NAVRHOVÁNÍ A REALIZACE REGULÁTORŮ

Vysoá šola báňsá echnicá univerzita Ostrava NAVRHOVÁNÍ A REALIZACE REGULÁORŮ učební text Štěpán Ožana Ostrava 202

Recenze: prof. Dr. Ing. Miroslav Poorný Ing. Aleš Oujezdsý, Ph.D. Název: Navrhování a realizace regulátorů Autor: Štěpán Ožana Vydání: první, 200 Počet stran: 34 Nálad: 20 Studijní materiály pro studijní obor Měřicí a řídicí techniy Faulty Eletrotechniy a informatiy Jazyová oretura: nebyla provedena. Určeno pro projet: Operační program Vzděláváním pro onurenceschopnost Název: Personalizace výuy prostřednictvím e-learningu Číslo: CZ..07/2.2.00/07.0339 Realizace: VŠB echnicá univerzita Ostrava Projet je spolufinancován z prostředů ESF a státního rozpočtu ČR Štěpán Ožana VŠB echnicá univerzita Ostrava ISBN 978-80-248-2605-9

OBSAH. ÚVOD DO PROBLEMAIKY NÁVRHU A REALIZACE REGULÁORŮ... 7.. Záladní pojmy... 7.2. Vybrané aspety návrhu a realizace u regulace reálných soustav... 9 2. SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE... 7 2.. Záladní tvary PID a PSD regulátoru... 7 2.2. Modifiace PID regulátoru... 2 3. VYBRANÉ ALGORIMY MODERNÍ EORIE ŘÍZENÍ... 32 3.. Optimální lineárně vadraticé řízení... 32 3.2. Optimální lineárně vadraticé Gaussovsé řízení LQG... 36 3.3. Robustní řízení... 44 3.4. Samonastavující se regulátory... 59 3.5. Adaptivní řízení... 7 3.6. Časově a vadraticy optimální řízení... 78 3.7. Preditivní řízení... 85 3.8. Fuzzy řízení... 90 4. PROBLEMAIKA REALIZACE REGULÁORŮ... 08 4.. Realizace na platformě PC+R oolbox+mf624... 08 4.2. Realizace na platformě xpc arget... 2 4.3. Realizace na platformě WinPAC+REX... 9 5. PŘÍLOHY-OBSAH... 30 5.. Výové programy předmětu... 30 5.2. Výové animace předmětu... 30 5.3. Výové videosevence předmětu... 3 5.4. Případové studie... 3 Klíč řešení... 35

POKYNY KE SUDIU Navrhování a realizace regulátorů Pro předmět Navrhování a realizace regulátorů zařazený do posledního ročníu studia oboru Měřicí a řídicí technia jste obdrželi studijní balí obsahující integrované sriptum pro distanční studium obsahující i poyny e studiu DVDD-ROM s doplňovými animacemi vybraných částí apitol DVD-ROM s doplňovými videosevencemi vybraných částí apitol Prerevizity Pro studium tohoto předmětu se předpoládá absolvování předmětu Regulační systémy. Cílem předmětu je seznámení se záladními pojmy z problematiy navrhování a realizace regulátorů. Po prostudování modulu by měl student být schopen navrhnout regulátor na záladě vybraných metod moderní nebo postmoderní teorie řízení, a realizovat jej na vybraných typech hardwaru. Pro oho je předmět určen Modul je zařazen do magistersého studia oboru Měřicí a řídicí technia studijního programu Eletrotechnia, ale může jej studovat i zájemce z teréhooliv jiného oboru, poud splňuje požadované prerevizitu uvedenou výše. Sriptum se dělí na části, apitoly, teré odpovídají logicému dělení studované láty, ale nejsou stejně obsáhlé. Předpoládaná doba e studiu apitoly se může výrazně lišit, proto jsou velé apitoly děleny dále na číslované podapitoly a těm odpovídá níže popsaná strutura. Při studiu aždé apitoly doporučujeme následující postup: Čas e studiu: xx hodin Na úvod apitoly je uveden čas potřebný prostudování láty. Čas je orientační a může vám sloužit jao hrubé vodíto pro rozvržení studia celého předmětu či apitoly. Něomu se čas může zdát příliš dlouhý, něomu naopa. Jsou studenti, teří se s touto problematiou ještě nidy nesetali a naopa taoví, teří již v tomto oboru mají bohaté zušenosti. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat... popsat... vyřešit Ihned potom jsou uvedeny cíle, terých máte dosáhnout po prostudování této apitoly onrétní dovednosti, znalosti.

VÝKLAD Následuje vlastní výlad studované láty, zavedení nových pojmů, jejich vysvětlení, vše doprovázeno obrázy, tabulami, řešenými přílady, odazy na animace, videa. Shrnutí pojmů Na závěr apitoly jsou zopaovány hlavní pojmy, teré si v ní máte osvojit. Poud něterému z nich ještě nerozumíte, vraťte se nim ještě jednou. Otázy Pro ověření, že jste dobře a úplně látu apitoly zvládli, máte dispozici něoli teoreticých otáze. Úlohy řešení Protože většina teoreticých pojmů tohoto předmětu má bezprostřední význam a využití v databázové praxi, jsou Vám naonec předládány i praticé úlohy řešení. V nich je hlavní význam předmětu a schopnost apliovat čerstvě nabyté znalosti při řešení reálných situací hlavním cílem předmětu. KLÍČ K ŘEŠENÍ Výsledy zadaných příladů i teoreticých otáze výše jsou uvedeny v závěru učebnice v Klíči řešení. Používejte je až po vlastním vyřešení úloh, jen ta si samoontrolou ověříte, že jste obsah apitoly sutečně úplně zvládli. Úspěšné a příjemné studium s touto učebnicí Vám přeje autor výuového materiálu Štěpán Ožana

ÚVOD DO PROBLEMAIKY NÁVRHU A REALIZACE REGULÁORŮ. ÚVOD DO PROBLEMAIKY NÁVRHU A REALIZACE REGULÁORŮ.. Záladní pojmy Čas e studiu: 2 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat záladní strutury regulačních obvodů popsat funci zpětnovazebního obvodu pojmenovat epochy vývoje teorie automaticého řízení Výlad Návrh regulátorů Učební text se věnuje především návrhu regulátorů na záladě tzv. moderních a tzv. postmoderních metod řízení. Co se týče lasicých metod regulace, jsou zde uvedeny zejména používané modifiace PID regulátoru, teré mají důležitý význam pří řízení reálných soustav. aé jsou zde uvedena vybraná témata, terá popisují časté problémy spojené s návrhem a realizací řízení reálných soustav. Realizace regulátorů V tomto textu nejsou řešeny strutury či zapojení s pasivními nebo ativními analogovými součástami. Pod pojmem realizace regulátorů se zde rozumí implementace navržených algoritmů lasicé nebo moderní teorie řízení pomocí hardwarových technicých prostředů průmyslové automatizace založených na číslicovém zpracování dat. ypicým příladem typů hardwaru, na terých je možno implementovat algoritmy pro regulaci, jsou: programovatelné logicé automaty (PLC) programovatelné automaty typu PAC (programmable automation controller) PC/embedded PC + měřicí (řídicí) modul, např. multifunční arty, USB moduly miroontroléry Epochy vývoje teorie automaticého řízení Klasicé teorie -frevenční metody (Bode, Nichols) -geometricé místo ořenů (Evans) Moderní teorie - 60. a 70. léta -stavová reprezentace (Kalman) -LQ řízení - stavová zpětná vazba -Kalmanův filtr - stavová injece -Wienerův filtr -LQG regulátor (separační princip) -preditivní řízení (průmyslové apliace) 7

Postmoderní teorie - 80. léta, dodnes -robustní řízení, metody H-,H2 -adaptivní řízení -fuzzy řízení ÚVOD DO PROBLEMAIKY NÁVRHU A REALIZACE REGULÁORŮ Moderní teorie řízení Pojem "moderní teorie řízení" vznil v 60. letech odlišení přístupu založeném na stavovém popisu systémů od "lasicé teorie", vycházející téměř výhradně z popisu vnějšího. V současné době se oba přístupy (stavový a přenosový) silně prolínají. Charateristicou vlastností moderní teorie řízení vša zůstává využívání matematicých modelů popisu řízených procesů. Je-li přesně specifiován model, inženýrsou úlohu návrhu regulátoru lze formulovat jao úlohu optimalizační. Místo přímého nastavování onstant regulátoru tedy inženýr nastavuje parametry ritéria optimality a případná omezení. ento přístup je výhodný v tom, že něteré vlastnosti zísaných řešení (např. stabilita při vadraticy optimálním řízení) jsou zajištěny implicitně. Spoléhání na přesný model s sebou přináší i něteré nedostaty moderní teorie řízení, teré motivují i nové směry výzumu tzv. robustních metod, teré dovolují zahrnout do formulace problému i neurčitost matematicého modelu. Řídicí systém bez zpětné vazby Princip řídicího systému bez zpětné vazby je znázorněn na Obr... Řídicí veličina - žádaná hodnota w se zadá regulátoru, terý pomocí ační veličiny u působí na regulovanou soustavu ta, aby byla dosažena na jejím výstupu požadovaná hodnota regulované veličiny y. Obr... Řídicí systém bez zpětné vazby Řídicí systém se zpětnou vazbou Princip zpětnovazebního řízení je znázorněn na Obr..2. Regulační odchyla e se zísá jao rozdíl řídicí veličiny - žádané hodnoty a regulované veličiny sutečné hodnoty e = w - y. Na záladě veliosti regulační odchyly a zvoleného řídicího algoritmu regulátor působí ační veličinou u na regulovanou soustavu ta, aby byla dosažena na jejím výstupu požadovaná hodnota regulované veličiny y. Obr..2. Řídicí systém se zpětnou vazbou Výuové modely ento učební text obsahuje mnoho příladů řízení reálných soustav. Jedná se o fyziální modely, teré slouží pro cvičení z předmětu navrhování a realizace regulátorů a jsou taé dispozici pro studenty, teří mají zájem rozvíjet své teoreticé znalosti v rámci baalářsých nebo diplomových prací. Před samotným studiem je doporučeno zhlédnout Video_0, teré názorně demonstruje význam 8

ÚVOD DO PROBLEMAIKY NÁVRHU A REALIZACE REGULÁORŮ zpětnovazebního řízení na různých fyziálních modelech, na terých jsou implementovány ja algoritmy lasicé teorie řízení, ta i moderní teorie řízení. Řízení s otevřenou smyčou (ovládání) je demonstrováno v samostatném souboru Video_02, na modelu třídičy barevných předmětů. CD-ROM Před studiem dalšího textu zhlédněte Video_0 a Video_02. Shrnutí pojmů. Řízení neboli regulace pomocí zpětné vazby. Řízení s otevřenou smyčou neboli ovládání, není dispozici zpětná vazba nebo je rozpojena. Klasicé teorie řízení metody syntézy regulačních obvodů s PID regulátory. Moderní a postmoderní teorie řízení LQR, LQG, preditivní, robustní, adaptivní, fuzzy řízení. Otázy.. Jaý je rozdíl mezi řízením v uzavřené smyčce a v otevřené smyčce? 2. Jaý je význam zpětné vazby v regulačním obvodu?.2. Vybrané aspety návrhu a realizace u regulace reálných soustav Čas e studiu: 4 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět Výlad definovat problémy, teré se vysytují u návrhu reálných soustav popsat a demonstrovat metody linearizace a identifiace v prostředí Simulin Reálné soustavy Při řízení reálných soustav narážíme na řadu principiálních a technicých problémů. Prvním neoddisutovatelným fatem, terý souvisí s návrhem jaéhooli typu regulátoru je, že aždá reálná soustava je nelineární. Záleží na onrétní situaci a typech nelinearit, teré se u dané soustavy vysytují. V tomto učebním textu jsou popsány dvě techniy, pomocí terých lze za definovaných podmíne dosáhnout toho, že na regulační obvod můžeme poté apliovat techniy, teré jsou určeny pro lineární obvody. Druhým fatem je, že realizace regulátoru na onrétní platformě (hardwaru) zřídady vede na práci se spojitými tvary pro popis činnosti regulátoru. ato sutečnost se v tomto textu týá něolia apitol. řetím důležitým fatem při návrhu regulátoru je, že zdalea ne u všech systémů se podaří odvodit matematicý model odpovídající vnějšímu nebo vnitřnímu popisu systému. 9

ÚVOD DO PROBLEMAIKY NÁVRHU A REALIZACE REGULÁORŮ V taovém případě je nutno přistoupit tzv. identifiaci, což vede na nalezení aproximovaného matematicého modelu (evivalentu), případně jazyového popisu reálného systému za použití zvolené vhodné metody. Linearizace v oolí pracovního bodu Linearizace v oolí pracovního bodu je provedena pomocí aylorova rozvoje v jeho oolí: ( ) ( ) ( ) ( ) f x, x2 f x, x2 f ( x, x2) x x + x2 x2 x x x x 2 x x - lineární stavový model dx = Ax + Bu dt y = Cx + Du 0 0, 0 20, 0 20 Řešený přílad.2. Zadání: Stanovte lineární stavový model pro výto apaliny z nádoby ve zvolném pracovním bodě. Řešení: Model nádoby je znázorněn na Obr..3. Obr..3. Model výtou apaliny z nádoby Vzorec pro výto apaliny z nádoby: dh A dt 0 = Q Q2 dh A0 = Q A2 2gh dt 0

ÚVOD DO PROBLEMAIKY NÁVRHU A REALIZACE REGULÁORŮ - s onrétními oeficienty ( A 0 =, A 2 = 0, 23) 2g dh = Q h dt - vypočte se aylorův rozvoj v pracovním bodě: dh = 0 + dt 2 h 0 0 ( h h ) ( Q Q ) - lineární model v ustáleném stavu v bodě: Q = 2, h0 = 4 0 d h = dt 4 h + Q - vztah proměnným nelineárního modelu: - vstup: Q = Q Q 0 Q = Q 2 - výstup: h = h h 0 h = h 4 h = h + 4 Schéma v Simulinu pro porovnání původního a linearizovaného modelu je znázorněno na Obr..4.

ÚVOD DO PROBLEMAIKY NÁVRHU A REALIZACE REGULÁORŮ Obr..4. Schéma v Simulinu pro porovnání původního a linearizovaného modelu CD-ROM Prostudujte si zdrojové soubory example 2 schema.mdl. Řešený přílad.2.2 Zadání: Řešte předchozí přílad pomocí nástroje Linear Analysis. Řešení: CD-ROM Otevřete model example 2_2_schema.mdl. Spuťte simulaci, je vidět průběh pro Q = 2. Popis řešení: ) Pravý li na linu Q Linearization Points Input Point 2) Pravý li na linu h Linearization Points Output Point 3) ools Control Design Linear Analysis 4) Strom Operating Points Compute Linearization Points nechat Steady 5) State stisnout tlačíto. Compute Operating Points 6) Strom Linearization as Operating Points radiobutton Linearize at one or more of the following operating points... li Operating Point (musí zmodrat) stisnout Linearize Model 7) Rozlinout strom Linearization tas Model (matice ss modelu) 8) Export to Worspace 9) Otevřete model example 2_2_porovnani.mdl, viz Obr..5. Můžeme sledovat porovnání odezvy na vstupní signál pro původní a linearizovaný model pomocí nástroje Linear analysis, viz Obr..6. 2

ÚVOD DO PROBLEMAIKY NÁVRHU A REALIZACE REGULÁORŮ Q s h h Repeating Sequence Integrator h Scope sqrt Math Function Model_sys 2 Q0 LI System 4 h0 Obr..5. Schéma v Simulinu pro porovnání původního a linearizovaného modelu Obr..6. Porovnání odezvy na vstupní signál pro původní a linearizovaný model CD-ROM Linearizace pomocí nástroje Linear Analysis je zdoumentována v souboru Animace0. 3

ÚVOD DO PROBLEMAIKY NÁVRHU A REALIZACE REGULÁORŮ Hammersteinův model Pro lineární soustavu platí, že hodnoty v ustálených stavech jsou přímo úměrné veliosti vstupního intervalu a staticá charateristia je popsána přímou. Průběh staticé charateristiy u něterých reálných soustav může být vyjádřen ve tvaru polynomicé funce. Pro taové soustavy je možné použít tzv. Hammersteinův model. Jeho strutura sestává ze staticé nelineární charateristiy a dynamicého lineárního systému, viz Obr..6., de u s značí ustálené stavy a u n označuje hodnotu vstupního signálu. Linearizace spočívá v předřazení blou f mn (u), terý nelineární charateristiu narovnává, viz Obr..7. Obr..6. Hammersteinův model Obr..7. Hammersteinův model s linearizovanou staticou charateristiou Řešený přílad.2.3 Zadání: Linearizujte staticou charateristiu pomocí Hammersteinova modelu pro soustavu, u teré byla provedena sada měření přechodové charateristiy pro různé hodnoty soových změn, viz Obr..8. Obr..8. Naměřené hodnoty přechodové charateristiy Řešení: Polynomicá funce f ns (u) byla stanovena jao aproximace v naměřených bodech staticé charateristiy, viz Obr..9, stejně jao inverzní funce f mn (u), viz Obr..0. Dosažený výslede linearizace staticé charateristiy je patrný z Obr... Vzorce pro polynomy f ns (u) a f mn (u): 4 5 4 4 4 3 2 fns ( u) = 2,522 0 u 5,458 0 u + 3,737 0 u 6798u 539,6u+ 75,6 3 5 0 4 7 3 5 2 f ( u) = 6,83 0 u 7,4 0 u + 3,9 0 u 6, 259 0 u + 0, 006288u+ 0,443 mn 4

ÚVOD DO PROBLEMAIKY NÁVRHU A REALIZACE REGULÁORŮ Obr..9. Polynomicá funce f ns (u) Obr..0. Polynomicá funce f mn (u) Obr... Linearizovaná staticá charateristia Identifiace Pro správný návrh regulátoru v regulačním obvodu je důležitá správná identifiace soustavy, jež bude navrženým regulátorem regulována. Zatím byly probrány způsoby popisu, ale nebyl probrán vlastní proces identifiace soustavy. Identifiaci soustav lze provést dvojím způsobem: Analyticou identifiací Experimentální identifiací Při analyticé identifiaci soustav je důležitá doonalá znalost identifiovaného procesu soustavy. o znamená, že soustava je popsána na záladě vnitřního popisu. Vlastnosti soustav jsou již popsány ve stádiu projetu řízení dané technologie nebo procesu. S výhodou lze pa opaovaně využít tento popis při realizaci obdobných soustav. 5

ÚVOD DO PROBLEMAIKY NÁVRHU A REALIZACE REGULÁORŮ Při experimentální identifiaci soustav nejsou vyžadovány podrobné znalosti o procesech, teré v systému probíhají. Výsledy identifiace jsou použitelné pouze pro danou soustavu, neboť pro vytváření matematicého modelu se využívá vnější popis. Identifiace systému v prostředí Matlab System Identification oolbox je nástroj, terý umožňuje vytvoření zjednodušeného modelu složitějšího systému na záladě změřených vstupních a výstupních dat s šumem i bez šumu. Jednou z možností tohoto toolboxu je pružné graficé uživatelsé rozhraní, teré umožňuje organizaci dat a modelů. oto graficé uživatelsé rozhraní se otevře pomocí příazu ident v Matlabu. Identifiační techniy obsažené v tomto toolboxu jsou užitečné ja pro apliace pro návrh řídicích systému, ta i pro zpracování signálu (buď pro jejich časovou analýzu, nebo pro vibrační analýzu). Problematia identifiace je velmi rozsáhlá, v tomto učebním textu je demonstrován univerzální postup. Řešený přílad.2.4 Zadání: Identifiujte systém, u terého byla změřena přechodová charateristia. Řešení: CD-ROM Příazem ident spusťte prostředí Ident a otevřete soubor example 2_4_podlad.sid. Pro porovnání měřených a identifiovaných dat spusťte example 2_4_podlad.m. Práce s nástrojem Ident je zdoumentována v souboru Animace02. Shrnutí pojmů.2 Linearizace proces, terý vede na nalezení evivalentu nelineární soustavy pomocí lineárního popisu v pracovním bodě. Identifiace proces nalezení matematicého popisu evivalentu popisu reálné soustavy. 6

SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE 2. SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE 2.. Záladní tvary PID a PSD regulátoru Čas e studiu: 2 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat záladní tvary PID regulátoru popsat dynamicé vlastnosti PID regulátoru vypočítat přenos PSD regulátoru Výlad Standardní tvar, ISA algoritmus, regulátor bez interace ( ) G R s = K P + + Ds I s K P - proporcionální složa I - integrační časová onstanta - derivační časová onstanta D Sériový tvar, regulátor s interací ' ( s) = ' K + ( + s) GR2 P ' I s Lze převést na standardní tvar D G Paralelní tvar r s I ( s) = r + r s R 3 P + r P - zesílení r I - integrační onstanta r - derivační onstanta D D Převod onstant mezi standardním tvarem a paralelním tvarem r P = K P K P r I = I r = K D P D 7

SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE Dynamicé vlastnosti lineárních spojitých regulátorů P regulátor Nejjednodušším regulátorem je proporcionální regulátor. ypicým představitelem tohoto typu regulátoru je (ideální) zesilovač (ideální ve smyslu, že staticá charateristia je lineární a bez omezení a dynamicé vlastnosti zesilovače se se vzrůstajícím mitočtem zpracovávaného signálu nemění). Ační veličina na výstupu regulátoru je proporcionální (přímo úměrná) regulační odchylce na vstupu regulátoru. Ační veličinu na výstupu z regulátoru lze vyjádřit vztahem I regulátor ut () = ret. () Další záladní typ regulátoru je integrační regulátor. Je to regulátor, terý i při nulovém vstupním signálu (regulační odchylce) má nenulový výstup. Ační veličinu na výstupu regulátoru lze vyjádřit vztahem D regulátor 8 0 t u() t = r e() t dt + u(0) i Dalším regulátorem je derivační regulátor, terý nelze samostatně fyziálně realizovat. Používá se pouze ve složených typech regulátorů PD, PID. Výstup regulátoru (ační veličina) je přímo úměrný derivaci regulační odchyly (vstupní veličině). Nese informaci o budoucích hodnotách regulační odchyly. Zavádí se pro urychlení přechodového děje a do určité míry předvídá změny, teré teprve nastanou. Ační veličinu na výstupu regulátoru lze vyjádřit vztahem PD regulátor u(t) = r d 0 de() t dt Proporcionálně derivační regulátor je složený regulátor. Výstupní veličina regulátoru (ační veličina) je složena ze dvou slože, z nichž jedna je úměrná regulační odchylce a druhá její derivaci. Ační veličinu na výstupu regulátoru lze vyjádřit vztahem PI regulátor de() t u(t) = r0 et ( ) + rd dt Proporcionálně integrační regulátor je složený regulátor. Obdobně jao v předchozím případě ve výstupní, ační veličině jsou zastoupeny dvě složy, a to proporcionální a integrační, z nichž jedna je úměrná regulační odchylce a druhá jejímu integrálu. Ační veličinu na výstupu regulátoru lze vyjádřit vztahem PID regulátor ut () = r et () + r et () dt+ u(0) 0 i Proporcionálně integračně derivační regulátor je složený regulátor. Je spolu s PI regulátorem nejpoužívanějším regulátorem z uvedených záladních typů regulátorů a má ve výstupním (ačním) signálu obsaženy všechny tři složy, z nichž první je úměrná regulační odchylce, druhá jejímu integrálu a třetí její derivaci. Ační veličinu na výstupu regulátoru lze vyjádřit vztahem t 0

SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE 9 0 0 () () () () (0) t d i de t ut r et r r et dt u dt = + + + CD-ROM Činnost PID regulátoru je zdoumentována na příladu řízení fyziálního modelu vrtulníu v souboru Video_03. Na tomto videu je taé demonstrováno nevhodné nastavení PID regulátoru. Uáza odvození diferenční rovnice PID regulátoru pro dopřednou obdélníovou metodu (DOBD) Spojitý idealizovaný PID regulátor se většinou popisuje ve tvaru ( ) ( ) ( ) ( ) + + = t D I P dt t de d e t e K t u 0 τ τ Rovnici lze pomocí Laplaceovy transformace převést na tvar ( ) ( ) s E s s K s U D I P + + = de s označuje operátor Laplaceovy transformace. Z rovnice (3.5) lze určit přenos PID regulátoru ( ) ( ) ( ) + + = = s s K s E s U s G D I P R ) Polohový algoritmus v případě DOBD: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] + + = = 0 0 e e i e e K u D i I P 2) Přírůstový algoritmus v případě DOBD: ( ) ( ) ( ) + = u u u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] + + + = 2 2 0 0 e e e e e e K u D I P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 2 2 0 0 + + + + = u e e e e e e K u D I P Převod přenosu PID regulátoru v Laplaceově transformaci na přenos PSD regulátoru v z-transformaci Přepoládejme standardní tvar PID regulátoru ve formě zvolená perioda vzorování ZOBD zpětná obdélníová metoda DOBD dopředná obdélníová metoda ZOBD lichoběžníová metoda

Přenos PSD regulátoru je potom dán tvary: SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE Na záladě zvolené metody můžeme stanovit oeficienty přenosu PSD regulátoru tato: DOBD ZOBD LICHO Řešený přílad 2.2. Zadání: Přenos PID regulátoru v Laplaceově transformaci v paralelním tvaru je I G PID ( s) = P + + D s, de P = ; I = 0,5; D = 0, s Stanovte přenos PSD regulátoru použitím DOBD a ZOBD při periodě vzorování Řešení: I I D Gr( s) = P + + D s = P + + s s P s P Kp = P = P I = = = 2 I 0.5 D 0. D = = = 0. P 2 d 0 + dz + d 2 z G PSD ( z) = z DOBD: 0. = 2 0 + D d K = + 0 0. = P 0 D 0. 0. d = K 2 P + = + 2 = 2.95 I 0 2 0. D 0. d 2 = K P = = 0. 0 2 2.95z z G PSD ( z) = + z 2 20

SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE ZOBD: Poznáma: převod mezi spojitými a disrétními systémy se dá rovněž provést substitucemi odpovídající DOBD (forward rectangular rule) odpovídající ZOBD (bacward rectangular rule) odpovídající ustinově metodě (rapezoid rule) Shrnutí pojmů 2. Dynamicé vlastnosti lineárních spojitých regulátorů u aždého typu regulátoru existuje integrodiferenciální rovnice, terá popisuje vztah mezi vstupem regulátoru (regulační odchylou) a jeho výstupem (ačním zásahem). Otázy.2. Proč nelze realizovat ideální PD a PID regulátor? 2. Co ovlivňuje hodnota zvolené periody vzorování při převodu z PID na PSD přenos? 2.2. Modifiace PID regulátoru Čas e studiu: 4 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět popsat záladní modifiace PID regulátoru používané v praxi demonstrovat činnost beznárazového připojení, navrhnout regulátor pro soustavy s dopravním zpožděním Výlad Filtrace derivační složy Setrvačný člen prvního řádu Doplnění derivačního členu ve spojité PID funci o setrvačný člen prvního řádu, tedy disrétní realizace přenosu analogového PID regulátoru ve tvaru 2

SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE 22 ( ) + + + = s s s K s G D I P R τ Přenos tohoto spojitého PID regulátoru, v němž člen pro derivaci obsahuje setrvačný člen prvního řádu, se převede standardními metodami přibližné disretizace do disrétního tvaru. Náhrada derivace průměrnou diferencí Náhrada spojité derivace čtyřbodovou střední diferencí pomocí vztahu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 3 2 3 3 6 + = e e e e e D Odvození přírůstového algoritmu (DOBD) pomocí čtyřbodové diference ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 4 3 2 2 6 2 6 4 3 3 2 3 3 2 3 3 6 3 2 3 3 6 0 0 0 0 0 0 0 0 + + + + + = + + + + + + + = + + + + = = + + + = u e e e e e e e e K u e e e e e e e e e e e K u e e e e z e e e K u e z e e e K u D I P D I P D I P D D I P Výsledný vztah pro ační zásah pro ( ) u je tedy ve tvaru: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))} ( ) 4 3 2 2 6 2 6 0 0 + + + + + + + = u e e e e e e e e K u D I P nebo po úpravě ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 4 3 2 0 + + + + + = u e q e q e q e q e q u, Kde + + = 0 0 0 6 K q D I P = 0 3 K q D P = 0 2 K q D P = 0 3 3 K q D P = 0 4 6 K q D P

SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE Disrétní analogie spojitého filtru Pro filtraci zpracovávaných diferenční složou v současných algoritmech číslicové regulace se stále častěji používá disrétní analogie spojitého filtru. Derivační složa má pa tvar ( ) D s = K D de f = α Ds s + P, f Běžně se volí α = 0, tzn. časová onstanta filtru D-složy je desetrát menší než derivační časová onstanta. Disretizací zísáme diferenční vztah pro derivační složu d ( ) = D d ( ) + K α[ e( ) e( ) ] D P + α 0 Smithův preditor Jednoduché vylepšení standardního PI(D) regulátoru navrhl již v roce 957 Otto J. M. Smith. Úprava spočívá v přidání přenosu, terý obsahuje model řízené soustavy do další zpětné vazby olem regulátoru (Smithův preditor). Používá se pro řízení soustav s velým dopravním zpožděním. Dopravní zpoždění se v regulační smyčce projevuje ta, že regulovaná veličina začne na změnu ační veličiny reagovat až po uplynutí určité doby. Důležitým vodítem při rozhodování, zda použít regulátor se Smithovým preditorem, je míra dobré regulovatelnosti systému. Řízené soustavy lze rozdělit na dobře a špatně regulovatelné podle poměru doby průtahu D 0 a doby náběhu τ. yto doby můžeme odečíst, příp. odhadnout, z přechodové charateristiy řízeného systému. Na Obr. 2.. je přechodová charateristia systému se zpožděním 5 s a časovými onstantami 2, 2,5 a 3 s. Z obrázu je zřejmý způsob nalezení hodnot doby průtahu a náběhu pomocí přímy, terá je proložena inflexním bodem přechodové charateristiy. Za špatně regulovatelné systémy označíme ty, u terých je doba průtahu větší než polovina doby náběhu, D 0 > 0,5 τ. Zatímco pro dobře regulovatelné systémy nepřinese použití Smithova preditoru zlepšení vality řízení, u špatně regulovatelných systémů je valita řízení při použití preditoru výrazně lepší, a to tím čím je poměr D 0 / τ větší. Obr. 2.. Určení doby průtahu a doby náběhu 23

SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE Regulace pomocí Smithova preditivního regulátoru je založena na znalosti modelu řízené soustavy. Principem je rozložení řízení soustavy na dvě části. ěmi jsou soustava bez dopravního zpoždění a samotné dopravní zpoždění. Na reálné soustavě je vša měřitelná pouze regulovaná veličina ovlivněná dopravním zpožděním. Z modelu soustavy je vša možné odhadnout hodnotu výstupní veličiny neovlivněnou zpožděním, terá se zavede do regulátoru. Samotný regulátor lze tudíž navrhnout pro soustavu bez dopravního zpoždění, taže může být nastaven mnohem přesněji. Pro ompenzaci nepředvídatelných poruch se odhadne hodnota regulované veličiny ovlivněná zpožděním v modelu, terá se porovná s naměřenou sutečnou hodnotou řízené veličiny. Rozdíl je pa zaveden zpět do regulátoru. Pro odpovídající výsledy regulace je nutné znát dopravní zpoždění reálného procesu poměrně přesně. Schéma zapojení Smithova preditoru v regulačním obvodu je znázorněno na Obr. 2.2. Obr. 2.2. Schéma zapojení Smithova preditoru v regulačním obvodu CD-ROM Prostudujte si zdrojové soubory example_2_2_5_schema.mdl. Obsahují zapojení schémat v Simulinu odpovídající strutuře na Obr. 2.2. Beznárazové přepínání V praxi se velmi často setáváme s potřebou omezit přechodový jev vznilý při přechodu z ručního ovládání regulované soustavy na automaticou regulaci. Regulátor, jehož výstup není při ručním ovládání zapojen na regulovanou soustavu, dostává na svůj vstup regulační odchylu, terou nemůže ovlivnit a jeho integrační složa tedy integruje do nepřijatelné úrovně oproti očeávané úrovni ační veličiny. Při zapojení regulátoru do obvodu tedy vznine zbytečný přechodový jev ( náraz", angl. bump"), často velmi výrazný. Existuje mnoho zapojení regulátorů, terá náraz eliminují, např. odpojení vstupu integračního členu od regulační odchyly a jeho přímé ruční řízení. Po zapojení regulátoru je na něm tedy naintegrována právě taová hodnota, terá odpovídá vstupní hodnotě regulované soustavy před přepnutím do automaticého provozu. Princip dalšího z často používaných 24

SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE zapojení je na Obr. 2.3. Běžný regulační obvod (regulátor R, regulovaná soustava S, ační člen regulátoru s omezením výstupu) je doplněn pomocným bloem F a přepínačem mezi ační veličinou regulátoru a signálem ručního řízení. Pro jednoduchost předpoládejme, že ační člen má v lineární oblasti charateristiy jednotové zesílení. Je-li přepínač v horní poloze (automaticé řízení) a ační člen není nasycen, a vstupní signál pomocného blou F je nulový. Je-li přepínač v dolní poloze, je soustava řízena ručně signálem a pomocný blo F funguje jao regulátor výstupní ační veličiny regulátoru. Je-li zesílení blou F dostatečně velé, převládne jeho výstupní veličina svým vlivem nad regulační odchylou a obvod udržuje přibližně. ím je zabráněno nárazu při přepnutí do automaticého provozu. Podobně funguje obvod při automaticé regulaci a nasycení ačního členu, dy limituje wind-up efet. Je-li totiž ační člen nenasycen, je a vstupní signál blou F je nulový. Při nasycení udržuje zpětná vazba přes blo F přibližně a zabraňuje ta wind-up efetu. Obr.2.3. Beznárazové připojení Zajištění beznárazového připojení pro číslicový PID regulátor: u přírůstového algoritmu se využívá toho, že sám algoritmus z povahy své funce vyžaduje zjistit mechanismus načítání přírůstu poslední hodnotě ační veličiny, teré probíhá v aždém rou. Stačí pouze zajistit, aby se do paměti uládala poslední hodnota bez ohledu na to, v jaém režimu (a ja) byla vygenerována. Změna režimu se projeví pouze ve změně způsobu generování přírůstu. Antiwind-up Antiwind-up je z angličtiny převzatý a v praxi používaný termín pro opatření, terá mají zabránit poračující integraci (načítání) při generování ační veličiny poté, co ační veličina dosáhla mezní realizovatelné hodnoty (ační člen se dostal do saturace). Lineární teorie je vyniajícím nástrojem analýzy i syntézy, příroda je vša nelineární. 25

SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE Obr.2.4. Windup efet Obr. 2.5. Omezení integrační složy v centrálním členu regulátoru ypicou nelinearitou je výonové omezení ační veličiny jina lineárního regulátoru. U regulátoru typu P nebo PD nemá toto omezení vliv na dynamicé chování regulátoru a může ovlivnit pouze dynamiu celého regulačního obvodu. Jina je tomu u regulátorů s integračním análem (PI, PID, I). Na Obr. 2.4. vidíme odezvu u regulátoru typu I (prostého integrátoru) s omezením v ačním členu na dva obdélníové pulsy různých polarit vstupní veličiny e. Vidíme, že díy omezení v ačním členu je reace regulátoru na změnu polarity vstupního signálu opožděna o časový interval W. ento jev se v odborné literatuře nazývá wind-up ( navíjení", neboť je podobný jevu, terý nastává při navíjení volně ležícího lana při zvedání břemene) a vzhledem e své závažnosti je předmětem intenzivního studia. Existuje celá řada metod odstranění wind-up efetu. Nejjednodušší nápravou wind-up efetu je omezení integrační složy v centrálním členu regulátoru na úroveň omezení v ačním členu - viz Obr. 26

SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE 2.5. Omezení se může realizovat např. omezením výstupního signálu operačního zesilovače jina lineárního regulátoru. Obsahuje-li pa taový regulátor též derivační složu, případný Diracův impuls při soové změně vstupu se změní na obdélníový puls o stejné ploše, terý projde výonovým členem bez omezení. Opatření pro odstranění wind-up efetu pro číslicový PID regulátor: u přírůstových algoritmů se provádí omezení vypočtené hodnoty ační veličiny na interval a v hodnotě se uchovává hodnota pouze z tohoto intervalu. Je-li rovno něteré z mezních hodnot, setrvává na této hodnotě, doud se nezmění znaméno přírůstu, teré přivedly ační veličinu na mezní hodnotu. Protože změna znaména je dána změnou znaména regulační odchyly, odpoutá se hodnota od mezní hodnoty v tom rou, ve terém dojde e změně znaména regulační odchyly. CD-ROM Wind-up efet na reálné soustavě (fyziálním modelu motoru) a způsob jeho potlačení je doumentován v souboru Video_04. Zdrojové soubory jsou umístěny v adreášri Program_3. Potlačení důsledů soových změn žádané hodnoty (regulovaná veličina do proporcionální a derivační složy) Aby se potlačil vzni velých a rychlých změn ační veličiny, e terým dochází v důsledu rychlých změn žádané veličiny, je vhodné zabránit jejich přenosu přes proporcionální a derivační složu disrétní náhrady PID regulátoru. Potlačení pouze v derivační složce: 0 D u( ) = K P e( ) e( ) + e( ) + [ y( ) + 2y( ) y( 2) ] + u( ) I 0 Změny amplitudy ační veličiny se ještě sníží, je-li řídicí proměnná w ( ) obsažena jen v integrační složce (potlačení i oamžité reace proporcionální složy) 0 D u( ) = K P y( ) y( ) + [ w( ) y( ) ] + [ y( ) + 2y( ) y( 2) ] I 0 + u( ) Z tohoto tvaru algoritmu PSD regulátoru je vidět důležitý význam sumační (u spojitých systémů integrační) složy. Regulátor bude v činnosti ta dlouho, poud nebude a zabezpečuje ta dosažení stavu, tedy nulové trvalé regulační odchyly. Bez S složy bude obvod pracovat s trvalou regulační odchylou, stejně jao tomu je u spojitých systémů. Řešený přílad 2.2. Zadání: Sestavte schéma v Simulinu, teré bude reprezentovat obvod s filtrací derivační složy 27

SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE Řešení: CD-ROM Prostudujte si zdrojové soubory example_2_2 schema.mdl. Řešený přílad 2.2.2 Zadání: Sestavte schéma v Simulinu, teré bude reprezentovat obvod s beznárazovým připojením. Řešení: CD-ROM Prostudujte si zdrojové soubory example_2_2_2_schema.mdl. Řešený přílad 2.2.3 Zadání: Sestavte schéma v Simulinu, teré bude reprezentovat obvod s wind-up efetem a s opatřením na jeho odstranění. Řešení: CD-ROM Prostudujte si zdrojové soubory example_2_2_3_schema.mdl. Řešený přílad 2.2.4 Zadání: Sestavte schéma v Simulinu, teré bude reprezentovat průběh regulace soustavy s dopravním zpožděním za použití Smithova preditoru. Porovnejte s případem, dy Smithův preditor chybí. Reálná regulovaná soustava s dopravním zpožděním má přenos: Dopravní zpoždění regulované soustavy je tedy 5 seund. Řešení: CD-ROM Prostudujte si následující zdrojové soubory: 28

SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE example_2_2_4_main_bezsp.mdl + example_2_2_4_proces_bezsp.mdl example_2_2_4_main_v.mdl + example_2_2_4_proces_v.mdl example_2_2_4_main_v2.mdl + example_2_2_4_proces_v2.mdl Popis řešení: Model regulované soustavy bez zpoždění má přenos: Model regulované soustavy se zpožděním má přenos: Ve schématech se používá model bez dopravního zpoždění i s dopravním zpožděním. Vytvořené varianty Varianta : model regulované soustavy se zpožděním a model bez zpoždění (viz Obr. 2.2 horní část) Varianta 2: model bez zpoždění a samotné dopravní zpoždění (viz Obr. 2.2 dolní část). Odezva celového modelu regulované soustavy (i s dopravním zpožděním) je pa v této variantě zísána na výstupu z blou dopravního zpoždění. Varianta 3: slouží pro porovnání regulace se Smithovým preditorem obou variant a regulace bez preditoru. Varianta Obr. 2.6. Schéma se Smithovým preditorem, varianta V zapojení je použit funční blo PIDMA (PID regulátor s momentovým autotunerem). Místo tohoto blou lze použít funční blo PIDU nebo PIDA (PID regulátor s reléovým autotunerem). Reálná regulovaná soustava je simulována bloem SOPD. Model regulované soustavy bez dopravního zpoždění je rovněž reprezentován bloem SOPD. Ační veličina PI regulátoru je omezena na limity 00.0 a 0.0. Parametry PI regulátoru se nastaví automaticy pomocí momentového autotuneru. Parametry PI regulátoru nastavené momentovým autotunerem: p =,527 pti = 2,896 pb = 0,8 (vážení proporcionální složy regulátoru). Varianta 2 29

SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE Obr. 2.7. Schéma se Smithovým preditorem, varianta 2 V zapojení je použit funční blo PIDMA (PID regulátor s momentovým autotunerem). Místo tohoto blou lze použít funční blo PIDU nebo PIDA (PID regulátor s reléovým autotunerem). Reálná regulovaná soustava je simulována bloem SOPD. Model regulované soustavy bez dopravního zpoždění a model regulované soustavy s dopravním zpožděním je rovněž reprezentován bloem SOPD. Ační veličina PI regulátoru je omezena na limity 00.0 a 0.0. Parametry PI regulátoru se nastaví automaticy pomocí momentového autotuneru. Parametry PI regulátoru nastavené momentovým autotunerem (shodné s Varianta ): p =,527 pti = 2,896 pb = 0,8 (vážení proporcionální složy regulátoru). Varianta 3 Obr. 2.8. Schéma bez Smithova preditoru 30

SANDARDNÍ PID REGULÁOR A JEHO MODIFIKACE oto zapojení je bez Smithova preditoru a slouží porovnání regulace bez a se Smithovým predátorem. V zapojení je použit funční blo PIDMA (PID regulátor s momentovým autotunerem). Místo tohoto blou lze použít funční blo PIDU nebo PIDA (PID regulátor s reléovým autotunerem). Reálná regulovaná soustava je simulována bloem SOPD. Ační veličina PI regulátoru je omezena na limity 00.0 a 0.0. CD-ROM Filtrace derivační složy, anti-windup a beznárazové připojení jsou zdoumentovány v souboru Animace03. Shrnutí pojmů 2.2 Filtrace derivační složy Smithův preditor - používá se pro řízení soustav s velým dopravním zpožděním. Dopravní zpoždění se v regulační smyčce projevuje ta, že regulovaná veličina začne na změnu ační veličiny reagovat až po uplynutí určité doby. Beznárazové připojení - regulátor, jehož výstup není při ručním ovládání zapojen na regulovanou soustavu, dostává na svůj vstup regulační odchylu, terou nemůže ovlivnit a jeho integrační složa tedy integruje do nepřijatelné úrovně oproti očeávané úrovni ační veličiny. Při zapojení regulátoru do obvodu tedy vznine nežádoucí přechodový jev ( náraz", angl. bump"), často velmi výrazný. Anti-windup - je z angličtiny převzatý a v praxi používaný termín pro opatření, terá mají zabránit poračující integraci (načítání) při generování ační veličiny poté, co ační veličina dosáhla mezní realizovatelné hodnoty (ační člen se dostal do saturace). 3

VYBRANÉ ALGORIMY MODERNÍ EORIE ŘÍZENÍ 3. VYBRANÉ ALGORIMY MODERNÍ EORIE ŘÍZENÍ 3.. Optimální lineárně vadraticé řízení Čas e studiu: 4 až 6 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat záladními pojmy z oblasti optimálního LQR řízení demonstrovat návrh LQR regulátoru vyřešit záladní úlohu LQR řízení Výlad Úvod do problematiy optimálního lineárně vadraticého řízení Charateristicým rysem moderní teorie řízení je formulace úlohy návrhu regulátoru jao optimalizačního problému, přičemž je obvyle implicitně splněna řada záladních požadavů a vedou na v jistém smyslu nejlepší regulátor. Ladění regulátoru pa přechází v nastavování parametrů optimalizačního ritéria. Zrata LQ řízení se používá pro optimální lineární řízení systému. Zrata LQ řízení je spojením počátečních písmen Linear Quadratic Control, tedy lineárně vadraticé řízení. oto řízení je vyvíjeno od 60 let. Zatímco v lasicých metodách návrhu se požadovaných vlastností systému (stabilita, požadovaná šířa pásma, amplitudová a fázová bezpečnost) dosahovalo vhodným nastavením onstant regulátorů, moderní metody splňují řadu těchto požadavů implicitně a navíc vedou (na) v jistém smyslu optimální regulátor. Optimální regulátor optimalizuje účelovou funci, tzn., že hledá její minimum nebo maximum. V teorii řízení se velmi často jao účelová funce používá tzv. vadraticé ritérium. Předpoladem je, že soustava pro tuto regulaci je lineárním systémem popsaným vnitřním popisem stavů systému. Objetem řízení je vadraticý funcionál stavů systému a řídicích vstupů - ačních veličin. Hlavním úolem tohoto řízení je minimalizovat vadraticý funcionál s ohledem na ační veličiny - řízení, tedy určitého požadovaného omezení lineárního systému. Úolem LQ řízení je zísat stabilní optimální systém s přiměřeně dobrou odezvou. U taového systému se předpoládá a požaduje, aby díy regulátoru byl systém v rovnováze, nebo nastaven do daného bodu navzdory rušení. Proto je cílem minimalizovat působení rušení na systém. Výhodou formulace problémů LQ řízení je výslede zísaný z lineárních záonů regulace, teré jsou jednoduché pro implementaci a analýzu. Dalšími možnými apliacemi LQ řízení mohou být požadavy na minimální čas řízení, minimální spotřebu energie/paliva (de řešení vyžaduje nelineární typ řízení zapnuto vypnuto, teré je jednoduché implementaci užitím reléových spínačů nebo přepínačů, ale obtížnější analýze nelinearit), a IAE ritérium: minimální doba řízení (minimalizace doby řízení časově optimální úlohy), minimální spotřeba energie pro řízení, IAE ritérium, minimalizovat vliv poruchy na systém, problém sledování veličiny servomechanismy. 32

VYBRANÉ ALGORIMY MODERNÍ EORIE ŘÍZENÍ Matematicý popis úlohy optimálního lineárně vadraticého řízení Obecný dynamicý systém může být popsán stavovými rovnicemi, vadraticý funcionál je popsán následující rovnicí, úolem je minimalizovat tento funcionál s ohledem na vstup řízení u. Předchozí vztah platí pro systémy vyšších řádů, poud se jedná o salární systém (prvého řádu), funcionál mění svůj tvar na. J reprezentuje váženou sumu energie stavu a řízení. Jestliže parametr r je v poměru e q mnohem větší, je řízení systému těžo stabilizovatelné, tedy těžo realizovatelné. Naopa jestliže parametr r je v poměru e q mnohem menší, je systém vlivem penalizační funce problematicé optimalizovat (malé motory, malé zesílení). Poud je naopa q mnohem větší než r, systém se stává přetlumeným a stav se mění pozvolna, bez přemitů. V obecné úloze Q a R reprezentují váhy různých stavů a řídicích veličin. Řešením je stabilní optimální systém s dobrou odezvou. Požadujeme, aby matice Q byla symetricá a pozitivně semidefinitní a R symetricá a pozitivně definitní. Problémem je minimalizovat funce J. Lze ji interpretovat jao úlohu optimální ompenzace poruch, jejichž působením je systém vychýlen z požadované nulové (referenční) hodnoty. Matice R a Q jsou váhové matice, de matice R váží vynaloženou energii řízení (vynaložená energie je úměrná vadraticé funci amplitudy řídicího vstupu) a matice Q váží odchyly stavů od nulové hodnoty. Hlavní úol spočívá v návrhu parametrů Q a R: symetricá positivně semidefinitní matice, symetricá positivně definitní matice. yto rovnice platí pro systém, de je stav řízeného systému dostupný, jina jej je potřeba reonstruovat. Kvadraticy optimální regulace se pa dá řešit s využitím pouze zpětné vazby od výstupu. V tom případě popíšeme systém stavovými rovnicemi, Protože hodnota ritéria je vlivem působících šumů (e(t) a v(t) jsou stacionární bílé posloupnosti) náhodnou veličinou, přecházíme proto minimalizaci střední hodnoty: Příladem apliace LQ řízení mohou být napřílad úlohy, jejichž optimalizací dosáhneme přechodu z libovolného počátečního stavu x(0) do žádaného oncového stavu x v minimálním čase (počtu roů) N = t= 0 J, x ( N) = x f nebo úlohy, jejichž optimalizací dosáhneme přechodu z libovolného počátečního stavu x(0) do žádaného stavu x s minimální vynaloženou energií, terá je úměrná vadraticé funci amplitudy řídicího vstupu. N 2 = u ( t) Ru( t) t= 0 J, x ( N) = x f 33

VYBRANÉ ALGORIMY MODERNÍ EORIE ŘÍZENÍ Je-li požadave, aby výstup řízeného systému sledoval danou referenční trajetorii r(t) a dosáhlo se přitom ompromisu mezi vynaloženou řídící energií a valitou sledování referenční hodnoty, je vhodné použít vadraticé ritérium ve tvaru {[ ] y ( ) } N 3 = 2 + 2 + t= 0 J x (N ) Q(N ) x(n ) y( t)-r( t ) Q (t) y(t) r(t) u (t) R(t) u(t), de posloupnost matic R(t) váží vynaloženou energii řízení a posloupnost matic Q(t) váží odchyly výstupu od referenční hodnoty. Kritérium optimality se volí s ohledem na co nejlepší reprezentaci požadovaných vlastností, naproti tomu se musí počítat s řešením optimalizace v rozumném čase, realizovatelností, robustností, aj. V teorii řízení je často používané vadraticé ritérium z následujících důvodů: úlohy vadraticé optimalizace jsou poměrně snadno řešitelné, řadu optimalizačních ritérií lze v oolí jejich minima aproximovat vadraticou funcí, pro soustavu linearizovanou v oolí daného pracovního bodu je optimální regulátor rovněž lineární a lze je realizovat stavovou zpětnou vazbou, pro neonečný horizont optimalizace lze najít časově invariantní regulátor, terý stabilizuje (za známých podmíne) řízenou soustavu, tento časově invariantní regulátor má příznivé vlastnosti z hledisa robustnosti (zvláště ve spojitém případě). Problematia lineárně vadraticých regulátorů - LQR V případě lineárních systémů se problematia návrhu regulátorů vadraticy optimálního řízení nazývá problematiou lineárně vadraticých regulátorů (LQR Linear Quadratic Regulator). Rozlišují se dvě záladní úlohy: Kvadraticy optimální regulace. Řeší problém optimálního přechodu z daného libovolného stavu x 0 do počátu. Kvadraticy optimální sledování. Je požadováno, aby výstup soustavy sledoval požadovanou (nenulovou) referenční trajetorii. Problém návrhu taového regulátoru je rovněž problémem robustního řízení. Záladem pro návrh je zpětnovazební řízení, nepoužívá se otevřená smyča (umožňuje pracovat s citlivostí a odstraněním poruchy). Zpětná vazba (ZV) na jedné straně nestabilní soustavy stabilizuje, ale na druhé straně může stabilní soustavu destabilizovat. ZV systém je daleo více tolerantní chybám modelu. Návrh v prostředí Matlab Pro modelování LQR posytuje MALAB následující příazy: [K,S,E] = LQR(A,B,Q,R,N), pro řešení lasicého LQR řízení se znalostí vnitřních stavů, [K,S,E] = LQRY(A,B,C,D,Q,R,N), pro řešení LQR se znalostí výstupu. de A je matice původního systému (vnitřní vazby), B matice vazeb systému na vstup, Q matice váhy stavů, R matice váhy vstupů, 34

VYBRANÉ ALGORIMY MODERNÍ EORIE ŘÍZENÍ K matice zpětných vazeb pro LQR, S výslede řešení Riccatiho rovnice, E vlastní čísla nového systému, N nepovinná matice. Disrétní verzí je funce DLQR a DLQRY s adevátními parametry. Řešený přílad 3.. Zadání: Navrhněte LQR regulátor pro soustavu popsanou maticemi, simulujte průběh regulačního děje v Simulinu. Matice Q a R zvolte. A = [-.4 0-0.0; 0 0; -.4 9.8-0.02]; B = [6.3;0;9.8]; C = [0 0 ]; D = 0; Řešení: CD-ROM Pro návrh použijeme prostředí Matlab, onrétně funce lqr a dlqr, viz zdrojový soubor example_3 podlad.m. Po vypočtení stavového regulátoru se schéma realizuje v Simulinu, viz zdrojový soubor example_3 schema.mdl. Činnost LQR regulátorů je zdoumentována v souboru Animace04. Shrnutí pojmů 3. Pro LQR řízení lze rovnice dynamicého programování zapsat ve tvaru : ( 0 ) ( ) x = A x+ B u x = x0 λ=q x+a λ λ = 0 * - * u = -R λ B u je optimální řízen í. Výsledem je Riccatiho diferenciální rovnice. Což je nelineární diferenciální rovnice prvního řádu řešená zpětně v čase. Jejím řešením zísáme matice P(t) (všechny jsou symetricé, pozitivně semidefinitní ). Pro řešení LQR je často používána tato diferenciální rovnice: dλ dp dx dp - = x + P = x + PAx PBR B Px =Qx A Px dt dt dt dt dp = A P + PA + Q - PBR - B P, P ( ) = 0. dt Posloupnost optimálního řízení je pa dána časově proměnnou zpětnou vazbou od stavu se zesílením K(t), nazývané Kalmanovo zesílení, teré určíme na na záladě matice P(t): ( ) = ( ) ( ), de ( ) = - ( ) u t K t x t K t R B P t. 35

VYBRANÉ ALGORIMY MODERNÍ EORIE ŘÍZENÍ Otázy 3.. Ja je vyjádřen vadraticý funcionál? 2. Ja lze volbou matic Q a R měnit vlastnosti výsledného systému? Úlohy řešení 3. Zadání: Navrhněte LQR regulátor pro model uličy na tyči. 3.2. Optimální lineárně vadraticé Gaussovsé řízení LQG Čas e studiu: 4 až 6 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat záladními pojmy z oblasti optimálního LQG řízení demonstrovat návrh LQG regulátoru Výlad Optimální lineárně vadraticé Gaussovsé řízení LQG Lineárně vadraticé Gaussovsé řízení LQG představuje moderní techniu návrhu optimálních dynamicých regulátorů ve stavovém prostoru. Umožňuje vyvážit poměr výonu regulace a řízení při uvažování procesního a měřícího šumu. Návrh LQG řízení vyžaduje stavový model systému. Problém LQG řízení odpovídá uspořádání na Obr. 3.. Obr. 3.: Uspořádání zpětnovazebního obvodu pro LQG řízení Systém je vystaven procesnímu šumu w a řízení u a regulátor provádí regulaci na záladě zašuměného měření yv = y+v. Stav a výstup systému má následující podobu: x = Ax + Bu + Gw, y =Cx+Du+Hw+v, V 36

VYBRANÉ ALGORIMY MODERNÍ EORIE ŘÍZENÍ de v i w jsou modelovány jao náhodné procesy (bílý šum) s nulovou střední hodnotou a danými ovariancemi. Principiálně je LQG regulátor tvořen optimálním zpětnovazebním tvarem odpovídající LQ regulaci a Kalmanovým odhadem stavu. yto omponenty mohou být navrhovány nezávisle. Optimální zpětnovazební řízení lineárně vadraticá regulace Správná činnost regulace je hodnocena lineárně vadraticým ritériem ve tvaru funcionálu: J ( ) ( ) u = x Qx + 2x Nu + u Ru dt. 0 Váhové matice Q, N, R jsou specifiovány uživatelem a vyjadřují přerozdělení výonu regulace (ja rychle x () t lesá nule) a řízení. Řešením je regulátor ve zpětnovazebním tvaru u = -K x, terý minimalizuje ztrátovou funci J. Výpočet K odpovídá řešení Riccatiho rovnice a představuje optimální LQ řízení. Odhad stavu - Kalmanův filtr Podobně jao u metod vycházejících z rozložení pólů přenosu vyžaduje LQ řízení ve tvaru u = -K x ompletní informaci o stavech. Řešení lze realizovat na záladě odhadu stavu ˆx, přičemž u = -K xˆ zůstává optimální. Odhad stavu je realizován Kalmanovým filtrem popsaným: x ˆ = Ax ˆ + Bu + L y - Cxˆ - Du, ( ) jehož vstupy jsou řízení u a měřený výstup y v. Kovarianční data šumů: E ( w) = 0, ( v) = 0 V E, E ( ww ) = Qn, E ( vv ) = Rn, E ( wv ) = N n určují zpětnovazební činitel L vyplývající z řešení Riccatiho rovnice. Kalmanův filtr zajišťuje optimální odhad pro signál zašuměný gaussovsým bílým šumem, což z matematicého hledisa znamená minimalizaci chybové variance t (( ˆ )( ˆ ) ) lim E x-x x-x. ento člen lze pa vyjádřit jao blo se vstupy u a y v a výstupem ˆx, ja je znázorněno na obrázu 3.2. Obr. 3.2: Bloové schéma zapojení Kalmanova filtru 37