cv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost

3 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv3tex n i=1 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Systém náhodných jevů nazýváme úplným, jestliže pro něj platí: B i = 1 a pro i k je B i B k = 0 Jestliže je (Ω, A, P ) pravděpodobnostní prostor, a {B i, 1 i n} je úplný systém jevů, pak pro A A je P (A) = n i=1 P (B i ) P (A B i ) n i=1 B i = 1, i k B i B k = 0 B 1 B 2 A B 1 A B 2 A Schema výpočtu A B 1 B 1 A A B 1 A A B 2 B 2 A B 1 Bayesův vzorec Jestliže je (Ω, A, P ) pravděpodobnostní prostor, a {B i, 1 i n} je 1

úplný systém jevů, pak pro A A, P (A) > 0 je P (B k A) = P (A B k) P (B k ) P (A) = P (A B k) P (B k ) n P (A B i) P (B i ) i=1 31 Příklad Při výrobě pamětí nedosahují všechny deklarované kapacity U prvního výrobce dosahuje předepsané kapacity 95% výrobků a u druhého 90% V obchodě je na skladě 70% pamětí od prvního výrobce a 30% od druhého Vypočtěte pravděpodobnost jevu A, že náhodně vybraná pamět má deklarovanou kapacitu Potom vypočtěte pravděpodobnosti s jakou je tato dobrá pamět od prvního či od druhého výrobce Řešení: Koupě dobré paměti se může realizovat ve dvou možnostech (hypotézách): B 1 - pamět je od 1 výrobce, resp B 2 - pamět je od 2 výrobce Podle vzorce pro úplnou pravděpodobnost je P (A) = P (B 1 ) P (A B 1 ) + P (B 2 ) P (A B 2 ) = 07 095 + 03 090 = = 0665 + 027 = 0935 Podle Bayesova vzorce vypočteme další pravděpodobnosti: P (B 1 A) = P (A B 1) P (B 1 ) P (A) P (B 2 A) = P (A B 2) P (B 2 ) P (A) = 0665 0935 = 07112, = 027 0935 = 02888 32 Příklad U 10% řidičů, kteří způsobili dopravní nehodu, bylo prokázáno požití alkoholu Průzkum ukázal, že riziko nehody se požitím alkoholu zvyšuje 7 krát Odhadněte kolik procent řidičů požilo před jízdou alkohol Řešení: Označíme si náhodné jevy: A řidič požil alkohol; H řidič způsobil dopravní nehodu Je dáno P (A H) = 01, P (H A) = 7 P (H A) Počítáme P (A) =? K výpočtu použijeme vzorec pro úplnou pravděpodobnost a Bayesův vzorec Ze vzorce pro úplnou pravděpodobnost dostaneme, že P (H) = P (H A) P (A) + P (H A) P (A) a podle Bayesova vzorce je 01 = P (A H) = P (H A) P (A) P (H) = P (H A) P (A) P (H A) P (A) + P (H A) P (A) 2

01 = 7P (H A) P (A) 7P (H A) P (A) + P (H A) (1 P (A)) = 7P (A) 7P (A) + (1 P (A)), jestliže zlomek zkrátíme činitelem P (H/A) a zároveň použijeme vztahu P (A) = 1 P (A) Z rovnice pro hledanou pravděpodobnost dostaneme 01 = 7 P (A) 6 P (A) + 1 6 P (A) + 1 = 70 P (A) 64 P (A) = 1 P (A) = 1 = 001562 64 Před jízdou požilo alkohol přibližně 16% řidičů 33 Příklad Bloky zařízení mají poruchy nezávisle na sobě po řadě s pravděpodobnostmi p 1 a p 2 Určete pravděpodobnost bezporuchového chodu pro (I)) seriové zapojení a (II)) paralelní zapojení bloků z obrázku Vyčíslete pravděpodobnosti pro hodnoty: a) p 1 = 01, p 2 = 02; b) p 1 = 01, p 2 = 03 p 1 p 1 p 2 p 2 Obr 1a Obr 1b Řešení: Jestliže si označíme A i, i = 1, 2 náhodný jev, že je příslušný blok zařízení v provozu, pak P (A i ) = 1 p i, i = 1, 2 a P (A i ) = p i, i = 1, 2 je pravděpodobnost výskytu poruchy Označme A náhodný jev, že je seriové zapojení (I) bloků v provozu a B náhodný jev, že je paralelní zapojení (II) bloků v provozu Potom je A = A 1 A 2, a B = A 1 A 2 Protože jsou náhodné jevy A 1 a A 2 nezávislé, tedy jsou nezávislé i náhodné jevy A 1 a A 2, pak pro příslušné pravděpodobnosti dostaneme P (A) = P (A 1 )P (A 2 ) = (1 p 1 )(1 p 2 ), P (B) = 1 P (B) = 1 P (A 1 )P (A 2 ) = 1 p 1 p 2 Pro zadané číselné hodnoty pravděpodobností poruch dostaneme po dosazení do vzorců: 3

a) P (A) = (1 01)(1 02) = 09 08 = 072 a P (A) = 1 072 = 028; P (B) = 1 01 02 = 1 002 = 098 a P (B) = 1 098 = 002 b) P (A) = (1 01)(1 03) = 09 07 = 063 a P (A) = 1 063 = 037; P (B) = 1 01 03 = 1 003 = 097 a P (B) = 1 097 = 003 Poznamenejme: Pro seriové a paralelní zapojení n bloků, ve kterých se vyskytují nezávislé poruchy s pravděpodobnostmi p i, 1 i n, pak pravděpodobnosti bezporuchového provozu jsou pro seriové zapojení P (A) = (1 p 1 )(1 p 2 ) (1 p n ) pro paralelní zapojení P (B) = 1 p 1 p 2 p n Jsou-li bloky identické, tedy p 1 = p 2 = = p n = p, pak P (A) = (1 p) n a P (B) = 1 p n 33 b Příklad Zařízení na obrázku se tvořeno zapojením bloků, které pracují nezávisle na sobě a pravděpodobnosti výskytu poruch jsou zadány Vypočtěte pravděpodobnost P (A) funkčnosti systému a pravděpodobnost P (A) poruchy funkce zařízení Pravděpodobnosti vyčíslete pro: I: p 1 = 02, p 2 = p 3 = 04, p 4 = 03 a p 5 = 01; II: p 1 = 01, p 2 = 02, p 3 = 03, p 4 = 015 a p 5 = 02; p 1 p 5 p 2 p 3 p 4 Řešení: Zapojení postupně zjednodušíme Nejprve nahradíme seriové zapojení 2 a 3 bloku V dalším kroku nahradíme paralení zapojení bloků jedním a dostaneme seriové zapojení dvou bloků Na obrázcích si jednotlivé kroky znázorníme a do rámečků uvedeme příslušné pravděpodobnosti výskytu poruchy 1 krok - nahradíme seriové spojení 2 a 3 bloku jedním blokem p 1 q 2 p 5 p 4 Podle předchozího příkladu je pravděpodobnost poruchy q 2 = 1 (1 p 2 )(1 p 3 ) = = p 2 + p 3 p 2 p 3 2 krok - nahradíme paralelní zapojení tří bloků jedním 4

q 1 p 5 Podle poznámky za příkladem 2 je pravděpodobnost výskytu poruchy v paralelním zapojení rovna q 1 = p 1 q 2 p 4 = p 1 (p 2 + p 3 p 2 p 3 )p 4 Pro seriové zapojení dvou bloků dostaneme podle předchozího příkladu pravděpodobnost bezporuchového provozu P (A) = (1 q 1 )(1 p 5 ) a pravděpodobnost výskytu poruchy P (A) = 1 (1 q 1 )(1 p 5 ) = q 1 + p 5 q 1 p 5 Pro zadané číselné hodnoty pravděpodobností dostaneme dosazením do vzorců: I: q 2 = 1 (1 04)(1 04) = 1 06 06 = 1 036 = 064; q 1 = 02 064 03 = 00384 Tedy P (A) = (1 00384)(1 01) = 09616 09 = 086544 a P (A) = 1 086544 = 013456 II: q 2 = 1 (1 02)(1 03) = 1 08 07 = 1 056 = 044; q 1 = 01 044 015 = 00066 Tedy P (A) = (1 00066)(1 02) = 09934 08 = 079472 a P (A) = 1 07942 = 020528 Stochastická matice a informační kanál Jestliže je (Ω, A, P ) pravděpodobnostní prostor a {A i, 1 i n}, {B j, 1 j m} jsou úplné systémy jevů, pak pro pravděpodobnosti P (B j ), 1 j m dostaneme ze vzorce pro úplnou pravděpodobnost vztahy P (B j ) = n i=1 můžeme zapsat v maticovém tvaru [P (B 1 ), P (B 2 ),, P (B m )] = [P (A 1 ), P (A 2 ),, P (A n )] P (A i )P (B j A i ), 1 j m Tyto lineární vztahy P (B 1 A 1 ), P (B 2 A 1 ), P (B m A 1 ) P (B 1 A 2 ), P (B 2 A 2 ), P (B m A 2 ) P (B 1 A n ), P (B 2 An), P (B m A n ) 5

Součet prvků v řádku matice je roven jedné Taková matice se nazývá stochastická Sdělovací (informační) kanál Na výstupu kanálu jsou detekovány symboly symboly B i, 1 i m a na vstupu kanálu jsou vyslány symboly A k, 1 k n, potom pravděpodobnosti P (B i A k ) detekování symbolu B i, který je vyslán jako symbol A k určují chování kanálu Pravděpodobnosti P (A k B i ) vyslání symbolu A k za podmínky, že byl detekován symbol B i vypočteme ze vzorce P (A k B i ) = P (B i A k ) P (A k ), 1 i m, 1 k m P (B i ) Binární informační kanál přenáší ze vstupu X = {0, 1} symboly na výstup Y Budou nás také zajímat pravděpodobnosti správného přenosu z hlediska vstupu P X (s), kde počítáme pravděpodobnost toho, že vyslaná 0, resp 1 je také jako 0, resp 1 detekována Pro ni dostaneme vzorec P X (s) = P (A 0 )P (B 0 A 0 ) + P (A 1 )P (B 1 A 1 ) Pro pravděpodobnost správné detekce z pohledu výstupu, kdy počítame pravděpodobnost P Y (s) toho, že detekovaná 0,resp 1 byla jako 0, resp 1 vyslána Pro ni dostaneme vzorec P Y (s) = P (B 0 )P (A 0 B 0 ) + P (B 1 )P (A 1 B 1 ) Pro informačn kanál budeme rozlišovat tři případy a) Informační kanál bez šumu přenáší vstupní symboly X = {A 0 0, A 1 1} na výstupní symboly Y = {B 0 0, B 1 1}, přičemž se přenos realizuje podle schematu na obrázku Obr a A 0 = 0 0 B 0 = 0 Vstup X Výstup Y A 1 = 1 1 B 1 = 1 Obr a Pro pravděpodobnosti p X = (P (A 0 ), P (A 1 )) na vstupu a p Y = (P (B 0 ), P (B 1 )) na výstupu dostanemem vztahy p X = (P (A 0 ), P (A 1 )) = p Y = (P (B 0 ), P (B 1 )) 6

Pro pravděpodobnosti správného přenosu a správné detekce dostaneme ze skutečností že P (B 0 A 0 ) = P (B 1 A 1 ) = P (A 0 B 0 ) = P (A 1 B 1 ) = 1, P X (s) = P Y (s) = 1 b) Informační kanál se šumem přenáší vstupní symboly X = {A 0 0, A 1 1} na výstupní symboly Y = {B 0 0, B 1 1}, přičemž se přenos realizuje podle schematu na obrázku Obr b Je-li p = q, pak je kanál symetrický 1 p A 0 = 0 B 0 = 0 p Vstup X Výstup Y q A 1 = 1 1 q B 1 = 1 Obr b Vztahy mezi pravděpodobnostmi p X = (P (A 0 ), P (A 1 )) na vstupu a p Y = (P (B 0 ), P (B 1 )) na výstupu určíme pomocí vzorce pro úplnou pravděpodobnost Je tedy P (B 0 ) = P (A 0 ) P (B 0 A 0 ) + P (A 1 ) P (B 0 A 1 ) = P (A 0 ) (1 p) + P (A 1 ) q, P (B 1 ) = P (A 0 ) P (B 1 A 0 ) + P (A 1 ) P (B 1 A 1 ) = P (A 0 ) p + P (B 1 ) (1 q) Uvedené rovnice můžeme zapsat pomocí matic ve tvaru (P (B 0 ), P (B 1 )) = (P (A 0 ), P (A 1 )) P (B 0 A 0 ) P (B 1 A 0 ) P (B 0 A 1 ) P (B 1 A 1 ) (P (B 0 ), P (B 1 )) = (P (A 0 ), P (A 1 )) 1 p q p 1 q Pro pravděpodobnosti správného přenosu a správné detekce dostaneme ze skutečností P (B 0 A 0 ) = 1 p, P (B 1 A 1 ) = 1 q, že P X (s) = P (A 0 )P (B 0 A 0 ) + P (A 1 )P (B 1 A 1 ) = P (A 0 )(1 p) + P (A 1 )(1 q) a P Y (s) = P (B 0 )P (A 0 B 0 ) + P (B 1 )P (A 1 B 1 ) 7

c) Informační kanál se šumem a zámlkou přenáší vstupní symboly X = {A 0 0, A 1 1} na výstupní symboly Y = {B 0 0, Z, B 1 1}, přičemž se přenos realizuje podle schematu na obrázku Obr c 1 p r 0 A 0 = 0 B 0 = 0 p r 0 Vstup X Z Výstup Y q r 1 A 1 = 1 1 q r B 1 = 1 1 Obr c Vztahy mezi pravděpodobnostmi p X = (P (A 0 ), P (A 1 )) na vstupu a p Y = (P (B 0 ), P (Z), P (B 1 )) na výstupu určíme pomocí vzorce pro úplnou pravděpodobnost Je tedy P (B 0 ) = P (A 0 ) P (B 0 A 0 )+P (A 1 ) P (B 0 A 1 ) = P (A 0 ) (1 p r 0 )+P (A 1 ) q, P (Z) = P (A 0 ) P (Z A 0 ) + P (A 1 ) P (Z A 1 ) = P (A 0 ) r 0 + P (A 1 ) r 1, P (B 1 ) = P (A 0 ) P (B 1 A 0 )+P (A 1 ) P (B 1 A 1 ) = P (A 0 ) p+p (A 1 ) (1 q r 1 ) Uvedené rovnice můžeme zapsat pomocí matic ve tvaru (P (B 0 ), P (Z), P (B 1 )) = (P (A 0 ), P (A 1 )) P (B 0 A 0 ) P (Z A 0 ) P (B 1 A 0 ) P (B 0 A 1 ) P (Z A 1 ) P (B 1 A 1 ) (P (B 0 ), P (Z), P (B 1 )) = (P (A 0 ), P (A 1 )) 1 p r 0 r 0 p q r 1 1 q r 1 Pro pravděpodobnosti správného přenosu a správné detekce dostaneme ze skutečností P (B 0 A 0 ) = 1 p, P (B 1 A 1 ) = 1 q, že a P X (s) = P (A 0 )P (B 0 A 0 ) + P (A 1 )P (B 1 A 1 ) = = P (A 0 )(1 p r 0 ) + P (A 1 )(1 q r 1 ) P Y (s) = P (B 0 )P (A 0 B 0 ) + P (B 1 )P (A 1 B 1 ) 8

34 Příklad Na vstupu informačního kanálu, který je znázorněn na obrázku, jsou vyslány symboly A 0 0 a A 1 1 s pravděpodobnostmi [P (A 0 ), P (A 1 )] = [07, 03] Při přenosu je symbol 0 přečten s chybou 02 a symbol 1 s chybou 01 Určete pravděpodobnosti [P (B 0 ), P (B 1 )] na výstupu 1 p A 0 = 0 B 0 = 0 p Vstup q Výstup A 1 = 1 1 q B 1 = 1 Řešení: Jedná se o binární informační kanál se šumem Pro parametry kanálu dostaneme: 1 p = P (B 0 A 0 ) = 08 : přijetí 0 za podmínky, že byla vyslaná 0; q = P (B 0 A 1 ) = 01 : přijetí 0 za podmínky, že byla vyslaná 1; p = P (B 1 A 0 ) = 02 : přijetí 1 za podmínky, že byla vyslaná 0; 1 q = P (B 1 A 1 ) = 09 : přijetí 1 za podmínky, že byla vyslaná 1 Vztah mezi vstupem a výstupem je ze vzorce pro úplnou pravděpodobnost soustavou lineárních rovnic [P (B 0 ), P (B 1 )] = [P (A 0 ), P (A 1 )] P (B 0 A 0 ), P (B 1 A 0 ) P (B 0 A 1 ), P (B 1 A 1 ), tedy [P (A 0 ), P (A 1 )] = [07, 03] 08, 02 01, 09 = [059, 041] 35 Příklad Na výstupu informačního kanálu, který je znázorněn na obrázku, jsou detekovány symboly B 0 0 a B 1 1 s pravděpodobnostmi [P (B 0 ), P (B 1 )] = [08, 02] Při přenosu je symbol 0 přečten s chybou 5% a symbol 1 s chybou 15% Určete pravděpodobnosti [P (A 0 ), P (A 1 )] na vstupu 1 p A 0 = 0 B 0 = 0 p Vstup q Výstup A 1 = 1 1 q B 1 = 1 Řešení: Pro parametry kanálu dostaneme: 1 p = P (B A 0 ) = 095 : přijetí 0 za podmínky, že byla vyslaná 0; q = P (B 0 /A 1 ) = 015 : přijetí 0 za podmínky, že byla vyslaná 1; 9

p = P (B 1 A 0 ) = 005 : přijetí 1 za podmínky, že byla vyslaná 0; 1 q = P (B 1 /A 1 ) = 085 : přijetí 1 za podmínky, že byla vyslaná 1 Vztah mezi vstupem a výstupem je ze vzorce pro úplnou pravděpodobnost soustavou lineárních rovnic tedy [P (B 0 ), P (B 1 )] = [P (A 0 ), P (A 1 )] [08, 02] = [P (A 0 ), P (A 1 )] [P (A 0 ), P (A 1 )] = [08, 02] [P (A 0 ), P (A 1 )] = 125 [08, 02] P (B 0 A 0 ), P (B 1 A 0 ) P (B 0 A 1 ), P (B 1 A 1 ) 095, 005 015, 085 [08125, 01875] 095, 005 015, 085 1 085, 005 015, 095 36 Příklad (Odhad parametrů informačního kanálu) Na vstupu informačního kanálu mohou být znaky 0 a 1, na výstupu jsou přečteny nezávisle s pravděpodobností 01 chybně Určete podmíněné pravděpodobnosti vstupu při známém výstupu, je-li apriorní pravděpodobnost vyslání jedničky a) p 0 = 04; b) p 0 = 01; c) p 0 = 005 Řešení: Informační kanál pracuje podle schématu na obrázku Vztahy mezi pravděpodobnostmi [P (A 0 ), P (A 1 )] na vstupu a pravděpodobnostmi [P (B 0 ), P (B 1 )] na výstupu získáme ze vzorce pro úplnou pravděpodobnost Tyto vztahy jsou lineární a je tedy informační kanál popsán soustavou dvou lineárních rovnic K odvození označme B 0 přijetí symbolu 0, P (B 0 ) =?; B 1 přijetí symbolu 1, P (B 1 ) =?; A 0 vyslání symbolu 0, P (A 0 ) = 1 p 0 ; A 1 vyslání symbolu 1, P (A 1 ) = p 0 ; 1 p = P (B 0 A 0 ) = 09 : přijetí 0 za podmínky, že byla vyslaná 0; q = P (B 0 A 1 ) = 01 : přijetí 0 za podmínky, že byla vyslaná 1; p = P (B 1 A 0 ) = 01 : přijetí 1 za podmínky, že byla vyslaná 0; 1 q = P (B 1 A 1 ) = 09 : přijetí 1 za podmínky, že byla vyslaná 1; 1 p A 0 = 0 B 0 = 0 p Vstup q Výstup A 1 = 1 1 q B 1 = 1 =, 10

Podle vzorce pro úplnou pravděpodobnost je P (B 0 ) = P (A 0 ) P (B 0 A 0 ) + P (A 1 ) P (B 0 A 1 ) P (B 1 ) = P (A 0 ) P (B 1 A 0 ) + P (A 1 ) P (B 1 A 1 ) a vztahy můžeme přepsat jako soustavu lineárních rovnic [P (B 0 ), P (B 1 )] = [P (A 0 ), P (A 1 )] Po dosazení zadaných hodnot dostaneme, že [P (B 0 ), P (B 1 )] = [1 p 0, p 0 ] 09, 01 01, 09 P (B 0 A 0 ), P (B 1 A 0 ) P (B 0 A 1 ), P (B 1 A 1 ) = [09 08 p 0, 01 + 08 p 0 ] Pravděpodobnosti z matice, které určují parametry kanálu vypočteme z Bayesova vzorce Je tedy P (A 0 B 0 ) = P (A 0) P (B 0 A 0 ) P (B 0 ) P (A 1 B 0 ) = P (A 1) P (B 0 A 1 ) P (B 0 ) P (A 0 B 1 ) = P (A 0) P (B 1 A 0 ) P (B 1 ) P (A 1 B 1 ) = P (A 1) P (B 1 A 1 ) P (B 1 ) = 09 (1 p 0) 09 08 p 0 ; = 01 p 0 09 08 p 0 ; = 01 (1 p 0) 01 + 08 p 0 ; = 09 p 0 01 + 08 p 0 Pro zadané pravděpodobností na vstupu dostaneme pro pravděpodobnosti na výstupu a podmíněné pravděpodobnosti přenosu: a) p 0 = 04; [P (B 0 ), P (B 1 )] = [09 08 04, 01 + 08 04] = [058, 042]; P (A 0 B 0 ) = P (A 0 B 1 ) = b) p 0 = 01; 09 06 058 01 06 042 = 093103; P (A 1 B 0 ) = = 01429; P (A 1 B 1 ) = 01 04 058 09 04 042 = 006897; = 08571 [P (B 0 ), P (B 1 )] = [09 08 01, 01 + 08 01] = [082, 018]; P (A 0 B 0 ) = 09 09 082 = 09878; P (A 1 B 0 ) = 11 01 01 082 = 00122;

P (A 0 B 1 ) = c) p 0 = 005; 01 09 018 = 05; P (A 1 B 1 ) = 09 01 018 = 005 [P (B 0 ), P (B 1 )] = [09 08 005, 01 + 08 005] = [086, 014]; 09 095 P (A 0 B 0 ) = 086 01 095 P (A 0 B 1 ) = 014 = 09942; P (A 1 B 0 ) = = 06786; P (A 1 B 1 ) = 01 005 086 09 005 014 = 00058; = 03214 37 Příklad Pro binární přenosový kanál se šumem a zámlkou, který je znázorněn na obrázku Obrc, kde Z je zámlka, s parametry 1 p = 096, 1 q = 097, r 0 = r 1 = 001 a pravděpodobnostmi na vstupu p X = (p(a 0 ), p(a 1 )) = (06, 04) určete pravděpodobnosti P (B 0, P (Z), P (B 1 ) na výstupu 1 p r 0 A 0 = 0 B 0 = 0 p r 0 Vstup X Z Výstup Y q r 1 A 1 = 1 1 q r B 1 = 1 1 Obr c Řešení: Ze zadaných parametrů informačního kanálu dostaneme: P (B 0 A 0 ) = 1 p r 0 = 096 001 = 095, P (Z A 0 ) = r 0 = 001, P (B 1 A 0 ) = p = 004; P (B 0 A 1 ) = q = 003, P (Z A 1 ) = r 1 = 001, P (B 1 A 1 ) = 1 q r 1 = 097 001 = 096 Pro pravděpodobnostmi na vstupu a výstupu platí vztah (P (B 0 ), P (Z), P (B 1 )) = = (P (A 0 ), P (A 1 )) P (B 0 A 0 ) P (Z A 0 ) P (B 1 A 0 ) P (B 0 A 1 ) P (Z A 1 ) P (B 1 A 1 ) = (P (A 0 ), P (A 1 )) 1 p r 0 r 0 p q r 1 1 q r 1, = 12

tedy (P (B 0 ), P (Z), P (B 1 )) = (07, 03) (P (B 0 ), P (Z), P (B 1 )) = 095 001 004 003 001 096 = (095 06 + 003 04, 001 06 + 001 04, 004 06 + 096 04) = = (057 + 0012, 001, 0024 + 0384) = (0582, 001, 0408) 38 Příklad Informačního kanál je složen ze dvou seriově zapojených bloků Blok je znázorněn na obrázku Na vstup jsou vyslány symboly 0 a 1 s pravděpodobnostmi [P (A 0 ), P (A 1 )] = [065, 035] Při přenosu je v každém z bloků symbol 0 přečten s chybou 8% a symbol 1 s chybou 14% Určete pravděpodobnosti [P (B 0 ), P (B 1 )] na výstupu 1 p A 0 = 0 B 0 = 0 p Vstup q Výstup A 1 = 1 1 q B 1 = 1 Řešení: Pro parametry bloku dostaneme: 1 p = P (B 0 A 0 ) = 092 : přijetí 0 za podmínky, že byla vyslaná 0; q = P (B 0 A 1 ) = 014 : přijetí 0 za podmínky, že byla vyslaná 1; p = P (B 1 A 0 ) = 008 : přijetí 1 za podmínky, že byla vyslaná 0; 1 q = P (B 1 /A 1 ) = 086 : přijetí 1 za podmínky, že byla vyslaná 1 Vztah mezi vstupem a výstupem je ze vzorce pro úplnou pravděpodobnost soustavou lineárních rovnic [P (B 0 ), P (B 1 )] = [P (A 0 ), P (A 1 )] P (B 0 A 0 ), P (B 1 A 0 ) P (B 0 A 1 ), P A 1 /B 1 ) 2, tedy [P (B 0 ), P (B 1 )] = [065, 035] [065, 035] 08576, 01424 02492, 07508 092, 008 014, 086 2 = = [0645, 0355] 39 Příklad Informačním kanálem, který je znázorněn na obrázku, jsou zasílány symboly 0 A 0 a 1 A 1 Pravděpodobnost správné detekce symbolu 1 je 1 q = 08 a symbolu 0 je 1 p = 09 13

a) Jaké budou pravděpodobnosti (P (A 0 ), P (A 1 )) dvojice (0, 1) na vstupu, jsou-li pravděpodobnosti na výstupu (P (B 0 ), P (B 1 )) = (07, 03) b) Jaká je pravděpodobnost toho, že detekovaná 0 na výstupu byla odeslána jako 0 ze vstupu c) Jaká je pravděpodobnost správné detekce, tedy situace, že detekovaný symbol na výstupu byl jako takový odeslán ze vstupu d) Jaká je pravděpodobnost chybné detekce, tedy situace, že detekovaný symbol na výstupu byl jako opačný odeslán ze vstupu 1 p A 0 = 0 B 0 = 0 p Vstup X q Výstup Y A 1 = 1 1 q B 1 = 1 Řešení: Máme zadány uvedené podmíněné pravděpodobnosti P (B 0 A 0 ) = 09, P (B 1 A 0 ) = 01, P (B 0 A 1 ) = 02, P (B 1 A 1 ) = 08 a) Ze vzorce pro úplnou pravděpodobnost dostaneme pro hledané pravděpodobnosti na vstupu soustavu rovnic P (B 0 ) = P (A 0 ) P (B 0 A 0 ) + P (A 1 ) P (B 0 A 1 ) P (B 1 ) = P (A 0 ) P (B 1 A 0 ) + P (A 1 ) P (B 1 A 1 ) 07 = 09 P (A 0 ) + 02 P (A 1 ) 03 = 01 P (A 0 ) + 08 P (A 1 ) Pomocí Cramerova pravidla dostaneme řešení soustavy P (A 0 ) = 07 08 03 02 09 08 01 02 = 05 07 09 03 07 01 P (A 1 ) = = 02 07 07 Pravděpodobnosti symbolů na vstupu jsou = 07143, = 02857 (P (A 0 ), P (A 1 )) = (07143, 02857) b) Hledáme pravděpodobnost jevu, kdy detekovaná 0 na výstupu byla jako 0 vyslána ze vstupu, tedy podmíněnou pravděpodobnost P (A 0 B 0 ) K výpočtu použijeme Bayesův vzorec P (A 0 B 0 ) = P (A 0) P (B 0 A 0 ) P (B 0 ) 14

Je tedy 07143 09 P (A 0 B 0 ) = 07 c) K výpočtu použijeme Bayesův vzorec Je tedy P (A 0 B 0 ) = 07143 09 07 P (A B) = = 09184 P (A) P (B A) P (B) = 09184, P (A 1 B 1 ) = 02857 08 03 = 07619 Pravděpodobnost P Y (s) správné detekce z pohledu výstupu dostaneme pomocí vzorce pro úplnou pravděpodobnost P Y (s) = P (B 0 ) P (A 0 B 0 ) + P (B 1 ) P (A 1 B 1 ) = = 07 09184 + 03 07619 = 087145 d) K výpočtu použijeme Bayesův vzorec Je tedy P (A 1 B 0 ) = 02857 02 07 P (A B) = P (A) P (B A) P (B) = 00816, P (A 0 B 1 ) = 07143 01 03 = 02381 Pravděpodobnost P Y (n) nesprávné detekce z pohledu výstupu dostaneme pomocí vzorce pro úplnou pravděpodobnost P Y (n) = P (B 0 ) P (A 1 B 0 ) + P (B 1 ) P (A 0 B 1 ) = = 07 008162 + 03 02381 = 012855 15