Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Jakub Borovanský 4. C 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů

Přísahám, že jsem zadanou ročníkovou práci sepsal sám, a že jsem použil pouze citovaných zdrojů. Souhlasím s volným šířením mé práce. V Praze dne. Jakub Borovanský

Obsah Slovo úvodem 3 1. Rozšíření euklidovského prostoru 4 1.1 Vlastnosti nevlastního bodu. 4 2. Potřebné prostředky k sestrojení kuželosečky 5 2.1 Dělící poměr 5 2.2 Dvojpoměr... 5 2.3 Harmonická čtveřice bodů... 5 2.4 Projektivní příbuznost. 6 2.5 Středová kolineace.. 7 2.6 Konstrukce tečny v libovolném bodě.. 8 2.7 Rytzova konstrukce. 10 2.8 Polární vlastnosti kuželoseček... 11 2.9 Oskulační kružnice... 13 3. Konstrukce kuželosečky 14 Závěr 19 Zdroje 20 2

Slovo úvodem Rád bych ve své práci obsáhl problém konstrukce kuželoseček zadaných pěti body a s tím spojených podproblémů. Dále bych chtěl objasnit všecky použité pojmy a konstrukce, které zmíním. Tento text by měl sloužit jako univerzální materiál pro kohokoliv, kdo se bude zajímat o téma. Čerpat budu převážně z knihy Medka V. (1962), dále ke všem konstrukcím a vyobrazení použiji program Geogebra 4, který je volně k dostání na internetu. Výsledná práce by měla působit jako shrnutí kompletní konstrukce, pro jejíž zopakování nebude potřeba jiného zdroje. 3

1. Rozšíření euklidovského prostoru Abychom mohli pracovat na sestrojení kuželosečky, musíme nejprve rozšířit klasický euklidovský prostor o další prvek, tzv. nevlastní bod. Jde o bod v nekonečnu. Pokud máme přímku p a mimo ní ležící bod A a vedeme bodem A rovnoběžku s přímkou p, nenajdeme v klasické euklidovské rovině průsečík, pokud si ji ale tedy rozšíříme o bod v nekonečnu, tedy nevlastní bod, protnou se tyto dvě přímky v tomto bodě. Pro tyto dvě přímky a jejich nevlastní bod pak platí tato věta: (1.1) Všechny přímky v prostoru, které jsou navzájem rovnoběžné, mají společný právě jeden nevlastní bod. 1.1 Vlastnosti nevlastního bodu Pokud chceme pracovat s nevlastním bodem, musíme dále rozšířit i pojem incidence. Pro nevlastní bod tedy dále platí: (1.2) Každá vlastní přímka obsahuje jediný nevlastní bod. (1.3) Dvě vlastní přímky jsou navzájem rovnoběžné právě tehdy a jen tehdy, když jsou jejich nevlastní prvky incidentní. 4

2. Potřebné prostředky k sestrojení kuželosečky V této kapitole se seznámíme s některými nezbytnými prostředky, bez jejichž znalosti bychom nemohli kuželosečku danou pěti body sestrojit. 2.1 Dělící poměr Pokud máme na přímce p dva vlastní body A, B můžeme potom dále každému bodu C ležícímu na přímce p, různému od bodu B, přiřadit číslo λ C, které budeme značit (ABC). Nazýváme ho tedy dělící poměr. Dělící poměr je definován takto: (ABC) = AC / BC Poté nevlastnímu bodu U přímky p přiřazujeme hodnotu dělícího poměru (AUB) = 1. 2.2 Dvojpoměr Na přímce p máme čtveřici bodů A, B, C, D. Přitom bod A není incidentní s bodem B ani s bodem D, bod B ani s jedním z ostatních třech bodů a body A, B jsou vlastními body. Potom dvojpoměrem bodů A, B, C, D v tomto pořadí rozumíme podíl dělících poměrů bodů C a D vzhledem k bodům A a B. Dvojpoměr označujeme (ABCD). Platí tedy: (ABCD) = ( AC. BD )/( AD. BC ) Dále mějme dvě různé přímky p a q a bod S, který neleží ani na jedné z nich. Pro body A, B, C, D, které leží na přímce p, platí: (ABCD) = a. Nechť jsou potom průsečíky přímek SA, SB, SC, SD s přímkou q značeny A, B, C, D, potom platí Pappova věta: (2.1) Dvojpoměry bodů A, B, C, D a A, B, C, D jsou stejné, tzn.: (ABCD) = (A B C D ) 2.3 Harmonická čtveřice bodů (2.2) O harmonické čtveřici bodů A, B, C, D hovoříme tehdy, platí-li: (ABCD) = -1 Harmonickou čtveřici bodů pak jednoduše konstruujeme pomocí takzvaného úplného čtverrohu, nechť tedy A, B, C, D jsou čtyři různé body, pro které platí, že žádné tři z nich neleží na jedné přímce. Pospojováním těchto bodů dostáváme šest spojnic, které tvoří spolu s body A, 5

B, C, D úplný čtverroh. Poté tedy hovoříme o stranách a vrcholech úplného čtverrohu, strany se protnou krom bodů A, B, C, D v dalších třech bodech, ty značíme například X, Y, Z. Těmto bodům říkáme diagonální vrcholy, které tvoří diagonální trojúhelník. Situaci znázorňuje obrázek č. 1. Obrázek č. 1 Úplný čtverroh Úplný čtverroh má tyto vlastnosti: Na každé jeho straně leží dva jeho vrcholy a jeden vrchol diagonální. Protilehlá strana diagonálního trojúhelníku pak protíná stranu čtverrohu v dalším, čtvrtém bodě. Například zvolíme vrcholy A, B a diagonální vrchol Y. Čtvrtý bod pak označíme Y 1. Tyto body se pak dělí harmonicky, tedy platí: (ABY 1 Y) = (CBX 1 X) = -1 Stejným postupem tento jev platí i pro zbylé čtveřice odpovídajících si bodů. Důkaz této vlastnosti můžeme najít například v knize Medka V. (1962). 2.4 Projektivní příbuznost Projektivní příbuzností rozumíme nejdůležitější jednoznačnou příbuznosti, která se v deskriptivní geometrii používá. Charakteristické pro projektivní příbuznost je, že pokud 6

projektivní příbuznost přiděluje bodům 1 A, 1 B, 1 C, 1 D ležícím na přímce p body 2 A, 2 B, 2 C, 2 D ležící na přímce q platí: ( 1 A 1 B 1 C 1 D) = ( 2 A 2 B 2 C 2 D) Nejjednodušší projektivní příbuzností je projektivní příbuznost mezi body dvou přímek p a q. Pak hovoříme o projektivní příbuznosti mezi dvěma bodovými řadami p a q. Podle toho, zda-li přímky p, q splývají nebo ne, hovoříme o soumístných a nesoumístných bodových řadách. 2.5 Středová kolineace Středová kolineace je rovinné zobrazení, pomocí kterého jsme kružnici zobrazit na libovolnou kuželosečku. Středová kolineace je jednoznačně zadána středem, osou a dvojicí bodů. Konstrukce dalších bodů je poté snadná. Obrázek č. 2 Princip zobrazení v kolineaci Z obrázku č. 2 plyne bodová konstrukce v kolineaci. Kolineace je zde jasně zadána osou, středem S a dvojicí bodů A a A 1. Zvolíme libovolný bod B, pokud ho chceme zobrazit v kolineaci, spojíme ho se středem kolineace S a s bodem A. Tam, kde přímka AB protne 7

množinu všech samodružných bodů, tedy osu kolineace, vznikne bod I. Tento bod dále spojíme s bodem A 1. Průsečíky přímek IA 1 a SB vzniká bod B 1. Celé zobrazení středové kolineace si můžeme představit následovně, pokládejme střed S za zdroj světla. Dále viďme bod A jako bod na stěně. Bod A 1 je pak bod ležící na zemi (zem a stěna jsou na sebe samozřejmě kolmé). Poté pokládejme průsečnici stěny a země jako osu kolineace. Tento jev napomáhá v konstrukci kuželoseček takto, pokud máme ve stěně vyřízlý kruh a prosvítíme ho světelným zdrojem jsoucím ve středu S, dostáváme kužel světla, který se na zem promítne jako jedna z kuželoseček. 2.6 Konstrukce tečny v libovolném bodu kuželosečky (2.3) Každým bodem kuželosečky prochází právě jedna její tečna. (2.4) Na každé tečně leží právě jeden její bod dotyku. Kuželosečku máme určenou pěti body, těchto pět bodů je svázáno vlastnostmi kuželosečky takzvanou Pascalovou větou (její vyobrazení najdeme na obrázku č. 3): (2.5) Nutná a postačující podmínka, aby šest bodů 1, 2, 3, 4, 5, 6, z kterých některé tři neleží na přímce, leželo na jedné kuželosečce, je, aby průsečíky spojnic I (body 1 a 2 s body 4 a 5) II (body 2 a 3 s body 5 a 6) a III (body 3 a 4 s body 6 a 1) ležely na jedné Pascalově přímce. Obrázek č. 3 Pascalova věta 8

Nyní mějme 5 bodů kuželosečky, například A, B, C, D, E, ze kterých žádné tři neleží na přímce, sestrojíme libovolnou přímku a, která například prochází bodem A a není tečnou kuželosečky. Máme najít její další průsečík s kuželosečkou. Pokud tedy přímka není tečnou kuželosečky a protíná jí v bodě A, musí ji protínat ještě v jednom bodě, nazvěme ho F. Známe spojnici bodu A a F, je jí přímka a, tedy jsme schopni pomocí bodů I a II najít Pascalovu přímku, poté můžeme naleznout také bod III, a tím nalezneme i další průsečík F. Tuto situaci zobrazuje obrázek č. 4. Obrázek č. 4 Hledání dalšího průsečíku sečny s kuželosečkou zadanou pěti body Tečnu můžeme brát jako jakousi limitní polohu sečny. Tedy budeme brát pozici bodu F takovou, že splyne s bodem A. Tímto tedy přecházíme v celkový problém sestrojení tečny v bodě kuželosečky, která je dána pěti body. Tento problém je jedním ze základních pilířů budoucí konstrukce. Nyní tedy k samotné konstrukci tečny, mějme opět pět bodů A, B, C, D, E, ze kterých žádné tři neleží na přímce, pomocí obdobné konstrukce nyní sestrojíme tečnu v bodě A. Postupujeme takto: nejprve sestrojíme spojnice bodů AC, BD, EC, EB, DA. Dále zvolíme body I a II. Bod I je průsečíkem spojnic AC a BD. Bod II je pak průsečíkem spojnic BD a AD. Bod III najdeme jako 9

průsečík přímky I II s přímkou BE. Spojnice bodů III a A je pak hledaná limitní poloha, tedy tečna ke kuželosečce. Tuto konstrukci ilustruje obrázek číslo 5. Obrázek č. 5 Nalezení tečny ke kuželosečce v jednom z jejích pěti zadaných bodů 2.7 Rytzova konstrukce Rytzova konstrukce hovoří o sestrojení dvojice kolmých sdružených průměrů elipsy. Tyto průměry lze zkonstruovat z libovolných dvou sdružených průměrů elipsy. Postup Rytzovi konstrukce je již snadný, mějme pár sdružených průměrů elipsy, jejich koncové body označíme O, P, Q, R, poté podle středu S elipsy otočíme libovolný z bodů O, P, Q, R o devadesát stupňů. Dále takto vzniklý bod spojíme s nejbližším ze zbývajících bodů, najdeme střed K úsečky s těmito dvěma krajními body, například X, Y. Nalezneme pak kružnici s poloměrem PS a nalezneme její průsečíky s přímkou XY, tyto body pak společně s bodem S určují hlavní a vedlejší osy elipsy. Postup konstrukce je viditelný z obrázku č. 6. 10

2.8 Polární vlastnosti kuželosečky Obrázek č. 6 Řešení Rytzovy konstrukce Tyto vlastnosti budeme potřebovat čistě k určení středu kuželosečky, jde o velmi složitý problém, o kterém se podrobně dočtete například v knize Medka V. (1962). Veškeré polární vlastnosti se opírají o vlastnosti úplného čtverrohu, a tedy také dvojpoměru, o kterých jsem mluvil již dříve. V této kapitole řešíme hlavně poláry a póly. Zvolme si teď tedy bod P ležící mimo kuželosečku a sestrojme bodem P přímku a, která protne kuželosečku ve dvou různých bodech A 1, A 2, a sestrojme na přímce a bod P a takový, že: (PP a A 1 A 2 ) = -1 11

Pro přímku tvořenou všemi takovými body P a máme název polára. Bod P je tedy pak pólem. Dále z bodu P sestrojíme sečnu m, která nesplývá s přímkou a. V jejich průsečících s kuželosečkou, které označíme M 1, M 2, sestrojíme tečny t 1, t 2 a nechť je M jejich průsečíkem. Nyní sestrojíme diagonální vrcholy X, Y čtverrohu M 1 M 2 A 1 A 2. Třetím diagonálním vrcholem je bod P, poté dle Pascalovy věty platí, že body M, X, Y. Z vlastností úplného čtverrohu plyne: (M 1 M 2 PP m ) = (A 1 A 2 PP a ) = -1 Pascalova přímka je tedy určená body M a P m, a nezávisí tedy na volbě přímky a, je to tedy hledaná polára bodu P. Nahlédneme tak z obrázku č. 7. Obrázek č. 7 Zobrazení konstrukce poláry (2.6) Pokud bod P leží na poláře bodu M, potom polára bodu P prochází bodem M. (2.7) Podle toho, jestli je nevlastní přímka sečnou, tečnou nebo nemá s kuželosečkou žádný společný bod, nazýváme tuto kuželosečku hyperbolou, parabolou nebo elipsou. Nyní hledáme pól nevlastní přímky vzhledem ke kuželosečce (pokud jde o parabolu, je pól nevlastní přímky bodem dotyku). (2.8) Pól nevlastní přímky vzhledem k elipse, resp. hyperbole nazveme středem elipsy, resp. hyperboly. Nechť O je středem elipsy. Spojnice OA má nevlastní bod U a nechť protíná kuželosečku v dalším bodě A. Potom musí platit (OUAA ) = -1, a bod O je tedy středem úsečky AA. 12

2.9 Oskulační kružnice Poslední z prostředků k sestrojení kuželosečky jsou oskulační kružnice, pro každou kuželosečku se tvoří jinak, jsou to křivky, které se ve specifických bodech a jejich okolí chovají stejně jako daná kuželosečka. U elipsy sestrojíme oskulační kružnici snadno, hlavní a vedlejší vrchol společně se středem doplníme na obdélník, dále sestrojím kolmici na jeho úhlopříčku v bodě obdélníku různého od středu či jednoho z vrcholů. Tato kolmice protne hlavní a vedlejší osy ve středech oskulačních kružnic vzhledem k elipse. Pokud řešíme hyperbolu, potřebujeme její asymptoty. V hlavních vrcholech sestrojíme kolmici na hlavní osu, poté najdeme průsečíky těchto kolmic s asymptotami, v těchto bodech dále sestrojíme další kolmice. V bodě, ve kterém kolmice protne hlavní osu, najdeme střed oskulační kružnice. 13

3. Konstrukce kuželosečky Nyní, když jsme již seznámeni s pomocnými konstrukcemi, přejdeme k finální konstrukci kuželosečky, která je zadána pěti body. Každých pět bodů, které neleží v přímce, pevně určuje kuželosečku, plyne to z několika faktů. Kupříkladu analytické vyjádření kuželosečky obsahuje právě šest koeficientů, z kterýchžto můžeme vytvořit koeficientů pět otočením soustavy souřadné. Dalším faktem, ze kterého toto jednoznačné určení plyne, jest věta Chaslesova: (3.1) Body bodové kuželosečky se promítají z dvou jejích libovolných různých bodů projektivními svazky přímek. Z této věty tedy přímo vyplývá, že kuželosečka je pevně daná pěti libovolnými body, které neleží na jedné přímce. Mějme danou kuželosečku pěti body, k její konstrukci nám postačí sestrojit si tečny ve třech bodech této kuželosečky. Pro mou práci jsem si zvolil elipsu, je na ní totiž nejlépe vidět daný postup. Zvolme tedy tři body, v mém případě A, B, D. V těchto bodech sestrojíme tečny pomocí věty Pascalovi. Volíme body tak, aby nám průsečíky tečen vytvořili trojúhelník. Jeden z průsečíků označíme V, zvolíme ho totiž později jako střed středové kolineace. Ostatní dva označíme P, Q, které jsou póly kuželosečky, jejich poláry jsou AD a BD. Označíme AD jako p a BD jako q. Této situaci můžeme být svědky na obrázku č. 8. Nechť tedy platí výše uvedené, dále označíme U nevlastní bod poláry p, tento bod má poláru u. Z věty (2.6) vyplývá, že bod O, střed kuželosečky, musí ležet na poláře u. Protože bod U leží na poláře p, musí polára u procházet bodem P. Další bod, například U 1 najdeme jako střed úsečky AB. Stejnou konstrukci provedeme vzhledem k bodu Q. Jakožto průsečík dvou polár nevlastních bodů najdeme střed kuželosečky, tedy pól nevlastní přímky. Potom můžou navíc nastat dva případy, bod O je buď vlastní anebo nevlastní bod. Pokud je bod O vlastní, jde o středovou kuželosečku dle vět (2.7) a (2.8) a na druhou stranu, je-li bod O nevlastní, jde o parabolu. Přímky PV a QV jsou tečny dané kuželosečky. Určují tak kolineaci se středem V. Zvolíme tedy libovolnou kružnici se středem S takovou, že PV a QV jsou její tečny, můžeme 14

pak tedy dotyk na přímce QV označit jako B 1 a druhý dotyk A 1. Body A a A 1 a body B a B 1 pak jsou svým obrazem v kolineaci se středem V. Obrázek č. 8 Konstrukce tří tečen a polár jejich průsečíků Abychom mohli kružnici finálně zobrazit na kuželosečku, musíme najít osu kolineace, najdeme ji následovně. Najdeme průsečík přímek AB a A 1 B 1, tento průsečík je jedním ze samodružných bodů kolineace. Jak najít další bod osy? Spojme například bod C s vrcholem V. Najdeme průsečíky přímky CV s kružnicí, z nichž vyberme ten, který odpovídá bodu C na elipse (například pomocí polorovin určených přímkami AB a A 1 B 1 dělí kružnici a elipsu na dvě části). Dále najdeme například průsečík přímek, a tím i druhý bod osy kolineace CA a C 1 A 1. Tento fakt vyobrazuje obrázek č. 9. Nyní nalezněme bod O v kružnici, je nutné si totiž uvědomit, že bod S se nezobrazí do bodu O. V bodě O 1 pak zvolíme průměr kružnice a dále kolmici na tento průměr, průsečíky těchto přímek s kružnicí si pak zobrazíme pomocí kolineace na elipsu. Získáme tak pár sdružených průměrů, viz obrázek č. 10. Ze sdružených průměrů již pak získáme Rytzovou konstrukcí hlavní a vedlejší poloosy. Kuželosečku máme již určenou kolineací, proto je Rytzova konstrukce pouze nadbytečná, dělána především pro přesnost. 15

Vrcholy elipsy můžeme najít například jako obraz bodů z kolineace, přes střed elipsy a jeho obraz v kružnici. Kompletně zkonstruovaná kuželosečka je na obrázku č. 11. Obrázek č. 9 zadání kolineace pomocí sestrojení osy kolineace 16

Obrázek č. 10 Konstrukce sdružených průměrů 17

Obrázek č. 11 Hotová kuželosečka sestrojená pomocí hlavních os a vrcholů vzniklých z Rytzovy konstrukce 18

Závěr Všechny body konstrukce kuželosečky jsem popsal buď přímo v konstrukci, nebo v bodech okolo potřebné konstrukce k sestrojení kuželosečky. Kuželosečka byla dána pěti body, které neležely v přímce, a její konstrukce nezávisela na jejich zvolení. Každý krok bylo možno sestrojit a konstrukce je tedy univerzální. Všechny věty, které jsem použil, byly vybrány z knihy Medka V. (1962). Seznámili jsme se se základy dvojpoměru, z něho vyplývajících faktů jako je čtveřice harmonických bodů, ze které dále plynuly zajímavé vlastnosti čtverrohu a diagonálního trojúhelníku. Dále jsme se seznámili s Rytzovou konstrukcí hlavních a vedlejších os elipsy a některými důležitými polárními vlastnostmi. Ve finále jsme sestrojili kuželosečku pomocí středové kolineace, jak bylo na začátku požadováno. 19

Zdroje Medek, Václav (1962): Deskriptivní geometrie, Státní nakladatelství technické literatury, Praha 1, Spálená 51 Urban, Alois (1957): Deskriptivní geometrie 1, Státní nakladatelství technické literatury, Praha 1, Spálená 51 Urban, Alois (1957): Deskriptivní geometrie 2, Státní nakladatelství technické literatury, Praha 1, Spálená 51 20