kupodivu, tyto dv pojmy jsou nkonec nvzájem dopl kové v tom smyslu: P ipome me si je²t, ºe G je otev ená G c je uzv ená F je uzv ená F c je otev ená vnit ek A mnoºiny A denujeme jko mnoºinu v²ech bod, které jsou v A i s n jkým okolím neboli vnit ek je nejv t²í otev ená mnoºin obsºená v A x A def ε > U ε x A uzáv r A mnoºiny A si denujeme jko mnoºinu v²ech bod, ke kterým se m ºeme p iblíºit libovoln blízko z mnoºiny A. x A def ε > U ε x A hrnice A mnoºiny A je mnoºin v²ech bod, jejich libovolná okolí zshují jk do smotné mnoºiny A, tk do jejího dopl ku A c x A def ε > U ε x A U ε x A c Pro libovolnou mnoºinu A se tk celý prostor R n vºdy disjunktn rozloºí zn eno pomocí n vnit ek A, hrnici A vn j²ek A c : Krom toho je²t pltí: R n A A A c 4

5 A A \ A A A c Uzáv r A je uzv ená mnoºin sice nejmen²í uzv ená, která obshuje mnoºinu A. A je otev ená A A A je uzv ená A A i Sndno te máme: c [ ] x A ε > U ε x A ε > U ε x A c x A c. Tedy A c A c. E. Druhou rovnost dostneme bu nlogicky nebo p echodem k dopl k m A : B c následn plikcí dopl k : A E. A c c B c B c E. Tedy m ºeme prohzovt po dí uzáv ru dopl ku, kdyº pk uzáv r zm níme n vnit ek. ii Jestliºe A B jsou otev ené, pk s kºdým bodem obshují i n jkou otev enou kouli. Kdyº si vezmeme tu s men²ím polom rem, bude obsºen v obou mnoºinách, tedy v pr niku. Tkºe A B je tké otev ená. iii Pouºijeme zákldní vlstnosti vnit ku: Te ukáºeme, ºe A B A B : E.5 A B A & A B B A je²t zbývá ud lt A B A B : A A E. A A E.4 A B A B E.5 A B A & A B B A B A B A B jsou otev ené A B je otev ená A B A B Tedy A B E. A B E.5 A B E.4 A B A B. Tkºe máme A B A B. iv M ºeme postupovt podobn jko v pouºít zákldní vlstnosti uzáv ru: A A A A nebo m ºeme vyuºít dokáznou ást p ejdeme k dopl k m: E.6 E.7 A B A B E.8 A, B uzv ené A c, B c otev ené A c B c A B c otev ená A B uzv ená. v M ºeme postupovt podobn jko v nebo m ºeme vyuºít dokáznou ást p ejdeme k dopl k m s pomocí : A B A B c c A B c c A c B c c A c B c c A c c c A c c B B A B Jk je vid t, p i zákldní mnipulci s uzáv ry, vnit ky td.. si do velké míry vyst íme s lgebrickým popisem t chto pojm viz vlstnosti E. - E.8 nemusíme jít º do zákldní denice, která vyuºívá pojem okolí. 5

6 P íkld.. Njd te p íkldy, kdy uvedená tvrzení nepltí pro zbylé moºnosti, p edchozího z p íkldu, tj. i A n, n N jsou otev ené, le n A n uº není otev ená, ii A B A B, iii A n, n N jsou uzv ené, le n A n uº není uzv ená, iv A B A B. i A n n, n R, n N. Pk je n A n {}. iii A n, n R, n N. Pk je n A n,. ii, iv A {x, y R x < }, B {x, y R x}. Pk je A B R R \ os y A B A B os y A B. P íkld.. Ukºte, ºe uzáv r kºdé mnoºiny M je sjednocení této mnoºiny s mnoºinou jejích hromdných bod. Plyne ihned z denic: M ε > U ε M je hromdný bod M ε > P ε M P íkld.4. Sestrojte p íkldy neprázdných mnoºin M v R, ºe i nemá ºádný vnit ní bod, ii nemá ºádný hrni ní bod, iii nemá ºádný vn j²í bod, iv nemá ºádný hromdný bod, v nemá ºádný izolovný bod. i jkákoliv spo etná mnoºin np. Q, kruºnice, p ímk mnoho dl²ích p íkld. ii Z poºdvku M plyne, ºe M M M M M M, tedy M M M mnoºin M je tk sou sn otev ená uzv ená. Jediná tková neprázdná mnoºin je pouze M R. Pro podrobnosti viz p íkld o souvislých mnoºinách. iii Vn j²ek mnoºiny je roven R \ M, tedy pot ebujeme, by M R mnoºin je tzv. hustá. M ºeme op t volit np. M Q. iv jkákoliv kone ná mnoºin; N mnoho dl²ích p íkld. v jkákoliv otev ená mnoºin mnoho dl²ích p íkld. P íkld.5. Stnovte hromdné body mnoºiny M {/n, /m R n, m N}. 6

7 Ukáºeme, ºe mnoºin hromdných bod je N {/n,,, /n R n N} {, }. Z ejm kºdý prvek N je hromdný bod M. Nopk, nech R je hromdný bod M, speciáln M. Protoºe jednotlivé projekce π, π : R R, π x, y : x, π x, y : y jsou spojité funkce, tk pro posloupnost n n N M tkovou, ºe lim n je tké lim π i n n n π i. Tedy π i π i M {/n n N} {} pro i,. Máme tk, ºe {/n n N} {} M N. V²echny body p vodní mnoºiny M jsou le izolovné, tedy musí být N. P íkld.6. Ur ete vnit ek, hrnici uzáv r následujících mnoºin: i M {, b R + + b, 4 + b }; ii M Q R, kde Q je mnoºin v²ech rcionálních ísel. i Zdání lze uprvit n p ehledn j²í tvr. Dopln ním n tverec m ºeme první nerovnost uprvit n + + b 4 neboli, b, 4. Podobn druhá nerovnost znmená, b, 4. Mnoºinu M proto m ºeme vyjád it jko M A B, kde A U, B U,, tedy jko pr nik dvou uzv ených koulí viz dále. Pro ε > x R pouºíváme zn ení U ε x : {x R x x ε} Uzáv r M: Nyní víme, ºe ob mnoºiny A i B jsou uzáv ry n jkých mnoºin, tedy jsou uzv ené. Mnoºin M je jejich pr nikem, tedy je tké uzv ená proto je uzáv rem sm sebe neboli M M. Vnit ek M: Pouºijeme vzth M A B A B. Protoºe A U, U, coº není t ºké ukázt. Podobn to pltí pro B dostáváme tk M {, b R + + b <, 4 + b < }. Hrnice M: M M \ M {, b R + + b & 4 + b + + b & 4 + b }. D leºitá poznámk: Nech f : D R kde D R n je spojitá funkce. Pk mnoºin f, { D f < } tj. vzor otev eného intervlu, R je otev ená mnoºin v rámci mnoºiny D, neboli f, D U pro n jkou otev enou mnoºinu U. Podobn f, { D f } tj. vzor uzv eného intervlu, R je uzv ená mnoºin v rámci mnoºiny D, neboli f, D F pro n jkou uzv enou mnoºinu F. 7

8 Protoºe funkce f, b + + b g, b 4 + b jsou spojité n celém R, je mnoºin M {, b R + + b, 4 + b } uzv ená neboli M M mnoºin je otev ená neboli N N. N {, b R + + b <, 4 + b < } POZOR! Tímhle zp sobem le obecn nemusíme získt p ímo vnit ek M, le jen n jkou jeho podmnoºinu N M. Rovnost nemusí obecn nstt np. pro A {x R x } je {x R x < } R \ {} R A. Pro rovnost je pot eb pouºít v tu o implicitní funkci. Z té pk plyne toto tvrzení: V t: Nech U R n je otev ená mnoºin f : U R je spojit diferencovtelná funkce n U. Poloºme A {x U fx }. Pokud pro kºdé x A tkové, ºe fx, je f x f x,..., f x n, pk x A {x U fx < }. V n²em p ípd oprvdu pro f, b + + b máme f, b f, f +, b. Pokud by b náhodou nstlo, ºe f, b, pk je b tudíº f, 4. Podmínku z p edchozí v ty tk máme spln nou proto oprvdu {, b R + + b < } je vnit ek mnoºiny {, b R + + b }. ii Uv domíme si, ºe v libovolném okolí libovolného r R leºí jk n jké rcionální íslo, tk tké n jké ircionální íslo. Dále pokud máme r i s i < ε pro i,, kde r i, s i R ε > pk r, r, r s, s, s ε. Speciáln tedy v libovolném okolí bodu x R leºí jk n jký prvek z Q, tk n jký prvek z R \ Q. Proto m ºeme ihned npst, ºe Q R, Q Q Q \ Q R. P íkld.7. Jké jsou obojetné, tj. sou sn otev ené uzv ené mnoºiny v eukleidovském prostoru R n? Jediné tkové dv mnoºiny jsou R n. Abychom si to ov ili, pouºijeme následující pojem souvislé mnoºiny, který intuitivn odpovídá tomu, ºe mnoºinu nem ºeme rozkouskovt n odd lené bloky tedy to, co se d je v jedné její ásti, ovliv uje i celý zbytek této mnoºiny tento pojem se upltní hlvn p i spojitém roz²i ování funkci, existenci potenciálu td. Mnoºin A R n se nzývá souvislá práv kdyº nejde rozd lit pomocí dvou otev ených disjunktních neprázdných mnoºin, tj. A R n je souvislá def [ ] U, U otev ené neprázdné A U U & U U Pokud by nyní existovl n jká obojetná mnoºin U v R n, tková, ºe tké U R n, znmenlo by to, ºe R n se dá rozd lit pomocí dvou disjunktních neprázdných otev ených mnoºin U U c. Tedy R n by pk nebyl souvislá mnoºin. Dokázt, ºe R n je skute n souvislá, dá trochu práci, le zkusíme se podívt, jk by se to pro n dlo ud lt, pokud bychom uº v d li, ºe R je souvislá mnoºin. Budeme postupovt sporem. P edpokládejme, ºe R n není souvislá pro n. Dá se tedy zpst jko R n U V, kde U V jsou neprázdné disjunktní otev ené mnoºiny. 8

9 Zvolme si bod U b V nech ϕ : R R n je obvyklá prmetrizce p ímky, která spojuje body b tj. ϕt + tb pro t R. Zobrzení ϕ je tedy spojité proto vzor ϕ U otev ené mnoºiny U je op t otev ená mnoºin neprázdná, protoºe ϕ U. Podobn i ϕ V je otev ená neprázdná mnoºin protoºe ϕ V, která je nvíc disjunktní s ϕ U. A nvíc ur it pltí, ºe R ϕ U ϕ V. To le znmená, ºe R není souvislá, coº je spor! R n tk musí být souvislá proto nemá ºádné dl²í neprázdné obojetné mnoºiny. P íkld.8. Rozhodn te, zd mnoºin je souvislá: i {x, y R x, y < 5}, ii Q, iii R \ bod, R \ p ímk, iv R \ bod, R \ p ímk, R \ rovin. i Dokzovt souvislost jko tkovou je trochu obtíºn j²í. Pom ºeme si proto o n co siln j²ím pojmem: Mnoºin M R n se nzývá obloukov souvislá, pokud kºdé dv body, b M existuje spojitá k ivk ϕ :, M, ºe ϕ ϕ b. Vet: Kºdá obloukov souvislá mnoºin je souvislá. Pozor! Existují le mnoºiny, která jsou sice souvislé, le nejsou obloukov souvislé, np. { A x, sin } R x, {}, x kde body n ose y nejdou propojit s grfem funkce sin x. Pro otev ené mnoºiny le ob pojmy splývjí: V t: Nech U R n je otev ená mnoºin. Pk je obloukov souvislá práv kdyº je souvislá. Otev ená souvislá mnoºin se nzývá oblst. Mnoºin {x, y R x, y < 5} je souvislá, protoºe se jedná o mezikruºí, které je obloukov souvislé body lze spojit np. soust ednými kruºnicemi ty pk propojit úse kou sm ující do po átku. ii Mnoºin není souvislá, protoºe ji lze rozloºit pomocí dvou neprázdných disjunktních otev ených mnoºin A B, np. A {x, y R x < } B {x, y R x > }. iii, iv souvislé jsou tyto mnoºiny: R \ bod, R \ bod, R \ p ímk protoºe jsou zjevn obloukov souvislé, nesouvislé tyto: R \ p ímk, R \ rovin protoºe se zjevn djí npst pomocí dvou otev ených poloprostor. Limity funkcí více prom nných P íkld.. Njd te limity i ii iii sinx+y lim x,y, x+y x lim +xy+y x,y, x y xy lim x,y, x +y 9

10 iv lim x,y, x + y x y i Pro funkci fx, y sinx+y x+y je její deni ní obor D f R \ {t, t t R}. Bod, je hromdným bodem mnoºiny D f tedy má smysl ptát se n limitu f v tomto bod. Limitu ur íme podle v ty o limit sloºené funkce fx, y hgx, y, kde gx, y x + y hz sinz z. Pro korektní pouºití v ty o limit sloºené funkce le je²t pot ebujeme zjistit, by bu v okolí bodu, bylo gx, y nebo by funkce h byl spojitá v z. První p ípd si m ºeme zjistit tk, ºe omezíme deni ní obor funkce g, tj. vezmeme D g : D f druhý tk, ºe funkci h spojit dodenujeme v z. Nyní tedy máme lim gx, y lim x + y x,y, x,y, protoºe g je sou et spojitých funkcí, tkºe sinz lim hz lim z z z sinx + y lim lim hgx, y. x,y, x + y x,y, ii Pro funkci fx, y x +xy+y x y je její deni ní obor Zúºením f n osu x tj. y dostáváme D f R \ {x, y R x ±y}. x lim fx, lim x x x. N druhou strnu zúºením f n osu y tj. x dostáváme P vodní limit tedy NEEXISTUJE. y lim f, y lim y y y. iii Pro funkci fx, y xy x +y je její deni ní obor D f R \ {, }.

11 Zúºením f n osu x tj. y dostáváme lim fx,. x N druhou strnu zúºením f n p ímku x y dostáváme P vodní limit tedy NEEXISTUJE. x lim fx, x lim x y x + x. iv Pro funkci fx, y x + y x y e x y lnx +y je její deni ní obor D f R \ {, }. St í tedy zjistit lim x,y, x y lnx + y. Pouºijeme odhd x y lnx + y x 4 + x y + y 4 lnx + y x + y lnx + y. Pouºitím v ty o limit sloºené funkce pro dostáváme lim gx, y lim x,y, Z v ty o sev ení pk máme tedy gx, y x + y hz z ln z hz np. L'Hospitlovo prvidlo z + lim x,y, x + y lnx + y lim hgx, y. x,y, lim x,y, x y lnx + y lim x,y, x + y x y e. P íkld.. Njd te limity i ii iii iv lim x,y, x +y + x +y xz lim y z x,y,z,, xyz x lim y x,y, x +y x lim y x,y, x +y x +y i Pro funkci fx, y + x +y je její deni ní obor D f R \ {, } bod, je tedy hromdným bodem D f. Pro limitu pouºijeme obvyklý trik, jk se zbvit odmocniny tj. vzorec b + b b x + y lim + x + y x,y, x + y lim + x + y x,y, x + y + + x + y + + x + y lim x x,y, x + y + y + +.

12 ii Pro funkci fx, y, z xz y z xyz je její deni ní obor D f {x, y, z R xyz } bod,, je tedy hromdným bodem D f. Stupn polynom v itteli i jmenovteli jsou stejné, tkºe spí² zkusíme, jestli limit v bec existuje. Zúºením f n p ímku x y z bez bodu x, y, z,, dostáváme fx, x, x x x x, tkºe lim fx, y, z lim fx, x, x. x,y,z,, x xyz N druhou strnu zúºením f n p ímku x y op t bez bodu x, y, z,, dostáváme f,, z z z z z, tkºe lim fx, y, z lim f,, z lim z. x,y,z,, z z xy P vodní limit tedy NEEXISTUJE. iii Pro funkci fx, y x y x +y je její deni ní obor D f R \ {, } má hromdný bod,. Polynom v itteli má vy²²í stupe neº ve jmenovteli, tkºe spí² zkusíme ukázt, ºe limit existuje bude nulová coº si m ºeme otestovt zúºením f np. n sou dné osy. Pouºijeme op t odhdy pk v tu o limit sev ené funkce. Z ejm pltí x x + y x, y, coº je d leºitá nerovnost, která se hodí n dokzování limit. Podobn y x, y, tkºe máme x y x + y x, y x, y x + y x, y. Z denice limity sndno dostáváme, ºe lim x, x,y, y podobná tvrzení uº m ºeme brát skoro jko fkt tedy z v ty o limit sev ené funkce je rovn º lim x,y, x y x + y. iv N rozdíl od p edchozího p ípdu zde bude situce podsttn jiná to kv li nulovým hodnotám jmenovtele. Pro funkci fx, y x y je její deni ní obor x +y D f {x, y R y x } z ejm má hromdný bod,. Zúºením f n p ímku x bez bodu x, y, dostáváme f, y, tkºe lim fx, y lim f, y. x,y, y x Pokud by tedy limit existovl, musí být rovn. Polynom v itteli je nulový n osách x y, ztímco polynom ve jmenovteli je nulový n k ivce y x. V bodech x, y R tkových, ºe y x x tedy máme lim x,y x,y y x x y x + y x y + + pokud n chvíli p ipustíme, ºe + m ºe tké být limitou, kterou jink smí podle n²í denice být pouze prvek z R. Pokud by funkce f m l v, limitu, musel by speciáln být n n jkém okolí, omezená, tj. existují K > ε >, ºe x y x +y K pro v²echn x, y Uε, D f. V okolí U ε, se le tké ncházejí body x, x, ve kterých je v limit funkce f nopk neomezená. To je spor p vodní limit tedy NEEXISTUJE.

13 P íkld.. Vy²et ete existenci limity x y lim x,y, xy. Výrz v limit má deni ní obor D : xy, coº jsou dv v tve hyperboly. Zkusíme p iblíºení ve sm ru sou dných os. P iblíºením po p ímce x dostáváme x y lim x,y, xy lim y y y. x N druhou strnu p iblíºením po p ímce y dostáváme P vodní limit tedy neexistuje. x y lim x,y, xy lim x x x lim x +. x y Derivce ve sm ru, grdient, totální diferenciál P íkld.. Njd te grdient funkce fx, y e x sin y v bod, π 4 rychlost r stu f v bod ve sm ru vektoru v,. Grdient grdf je mticí ve stndrdních sou dnicích derivce f funkce f v bod. Post- ující podmínkou pro existenci derivce funkce f v bod je existence spojitých prciálních derivcí n n jkém okolí bodu coº je v n²em p ípd spln no. grdf f x, f y e x sin y, e x cos y e, e Rychlost r stu f v funkce f v bod ve sm ru vektoru v je dán f grdf v e v, e, e. P íkld.. Njd te jednotkový sm r nejv t²ího r stu funkce fx, y, z xe y +z v bod, ln,. grdf f x, f y, f z e y, xe y, z,, Jednotkový sm r nejv t²ího r stu funkce f v bod je grdf grdf,,,,,,. P íkld.. Velmi unvený horolezec leze po plo²e, která je grfem funkce fx, y e xy + ln x. Práv se nchází v bod A,,? R. Kterým ze dvou sm r U,,? V,,? v te né rovin grfu funkce f v bod A se má vydt, by ²el cestou men²ího stoupání?

14 Pro, R je f e, tedy A,, e. Spo ítáme grdient derivci funkce f: grd f, f, yexy + x, xexy, e +, e Rovnice te né roviny ke grfu funkce f v bod je z f, + f, x y e + e +, e x y e + x + ey e + Vektory U V leºí v této te né rovin p esn ji v jejím zm ení práv kdyº jsou kolmé n její normálový vektor N e +, e, tj. kdyº U N V N. Máme tk, ºe U,, e + V,, e +. Strmost stoupání je dán úhlem, který tyto vektory svírjí s rovinou z, tedy e+ rctn pro U rctn e+ + pro V. Men²í stoupání je tk ve sm ru vektoru U. + Poznámky: Mohli jsme vyuºít implicitního zdání grfu Φx, y, z pro Φx, y, z : fx, y z. Pk bychom rovnou dostli normálový vektor jko grdient Φ, tj. N grd Φ A. Pokud poloºíme u, v,, pk máme U u, f u V v, f v. Pokud nvíc pltí u v jko v n²em p ípd, pk pro strmost stoupání ve sm ru vektor U V st í porovnt pouze jejich poslední sloºky, tj. hodnoty f u f v. P íkld.4. P edpokládejme, ºe vý²k terénu v R je popsán grfem funkce f : R R, fx, y x +y +. V bod A dném x y upustíme mí. Ur ete sm r p i pohledu shor, tj. v R, kterým se bude kutálet. Dále ur ete, zd je strm j²í te ná rovin v bod A nebo v bod B dném x y tj. porovnejte úhly, které tyto roviny svírjí se zákldnou z. Mí se bude kutálet ve sm ru nejv t²ího spádu funkce, tj. proti sm ru grdientu x grdf A x + y +, 4y x + y + 47, 47 tedy ve sm ru ur eném np. vektorem v, sm r je ur en vektorem º n kldný násobek. Normálový vektor te né roviny grfu funkce ve zvoleném bod je f x, f y., Jde tedy o normálové vektory n A 47, 47, 5 s normmi n A 7 + n 4 B jednotlivých rovin jsou dány jko Porovnáním dostneme cosα? > cosβ cosα cosβ n B, 4, A Normálový vektor roviny z je e,,. Úhly na e n A e nb e n B e 4 + 4? > ? > ? 4 > ? 7 >. Poslední vzth pltí, proto cosα > cosβ tedy α < β v bod B je rovin strm j²í. 4

15 P íkld.5. Njd te te nou rovinu ke grfu funkce fx, y x + y v bod,. Grf funkce f je {, z R z f}. Te ná rovin T,f ke grfu f v bod, f,, je dán rovnicí z f + grdf. Máme grdf 4x, y 4,, tedy te ná rovin má rovnici z + 4, x, y + 4x + y neboli 4x + y z. P íkld.6. Njd te te nou rovinu ke grfu funkce fx, y xy + sinx + y v bod,,?. Grf funkce f je mnoºin Γ f {x, y, z R z fx, y & x, y D f }. Te ná rovin T x,y,z, ke grfu f v bod x, y, z,,, kde z fx, y je dán rovnicí x x z fx, y + grdf x,y. y y Máme grdf x,y f x, f y + cosx + y, x + cosx + y,, y x,y, tedy te ná rovin má rovnici z +, x y + x neboli x z. P íkld.7. Ur ete derivci funkce i fx, y, z z x y v bod, 6, podle vektoru v, 4,, ii fx, y e x cos y + y v bod, podle vektoru v,. Derivce funkce f v bod podle vektoru v je denovná jko f f + t v f : lim v t t Pokud ov²em existuje derivce f funkce f v bod tj. totální diferenciál, pk pltí kde v v,..., v n. f f v v grdf v f v + + f v n x x n i Pro fx, y, z z x y, 6, máme grdf xy, x, z,,. 5

16 f v,, Pokud bychom brli derivci podle SM RU v, pk je pot eb vektor je²t znormovt, tj. pouºijeme vektor u v f v pk je u v f v 84. ii Pro fx, y e x cos y + y, máme grdf e x cos y, e x sin y +, f, v. P íkld.8. Njd te rovnici te né roviny k elipsoidu x 5 + y 6 + z 9, která i je rovnob ºná s rovinou 4x + y + z, ii vytíná stejné úseky n v²ech sou dnicových osách. Kdyº je n jká mnoºin M zdná jko vrstevnice n jké spojit diferencovtelné funkce tj. rovností fx, y, z, pk te ná rovin k M je kolmá ke grdientu funkce f pokud je tento grdient nenulový, tj. grdient je její normálový vektor. je V n²em p ípd si vezmeme fx, y, z x 5 + y 6 + z 9. Tkºe normálový vektor te né roviny f grdf x 5, y 8, z 9 i Te ná rovin má být rovnob ºná s rovinou ρ : 4x + y + z, která má normálový vektor n ρ 4,,. To nstne práv kdyº x 5, y 8, z grdf λ n ρ λ 4,, 9 pro n jké λ R. Tedy x 5λ, y 6λ z 9 λ. Sou sn má tké pltit, ºe x 5 + y 6 + z 9. Po doszení pk dostneme λ + 6λ λ tedy λ ±/ 47. Hledné te né roviny pk musí mít normálový vektor n ρ, tedy rovnici 4x+y+z c, kde neznámé hodnoty c R ur íme doszením spo ítných bod x, y, z ± 47,, 9, kterými te né roviny musí procházet. Výsledek je 4x + y + z 47 4x + y + z 47. ii Postupujeme podobn. Rovin, vytíná stejné úseky n v²ech sou dnicových osách, má normálový vektor n,,. Tedy x 5, y 6, z grdf u λ n λ,, 9 pro n jké λ R. Dostáváme λ ±/ 5 te né roviny jsou x + y + z 5 x + y + z 5. 6

17 P íkld.9. Njd te rovnici te né roviny k elipsoidu x + y + z, která je rovnob ºná s rovinou ρ : 4x + y + z. Pouºijeme následující v tu d sledek v ty o implicitní funkci: V t: Nech G je otev ená mnoºin v R n, f : G R je spojit diferencovtelná n G. Nech bod u G je tkový, ºe fu f u. Pk te ná rovin k ndplo²e tzv. vriet v bod u má rovnici M {u G fu & f u } f u u u. V n²em p ípd je fx, y, z x + y + z G R. Protoºe pro u x, y, z je derivce f u grdf u x, 4y, z nulová pouze pro u,, f,, m ºeme pouºít uvedenou v tu normálový vektor te né roviny v bod u M je práv grdf u. Tto rovin bude rovnob ºná s ρ, která má normálový vektor n ρ 4,,, práv kdyº x, 4y, z grdf u λ n ρ λ 4,, pro n jké λ R, tedy x, y, z λ, λ/, λ/. Sou sn má tké pltit, ºe x + y + z. Po doszení pk dostneme λ + λ/ + λ/ tedy λ ±/ 9. Hledné te né roviny pk musí mít normálový vektor n ρ, tedy rovnici 4x+y+z c, kde neznámé hodnoty c R ur íme doszením spo ítných bod u ± 9 4,,, kterými te né roviny musí procházet. Výsledek je 4x + y + z 9 4x + y + z 9. P íkld.. Njd te rovnici te né roviny k elipsoidu x v²ech sou dnicových osách. 5 + y 6 + z 9, která vytíná stejné úseky n Postupujeme podobn jko v p edchozím p íkldu: fx, y, z x vektor musí být n,,. Tedy 5 + y 6 + z x 5, y 6, z grdf u λ n λ,, 9 pro n jké λ R. Dostáváme λ ±/ 5 te né roviny jsou x + y + z 5 9, G R normálový x + y + z 5. P íkld.. Njd te úhel sev ený dv m plochmi v bod,,. x + y + z 8 x + y + z 6 Úhel sev ený dv m rovinmi je roven úhlu, který svírjí p ímky ur ené normálovými vektory t chto rovin. Podle p edchozího je tedy n x, y, z 4,, 4 7

18 n Pro hledný úhel α, π pk je x, y, z, 4,. cos α n n n n tkºe α π. P íkld.. Njd te derivci sloºené funkce f g, kde st i g : R R, gs, t s cos t f : R R, fx, y, z x + y + z, s sin t ii g : R R, gs, t st e st t f : R R, fx, y, z xy + yz + zx. i M ºeme bu vyjád it funkci hs, t f gs, t st + s sin t + s cos t s t + s tu zderivovt h h s, t s, h st + s, s t t nebo pouºít v tu o derivci sloºené funkce: f x, f y, f z h s, t f g s, t f gs, t g s, t g g s t g g x, y, z gs,t s g s t g t st, s cos t, s sin t t cos t sin t s s sin t s cos t gs,t t cos t sin t st + s, s t s s sin t s cos t kde g i s, t jsou jednotlivé sloºky zobrzení g. P itom je t eb p i derivování f mít stejn zvolené po dí prom nných jko je pk po dí jednotlivých sloºek g i v mtici derivce zobrzení g tedy np. pokud bychom derivovli v po dí podle y, z, x pk po dí sloºek v mtici derivce g bude odshor postupn g, g g. Zm n po dí jen odpovídá tomu, ºe si mtici derivce zvolíme v jiné bázi. ii Postupujeme podobn : hs, t f gs, t ste st + t e st + st nebo h s, t h s, h t + st + t e st + t, s + s t + t + st e st + st t h s, t f gs, t g s, t y + z, z + x, x + y e st + t, st + t, e st + st t te st gs,t s se st t t + st + t e st + t, s + s t + t + st e st + st. t s te st se st t 8

19 P íkld.. Nlezn te úhel, který v bod,, svírjí grfy funkcí fx, y ln x + y gx, y sinxy. Úhel, který svírjí grfy funkcí je dán jko úhel mezi jednotlivými te nými rovinmi ten je zse ur en jejich normálovými vektory, tj. grdienty. Grfy si zdáme implicitn : pro f to bude Γ f {x, y, z R F x, y, z & x, y, }, kde F x, y, z lnx + y z pro g to bude Γ g {x, y, z R Gx, y, z }, kde Gx, y, z sinxy z. Normálové vektory te ných rovin jsou nyní x n grd F,, x + y, y x + y,,,,, n grd G,, y cosxy, x cosxy,,, Úhel α, π je nyní dán jko tedy α π. n n cos α n n,,, P íkld.4. Vy²et ete existenci derivce totálního diferenciálu v bod, u funkce { x x fx, y +y, x, y,, x, y, Podle denice je derivce f v bod, tkové lineární zobrzení f L : R R, ºe f f L lim. Pokud derivce existuje, pk je jednozn n ur en prciálními derivcemi v dném bod : Pro x, y tk je Tkºe f ft, f, t lim lim x, t t t t f f, t f, lim lim y, t t t t L, f f L lim lim x,y, x y x x +y x. x lim x + y x,y, Pokud si te vezmeme zúºení výsledného výrzu np. pro x y dostneme lim x,y, xy xy lim x + y / x x lim x / x x 8 x. xy x + y / Tto limit le neexistuje tím spí² p vodní limit neexistuje uº v bec není nulová, jk bychom pot ebovli. Derivce totální diferenciál v bod, tedy neexistuje. 9

20 P íkld.5. Njd te derivci funkce z fx, y, která spl uje rovnici z xyz pro v²echn x, y z vhodného deni ního oboru funkce. Postupujte nejd íve obecn pk v bod x, y, z,,. Funkci z sice neumíme n jk jednodu²e explicitn vyjád it, le i tk m ºeme zjistit její prciální derivce. N ob strny rovnosti pouºijeme x y, p i emº vyuºijeme etízkové prvidlo z je závislé n prom nných x y: odsud si prciální derivce vyjád íme: x z xyz z z z yz xy x x x y z xyz z z z xz xy y y y z x yz z xy z y xz z xy To smoz ejm d láme z p edpokldu, ºe z xy. Tento výrz je práv prciální derivci podle x funkce Φ : R R, Φ x, ỹ, z z xỹ z t í NEZÁVISLÝCH prom nných, která ur uje p vodní rovnici jko Φ x, y, zx, y tzv. implicitn ur ená funkce. Tedy Φ z z xỹ. V bod z,, který spl uje implicitní rovnici ve kterém je výrz z xy, pk dostáváme z x, z y,. P íkld.6. Njd te derivci sloºeného zobrzení f g, kde f : R R xy, fx, y x + y, g : R R, gα, β cos α sinαβ. Ozn me si jednotlivé sloºky zobrzení f jko f x, y xy f x, y x + y. Pro mtici derivce zobrzení f pk máme f f y x g α g α f g β g β x f x y f y tedy v jednotlivých ádcích jsou zpsány grdienty jednotlivých sloºek. Podobn pro g α, β cos α g α, β sinαβ bude g sin α β cosαβ α cosαβ x y. Tkºe derivce f g bude f g f g g y x x y x y sinαβ cos α sin α β cosαβ α cosαβ

21 sinαβ cos α sin α cos α sinαβ β cosαβ α cosαβ sinαβ sin α β cosαβ cos α α cosαβ cos α cos α sin α + β sinαβ cosαβ α sinαβ cosαβ sinαβ sin α β cosαβ cos α α cosαβ cos α. sinα + β sinαβ α sinαβ Sloºky se djí tké vypo ítt etízkovým prvidlem bez sestvování mtic. Sloºky zobrzení f g budou f g i f i xα, β, yα, β, kde prom nné x y jsou závislé n α β jko xα, β g α, β yα, β g α, β. Mtice derivce sloºeného zobrzení bude mít tvr f g podle etízkového prvidl budeme mít np. f g f cos α, sinαβ α α f g α f g α f g β f g β f x cos α α + f sinαβ y α x sin α + y β cosαβ cos α sin α + β sinαβ cosαβ. P íkld.7. Njd te derivci zobrzení Φx, y, z diferencovtelná funkce. fx + y, z x f y, y z, kde f : R R je spojit Sloºky zobrzení Φ ozn me Φ Φ. Pot ebujeme sestvit mtici Φ Φ x Φ z Φ y Φ y K výpo tu jednotlivých sloºek pouºijeme etízkové prvidlo. K tomu si pot ebujeme n jk ozn it prom nné funkce f, np. jko fu, v. Pk m ºeme psát podobn Φ x Φ y fx + y, z x f u fx + y, z y Φ z Φ z f x + y x + y, z u x x + y, z + f v f u Φ fx + y, z f z y u pro druhou sloºku budeme mít Φ x f x y, y z f x x u y, y z Φ y f x y, y z y Φ z f x y, y z z Celkem tedy máme Φ f u y f u. + f z x + y, z v x f x + y, z x + y, z u x + y, z + f v x + y, z + f v f x + y, z x + y, z u f x + y, z x + y, z v y + f x v y, y z y f x u y, y z f x u y, y x z y + f x v y, y z z f x u y, y + f x z v y, y y z z y z f x v y, y. z f x + y, z x y, y z x y f u f x + y, z + z u x y, y z f v x y, y z v y z x + y, z f x v y, y z.

22 P íkld.8. Ur ete grdienty funkcí fx, y x + y gx, y e sinxy v bod,. Ur ete úhel, který v bod,, svírjí grfy t chto funkcí. Grdienty jsou x grd f, x + y, y x + y, grd g,,, y cosxye sinxy, x cosxye sinxy,, Úhel, který svírjí grfy funkcí je dán jko úhel mezi jednotlivými te nými rovinmi ten je zse ur en jejich normálovými vektory, tj. grdienty funkcí Normálové vektory te ných rovin jsou nyní F x, y, z x + y z Gx, y, z e sinxy z. n grd F,,,, n grd G,,,, Úhel α, π je nyní dán jko n n cos α n n, tedy α π. 4 Tylor v polynom, lokální extrémy P íkld 4.. Ortogonální trnsformcí p eve te homogenní kvdrtický polynom tedy kvdrtickou formu gx, y 5x 6xy + 5y n digonální tvr. i Mtice g B kvdrtické formy g v dné bázi B je jednozn n ur en vzthem gu u T B g B u B pro v²echn u V, kde u B je sou dnicový zápis vektoru u v bázi B. Ve stndrdní bázi E e, e tj. e, e pro u x u E y gu x, y 5 5 x y, x y R tedy máme 5 tkºe A g E. Novou ortonormální bázi, ve které bude mít g digonální tvr, 5 njdeme jko vlstní normovné vektory mtice A. Tedy pot ebujeme spo ítt ko eny polynomu 5 λ pλ deta λe 5 λ 5 λ 9. Tedy λ λ 8. Po doszení pk pro λ je vlstní normovný vektor np. u pro λ 8 je vlstní

23 normovný vektor np. u hledná ortonormální báze je B u, u. Mtice p echodu M E id B mezi bázemi B E je pk ortogonální, tedy MM T E M T M M M T. V nové bázi B má mtice formy g digonální tvr g B. To 8 m ºeme ov it np. i tkto: pro p echod mezi sou dnicemi vektoru u v r zných bázích máme vzth u E E id B u B M u B ten dosdíme do vyjád ení formy T gu u T E g E u E M u B ge M u B u T B M T g E M u B tedy v bázi B má form mtici g B M T g E M ii Pokud by nás zjímlo nlezení jkékoliv báze ne nutn ortogonální, ve které bude mít form digonální mtici tzv. polární báze m ºeme postupovt dopl ováním n tverec tj. pouºijeme vzorec + b + b + b : gx, y 5x 6xy + 5y 5 x x 5 y + 5 y 5 5 y + 5y 5 V nových sou dnicích tvr x y 5 x y gx, y 5x y proto je pozitivn denitní. P íslu²ná mtice p echodu B id E pk le není ortogonální - mtice se odvodí ze vzthu B id E u E u B x 5 y y odpovídjících nové bázi B má tedy form 5 u E 5 pro v²echn u R. iii K pouhé denitnosti pk tké st í ov it podmínky Sylvestrov kritéri tj. znménk hlvních subdeterminnt mtice A g E : > > Tedy form g je pozitivn denitní. P íkld 4.. Njd te Tylor v polynom druhého ádu pro funkci f v okolí bodu : i fx, y, z xy z,,,, ii fx, y, z xe y cos z,,,. i Tylor v polynom ádu nejvý²e, který proximuje funkci f v bod, je dán vzthem: kde h h, h, h R. Máme T + h f + f h +! f h, h f y z, xyz, xy z 4, 4,

24 f yz y z yz xz 6xyz y z 6xyz 6xy z Tedy T + h 4 + 4, 4, h h h + h, h, h h h h 4 + 4h + 4h + h + 4h h + h h + h + h h + h. Polynom lze v tomto p ípd tké získt p ímo doszením do p vodní funkce, kde si v rozvoji vezmeme pouze leny do stupn nejvý²e : f + h, + h, + h + h + h + h + h 4 + 4h + h + h + h + h 4 + 4h + 4h + h + 4h h + h h + h + h h + h + vy²²í leny. ii Podobn dostneme: f e y cos z, xe y cos z, xe y sin z,, f e y cos z e y sin z e y cos z xe y cos z xe y sin z e y sin z xe y sin z xe y cos. Tedy T + h h + h h. Polynom lze i v tomto p ípd tké získt rozvojem jednotlivých funkcí jedné prom nné v dných bodech: e h + h + ϕh cos h + ψh ϕt ψt kde lim t t lim t t. f + h, + h, + h h e h cos h h + h + ϕh + ψh h + h h + Ω h kde Ω h h ϕh + h + h h + h ϕh ψh. Ukáºeme, ºe pltí lim polynom: Ω h h h tedy jsme skute n tímto zp sobem n²li hledný Tylor v Ω h h ϕh h h h h + ψh h h h h + ψh h h h h + ϕh h h ϕh h + ψh h + ψh h h + ϕh h ψh h h ψh h h h h h pro h, protoºe h i h pro v²echn i,,. Uvedené odhdy pltí i kdyº je náhodou h i pro n jké i,,. P íkld 4.. Njd te Tylor v polynom ádu funkce f : R R fx, y e x +y cosx y v bod, podle tohoto polynomu rozhodn te, zd má funkce v tomto bod minimum, mximum nebo sedlový bod. 4

25 f, f, xe x +y + sinx y, ye x +y sinx y,, e x +y + 4x e x +y + cosx y 4xye x +y cosx y 4xye x +y cosx y e x +y + 4y e x +y + cosx y Pro h h, h R máme T h f, + f, h +! f, h, h h, h h h, h h h + h. Podle Sylvestrov kritéri >, 8 > je mtice f, pozitivn denitní, tkºe v bod, je lokální minimum. Jiné e²ení: Polynom lze tké získt Tylorovými polynomy funkcí jedné prom nné: e t + t + ϕt t cos t t + ψt t kde lim t ϕt lim t ψt. fh, h e h +h cosh h + h + h + ϕh + h h h + ψh h h h h + h + Ω h, kde Ω h ϕh + h h + h ψh h h h. Výrz T h, h h h h + h je hledným Tylorovým polynomem stupn nejvý²e, protoºe lim h Ω h h : Ω h h ϕ h + ψh h h h h ϕ h + 4 ψh h pro h, protoºe h h h + h h. P íkld 4.4. Njd te Tylor v polynom ádu funkce f : R R fx, y e xy y v bod, podle tohoto polynomu rozhodn te, zd má funkce v tomto bod minimum, mximum nebo sedlový bod. f, Pro h h, h R máme f, ye xy, xe xy y, 4y e xy e xy + 4xye xy e xy + 4xye xy 4x e xy T h f, + f, h +! f, h, h + h, h,, h h + h h h. Kvdrtická form gh, h h h h h h h 5

26 druhé derivce je indenitní np. g, > g, <. V bod, je tedy sedlový bod funkce f. Jiné e²ení: Polynom lze tké získt Tylorovým polynomem funkce jedné prom nné: kde lim t ϕt. e t + t + ϕt t fh, h e hh h + h h + ϕh h h h h + h h h + Ω h, kde Ω h ϕh h h h. Výrz T h, h + h h h je hledným Tylorovým polynomem stupn nejvý²e, protoºe Ω lim h : h h Ω h h ϕh h h h 4 ϕh h h pro h, protoºe h i h pro i,. P íkld 4.5. Njd te Tylor v polynom ádu funkce f : R R fx, y e xy xy v bod, podle tohoto polynomu rozhodn te, zd má funkce v tomto bod minimum, mximum nebo sedlový bod. Funkce je symetrická vzhledem k zám n prom nných, coº usnd uje výpo et. f, ye xy y, xe xy x, f, Pro h h, h R máme y e xy e xy + xye xy e xy + xye xy x e xy T h f, + f, h +! f, h, h + h, h Kvdrtická form,, Q h : f, h, h h h h h h h. druhé derivce je indenitní np. Q, > Q, <. V bod, je tedy SEDLO. P íkld 4.6. Njd te lokální extrémy následujících funkcí: i fx, y x y xy + 6 ii fx, y x + xy + 4y 5x + y i Funkce je polynom tedy má derivce v²ech ád. Nutnou podmínkou pro extrém v dném bod je nulovost první derivce. f x,y x y, y x 6

27 Tedy f x,y práv kdyº x y y x, coº je práv kdyº x, y, nebo x, y,. V dných kritických bodech dále vy²et íme druhou derivci. f x,y 6x 6y Pro x, y, je f,. Tedy pro h h, h T R je f, h, h 4h h tto form nbývá libovolných hodnot je indenitní. V bod, je tedy sedlo. Pro x, y, je f, 4. Podle Sylvestrov kritéri 4 <, > je form negtivn denitní tedy v dném bod je lokální mximum. Toto mximum le není globální, protoºe funkce není zdol omezená lze vzít np. zúºení fx, x +6. ii Postupujeme podobn jko v p edchozím p íkldu: f x,y 4x + y 5, x + 8y + Tedy f x,y práv kdyº x, y,. Druhá derivce f x,y 4 8 je podle Sylvestrov kritéri pozitivn denitní, tedy v, je ostré lokální minimum f, 6. Toto minimum je ve skute nosti i globální, coº plyne bu z klsikce v²ech moºných grf polynom stupn nejvý²e dv o dvou prom nných jde o speciální p ípd tzv. kvdrik nebo si pom ºeme op t dopln ním n tverec: fx, y x + xy + 4y 5x + y x + x 4 y + x y y y 9 8 y y + y x + 4 y y + 4 y 5 x y y + 6 Tedy skute n fx, y 6 rovnost nstává pro x+ 4 y 5 4 y+ neboli x, y,. 7

28 Poznámk: Obecn m ºeme pouºít i následující p ístup: Kºdý polynom f v prom nných x,..., x n stupn nejvý²e dv m ºeme pro x x,..., x n T vyjád it jko f x x T A x + b T x + c pro vhodnou symetrickou mtici A, vektor b R n c R. P edpokládejme nyní, ºe f x pro n jké x R n. Pro derivce obecn máme: f x h h T A x + x T A h + b T h x T A + b T h f x h, k h T A k Tedy f x práv kdyº x T A + b T T, tj. A x b. Posunutím sou dnic pk dostneme tvr: f y + x y + x T A y + x + b T y + x + c y T A y + y T A x + x T A x + b T y + b T x + c y T A y y T b x T b + b T y + b T x + c y T A y x T A x + c. Protoºe mtice druhé derivce je f x A, tk pokud je tto form pozitivn denitní, pk yt A y, tedy f y + x y T A y x T A x + c x T A x + c rovnost nstává práv pro y. Tedy v bod x x je ostré globální minimum f x x T A x + c. V n²em p ípd máme: tkºe x 4 fx, y x, y x y 4 + 5, x y P íkld 4.7. Njd te lokální extrémy funkce fx, y 6xy x y +. 5, jk uº víme. Nutnou podmínkou pro lokální extrém v dném bod je nulovost první derivce: f x,y 6y x, 6x 6y Tedy f x,y práv kdyº y x x y. Tedy y y 4 e²ení jsou tk x, y, nebo x, y 4,. V dných kritických bodech dále vy²et íme druhou derivci. f x,y 6x 6 6 y Pro x, y, je f, 6 6. Tedy pro h h, h T R je f, h, h h h tto form nbývá libovolných hodnot je indenitní. V bod, je tedy SEDLO. Pro x, y 4, je f,

29 Podle Sylvestrov kritéri 6 4 <, > je form dná druhou derivci negtivn denitní tedy v dném bod je lokální MAXIMUM. Toto mximum le není globální, protoºe funkce není shor omezená - np. st í vzít zúºení fx, x +. 5 Vázné bsolutní extrémy P íkld 5.. Njd te extrémy funkce fx, y, z x y + z s vzebnou podmínkou x + y + 4z 4. Pouºijeme v ty: V t: Spojitá funkce n uzv ené omezené tzv. kompktní mnoºin nbývá svého mxim i minim. V t: Nech U R n je otev ená mnoºin k n f : U R Φ : U R k jsou spojit diferencovtelná zobrzení n U. Poloºme M { U Φ & Φ je regulární}. Jestliºe M je bodem lokálního extrému funkce f zúºené n M, pk existují λ,..., λ k R tzv. Lngrngeovy multiplikátory, ºe k f λ i g i, i kde g i jsou jednotlivé sloºky zobrzení Φ, tj. Φ g,..., g k. Regulrit derivce znmená, ºe její mtice má mximální moºnou hodnost, tedy hodnost k, tj. její ádky jsou lineárn nezávislé. Mnoºin M se pk nzývá vriet ngl. mnifold je moºné ji p i dit dimenzi - pomocí v ty o implicitní funkci - sice dim M n k. Dimenze tk odpovídá dimenzi n p vodního prostoru R n sníºenou o po et k nezávislých vzeb dných zobrzením Φ. V n²em p ípd m ºeme poloºit U R Φx, y, z x + y + 4z 4. Protoºe Φ x,y,z x, y, 8z tk Φ x,y,z práv kdyº x, y, z,,, coº le zse nem ºe splnit vzbu. Tkºe v kºdém bod mnoºiny M {x, y, z R x + y + 4z 4} je Φ x,y,z. Pro bod x, y, z M lokálního extrému f n M te existuje λ R, ºe,, f λφ λx, y, 8z x + y + 4z 4. 9

30 Proto musí být λ vyjád ením prom nných x λ y λ z 8λ doszením do vzby získáme e²ení ± 7 4, 4, λ ± 7 6. Protoºe f nbývá extrému n M nebo M je evidentn omezená uzv ená, jsou uvedené body skute n bsolutní extrémy funk ní hodnoty jsou f ± 7. P íkld 5.. Njd te nejmen²í nejv t²í hodnoty funkce fx, y x y+ z podmínky x +5xy+y. V n²em p ípd m ºeme poloºit U R Φx, y x + 5xy + y. Protoºe Φ x,y 6x + 5y, 5x + 6y tk Φ x,y není regulární tj. v tomto p ípd Φ x,y práv kdyº x, y,. Nem ºe se tedy stát, by Φx, y Φ x,y. Tkºe v kºdém bod mnoºiny M {x, y R x + 5xy + y } je Φ x,y regulární. Pro bod x, y M lokálního extrému f n M te existuje λ R, ºe, f λφ 6x λ + 5y, 5x + 6y x + 5xy + y. Se tením prvních dvou rovnic dostneme x y po doszení do vzby získáme kndidáty n extrémy:,,, s hodnotmi f, 5, f,. Pot ebujeme je²t zjistit, zd mnoºin M je v bec omezená uzv enost M plyne sndno z toho, ºe M Φ {}, neboli ºe je to vzor uzv ené mnoºiny {} p i spojitém zobrzení Φ. Dopln ním n tverec x + 5xy + y x y + y zjistíme, ºe jde o omezenou mnoºinu konkrétn o nto enou elipsu. To lze zjistit i z toho, ºe kvdrtická form Qx, y x +5xy+y je pozitivn denitní np. pomocí Sylvestrov kritéri. Spojitá funkce f tk n uzv ené omezené mnoºin M skute n nbývá svého mxim minim v bodech,,. P íkld 5.. Kruhový tlí o rovnici x + y je zh átý n teplotu T x, y x + y x. Njd te nejteplej²í nejstuden j²í bod n tlí i. Budeme postupovt podobn jko v p edchozím p íkldu. Vy²et ení extrému T n uzv ené omezené mnoºin A {x, y R x +y } rozd líme n p ípd volného extrému n otev ené mnoºin p ípd vázného extrému n A {x, y R x + y < } A {x, y R x + y }.

31 Jestliºe x, y A je extrém T n A, pk je i extrémem T n A. Tkºe musí pltit, ºe T x, 4y tedy, skute n je pk A. Jestliºe x, y A je extrém T n A, pk je i vázným extrémem T n A {x, y R Φx, y }, kde Φx, y x + y. Musí tedy existovt λ R, ºe x, 4y T λφ λx, y x + y. Dostáváme ±, nebo, ±. Te víme, ºe jedinými moºnými kndidáty n extrémy jsou body,,,,,,,,. Protoºe T nbývá n uzv ené omezené mnoºin A extrému, porovnáním funk ních hodnot T, 4, T,, T,, T zjistíme, ºe T nbývá minim v, mxim v, ±., 9 4 T, P íkld 5.4. Njd te bsolutní extrémy funkce fx, y x xy + y n mnoºin x + y. Mnoºin A {x, y R x + y } je tverec je z ejm omezená i uzv ená je vzorem uzv eného intervlu, p i spojitém zobrzení Ψx, y x + y. P íkld op t rozd líme n vy²et ení volného extrému n otev ené mnoºin vázného extrému n mnoºin A {x, y R x + y < } A {x, y R x + y }, kterou le tentokrát nejde vyjád it pomocí jediné diferencovtelné vzby. Vzbmi jsou ty i otev ené úse ky hrny tverce ty i body vrcholy tverce. Procházení t chto moºností si usndníme pouºitím symetrií ϕ : R R tkových, ºe zchovávjí jk mnoºinu A, tk dnou funkci f. Tedy má pltit, ºe ϕ A A f ϕ f. M ºeme si zvolit tyto t i neidentické symetrie: x, y x, y st edová soum rnost x, y y, x soum rnost podle osy x y x, y y, x soum rnost podle osy x y Extrém n A : f x y, y x nstává práv pro, A s hodnotou f,. Extrém n A: Díky symetriím st í vy²et it extrém n U {x, y R x >, y > } s vzbou Φ x, y x + y n U {x, y R x >, y < } s vzbou Φ x, y x y

32 tj. hrny tverce A bez koncových bod dále uº pk jen vrchol, tverce A jko smosttnou vzbu. Pro extrém n U má tedy existovt λ R, ºe x y, y x f λ Φ λ, x + y, tedy x, y, U f, 4. Podobn pro extrém n U má existovt λ R, ºe x y, y x f λ Φ λ, x y, tedy x, y, U f, 4. Zbývá bod, s hodnotou f,. Minimum tedy nbývá funkce v bod, mximum ve vrcholech tverce které jsme získli z bodu, pomocí symetrií. P íkld 5.5. Njd te t i pozitivní ísl jejichº sou in je mximální, jejichº sou et je roven. Zdání p íkldu lze interpretovt tké tk, ºe hledáme mximální objem kvádru, který se vejde do prvidelného trojbokého jehlnu, jehoº jeden vrchol je spole ný s vrcholem kvádr. Intuitivn lze o ekávt, ºe mximální tkový objem bude odpovídt krychli. Hledáme sice jen kldná ísl, le pro vyuºití v ty o nbytí mxim minim spojité funkce je pot eb prcovt s mnoºinou, která je uzv ená omezená. Budeme tedy hledt body mxim funkce fx, y, z xyz n mnoºin A {x, y, z R x, y, z & x + y + z }, coº je trojúhelník i s okrji, tj. hledáme nezáporná ísl. Mnoºin A je z ejm uzv ená omezená. Vy²et ení rozd líme n obvyklý vázný extrém v otev ené mnoºin U {x, y, z R x, y, z > }, tedy n A U {x, y, z U Φx, y, z } s vzbou Φx, y, z x + y + z trojúhelník bez okrj n p ípd A \ U okrje trojúhelník. N okrjích trojúhelník je funkce f nulová z ejm tu nbývá svého minim protoºe n zbytku mnoºiny A je f nenulová. Pro bod extrému x, y, z A U pk musí existovt λ R, ºe tkºe,, f f n A. yz, xz, xy f λφ λ,,,, x + y + z, tento bod je tk jediným bodem mxim funkce P íkld 5.6. Ur ete nejv t²í nejmen²í hodnoty funkce fx, y, z xyz n mnoºin M dné podmínkmi x + y + z 5 xy + yz + zx 8.

33 Tentokrát máme vzby dv budeme tedy pot ebovt ov it jejich nezávislost v bodech mnoºiny M, tj. lineární nezávislost grdient vzeb v p íslu²ných bodech. Poloºme Φ x, y, z x + y + z 5 Pk je M { R Φ & Φ }. Φ x, y, z xy + yz + zx 8. uzv enost M: Mnoºiny { R Φ i } je vzorem jednobodové tedy uzv ené mnoºiny {} p i spojitých zobrzeních Φ i jsou tudíº uzv ené. Mnoºin M je jejich pr nikem proto je tké uzv ená. omezenost M: Bu si vyjád íme jednu prom nnou z první rovnice np. z 5 x y, dosdíme do druhé tu p epí²eme dopln ním n tverec: xy + x + y5 x y 8 x + y + xy 5x 5y 8 x + y 5 + y 5 4 nebo pouºijeme jednodu²²í elegntn j²í postup, který vyuºije konkrétního tvru rovnic: 5 x + y + z x + y + z + xy + yz + zx x + y + z + 8 x + y + z V kºdém p ípd vidíme, ºe prom nné jsou omezené tedy i mnoºin M je omezená. nezávislost vzeb: Pot ebujeme ukázt, ºe pro x, y, z pltí: Máme Φ & Φ grdφ grdφ jsou lineárn nezávislé. grdφ,, grdφ y + z, z + x, x + y. Tyto vektory jsou lineárn závislé práv kdyº y + z z + x x + y neboli kdyº x y z. Pokud by p itom m lo pltit Φ Φ, pk dostáváme, ºe x 5 x 8, coº nelze splnit. Pro body z M tk máme oprvdu nezávislost vzeb. ºe Te kone n m ºeme korektn! pouºít v tu o Lgrngeových multiplikátorech: Pro bod x, y, z M bsolutního tedy i lokálního extrému f n M te existuji λ, µ R, yz, zx, xy grdf λ grdφ + µ grdφ λ,, + µy + z, z + x, x + y x + y + z 5 xy + yz + zx 8. Kdyº te od sebe np. ode teme první dv rovnice yz λ µy + z zx λ µz + x dostneme zy x µy x, coº dává podmínku bu x y nebo z µ. Symetricky dostneme dl²í podmínku y z nebo x µ. Odsud sndno plyne, ºe vºdy je bu x y nebo y z nebo x µ z, tedy ºe dv sou dnice jsou vºdy stejné. St í tedy vy e²it jednu z verzí dl²í uº dostneme permutcemi sou dnic.

34 Np. z podmínky x y dostáváme doszením do vzeb e²ení x, y, z,, nebo x, y, z 4, 4, 7. Hodnoty prmetru λ ni µ uº zji² ovt nemusíme, podez elé body te mohou být uº jen tyto:,,,,,,,, kde f 4 4, 4, 7 4,, 7, 4 7,, 4, 4 kde f 7. Protoºe funkce f je spojitá mnoºin M je omezená uzv ená, nbývá f v prvních bodech minimum v druhých mximum protoºe 7 > 4. x P íkld 5.7. N elipse M : p ímky p : x + y y 9 nlezn te body, které mjí nejv t²í nejmen²í vzdálenost od P íkld m ºeme e²it n kolik zp soby: Pouºijeme explicitní tvr funkce vyjd ující vzdálenost bodu x, y R od p ímky dné rovnicí αx + βy + γ, sice fx, y αx+βy+γ. α +β Odvození vzorce: Ud láme to rovnou pro vzdálenost bod od roviny v R pro R je nlogické odvození úpln stejné. Nech rovin ρ v R má rovnici αx + βy + γz + δ. Její normálový vektor je tedy n α, β, γ rovnici pro bod x, y, z R pk m ºeme npst pomocí sklárního sou inu jko n δ. Zvolme si nyní n jký bod b R v rovin ρ. Vzdálenost bodu x, y, z R od roviny ρ je nyní dán jko velikost kolmého pr m tu vektoru b do sm ru normálového vektoru n, tedy pomocí vzthu n b n. Protoºe bod b je v rovin ρ, pltí n b δ. M ºeme tedy psát n b n b n n + δ n n n Budeme tedy hledt mximum minimum funkce fx, y x + y 9 + αx + βy + γz + δ α + β + γ. z podmínky x 4 + y 9. Protoºe f není v²ude diferencovtelná, m ºeme si pomoci bu tk, ºe si vezmeme místo toho ekvivlentní zdání, kde hledáme minimum mximum funkce gx, y fx, y x + y 9 snºíme se o co nejjednodu²²í tvr, bez zbyte ných konstnt nebo si v²imneme, ºe M nemá pr nik s p ímkou p, coº znmená, ºe leºí v jedné z otev ených polorovin ur ených p ímkou p protoºe M je souvislá mnoºin - je totiº obloukov souvislá. V tom p ípd je výrz x + y 9 n v²ech bodech z M vºdy bu jen kldný nebo jen záporný. Hledání extrému funkce f pk ekvivlentn odpovídá hledání extrému funkce hx, y x + y 9. Zvolíme si druhou vrintu i kdyº ni první není o nic t º²í. Pro body n elipse M dné vzbou Φx, y : x 4 + y 9 je z ejm grdφ x, y 9. Pro bod x, y M bsolutního extrému h n elipse M existuje λ R, ºe x, grdh λ grdφ λ, y 9 x 4 + y 9. 4

35 Z prvních dvou rovnic dostneme λ x λy 9, tedy λ nebo y 4 x. Pokud λ, pk pltí x + y 9 tudíº hledáme pr nik elipsy s p ímkou p, který je le prázdný. Tkºe zbývá p ípd y 4x, který po doszení do rovnice elipsy dává rovnici: x x x tedy body x, y ± 4 5, 5. V t ch funkce f vzdálenosti od p ímky nbývá hodnot Pouºijeme intuitivní náhled, který je le vlstn pouze jinou verzí prvního postupu díky n muº je tké korektnost druhého postupu zru en: Tvrzení: Pokud je mnoºin M dná vzbou uzv ená, omezená má te ny ve v²ech svých bodech, pk body z M, které jsou od p ímky p nejdál nebo nejblíºe, musí mít svou te nu rovnob ºnou s touto p ímkou. Pro ná² konkrétní p ípd je elips M vrstevnicí vzbové funkce Φx, y : x 4 + y 9, tkºe normál kolmá n te nu v bod x, y M je grdientem funkce Φ. Hledáme tedy body x, y M, ve kterých je normál k M násobkem normály p ímky p. Pk tedy existuje λ R, ºe x, y grdφ λ, 9 x 4 + y 9. Není p ekvpením, ºe z první podmínky op t dostáváme rovnici y 4x tedy i stejné e²ení jko v prvním postupu. Poznámk: P edstvme si, co by mohlo stát, pokud bychom nem li zru eny v²echny vý²e zmín né p edpokldy mnoºiny M, pro kterou zji² ujeme vzdálenosti bodu od p ímky p metodou te en: M má te ny ve v²ech svých bodech je omezená, le NENÍ uzv ená: z M st í vzít np. n²í elipsu, ze které jsme odstrnili práv tyto extrémní body extrémy prost v mnoºin obsºené nejsou, p estoºe bychom je formáln z postupu získli. M má te ny ve v²ech svých bodech je uzv ená, le NENÍ omezená: z M st í vzít np. hyperbolu s symptotou p zde ºádné extrémní body ni existovt nemohou. M je omezená uzv ená, le NEMÁ te ny ve v²ech svých bodech: z M st í vzít np. vhodné nto ený trojúhelník extrémy sice budou existovt, le pouze pomocí te en je nenjdeme. Pouºijeme postup, který se dá plikovt pro vzdálenost obecných útvr v rovin p ípdn v prostoru. To, co je n n m obecn t º²í, je njít nkonec e²ení výsledných rovnic. V n²em p ípd le problémy nebudou. Uvºujme funkci kvdrát vzdáleností dvou bod x, y u, v jko hx, y, u, v x u + y v budeme hledt její extrémy z podmínek x 4 + y 9 u+v 9. Protoºe le jedn z podmínek dává neomezenou mnoºinu konkrétn je to p ímk p, tk mximum funkce nebude existovt postup je pouºitelný jen n hledání minim to je²t budeme muset správn od vodnit. Máme tedy dv vzby Φ x, y, u, v x 4 + y 9 5

36 s grdienty kde x, y, u, v. Ozn me si Φ x, y, u, v u + v 9 grdφ x, y 9,, grdφ,,, K { R 4 Φ & Φ }. Pro body K jsou grdienty evidentn lineárn nezávislé pro body extrému funkce f n K pk existují λ, µ R, ºe x x u, y v, u x, v y grdh λ, y 9,, + µ,,, x 4 + y 9 u + v 9 neboli máme 6 rovnic o 6-ti neznámých!. N²t stí jsou rovnice pom rn jednoduché. Postupn dostneme λ x x u µ λ y 9 y v µ tedy op t rovnici λ x y, kde p ípd λ op t nemá e²ení. Zbytek pk op t dává 4 x, y 5, 5 4 x, y 5, 5 pomocí rovnice x u y v dopo ítáme odpovídjící body n p ímce u, v 5, u, v 5, Pro funk ní hodnoty neboli hodnoty extrémních vzdálenosti bod i x i, y i, u i, v i pltí h < h. Mnoºin dná vzbmi K je te sice uzv ená, le NENÍ omezená. N druhou strnu pro K jdou hodnoty h tké do nekone n protoºe elips je omezená. Nyní si st í vzít dostte n velkou uzv enou kouli B tk, by n mnoºin K R 4 \ B byly hodnoty funkce h v t²í neº np. h +. A dále: N uzv ené nyní uº omezené mnoºin K B bude spojitá funkce h nbývt svého mxim i minim. N mnoºin K B budou hodnoty funkce h v t²í nebo rovny hodnot h + díky spojitosti h díky jejím hodnotám n K R 4 \ B. N mnoºin K B díky otev enosti mnoºiny B pk m ºeme vlstn jsme to uº ud lli pouºít obvyklý zp sob vy²et ení vázných extrém pomocí Lngrngeových multiplikátor. Výsledkem jsou podez elé body které se evidentn musí ncházet v K B díky svým funk ním hodnotámh < h < h +. 6

37 Absolutní minimum funkce h n mnoºin K B se tedy NEM še ncházet n okrji K B protoºe tm je funkce moc velká m ºe to tedy být jedin bod. Sou sn i n mnoºin K R 4 \ B je funkce moc velká, bod je tk oprvdu bsolutní minimum funkce h n p vodní mnoºin K. Tkto tedy vypdá korektní zd vodn ní, ºe námi nlezený bod je minimum v p ípd, ºe mnoºin dná vzbou sice nebyl omezená, le n druhou strnu zse funkce v nekone nu roste do nekone n. A co bod? Abychom zjistili, jk to vypdá zde, bylo by pot eb dl²ího rozboru pomocí vy²²ích derivcí. Intuitivn se zdá, ºe v n m nejspí² bude sedlo z hledisk n²í volby mnoºiny K funkce h. To uº by le byl pom rn náro ný postup, jk je vid t, t etí p ístup se hodí oprvdu jen k ur ení vzdálenosti mnoºin tj. minim funkce h. P íkld 5.8. Njd te vzdálenost prboly M : y x od p ímky p : y x. M ºeme pouºít n který z p edchozích postup, le musíme si uv domit, ºe prbol není omezená mnoºin i kdyº je uzv ená má te ny ve v²ech svých bodech. N²t stí le funkce vzdálenosti bod prboly M od p ímky p i zde v nekone nu roste do nekone n. Minimum vzdálenosti tedy musí být nbyto v n jkém bod M v n m musí být te n rovnob ºná s p ímkou p. Sm rnici α R te ny v bod M, který je grfem funkce gx x, m ºeme získt tké práv pomocí derivce této funkce jedné prom nné, tj. α d dx x x. Sm rnice p ímky p je z ejm. Tkºe z x plyne x tedy y x 4. Vzdálenost ρ bodu x, y, 4 M od p ímky p : x y je tedy podle obecného vzorce ρ x y P íkld 5.9. Njd te nejmen²í nejv t²í hodnoty funkce fx, y x y+ z podmínky x +x+y. Pouºijeme metodu Lngrngeových multiplikátor pro kruºnici M {x, y R gx, y }, kde gx, y x + x + y x + + y. Pro extrém x, y n M existuje λ R, ºe, f λg x λ +, y x + + y. Vyjád íme x y pomocí λ dosdíme do vzby. Dostneme λ ± 5 kndidáty n extrémy: 5 5,, 5 5, s hodnotmi 5 5 f, 5 5 5, f 5, Mnoºin M je uzv ená omezená spojitá funkce f tk v t chto kndidátech skute n nbývá svého mxim minim. P íkld 5.. Njd te nejmen²í nejv t²í hodnoty funkce f : R R, n kruºnici x + y 4. fx, y x y + xy 7