1. Představení funkcí více proměnných 1.a Vícerozměrné prostory Značení: Nechť n IN. Symbol IR n značíprostorvšech n-rozměrnýchvektorůsreálnýmisouřednicemiznačených x=x 1,..., x n,také xnebotřeba x.čísla x i IRjsousouřadnicečisložky. operace s vektory: Provektor x IR n askalár λ IRdefinujemenásobekjako λ x=λx 1,..., λx n. Provektory x, y IR n definujemejejichsoučetjako x+ y=x 1 + y 1,..., x n + y n. Pro x, y IR n definujemejejichskalárnísoučinjako x y= x 1 y 1 + +x n y n = n metrika: Provektor x IR n definujemejehoeuklidovskounormujako x = x 2 1 + +x2 n. n Provektory x, y IR n definujemejejicheuklidovskouvzdálenostjako x y = x i y i 2. Vektorovémuprostoru IR n seuklidovskounormouříkámeeuklidovskýprostordimenze n,někdyseznačí IR n, 2 či E n.mybudemepsátjen IR n,protožejinénormyneuvažujeme. Nechť n IN. Euklidovská norma splňuje následující vlastnosti: iprovšechna x IR n platímax x i x nmax x i. iiprovšechna x IR n a λ IRplatí λ x = λ x. iiiprovšechna x, y IR n platí x+ y x + y. trojúhelníkovánerovnost ivprovšechna x IR n platí x = x x. vprovšechna x, y IR n platí x y x y. Cauchy-Schwarzovanerovnost viprovšechna x IR n platí: x =právětehdy,když x=. Fakt. Nechť n IN.Pro x, y IR n platí x y= x y cosα,kde αjeúhelmezivektory xa y. Poznámka: Skalární součin je míra kolmosti. Platí x y právě tehdy, když x y. Naopak pro x, y rovnoběžné nabývá součin maximální možné hodnotyviz Cauchy-Schwarz výše, x y = ± x y, znaménko záleží na tom, zda je orientace shodná nebo opačná. Nechť Mjepodmnožina IR n. Řekneme,žejeomezená,jestližeexistuje K >tak,aby x Kprovšechna x M. Definujemediametr MjakodiamM=sup{ x y ; x, y M}. Evidentnějemnožina Momezenáprávětehdy,kdyždiamM <. Nechť a IR n a ε >.Definujeme ε-okolíbodu ajako U ε a={ x IR n ; x a < ε}. prstencové ε-okolíbodu ajako P ε a={ x IR n ; < x a < ε}. Poznámka: U R ajeotevřená koule opoloměru Rsestředemv a. Nechť n IN,uvažujmevektor x IR n aposloupnostvektorů { xk} IR n. Řekneme, že { xk} konverguje k x nebo že x je limita posloupnosti { xk}, značeno lim xk= xči k jen xk x,jestliže lim xk x =. Ekvivalentně, neboli k ε > N IN k N: xk x < ε 1 x i y i.
U= U x N IN k N: xk U. Fakt. Nechť n IN,uvažujmevektor x IR n aposloupnostvektorů { xk} IR n,kde xk=xk 1,..., xk n. Platí xk xprávětehdy,kdyžprovšechna,..., nplatí xk i x i. Konvergence tedy funguje po souřadnicích. Nechť Mjepodmnožina IR n,řekneme,že x IR n je vnitřníbod M,jestližeexistuje U= U ε xtakové,že U M. vnějšíbod M,jestližeexistuje U= U ε xtakové,že U M=. hraničníbod M,jestližeprokaždé U= U ε xplatí U M au M. izolovanýbod M,jestližeexistuje U= U ε xtakové,že U M= { x}. hromadnýbod M,jestližeprokaždé P= P ε xplatí P M. Poznámka: Je-li xhromadnýbod M, pakjenutnědokonce P M nekonečná. Ekvivalentně, xje hromadnýbod M,pokudexistujeposloupnost { xk} M { x}taková,že xk x. Nechť Mjepodmnožina IR n.definujemejejí vnitřek M O jakomnožinuvšechvnitřníchbodů M. hranici Mjakomnožinuvšechhraničníchbodů M. uzávěr Mjako M M. Uzávěrjemnožinavšechbodů,kekterýmsedálibovolněblízkodojítpomocíbodůzM. x M existujeposloupnost { xk} Maby xk x. TosamozřejmězahrnujeibodyzM,ktakovémubodusedádojítlibovolněblízkopomocíjehosamého. Nechť Mjepodmnožina IR n. Řekneme,že Mjeotevřená,jestliže M O = M. Řekneme,že Mjeuzavřená,jestliže M= M. Poznámka: Množina je otevřená, je-li každý její bod vnitřní. Množina je uzavřená, jestliže je každý její hromadný bod částí množiny. Jinými slovy, pro libovolnou posloupnost { xk} M,kterákonvergujeknějakému x,musíplatit x M. Fakt. Jestližemámnožina M IR n hromadnýbod,pakmusíbýtnekonečná. Neplatínaopak,například INjenekonečnápodmnožina IR 1,alenemáhromadnýbod. Každánekonečnáomezenápodmnožina IR n máalespoňjedenhromadnýbod. Nechť Mjepodmnožina IR n. Řekneme,žejesouvislá,jestliženeexistujíotevřenémnožiny G 1, G 2 IR n takové,že M G 1 G 2, G 1 M, G 2 M ag 1 G 2 =. Jediné souvislé podmnožiny IR jsou intervaly. VícerozměrnéintervalyvIR n : I 1 I 2 I n,kde I i jsouintervalyvir. obdélník, hranol, atd. Platí:Množina M IR n jesouvisláprávětehdy,jestližeprolibovolnédvabody x, y Mexistujenepřerušovanáčáravizspojitéparametrickékřivkypozdějiz xdo y,kteráceláležívm. 2
Množina M IR n senazýváoblast,jestližejeotevřenáasouvislá. Nechť x, y IR n.definujemeúsečku x, y jakomnožinu {t x+1 t y; t,1 }. Nechť Mjepodmmnožina IR n.řekneme,žejekonvexní,jestližeprolibovolné x, y Mplatí x, y M. 1.b Funkce Funkcívíceproměnnýchrozumímelibovolnézobrazení f: D IR,kde D=Dfjenějakápodmnožina IR n.není-li Dexplicitnědáno,pakjakodefiničníobor Dfberememnožinuvšech x IR n,prokteroumá f x smysl. Protytofunkcezavádímeoborhodnot Rf={f x; x Df}. Obecněji,pro M Dfdefinujemeobraz Mvzhledemkfjako f[m]={f x; x M}. Určíme Df těchto funkcí: a fx, y=x 2 sinx+y:evidentně Df=IR 2. b fx, y= 9 x 2 y 2 : Df={x, y IR 2 ; x 2 + y 2 3 2 }, jetokruhsestředemvpočátkuopoloměru3. c fx, y, z= 9 x 2 y 2 z 2 : Df={x, y, z IR 3 ; x 2 + y 2 + z 2 3 2 }, jetokoulesestředemvpočátkuopoloměru3. d fx, y= ex+y x y : Df={x, y IR2 ; y x}, je to rovina s vynechanou přímkou hlavní diagonálou. e fx, y= x y: Df={x, y IR 2 ; y x }, jetouzavřenýprvníatřetíkvadrantvrovině. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n. Definujemegraf fjako Gf={ x, y IR n+1 ; y= f x}. Keznázorněnígrafutedypotřebujeme n+1rozměrů. Důsledek: Problémseznázorněnímpro n=2, nemožnépro n 3. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.pro c IRdefinujemepříslušnouhladinukonstantnosti H c = { x Df; f x=c}. Zdefinicevidíme,že H c Df,takženaznázorněníhladinnámstačíjen nrozměrů,cožjepokrokoproti grafům. Známe je všichni, jsou to vrstevnice na mapě. Jinámetoda:řezy.Nechť NjepřímkavIR n,pakrestrikce fna Nvytvářífunkcijednéproměnné. a fx, y= 4 x 2 y 2 : Df={x, y IR 2 ; x 2 + y 2 2 2 },evidentně Rf=,2. Nejprve zkusíme obecné metody: Pro c,2 jehladinakonstantnostikřivka x 2 + y 2 =4 c 2,tedykružniceopoloměru 4 c 2. Při zvětšujícím c se kružnice zmenšují, tak vypadají kopečky. Řezy:Zvolíme-li x=,pakseptáme,jakvypadágrafnadosou y. Dostáváme f, y= 4 y 2,grafem jehornípůlkružnice. Projinápevnězvolená xjsougrafemmenšípůlkružnice fx, y= 4 x 2 y2. Takto tedy vypadají řezy svislými rovinami rovnoběžnými s osou y. Funguje to i symetricky, takže i svislé řezy grafem rovnoběžné s osou x jsou horní půlkružnice. To o tvaru grafu ledacos napoví. 3
Teď metody speciální: Pokudmámeštěstí,jefunkcenějakpostavenazvýrazu x 2 + y 2. Tojevzdálenostbodux, yodpočátku na druhou. Pokud opravdu funkce pracuje jen s tímto výrazem, tak to znamená, že má stejnou hodnotu ve všech bodech stejně vzdálených od počátku, tedy na na kružnici kolem počátku. Jinými slovy, graf musí býtimunnívůčirotaciokoloosy z.našefunkcetosplňuje: fx, y= 4 x 2 + y 2.Víme,ženadosou y činadosou xgrafvypadájakohornípůlkružnice,celýgraftedyzískámejejírotacíaužvíme,jakvypadá. Závěr: Grafem je horní polosféradóm. Jináspeciálnímetoda:Tvarobjektujedánrovnicí z= 4 x 2 y 2.Někdysedátakovátorovnicepřepsat dotvaru,kterýpoznáme.zdetojemožné,umocněnímamaloureorganizacídostaneme x 2 + y 2 + z 2 =2 2. Toto je rovnice sféry o poloměru 2. Náš graf je tedy její součástí, ovšem ještě musíme zjistit, jakou. Protože Dfjekruhvrovině xyopoloměru2,budegrafzabíratcelourozlohuonésféry,alesférajakotakovátobýt nemůže,protožetamáprovětšinubodůx, ydvěrůznéhodnoty.musímesitedyvybrat,jestlijegrafem hornínebodolnípolosféra.topoznámezpůvodnírovnice z= 4 x 2 y 2,jetotahorní. Tato metoda je nespolehlivávětšinu rovnic, které lze vymyslet, neznáme a zároveň velice užitečnákdyž někdo zadává funkci ve škole, tak si většinou vybere něco pěkného. b fx, y=x 2 + y 2 : Df=IR 2,hladinykonstantnosti: x 2 + y 2 = cnebolizvětšujícísekružnice. Řezy: Zvolíme-li x=,dostáváme f, y=y 2,grafemjeparabola. Projiná xjsougrafemparaboly posunuténahorutímvíce,čímdálejsmeodpočátku, fx, y=x 2 + y 2,vrcholytěchtoparaboljsousamy na parabole. Funguje to i symetricky. Zde zafunguje rotační trik krásné, grafem je parabola zrotovaná okolo osy z. Závěr: Graf je paraboloid. c fx, y=x 2 y 2 : Df=IR 2,hladinykonstantnosti: x 2 y 2 = cnebolihyperbolysezvětšujícím se poloměrem. Řezy:Zvolíme-li x=,dostáváme f, y= y 2,grafemjeparabolaotočenádolů.Projiná xjsougrafem dolůotočenéparabolyposunuténahorutímvíce,čímdálejsmeodpočátku, fx, y=x 2 y 2,vrcholy těchto parabol jsou na parabole otočené vzhůru. Zvolíme-li y=,dostáváme fx,=x 2,grafemjeparabola. Projiná yjsougrafemparabolyposunuté dolůtímvíce,čímdálejsmeodpočátku, fx, y =x 2 y 2,vrcholytěchtoparaboljsounaparaboleotočené dolů. Pomocnémetody: Rotačnísymetriinemáme,rovnici z= x 2 z 2 takévšichnineznají. Nezbývánežsio tvaru udělat představu z řezů. Závěr: Je to zvláštní graf, který stojí za nakreslení. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n. Řekneme,že fjeomezená,jestližeexistuje K >takové,že f x Kprovšechna x Df. Nechť M Df. Řekneme,že f jeomezenána M,jestližeexistuje K >takové,že f x Kpro všechna x M. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n. Nechť ajehromadnýbod Df, L IR.Řekneme,že Ljelimita fpro xjdoucík a,značenolim x a f x = L, jestliže U= UL P= P a: f[p Df] U. Pro ilustraci tohoto pojmu je lepší si funkce představit způsobem, který se používá pro obecné zobrazení šipky D IR. Ukážeme, že ve více dimenzích funguje limita podobně jako v jedné. Hned na začátku ale narazíme na jedenpodstatnýrozdíl. Bod aležívdf,cožjevícedimenzionálníobjekttřebačástroviny,takžesek němu lze přibližovat mnoha způsoby, nejen zleva či zpravatyto pojmy v více dimenzích nemají ani smysl. Potřebujeme tedy obecnější pojem. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n. Nechť ajehromadnýbod Df, L IR.Nechť N IR n jetakovámnožina,že ajehromadnýbod N Df. Řekneme,že Ljelimita fpro xjdoucík avzhledemkn,značenolim f x = L,jestliže x a x N U= UL P= P a: f[p N Df] U. 4
Častosejako Nberourůznékřivky,pokterýchsedo adojede.teďpřijdevětaodpovídajícívětěolimitách zleva a zprava, rovnou také ukážeme i zobecnění Heineho věty. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n. Nechť ajehromadnýbod Df, L IR. i lim x a f x = Lprávětehdy,když lim x a x N f x = Lprolibovolnou N IR n takovou,že ajehromadný bod N Df. ii lim f x = Lprávětehdy,když lim f xk = Lprolibovolnouposloupnost { xk} Df { a} x a k takovou,že xk a. a fx, y= 2x 2 + y 4 v,,neboťpro y 1můžemeodhadovat f 2x 2 + y 2 2x 2 +2y 2 = 2 x, y a x, y,závěrpakplynezesrovnávacívětyvizníže. b fx, y= x2 y 2 x 4 +y,limitav,? Zkusímepopřímkách,popřímce y=kxpošleme x adostaneme 4 fx, y k2 1+k,výsledektedyzáležínatom,zkteréstranysepopřímceblížímekpočátku.Závěr:Limita 4 fv,neexistuje. c fx, y= x2 y x 4 +y,limitav,? Zkusímepopřímkách, y=kxax dává fx, y,žebybyla 2 limitanula?zkusímejítpoparabole,když y= x 2 tak fx, y 1 2,limita fv,neexistuje. d fx, y= xy x y v,,neboť f 2 x,y y. x2 +y Teď přijde pár vět, které jsou docela evidentním zobecněním z jedné proměnné. o limitě a operacích Nechť f: Df IRag: Dg IRjsoufunkce,kde Df, Dg IR n. Nechť ajehromadnýbod Df Dg.Pakplatí: i lim f+ g x =lim f x +lim g x, x a x a x a ii lim f g x =lim f x lim g x, x a x a x a iii lim f g x =lim x a f iv lim x a g x = f x lim g x, x a x a lim f x x a lim g x, x a v lim f g x lim =lim f x x a x a pokud mají pravé strany smysl. x ag x, o limitě složené funkce Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n. Nechť ajehromadnýbod Df,nechť h: P IRjefunkce,kde P jenějaképrstencovéokolívirbodu b=lim f x. x a Předpokládejme,žeexistuje Q=P atakové,že f x bpro x Q Df.Pak lim x a h f x =lim ht. t b [ ] Prakticky vzato, lim hf x = h lim f x,pokudmávýraznapravéstraněsmysl,napříkladpro h x a x a spojitouna U b. Ve více dimenzích platí i zobecněné verze klasických vět o vlastnostech limity. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.nechť ajehromadnýbod Df. Jestliže limita f v a konverguje, tak je f omezená na nějakém prstencovém okolí a. 5
o limitě a srovnání Nechť f: Df IRag: Dg IRjsoufunkce,kde Df, Dg IR n. Nechť ajehromadnýbod Df Dg. ijestližeexistuje P= P atakové,že f gna P,afi gmajílimituv a, pak lim f x lim g x. x a x a iijestližeexistuje P= P atakové,že f gna P,alim g x =,pakilim f x =. x a x a o sevření Nechť f: Df IR, g: Dg IRah: Dh IRjsoufunkce,kde Df, Dg, Dh IR n. Nechť ajehromadnýbod Df Dg Dh. Jestližeexistuje P= P atakové,že f g hna P,aexistujelim f x =lim h x = L,pakexistuje x a x a ilim g x = L. x a Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.nechť a Dfjehromadnýbod Df. Řekneme,že fjespojitáv a,jestliželim x a f x = f a. Pročjevpředpokladupodmínkashromadnýmbodem?Druhoumožnostíje,že ajeizolovanýbod Dfa paknemásmyslospojitostimluvit,protožegraf fsekf anemášancipřiblížit,jetojenosamělýbodík, okolo kterého je prostor bez grafu. Má to obdobu v jedné dimenzi, máme-li funkci definovanou na množině,1 {2},taksegrafna,1nemůžeužzprincipupřiblížitktečcenad x=2.nemápaksmyslseptát, zdatamgrafnavazujenebone. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n. Řekneme,žefunkce f jespojitánamnožině M Df,jestližejerestrikce f namnožinu M spojitáve všechbodech M,kteréjsouhromadnýmibody M. Řekneme, že funkce je spojitá, jestliže je spojitá na svém definičním oboru. Fakt. Funkce vytvořené pomocí elementárních funkcí, algebraických operací a skládání jsou spojité. { 1, x > y; a fx= 1, x y. Funkcejenespojitánapřímce { y= x. x 2 y x b fx= 4 +y, x, y,; 2, x, y=,. Tatojev,spojitávůčipřímkámskrzpočátek,aleneníspojitáv,,neboťjeproblémpoparabolách, viz výše. Itentopojemsechováobdobnějakovjednéproměnné. o extrémní hodnotě Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n. Jestližeje Momezenáuzavřenápodmnožina Dfaf jespojitána M,pak f nabývásvéhominimaamaximana M,tedyexistují x min, x max M takové,že f x min =inf{f x; x M}af x max =sup{f x; x M}. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n. Nechť Mjeomezenáuzavřenápodmnožina Dfafje spojitána M. ipakje f[m]uzavřenáomezenámnožina. iijestližeje fprostána M,pakjeiinverznífunkce f 1 : f[m] Mspojitá. 6
o mezihodnotě Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.jestližeje fspojitá,pakprokaždousouvislou M Df jeif[m]souvislá. Koutek pro pokročilé: V mnoha aplikacích se nám na spojitých funkcích líbí, že když jsme v nějakém bodě aaokouseksepohneme,takse ftakézměníjenokousek. Někdyalepotřebujemevědět,jakmalý ten kousek je, a mohou se objevit problémy, dokonce v jedné proměnné. Víme například, že funkce arctgx, 1 x a x2 jsouspojité. Teďsipředstavme,žejsmevbodě aaposunemeseo x=.1. Ufunkcearctgx jeúplnějedno,kdeje a,funkceseprostěpřitommalémposununemůžezměnitovícnežo.1. Totoale neplatíodalšíchdvoufunkcí.připohledunagrafvidíme,žekdyžbereme ablízkopočátku,takposuno x můžeznamenatvelkouzměnufunkce,přičemžprotutozměnuneníhornímez.čímblížekse adostane, tím větší změnu hodnot vyvolá posun o.1, přičemž můžeme dosáhnout libovolně velké změny. U funkce x 2 jepodobnýproblémunekonečna. Dásenicméněukázat,ženapříkladnaintervalu,13 užse x 2 chovározumně,tamposuno.1nikdy nevyvolázměnuvětšínež2.6.podobněje 1 xpěknátřebanaintervalu 1,. Funkce, které jsou takto pěkné, si zaslouží speciální jméno. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.nechť M Df. Řekneme,že fjestejnoměrněspojitána M,jestliže ε > δ >: f x f a < εprovšechna a, x Dfsplňující x a < δ. Některé funkce jsou stejnoměrně spojité na celém definičním oboru již z podstaty, třeba onen výše zmíněný 1 arctgx, také třeba sinx či x 2 +1.Nemátoalenicspolečnéhosomezeností,napříkladsinx2 jeomezený, alenenítostejnomřrnřspojitáfunkcena IR.Naopak xsin x nenína, omezený,alestejnomřrnř spojitý tam je. Velicemnohoužitečnýchfunkcínenístejnoměrněspojitýchna IRtřeba e x čimocniny,paksemůžeme snažit dosáhnout lepší spojitosti alespoň omezením na rozumnou množinu. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n. Jestližeje Momezenáauzavřenápodmnožina Dfaf jespojitána M,pakje fstejnoměrněspojitána M. To je jen další potvrzení naší zkušenosti, že spojité funkce na omezených uzavřených množinách jsou velice pěkné. Stejnoměrná spojitost je v některých oblastech analýzy zásadní, ale my ji už opustíme. 1.c Vektorové funkce Podpojmemvektorováfunkcerozumímelibovolnézbrazení F: DF IR m,kde DF IR n. Hodnotyfunkce FjsouvektoryzIR m.jednotlivésouřadnicetěchtovektorůzávisína x,takževlastněpro každou souřadnici dostáváme samostatnou funkci, tyto funkce pak dávají F. Platí tedy, že F x=f 1 x,..., F m x,kde F i jsoufunkce F i : DF IR. Dásetedyčekat,žesespoustavěcíz předchozích sekcí přenese sem. Nechť F: DF IR m jevektorováfunkce,kde DF IR n. Nechť ajehromadnýbod DF, b IR m.řekneme,že bjelimita Fpro xjdoucík a,značenolim x a F x = b, jestliže U= U b P= P a: F[P DF] U. Ekvivalentně: ε > δ >: F x F a < εprovšechna x DFsplňující x a < δ. 7
Nechť F: DF IR m jevektorováfunkce,kde DF IR n. Nechť ajehromadnýbod DF, b IR m. Pak lim F x = bprávětehdy,kdyžlim Fi x = b i provšechna i. x a x a Takže limita funguje po souřadnicích v cílovém prostoru, čímž se situace redukuje na funkce více proměnných jdoucído IR. ProtoplatíVětaolimitěaoperacíchapodobně,většinapředchozíchpojmůavětsehravě zobecní. Heineho věta Nechť F: DF IR m jevektorováfunkce,kde DF IR n. Nechť ajehromadnýbod DF, b IR m. Pak lim F x = bprávětehdy,když lim F xk = bprovšechnyposloupnosti { xk} DF { a} x a k splňující xk a. Nechť F: DF IR m jevektorováfunkce,kde DF IR n. Nechť a DFjehromadnýbod DF. Řekneme,že Fjespojitáv a,jestliželim x a F x = F a. Nechť F: DF IR m jevektorováfunkce,kde DF IR n.nechť a DFjehromadnýbod DF. Fjespojitáv aprávětehdy,kdyžjsou F i spojitév aprokaždé i. Nechť F: DF IR m jevektorováfunkce,kde DF IR n. Řekneme,žefunkce F jespojitánamnožině M DF,jestližejerestrikce F namnožinu Mspojitáve všechbodech M,kteréjsouhromadnýmibody M. Nechť F: DF IR m jevektorováfunkce,kde DF IR n. Jestliže limita F v a konverguje, tak je F omezená na nějakém prstencovém okolí a. Nechť F: DF IR m jevektorováfunkce,kde DF IR n. Nechť Mjeomezenáuzavřenápodmnožina DFaFjespojitána M. ipakje F[M]uzavřenáomezenámnožina. iijestližeje Fprostána M,pakjeiinverznífunkce F 1 : F[M] Mspojitá. o mezihodnotě Nechť F: DF IR m jevektorováfunkce,kde DF IR n.jestližeje Fspojitá,pakprokaždousouvislou M DFjeiF[M]souvislá. Nechť F: DF IR m jevektorováfunkce,kde DF IR n.nechť Mjepodmnožina DF. Řekneme,že Fjestejnoměrněspojitána M,jestliže ε > δ >: F x F a < εprovšechna a, x DFsplňující x a < δ. Nechť F: DF IR m jevektorováfunkce,kde DF IR n. Jestližeje Momezenáuzavřenápodmnožina DFaFjespojitána M,pakje Fstejnoměrněspojitána M. 2. Funkce více proměnných: Derivace 2.a Derivace ve směru a parciální Tečna? Jakmile je více proměnných, tak jen ve směru. Pracujeme pak s řezem, což je jednorozměrná situace. Jaktovypadápodrobněji? Jsmevbodě a,zvolímesisměr u,kterýnászajímá. Pakvlastnědo 8
fdosazujemejen xzpřímky a+t u,čímžvzniknefunkce t f a+t u,cožjefunkcejednéproměnnéas těmi si už umíme poradit. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.nechť ajevnitřníbod Dfa ujevektorzir n. Řekneme, že funkce f je diferencovatelná v bodě a ve směru u, jestliže limita lim f a+t u f a t t konverguje. Pak definujemesměrovou derivaci f v bodě a ve směru u jako f a+t u f a D u f a=lim. t t Alternativníznačení: D u f a= u f a= u a=f u a. Fakt. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.nechť ajevnitřníbod Dfa ujevektorzir n. Definujmefunkci ϕt=f a+t u.pak D u f a=ϕ. Poznámka: Mnoho autorů vyžaduje, aby byl u jednotkový vektor. V případě vektoru obecného v je tedy třebapoužít u= v v,jediněpakjesměrováderivacetakésměrnicítečny. Pokudsepřipouštíobecnývektorcožjeužitečnétřebavefyzice,pakplatí D λ u f a=λd u f a. Máto pak jiný význam, jde o rychlost, jakou funkce roste/klesá, pokud se daným bodem pohybujeme směrem a rychlostí danými vektorem u. Už z toho ale nedostaneme směrnici tečny. fx, y=sinx+y,chcemesměrovouderivacivbodě a=,asměru v=1,1. Nejprvesiuděláme jednotkovývektorvdanémsměru: u= 1 2 1,1. Teďsivytvořímefunkci,kterápopisujehodnoty fpro případ,žeprocházímedanýmbodemdanýmsměrem: ϕt=f a+t u=f t 2 + t 2 =sin 2t. Zderivujeme: D u f a= 2cos 2t t= = 2. fx, y=x 2 + y 2,chcemevšechnysměrovéderivacev a=1,2. Zvolíme si tedy obecně vektoru, v, pak uvažujeme funkci ϕt=f1,2+tu, v=f1+tu,2+tv=1+tu 2 +2+tv 2. Jejíderivacízískáme D u,v f1,2=ϕ =[21+tuu+22+tvv] t= =2u+4v. Protože směrová derivace v zásadě vychází z derivace funkce jedné proměnné, přenáší se spousta pravidel a vlastností. Nechť f: Df IR, g: Dg IRjsoufunkce, Df, Dg IR n. Nechť ajevnitřníbod Df Dga ujevektorzir n,předpokládejme,že fa gjsoudiferencovatelnév a vesměru u.pakjsouv avesměru udiferencovatelnéifunkce f+ g, f g, f g, f g aplatí D u f+ g a=d u f a+d u g a, D u f g a=d u f a D u g a, D u f g a=d u f a g a+f a D u g a, D f D u f a g a f a D u g a u g a= g 2. a Důsledek. D u αf a=αd u f a. 9
Dokonce máme i následující. Připomeňme, že Věta o střední hodnotě pro funkci jedné proměnné vede na rovnost fy fx=f cy x. o střední hodnotě Nechť G IR n jeoblast,uvažujme f: G IR.Nechť x, y G.Předpokládejme,žeúsečka x, y ležívga fmánatétoúsečcederivacivesměru u= y x y x.pakexistuje c x, y takové,že f y f x=d u f c y x =D y x f c. Jinakřečeno,existuje t,1takové,že f y f x=d u ft x+1 t y y x =D y x ft x+1 t y. Tím správným zobecněním derivace ovšem směrové derivace nejsou, což hned ukážeme. { 1, y= x 2 ; Uvažujmefunkci fx, y=, y x 2. Vidíme,že fneníspojitáv,,přitomale D u f,=vevšechsměrech. Pro směrové derivace tedy neplatí obdoba věty diferencovatelná, pak spojitá. Pro správné zobecnění je třeba se podívat do další sekce, teď zkusíme přeci jen něco užitečného ze směrových derivací vykutat. Speciálnípřípad:Označímesouřadnicovévektory e i =,...,,1,,...,,kdeje i-tásouřadnicerovna1. Pak definujeme následující. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.nechť ajevnitřníbod Df. Pro,..., ndefinujemeparciálníderivaci fvzhledemkx i jako a=d ei f a,pokudtatoexistuje. Alternativní značení: a=d i f a=f xi a. Takže fa1 + h, a 2,..., a n f a fx, a2,..., a n f a x 1 a=lim = lim, h h x a 1 x a 1 fa1, a 2 + h, a 3,..., a n f a fa1, x, a 3,..., a n f a x 2 a=lim = lim atd. h h x a 2 x a 2 Z praktického pohledu: Předstíráme, že ostatní proměnné jsou konstantyparametry, a normálně derivujemepodle x i. fx, y=e 13x+y2 +2x 2 y+ y 3. x x, y=f xx, y=13e 13x+y2 +4xy, y x, y=f yx, y=2y e 13x+y2 +2x 2 +3y 2. Ono značení dolním indexem vypadá velice prakticky, a taky je, zjevná úspora psaní z něj udělala populární volbu pro lidi, kteří hodně parciálně derivují, třeba fyziky. na druhou stranu je snadné ta malá písmenka přehlédnout a lidé používají dolní indexy i k jiným účelůmtřeba ke značení souřadnic, takže to budeme hrát na jistotu a psát ta krouceníčka. Ani parciální derivace nejsou náhradou běžné drivace, k tomu bude třeba něco víc. Nicméně je to silný nástroj, začneme jedním užitečným pojmem. 1
Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.nechť ajevnitřníbod Df. Jestližeexistujívšechnyparciálníderivace apro=1,..., n,pakdefinujemegradient fv ajakovektor f a= a,..., a. x 1 x n Alternativníznačení: f a= f a=gradf a. Značení nabla jeuniverzálněpoužívané,varianta seněkdyčte del. Většinaautorůpřiuvádění gradientu také zavede alternativu gradf, ale pak ji nepoužívá. Jsou ale výjimky, například doporučené skriptum používá výhradně toto značení a ignoruje, navíc grad už názvem studentovi napovídá, co to vlastně je za objekt. Je to tedy těžká volba, nakonec zvítězila lenost. Budu nablovat, ale občas připomenu tu alternativu. Protože jsme jen dali dohromady pěkně se chovající derivace, dostáváme také pro gradient obvyklá pravidla, ale v praxi se moc nepoužívají: Nechť f, gjsoufunkcedefinovanénanějakémokolíbodu a IR n. Předpokládejme,žeprooběfunkce existujegradient f aa g a.pakmajígradientif+ g, f g, f g aplatí f+ g a= f a+ g a, f g a= f ag a+f a g a, f f ag a f a g a a= g [g a] 2. Pro fx, y=x 2 + y 2 je f=2x,2y,proto f1,2=2,4. ZajímaváshodasD u,v f1,2=2u+4v.nenítonáhodavizníže,alebohuželanipravidlo. Uvažujme fx, y= x2 y 2 x 4 +y prox, y,af,=. 4 Prox, y,derivacevzorcem, x = 2xy2 x 4 +y 4 x 2 y 2 4x 3 x 4 +y 4 = 2xy6 2x 5 y 2 2 x 4 +y 4 a 2 x = 2x2 yx 4 +y 4 x 2 y 2 4y 3 x 4 +y 4 = 2x6 y 2x 2 y 6 2 x 4 +y 4. 2 Vbodě,dledefinice x,= lim fx, f, x x = lim x x =,podobně x,=. Tedy f,=,. Ztohoaleneplyneexistencederivacív,vevšechsměrech,protoževesměrupřímky y=kxvyjde fx, kx= k4 1+k pro x af,=,vtomtosměrutedy fneníspojitáv,atudížvněmnemá 4 derivaci. To ukazuje, že obecně nestačí znát parciální derivace k určení derivací směrových. Pro pěkné funkce už to ale funguje. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.nechť ajevnitřníbod Df. Jestližeexistujenějakéokolí U= U atakové,žeprovšechna,..., nexistují xprovšechna x U afunkce jsouspojitév a,pakmá fv aderivacevevšechsměrechaprokaždé uplatí D u f a= f a u. V zásadě pokud je funkce dána rozumným vzorcem, tak předpoklady splňuje, tyto funkce jsou důležité a zavedeme si pro ně značení. Nechť Gjeotevřenápodmnožina IR n a f: G IR. Řekneme,že fmáspojitéparciálníderivacena G,jestližeprovšechna,..., nexistujeexistují všechbodech Gajsoutospojitéfunkcena G. Množinuvšechtakovýchtofunkcíznačíme C 1 G. 11 ve
V takovém případě pak již f funguje podobně jako derivace klasická. Platí například toto: Nechťje Gotevřenápodmnožina IR n.funkcezc 1 Gjsouspojiténa G. Nechť GjeoblastvIR n a f C 1 G.Jestliže f= na G,pakje fkonstantnína G. Geometrický význam gradientu f = gradf: 1 Tečná nadrovina: Jak vypadá zobecnění tečny? Nebudou to přímky, je jasné, že například ke grafu v IR 3 nemásmyslotečnépřímcemluvitjejísměrnicezávisínasměru,vjakémjdeme. Tímsprávným zobecněním jsou tedy nadroviny, což jsou afinní objekty o dimenzi n 1.Připomeňme, že afinní prostory jsoupodprostory,kterémohoubýtposunutypřičtenímvektoru. Napříkladfunkce fxmágrafvir 2 a nadrovinoujeútvarodimenzi1nebolipřímka,souhlasí.funkce fx, ymajígrafyvir 2 anadrovinoujsou tamroviny,todávásmysl,krozumněsekroutícímupovrchuvir 3 třebareliéfukrajinybymělajítpřiložit tečná rovina. Ve více rozměrech už si to neumíme představit, ale myšlenka trvá. Jak tedy takovou tečnou nadrovinu najdeme? Inspirace z jedné proměnné říká, že tečna je přímka s nejlepší aproximací f okolo a. Kdyžpopojdemezado xakroknenímocvelký,taksefunkcezměnípřibližněo f ax a,odtud fx fa+f ax a. Amámerovnicitečny, Tx=fa+f ax a. Vevícedimenzíchsez alzepohnoutvícesměry,alekaždýtakovýpohybsilzepředstavitrozloženědosložek ve směrech jednotlivých os. Celková změna je tedy Odtud máme tečnou nadrovinu T x=f a+ f x f a+ n n ax i a i. ax i a i =f a+ f a x a. To je první geometrická aplikace gradientu, získáme díky němu tečnou nadrovinu. Tato úvaha se nám ještě bude hodit níže, zapamatujme si ji. Zkusímesitopřepsat.Roznásobenímzávorekzískávárovnicetečnénadroviny y= f a+ n ax i a i tvar y= A+ n ax i,tedy A+ n ax i y=.tatonadrovinajetedydánakolmýmnormálovým vektorem n= x 1 a,..., x n a, 1. Závěr:Normálovývektorkegrafu fvbodě aje n= x 1 a,..., x n a, 1. 2Víme,že D u f a= f a u= f a u cosα,kde αjeúhelmezi f aa u.použijeme-li u =1, pak D u f a= f a cosαavidíme,žemaximálníhodnota D u f asezíská,kdyžje urovnoběžněs f a. Závěr: Vektor f a udává směr nejrychlejšího růstu funkce f v bodě a, funkce v tomto směru roste rychlostí f a. Naopak f a udává směr největšího spádu funkce f v bodě a, funkce roste rychlostí f a. 3Jestližemámevesměru f amaximálnírůst/klesánífunkce,pakbysičlověktipnul,ževesměrukolmém senaopakfunceměnitnebude. Dásetoopravdudokázat,jakýtomávýznam? Pokudjdemeněkudyv Df a hodnota funkce se nemění, tak vlastně jdeme po hladině konstantnosti. Závěr:Vektor f ajekolmýnahladinukonstantnosti H f a vbodě a.tojezaseveliceužitečnépřipráci s těmi hladinami. PokudjsmevIR 2,pakobvyklýmtrikemz fdostanemekhladiněkonstantnostitečnývektor t=f y, f x. Uvažujme fx, y=9 x 2 + y 2 abod1,2.najdemetečnounadrovinu. Máme f = 2x,2y, proto f1,2 = 2,4. Normálovývektorkegrafujetedynapříklad n = 2,4, 1. 12
Skrzjakýbodmátečnárovinajít?Protože f1,2=12,jetobod1,2,12.mámebodanormálovývektor, z toho napíšeme rovnici roviny snadno: = n x, y, z 1,2,12= 2x 1+4y 2 z 12 = 2x 4y+ z=6. Alternativa: Tečnárovinamáprotorovnici 2x+4y z+ A=. Dosazenímbodu1,2,12dostaneme 2+8 12+A=atedy A=6,odtud6 2x+4y z=. Závěr:Tečnárovinakegrafu fvbodědaném a=1,2márovnici2x 4y+ z=6. Cosevdanémboděděje? Funkce poroste nejrychleji, pokud se vydáme ve směru 2, 4 neboli ve směru 1, 2každý kladný násobek mástejnýsměr,rychlostrůstufunkcepakbude f1,2 = 2=2 5. Bod1,2 Dfležínahladiněkonstantnosti f1,2=12nebolinakřivce y 2 x 2 =3hyperbola. V bodě1,2jevektor f1,2= 2,4kolmýnatutokřivku,díkyčemužhravězískámerovnicitečnyk této křivce: = f1,2 x, y 1,2= 2x 1+4y 2 = 2y x=3. Závěr:Hyperbola y 2 x 2 =3mávbodě1,2tečnudanourovnicí2y x=3. Pomocí triku z normálového směru 2, 4 dostaneme4, 2 jako směr tečný, zase jej můžeme modifikovat na2, 1. Z praktického pohledu to vypadá takto: Pokud bychom se tedy pohybovali po dotyčné hyperbole, takbychomvokamžikuprůchodubodem1,2cítiliodstředivousíluvsměrurovnoběžnéms 1,2ajeli bychomvesměru2,1. Výše jsme měli pravidla pro základní algebraické operace, ale ještě jsme se nepodívali na zobecnění pravidla prosloženoufunkci. Ufunkcí IR N IRtonenízcelajasné,protožesenabízídvěsituace. Mějmetedy funkci f: IR n IR.Jednamožnostjenavázatnanitam,kdekončí,čilifunkcíjednéproměnné. Nechť GjeotevřenámnožinavIR n,mějmefunkci f C 1 G.Nechť gjefunkce IR IRdiferencovatelná namnožině Mtaková,že f[g] M.Pak g f= gf C 1 Gapro a Gplatí Stručně: g f=g f fna G. g f a=g f a a. Zajímavější situace je, pokud se pokusíme nějakou funkci předřadit před f. Pak ovšem musí jít o vektorovou funkcishodnotamivir n.takovétoobecnévzorcenajdetevkapitolceovektorovýchfunkcíchdále,zdese pokusímezůstatufunkcí IR n IR. Pakjepořádmožnézkusitněcopředřadit,kdyžsenatopodíváme jako na úlohu o transformaci proměnných. Nechť GjeotevřenámnožinavIR m,mějmefunkci fy 1,..., y m C 1 G. Uvažujme následující transformaci souřadnic: Nechť MjeotevřenámnožinavIR n,pro j=1,..., mnechť y j = y j x 1,..., x n C 1 Maplatí y=y 1,..., y m : M G.Pak f y= fy 1 x 1,..., x n,..., y m x 1,..., x n C 1 Mapro a Mplatí f y a= m j=1 y j y a y j a. Proč se mluví o transformaci? Představme si, že f y je funkce, která měří určitou kvantitu v závislosti na poloze, přičemž polohu určujeme klasicky kartézskými souřadnicemi. Pak se ale z nějakého důvodu rozhodneme měřit polohu jinak, třeba pomocí azimutu a vzdálenosti od nějakého pevného bodu. Jestliže víme, jak se f mění vzhledem k pohybu měřenému v kartézských souřadnicích, dokážeme z toho zjistit, jak se mění při pohybu měřeném vzhledem k novým souřadnicím? Takovéto změny souřadnic jsou většinou dělánytak,abychomumělizjedněchodvoditdruhéanaopak,tomuseprávěříkátransformaceajsoutoty funkce y i xvevětě. 13
Ukážemesitopro m=n=2: Máme fx, y,zavedemetransformace x=xs, tay=ys, ttedyzjistilijsme,žepůvodnísouřadnice závisejí na nějakých nových. Pak dostáváme s = x x s + y y s t = x x t + y y t Myšlenka je velice jednoduchá. Připomeňme, jak funguje řetízkové pravidlo u jedné proměnné. Když chceme derivovat fyspodle s,taksemusímekrokzakrokemdostatksacestouzderivujemevšechno,naco narazímenejprve f,pak y.jakjetovevícedimenzích?vefunkci fxs, t, ys, tse svyskytujenadvou místech, takže se při derivování musíme dostat na obě místavarianty sčítáme, cestou pak vždy derivujeme vše,copotkámenejprve f,pak xpopř. y. Jsou dvě obvyklé možnosti použití: 1Chcemeznát s a t vzávislostina x a y.topřesněnámdávajívzorcevýše.pokudchcememítna pravýchstranáchjenvýrazyssat,pakdoparciálníchderivací dosadíme x=xs, t, ys, t. V případě více proměnných to funguje obdobně. 2Chcemenajít x a y x a y vyjádřenépomocí s a t,tedyopakpředchozího.tosedáudělatdvěmazpůsoby. Jedenje,žetusoustavuvýševyřešímepro x a y.tojevětšinoupracnější,alemátolepšíšancinaúspěch. Druhámožnostje,žeobrátímerole,tedyzrovnic x=xs, t, y=s, todvodímerovnice s=sx, y, t=tx, y,čímžvlastněuvažujemeinverznítransformaci,apakužpřímopočítáme x a yz fs, tpodle věty. Bývá to rychlejší, ale jen pokud se podaří vyřešit rozumně ty rovnice, což občas nejde vůbec. Typickásituace,kdychceme2:Mámediferenciálnívýrazneborovnicis x atd.achcemejejpřepsatdo nových proměnných. Mámefunkci fx, yvkartézskýchsouřadnicích,prokteroumáplatitrovnice x + y =. Přejdemekpolárnímsouřadnicím x=rcosϕ, y= rsinϕ.jaktarovnicebudevypadat? Po transformaci vznikne nová funkcer, ϕ fr cosϕ, r sinϕ, my potřebujeme do daného vztahu dosaditza x, y tak,abysemístotohoobjevilo r, ϕ. Přímývýpočetnámumívyjádřit r pomocí x a y,alemytopotřebujemepřesněnaopak.protakovousituacijsmevýšenavrhlidvapostupy. Jeden z nich je přejít k inverzní transformaci, pak už se přímo spočítá, co potřebujeme. Umíme snadno najít r= x 2 + y 2,alevyjádřeníproúheljejižkomplikovanějšíanelzetoudělatjednímvzorcem. Tento postup tedy není tím pravým. Druhý postup říká, ať si nejprve najdeme transformaci v tom špatném směru a pak řešíme výsledné rovnice. Jdeme na to. r = x x r + y y r = x ϕ = x x ϕ + y cosϕ+ y sinϕ, y ϕ = rsinϕ+ x y rcosϕ. Stručnýmzápisem, f r =cosϕf x +sinϕf y a f ϕ = rsinϕf x rcosϕf y. Kdyžtytorovnicevyřešíme pro f x a f y,dostaneme f x = f r cosϕ 1 r f ϕsinϕ, f y = f r sinϕ+ 1 r f ϕcosϕ. Podosazenídodanérovnicevyjde f r cosϕ+sinϕ+ 1 r f ϕ cosϕ sinϕ=neboli r cosϕ+sinϕ+1 r ϕ cosϕ sinϕ=. Poznámka: K čemu to je? Přírodní zákonyšíření vln, vedení tepla, zákon zachování hmoty atd. mají většinou právě formu rovnic, ve kterých se vyskytují derivace. Obvykle se udávají vzhledem ke kartézským souřadnicím, ale v některých situacích jsou lepší alternativní souřadnice a pak je třeba vědět, jak vůči nim zákony vypadají, aby se situace daly řešit. 14
Derivacevyššíchřádů: D v D u f=d v D u f.speciálnípřípad: x j = 2 f x j. Případu i jříkámesmíšenáderivace,pro i=jmámekratšízápis 2 f. x 2 i Uvažujme fx, y=e 13x+y2 +2x 2 y+ y 3,užjsmesispočítali x x, y=f xx, y=13e 13x+y2 +4xy, y x, y=f yx, y=2y e 13x+y2 +2x 2 +3y 2.Proto 2 f 2 f y x x x, y= 2 x [13e13x+y2 +4xy]=13 2 e 13x+y2 +4y, x, y= y [13e13x+y2 +4xy]=26y e 13x+y2 +4x, 2 f y x, y= 2 y [2y e13x+y2 +2x 2 +3y 2 ]=2+4y 2 e 13x+y2 +6y, 2 f x y x, y= x [2y e13x+y2 +2x 2 +3y 2 ] =26y e 13x+y2 +4x. Smíšené derivace vyšly stejně, to ale bohužel obecně neplatí. { x 2 arctg y x Uvažujme fx, y= y2 arctg x y, x, y ;, x= y=. Pro x, y je x =2xarctg y x x 2 y x 2 +y y 3 1 2 x 2 +y, 2 fx,y f,y y =lim x x arctg y = x3 1 Pokud y,pak x, y=lim x x x =lim 2 pro x je y x,=,taképarciálníderivacev,dávajínulu. Jakvypadajísmíšenéderivacevx,,kde x? 2 f y x =lim y 2 f x x, y y x x x y x,= lim Smíšené se nerovnají. x x, =lim y x, y x, x y 2x arctg y x y x2 = lim x x x =. Tato situace je nepříjemná, tak si řekneme, kdy se toho nemusíme bát. x 2 +y 2yarctg x 2 y x 3 y/2 x y 2 x x 2 +y 2. x 2 +y 2 =,podobně y =2 2 1 1=1,zatímco x 2 +y2 x 2 +y2 Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.nechť ajevnitřníbod Df. Předpokládejme,žepro u, v IR n existují D u D v fad v D u fnanějakémokolí aajsouspojitév a.pak D u D v f a=d v D u f a. Nechť GjeoblastvIR n. Definujeme C k Gjakomnožinuvšechfunkcí f: G IR,kterémajívšechnyparciálníderivaceažpořád k atyjsouspojiténa G. Důsledek. Nechť GjeoblastvIR n.jestliže f C 2 G,pakpro a Gplatí 2 f x j a= 2 f x j a. Praktickýpohled: Pokuddělámeufunkce f C k Gparciálníderivacevyššíchřádůažpo k,taknás nemusí zajímat pořadí derivování. To je ohromná úspora. Pokud máme funkci o dvou proměnných, tak obecněexistují4derivacedruhéhořádu,8derivacítřetího,16čtvrtého,32pátéhoatd.profunkcezc 5 ale stačíspočítatjen3derivacedruhéhořádu,4třetíhof xxx, f xxy, f xyy, f yyy,5čtvrtého,6pátéhoatd. 2.b Diferenciál Tím správným zobecněním derivace je diferenciál. Obyčejná funkce se dá aproximovat tečnou: fa+h fa+f ah=fa+l[h], zde Ljelineárnízobrazení IR IRdanéčíslem f a. Profunkci fx, ybudemeaproximovattečnourovinou,pokudbude frozumnánaokolía, b.pakbudeme mít pro nějaké konstanty A, B aproximaci fa+h, b+k fa, b+ah+bk=fa, b+l[h, k], 15
kde Ljelineárnízobrazení R 2 IRdanévektoremA, B. Obecněbudemechtít f a+ h f a+l[ h],přičemžlineárnízobrazení L: IR n IRjedánourčitým vektorema 1,..., A n,tedy L[ h]= A i h i. Cotoznamená,žemámeaproximaci?Označmesichybuaproximace ω h=f a+ h f a L[ h].pokud je f spojitáv a,pakurčitě lim ω h =,aťzvolímelineární Ljakkoliv. Musímetedychtítvíc,pro h inspiracisepodívámenapřípadjednéproměnné.tam ωh=fa+h fa f ahadefiniceříká,že =lim fa+h fa h h f a =lim Ten správný požadavek je tedy obecně lim h než h. ω h h fa+h fa f ah h h =lim ωh h h. =,jinýmislovy, ω hsemázmenšovatřádověrychleji Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.nechť ajevnitřníbod Df. Řekneme,želineárnízobrazení L: IR n IRjetotálnídiferenciál fv a,jestliže lim h f a+ h f a L[ h] =. h Pokud takovéto lineární zobrazení existuje, pak jej značíme df a, popř. Df a a řekneme, že f je diferencovatelná v a. Diferenciál je to pravé zobecnění derivace. Platí například následující. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.nechť ajevnitřníbod Df. Jestližeexistujedf a,pakje fspojitáv a. Nechť GjeoblastvIR n, f: G IR.Jestližeje fdiferencovatelnána Gadf=na G,pakje fkonstantní na G. Užjsmeviděli,žeprofunkci f: IR IRdostávámedfa[h]=f a h.vlastnětonenínictakpřekvapivého. Pokudsioznačíme h=dxadf= fa+dx fa,pakdf= f adxneboli df dx = f a. Vevíceproměnnýchmůžemepodobněpsátdf= Adx+Bdy+,cojsoutykoeficienty?Podívejmesena to blíže. Diferenciálem dobře aproximujeme f na okolí a, ale to jsme již předtím dělali pomocí směrových derivací. Kdyžsetedyposunemeomalývektor hazkusímeaproximovattotálnímdiferenciálemisměrovouderivací, dostaneme L[ h] f a+ h f a D h f a. Mělobytedyplatitdf a[ h]=d h f a= n a h i.potvrdímesitooficiálně.nejprveukážemeobecněji, že pomocí totálního diferenciálu již získáme všechny směrové derivace, z toho hned vyjde to nejdůležitější. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.nechť ajevnitřníbod Df. Jestližeexistujedf a,pakprokaždé u IR n existuje D u f aaplatí D u f a=df a[ u]. Codostaneme,kdyžtoaplikujemena u= e i?jestliže L[ h]= A i h i,pak A i = L[ e i ]=D ei f a= a. 16
Důsledek. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.nechť ajevnitřníbod Df. Jestližeexistujedf a,pakprovšechny,..., nexistuje aaplatí df a[ h]= n a h i = f a h. Takže f je ten správný vektor pro diferenciál, je to jediný možný kandidát. Pro fx, y=x 2 + y 2 bymělobýtdf1,2[h, k]=2,4 h, k=2h+4k.důkazdledefinice: lim h f a+ h f a L[ h] h [1+h 2 +2+k 2 ] 1+4 2h+4k =lim h h2 + k 2 h 2 + k 2 =lim h h2 + k 2 =lim h h2 + k 2 =. Grafem lineárního zobrazení je nadrovina, která prochází počátkem. Máme tedy jasnou souvislost. Dříve jsmeodvodili,žetečnánadrovinavbodě ajedánavzorcem y= f a+ n a x i a i acobytečná rovinanejlépeaproximuje fokolo a.rozdíl f x f abyměltedybýtnejlépeaproximovatelnývýrazem n a x i a i,cožpřesněodpovídátotálnímudiferenciálunebolinejlépeaproximujícímulineárnímu zobrazení. Všechno nám to krásně hraje. Poznámka: V jedné dimenzi hned vidíme, že tečna k přímce je tatáž přímka, popřípadě že derivace k y= yxje katudíždiferenciálemje kx,zasetatážfunkce.vevícedimenzíchtomuodpovídáfakt,žetečná nadrovina ke grafu ve tvaru nadroviny je zase tatáž nadrovina, popřípadě to, že diferenciál k lineárnímu f jezasetoto f. Vímeuž,žekdyžmámediferenciál,takmámeigradient. Fungujetoinaopak? Obecněne,ukázalijsme, žefunkce x2 y 2 x 4 +y mágradient,alenemávšechnysměrovéderivace,tudížaninemůžemíttotálnídiferenciál. 4 Ještě jeden takový případ: Uvažujme fx, y= 1 xy.pak fx, y= signxyy, 1 signxyx pro x, y, 2 xy 2 xy x,= y,=,ale fnenídiferencovatelnáv,jetamjenspojitá.tojevidětnapříkladtak, žeseomezímenapřímku y= x,tamjefunkcerovna fx, x= x anemásměrovouderivaci. Když ale k předpokladu parciálních derivací přidáme spojitost, tak již totální diferenciál dostaneme. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.nechť ajevnitřníbod Df. Jestližeexistujenějakéokolí U= U atakové,že f C 1 U,pakje fdiferencovatelnáv aa df a[ h]= f a h. Důsledek. Nechť Gjeotevřenámnožinaaf C 1 G.Pakje fdiferencovatelnána Gapro a Gplatí df a[ h]= x 1 ah 1 + + x n ah n = 17 n ah i.
Opět to neplatí naopak, existence diferenciálu sice dává existenci parciálních derivací, ale ne nutně jejich spojitost. Máme tedy hierarchii: Mnohé funkce mají gradient. Některé znich mají i diferenciál, z nich zase některé mají dokonce spojitý gradient. Vlastnost spojitého gradientu je tedy nejsilnější, ze zatím zkoumaných funkcí jsou to ty nejlepší. Protožejediferenciáldanýgradientem,jetolineárníoperace,tedyplatí,žedaf+ g=adf+dg. U ostatních operací se pravidla příliš nepoužívají a proto to přeskočíme. Naopak skládání je velice důležitá situace, podíváme se tedy na transformace souřadnic. Nechť GjeotevřenámnožinavIR m,mějmefunkci fy 1,..., y m G IRdiferencovatelnouna G. Uvažujmenásedujícítransformacisouřadnic:Nechť MjeotevřenámnožinavIR n,pro j=1,..., mnechť y j = y j x 1,..., x n C 1 Maplatí y=y 1,..., y m : M G.Pakje f y= fy 1 x 1,..., x n,..., y m x 1,..., x n diferencovatelnána Maplatí df= m j=1 y j y xdy j. Ukážeme si ještě jedno značení, užitečné pro inženýry a občas docela populární. Když máme prostor vektorů, takmámeautomatickytakéfunkce,kterézvektoruizolujíurčitousouřadnici,napříkladh 1, h 2,... h 1. Říkásetomuprojekce,označmesije x i h=h i.protožejetolineárnízobrazení,mámetakédx i [ h]=h i a diferenciál pak můžeme napsat takto: popřípadě Df a= n adx i. df a= n adx i Napříkladvýšejsmedostalivýsledekdf1,2=2dx+4dy.Mátopřirozenouinterpretaci.Kdyžsezbodu 1,2posunemeonekonečněmalývektordx,dy,paksehodnotafunkcezměníodf=2dx+4dy. Zkusme se ještě podívat na různé způsoby klasického zápisu diferenciálu, každý má své místo podle toho, co zrovna chceme s diferenciálem dělat. df a[ h]= x 1 ah 1 + + x n ah n = n ah i = f a h= f a h T. Jak vypadá vyšší řád u diferenciálu neboli zobecnění vyšších derivací? Je to komplikovanější, podíváme se nejprve na zobecnění druhé derivace. Zobrazení L: IR n IR n IR m senazývábilineární,jestliže Lα x 1 + x 2, y=αl x 1, y+l x 2, ya L x, α y 1 + y 2 =αl x, y 1 +L x, y 2 provšechnyvektoryzir n. Teď si mezi bilineárními zobrazeními jedno vybereme. Nechť f: Df IRjefunkce,kde Df IR n.nechť ajevnitřníbod Df. Řekneme,žebilineárnízobrazení L: IR n IR n IRjed 2 f a,jestližeprovšechna k IR n je lim h df a+ h[ k] df a[ k] L[ h, k] =. h Pravý význam je vidět z následujícího faktu. 18
Fakt. d 2 f a[ h, k]=ddf[ k][ h]. Cosemyslídiferenciálemzdiferenciálu? Tenvnějšídiferenciálsedělázfunkce x df x[ k]. Jetotedy opravdujakobyderivacezderivace,vpřípadějednéproměnnédostáváme f a. Jaksealetakovávěc skutečně spočítá ve více proměnných? Lineárníalgebraříká,žekaždébilineárnízobrazenílzevyjádřitpomocíjistématice A=a ij n i,j=1 tak,že L[ h, k]= n i,j=1 a ijh i k j.nássamozřejmězajímá,jakámatice Anámdád 2 f.vtomnámpomůžeonenfakt výše.myvlastněpropevnězvolené khledámetotálnídiferenciálfunkce x n x j xk j,díkylinearitěse stačí zamyslet, že apaktoposčítat. d k j x = k j d x =k n j = k j x j x j x j n j=1 2 f x j, Nechť GjeotevřenámnožinavIR n. Jestliže f C 2 G,pak d 2 f a[ h, k]= n i,j=1 2 f x j h i k j. Vidíme, žematice, kteráudávánašebilineárnízobrazeníd 2 2 f f, jematice H =. Jetotzv. x j Hessova matice neboli hessián a je dost důležitá. Je snadné si rozmyslet, že pomocí této matice zapíšeme druhýdiferenciálelegantnějakod 2 f a[ h, k]= hh a k T. Jak by fungovaly diferenciály vyšších řádů? Používali bychom n-lineární zobrazení, která lze vyjádřit pomocí mnoharozměrnýchmatic. Napříkladd 3 f[ u, v, w]= n a ijk u i v j w k,přičemžsedádokázat,že a ijk = i,j,k=1 3 f x j x k,čtenářsiužsámpředstavívyššídiferenciály. Takovéto sumy jsou v praxi dosti nepříjemné, jak záhy uvidíme. Je tam také docela dost parciálních derivací. Tady pomůže, když pracujeme s funkcemi se spojitými parciálními derivacemi, kde na pořadí derivování nezáleží a počet nutných výpočtů se revolučně zmenšíviz výše. Najdemediferenciályprvníchtřířádůpro fx, y=x 2 y+ y 3 vbodě a=1,2. Protožemátatofunkce spojité parciální derivace všech řádů, ušetříme spoustu výpočtů díky symetrii smíšených derivací. Nejprvediferenciálprvníhořádu:Potřebujeme x Pak f1,2=4,13adf1,2[u 1, u 2 ]=4u 1 +13u 2. Diferenciáldruhéhořádu:Potřebujeme 2 f x 2 =2y, =2xya y = x2 +3y 2. 2 f x y =2x,a 2 f y =6y.Pak H1,2= 2 d 2 f1,2[u 1, u 2,v 1, v 2 ]=4u 1 v 1 +2u 1 v 2 +2u 2 v 1 +12u 2 v 2. 4 2 a 2 12 Diferenciáltřetíhořádu:Potřebujeme 3 f x =, 3 f 3 x 2 y =2,a 3 f x y =.a 3 f 2 y =6. 3 Dosadímebod1,2tojesnadnéapočítáme,musímesivtomudělatpořádek,aťnezapomenemenažádný z2 3 členůtrojitésumy. Musísetamobjevitkombinaceindexů111,112,121,122,211,212,221,222,u každéhotakovéhosoučinu u i v j w k budejistáparciálníderivace,přičemžindex1signalizujederivacipodle x aindex2podle y. d 3 f1,2[u 1, u 2,v 1, v 2,w 1, w 2 ] =u 1 v 1 w 1 +2u 1 v 1 w 2 +2u 1 v 2 w 1 +u 1 v 2 w 2 +2u 2 v 1 w 1 +u 2 v 1 w 2 +u 2 v 2 w 1 +6u 2 v 2 w 2 =2u 1 v 1 w 2 +2u 1 v 2 w 1 +2u 2 v 1 w 1 +6u 2 v 2 w 2. 19
Docela maso. Tento příklad nabízí otázku, jestli by výpočet diferenciálů vyšších řádů nešel nějak zjednodušit. Odpověď zní,žeobecněne.nicménědiferenciálysečastopoužívajíprostejnýsměr,tedyd 2 f a[ h, h],d 3 f a[ h, h, h] atd. Jak by pak dopadly diferenciály v předchozím příkladě? Mnohem lépe, protože pak se pořadí stává irelevantnínejenuparciáníchderivací,aleiusoučinůtypu u 1 v 2 či u 1 v 2 w 3.Lzetedyspojovatadostáváme df1,2[h 1, h 2 ]=4h 1 +13h 2, d 2 f1,2[h 1, h 2,h 1, h 2 ]=4h 2 1+4h 1 h 2 +12h 2 2, d 3 f1,2[h 1, h 2,h 1, h 2,h 1, h 2 ]=6h 2 1h 2 +6h 3 2. Uměli bychom se k takto efektivnímu vyjádření dostat jinak a možná pohodlněji? Jedno efektivní vyjádření jsmejižviděli,mámedf[ h]= f h T ad 2 f[ h, h]= hh h T.Bohuželtonenípřílišperspektivní,protoženení jasné, jak podobným způsobem dělat vyšší dimenze. Zkusíme na to jít jinak, začneme prvním diferenciálem: df[ h]= h i n h i f= n h i f. Cosetamstalo?Začnemetím,žesenaparciálníderivaci podívámeabstraktnějakonajakýsioperátor na funkcích neboli zobrazení, které dělá z funkcí jiné. Operátoryzobrazení umíme přirozeným způsobem násobitčíslyasčítat,takže n jeprostějenoperátor,kterýpůsobínafunkce,konkrétníakcipak vypočítáme zpětným rozdělením na jednotlivé složky jako v původním součtu. Ta pravá finta ale teprve přijde.zkusmesisymbolickyvyrobitvektor jakooperátor = x 1,..., x n.dostávámepakelegantní n vyjádření h i = h aproto df[ h]= h f. Teď se podíváme, zda nám to nějak pomůže u druhého diferenciálu. Tam máme d 2 f a[ h, h]= = n 2 f n 2 n h i h j = h i h j f= h i h j f x i,j=1 i x j x i,j=1 i x j x i,j=1 i x j n n h i h j f= x h h f= h 2 f. j j=1 Takžedruhýdiferenciáljeprostějendvakrátaplikovanýoperátor h.provyššídiferenciálytofunguje zcela analogicky. Nejlepší na tom je, že není třeba opakovaně aplikovat tento operátor, jako když vyšší derivaci hledáme opakovaným derivováním, ale můžeme si nejprve zjisti, jak vlastně celý operátor funguje, roznásobením mocniny pomocí obvyklých vzorců. Zkusme si to ukázat na třetím diferenciálu v předchozím příkladě. h 3 3= 3+3 2h2 2+ 3 = h 1 + h 2 h 1 h 1 +3h 1 h 2 h 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 = h 3 1 3 x 3 1 +3h 2 1h 2 3 x 2 1 x 2 Teď tento operátor aplikujeme na f a dostaneme 3 +3h 1 h 2 2 x 1 x 2 + h 3 2 2 d 3 f[h 1, h 2,h 1, h 2,h 1, h 2 ]= 3 f x 3 h 3 1+ 3 f 1 x 2 1 x 3h 2 1h 2 + 3 f 2 x 1 x 2 3h 1 h 2 2+ 3 f 2 x 3 h 3 2. 2 Dosazením bodu1, 2 do parciálních derivací dostáváme stejný výsledek jako výše. Tento postup je vysoce efektivní, bude se nám velice hodit níže. 3 x 3 2. 2
2.c Taylorův polynom Taylorův polynom v jedné proměnné vychází z aproximace tečnou, kterou zpřesňuje pomocí vyšších derivací a vyšších mocnin. Vychází známý vzorec Tx=fa+f ax a+ 1 2! f ax a 2 + 1 3! f ax a 3 +... Nachvílisijejpřepíšemepomocísubstituce x=a+h: Ta+h=fa+f ah+ 1 2! f ah 2 + 1 3! f ah 3 +... Jak by mohlo vypadat zobecnění pro více proměnných? U prvního členu už správný výraz uhodnout umíme, víme totiž, že nejlepší aproximace f na okolí a je pomocí tečné nadroviny neboli T a+ h=f a+df a[ h]. První opravný člen tedy odpovídá, z první derivace jsme přešli k prvnímu diferenciálu. Ukážeme, že odpovídají i další členy, uděláme to postupem, který jsme již s úspěchem použili, jmenovitě se zaměříme na jednorozměrný řez grafem funkce. Vezměme si tedy pevně zvolený bod a v Df a předpokládejme, že funkce f máspojitéparciálníderivacevysokéhořádunaokolí a. Zvolímesipevnětakéurčitýsměr uz technickýchdůvodůbudedobrévyžadovat u =1azeptejmese,jaktovypadásaproximacífunkce f, pokudsezbodu apohybujemevesměru u. Toznamená,ževlastnězkoumámefunkcijednéproměnné ϕt=f a+t uokolo t=,tudížvíme,ženejlepšíaproximacechovánídostávámeprávětaylorovým polynomem: ϕh ϕ+ϕ h+ 1 2! ϕ h 2 + 1 3! ϕ h 3 +... Teďbychompotřebovalitentoodhadvyjádřitpomocípůvodnífunkce f. Funkce ϕijejíderivacesedají snadnopřevést,dostáváme ϕ=f a, ϕ =D u f a, ϕ =D u D u f a=d u 2 f aatd. Dostáváme tedy f a+h u f a+d u f ah+ 1 2! D2 uf ah 2 + 1 3! D3 uf ah 3 +... Teďtopotřebujemepřepsatdoběžnéhoznačení.Jsmetedyvbodě aaposunulijsmesedobodu x,jakto vyjádřímepomocí uah?jednoduše,posunulijsmesevesměru u= x a x a,akdyžještězvolíme h= x a, takmáme a+h u= xa u =1.Pak f a f a+d u f a x a + 1 2! D2 uf a x a 2 + 1 3! D3 uf a x a 3 +... Kdyžsiještěuvědomíme,že x a k D k u f a=dk u x a f a=dk x a f a,takužnásnásledujícídefinice nepřekvapí. Nechť a IR n,nechť f: Df IRjefunkcespojitědiferencovatelnáv aaždořádu N IN.Pakdefinujeme její Taylorův polynom v a stupně N jako T N x=f a+d x a f a+ 1 2 D2 x af a+ 1 3! D3 x af a+ + 1 N! DN x af a = f a+d u f a x a + 1 2 D2 uf a x a 2 + 1 3! D3 uf a x a 3 + + 1 N! DN u f a x a N, kdejsmeoznačili u= x a x a. Ta první verze je lepší z hlediska praktického počítání, tu druhou jsme uvedli spíš pro zajímavost, aby byla vidět spojitost s Taylorovým polynomem jedné proměnné. Protože jsme se k tomuto tvaru dostali přechodem k jedné dimenzi, není překvapující, že se přenášejí vlastnosti Taylorova polynomu jedné proměnné, platí třeba věta o Lagrangeově tvaru zbytku. 21
Nechť GjeoblastvIR n a f C n+1 G.Nechť a G.Pakprokaždé x Gexistuje c a, x takové,že kdejsmeoznačili u= x a x a. f x T N x= 1 N+1! DN+1 x a f c= 1 N+1! DN+1 u f c x a N+1, Ukážeme si ještě jeden tvar Taylorova polynomu, ze kterého již vyplyne nejvýhodnější způsob výpočtu. Nejprve si připomeneme větu, která říká, jak se dají směrové derivace počítat pomocí totálního diferenciálu. Zde to otočíme a přejdeme od směrových derivací k diferenciálu. Pak použijeme přechod k praktickému způsobu zápisu diskutovanému na konci předchozí sekce. Fakt. Nechť a IR n,nechť f: Df IRjefunkcespojitědiferencovatelnáv aaždořádu N IN.Pakmájejí Taylorův polynom stupně N tvar T N x=f a+df a[ x a]+ 1 2 d2 f a[ x a, x a]+ 1 3! d3 f a[ x a, x a, x a]+ + 1 N! dn f a[ x a,..., x a] = f a+ x a f a+ 1 2 x a 2 f a+ 1 3! x a 3 f a+ + 1 N! x a N f a. S těmito výrazy již umíme pracovat. Uvažujmefunkci fx, y=cosxy+xyvbodě, π. Najdemetam T 2. Nejprveparciálníderivace,pro úsporu použijeme oblíbené fyzikální značení: f x = sinxy y+ y, f y = sinxy x+x; f xx = cosxy y 2, f yx = f xy = cosxy xy sinxy+1, f yy = cosxy x 2. Ukážeme dva způsoby tvoření polynomu. Ten první je možná přímočařejší a vychází z geometrie, ale bude rozumně fungovat je pro polynomu do druhého stupně. Je založen na tvaru Tx, y=f, π+ f, π x, y, π+ 1 2 x, y, πh, πx, y, πt π 2 1 Zde f, π=1,gradientje f, π=π,ahessiánvbodě, πvychází.proto 1 T 2 x, y=1+π x + y π+ 1 2 =1+πx 1 2 π2 x 2 + xy π. π 2 x 2 +2 1 x y π+ y π 2 Druhý přístup je obecnější, nejprve si zjistíme, jak vypadají ty diferenciály: x, y, π f= x x x, y, π 2 f= +y π y, x x +y π y 2f= x 2 2 f x 2+2xy π 2 f x y +y π2 2 f y 2. Po dosazením parciálních derivací v bodě, π již snadno vytvoříme stejný polynom jako předtím. 2.d Extrémy funkcí více proměnných Lokální extrémy. Zde půjde o přímou analogii lokálních extrémů funkcí jedné proměnné, hlavní myšlenky zůstanou stejné, jen technicky bude třeba občas něco změnit. 22