. Signá ly se souvislým časem Ř EŠENÉPŘ ÍKLADY r.. a) Urč ee sřednía eeivníhodnou signálů na obr.., jejich výon a energii za č as =. d) = b) e), 5ms c) ),5V -,5V Obr... Analyzované signály. Sředníhodnoa: Eeivníhodnoa: a) U = = U ; sř e U U sř e = = ( ) u d. ( ) u d. b) U sř =, 5V, U e = d =, 77V ; c) U = V, U =, 5V ; sř e d) U sř = V, U e =,77V ; sř = sin d =, 38V π e) U ( Ω ) e = sin d = =, 5V ; 4, U ( Ω ) ) U sř =. U sř ( e) =, 637V, U e = U e π ( d ) =,77V. Vý on signálu na normované záěži Ω je roven eeivníhodnoě na druhou. Energie za č as = vý on.. a) P = W, W = mws = mj; b) P =,5W, W =,5mJ; c) P =,5W, W =,5mJ; PDF byl vyvořen zušebníverzífineprin pdfacory hp://www.ineprin.cz 9
Sysémy, procesy a signá ly I - sbíra příladů d) viz b); e) P =,5W, W =,5mJ; ) viz b) a d). & Poznay z příladu: a) Signá ly různých varů mohou mí sejné sřední nebo eeivní hodnoy (viz eeivní hodnoy signá lů c), e) nebo b), d),)). b) Eeivní hodnoa signá lu je vždy o něco věší než jeho sřední hodnoa; výjimu voří sejnosměrný signá l, u něhož jsou obě veličiny sejné. c) Sřední ani eeivní hodnoa periodicého signá lu nezá visí na časovém posunuí signá lu (.j. nezá visí na volbě počá u času) a doonce ani na opaovací periodě (.j. nezá visí na časové expanzi a ompresi) a směru ou času (.j. nezá visí na časové inverzi). d) Eeivní hodnoa signá lu nezá visí na znaménu signá lu. e) Sřední hodnoa souču dvou periodicých signá lů se sejnou opaovací periodou je rovna souču jejich sředních hodno. ) Výon souču dvou periodicých signá lů se sejnou opaovací periodou za uo periodu (.j. vadrá eeivní hodnoy) je věší než souče výonů (.j. vadrá u eeivních hodno) obou signá lů. K rovnosi dochá zí pouze u orogoná lních signá lů,.j. u signá lů s nulovým vzá jemným výonem. Nejjednodušší orogoná lní signá ly jsou y, eré se vzá jemně nepřerývají v rámci opaovací periody. Napřílad dvoucesně usměrněný harmonicý signá l ) je složen ze dvou nepřerývajících se jednocesně usměrněných signá lů ypu e) o eeivní hodnoě,5v. Proo eeivní hodnoa signá lu ) bude U e =, 5 +, 5 = &, 77V. r.. Urč ee počáeč níáze signálů na obr..3. Opaovacíperioda =. Je připsáno obrázům. & Poznay z příladu: a) Je-li počá eční áze nulová, harmonicý signá l je signá lem osinovým. Exrém osinusovy si označí me ečou. Při ná sledné změně počá eční á ze se eno zna bude posouva doprava nebo doleva. b) Při ladné, resp. zá porné počá eční á zi se osinusova přesouvá doleva, resp. doprava po časové ose. c) Fá zové posuvy +8 a -8 jsou evivalenní, znaméno u počá eční á ze 8 edy nehraje roli. Posuv o 8 znamená změnu znaména (inverzi) harmonicého signá lu. Ampliudu C v (.4) je vhodné deinova jao nezá porné čí slo, aby nedochá zelo nejednoznačnosi při určová ní počá eční á ze. Např. signá l s() = -5 cos(ω -45 ) má ampliudu +5V (nezá porné čí slo) a počá eční á zi -5 (nebo aé +35 ), neboť -5cos(Ω -45 ) = 5 cos(ω -45 ± 8 ) = 5 cos(ω -5 ) = 5 cos(ω +35 ). d) Dohodnuým záladním varem pro maemaicý popis harmonicého signá lu je var osinový (.4). Proo je-li signá l popsá n uncí sinus, je řeba ji za účelem zjišění počá eční á ze převés na unci ypu osinus podle vzahu sin ( α) = cos( α ) 9 (.4) PDF byl vyvořen zušebníverzífineprin pdfacory hp://www.ineprin.cz
. Signá ly se souvislým časem Napřílad signá l u() = -5sin(Ω-45 ) má ampliudu +5V a poèá eèní á zi +45, nebo sin(ω-45 ) = -5 cos(ω-45-9 ) = 5 cos(ω-45-9 ±8 ) = 5 cos(ω+45 ). s( ) = Ccos( ω ) = s( ) = Ccos( ω 8 ) = Ccos( ω ) = 8 a) s( ) d) s( ) s( ) = Ccos( ω + 9 ) = Csin( ω ) = 9 s( ) = Ccos( ω + 8 ) = Ccos( ω ) = 8 b) s( ) e) s( ) 4 s( ) = C cos( ω 9 ) = C sin( ω ) = 9 c) s( ) 4 Obr..3. Harmonicé signály s různý mi počáeč ními ázemi. r.3. Vypoč ěe ázový a č asový posuv mezi signály a) a b) z obr..3. Počáeč níáze signálu a): a = Počáeč níáze signálu b): b = +9 Fázové posuvy: ab = a - b = -9 = -π/ rad... signál a) je zpožděn za signálem b) o 9 ba = b - a =+9 = +π/ rad... signál b) předbíhá před signálem a) o 9 Č asové posuvy: ab = ab /Ω = - /4 = -5µs... signál a) je zpožděn za signálem b) o 5µs ba = ba /Ω = + /4 = +5µs.. signál b) předbíhá před signálem a) o 5µs & Poznay z příladu: a) Je-li harmonicý signá l o mioču Ω posunu o časový úse S, odpovídá o úhlovému posunuí = Ω S. (.4) Posunou-li se dva harmonicé signá ly rů zných miočů o sejný časový úse, posunou se o rů zné úhly: signá l o vyšším mioču bude posunu o věší á zový posuv. PDF byl vyvořen zušebníverzífineprin pdfacory hp://www.ineprin.cz
Sysémy, procesy a signá ly I - sbíra příladů b) Fázový posuv dvou harmonicých signá lů s () a s () o sejných miočech a počá ečních á zích a je =. (.4) Je-li >, resp. <, říá me, že signá l s () předbíhá, resp. je zpožděn za signá lem s (). r.4. Vyjádřee sejnosměrné signály a) u() = +5V, b) u() = -5V jao zvlášnípřípady harmonicý ch signálů. Urč ee jejich ampliudy, mioč y a počáeč níáze. (Viz aé obr..4) u = 5V = 5cos. + V ampliuda = 5V, mioč e rad/s, áze. a) ( ) ( )[ ] b) = 5V = 5 ( + 8 )[ V] cos. ampliuda = 5V, mioč e rad/s, áze 8. a) = ω b) = 8 C C ω Obr..4. Sejnosměrný signál jao zvlášnípřípad harmonicé ho signálu pro nulový mioč e. & Poznae z příladu: Sejnosměrný signá l C > (C < ) je zvlášním případem harmonicého signá lu o ampliudě C, počá eční á zi = ( = 8 ) a mioču Ω = rad/s. r.5. Rozlože signál = 5cos( ω 3 )[ ] V na sinovou a osinovou složu. s( ) = 5cos( ω 3 ) 4, 33cos( ω ), 55sin( ω ) Obr..5. Rozlad harmonicé ho signálu na sinovou a osinovou složu. Použiírozladové ho vzorce ( ) cos α + β = cosα cosβ sinα sin β PDF byl vyvořen zušebníverzífineprin pdfacory hp://www.ineprin.cz
. Signá ly se souvislým časem nebo přepoč ový ch vzahů (.5): u = 5cos ω 3 = & 4, 33cos ω +, 55sin ω V. & Poznae z příladu: ( ) ( ) [ ] Harmonicý signá l o mioču ω a obecné počá eční á zi se slá dá ze sinového a osinového signá lu o sejných miočech ω. r.6. Urč ee ampliudu a počáeč níázi harmonicé ho signálu, znáe-li jeho sinovou a osinovou složu: u = sinω 5cosω V. ( ) [ ] Použiípřepoč ový ch vzahů (.5): Acosω + Bsinω = C cos ω + ; A = 5V, B = V, C =?, =? ( ) C = A + B = 9 = & 5, 385V, ( B) ( ) = arcg + π = arcg + π = & 3, 5 rad = &, 8. A 5 ( ) & Poznae z příladu: Součem harmonicých signá lů o sejných miočech je opě harmonicý signá l o oméž mioču. r.7. Vyjádřee signál z př..6 dvojicíproi sobě roujících veorů. j jω j jω j,8 jω j,8 jω ( ) = cos ( ω + ) = + = &, 693 +, 693 [ ] u C C C e e e e e e e e &c &c V. ω &c A = 5 C u( ) &c * B = ω se měníharmonicy v mezích < C, C > Obr..6. Veorové vyjádření Obr..7. Vzah roujících veorů a oamžié harmonicé ho signálu. hodnoy. PDF byl vyvořen zušebníverzífineprin pdfacory hp://www.ineprin.cz 3
Sysémy, procesy a signá ly I - sbíra příladů r.8. Vyřeše př..6 s využiím omplexních oeicienů &c. signál ( ω ) sinω = cos 9 5cosω sinω 5cos ω = & ( ω ) ( ω )[ ] = &., 693cos +, 8 = & 5, 385cos + 8, V oeicien &c j9 e = j 5 e j =, 5 j, 5 = &, 693e j,8 r.9. Nareslee sperum ampliud a ázíharmonicé ho signálu z př..6 u = sinω 5cos ω = & 5, 385cos ω +, 8 V. ( ) ( )[ ] [ ] j,8 c& =, 693e V c& = c =, 693 V, =, 8, osaníoeicieny jsou nulové. Sejnosměrná složa je nulová: U = V. Ampliuda.harmonicé složy: U = c = 5, 358V. Fá ze.harmonicé složy: ( ) = arg c & = 8,. Graicé zná zorněníoeicienů Fourierovy řady (oo nenísperum) c& Sperum ampliud a poč á eč ních á zí U - 3 4...... F - 3 4...... F Obr..8. Koeicieny Fourierovy řady a sperum. Poznay z příladu: a) Koeicieny Fourierovy řady &c jsou jen prosředem výpoču harmonicých slože signá lu. Přepoče je jednoduchý: Sejnosměrná složa = &c = c ; Ampliuda -é harmonicé = &c = c, > ; Počá eční á ze -é harmonicé = arg ( &c ). Koeicieny &c jsou ormá lně deinová ny i pro <. Pa plaí c& = c&. PDF byl vyvořen zušebníverzífineprin pdfacory hp://www.ineprin.cz 4
. Signá ly se souvislým časem a) sin( ω ) C b) - C Hz 9 c) V + sin( ω ) C Hz 9 d) C,V,V, cos( ω ) Hz e) V + sin( ω) +, cos( ω ) C,V ) sin( ω) C Hz 9 Hz g) - sin( 3ω ) C Hz 9-3Hz 9 h) sin( ω ) + sin( 3ω ) C - Hz 3Hz 9 Obr..9. Přílady periodicý ch signálů a jejich speer. PDF byl vyvořen zušebníverzífineprin pdfacory hp://www.ineprin.cz 5
Sysémy, procesy a signá ly I - sbíra příladů b) Signá l z příladu se slá dá z jediné harmonicé složy (jedna dvojice čar), je o edy jednoduchý harmonicý signá l. c) Kmioče harmonicého signá lu je dá n polohou sperá lních čar na miočové ose. Pomalejší, resp. rychlejší signá ly budou mí sperá lní čá ry umísěny blíže, resp. dá le od počá u. d) Výša ampliudové sperá lní čá ry přímo udá vá velios ampliudy signá lu. e) Souřadnice á zové sperá lní čá ry přímo udá vá velios počá eční á ze signá lu. Sperálníreprezenace signálu je univerzálnív om, že ji lze rozšíři i na neharmonicé signály. Sládá-li se signál z více harmonicý ch slože, můžeme ze spera zjisi jejich poč e a inormace o jejich paramerech. r.. Nač rněe spera ampliud a ázísignálů na obr..9. Viz obr..9. & Poznae z příladu: Slá dá -li se periodicý signá l z harmonicých slože na miočech F a F, pa opaovací mioče signá lu F musí vyhovova rovnici F = F, F = F, a jsou přirozená čí sla. Opaovací mioče se pa určí z dané rovnice pro nejmenší možná čí sla a, erá ješě rovnici vyhovují. Poud není možné naléz čí slo F pro žá dnou ombinaci přirozených čí sel a, není výsledný signá l periodicý (je vaziperiodicý). r.. Nač rněe ampliudové a ázové sperum periodicé ho sledu obdé lníový ch impulsů na obr... i U m i i Obr... Analyzovaný periodicý signál. a) Nalezeníoeicienů Fourierovy řady. b) Vý poč e ampliud a ázíharmonicý ch slože. c) Náčr spera. ad a) Nalezeníoeicienů Fourierovy řady &c Signál je sudá unce č asu bude obsahova pouze osinové složy B =, A = C, = A. PDF byl vyvořen zušebníverzífineprin pdfacory hp://www.ineprin.cz 6
. Signá ly se souvislým časem A i C ( ) u d = = = U d = U + i i max max A i sejnosměrná složa U = = U max. > : i i sin Ω U max i U maxi A = d = U d = = cos Ω max cos Ω sin Ω. Ω i i Ω Obecně U maxi i U maxi i A = C = sinc Ω, c& = sinc Ω, =,,,.., de sin( ) pro ( ) sinc( ) = ( ) je zv. vzorovacíunce. pro ( ) = ad b) Vý poč e ampliud a ázíharmonicý ch slože Sejnosměrná složa U A i = = c = U max. U maxi i Ampliuda -é harmonicé U = A = c& = sinc Ω. i pro sin Ω >, i Fá ze -é harmonicé = π pro sin Ω <, i libovolná pro sin Ω =. ad c) Náčr spera - viz obr... & Poznay z příladu: a) Sperá lní čá ry obdélníového signá lu z příladu pro obecný poměr / i zísá me ao: Ampliudové sperum Vypočeme / i [Hz] a zísá me mioče, dy obá la sperá lních čar ypu sinc(x) poprvé projde nulou. Vypočeme U max i / [V] a zísá me maximá lní souřadnici obá ly pro mioče =. Načrneme obá lu sinc(x) sperá lních slože. Maximum. lalou je asi % maxima.lalou (viz obrá ze ampliudového spera). Na miočovou osu vyneseme značy na miočech F, F, 3F,.., de F = / je mioče.harmonicé složy. Značy proá hneme až obá lce (výjima - sejnosměrná složa je jen do poloviny cesy obá lce) a zísá me sperá lní čá ry ampliudového spera. Fá zové sperum Fá ze je buď nebo ±π rad (±8 ) podle oho, ja se sřídají laloy, v nichž se sperá lní čá ry nachá zejí. Je-li něerá z harmonicých nulová, pa nemá smysl hovoři o ázi sperá lní PDF byl vyvořen zušebníverzífineprin pdfacory hp://www.ineprin.cz 7
Sysémy, procesy a signá ly I - sbíra příladů složy, erá neexisuje. Proo ve á zovém speru použijeme speciá lní zna, např. x. Uvedený posup náčru spera musí bý mírně modiiová n, bude-li obdélníový signá l z příladu posunu ze zá ladní polohy v hodnoá ch nebo v čase. b) Je-li poměr opaovací periody a šířy impulsu celé čí slo,.j. = n, i pa ve speru vymizí aždá n-á harmonicá. oho lze využí přesnému nasavová ní šířy impulsu pomocí sperá lního analyzá oru. U m i U U m i 3 4 5 6 7 8 9 Ω π 4π Ω 3Ω 4Ω 6Ω 7Ω 8Ω 9Ω Ω i i F F 3F 4F 6F 7F 8F 9F F π Ω i i F,% z U m i 3 4 5 6 7 8 9 π 4π Ω Ω 3Ω 4Ω 6Ω 7Ω 8Ω 9Ω Ω Ω i F F 3F 4F 6F 7F 8F 9F F i i i F Obr... Sperum ampliud a počáeč ních ázíobdé lníové ho signálu z obr.. pro / i = 5. r.. Vypoč ěe ampliudy a počáeč níáze prvních harmonicý ch slože signálu na obr... 3 4 5 9 [ ms] Obr... Analyzovaný periodicý signál. π U m =, i =, = 5ms F = = Hz; Ω = πf = ; 8 PDF byl vyvořen zušebníverzífineprin pdfacory hp://www.ineprin.cz
. Signá ly se souvislým časem / i = 5 ve speru vymizí5.harmonicá složa a jejíceločíselné násoby; sejnosměrná složa: U = U m i / =,V; U mi & i π i c = sinc Ω =, sinc =, sinc(, π ); U = C, U = c&, >. &c [ V ] &c [ V ] arg ( &c ) = [ rad ] U [ V ],,,,87,87,374,54,54,37 3,9,9,8 4,468,468,935 5 x 6 -,38,38 π,637 7 -,435,435 π,4649 8 -,3784,3784 π,7568 9 -,79,79 π,458 x M M M M M U m i =,4 U [V],,,4,6,8,,4,6,8, [Hz] [rad] π,,4,6,8,,4,6,8, [Hz] Obr..3. Sperum signálu z obr... r.3. Vypoč ěe eeivníhodnou signálu z př.., sousředěnou v mioč ové m pásmu a) Hz, b) Hz, c) Hz, d) Hz. Použijeme Parsevalův eoré m. U + U + U 3 + U 4 a) U e, = U + = &, 449 V, b) U U5 + U 6 + U 7 + U 8 e, = e, e = &, 97 V,8% z U (,8% z U ), PDF byl vyvořen zušebníverzífineprin pdfacory hp://www.ineprin.cz 9
Sysémy, procesy a signá ly I - sbíra příladů 9 U c) U e, = U + = U e, + U e, = &, 43586V, d) U e ( ) = u d = d = = &, 447 V, 3 3 5. 5. 3,5. 3 3,5. Jina U e = U + U, neznáme dalšíharmonicé, proo & Poznay z příladu: V. lalou spera, j. do mioču / i, je sousředěno asi 95% výonu celého signá lu. Chceme-li sdělovací sousavou přenés obdélníový signá l bez podsaného zreslení, musí bý sousava schopna přenés na svů j výsup co nejvíce sperá lních slože bez úlumu, alespoň do mioču / i. r.4. Co se sane se sperem signálu z obr.., zúží-li se šířa impulsu na /? Viz obr..4 [ V] [ V] 3 4 5 6 [ ms] 3 4 5 6 [ ms],5ms U mi =,4, U [ V] U mi =,, U [ V],,4 [ Hz],,4 [ Hz] [ rad] π [ rad] π,,4 [ Hz],,4 [ Hz] Obr..4. Vliv zúženíimpulsů na sperum. & Poznay z příladu: a) Při zužová ní impulsů rose šířa.lalou / i, sperá lní čá ry zaniají pozvolněji. Jsou menší než u širších impulsů, proože v užších impulsech je sousředěn menší výon. b) Obvod přená šející úzé impulsy musí bý schopen přenáše bez úlumu vyšší sperá lní složy než při zpracová ní širších impulsů. c) Obecná zá onios: rá é impulsy - široé sperum. Poznáma: v příladu.9 provedeme upřesněníposledního vrzení. PDF byl vyvořen zušebníverzífineprin pdfacory hp://www.ineprin.cz