VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 8 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 01 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-48-08-4 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/15.04, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
OBSAH 1 CVIČENÍ Č. 8... 1.1 Příklady... 4 POUŽITÁ LITERATURA... 7 CZ.1.07/..00/15.04
1 CVIČENÍ Č. 8 STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Určování volných lokálních extrémů funkce dvou proměnných Výpočet vázaných lokálních extrémů MOTIVACE: Extrémy funkcí jsou jednou z nejdůležitějších aplikací diferenciálního počtu a setkáváme se s nimi takřka všude. CÍL: Umět určit stacionární body funkce a nalézt volné a vázané lokální extrémy funkce dvou proměnných. CZ.1.07/..00/15.04
4 1.1 PŘÍKLADY Příklad 1: Určete lokální extrémy funkce f ( x, = xy x y +. Řešení: D f = R R f x = y x, f y = x y Lokální extrém může nastat ve stacionárních bodech, které dostaneme řešením soustavy y x = 0 x y = 0 Z druhé rovnice si vyjádříme proměnnou y pomocí x a dosadíme do první rovnice, dostáváme: 18x x = 0 x 1 = 0 a x. Dosadíme do první rovnice a vypočteme ke každému x příslušné y. Pro x 1 = 0 dostaneme y 1 = 0. Pro x = dostaneme y 18. = Máme tedy dva stacionární body A = [0,0], B = [,18]. parciální derivace existují ve všech bodech definičního oboru žádné další body (kromě stacionárních) podezřelé z extrému neexistují Vypočteme hodnoty druhých derivací = f x = x, f x y = f, = y a určíme hodnoty determinantů Pro bod A = [0,0] : 0 =. Determinant je záporný, proto v bodě A = [0,0] nemá funkce extrém. CZ.1.07/..00/15.04
5 Pro bod B = [,18]: =. f ( B) Determinant je kladný, proto má funkce v bodě B = [,18] extrém. Výraz = je x záporný, v bodě B = [,18] má daná funkce lokální maximum. Hodnota tohoto maxima je f ( B) = 110. Příklad : Určete vázané extrémy funkce z= y 4 x za podmínky x y + 1 = 0. Řešení: z vazební podmínky lze explicitně vyjádřit proměnnou y, takže využijeme přímé metody y = x +1 dosadíme do předpisu funkce a dostaneme funkci jedné proměnné ( x + 1) 4x = 4x + 4x + 1 4 f ( x) = x hledáme lokální extrém funkce 1 proměnné D f = R najdeme stacionární body: 8 + 4 1x = 0 f ( x) = 8x + 4 1x 1 x x 1 =, x = 1 rozdělíme definiční obor na intervaly a budeme zjišťovat monotónnost na jednotlivých intervalech, : f ( 1) = 8 ( 1) + 4 1 = 1 < 0 na, je funkce klesající,1 : f (0) = 0 + 4 0 = 4 > 0 na, 1 je funkce rostoucí ( 1, ) : f () = 8 + 4 1 4 = 8 < 0 na (, ) 1 je funkce klesající monotónnost se v bodě 1 x = mění z klesající na rostoucí v bodě je lokální minimum monotónnost se v bodě x = 1 mění z rostoucí na klesající v bodě je lokální maximum CZ.1.07/..00/15.04
Závěr: v bodě 1 1 7,, 7 v bodě (,,5) má funkce f ( x, vázané lokální minimum 1 má funkce f ( x, vázané lokální maximum Další řešené příklady: http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/video/extremvol/index.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/video/extremvaz/index.html Neřešené příklady: 1) Určete lokální extrémy funkce f ( x, = xy x 8y + 15. 1 v 1, má lokální maximum ) ) Určete lokální extrémy funkce f ( x, y = ln x + xy. [nemá lok. extrémy] ) Určete vázané extrémy funkce f ( x, = 4x + y + 5 vzhledem k podmínce y = x. [ v [ 1,-1] vázané lokální minimum] Další příklady najdete ve sbírce úloh v kapitole 7.4: http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf CZ.1.07/..00/15.04
Použitá Literatura 7 POUŽITÁ LITERATURA [1] ŠKRÁŠEK J. a kol.: Základy aplikované matematiky I. a II. SNTL, Praha, 198. [] DOBROVSKÁ V., VRBICKÝ J..: Diferenciální počet funkcí více proměnných - Matematika IIb. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 004, ISBN 80-48-05-8 [] VRBENSKÁ H.: Základy matematiky pro bakaláře II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 1998, ISBN 80-7078-545-4 [4] elektronický učební text: www.studopory.vsb.cz CZ.1.07/..00/15.04