ADAPTIVNÍ EKVALIZACE HISTOGRAMU DIGITÁLNÍCH OBRAZŮ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS ADAPTIVNÍ EKVALIZACE HISTOGRAMU DIGITÁLNÍCH OBRAZŮ ADAPTIVE HISTOGRAM EQUALIZATION FOR DIGITAL IMAGES PROCESSING DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR Bc. JIŘÍ KVAPIL prof. RNDr. MILOSLAV DRUCKMÜLLER, CSc. BRNO 2009

Vysoké učení techncké v Brně, Fakulta strojního nženýrství Ústav matematky Akademcký rok: 2008/2009 ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE student(ka): Bc. Jří Kvapl který/která studuje v magsterském navazujícím studjním programu obor: Matematcké nženýrství (3901T021) Ředtel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studjním a zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma dplomové práce: v anglckém jazyce: Adaptvní ekvalzace hstogramu dgtálních obrazů Adaptve hstogram equalzaton for dgtal mages processng Stručná charakterstka problematky úkolu: Vytvořt teor a na ní navazující aplkace adaptvních fltrů využívajích ekvalzac hstogramu obrazu. Cíle dplomové práce: Vytvořt teor adaptvních okolí pxelů závslých na lokálních vlastnostech obrazů a aplkovat je na metodu ekvalzace hstogramu.

Seznam odborné lteratury: Pratt, K. W.: Dgtal Image Processng, New York, John Wley & Sons, 2001 Vedoucí dplomové práce: prof. RNDr. Mloslav Druckmüller, CSc. Termín odevzdání dplomové práce je stanoven časovým plánem akademckého roku 2008/2009. V Brně, dne 19.11.2008 L.S. prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc. Ředtel ústavu doc. RNDr. Mroslav Doupovec, CSc. Děkan fakulty

Abstrakt Dplomová práce je zaměřena na metodu ekvalzace hstogramu a její rozšíření o adaptvní okolí. Práce obsahuje pops základních pojmů, na kterých je metoda ekvalzace a adaptvní ekvalzace postavena. Dále se zabývá vlastnostm ldského vdění a prncpy jeho napodobení. Praktcká část této práce se věnuje zhotovením software, který umožňuje tyto metody použít a na závěr předkládá výsledky, kterých bylo dosaženo. Summary The dploma thess s focused on hstogram equalzaton method and hs extenson by the adaptve boundary. Ths thess contans explanatons of basc notons that hstogram equalzaton method was created. Next part s descrbed the human vson and prcples of hs mtaton. In practcal part of ths thess was created software that makes t possble to use methods of adaptve hstogram equalzaton on real mages. At the end s showed some results that was reached. Klíčová slova Ekvalzace hstogramu, Adaptvní ekvalzace hstogramu, adaptvní okolí, šum. Keywords Hstogram equalzaton, Adaptve hstogram equalzaton, adaptve boundary, nose. KVAPIL, J. Adaptvní ekvalzace hstogramu dgtálních obrazů. Brno: Vysoké učení techncké v Brně, Fakulta strojního nženýrství, 2009. 46 s. Vedoucí dplomové práce prof. RNDr. Mloslav Druckmüller, CSc.

Čestné prohlášení Prohlašuj, že jsem dplomovou prác zpracoval samostatně podle pokynů vedoucího dplomové práce a s použtím uvedené lteratury. V Brně, dne 29. května 2009 Jří Kvapl Děkuj svému vedoucímu prof. RNDr. Mloslavu Druckmüllerov, CSc. za cenné rady a ochotu, které se m po celou dobu tvorby této dplomové práce dostávaly.

Obsah Úvod 8 1 Grafcká data 9 1.1 Defnce dgtálního prostoru a dgtální geometre................. 10 1.2 Fyzcká doména, fyzcký prostor.......................... 10 1.3 Logcká doména, logcký prostor, mapování.................... 11 1.4 Metrky dgtálního prostoru............................ 11 1.5 Valuace a dgtální objekty............................. 12 1.6 Základní operace s valuacem............................ 14 2 Dgtální teore barev 15 2.1 Zdroj světla..................................... 15 2.1.1 Bodové a plošné zdroje........................... 15 2.1.2 Vlastní zdroje................................ 16 2.2 Pozorovaný předmět................................ 17 2.3 Pozorovatel ldské vdění............................. 18 2.4 Systémy barev.................................... 20 2.5 Barevný prostor RGB................................ 21 3 Pravděpodobnostní prostor 24 4 Dgtální obraz 25 5 Matematcké metody zpracování obrazu 26 5.1 Srovnání ldského zraku s fotografí........................ 26 5.2 Lneární fltry.................................... 26 5.3 Zobecněné dgtální fltry.............................. 28 5.4 Nelneární fltry................................... 29 5.5 Další metody.................................... 30 6 Vyrovnání (ekvalzace) hstogramu 31 6.1 Adaptvní ekvalzace hstogramu.......................... 32 6.2 Adaptvní ekvalzace hstogramu s adaptvním okolím............... 32 6.2.1 Adaptvní ekvalzace hstogramu s adaptvním CV-okolím........ 33 6.2.2 Adaptvní ekvalzace hstogramu s adaptvním CA-okolím........ 33 6.3 Adaptvní ekvalzace hstogramu adaptvní vzhledem k šumu........... 34 7 Software 36 8 Praktcké ukázky zpracovaných obrazů 38 Závěr 45 Lteratura 46 7

Úvod Ekvalzace hstogramu je jedna ze základních matematckých metod užívaných pro úpravu obrazů. Předpokládá, že nejlepším obrazem je obraz, který má rovnoměrné rozdělení hodnot pxelů. Jejím hlavním přínosem je zvdtelnění míst v obrazu, které člověk není schopen rozeznat. Důvodem je omezená rozlšovací schopnost ldského vdění, která dokáže rozeznat úrovně jasu v řádu stovek, kdežto dnešní dgtální obrazy používají úrovně jasu v řádů tsíc č dokonce mlonů. Metoda je hojně používána př zpracování hlavně technckých, medcínských a přírodovědných obrazů. Cílem dplomové práce bylo rozšířt metodu ekvalzace hstogramu o další prvky, které by j ještě více přblížl ldskému vdění. Takto vylepšenou metodu označujeme termínem Adaptvní ekvalzace hstogramu, kde termín adaptvní vyjadřuje přzpůsobení se lokálním vlastnostnem obrazu a napodobení tak konstrukce obrazu ldského vdění. Dalším úkolem bylo vytvoření software, který dokáže metody ekvalzace a adaptvní ekvalzace hstogramu použít na reálných obrazech. První kaptola je zaměřena na základní rozdělení grafckých dat, dále se zaměřuje na zavedení dgtálního prostoru spolu s jeho metrkou, logckou a fyzckou doménu, jejch valuace a základní operace s valuacem. Druhá kaptola se zabývá Dgtální teorí barev. Popsuje jak a proč barvy vznkají a jak je člověk vnímá. Dále se kaptola zabývá rozdělením barevných prostorů a detalně popsuje barevný prostor RGB. Třetí kaptola se dotýká základů Pravděpodobnostního prostoru, na nchž je metoda ekvalzace hstogramu postavena. Čtvrtá kaptola se zabývá dgtálním obrazem a jeho vytvořením. V páté kaptole se nejdříve zaměříme na analýzu ldského vdění a využtí vlastností ldského oka př budování matematckých metod zabývajících se úpravou dgtálních obrazů. Dále s představíme lneární a nelneární fltry. V šesté nejdůležtější kaptole s představíme metodu ekvalzace hstogramu a na ní navazující adaptvní metody. V této kaptole je kladen důraz na přesné matematcké zavedení všech metod adaptvní ekvalzace hstogramu. V sedmé kaptole je stručně popsán software, který se snaží ukázat sílu adaptvních metod ekvalzace hstogramu. V poslední osmé kaptole jsou ukázány výsledky aplkace metod adaptvní ekvalzace na reálné obrazy a jsou zde popsány výsledky a problémy, se kterým se můžeme př použtí metod adaptvní ekvalzace hstogramu setkat. 8

1 Grafcká data Grafcká data se dělí na data vektorová a btmapová (rastrová). Vektorová data, jak jž název napovídá, jsou založena na objektu jménem vektor, který je ztotožňován s orentovanou úsečkou, tj. úsečkou, na které rozlšujeme počáteční a koncový bod, popř. s velčnou, která je určena velkostí, směrem a orentací. V zásadě lze říc, že vektorový grafcký soubor obsahuje nformace o objektech složených z křvek a jednoduchých těles, které umožňují jejch geometrckou konstrukc. Vektorová data jsou použta např. v technckých výkresech. Btmapová (rastrová) data neobsahují vektorové nformace o uloženém objektu. Soubor těchto dat obsahuje nformace o velkost obrazu, o způsobu případné komprese a kódování barev. Samotný obraz je uložen jako matce, jejíž každý prvek znamená jeden bod obrazu. Rastrově jsou ukládány nformace, které jž nebudou dále uprovány systémem, kterým byly vytvořeny nebo obrazy, které nebyly pořízeny počítačem (např. fotografe). Na rastrovém prncpu funguje většna zobrazovacích zařízení (montory, tskárny, televze apod.). Rastrová data ukládáme jako souřadnce bodů, které jsou v souladu s tradční eukldovskou geometrí modelovány jako bezrozměrné objekty. Zobrazovací plocha výstupního zářzení je však fyzcké zařízení a body bez rozměrů zobrazovat resp. vnímat neumí. Místo pojmu bod je proto používán pojem pxel (z anglckého pcture element) jako nejmenší zobraztelný útvar. Př matematckém modelování je třeba rozlšovat pxely ve smyslu logckém (tj. výstupní zařízení chápat jako množnu zolovaných eukldovských bodů) a ve smyslu fyzckém (tj. výstupní zařízení chápeme jako množnu elementárních plošek). Navzdory poněkud nevhodnému termínu se však nebude jednat o pxely mplementované na konkrétních zařízeních, ale o matematcký model pxelů, který abstrahuje od vlastnost daných konkrétním zařízením a ponechává jednou, která je těmto zařízením společná totž nenulové rozměry. Vzhledem k tomu, že výstupní zařízení počítačů jsou téměř výhradně obdélníková, budeme defnovat dgtální rovnu fyzcké pxely jako obdélníky. Pxely budeme modelovat jako po dvou dsjunktní, přestože an tato vlastnost není na konkrétních zařízeních (zvláště př nastavení přílš vysokého rozlšení) splněna. Logcké pxely: Jestlže chceme na fyzcký pxel odkazovat souřadncem, pak na řadě grafckých aplkacích je důležté také to, na který eukldovský bod fyzckého pxelu odkazujeme zda na střed, některý z vrcholků (a na který), č na nějaký jný bod. Body, na které odkazujeme souřadncem, se obvykle nazývají logcké pxely a jejch případně potřebná výše uvedená specfkace se nazývá adresace č mapování. Mapování (tj. vzájemné přřazení) mez fyzckým a logckým pxely musí odpovídat skutečné velkost a uspořádání fyzckých pxelů. Na jednotlvé logcké pxely se odkazuje tzv. světovým souřadncem. Barva: Každý pxel je v btmapovém souboru reprezentován určtým počtem btů. Tím je určen počet barev, které může daný pxel nabýt. Je-l n počet btů na pxel, je možno zobrazt 2 n barev. Dvouúrovňová (jednobtová) zařízení dovolují zobrazovat dvě úrovně (např. jehlčkové tskárny). Ldské oko má konečný počet barevných receptorů, které obsáhnou rozsah světelných frekvencí 380 770 nm. Tvrdí se, že ldské oko dovede rozeznat až deset mlonu barev. Zařízení, které je schopno zobrazt 2 24 = 16 777 216 barev, považujeme proto za true color (pravé barvy). True color zařízení tedy potřebuje 24 = 3 8 btů = 3 byty na pxel. 9

1.1 Defnce dgtálního prostoru a dgtální geometre V celém textu uvažujme k {1, 2,..., n}. Defnce 1.1. Necht k I = {0, 1,..., k,..., m k } jsou ndexové množny. Pak množnu I (n) = n k=1 k I nazýváme multndexem. Defnce 1.2. Necht k J = a k ; b k ) jsou ntervaly. Množnu J (n) = nosčem dgtálního prostoru. n k=1 k J nazýváme n-rozměrným Defnce 1.3. Necht k D = { kx 0, k x 1,..., k x k,..., k x mk } jsou ekvdstantní dělení ntervalů kj = a k ; b k ). Množnu D (n) = n k=1 k D nazýváme ekvdstantním multdělením nosče J (n). n k=1 k J je nosč dgtálního prostoru, D (n) = n Defnce 1.4. Necht J (n) = k=1 k D jeho ekvdstantní multdělení. Uspořádanou dvojc D (n) = ( J (n) ; D (n)) nazýváme n-rozměrným dgtálním prostorem. Uspořádanou n-tc r = (m 1, m 2,..., m k,..., m n ) nazýváme rozlšení prostoru D (n). 1.2 Fyzcká doména, fyzcký prostor Defnce 1.5. Podmnožnu F (n) J (n) nosče J (n) dgtálního prostoru D (n) = ( J (n) ; D (n)) nazýváme fyzckou n D doménou právě tehdy, když F (n) = ) ) ) 1x 1 ; 1 x 1 +1 2x 2 ; 2 x 2 +1... kx k ; k x k +1... nx n ; n x n +1 Zapsujeme F (n) = n k=1 ) kx k ; k x k +1 = F (n) [ 1, 2,..., k,..., n ] = F(n). ) = n Číslo k v = k x k +1 k x k ; k nazýváme k-tým rozměrem fyzcké n D domény F (n). Věta 1.1. k-té rozměry k v všech fyzckých n D domén F D (n) jsou s rovny. Důkaz. Tvrzení plyne přímo z předpokládané ekvdstantnost dělení k D. k=1 kx k ; k x k +1). Poznámka 1.1. Věta umožňuje vynechávat u rozměrů fyzcké n D domény jeho multndex, tj. psát jen k v. Nebude-l hrozt nedorozumění, budeme u n D domény rovněž vynechávat údaj o její dmenzonaltě, tj. místo n D doména bude psát jen doména. { Věta 1.2. Množna F (n) = F (n) = n k=1 kx k ; k x k +1) ; k k I } všech fyzckých domén nosče J (n) dgtálního prostoru D (n) = ( J (n) ; D (n)) je rozkladem nosče J (n). Důkaz. Důkaz je uveden v [1], str. 50. Věta 1.3. Necht D (n) = ( J (n) ; D (n)) je dgtální prostor, A, B J (n) lbovolné body jeho nosče. Relace ρ J (n) J (n) defnovaná vztahem ρ (A, B) F F (n) : A F B F je ekvvalence na J (n). Defnce 1.6. Faktorovou množnu F (n) = J (n) /ρ z předchozí věty nazýváme fyzckým prostorem nosče J (n) resp. prostoru D (n) = ( J (n) ; D (n)). Rozlšením fyzckého prostoru F (n) rozumíme rozlšení prostoru D (n). 10

Poznámka 1.2. V lteratuře se často používají pojmy pxel jako nejmenší (neděltelný) objekt zobraztelný na daném výstupním zařízení, méně často voxel jako nejmenší (neděltelný) objemový element. Z hledska budované teore jsou tyto objekty specálním případy domén pxel je fyzckou 2 D doménou, voxel fyzckou 3 D doménou. Ve výše uvedené defnc domén je záměrně vynechán požadavek neděltelnost, nebot v jstých specálních případech bude děltelnost výhodou. 1.3 Logcká doména, logcký prostor, mapování Defnce 1.7. Necht F (n) je fyzcký prostor dgtálního prostoru D (n), k v rozměry jeho fyzckých domén. Dále necht C J (n) : C = [c 1, c 2,..., c k,..., c n ] ; c k 0; k v). Množnu CL (n) = n k=1 { kr k R k {1, 2,..., n} : k r k ) } kx k ; k x k +1 k r k k x k = c k nazýváme logckým prostorem prostoru D (n) = ( J (n) ; D (n)), její prvky C L ; = [ 1, 2,..., k,..., n ], logcké domény. Rozlšením logckého prostoru C L (n) rozumíme rozlšení prostoru D (n). Věta 1.4. Necht F (n) je fyzcký prostor, C L (n) logcký prostor téhož dgtálního prostoru D (n) = ( J (n) ; D (n)). Zobrazení C ϕ : F (n) C L (n) takové, že C ϕ (F ) = C L F, je bjekce. Důkaz. Důkaz je uveden v [1], str. 51. Defnce 1.8. Zobrazení C ϕ : F (n) C L (n) z předchozí věty nazýváme mapování fyzckého prostoru F (n). Bod C J (n) : C = [c 1, c 2,..., c k,..., ] ; c k 0; k v) nazýváme jeho řídícím bodem. Poznámka 1.3. V důsledku věty 1.4 exstuje ke každému mapování C ϕ : F (n) C L (n) mapování nverzní, tj. C ϕ 1 : CL (n) F (n). Díky tomu je možné každé fyzcké doméně F mapováním Cϕ přřadt právě jednu logckou doménu C L a naopak každé logcké doméně C L nverzním mapováním C ϕ 1 právě jednu fyzckou doménu F. Defnce 1.9. Mapování V ϕ : F (n) V L (n), v jehož řídícím bodem je bod V = [0, 0,..., 0], nazýváme vrcholovým mapováním. Mapování S ϕ : F (n) S L (n), jehož řídícím bodem je bod S = [ 1v, 2 v,..., k v,..., ] n v 2 2 2 2, nazýváme středovým mapováním. Defnce 1.10. Necht D (n) = ( J (n) ; D (n)) je dgtální prostor, k v rozměry jeho domén, C ϕ : F (n) CL (n) lbovolné mapování. Dále necht R n je n-dmenzonální reálný vektorový prostor s bází {e k } n k=1 ; e k = (0, 0,..., k v,..., 0). Uspořádanou (n + 2)-tc L n = L (n), S, e 1, e 2,..., e k,..., e n nazýváme světovou souřadnou soustavou logckého prostoru L (n). Uspořádanou (n + 2)-tc F n = F (n), S, e 1, e 2,..., e k,..., e n nazýváme světovou souřadnou soustavou fyzckého prostoru F (n) ndukovanou mapováním C ϕ. Uspořádanou (n + 2)-tc D n = D (n), S, e 1, e 2,..., e k,..., e n nazýváme světovou souřadnou soustavou fyzckého prostoru D (n) ndukovanou mapováním C ϕ. 1.4 Metrky dgtálního prostoru Věta 1.5. Necht F (n) je fyzcký prostor, c k ( ) n taková, že E (n) F F (n) ; F (n) j = k=1 c k ( k j k ) 2 ; P (n) F > 0, E (n) F ; P(n) F ; C(n) ) n = ( F (n) max {c k k j k } n k=1. Pak E(n) F ; P(n) F ; C(n) F jsou metrky F(n). 11 ; F (n) j F zobrazení F(n) F (n) R ( ) c k k j k ; C (n) F F (n) ; F (n) j = k=1

Důkaz. Důkaz je uveden v [1], str. 52. Defnce 1.11. Metrky E (n) F ; P(n) F ; C(n) F z předchozí věty nazýváme po řadě váženou eukldovskou, váženou pošt áckou a váženou čtvercovou metrkou fyzckého prostoru F (n). Věta 1.6. Necht L (n) je logcký prostor, c k ( ) n taková, že E (n) L L (n) ; L (n) j = k=1 c k ( k j k ) 2 ; P (n) L > 0, E (n) L ; P(n) L ; C(n) ) n = ( L (n) max {c k k j k } n k=1. Pak E(n) L ; P(n) L ; C(n) L jsou metrky L(n). Důkaz. Důkaz je analogcký k větě 1.5. ; L (n) j L zobrazení L (n) L (n) R ( ) c k k j k ; C (n) L L (n) ; L (n) j = Defnce 1.12. Metrky E (n) L ; P(n) L ; C(n) L z předchozí věty nazýváme po řadě váženou eukldovskou, váženou pošt áckou a váženou čtvercovou metrkou logckého prostoru L (n). Poznámka 1.4. Je zřejmé, že metrky E (n) F ; P(n) F ; C(n) F v prostoru F(n) jsou po řadě ekvvalentní s metrkam E (n) L ; P(n) L ; C(n) L v prostoru L(n). Pokud bude zřejmé, ve kterém prostoru pracujeme, budeme psát stručně E (n) ; P (n) ; C (n). Nadále bude pro stručnost vynechávat přívlastek vážená. Defnce 1.13. Necht F (n) ; F (n) j jsou dvě různé fyzcké domény téhož fyzckého prostoru F (n), F (n) ; F (n) j jejch uzávěry. Doménu F (n) j nazveme sousedem domény F (n) k=1 právě tehdy, když F (n) F (n) j. Defnce 1.14. Necht F (n) je fyzcký prostor, C L (n) je logcký prostor téhož dgtálního prostoru D (n), L (n), L (n) j C L (n), C ϕ 1 : L F, C ϕ 1 : L (n) j F (n) j. Logckou doménu L (n) j nazveme sousedem logcké domény L (n) právě tehdy, když F (n) j Věta 1.7. Fyzcká doména F (n) j Důkaz. Důkaz je uveden v [1], str. 54. 1.5 Valuace a dgtální objekty je sousedem domény F (n) je sousedem F (n). právě tehdy, když C (n) L ( F (n) ; F (n) j ) = 1. Klascká eukldovská syntetcká geometre modeluje své objekty tak, že studuje prvky a podmnožny prostoru E n, jejch vzájemné vztahy ( polohové úlohy ), č tyto podmonžny defnovaným způsobem měří ( metrcké úlohy ). Je-l v E n defnována podmnožna eukldovský objekt P, znamená to, že je známo pravdlo, podle kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda bod X E n do P patří č nkolv, tj. zda je X P anebo X P. Toto pravdlo lze formálně zapsat jako zobrazení ρ : E n R n, jehož prostřednctvím přřazuje bodům souřadnce. Provedeme-l analogckou konstrukc v dgtálním prostoru, lze tímto způsobem určt jeho podmnožny fyzcké objekty. Je-l totž P (n) F F(n) a defnujeme-l zobrazení ρ F : F (n) {0, 1} tak, že F F (n) : ρ F (F ) = 1 F P (n) F, je zřejmé, že množna P(n) F F(n) jednoznačně určuje zobrazení ρ F a naopak. Zcela analogcky pro logcký prostor ( P (n) L L(n)) [( ρ L : L (n) {0, 1} ) ( ( ) )] L (n) L (n) : ρ L L (n) = 1 L (n) P (n) L. Konstrukce zobrazení ρ F resp. ρ L na jedné straně a množn P (n) F resp. P(n) L na straně druhé tak představuje pouze dva různé pohledy na tentýž problém. Zobrazení ρ F resp. ρ L budeme nazývat bnární valuací fyzckého resp. logckého prostoru a objekt ndukovaný tímto zobrazením pak rozměrný objekt (n D objekt). Nebude-l nutné rozlšovat mez fyzckým a logckým prostorem, lze obecně mluvt o dgtálním objektu. 12

Defnce 1.15. Necht F (n) je fyzcký prostor. Zobrazení β F : F (n) {0, 1} nazýváme bnární valuací fyzckého prostoru F (n). Defnce 1.16. Necht F (n) je fyzcký prostor, β F : F (n) {0, 1} jeho bnární valuace. Dále necht CL (n) je logcký prostor téhož dgtálního prostoru D (n), C ϕ : F (n) C L (n) mapování. Zobrazení β L : C L (n) {0, 1} takové, že L (n) ( ) ( C L (n) : β L L (n) = 1 Cϕ ( 1 L (n) nazýváme bnární valuací logckého prostoru C L (n). ) = F (n) ) ( βf ( F (n) ) = 1 ) Defnce 1.17. Eukldovským n D objektem rozumíme lbovolnou podmnožnu E P (n) nosče J (n) dgtálního prostoru D (n). Defnce 1.18. Necht F (n) je fyzcký prostor. Fyzckým n D objektem rozumíme lbovolnou podmnožnu F P (n) prostoru F (n). Defnce 1.19. Necht C L (n) je logcký prostor. Logckým n D objektem rozumíme lbovolnou podmnožnu L P (n) prostoru C L (n). Defnce 1.20. Necht F (n) je fyzcký prostor, F P (n) fyzcký n D objekt. Dále necht C L (n) je logcký prostor téhož dgtálního prostoru D (n), C ϕ : F (n) C L (n) mapování. Logcký n D objekt L P (n), pro který je C ϕ : F P (n) L P (n), budeme nazývat logckým obrazem objektu F P (n). Objekt F P (n) budeme nazývat fyzckým vzorem logckého objektu L P (n). Defnce 1.21. Necht J (n) je nosč dgtálního prostoru D (n), E P (n) J (n) je eukldovský n D objekt. Množnu F P (n) F : F P (n) = { F F (n) F E P (n) } budeme nazývat fyzckým grafem eukldovského n D objektu E P (n) ve fyzckém prostoru F (n). Logcký obraz L P (n) fyzckého grafu FP (n) objektu E P (n) budeme nazývat logckým grafem tohoto v F (n). Defnce 1.22. Necht F (n) je fyzcký prostor, A je lbovolná, mnmálně dvouprvková množna. Zobrazení β F : F (n) A nazýváme obecnou valuací fyzckého prostoru F (n). Defnce 1.23. Necht F (n) je fyzcký prostor, A je lbovolná, mnmálně dvouprvková množna, β F : F (n) A jeho obecná valuace. Dále necht C L (n) je logcký prostor téhož dgtálního prostoru D (n), C ϕ : F (n) C L (n) mapování. Zobrazení β L : C L (n) A takové, že L C L (n) ; a A : β L (L ) = a ( Cϕ 1 (L ) = F ) ( βf (F ) = a ) nazýváme obecnou valuací logckého prostoru C L (n). Defnce 1.24. Necht β : D (n) A je valuace dgtálního prostoru. Je-l A číselná množna, nazýváme valuac β numerckou valuací. Specálně, je-l A N (A Z; A Q; A R; A C) hovoříme o valuac přrozené (celé, raconální, reálné, komplexní). Defnce 1.25. Valuac dgtálního prostoru lbovolnou m prvkovou množnou nazýváme m-ární valuací dgtálního prostoru. 13

1.6 Základní operace s valuacem Defnce 1.26. Necht β : D (n) prostorů F (n). Dále necht F j r =1 jejíž defnční obor je D( f ) k =1 A ; = 1, 2,..., k je posloupnost číselných valuací dgtálních F (n) ( ), β F j = a a f : R k R je funkce k proměnných, pro ( ) k A prostoru k nazýváme složení F (n). Valuac β : valuací β právě tehdy, když pro každé F k =1 F (n) =1 =1 F (n) F (n) platí β (F) = f (a 1 ; a 2 ;...; a k ). Defnce 1.27. Necht β : D (n) ( A ; ) = 1, ( 2,..., r ) je posloupnost číselných valuací dgtálních r prostorů F (n) k r. Zobrazení β : A nazýváme součnem valuací β. =1 D (n) =1 Defnce 1.28. Zobrazení β : B A se nazývá valuace fyzckého prostoru fyzckým prostorem právě tehdy, když B = F (n) ; A = F (m), fyzckého prostoru logckým prostorem právě tehdy, když B = F (n) ; A = L (m), logckého prostoru fyzckým prostorem právě tehdy, když B = L (n) ; A = F (m), logckého prostoru logckým prostorem právě tehdy, když B = L (n) ; A = L (m). =1 14

2 Dgtální teore barev Obraz na výstupním zařízení vznká obarvením fyzckých pxelů. Počet barev, kterým lze daný pxel obarvt, je dán počet hodnot, kterých může každý pxel nabýt, tj. počet bytů rezervovaných v obrazové pamět počítače pro každý pxel. Vdtelné světlo je polarzovaným elektromagnetckým zářením s vlnovou délkou od 720 nm (červené světlo) do 380 nm (falové světlo). Záření s vyšším vlnovým délkam (nžší frekvencí) označujeme jako nfračervené, mkrovlnné (tepelné) a rádové záření s nžší vlnovou délku (vyšší frekvencí) je pak ultrafalové, rentgnenové a kosmcké. Směr elektrckého a magnetckého pole jsou navzájem kolmé a oba směry jsou kolmé na směr šíření vlny. 2.1 Zdroj světla Nejčastěj se zdroje světla dělí podle tvarů, resp. rozměrů na zdroje bodové a plošné. A dále se dělí podle příčny záření na zdroje vlastní a nevlastní. Za vlastní považujeme tělesa, u nchž jsou splněny podmínky, za nchž vznká záření přímo v tělese (Slunce, žárovka apod). K nevlastním řadíme zdroje, které samy nezáří, ale odrážejí a rozptylují záření jných zdrojů (Měsíc, mraky, papír apod.). 2.1.1 Bodové a plošné zdroje Zdrojem měřtelného množství energe může být jen zdroj nenulových rozměrů. Pozorujeme-l ho však ze vzdálenost, která značně jeho rozměry převyšuje, lze tyto rozměry zanedbat a hovoříme o něm jako o zdroj bodovém. Defnce 2.1. Zářvý tok je číselně roven podílu energe přenášené zářením a času : Φ = de dt. Fyzkální rozměr zářvého toku je [Φ] = [ J s ] = [W]. Defnce 2.2. Intenzta vyzařování je číselně rovna podílu zářvého toku a zářcí plochy H = dφ ds. Rozměr [H] = [ W m 2 ]. Prostudujme nejdřív příklad, kdy rozměry světelného zdroje jsou zanedbatelné (bodový zdroj). Uvažujme paprsky vycházející z bodového zdroje a protínající v prostoru zvolenou plochu S. Ty tvoří tzv. zářvou trubc. Předpokládáme-l, že se záření šíří v neabsorbujícím prostředí, pak zářvý tok Φ, který prochází řezem zářvé trubce s lbovolnou další plochou je stálý, nebot pláštěm trubce žádná energe neprochází. Je-l tímto řezem průnk zářvé trubce s kulovou plochou se středem v bodovém zdroj, pak poměr plochy řezu a čtverce poloměru kulové plochy S 1 r 2 1 = S 2 = ω je stálý a defnuje tzv. prostorový úhel. Pro danou trubc jsou tedy zářvý tok Φ a r2 2 prostorový úhel ω stálém jejch podíl určuje zářvost: Defnce 2.3. Defnujme zářvost bodového zdroje I = dφ dω. Defnce 2.4. Defnujme měrnou zářvost plošného zdroje I = I S. Rozměr měrné zářvost je [L] = [ J m 2 ] = [H]. Měrná zářvost je tedy rozměrově rovna ntenztě vyzařování. Číselně je rovna zářvost plochy, jejíž průmět do rovny kolmé k danému směru má jednotkovou velkost. 15

2.1.2 Vlastní zdroje Lze je dělt podle způsobu, jakým jsou buzeny. Buzení může být realzováno vysokou teplotou tepelné zdroje, absorbcí záření lumnscenční zdroje, u plynů též elektrckým polem výbojové zdroje. Tepelné zdroje vydávají tepelné záření. Obecně nemusí každá ploška zářcího tělesa vysílat stejný zářvý tok, zákony teplotního zážení budou proto vyjadřovat pomocí ntenzty vyzařování. Každá látka záření nejen vysílá, ale přjímá. Toto záření je částečně odraženo, častečně pohlceno a částečně tělesem prochází. Defnce 2.5. Relatvní absorbce je poměr mez pohlcenou a přjatou energí α = E a E. Defnce 2.6. Absolutně černé těleso je látka, pro kterou je α = 1. Defnce 2.7. Kandela je 1 60 zářvost plochy 1 cm2 absolutně černého tělesa kolmé ke směru šíření paprsků př teplotě tuhnoucí platny 1772 C za normálního tlaku 1,01352 10 5 Pa. Věta 2.1. Krchhoffův zákon: Označme H 0 ntenztu vyzařování absolutně černého tělesa. Pak exstuje funkce f taková, že H 0 = f (T). Podle Krchhoffova zákona tedy ntezta vyzařování absolutně černého tělesa závsí pouze na jeho teplotě. Defnce 2.8. Intenzta vyzařování na vlnové délce λ: H λ = dh dλ. Rozměr [H λ ] = [ Wm 3]. Defnce 2.9. Zářvý tok na vlnové délce λ: Φ λ = dφ dλ. Rozměr [Φ λ ] = [ Wm 1]. Věta 2.2. Stefanův Boltzmannův zákon: H 0 = σt 4 ; σ = 5, 67 10 3 Wm 2 K 4. Podle Stefanova Boltzmannova zákona lze např. určt teplotu slunečního povrchu. Ze známé tzv. solární konstanty, která vyjadřuje ozáření zemského povrchu Sluncem, vychází pro povrchovou teplotu Slunce 5900 K. Věta 2.3. Wenův zákon: označme λ max vlnovou délku, na které těleso o teplotě T vysílá maxmum hustoty ntenzty vyzařování. Pak λ max T = b; b = 2, 898 10 3 mk. Poznámka 2.1. Z Wenova zákona vyplývá, že roste-l teplota, posouvají se maxma ke kratším vlnovým délkám. Věta 2.4. Planckův zákon: T H 0λ = 2π λ 5 exp ( hc ktλ hc 2 ), 1 kde c = 2, 9979245 10 8 ms 1 je rychlost světla ve vakuu, h = 6, 626176 10 34 Js je Planckova konstanta, k = 1, 380662 10 23 JK 1 je Boltzmannova konstanta, T je absolutní teplota v Kelvnech. 16

Defnce 2.10. Bílým zářením rozumíme záření ve vdtelné oblast, jehož zdrojem je absolutně černé těleso. Poznámka 2.2. Všechny uvedené vzorce platí pro oblast vdtelného spektra. Vztahujeme-l je však pouze na vdtelné světlo, používáme místo záření, zářvý apod. pojmy světlo, světělný apod. Místo pojmu měrná zářvost je pak častěj používán pojem jas (místo měrná svítvost ). 2.2 Pozorovaný předmět Dalším faktorem, který ovlvňuje výsledný barevný vjem, jsou reflexní a absorbční vlastnost pozorovaného předmětu. Jak jž bylo konstatováno, na rozhraní dvou optckých prostředí dochází k odrazu reflex, pohlcení absorbc a průchodu do nového prostředí se současnou změnou směru šíření záření refrakc. Věta 2.5. Zákon odrazu: Necht ω je plocha ohrančující jstý 3-D objekt, B ω je bod na této ploše, n je normála ω procházející bodem B, l 1 světelný paprsek dopadající na plochu ω v bodě B. Označme α 1 odchylku přímek n, l 1. Označme l 2 paprsek vystupující z bodu B do původního prostředí odražený paprsek, který svírá s normálou n úhel α 2. Pak platí: přímky l 1, n, l 2 leží v téže rovně a α 1 = α 2. Poznámka 2.3. Je-l hrancí pozorovaného předmětu část rovny, pak v důsledku zákona odrazu je dopadající rovnoběžný svazek paprsků odražen opět jako rovnoběžný svazek. To je však dostatečně přesně splněno jen u tzv. reflexních ploch, tj. dokonale vyleštěných kovových a podobných ploch. Čím drsnější je povrch pozorovaného předmětu, tím náhodnější je směr normály v daném bodě a tím náhodnější je směr odraženého paprsku. Takové plochy nazýváme dfuzním. U deální dfuzní plochy je každý bod dopadu zdrojem svazku paprsků šířících se rovnoměrně všem směry. Tomuto deálu dokonale rozptylujícího povrchu se blíží nepolévaný porcelán, neklížený papír, čerstvě napadlý sníh, sádra, křída apod. Věta 2.6. Zákon lomu: Necht ω je plocha ohrančující jstý 3-D objekt, B ω je bod na této ploše, n je normála ω procházející bodem B, l 1 světelný paprsek dopadající na plochu ω v bodě B, n 1 ndex lomu původního prostředí. Označme α 1 odchylku přímek n, l 1. Označme l 2 paprsek vystupující z bodu B do nového prostředí s ndexem lomu n 2 lomený paprsek, který svírá s normálou n úhel α 2. Pak platí: přímek l 1, n, l 2 leží v téže rovně a sn α 1 sn α 2 = n 1 n 2. Poznámka 2.4. Také zákon lomu je praktcky dobře splněn jen u hladkých ploch. U drsných povrchů dochází k rozptylu lomeného svazku podobně, jako v předchozí poznámce. Index lomu závsí jednak na optckém prostředí, jednak na vlnové délce použtého světla. Tento jev umožňuje rozklad bílého světla na barevné svazky spektrum. Závslost ndexu lomu na vlnové délce je nazývána dsperze materálu: Defnce 2.11. Dsperze materálu: D = dn dλ. Defnce 2.12. Záření ve vdtelné oblast, které vznkne bud odrazem bílého světla od daného objektu (u nevlastního světelného zdroje) nebo jehož je objekt sám zdrojem (u vlastního zdroje) tzv. emsní spektrum, nebo průchodem bílého světla objektem tzv. absorbční spektrum. Věta 2.7. Označme F (T, λ) spektrum absolutně černého tělesa ve vdtelné oblast (spektrum bílého tělesa), E (T, λ) emsní spektrum předmětu po dopadu tohoto bílého světla, A (T, λ) absorbční spektrum téhož předmětu po průchodu téhož bílého světla. Pak F (T, λ) = E (T, λ) + A (T, λ). Jným slovy absorbční spektrum je negatvem spektra emsního. 17

2.3 Pozorovatel ldské vdění Zrak je smysl, který umožňuje žvočchům vnímat světlo, různé barvy, tvary a slouží k orentac v prostoru. Zrak je zaměřen především na vnímání kontrastu, tím kontur a dovoluje vdění kontur předmětů, jejch vzdálenost a významně se podílí na orentac v prostoru. Zrakový vjem vznká tím, že světelné paprsky po odrazu od okolních předmětů vstupují do oka, procházejí optckou soustavou a spojují se na sítnc. Nejctlvější místo sítnce, tj. žlutá skvrna je v průsečíku osy oka se sítncí. Naopak nejméně ctlvým místem je slepá skvrna, která se nachází v místě, kde do oka vstupuje zrakový nerv. Sítnce je tvořena 11 vrstvam dvou druhů ctlvých buněk nazývají se tyčnky a čípky. Na čípcích se vyskytují buňky X, Y, Z každá má svoj přesně defnovanou spektrální ctlvost. Následkem absorpce dopadajícího světla v barvvech zmíněných buněk dochází ke změně jejch stavu, což způsobuje nervové podráždění přenášené očním nervem až do mozku. Obrázek 1: Relatvní ctlvost čípků ve vdtelném spektru Defnce 2.13. Uvažujme X (λ), Y (λ) a Z (λ) jako relatvní ctlvost jednotlvých buněk, S (λ) světlený zdroj, R (λ) remsní spektrum a Q x, Q y, Q z jsou váhové koefcenty pro tyto buňky. Potom x, y a z označíme jako míru podráždění buněk X, Y, Z. Jednotlvé míry podráždění defnujeme jako 700 x = Q x X (λ) S (λ) R (λ), 400 700 y = Q y Y (λ) S (λ) R (λ), 400 700 z = Q z Z (λ) S (λ) R (λ). 400 Defnce 2.14. Barevné souřadnce x, y, z příslušné spektrální barvy jsou defnovány vztahy: x = x, y = y, z = z. Platí: x + y + z = 1 x+y+z x+y+z x+y+z 18

Obrázek 2: Dagram chromatčnost Charakterstckou vlastností tyčnek je, že jsou značně ctlvé na změnu ntenzty světla, ale všechny barvy bychom jm vnímal jen jako šedomodré. Proto jsou určeny k vdění př slabém osvětlení. Naopak ctlvost čípků na světlo je menší, avšak právě jm rozeznáváme př běžném denním osvětlení barvy kolem nás. Rozložení tyčnek a čípků na sítnc není rovnoměrné. Ve žluté skvrně převládají čípky, na 1 mm 2 jch je až 150 tsíc, zatímco tyčnek pouhé 3 tsíce. Se zvětšující se vzdáleností od žluté skvrny však hustota tyčnek vzrůstá, celkový počet tyčnek se odhaduje na 120 až 150 mlónů a čípků na 6 až 7 mlónů. Oko není ctlvé ke všem barvám stejně, nejctlvěj vnímá světlo o vlnové délce 555 nm, tedy žlutozelenou barvu. Z celkového zářvého toku jen velm malá část má schopnost vzbudt zrakový vjem. Jak velká tato část je, závsí na teplotě zářče. Největší (as 50%) je př teplotě as 6000K. Není jstě náhodou, že se jedná právě o povrchovou teplotu Slunce. Ldské oko bylo během svého dlouhodobého vývoje na tento zářč optímálně naladěno. Defnce 2.15. Fotometerckým jasem rozumíme měrnou zářvost v oboru vdtelného spektra. Fyzologckým jasem rozumíme zhodnocení fotometrckého jasu ldským okem. Je zřejmé, že fotometrcký jas je objektvní měřtelná velčna, zatímco fyzologcký jas závsí na pozorovatel (je určen osvětlením sítnce). Ldský zrak nemá schopnost měřt ntenztu a spektrální složení světla, umí pouze srovnávat z hledska jasu (srovná daný bod s okolím). Data ze sítnce jsou přenášena do mozku, který je 19

zpracovává. To co vdíme je ve skutečnost matematcký model, který se neustále opravuje v závslost na datech ze sítnce, zkušeností (př zpracování obrazu) a předchozích znalostí. Rozlšovací schopnost ldského oka je omezena, a to jak co do počtu barev, které je schopno rozeznat (barevná rozlšovací schopnost, tak co do velkost pozorovaných předmětů (tvarová rozlšovací schopnost). Běžná barevná rozlšovací schopnost je 3,5 5 mlonů barev, u specálně trénovaných jednců až 10 mlonů. Velkost předmětů, které dokáže oko rozlšt, závsí na řadě faktorů, z nchž nejdůležtější je kontrast předmětů vzhledem k pozadí a rozlšovací shopnost oka. Pozorujeme-l barevnost předmětů kolem nás, je tento vjem dán celkovým spektrálním složením záření, které do našeho oka vstupuje. To závsí na použtém světelném zdroj a na vlastnostech prostředí, kterým světlo odražené od předmětů na cestě do oka projde. Odhadem toho, jak bude výsledný barevný vjem vypadat, se zabývá teore barev, ve které rozlšujeme dva základní druhy skládání barev, a sce součtové (adtvní) a rozdílové (subtraktvní). 2.4 Systémy barev Rozlšujeme dvě základní skupny barevných systémů: adtvní a subtraktvní. V adtvních systémech je vychází z černého podkladu a barvy vznkají přdáváním základních barev. Přítomnost všech základních barev v plné ntenztě dá (teoretcky) bílou barvu. V subtraktvním systému je podklad bílý a barvy vznkají odečítáním od bílé. Přítomnost všech základních barev v plné ntenztě dá (teoretcky) barvu černou. RGB (RED GREEN BLUE) je adtvní barevný model, ve kterém je smícháno společně červené, zelené a modré světlo různým cestam k reprodukc obsáhlého pole barev. Název modelu pochází z ncálů tří adtvních prmárních barev červené, zelené a modré. CMY (CYAN MAGENTA YELLOW) je barevný model založený na subtraktvním míchání barev (mícháním od sebe barvy odčítáme, tedy omezujeme barevné spektrum, které se odráží od povrchu). Používá se ve většně nkoustových a laserových tskáren. Barvy se zobrazují emulzí nebo nkoustem na bílém povrchu. Jestlže emulze pohlcuje červenou, jeví se na bílém světle jako azurová, nebot odráží zelenou a modrou. Pohlcení zelené vdíme jako purpurovou, je-l pohlcena modrá, vdíme žlutou. Jsou-l emulsí pohlcovány všechny složky, vznká (teoretcky) černá. Jelkož je vznk černé barvy mícháním základních barevných složek skoro nemožný, používá se CMYK, kde K značí černou barvu. Ta se do systému přdává jako nezávslá. HSV (Hue Saturnaton Value) je reprezentace bodů v barevném prostoru RGB, který se pokouší popsovat vnímání barevných vztahů přesněj než RGB, přesto zůstává vypočtově jednoduchý. Hue (odstín) je barva odražená nebo procházející objektem. Měří se jako poloha na standardním barevném kole (0 až 360 ). Obecně se odstín označuje názvem barvy. Saturace je sytost barvy, příměs jné barvy. Někdy též chroma, síla nebo čstota barvy, představuje množství šed v poměru k odstínu, měří se v procentech od 0% (šedá) do 100% (plně sytá barva). Value je hodnota jasu, množství bílého světla. Relatvní světlost nebo tmavost barvy. Jas vyjadřuje kolk světla barva odráží, dalo by se také říct přdávání černé do základní barvy. 20

2.5 Barevný prostor RGB Př formalzac úvah z předchozích kaptol budeme vycházet z emprcky stanovených zákonů, jejchž autorem je německý fyzk Grassman (1809 1877): 1) Všechny poměry míšení barev jsou spojté. 2) Pro určení každé barvy stačí 3 nezávslé velčny. 3) Barvy, které poskytují stejný fyzologcký vjem at jž vznkají jakýmkolv způsobem, dávají př adtvním míšení stejnou výslednou barvu. Defnce 2.16. Necht λ I λ = λ 0 ; λ m ; D λ = {λ 0, λ 1,..., λ k,..., λ m } je ekvdstantní dělení ntervalu I λ. Uspořádanou dvojc D (1) = (I λ, D λ ) budeme nazývat dgtálním oborem záření. Je-l λ 1 = 380nm; λ 2 = 720 nm, pak dgtální obor záření nazýváme dgtální obor (vdtelného) světla. Poznámka 2.5. Lze snadno ukázat, že dgtální obor záření je specálním případem dgtálního prostoru D (n) pro n = 1. Defnce 2.17. Necht D = D (1) je dgtální obor záření. Jeho reálnou valuac budeme nazývat dgtálním spektrem. Je-l tato valuace defnována na dgtálním oboru vdtelného světla, nazýváme j fotometrckou barvou. Množnu všech fotometrckých barev budeme nazývat fotometrcký barevný prostor. Je zřejmé, že dgtálním spektrem lze velm dobře aproxmovat lbovolné spektrum: je-l hustota vyzařování obecně H λ a fyzcké vlnové délky dgtálního oboru záření jsou λ k ; k = {1, 2,..., m}, zřejmě zvolíme valuac S tvaru k {1, 2,..., m} : S (λ k ) = λ k H λk dλ. Přesnost této aproxmace zřejmě závsí na rozměru fyzcké vlnové délky λ k nebol na délce ntervalu, který reprezentuje logcká vlnová délka λ k k dosažení lepší aproxmace je třeba dělení oboru záření zjemňovat. Jak však bude patrné z dalšího, ldské oko postupuje př vyhodnocování zrakového vjemu právě naopak. Valuace defnovaná na oboru vdtelného světla jako fotometrcká barva velm dobře vyhovuje 1. Grassmanovu zákonu, defnujeme-l míšení barev následujícím způsobem: Defnce 2.18. Označme B m fotometrcký barevný prostor, jehož prvky jsou barvy defnované na oboru vdtelného světla s fyzckým vlnovým délkam λ k ; k = {1, 2,..., m}. Necht dále β 1 ; β 2 B m jsou dvě fotometrcké barvy takové, že k {1, 2,..., m} : β 1 (λ k ) = 1 c k ; β 2 (λ k ) = 2 c k. Pak součtem fotometrckých barev β 1 ; β 2 B m rozumíme fotometrckou barvu β = β 1 β 2 B m, pro kterou je k {1, 2,..., m} : β (λ k ) = 1 c k + 2 c k. Defnce 2.19. Označme B m fotometrcký barevný prostor, jehož prvky jsou barvy defnované na oboru vdtelného světla s fyzckým vlnovým délkam λ k ; k = {1, 2,..., m}. Necht dále β B m je fotometrcká barva takové, že k {1, 2,..., m} : β (λ k ) = c k. Pak fotometrckou barvou d β B m rozumíme fotometrckou barvu, pro kterou je k {1, 2,..., m} : d β (λ k ) = d c k. Defnce 2.20. Označme B m fotometrcký barevný prostor, jehož prvky jsou barvy defnované na oboru vdtelného světla s fyzckým vlnovým délkam λ k ; k = {1, 2,..., m}. Barvu β B m nazveme monochromatckou fotometrckou barvou s vlnovou délkou λ k právě tehdy, když { c 0 = k f (x) = {1, 2,..., m} : β (λ ) = 0 k 21

Defnce 2.21. Barvu β B m nazveme lneární kombnací fotometrckých barev β 1 ; β 2 právě tehdy, když exstují d 1 ; d 2 R takové, že β = (d 1 β 1 ) (d 2 β 2 ). B m Vnímání barev ldským okem se zúčastňují fotosenzblní látky, absorbující v červené, zelené a modré část spektra tak, jak bylo popsáno v předchozí kaptole. Zrakové ústrojí člověka skládá všechny barvy, které vnímá, jen z těchto tří složek, náš barevný prostor je trojrozměrný. Je to za cenu toho, že ne každé dvě fotometrcké barvy, které jsou určeny různým spektrem (a jejchž rozdíl je možno ldskému oku vzualzovat např. hranolem), jsme schopn jako různé barvy vnímat v původní ntegrované formě. Př zpracování zrakového vjemu dochází k rozkladnu množny B m na třídy ekvvalentních barev, které oko nerozlšuje. Příslušná faktorová množna je přtom trojrozměrným prostorem. Všmněme s nejdříve obecně n-rozměrného prostoru. Defnce 2.22. Množnu C r = {c N 2 c r} nazveme chromatckou množnu. Je zřejmé, že valuací fyzcké resp. logcké rovny výše defnovanou chromatckou množnou dostaneme obraz tak, jak ho běžně chápeme. Defnce 2.23. Chromatckou množnu C r, pro kterou je r = z n ; z > 1 nazýváme n-dmenzonální chromatckou množnou. Číslo z nazýváme rozlšením n-dmenzonální chromatcké množny. Poznámka 2.6. Je zřejmé, že n-dmenzonální chromatcká množna C z n je n-dgtálním prostorem. Věta 2.8. Necht C r = C z n je n-dmenzonální chromatcká množna s rozlšením z a pro {0, 1,..., n 1} je c {0, 1,..., z 1}. Pak exstuje bjekce β : C r C z n taková, že pro každé c C r je β(c) = [c ] n 1 =0 c = n 1 =0 c z. Na množně C z n exstuje uspořádání [c ] n 1 =0 < [d ] n 1 =0 n 1 =0 c z < n 1 =0 d z. Defnce 2.24. Fyzologckou barvou rozumíme lbovolnou reálnou valuac dgtálního oboru vdtelného světla D s rozlšením m = 3. Množnu všech fyzologckých barev nazýváme fyzologckým barevným prostorem. Fyzologcký barevný prostor budeme značt tučné B, jeho barvy tučné β. Fyzologcký barevný prostor je tedy z čstě matematckého hledska specálním případem fotometrckého barevného prostoru. Je zřejmé, že pro každý prostor B m, pro který je m 3, exstuje ekvvalence ρ taková, že B 3 = B m /ρ (těchto ekvvalencí exstuje obecně dokonce více). Odtud vyplývá výše zavedené značení B 3 = B = B m /ρ jako faktorové množny a β = { β B m β B m : [ β, β ] ρ } jako třídu rozkladu ndukovaného ekvvalencí ρ. Jednu z relací z předchozí poznámky realzuje zrakové centrum ldského mozku př každém zrakovém vjemu a lze j slovně popsat jako relac vyvolávat stejný zrakový vjem zápsy [ β1 ; β 2 ] ρ resp. β1 ρβ 2 je třeba číst barvy β 1 ; β 2 vyvolávají stejný zrakový vjem resp. β 1 ; β 2 β znamená fotometrcké barvy β 1 ; β 2 reprezentují tutéž fyzologckou barvu β. V dalším textu budeme pracovat výhradně s touto relací, kterou budem nazývat fyzologckou popř. vzuální ekvvalenc. Barvy β 1 ; β 2 β pro které je β 1 ρβ 2, budeme nazývat fyzologckou popř. vzuálně ekvvalentní. Řezy a palety v prostoru RGB: Často se stává, že není žádoucí pracovat se všem barvam, které prostor RGB poskytuje. Někdy to dokonce není možné vůbec (pokud zařízení, na kterém pracujeme, není true color). V takových případech je třeba barevné odstíny, pomocí nchž bude obraz sestrojen, vybrat a uspořádat, a to s ohledem na nformace, které má obraz poskytovat. 22

Defnce 2.25. Necht C r je r-barevná množna, P r její nejméně dvouprvková podmnožna, < p uspořádání množny P. Pak množnu P nazveme paletou vybranou z r-barevné množny C r. Modelování jasu v prostoru RGB: Jas byl defnován jako měrná zářvost ve vdtelném oboru spektrsa, přčemž měrná zářvost plošného zdroje je L = I dφ de, kde I = a světelný tok Φ =. S dω dt Pozorujeme-l tedy vyzařování téže plochy pod konstantním úhlem, je její jás dán světelným tokem, který plocha a který je úměrný toku dopadajícímu ze zdrojů záření R,G,B, přčemž toky Φ R ; Φ G ; Φ B z jednotlvých zdrojů se jako výkony jejch zářvé energe sčítají. Znamená to, že pro celkový jas L Φ R +Φ G +Φ B. Předpokládejme, že plocha je osvětlena bílým světlem, její remsní spektrum lze modelovat smícháním složek R,G,B v poměru r : g : b, pro její barvu tedy platí β = rr + gg + bb, přčemž r Φ R ; g Φ G ; b Φ B. Označíme-l tedy L β jas barvy β, je β = rr + gg + bb L β r + g + b. Jas barvy je tedy úměrný součtu koefcentů lneární kombnace jednotlvých barevných složek R,G,B, další dvě zatím blíže nespecfkované charakterstky (čstota a sytost) pak jejch poměru. Obarvení dgtální rovny F (2) barvou z prostoru RGB je valuace β : F (2) RGB, tj. β : F (2) R G B, nebol β = β R β G β B, kde β R : F (2) β R, β G : F (2) β G, β B : F (2) β B. Tuto valuac lze chápat jako obraz β osvětlený světlem nkol bílým, ale červeným, zeleným resp. modrým (přesněj řečeno světly, zářícím na bázových vlnových délkách R λ; G λ; B λ). Jas jednotlvých pxelů rovny obrazu na těchto vlnových délkách je přímo úměrný světelným tokům Φ R ; Φ G ; Φ B na těchto vlnových délkách. Tyto hodnoty mohou např. klesat vlvem absorbce prostředí a mohou být modelovány valuacem Φ R : F (2) 0, 1, Φ G : F (2) 0, 1, Φ B : F (2) 0, 1, kde krajní hodnoty znamenají nulový, resp. maxmální tok. Složení β R Φ R : F (2) R 0, 1, β G Φ G : F (2) G 0, 1, β B Φ B : F (2) B 0, 1 pak umožňují modelovat obraz β osvětlený bázovým monochromatckým zdroj se započtením úbytků světelných toků. Podobně jako obarvení v prostoru RGB můžeme chápat jako β = β R β G β B, lze celkovou jasovou funkc obdržet jako součn Φ = Φ R Φ G Φ B : F (2) 0, 1 3 a složením β Φ modelovat obarvení prostoru RGB se započteným úbytkem světelných toků bílého světla na bázových vlnových délkách. Tato valuace dgtální rovny F (2) šestrozměrným dgtálním prostorem β Φ : F (2) R G B Φ R Φ G Φ B. 23

3 Pravděpodobnostní prostor Defnce 3.1. Necht S je σ-algebra. Zobazení P : S R nazveme pravděpodobností, jestlže platí: a) Ω S, b) Pro každé A S je P (A) 0, c) P (Ω) = 1, ( ) d) Jestlže A S; N a pro každé j je A A j =, pak P A = (A ). Uspořádanou trojc (Ω, S, P) nazýváme pravděpodobnostní prostor. Defnce 3.2. Zobrazení X : R nazveme náhodnou velčnou právě tehdy, jestlže pro každé x R je {ω; X (ω) < x} S. Pravděpodobnost jevu {ω; X (ω) < x}, že náhodná velčna X nabývá hodnoty menší než x, tj. P({ω; X (ω) < x}) značíme stručně P (X < x), místo P ({ω; X (ω) = x}) píšeme P(X = x). Defnce 3.3. Necht X je náhodná velčna. Funkc F : R R, pro kterou je F (x) = P (x < X), nazýváme dstrbuční funkcí. Defnce 3.4. Náhodná velčna X je dskrétní, jestlže exstují posloupnost {x } ; {p } ; p 0 takové, že P (X = x ) = p a P (X = x ) = p = 1. Defnce 3.5. Náhodná velčna X je absolutně spojtá, jestlže exstuje nezáporná funkce f : R R, taková, že pro každé x R je F (x) = P (x < X) = hustota pravděpodobnost. x N N f (t) dt. Funkc f : R R nazýváme Defnce 3.6. Dskrétní náhodná velčna X se nazývá ntegrovatelná, jestlže řada E (X) = x p absolutně konverguje. Součet E (X) této řady nazýváme pak střední hodnotou ntegrovatelné dskrétní náhodné velčny. Defnce 3.7. Absolutně spojtá náhodná velčna X se nazývá ntegrovatelná, jestlže exstuje ntegrál x f (x) dx nazýváme pak střední hodnotou ntegrovatelné absolutně spojté náhodné velčny. Defnce 3.8. Jsou-l X a (X E (X)) 2 ntegrovatelné náhodné velčny, pak D (X) = E { (X E (X)) 2} nazýváme dsperzí (rozptylem) a σ (X) = D (X) směrodatnou odchylkou. 24

4 Dgtální obraz Obraz je možno chápat jako matc typu Výška Šířka nezáporných celých čísel, přčemž nejnžší hodnota 0 odpovídá černé a nejvyšší 16 777 215 barvě bílé př barevné hloubce 24 btů. Defnce 4.1. Necht I n je nosč dgtálního prostoru. Funkc g(x) defnovanou pro každé x = [x 1 ; x 2 ;...; x n ] R n nazveme vzorkovanou právě tehdy, když x I n : g (x) = g (Trunc (x)), kde Trunc (x) = [Trunc (x 1 ) ; Trunc (x 2 ) ;...; Trunc (x n )]. Defnce 4.2. Necht W = 0; w) R; w N (Šířka); H = 0; h) R; h N (Výška); V = v 1 ; v 2 ) R (Value Set) jsou ntervaly. Funkc I : W H V nazveme (analogovým) obrazem. Je-l funkce I vzorkovaná, mluvíme o vzorkovaném obrazu, je-l defnčním oborem W H funkce I fyzcká (logcká) rovna, mluvíme o fyzckém (logckém) obrazu. Rozlšením fyzckého (logckého) obrazu rozumíme rozlšení jeho nosče. Je-l funkce I vzorkovaná a H N, mluvíme o dgtálním obrazu. Předcházející defnce je dostatečně obecná na to, aby jí vyhovoval každý obraz tak, jak ho běžně chápeme fotografe (červnobílá nebo barevná), mapa, nákres a dokonce reálný zrakový vjem okolního světa. Vše závsí na oboru hodnot V tohoto obrazu. Má-l být analogový obraz zpracován počítačem, musí být nejdříve převeden na obraz dgtální. Tento převod je nazýván dgtalzací obrazu. Dgtalzace obrazu probíhá ve dvou fázích vzorkování a kvantování. Úkolem vzorkování je převod analogového obrazu na obraz vzorkovaný, tj. transformovat analogový obraz tak, aby na celém pxelu fyzcké rovny měl konstatní hodnotu. Většnou postupujeme tak, že hodnoty, které budou přřazeny jednotlvým pxelům, odebíráme z analogového obrazu pomocí tzv. vzorkovací funkce. Z původního sgnálu jsou v pravdelných ntervalech odebírany vzorky pomocí vysokofrekvenční perodcké funkce s velkou ampltudou. Po této operac až na nepřílš časté výjmky dochází ke ztrátě nformace. Tato ztráta nemusí být přílš významná. Nesprávné vzorkování však může obraz znehodnott velm podstatně. 25

5 Matematcké metody zpracování obrazu 5.1 Srovnání ldského zraku s fotografí Fotografe je proces získávání a uchování obrazu za pomocí specfckých reakcí na světlo, a také výsledek tohoto procesu. Zahrnuje získání záznamu světla tak, jak jej odrážejí objekty, na světloctlvé médum pomocí časově omezené expozce. Proces je uskutečněn mechanckým, chemckým nebo dgtálním přístroj fotoaparáty. Každý pxel fotografe představuje nformac o ntenztě světla. Ldský zrak je dferencální analyzátor, což mu dává možnost pouze srovnat ntenztu v bodě s jeho okolím. Obraz, který vnímáme nemá nc společného s tím, co se nám promítá na sítnc. Ldské vdění můžeme označt za vrtuální realtu. Ldské oko funguje jako vstupní senzor, zachytí obraz na světločvné buňky sítnce, převede jej do kódu nervových vzruchů a ty putují do zrakového centra v mozkové kůře. Nervové buňky pak podrobí sgnál velce důkladné analýze. Hodnotí kontrast, lne a také pohyb obrazu po sítnc. Analýza má svůj přesný řád a nervové buňky př ní plní zcela specfcké úkony. Po narození nemá ldský mozek o světě žádné poznání, musí se vše učt pokaždé od začátku. Hrany a barvy předmětů mu nedávají smysl, nebot je neumí dát do souvslost. Postupným vštěpováním vzpomínek a asocací k předmětům do pamět s mozek utváří jakous mapu, se kterou pozděj srovnává nově příchozí obrazy. V útlém věku má tuto rozpoznávací úlohu ještě těžší, nebot vlvem vlastností oční čočky dopadají světelné paprsky na sítnc obráceně. To způsobuje, že malé dět vdí svět vzhůru nohama. Mozek s s tím ale postupem času poradí, nebot je pro něj jednodušší obraz otočt než pohybovat tělem s hlavou dolů. Vlastnost ldského oka, ze kterých vychází matematcké modely zpracování: Ldský zrak je dferencální analýzator tj. krtcké je dodržet vlastnost obrazu v malých detalech (na vysokých prostorových frekvencích, na nízkých frekvencích téměř nezáleží). Př kontrastu, kterého je možné dosáhnout na současných zobrazovacích zařízeních (montory, dataprojektory apod.) je schopen ldský zrak rozlšt pouze několk set úrovní jasu. Adaptvta př poskytnutí prohlížení obrazu můžeme měnt všechny parametry ldského zraku zaostření, clona (= velkost duhovky), ctlvost, kontrast vyvážení bílé. Ldský zrak není jedným smyslem, který je využíván př konstrukc obrazu (kromě smyslů jsou využívany znalost a zkušenost). 5.2 Lneární fltry V analýze obrazu jsou běžně používány tzv. lneární obrazové fltry, které hodnotu každého pxelu F j 2 D obrazu nahrazují hodnotou 2 D konvoluce obrazu I v pxelu F j s konvoluční matcí C. Defnce 5.1. n D konvolucí dvou funkcí C(x), g(x) defnovaných pro každé x = [x 1 ; x 2 ;...; x n ] J n a na množně J n ntegraovatelných s kvadrátem rozumíme ntegrál C(x) g(x) = C(t)g(x t)dt. J (n) 26

Konvoluc dgtalzovaného obrazu s dgtalzovaným jádrem pak popsuje následující věta: Věta 5.1. Jsou-l C(x), g(x) dgtalzované funkce, pak C(x) g(x) = J (n) C(t)g(x t)dt = [ɛ 1 ;...,ɛ n ] t=[ ɛ 1 ;..., ɛ n ] C(t)g(x t), je-l n = 2 a na J (2) je defnována fyzcká rovna s jednotkovou velkostí fyzckých pxelů, pak C(F j ) g(f j ) = ɛ m= ɛ m= ɛ ɛ C(F mn )g(f m; j n ) = ɛ m= ɛ m= ɛ ɛ C(m; n)g( m; j n). =1 Poznámka 5.1. Vzhledem k tomu, že dgtalzovaný obraz má dskrétní a konečný obor hodnot, musí být hodnota této konvoluce zaokrouhlena a případně ořezána. Pro n = 2 je C(m, n) dvojrozměrná tabulka reálných hodnot matce. Tu lze formálně defnovat jako zobrazení C(m; n) : { ɛ 1 ;...; 0;...; ɛ 1 } { ɛ 2 ;...; 0;...; ɛ 2 } R, n-rozměrná matce C(t) v n D je tedy zřejmě n C(t) : { ɛ ;...; 0;...; ɛ } R. Fltry, které lze popsat výše uvedenou konvolucí, přřazují pxelu hodnotu lneární kombnace pxelů z jeho obdélníkového (většnou čtvercového) okolí. Jsou proto označovány jako lneární. Fltry, které touto konvolucí vyjádřt nelze, jsou označovány jako nelneární. Defnce 5.2. Matce C(m, n) resp. C(t) z věty 5.1 nazýváme 2 D resp. n-d konvoluční matcí. Lneární fltry pracují tak, že př procházení celého obrazu nahrazují hodnoty zpracovávaného pxelu lneární kombnací pxelů ležících v jeho okolí. Děje se tak pomocí konvoluční matce C = ( ) c, j, což je čtvercová matce řádu 2n+1. Označíme-l a, j původní hodnotu pxelu, D adtvní konstantu pro jas a E multplkatvní konstantu pro kontrast, pak novou hodnotu b, j dostaneme takto: n n b, j = E a k,l c k +2,l j+2 + D. k= n l= n Tyto fltry se nazývají lneární proto, že novou hodnotu zpracovávaného pxelu dostaneme tzv. lneární kombnací hodnot pxelů v jeho okolí. Konvoluční matc C lze zvolt tak, že má všechny prvky nulové až na prvek centrální, který položíme roven jednčce. Takový fltr pak funguje tak, že adtvní konstanta D zajšt uje změnu jasu, multplkatvní konstanta E pak změnu kontrastu. Zvolíme-l centrální prvek konvoluční matce jednčku, multplkatvní konstantu mnus jednčku a adtvní 256, dostaneme negatv. Př jné volbě konvoluční matce dochází k dalším efektům, z nchž některé zmíníme dále. K tomu, aby lneární fltr fungoval odpovídajícím způsobem, je třeba vhodně nastavt konvoluční matc. Vhodnou volbou lze získat fltry nejrůznějších vlastností. Základní dve skupny fltrů jsou fltry typu dolní a horní propust, jejchž typčtí představtelé vypadají takto: E = 1 9 ; C = 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 27 ; D = 0

E = 1; C = 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 9 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 ; D = 0 Dokonalý obraz má vyrovnanou frekvenční charakterstku, tj. jsou rovnoměrně zastoupeny nízké a vysoké frekvence ve smyslu Fourerovy transformace. To má za následek, že malé velké objekty v obraze jsou zobrazeny se stejným kontrastem. Nejčastějším nedostatkem obrazů vytvořených běžným zobrazovacím systémy je potlačení vysokých prostorových frekvencí, což se vzuálně projevuje jako snížená ostrost obrazu. Fltry typu horní propust propouštějí více vysoké frekvence a jsou schopny tento nedostatek častečně vyrovnat. Centrální prvek jejch matc je symetrcky obklopen mnus jednčkam (čím je jch více, tím je fltr tvrdší ). Součet všech prvků konvoluční matce zároveň určuje celkovou změnu kontrastu obrazu. Nemá-l k ní tedy dojít, je třeba, aby součet všech prvků matce byl jedna a podle toho je třeba volt centrální prvek. Je-l horní propust spojena s vysokým kontrastem, pak nízké frekvence zcela potlačí a lze jch použít na detekc hranc objektů. Současně s preferencí vysokých frekvencí však horní propust také zvýrazňuje šum. Ten je naopak možno odfltrovat fltrem dolní propust. Tyto fltry potlačují vysoké frekvence a zvýrazňují frekvence nžší. Používají se k vyhlazování obrazu. Za cenu mírného rozostření obrazu jsou schopny účnně omezovat šum. Centrální prvek jejch matce (většnou jednčka) je symetrcky obklopen opět jednčkam. Zachování celkového kontrastu zajstíme nejlépe, tak že multplkatvní konstantu volíme jako převrácenou hodnotu součtu prvků v konvoluční matc. Hodnotu zpracovávaného pxelu tak nejčastěj nahrazujeme artmetckým průměrem hodnot pxelu z jeho jstého okolí. Př potlačení č naopak zvýraznění vysokých prostorových frekvencí však mají podstatně lepší výsledky tzv. gaussovské fltry. Jsou to lneární fltry určené konvolučním matcem, jejchž prvky jsou určeny vztahem } c m,n = k exp { m2 n2 ; m, n = a,..., a. σ 2 m σ 2 n Konstanta k se u fltrů typu dolní propust volí tak, aby součet všech prvků byl jedna. U fltrů typu horní propust jsou prvky matce (kromě centrálního) záporné a centrální prvek se volí tak, aby součet všech prvků byl roven jedné. 5.3 Zobecněné dgtální fltry Fltry lze zobecnt také co do počtu rozměrů fltrovaného objektu. Fltrovat lze nejen obraz jako 2 D objekt, ale také 2 D objekty. Tak lze modfkovat např. vlastnost mkroskopckých preparátů, lomových ploch, výbrusů apod. Tato zobecnění provedeme aparátem dgtální geometre. Defnce 5.3. Necht ( ɛ D (n), µ ) je dgtální prostor s mapováním Φ a metrkou µ, ( ɛ D (n), µ ) jeho podprostor takový, že ɛ-ové okolí každého voxelu F ɛ F (n) má v F (n) stejný počet prvků. Pak prostor ɛ F (n) = ɛ F (n) nazýváme r ɛ-ovým obalem prostoru F (n) (vzhledem k metrce µ). Defnce 5.4. Necht β : D (n) A je numercká valuace prostoru F (n), β : D (n) A valuace r ɛ-ového obalu taková, že pro každé F ɛ F (n) je β (F) = β (F). Pak valuac β : D (n) A nazýváme r ɛ-ovým obalem valuace β : D (n) A. 28

Defnce 5.5. Necht β : D (n) A je numercká valuace dgtálního prostoru F (n), β : D (n) A její r ɛ-ový obal, kde r ɛ-ové okolí O ɛ (F) domény F F (n) má r prvků. Dále označme f : R r R funkc r reálných proměnných a O ɛ (F ) = {F 1 ; F 2 ;...; F r } F (n) uspořádané r prvkové okolí fyzcké domény F F (n). Numerckou valuac Φβ : Φ D(n) A takovou, že pro každé F F (n) je Φβ (F Φ f ) = f (β (F 1 ) ; β (F 2 ) ;...; β (F r )), nazýváme zfltrovanou valuací β : D (n) A funkc f pak prostorovým n D fltrem. Funkc round ( Φβ Φ f (F ) ) = round ( f (β (F 1 ) ; β (F 2 ) ;...; β (F r ))) nazýváme zaokrouhlením fltru Φβ (F Φ f ). Jestlže exstuje funkce g : R r R a zobrazení C (t) : n =1 { ɛ ;...; 0;...; ɛ } R takové, že Φβ Φ f (F ) = f (β (F 1 ) ; β (F 2 ) ;...; β (F r )) = nazýváme funkc f lneárním fltrem. t O ɛ (F ) C (tβ (F F), Objektový n D fltr se od prostorového tedy lší tím, že nesečítáme přes celé okolí O ɛ (F ), ale přes průnk tohoto okolí s příslušným objektem O ɛ (F ) P. Programově je výhodné zajstt zajstt tento průnk bnární valuací. Je-l dán prostorový fltr f a objekt P F (n) je určen bnární valuací ρ : F (n) {0; 1}, pak příslušný objektový fltr je dán vztahem r 0 ρ (F ) = 0 =1 p = f (ρ(f 1 )β(f 1 );ρ(f 2 )β(f 2 );...;ρ(f r )β(f r )) r r ρ (F ) 0 ρ(f ) =1 Defnce 5.6. Lneární n D fltr nazýváme konstantní právě tehdy, když jeho n D konvoluční matce je tvaru { 0 t [0; 0;...; 0] C (t) = 1 t = [0; 0;...; 0]. Konvoluční matce konstantního fltru má tedy centrální prvek roven jedné, ostatní jsou nulové. Takový fltr nemění hodnotu pxelu. Je-l tedy f konstantní fltr a β lbovolná valuace, pak pro každé F F (n) je β (F ) = Φ Φ f (F ). 5.4 Nelneární fltry Nelneární fltry opět nahrazují hodnotu zpracovávaného pxelu hodnotou získanou z jeho okolí, k jejímu výpočtu však nepoužívají lneární kombnace. Nejčastějším funkcem jsou mnmu, maxmum a medán. Maxmum nahrazuje zpracovávaný pxel největší hodnotou z jstého jeho okolí. U černobílých obrazů je to nejvyšší stupeň šed, u barevných může být toto maxmum defnováno více způsoby. Mnmum nahrazuje zpracovávaný pxel nejnžší hodnotou z jstého jeho okolí. U černobílých obrazců je to opět nejnžší stupeň šed, u barevných může být toto maxmum defnováno opět více způsoby. V řešeném příkladu je defnováno opět po složkách. =1 29

5.5 Další metody Expanze kontrastu, Ztrátová expanze kontrastu, Ampltudový zoom, Plovtá transformace, Vyrovnání (ekvalzace) hstogramu. 30

6 Vyrovnání (ekvalzace) hstogramu Jedna z možných defnc dokonalého obrazu se vyznačuje tím, že obraz má rovnoměrné rozložení hodnot pxelů všechny vyskytující se hodnoty mají stejnou četnost, tj. všechny úrovně jasu mají stejnou plochu. Defnce 6.1. Necht X je spojtá náhodná velčna s dstrbuční funkcí F(x) a hustotou pravděpodobnost f (x), Y je spojtá náhodná velčna s dstrbuční funkcí G(x) a hustotou pravděpodobnost g(x). Pak ekvalzac hstogramu defnujeme jako transformac kde m je maxmální výsledná hodnota pxelu. Y(t) = m F (X (t)), Věta 6.1. Náhodná velčna Y, která vznkla transformací (ekvalzace hstogramu) z náhodné velčny X má rovnoměrné rozdělení. Důkaz. G (x) = P (m F X x) = P ( X F 1 (mx) ) = F ( F 1 (mx) ) = mx. Pro úpravu dgtální obrazu není vhodné použít teor ekvalzace vycházející ze spojtého přístupu, proto s dále ukážeme dskrétní přístup. Defnce 6.2. Necht máme dvourozměrný fyzcký prostor F (2) s rozlšením (w; h) a s hloubkou barev n btů, valuac β RGB : F (2) RGB, tj. β = β R β G β B ; β R : F (2) R, β G : F (2) G, β B : F (2) B; R, G, B = {0, 1,..., 2 n 1}. Defnujme dgtální jas pxelu F F (2) jako součet valuací β R ; β G ; β B tohoto pxelu T F = β R (F ) + β G (F ) + β B (F ). Poznámka 6.1. Dále v textu bude L = 3 (2 n 1) označovat maxmální hodnotu dgtálního jasu T F, kterou může nabýt pxel F F (2) př hloubce barev n btů. Defnce 6.3. Necht F (2) je dvourozměrný fyzcký prostor s rozlšením (w; h) a s hloubkou barev n btů. Dskrétní hstogram p = [ ] p 0, p 1,..., p L defnujeme jako p k = 1 χ k ( ) T F ; χ k ( { ) 1 pro TF = k T F = ; k = 0, 1,..., L. w h 0 pro T F k Defnce 6.4. Necht p je dskrétní hstogram fyzckého prostoru F (2) s rozlšením (w; h) a s hloubkou barev n btů. Dskrétní kumulatvní hstogram P = [P 0, P 1,..., P L ] defnujeme jako k P k = p l ; k = 0, 1,.., L. l=1 Defnce 6.5. Necht P je dskrétní kumulatvní hstogram fyzckého prostoru F (2) s rozlšením (w; h) a s hloubkou barev n btů. K dskrétnímu hstogramu p defnujeme vyrovnaný (ekvalzovaný) hstogram q = [ q 0, q 1,..., q L ] následovně: kde m je maxmální výsledná hodnota pxelu. q k = m P k ; k = 0, 1,..., L, Hlavní myšlenkou ekvalzace hstogramu je využtí všech jasových hodnot, které jsou pro daný obraz k dspozc. Tato metoda je velce účnná u tmavých (podexponovaných) nebo světlých (přeexponovaných) obrazů. V jednoduchost lze říc, že tato metoda spočívá v tom, že nová hodnotu jasu každého pxelu je odvozena z jasového hstogramu, který byl vytvořen ze všech pxelů tvořící obraz. Výpočtová obtížnost není nkterak náročná a doba pro vytvoření ekvalzovaného obrazu se pohybuje v řádu mlsekund. 31

6.1 Adaptvní ekvalzace hstogramu Metoda je nsprována vlastnostm ldského oka, která má schopnost měnt zaostření, ctlvost, clonu, kontrat, vyvážení bílé barvy apod. Výsledný obraz pak v našem vědomí vznká po částech, přčemž pro analýzu jednotlvých částí obrazu byly použty různé parametry nastavení oka. ( F (2) ; F (2) j ) Defnce 6.6. Necht F (2) je dvourozměrný fyzcký prostor, C (2) F = max { 1 j 1, 2 j 2 } je čtvercová metrka. Okolí fyzckého pxelu F F (2) o poloměru R defnujeme jako množnu ) } R. O F,R = { F j F (2) C (2) F ( F (2) ; F (2) j Defnce 6.7. Necht F F (2) je pxel fyzckého prostoru, O F,R jeho okolí o poloměru R, pro každý pxel F j F (2) je defnován jeho dgtální jas T F j. Dskrétní hstogram p F,R = [ p 0, p 1,..., p L ] ; defnujeme jako p k = 1 S kde k=0,1,...,l a S = card ( O F,R). j χ k ( T F j ) ; χ k ( T F j ) = { 1 pro TF j = k F j O F,R 0 jnak Defnce 6.8. Necht p F,R = [ p 0, p 1,..., p L ] je dskrétní hstogram z okolí OF,R. Dskrétní kumulatvní hstogram P F,R = [P 0, P 1,..., P L ] defnujeme jako, P k = k p l ; k = 0, 1,.., L. l=1 Defnce 6.9. Necht P F,R = [P 0, P 1,..., P L ] je dskrétní kumulatvní hstogram z okolí O F,R. Transformac, kdy pro p F,R defnujeme vyrovnaný hstogram q F,R = [ ] q 0, q 1,..., q L následovně: q k = m P k ; k = 0, 1,..., L, kde m je maxmální výsledná hodnota pxelu. Tato metoda je nadstavbou ekvalzace hstogramu v tom, že porovnává jas sousedních pxelů (adaptvnost), podobně jak to dělá ldský zrak. Počítá novou hodnotu jasu pxelu z hstogramu, který je určen z okolí o poloměru R tohoto pxelu. Důležtým parametrem je poloměr okolí R. Pokud R zvolíme přílíš malé, dosáhneme velké adaptvty, ale ztratíme tím nformace o větších objektech v obraze a zobrazí se nám pouze malé objekty a struktury. Po zvolení R přílš velkého ztracíme adaptvtu. Jedným hledskem správnost zvolení parametru R je, že upravený obraz bude vypadat dobře. Metoda adaptvní ekvalzace hstogramu nám umožňuje vdět v obrazu objekty, které běžným okem nevdíme použtí v krmnolog, archeolog atd. Jedným úskalím této metody je to, že s nedokáže poradt s výrazným rozhraním, a proto na n navazuje metoda s adaptvím okolím. 6.2 Adaptvní ekvalzace hstogramu s adaptvním okolím Metoda se snaží napodobt ldský zrak v tom, že okolí, se kterým se srovnává daný bod má proměnný tvar. Používají se dva typy okolí CV a CA okolí. 32

6.2.1 Adaptvní ekvalzace hstogramu s adaptvním CV-okolím CV-okolí je množna všech pxelů, jejchž hodnota jasu se od hodnoty jasu výchozího pxelu lší méně než o ɛ a jejchž vzdálenost je menší než R. Defnce ( 6.10. ) Necht F (2) je dvourozměrný fyzcký prostor a k němu příslušící čtvercovou metrku C (2) F F (2) ; F (2) j = max { 1 j 1, 2 j 2 }. CV-okolí fyzckého pxelu F F (2) o velkost R defnujeme jako množnu O CV,ɛ F,R = { F j O F,R LF L } F j ɛ, kde ɛ označuje maxmální rozdíl dgtálních jasů pxelů F a F j. Defnce 6.11. Necht F F (2) je pxel fyzckého prostoru, O CV,ɛ F,R jeho CV-okolí o poloměru R, pro každý pxel F j F (2) je defnován jeho dgtální jas T F j. Dskrétní hstogram p [ ] CV,ɛ F,R = p0, p 1,..., p L ; defnujeme jako p k = 1 S χ ( ) k T ( ) { F j ; χ k 1 pro TF T F j = j = k F j O CV,ɛ F,R 0 jnak j, kde k=0,1,...,l a S = card ( O CV,ɛ F,R). Defnce 6.12. Necht p CV,ɛ F,R = [ ] p 0, p 1,..., p L je dskrétní hstogram z okolí O CV,ɛ F,R. Dskrétní kumulatvní hstogram P CV,ɛ F,R = [P 0, P 1,..., P L ] defnujeme jako P k = k p l ; k = 0, 1,.., L. l=1 Defnce 6.13. Necht P CV,ɛ F,R = [P 0, P 1,..., P L ] je dskrétní kumulatvní hstogram z okolí O CV,ɛ Transformac, kdy pro p CV,ɛ F,R defnujeme vyrovnaný hstogram qcv,ɛ F,R = [ ] q 0, q 1,..., q L následovně: kde m je maxmální výsledná hodnota pxelu. q k = m P k ; k = 0, 1,..., L, Volba maxmálního rozdílu hodnoty jasů ɛ: Pokud ɛ zvolíme přílš malé, je velká pravděpobnost, že okolí bude obsahovat pouze výchozí pxel. Př volbě ɛ přílš velkého dochází k malé adaptvtě a vznku míst s malým kontrastem. Nevýhodou je, že se nám nemusí podařt nalézt vhodné ɛ (např. u snímku hvězdné oblohy). 6.2.2 Adaptvní ekvalzace hstogramu s adaptvním CA-okolím F,R. CA-okolí je množna k pxelů, které mají od daného pxelu vzdálenost menší než R, a jejchž hodnota jasu se nejméně lší od hodnoty jasu výchozího pxelu. Defnce 6.14. Necht F (2) je dvourozměrný fyzcký prostor, O F,R okolí fyzckého pxelu F o velkost R, a máme neklesající posloupnost rozdílů jasů { a j }, kde a j = TF T F j. CA-okolí pxelu F F (2) o velkost R defnujeme jako množnu, kterou tvoří k pxelů F j O F,R, které jsou odpovídající prvním k členům neklesající posloupnost { a j }. 33

Defnce 6.15. Necht F F (2) je pxel fyzckého prostoru, O CA,k F,R jeho CA-okolí o poloměru R, pro každý pxel F j F (2) je defnován jeho dgtální jas T F j. Dskrétní hstogram p [ ] CA,k F,R = p0, p 1,..., p L ; defnujeme jako p k = 1 S χ ( ) k T ( ) { F j ; χ k 1 pro TF T F j = j = k F j O CA,k F,R 0 jnak j, kde k=0,1,...,l a S=card ( ) O CA,k F,R. Defnce 6.16. Necht p CA,k F,R = [ ] p 0, p 1,..., p L je dskrétní hstogram z okolí O CA,k F,R. Dskrétní kumulatvní hstogram P CA,k F,R = [P 0, P 1,..., P L ] defnujeme jako P k = k p l ; k = 0, 1,.., L. l=1 Defnce 6.17. Necht P CA,k F,R = [P 0, P 1,..., P L ] je dskrétní kumulatvní hstogram z okolí O CA,k Transformac, kdy pro p CA,k F,R defnujeme vyrovnaný hstogram qca,k F,R = [ ] q 0, q 1,..., q L následovně: kde m je maxmální výsledná hodnota pxelu. q k = m P k ; k = 0, 1,..., L, Nevýhodou CA-okolí je, že má tendenc zvýrazňovat rozhraní, které se lší velm málo a ldské oko by rozdíl vůbec nepostřehlo. V prax se používají oba hstogramy spočtené z CV-okolí a CA-okolí, které se pak vhodně zprůměrují nebo nakombnují. F,R. 6.3 Adaptvní ekvalzace hstogramu adaptvní vzhledem k šumu Defnce 6.18. Necht A je původní obraz, S označme obraz jehož pxely jsou stachastcky nezávslé realzace náhodné velčny X s normálním rozdělení X N ( 0, σ 2). Defnujme obraz B = A + S. Nyní proved me ekvalzac hstogramu (resp. adaptvní ekvalzac hstogramu, adaptvní ekvalzac hstogramu s adaptvním CV-okolím, adaptvní ekvalzac hstogramu s adaptvním CAokolím) obrazu B a použjme tutéž transformac pxelu na obraz A. Pak řekneme, že na obrazu A byla provedena σ-ekvalzace hstogramu (resp. adaptvní σ-ekvalzace hstogramu, adaptvní σ- ekvalzace hstogramu s adaptvním CV-okolím, adaptvní σ-ekvalzace hstogramu s adaptvním CA-okolím). Smyslem σ-transformace je snížt zesílení v těch částech obrazu jejíž hstogram je blízký hstogramu šumu. Hodnotu σ volíme větší než je směrodatná odchylka šumu odhadnutá pomocí autokovaranční funkce z obrazu. Věta 6.2. Necht velčny X a Y jsou nezávslé a necht mají po řadě dstrbuční funkce F 1 a F 2. Pak velčna Z = X + Y má dstrbuční funkc F(z) = F 2 (z x)df 1 (x). 34

Důkaz. Vzhledem k nezávslost velčn X a Y můžeme dstrbuční funkc F postupně upravt na tvar F(z) = P(Z < z) = P(X + Y < z) = df 1 (x)df 2 (y) = [ z x ] df 2 (y) df 1 (x) = x+y<z F 2 (z x)df 1 (x). Funkc F, danou vzorce v předchozí větě, nazýváme konvolucí dstrbučních funkcí F 1 a F 2 a značíme j symbolem F = F 1 F 2. Přtom platí F 1 F 2 = F 2 F 1. Jelkož je analýza šumu obrazu pomocí autokovarační funkce nad rámec této dplomové práce, budeme směrodatnou odchylku šumu volt dle vlastního uvážení s přhlédnutím na výsledný obraz po σ-transformac. Po několka pokusech dostaneme přblžnou představu o směrodatné odchylce šumu v obraze. Další zlepšování těchto adaptvních metod jž vyžaduje vložt do metody nějaké dodatečné nformace o obraze. Tím se snažíme napodobt to, že ldský zrak využívá znalost, zkušenost apod. 35

7 Software Dalším cílem této dplomové práce bylo vytvoření funkčního software, který by dokázal aplkovat všechny výše uvedené metody Adaptvní ekvalzace hstogramu. Program byl vytvořen v Borland Delph 7.0. Pracuje se souborovým formátem BIF nebo-l Bg Image Fle, který m byl doporučen panem profesorem Druckmüllerem. V souboru BIF jsou zapsány data typu record o paremetrech R,G,B, které jsou typu Word. Typ Word je 16 btový a může nabývat 65536 hodnot. A jelkož je každý pxel dán 3 hodnotam typu Word, má proto každý pxel obrazu barevnou hloubku 48 btů. Do BIF soubory jsem neukládal jen 48 btové soubory, ale také 24 btové, které jsem získal z BMP souborů, a proto bylo nutné do BIF souboru přdat jeden parametr a to ImgColorDepth. Obrázek 3: Pracovní plocha vytvořeného programu Program se skládá z hlavního menu, kde najdeme záložky Soubor a Úpravy obrazu, dále pak z pracovní plochy, kde se nám zobrazují původní nebo ekvalzované obrazy. V nabídce Soubor najdeme položku Otevřít, Uložt jako a Konec, jejchž funkce je na první pohled zřejmá. V nabídce Úpravy obrazu, která je do otevření programem známého souboru zamčena, najdeme 4 ekvalzační metody Ekvalzace hstogramu, Apaptvní ekvalzace hstogramu (AHE), AHE s CV-okolím a AHE s CA-okolím. Po spuštění, kterékolv z výše uvedených metod se nám zobrazí panel, kde je pro každou metodu nutné nastavt její vstupní parametry: Ekvalzace hstogramu: velkost směrodatné odchylky šumu σ př zapnutí funkce Adaptvnost vůč šumu, Adaptvní ekvalzace hstogramu: velkost poloměru okolí R, velkost směrodatné odchylky šumu σ př zapnutí funkce Adaptvnost vůč šumu, 36

Adaptvní ekvalzace hstogramu s adaptvním CV-okolím: velkost poloměru okolí R, maxmální absolutní hodnota rozdílu výchozího a okolního pxelu ɛ, velkost směrodatné odchylky šumu σ př zapnutí funkce Adaptvnost vůč šumu, Adaptvní ekvalzace hstogramu s adaptvním CV-okolím: velkost poloměru okolí R, maxmální počet pxelů k z okolí použtých pro výpočet nové hodnoty výchozího pxelu, velkost směrodatné odchylky šumu σ př zapnutí funkce Adaptvnost vůč šumu, Obrázek 4: Nastavení Adaptvní ekvalzace hstogramu s adaptvním CV-okolí Další zajímou funkcí je Průměrování výchozího a upaveného obrazu, kde váženým průměrováním dostáváme z těchto dvou obrazů jeden. 37

8 Praktcké ukázky zpracovaných obrazů V této kaptole s předvedeme jak metody ekvalzace a adaptvní ekvalzace hstogramu fungují na reálných obrazech. Jelkož ldské vdění vychází ze zkušeností a znalostí a ty se u každého člověka lší, může proto dojít k menším sporům mez mnou a Vám čtenář. Proto moje názory berte jako můj vlastní subjektvní náhled, snažící se Vám popsat svoje vjemy př posuzování upravených dgtálních obrazů. Obrázek 5: Neupravený dgtální obraz blíže nespecfkované sltny Na Obrázku 5 vdíme 8 btový dgtální obraz sltny, kde černá místa zobrazují shluky uhlíku, které se ve sltně vyskytují. Nejdříme provedeme ekvalzac hstogramu původního dgtálního obrazu, výsledek vdíme na Obrázku 6. Obrázek 6: Dgtální obraz sltny po použtí ekvalzace hstogramu 38

Př srovnání původního (Obrázek 5) a ekvalzovaného dgtálního obrazu (Obrázek 6) s všmneme zlepšení vdtelnost struktury povrchu sltny. Toto zlepšení se ovšem neprojeví na struktuře povrchu shluků uhlíků, která se od původního obrazu nkterak závažně nezměnla. Obrázek 7: Dgtální obraz sltny po použtí adaptvní ekvalzace hstogramu s poloměrem okolí R=20 Na Obrázku 7 vdíme obraz, který vznkl po aplkac metody adaptvní ekvalzace hstogramu na neupravený obraz (Obrázek 5). Př srovnání s ekvalzovaným obrazem (Obrázek 6) vdíme další zlepšení vdtelnost struktury povrchu sltny a to dokonce u shluků uhlíků. Obrázek 8: Dgtální obraz nespecfkované sltny po použtí adaptvní ekvalzace hstogramu s adaptvním CV-okolím o poloměru R=20 a maxmálním rozdílem jasu ɛ=120 39

Př pozorování obrazu (Obrázek 7), který nám vznkl po použtí adaptvní ekvalzac hstogramu s můžeme všmnout šedých obrysů shluků uhlíků. Tyto obrysy vznkají v místech významného rozhraní tj. na hranc, kde se střetává světlá a tmavá oblast. Tyto šedé oblast v sobě mohou skrývat důležtou nformac, které ldský zrak není schopen rozeznat. S těmto rozhraním s neumí metoda adaptvní ekvalzace poradt, a proto j vylepšuje navazující metoda adaptvní ekvalzace hstogramu s adaptvním CV-okolí (Obrázek 8), která výslednou hodnotu pxelu nepočítá ze světlých pxelů v okolí, pokud je výchozí pxel tmavý a nepočítá j z tmavých pxelů v okolí, pokud je výchozí pxel světlý. Na Obrázku 8 může pozorovat hrance shluků uhlíku, které nám metoda adaptvní ekvalzace ponechala skryté. Obrázek 9: Dgtální obraz nespecfkované sltny po použtí adaptvní ekvalzace hstogramu s adaptvním CA-okolím o poloměru R=20 a maxmální počtem pxelů k=120 Pro úplnost uvádíme obraz, který vznkl po použtí metody adaptvní ekvalzace hstogramu s adaptvním CA-okolím (Obrázek 9), která nám ale nedává žádné nové nformace. 40

V druhé ukázce zpracování dgtálních obrazů za zaměříme na odstranění šumu pomoc σ-transformace. Obrázek 10: Neupravený obraz Obrázek 11: Dgtální obraz, který byl adaptvně ekvalzován s poloměrem okolí R=20 Pokud naš pozornost zaměříme na čtverový objekt uprostřed blíže nespecfkovaného dgtálního obrazu (Obrázek. 11), všmneme s velkého zašumnění jeho plochy. Toto zašumnění je dáno hladkostí povrchu, se kterou s metoda adaptvní ekvalzace neumí poradt. Po použtí adaptvní σ-ekvalzace hstogramu se nám podaří šum z větším čast elmnovat vz Obrázek 12. 41

Obrázek 12: Dgtální obraz, který byl adaptvně σ-ekvalzován s poloměrem okolí R=20 a se směrodatnou odchylkou σ=40 42

Poslední ukázkou a dle mého názoru nejnázornější je dgtálním obraz dvou trepek velkých pořízeného mkroskopem. Tento obraz je velm podexponovaný (tmavý) a není na něm mnoho vdět. Obrázek 13: Dgtální obraz trepky velké Síla metody ekvalzace hstogramu se nejvíce projeví, pokud tuto metodu použjeme na podexponovaný nebo přeexponovaný výchozí obraz. A jak vdíme na Obrázku 14, tak se tento předpoklad skutečně potvrdl. Hlavním rozdílem oprot výchozímu obrazu je zvýraznění oblast kolem trepek, ve kterých jsou ne přílš výrazně vdět bčíky, pomocí nchž se trepka pohybuje. Obrázek 14: Dgtální obraz trepky velké po ekvalzac hstogramu 43

Nyní se zamˇeˇríme na oblast kolem trepek, ve které se nám ukrývají bˇcíky. Pˇr použtí σ-ekvalzace hstogramu se nám tato oblast vyˇcstí od šumu a poté vynknou jednotlvé bˇcíky, jak se m užeme pˇresvˇedˇct na Obrázku 15. Obrázek 15: Dgtální obraz, na kterém byla provedena σ-ekvalzace hstogramu se smˇerodatnou odchylkou σ=100 Dalším zájmem naší pozornost se stává struktura bunˇek obou trepek. Pˇr použtí adaptvní σ-ekvalzace s adaptvním CV-okolím se nám naskytne jedneˇcný pohled na stavbu bunˇek obou trepek. Obrázek 16: Dgtální obraz, na kterém byla provedena adaptvní σ-ekvalzace hstogramu s adaptvním CV-okolím R=10, rozdílem jasu =1500 a se smˇerodatnou odchylkou σ=40 44