.3 Řešené příklady Příklad 1: Vyšetřete a v měřítku zakreslete napjatost ve volně rotujícím kotouči konstantní tloušťky 5 mm, který je na obr. 1. Na nebezpečném poloměru proveďte výpočet bezpečnosti z lediska Guestovy ypotézy pevnosti. Dálestanovtevelikostizměnpoloměrů r(r 1 ), r(r ) azměnšířky b(r 1 ), b(r )kotouče,je-lidáno: ρ= =7.8 10 3 kgm 3, E=. 10 5 MPa, ν=0.3, Re= =80MPa, n=3000min 1, r 1 =15mm, r =450mm. r 1 r ω Obr.1 Řešení: V prvním kroku stanovíme nejprve integrační konstanty, které se vyskytují ve vztazíc pro radiální a obvodové napětí. Jejic odnoty určíme pomocí okrajovýc podmínek, které jsouprokotoučnaobr.1dányrovnicemi σ r (r 1 )=0 a σ r (r )=0. (1) Po dosazení obecnéo řešení přecázejí v soustavu dvou algebraickýc rovnic D 1 D r 1 (3+ν)D ω r 1=0 a D 1 D r (3+ν)D ω r =0 () proneznámé D 1 a D.Povyřešení()jsouintegračníkonstantydányvetvaru ( ) D 1 =(3+ν)D ω r 1 + r a D =(3+ν)D ω r1r. (3) Dosazením numerickýc odnot nejprve vypočteme D ω = ω 8 = π n = π 7.8 10 3 3000 60. =96.86 10 6 Pam (4) a posléze dosazením do(3) určíme i číselné odnoty integračníc konstant D 1 =(3+0.3)96.86 10 6 ( 0.015 +0.45 ). =64.376 10 6 Pa, (5) D =(3+0.3)96.86 10 6 0.015 0.45. =14468.6N. (6) Funkce popisující průbě radiálnío a obvodovéo napětí potom mají tvar σ r (r)=d 1 D r (3+ν)D ωr =64.376 10 6 14468.6 r 317.555 10 6 r, (7) σ t (r)=d 1 + D r (1+3ν)D ωr =64.376 10 6 + 14468.6 r 18.834 10 6 r. (8) 1
400 300 r [mm] 00 σ o σ r σ t 100 0 p p r t 0 0 40 60 80 100 10 σ r, σ t, σ o [MPa] Obr. Grafytěctofunkcíjsoupro r r 1,r naobr.,kdejezobrazenotakéosovénapětí, kteréjevcelémkotoučinulové,tj. σ o =0 pro r r 1,r. (9) Dálevypočtemevelikostiradiálníoaobvodovéonapětínakrajnícpoloměrec r 1 a r.vzledemktomu,ževztay(7)a(8)jsouzatíženycyboudanouzaokroulováním,jevodnévztaypronapětínapoloměrec r 1 a r upravitnejprvesymbolickya teprve poté vyčíslit. Dosazením(3) do obecnéo tvaru(7) pro radiální napětí na vnitřním a vnějším poloměru kotouče vycázejí v obou případec napětí nulová, což je plně v souladu s okrajovými podmínkami(1). Dále po provedení algebraickýc úprav, viz vztay(3) a(8), a dosazení numerickýc odnot dostáváme pro obvodová napětí σ t (r 1 )=D 1 + D [ (1+3ν)D r1 ω r1=d ω (1 ν)r 1 +(3+ν)r] = = 96.86 10 [ 6 (1 0.3)0.015 +(3+0.3)0.45 ]. =18.64 10 6 Pa, (10) σ t (r )=D 1 + D [ (1+3ν)D r ω r=d ω (3+ν)r 1 +(1 ν)r] = = 96.86 10 [ 6 (3+0.3)0.015 +(1 0.3)0.45 ]. =7.4 10 6 Pa. (11) Z obr. je evidentní, že nebezpečný stav napjatosti vzniká v kotouči na vnitřním poloměru. Dříve, než vypočteme bezpečnost, stanovme velikost redukovanéo napětí na nebezpečnémpoloměrudleguestovyypotézypevnosti.redukovanénapětípro r=r 1 je potom rovno σ red = σ max σ min = σ t σ r = σ t σ o =18.64 0=18.64MPa. (1) Vzledemktomu,že σ r = σ o =0,jednásevtomtopřípaděfaktickyojednoosýstav napjatosti. Bezpečnost vůči mezi kluzu materiálu je potom k= Re σ red = 80 18.64. =.18. (13)
Změny sledovanýc poloměrů jsou po dosazení numerickýc odnot r(r 1 )= r 1 E (σ t νσ r )= r 1σ t E =0.015 18.64 106. 10 11. =8.77 10 6 m=8.77 10 3 mm,(14) r(r )= r E (σ t νσ r )= r σ t =0.45 7.4 106. =5.61 10 5 m=5.61 10 mm. (15) E. 10 11 Obdobně vypočítáme změny šířky kotouče na sledovanýc poloměrec pomocí vztaů b(r 1 )= ν b E (σ t+ σ r )= ν bσ t E b(r )= ν b E (σ t+ σ r )= ν bσ t E = 0.3 0.05 18.64 106. 10 11. = 4.39 10 6 m, (16) = 0.3 0.05 7.4 106. 10 11. = 0.93 10 6 m. (17) Poznámka: V případec, jako je tento, kde je vnitřní poloměr kotouče výrazně menší než vnější poloměr, je možné provést přibližný výpočet stavu napjatosti jako u kotouče s velmi malýmotvorem.potompro r 1 0vycázípodle(3)integračníkonstanta D 0,což znamená,žeyperbolickéčleny D r vevztazícproradiálníaobvodovénapětíjsou rovněžblízkénule.přigrafickémznázorněníprůběůnapětítoznamená,žekřivky σ r (r) a σ t (r)praktickysplynousparabolami p r (r)=d 1 (3+ν)D ω r a p t (r)=d 1 (1+3ν)D ω r, (18) kroměblízkéookolímísta r=r 1,vizobr..Přisplněníokrajovýcpodmínek(1)lze vyjádřitintegračníkonstantu D 1 (vizvzta(3))jako D 1 =lim (3+ν)D ( ) ω r 1 + r =(3+ν)Dω r. (19) r1 0 Rovniceudávajícíprůběy σ r (r)aσ t (r)vkotoučisnekonečněmalýmotvorempakspřilédnutímkobecnémutvaruřešení,vizvztay(7)a(8)nebo(18),majítvar σ r (r)=d 1 (3+ν)D ω r = D ω (3+ν)(r r ), (0) σ t (r)=d 1 (1+3ν)D ω r = D ω [ (3+ν)r (1+3ν)r ]. (1) Poznamenejme, že ke stejným závislostem dospějeme také u plnéo kotouče bez otvoru. Dosazením číselnýc odnot obdržíme funkční závislosti pro σ r (r)=p r (r)=d ω (3+ν)(r r ). =64.3048 10 6 317.555 10 6 r, () σ t (r)=p t (r)=d ω [ (3+ν)r (1+3ν)r ]. =64.3048 10 6 18.834 10 6 r, (3) kteréjsouzobrazenynaobr..jevidět,žeprůběynapětíseodpřesnéořešeníliší skutečněmálo.vyjímkoujeblízkéokolípoloměru r 1. V rámci tooto přibližnéo výpočtu ještě zbývá stanovit odnoty radiálnío a obvodovéonapětívbodě r=r 1 0.Hodnotyjenutnoodvoditzevztaůprokotouč,kde r 1 0.Potomradiálnínapětímusívyovovatokrajovépodmínce(1)aobvodovénapětí lze stanovit pomocí vztau(10), tj. σ r (r 1 )=0 a σ t (r 1 )=lim D [ ] ω (1 ν)r 1 +(3+ν)r =(3+ν)Dω r. (4) r1 0 3
Jevidět,ževelikost σ t (r 1 )jedvakrátvětší,než-lijevelikost D 1 vevztau(19).podosazení numerickýcodnotdo(4) zjistíme,že σ t (r 1 )=(3+ν)D ω r =(3+0.3)96.86 10 6 0.45. =18.61 10 6 Pa, (5) tj.žeseoprotiskutečnévelikostiobvodovéonapětínapoloměru r 1 odlišujevelmimálo, viz vzta(10). Příklad : Odvoďte funkci popisující obrys profilu rotujícío kotouče stálé pevnosti zatíženéo na vnějšímpoloměru Rradiálnímnapětím σ L odlopatek.uveďtepodmínky,kteréjenutné respektovat při konstrukci takovéo kotouče. Vypočtěte bezpečnost dle ypotézy Guestovy a HMH, stanovte velikost změny vnějšío poloměru kotouče r(r) a nakreslete obrys profilukotoučepřidanétloušťcekotoučevoserotace B=0cm,je-lidáno: ρ=7.8 10 3 kgm 3, E=. 10 5 MPa, ν=0.3, Re=80MPa, n=3000min 1, σ L =10MPa, R=60cm. Řešení: Abycom byli scopni splnit podmínku stálé pevnosti kotouče, musí být dán obrys profilu takovým předpisem b = b(r), aby se odnoty radiálnío a obvodovéo napětí v každém boděkotoučerovnaly.toznamená,žetutopodmínkujenutnésplnitinapoloměru R,kde působítaovénapětí σ L odlopatekvyovujícíokrajovépodmínce Sournně lze tedy podmínku stálé pevnosti vyjádřit předpisem σ r (R)=σ L. (1) σ r (r)=σ t (r)=σ L pro r 0,R. () Z výše uvedenéo lze již v tomto kroku výpočtu stanovit bezpečnost, protože známe stav napjatosti v každém bodě kotouče- osové napětí je nulové. Vypočtěme nejprve velikost redukovanéo napětí, které je v libovolném bodě kotouče podle ypotézy Guestovy rovno HMH 1 rovno σ red = σ red = σ max σ min = σ t σ o = σ r σ o = σ L =10MPa, (3) σ r+ σ t+ σ o (σ r σ t + σ t σ o + σ o σ r )=σ L =10MPa. (4) Bezpečnost je v tomto případě podle obou ypotéz stejná a vůči mezi kluzu materiálu má velikost k= Re = 80 σ red 10 =. 3. (5) 1 HypotézaHMHjevliteratuřeznámátakéjakovonMisesovaypotéza. 4
Stejně jako v případě bezpečnosti je možné v této fázi výpočtu stanovit i změnu poloměru r(r), protože stav napjatosti v kotouči je již znám. Použitím obecnéo Hookeova zákona snadno zjistíme, že deformace r lineárně roste v závislosti na poloměru r a nabývá největší odnoty na vnějším poloměru r(r)= R E (σ t νσ r )= Rσ L 10 106 (1 ν)=0.6 (1 0.3) =0.9. 10 3 m. (6) E. 10 11 Při odvození vztau popisujícío obrys profilu rotujícío kotouče vyjdeme z rovnice rovnováy v radiálním směru v obecném bodě kotouče, kterou lze psát ve tvaru σ r σ t + r dσ r dr + r b σ db r dr + ω r =0. (7) Dosadíme-li do této rovnice podmínku(), pak po úpravě obdržíme lineární diferenciální rovnici 1. řádu db dr + ω br=0. (8) σ L Po separaci proměnnýc určíme jednoducým postupem integrál diferenciální rovnice(8), jeož tvar je ln b ln C= ω σ L r. (9) Po úpravě tak dostáváme obecný vzta popisující obrys profilu rotujícío kotouče stálé pevnosti ( ω ) ( b(r)=cexp r = Cexp 4 D ) ω r. (10) σ L σ L Hodnota integrační konstanty C vyplývá z okrajové podmínky, která je s přilédnutím ke známé tloušťce kotouče v ose rotace dána vztaem b(0)=b. (11) 100 50 b [mm] 0 50 100 0 100 00 300 400 500 600 r [mm] Obr.1 5
Dosazením této podmínky do rovnice(10) získáme odnotu integrační konstanty C = B, takže platí ( ω ) b(r)=bexp r = Bexp ( π n ) r =0.e 0.35 π r pro r 0,R. (1) σ L σ L Obrys profilu kotouče je znázorněn na obr. 1. Je zřejmé, že při vyššíc úlovýc ryclostec vycází tloušťka kotouče na ose rotace mnoonásobně větší než tloušťka na obvodu. Proto se z konstrukčíc důvodů, např. u vícestupňovýc turbín, volí tloušťka na ose rotace menší, a připouští se tak vyšší odnota obvodovéo napětí. S oledem na řešení, které je prezentováno v tomto příkladě, je při konstrukci kotouče stálé pevnosti nezbytné respektovat následující skutečnosti: Kotouč musí být na vnějším poloměru zatížen tak, aby byla splněna podmínka(1). V kotouči nemoou být otvory, neboť na okrajíc otvorů by nemola být splněna podmínka stálé pevnosti(). To platí i pro případ nalisovanéo spoje, neboť ve stykové ploše nelze podmínku stále pevnosti nikdy splnit. Příklad 3: Vyšetřete a v měřítku zakreslete napjatost u nalisovanéo spojení rotujícío kotouče konstantní tloušťky, který je zatížený na vnějšímokrajiopoloměru r taovýmnapětím σ,arotujícío řídelepřispolečnýcotáčkác n,jakjezřejmézobr.1.vypočtěte bezpečnost tooto spojení za provozu, jestliže je za rotacevestykovéplošekotoučeařídelepožadovántlak p ω.dále vypočtěte montážní přesa za klidu. I pro tento případ vyšetřete a v měřítku zakreslete stav napjatosti a vypočtěte bezpečnost za klidu. Pro výpočet bezpečnosti použijte Guestovu ypotézupevnosti.dáno: ρ =7.8 10 3 kgm 3, ρ k =7.85 10 3 kgm 3, E =.1 10 5 MPa, E k =1.8 10 5 MPa, ν =0.3, ν k =0.9, Re =80MPa, Re k =50MPa, n=5500min 1, σ=50mpa, p ω =5MPa, r 1 =45mm, r =5mm. σ ω Obr.1 r 1 r Řešení: Abymolpřirotacivestykovéplošeřídele akotouče k vzniknoutnenulovýtlak p ω,musíbýtobětělesaspojenascelkovýmpřesaemzarotace r 1ω asdílčímipřesay řídele r 1ωakotouče r k 1ω,proněžplatívzájemnárelace r 1ω = r 1ω+ r k 1ω= r 1ω + r k 1ω, (1) vizobr..zápornéznaménkoupřesau r 1ωvyjadřujeskutečnost,žeuřídeledocází vestykovéplošekestlačení atedy r 1ω <0. Kladnýpřírůstekzměnypoloměrubylobecnědefinovánvesměrukladnéopřírůstkupoloměru. 6
r ω r 1ω p ω r 1ω ω = 0 r 1ω k r 1ω k p ω σ r(r ) v r 1ω r(r ) 1 kσ r 1ω r r 1 p n r 1 ω = 0 r 1 r 1 k k p n Obr. Velikostcelkovéopřesauzarotacelzestanovittaképomocípřesauzaklidu r 1. Nejprveuvažujmeřídelakotouč,kteréjsouvyrobenysdílčímipřesay r1a r 1vůči k jmenovitémupoloměru r 1 zaklidu,jakjepatrnénaobr..dálepředpokládejme,ženecáme rotovat řídel úlovou ryclostí ω, přičemž na něj v místě spojení polížíme jako narotujícíkotoučbezotvoru.hřídelzvětšísvůjrozměrnapoloměru r 1 + r1 ood- notu r1ω. v Obdobně necáme rotovat i kotouč, který je na vnitřním poloměru nezatížený anavnějšímpoloměrupůsobítaovénapětí σ.kotoučpakzvětšísvůjrozměrnapoloměru r 1 r1oodnotu r k 1ω, kσ která odpovídá zvětšení od vlivu působení setrvačnýc sil a napětí σ. Celkový přesa za rotace potom můžeme vyjádřit rovnicí r 1ω = r 1 + r v 1ω r kσ 1ω= r 1 + r k 1+ r v 1ω r kσ 1ω. () Změny jednotlivýc poloměrů na řídeli a na kotouči jsou s oledem na předpoklad malýc deformací velmi malé při porovnání s příslušnými poloměry, což můžeme formálně zapsat jako r r. Dopustíme se tak zanedbatelné cyby, jestliže výpočty změn všec poloměrůbudemevztaovatkejmenovitýmodnotámpoloměrů r 1 a r. Soledemnarovnice(1)a()seukazujejakovodnérozdělitřešeníceléúloydodvou lavníc částí. V první z nic vyšetříme stav napjatosti, bezpečnost a velikost celkovéo přesau za rotace. Ve drué potom postupně určíme velikost přesau za klidu, velikost nalisovacío tlaku, stav napjatosti po montáži a příslušnou bezpečnost. Část 1: Nejprve stanovíme integrační konstanty, které se vyskytují ve vztazíc pro radiální a obvodové napětí. Okrajové podmínky jsou pro řídel na levé části obr. dány rovnicemi σ r(0)=σ t(0) a σ r(r 1 )= p ω. (3) První z těcto podmínek vyjadřuje, že v ose rotace nelze rozlišit mezi radiálním a obvodovýmnapětím.podosazenído(3) 1 dostáváme [ ] [ ] lim D1 D r 0 r (3+ν )Dωr =lim D r 0 1+ D r (1+3ν )Dωr. (4) 7
Tuto rovnici lze splnit pouze pro případ Po dosazení do drué z okrajovýc podmínek(3), tj. D =0. (5) D 1 D r 1 (3+ν )D ωr 1= p ω, (6) aspřilédnutímk(5),vycázíintegračníkonstanta D 1vetvaru D 1=(3+ν )D ωr 1 p ω. (7) Pro případ rotujícío kotouče z levé části obr. jsou okrajové podmínky σ k r(r 1 )= p ω a σ k r(r )=σ. (8) Rozepsáním těcto podmínek za použití obecnéo předpisu pro rozložení radiálnío napětí v rotujícím kotouči získáme soustavu rovnic D k 1 Dk r 1 (3+ν k )D k ωr 1= p ω a D k 1 Dk r jejímž řešením obdržíme integrační konstanty (3+ν k )D k ωr = σ, (9) D k 1=(3+ν k )D k ω ( r 1 + r ) + p ω r 1+ σr r r 1 a D k =(3+ν k )D k ωr 1r + (p ω+ σ)r 1r r r 1. (10) Předvyčíslenímintegračníckonstantjevýodnéznátvelikostikonstant D ωa D k ω.ty pro řešenou úlou nabývají odnot Dω= ω = π n = π 7.8 10 3 5500. =33.435 10 6 Pam, 8 60 (11) Dω= k kω = π kn = π 7.85 10 3 5500. =35.508 10 6 Pam. 8 60 (1) Nenulová integrační konstanta(7) je pro řídel rovna D 1=(3+0.3)33.435 10 6 0.045 5 10 6. =.839 10 6 Pa (13) a numerické odnoty integračníc konstant(10) jsou pro kotouč D k 1=(3+0.9)35.508 10 6 ( 0.045 +0.5 ) + + 5 106 0.045 +50 10 6 0.5 0.5 0.045. =109.509 10 6 Pa, (14) D k =(3+0.9)35.508 10 6 0.045 0.5 + + (5 106 +50 10 6 )0.045 0.5 0.5 0.045. =67989N. (15) 8
r [mm] 5 00 175 150 15 100 75 50 5 0 σ σ σ o r t σ r σ t 5 0 5 50 75 100 15 150 175 00 5 σ r, σ t, σ o [MPa] Obr.3 Funkce určující průbě radiálnío a obvodovéo napětí mají v řídeli po dosazení tvar σ r(r)=d 1 (3+ν )D ωr =.839 10 6 1067.34 10 6 r, (16) σ t(r)=d 1 (1+3ν )D ωr =.839 10 6 614.57 10 6 r, (17) apodobněmajíprokotoučpodosazenítvar σ k r(r)=d k 1 Dk r (3+ν k)d k ωr =109.509 10 6 67989 r 1070.9 10 6 r, (18) σ k t(r)=d k 1+ Dk r (1+3ν k)d k ωr =109.509 10 6 + 67989 r 608.701 10 6 r. (19) Výsledné průběy lavníc napětí působícíc v nalisovaném spojení řídele a kotouče za rotacejsoupotom,viz(16)až(19), { σ σ r (r)= r (r) pro r 0,r 1, σr(r) k pro r r 1,r, přičemž osové napětí je apriori nulové, { σ σ t (r)= t (r) pro r 0,r 1 ), σt(r) k pro r (r 1,r, (0) σ o =0 pro r 0,r. (1) Tyto funkce jsou graficky znázorněny na obr. 3. Funkce radiálnío napětí splňuje okrajové podmínky(3) a(8), a proto na ose rotace a napoloměrec r 1 a r platí: σ r (0)=σr(0)=D 1. =.84 10 6 Pa, σ r (r 1 )=σr(r 1 )=σr(r k 1 )= p ω = 5 10 6 Pa, σ r (r )=σ k r(r )=σ=50 10 6 Pa. () 9
Ve stejnýc místec stanovíme také velikosti obvodovéo napětí. S pomocí vztaů(7),(9) a(16)až(0)můžemepsát 3 σ t (0)=σt(0)=D 1. =.84 10 6 Pa, (3) σ t (r 1 0)=σt(r 1 )=D1 (1+3ν )Dωr 1=D ω(1 ν )r1 p ω = = 33.435 10 6 (1 0.3)0.045 5 10 6. = 4.08 10 6 Pa, (4) σ t (r 1 +0)=σ k t(r 1 )=D k 1+ Dk r 1 (1+3ν k )D k ωr 1=D k ω [ ] (1 νk )r1+(3+ν k )r + + p ω(r 1+ r )+σr r r 1 = 35.508 10 6 [ (1 0.9)0.045 +(3+0.9)0.5 ] + + 5 106 (0.045 +0.5 )+ 50 10 6 0.5. =40.6 10 6 Pa, (5) 0.5 0.045 σ t (r )=σt(r k )=D1+ k Dk [ ] (1+3ν r k )Dωr k =D ω k (3+νk )r1+(1 ν k )r + + p ωr1+ σ(r1+ r) = 35.508 10 [ 6 (3+0.9)0.045 +(1 0.9)0.5 ] + r r1 + 5 106 0.045 +50 10 6 (0.045 +0.5 ). =83.99 10 6 Pa. (6) 0.5 0.045 Jakjezřejmézprůběůlavnícnapětínaobr.3,jenejvícenamáánkotoučnapoloměru r=r 1.Zdejetakénejmenšíbezpečnost,přestožeje Re k > Re.PodleGuestovyypotézy pevnosti je tedy v kotouči odnota největšío redukovanéo napětí rovna σ red = σ max σ min = σ k t σ k r=40.6 ( 5)=65.6MPa. (7) Bezpečnost vůči mezi kluzu materiálu kotouče je v tomto případě rovna k= Re k σ red = 50 65.6. =1.96. (8) To je zároveň výsledná bezpečnost nalisovanéo spojení kotouče na řídel za rotace. Nynímůžemepřistoupitkvýpočtuzměnpoloměrů r 1ω, r k 1ωakvýpočtucelkovéo přesauzarotace r 1ω.Spřilédnutímkevztaům(),(4)a(5)lzepsát r1ω= r 1 ( ) σ E t ν σr 0.045 = r k 1ω= r 1 E k ( σ k t ν k σ k r Celkový přesa za rotace má potom velikost.1 10 11[ 4.08 106 0.3( 5 10 6 )] =. 0.355 10 5 m, (9) ) 0.045 = 1.8 10 11[40.6 106 0.9( 5 10 6 )] =6.197 10. 5 m. (30) r 1ω = r 1ω + r k 1ω=0.355 10 5 +6.197 10 5 =6.55 10 5 m. (31) 3 Zápis f(a+0),resp. f(a 0),vyjadřujelimitufunkce f(x)vbodě azprava,resp.zleva,nebo-li lim f(x),resp. lim f(x). x a+ x a 10
Část:Provýpočetmontážníopřesauzaklidu r 1 atomuodpovídajícíostavunapjatostivřídeliakotoučimusímenejprve,vesoděsrovnicí(),vypočítatvelikosti r1ω v a r kσ 1ω. Přivýpočtu r1ω v vyjdeme z řešení rotujícío kotouče bez otvoru s nezatíženým vnějšímokrajemnapoloměru r 1.Přistanoveníintegračníckonstant D1 v a D v aplikujeme okrajové podmínky σr v (0)=σt v (0) a σr v (r 1 )=0. (3) Po dosazení do první z nic dostáváme vzta [ ] lim D1 v Dv (3+ν r 0 r )Dωr který lze splnit pouze pro případ =lim r 0 [ D v 1 + Dv r (1+3ν )D ωr ], (33) D v =0. (34) Po dosazení do drué z podmínek(3) dostáváme s přilédnutím k(34) rovnici jejímž řešením je integrační konstanta D v 1 (3+ν )D ωr 1=0, (35) D v 1 =(3+ν )D ωr 1. (36) Přivýpočtuzměnypoloměru r v 1ω nám postačuje znalost stavu napjatosti pouze na poloměru r 1.Radiálnínapětísplňujepodmínku(3) ajetedynulovéstejnějakonapětíosové. Zbývá určit velikost obvodovéo napětí, pro které platí: σ v t (r 1 )=D1 v (1+3ν )Dωr 1=D ω(1 ν )r1= 33.435 10 6 (1 0.3)0.045. =. =0.9 10 6 Pa. (37) Potom můžeme psát r1ω= v r 1 ( σ v t E ) ν σr v r 1 σ v = t = E 0.045 0.9 106.1 10 11. =0.00 10 5 m. (38) Přivýpočtu r1ωuvažujeme kσ rotující kotouč s nezatíženým vnitřním okrajem na poloměru r 1 asezatíženýmvnějšímokrajem,kdenapoloměru r působítaovénapětí σ. Integračníkonstanty D1 kσ a D kσ určíme pomocí okrajovýc podmínek σ kσ r (r 1 )=0 a σ kσ r (r )=σ. (39) Po dosazení na levýc stranác získáme soustavu dvou algebraickýc rovnic D1 kσ Dkσ r1 (3+ν k )D k ωr 1=0 a D kσ 11 1 Dkσ r (3+ν k )D k ωr = σ, (40)
jejímž řešením obdržíme integrační konstanty určené vztay ( D1 kσ =(3+ν k )Dω k r 1 + r) σr + r r1 a D kσ =(3+ν k )Dωr k 1r + σr 1r. (41) r r1 Provýpočetzměnypoloměrukotouče r kσ 1ωnám opět postačuje znalost stavu napjatosti pouzenapoloměru r 1.Radiálnínapětísplňujepodmínku(39) 1,osovépovažujemezanulové a pro obvodové napětí můžeme psát σ kσ t (r 1 )=D kσ 1 + Dkσ r1 (1+3ν k )D k ωr 1=D k ω [ ] (1 νk )r1+(3+ν k )r + + σr r r 1 = 35.508 10 6 [ (1 0.9)0.045 +(3+0.9)0.5 ] + + 50 106 0.5 0.5 0.045. =13.53 10 6 Pa. (4) Změnapoloměru r kσ 1ω kotouče s předepsanými okrajovými podmínkami(39) je rovna r1ω= kσ r 1 ( σ kσ t E k ) ν k σr kσ r 1 σ kσ = t = E k Hodnotacelkovéopřesauzaklidu r 1 jepotompodle()rovna 0.045 13.53 106 1.8 10 11. =5.338 10 5 m. (43) r 1 = r 1ω + r kσ 1ω r v 1ω=6.55 10 5 +5.338 10 5 0.00 10 5 =11.87 10 5 m. (44) Numerické odnoty byly do rovnice(44) dosazeny ze vztaů(31),(38) a(43). Soledemnapravoučástobr.jezřejmé,žeprovyšetřenístavunapjatostivřídeli akotoučizaklidu,tj.pro ω=0,jerozodujícínalezenízávislosti p n a r 1.Výpočetje možné provést obdobně jako v případě dvouplášťové otevřené nádoby při působení pouze nalisovacíotlaku p n zaklidu.nejprvestanovímeintegračníkonstanty,kterésevyskytují ve vztazíc pro lavní napětí. Funkci, popisující obecně velikost radiálnío napětí při nulové rotaci, můžeme zapsat ve tvaru D 0,1 1 D0,1 pro r 0,r σ r,n (r)= r 1, (45) D 1, 1 D1, pro r r r 1,r, a obdobně můžeme psát i funkci, která popisuje průbě obvodovéo napětí, ve tvaru D 0,1 1 + D0,1 pro r 0,r σ t,n (r)= r 1 ), (46) D 1, 1 + D1, pro r (r r 1,r. Proosovénapětípředpokládámestáleplatnostvztau(1).Integračníkonstanty D 0,1 1 a D 0,1 pro řídel určíme z okrajovýc podmínek σ r,n (0)=σ t,n (0) a σ r,n (r 1 )= p n. (47) 1
Podosazenído(47) 1 ze(45)a(46)obdržímevzta [ ] [ lim D 0,1 1 D0,1 =lim D 0,1 r 0 r 0 který lze splnit pouze pro případ r 1 + D0,1 r Podosazenídookrajovépodmínky(47) snadnozjistíme,že ], (48) D 0,1 =0. (49) D 0,1 1 = p n. (50) Analogickystanovímeiintegračníkonstanty D 1, 1 a D 1,.Vtomtopřípaděvycázíme z okrajovýc podmínek σ r,n (r 1 )= p n a σ r,n (r )=0, (51) které platí pro kotouč bez rotace, viz pravá část obr.. Řešením soustavy rovnic D 1, 1 D1, r1 = p n a D 1, 1 D1, r =0 (5) vyplývajícíc z(51) a(45) obdržíme ledané integrační konstanty ve tvaru D 1, 1 = p nr 1 r r 1 a D 1, = p nr1r. (53) r r1 Změnupoloměru r 1 řídeleazměnupoloměru r k 1kotouče,kteréjsounutnépro výpočet r 1,jakjepatrnézrovnice(),můžemespřilédnutímkevztaům(45),(46), kamdosadímeze(49),(50)a(53),vyjádřitjako r1 = r 1 (σ t (r 1 0) ν σ r (r 1 ))( 1)= r 1p n (1 ν ), (54) E E r1= k r 1 (σ t (r 1 +0) ν k σ r (r 1 ))= r 1p n E k E k r r1 Vsouladusrovnicí()pakprocelkovýpřesazaklidupišme ( r 1 + r + ν k ). (55) r 1 = r1 + r 1= k 0.045p ( ) n.1 10 11(1 0.3)+0.045p n 0.045 +0.5 1.8 10 11 0.5 0.045 +0.9 =4.93 10 13 p n. Porovnáním(44) a(56) obdržíme velikost nalisovací tlaku p n = který vznikne ve spoji řídele a kotouče po montáži. = (56) 11.87 10 5 4.93 10 13. =40.61 10 6 Pa, (57) 13
r [mm] 5 00 175 150 15 100 75 σ r,n σ o 50 5 σ r,n = σ t,n 0 50 00 150 100 50 0 50 100 150 00 50 σ r, σ t, σ o [MPa] Obr.4 Nyní jsme scopni numericky vyšetřit stav napjatosti ve spojení řídele a kotouče. Integrační konstanty(53) nabývají odnot D 1, 1 = 40.61 106 0.045 0.5 0.045. =10.03 10 6 Pa=10.03MPa, (58) D 1, = 40.61 106 0.045 0.5 0.5 0.045. =0.5075 10 6 N=0.5075MN. (59) Funkce popisující průbě radiálnío a obvodovéo napětí, viz vztay(45) a(46), mají po dosazení odnot dle(57) až(59) tvar 40.61 10 6 pro r 0,r 1, σ r,n (r)= 10.03 10 6 0.5075 106 (60) pro r r r 1,r, 40.61 10 6 pro r 0,r 1 ), σ t,n (r)= 10.03 10 6 0.5075 106 (61) + pro r (r r 1,r. Průběy těcto lavníc napětí, včetně napětí osovéo, jsou potom vidět na obr. 4. Hodnotyradiálníoaobvodovéonapětínapoloměrec r={0,r 1,r }můžemestanovitnásledujícím způsobem: σ t,n σ r,n (0)=σ r,n (r 1 )=D 0,1 1 = p n = 40.61MPa, σ r,n (r )=D 1, 1 D1, r =0, σ t,n (0)=σ t,n (r 1 0)=D 0,1 1 = p n = 40.61MPa, σ t,n (r 1 +0)=D 1, 1 + D1, r1 =D 1, 1 + p n = 10.03+40.61=60.67MPa, σ t,n (r )=D 1, 1 + D1, r =D 1, 1 = 10.03=0.06MPa. (6) 14
Při výpočtu bezpečnosti po montáži zjišťujeme, že stejně jako za rotace je kotouč nejvíce namáánnapoloměru r=r 1.Jevšakzřejmé,žeoprotipřípaduzarotacedošlokvýraznému nárůstu odnot redukovanéo napětí a to jak v kotouči, tak i v řídeli. Proto vypočítáme minimální bezpečnost dle Guestovy ypotézy pevnosti v obou tělesec. Redukované napětí je potom pro řídel rovno aprokotouč σ red = σ max σ min = σ o σ r,n = p n =40.61MPa (63) σ red = σ max σ min = σ t,n σ r,n =60.67 ( 40.61)=501.8MPa. (64) Následně určíme bezpečnost podle Guestovy ypotézy pevnosti vůči mezi kluzu materiálu řídele, resp. kotouče, jako k= Re σ red = 80 40.61. =1.16, resp. k= Re k σ red = 50 501.8. =1.04. (65) S přilédnutím k vypočteným odnotám bezpečnosti za rotace a po montáži, viz(8) a(65), můžeme tedy konstatovat, že nejmenší bezpečnost je v kotouči po montáži a její velikostje k=1.04. Příklad 4: Je dán rotující kotouč proměnné tloušťky, se dvěma stupni (obr.1),zatíženýnavnitřnímokrajiopoloměru r 1 tlakem p 1 anavnějšímokrajiopoloměru r 3 taovýmnapětím σ 3.Poloměr,naněmždocázíkezměnětloušťky kotoučeje r.vyšetřeteavměřítkuzakresletenapjatost, je-lidáno: ρ=7.8 10 3 kgm 3, ν=0.3, n=3000min 1, p 1 =15MPa, σ 3 =0MPa, r 1 =40mm, r =70mm, r 3 =110mm, b I =60mm, b II =30mm. σ 3 p 1 b II b I r 1 r ω Obr.1 Řešení: Při vyšetření napjatosti v kotouči se dvěma stupni postupujeme tak, že kotouč rozdělíme myšlenýmválcovýmřezem(napoloměru r )nadva-označmejenapř. Ia II.Vkaždém stupni pak předpokládáme platnost obecnéo řešení jako u rotujícío kotouče konstantní tloušťky, tj. pro radiální a obvodové napětí píšeme σ i r= D i 1 Di r (3+ν)D ωr a σ i t= D i 1+ Di r (1+3ν)D ωr pro i=i,ii (1) aosovénapětívšudevtělesezanedbáváme.kurčeníčtyřintegračníckonstant D I 1až D II, jež se vyskytují v(1), je třeba formulovat čtyři okrajové podmínky, které jsou pro řešenou úlou následující: σ I r(r 1 )= p 1 a ε I t(r )=ε II t(r ) a N I r(r )=N II r(r ) a σ II r(r 3 )=σ 3. () 15 r 3
Rovnice() 1,resp.() 4,vyjadřujerovnováumeziradiálnímnapětímvkotoučiavnějším zatíženímnapříslušnémpoloměru r 1,resp. r 3.Podmínka() vyjadřujedefactospojitost kotoučenapoloměru r.platítotiž ε i t(r )= r i (r )/r aodtudpřejdepodmínka ε I t(r )= ε II t(r )natvar r I (r )= r II (r ).Podmínku() lzeužitímobecnéohookeovazákona psáttakévetvaru σ I t(r ) νσ I r(r )=σ II t(r ) νσ II r(r ). (3) Podmínka() 3 potomvyjadřujerovnostradiálnícsilkotoučevmístěnekonečněblízkém válcovémuřezuopoloměru r.porozepsáníaúpravěpakmáme b I σ I r(r )=b II σ II r(r ). (4) Dosaďmenyníobecnéřešení(1)dookrajovýcpodmínek(),resp.(3)a(4).Porozepsání lze uvedené okrajové podmínky vyjádřit rovnicemi (1 ν)d1+ I (1+ν) D I r (1 ν)d II D I 1 1 r 1 D I =(3+ν)D ω r 1 p 1, 1 (1+ν) b I D1 I b I D I r b II D II Dosazením číselnýc odnot nejprve vypočteme D ω = ω 8 = π n = π r 1 + b II r D II =0, D II =(b I b II )(3+ν)D ω r, D1 II 1 D II r3 =(3+ν)D ω r3+ σ 3. (5) 7.8 10 3 3000 60. =96.86 10 6 Pam. (6) Poté dosadíme do rovnic(5) číselné odnoty za všecny známé parametry. Takto vzniklou soustavučtyřlineárnícalgebraickýcrovnicproneznámé D1až I D II je výodné zapsat v maticové formě 1 65 0 0 D1 I 14.49 10 6 0.7 65.31 0.7 65.31 D I 0.06 1.45 0.03 6.14 D1 II = 0 46681. (7) 0 0 1 8.64 D II 3.84 10 6 Řešení soustavy(7) provedeme např. pomocí Gaussovy eliminace. Hodnoty neznámýc integračníc konstant jsou po vyčíslení rovny D1 I D1 II. =1.94 10 6 Pa, D I. =5890.7N,. =7.46 10 6 Pa, D II. =43734.3N. (8) Poté, co byly nalezeny otnoty integračníc konstant, lze sestavit rovnice průběu radiálnío a obvodovéo napětí rotujícío kotouče proměnné tloušťky se dvěma stupni, viz 16
100 80 σ o σ r σ t r [mm] 60 40 σ r σ t 0 0 15 10 5 0 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 55 60 σ r, σ t, σ o [MPa] Obr. rovnice(1).tytorovnicesvyužitím(6),(8)a(8)majítvar σ r (r)= σ t (r)= 1.94 10 6 5890.7 r 317.555 10 6 r pro r r 1,r ), 7.46 10 6 43734.3 r 317.555 10 6 r pro r (r,r 3, 1.94 10 6 + 5890.7 18.834 10 6 r pro r r r 1,r ), 7.46 10 6 + 43734.3 18.834 10 6 r pro r (r r,r 3 a jsou graficky znázorněny na obr.. V případě skutečnéo kotouče musí být průbě radiálníoaobvodovéonapětíspojitýprovšecna r r 1,r 3,protožeiobrysprofilukotouče jespojitý.podmínkaspojitostinapětíjevšakporušenavblízkémokolípoloměru r,kde nastává nálá změna tloušťky kotouče a kde tedy musíme respektovat Saint-Venantův princip lokálnosti. Poznámka: U kotoučů proměnnéo profilu, kde obrys osovéo řezu není možné výjádřit jednoducou funkcí, se dá vyšetřit napjatost přibližně tzv. metodou malýc rozdílů. Základem metody je řešení pro kotouč konstantní tloušťky. Skutečný profil tělesa se narazuje vodně odstupňovaným kotoučem. V místec nálé změny tloušťky profilu se volí ustší dělení na stupně, přičemž pro každý stupeň je volena střední tloušťka z danéo intervalu poloměru. Úlou pak řešíme při dodržení silovýc a deformačníc podmínek na poloměrec,vnicžsejednotlivédílčíkotoučestýkají,vizokrajovépodmínky() a() 3.Pro kotouč rozdělený na n stupňů je pak třeba formulovat celkem n okrajovýc podmínek, které vedou na řešení soustavy n lineárníc algebraickýc rovnic pro neznámé integrační konstanty D i 1až D i,kde i=1,,...,n.tímtopostupenjsmescopnivyšetřitpřibližný průbě radiálnío a obvodovéo napětí v kotouči proměnnéo profilu. (9) (10) 17