5. Na klasickou šachovnici (levý dolní roh má souřadnice A1) 8x8 umist ujeme kostičky 1x3, dokud

Podobné dokumenty
5. Na klasickou šachovnici (levý dolní roh má souřadnice A1) 8x8 umist ujeme kostičky 1x3, dokud

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Cykly a pole

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost.

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000

Návody k domácí části I. kola kategorie C

66. ročníku MO (kategorie A, B, C)

tabulku. Takových políček nám vyjde 6, proto součet všech čísel bude 6.1 = 6

101 Střední škola, město Zadání - Náboj 2008 Úloha 1. Kolik různých trojúhelníků s celočíselnými délkami stran má obvod 7? Které to jsou?

Návody k domácí části I. kola kategorie B

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ZADÁNÍ NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

Návody k domácí části I. kola kategorie C

3. Provaz o délce 10 m je náhodně roztřižen na tři kusy. Jaká je pravděpodnost, že alespoň jeden z kusů

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

Návody k domácí části I. kola kategorie A

CVIČNÝ TEST 27. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

2) Přednáška trvala 80 minut a skončila v 17:35. Jirka na ni přišel v 16:20. Kolik úvodních minut přednášky Jirka

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 6. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je = + 444

Úlohy domácího kola kategorie B

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

MATEMATIKA. 2Pravidla správného zápisu odpovědí. 1Základní informace k zadání zkoušky DIDAKTICKÝ TEST. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

11 Vzdálenost podprostorů

Internetová matematická olympiáda listopadu 2008

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Řešení najdete na konci ukázky

Test Matematika Var: 101

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

APLIKACE. Poznámky Otázky

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

čtyřicet ponožek od jedné barvy a po třech ponožkách od všech ostatních, tedy celkem = 58

10. Hraje se poker (4 13 karet): Kolika způsoby lze hráči rozdat pět karet, aby neměl v ruce více než tři karty jedné barvy?

CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a

65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Pardubice, dubna 2016

c jestliže pro kladná čísla a,b,c platí 3a = 2b a 3b = 5c.

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2017

CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13

CVIČNÝ TEST 17. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Úlohy domácí části I. kola kategorie A

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

1. Opakování učiva 6. ročníku

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

kombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

Extrémy funkce dvou proměnných

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

Kulová plocha, koule, množiny bodů

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úvodní opakování, Kladná a záporná čísla, Dělitelnost, Osová a středová souměrnost

Syntetická geometrie II

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

Základní geometrické tvary

Vzorce počítačové grafiky

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Matematický KLOKAN kategorie Kadet

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Jednoduché cykly

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Matematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1

Šablona pro zadávání otázek pro přijímací řízení pro akademický rok 2009/2010

Transkript:

1. Mějme tabulku, součet čísel v libovolném řádku, sloupci i úhlopříčce je stejný. Navíc čísla jsou kladná a neopakují se. Jaký je nejmenší možný součin čísel na hlavní diagonále v následující tabulce: 18 5 8 9 4 15 Řešení 1 10920 2. Náhodně vybereme tři přirozená čísla od 1 do 1000. Jaká je převrácená hodnota pravděpodobnosti, že všechny tři čísla budou tvořit aritmetickou posloupnost. Řešení 2 666 3. Je dán čtyřstěn ABCD s objemem 2048. Uvnitř čtyřstěnu je bod P. Dále necht S A, S B, S C, S D jsou po řadě těžiště čtyřstěnů P BCD, P CDA, P DAB, P ABC. Určete objem čtyřstěnu S A S B S C S D Řešení 3 32 4. Najděte všechny dvojice celých čísel (x, y) splňující, že existuje prvočíslo p a pro které platí x 2 3xy + p 2 y 2 = 12p. (Výsledek zadejte jako součet všech x y ) Řešení 4 24 5. Na klasickou šachovnici (levý dolní roh má souřadnice A1) 8x8 umist ujeme kostičky 1x3, dokud nám nezbyde jedno políčko volné. Jaké souřadnice toto políčko může mít? Výsledek zadejte jako posloupnost dvojic písmenočíslo seřazených primárně podle abecedy a sekundárně číselně. Příklad odpovědi: A3A4B2D1D6 Řešení 5 C3C6F3F6 6. Alenka sedí v kolečku. Kolem sebe má 10 svých plyšáčků a přemýšlí s kterými může spát v náručí. Jedinou podmínkou je, že každá náruč plyšáčků musí být ňuňavá. Náruč plyšáčků je ňuňavá pokud v ní je alespoň jedna trojice plyšáčků, kteří seděly v kolečku vedle sebe. Kolik má Alenka možností, jak si vybrat plyšáčky? Řešení 6 581 7. Je dán čtyřuhelník ABCD takový, že DAB = 60, ABC = 90 a BCD = 120. Dále necht S je průsečík jeho úhlopříček a BS = 1, SD = 2. Najděte obsah ABCD. Řešení 7 4.5 8. Je zadána operace a b = a+ab 3b (POZOR, pokud a nebo b je ve tvaru c d, je třeba psát závorky, obecně totiž (a b) c a (b c)). Najděte způsob, jak zapsat číslo 18 pouze pomocí čísla 2, (, ) a, který obsahuje nejméně znaků. Řešení 8 (2.2).((2.2).2) 1

9. Na kružnici umístíme náhodně dva body. Jaká je pravděpodobnost, že jejich vzdálenost nebude větší než poloměr této kružnice. Řešení 9 1/3 10. Najděte největšího společného dělitele všech čísel tvaru p 8 1, kde p je prvočíslo větší než 5. Řešení 10 480 11. V bodě A krychle ABCDEF GH o straně 6 svítí zdroj světla. Dále je v krychli čtverec s vrcholy ve středech svislých stěn. Najděte obsah stínu, který vrhá čtverec na stěny krychle. Řešení 11 42 12. Určete posledních šest číslic čísla 5 678901234. Řešení 12 890625 13. Najděte největší přirozené číslo x splňující x xx < 4 444 Řešení 13 80 14. Je dána funkce f : R\{0} R splňující xf(x) + x 2 f( x) = x 2 + 1. Určete f(100). Řešení 14 1.01 15. Vánoce se blíží a Kouma se rozhodl, že nakoupí dárky během následujících n dnů. První den koupil jeden dárek a jednu sedminu zbývajících dárků. Druhý den koupil dva dárky a jednu sedminu zbývajících dárků a pokračoval tímto způsobem. Poslední den koupil n zbývajících dárků. Kolik dárků Kouma nakoupil? Řešení 15 36 2

16. Operace + na mnoz ine pı smen {M, A, T, H, R, C, E} je zada na additivnı tabulkou: S kaz dou operacı a + b, je tr eba psa t za vorky a jednoznac ne tak urc it prvky operace, obecne totiz (a + b) + c 6= a + (b + c). Jake ru zne vy sledky mu z eme dostat ru zny mi uza vorkova nı mi vy razu M + A + T + H + R + A + C + E? Zada vejte velky mi pı smeny ser azeny mi podle abecedy a bez mezer. R es enı 16 ACEMRT 17. Na 3D hodina ch obı ha minutovka ve svisle rovine, hodinovka v rovine rovne z svisle, ale kolme k te minutovkove. (Perioda obe hu ruc ic ek je jako u standardnı ch pr esne jdoucı ch hodin.) Jaky je nejkrats ı (nenulovy ) interval (v minuta ch) mezi dve ma okamz iky, v nichz svı rajı ruc ic ky u hel 60? R es enı 17 2.65019 18. Najde te nejmens ı c ı slo, ktere zac ı na jednic kou, a kdyz jednic ku pr esuneme na konec tohoto c ı sla, zve ts ı me ho tı m tr ikra t. R es enı 18 142857 19. Me jme 4ABC a pro jeho u hly platı cos(3α) + cos(3β) + cos(3γ) = 1. Dve strany troju helnı ku majı de lku 10 a 13. Druha mocnina maxima lnı de lka poslednı strany je pr irozene c ı slo, jake? R es enı 19 399 20. Najde te c ı slo 2016 (Ve forme uspor a dane dvojice (r a dek.sloupec) ) v na sledujı cı m uspor a da nı pr irozeny ch c ı sel. 1 3 6 10 15... 2 5 9 14... 4 8 13... 7 12... 11... R es enı 20 (1.63) 3

21. Kružnice k o poloměru r má dvě rovnoběžné tečny s a t. Dotýká se jí kružnice l o poloměru 49, která se rovněž dotýká tečny t a kružnice m o poloměru 64, která se také dotýká tečny s. K tomu se l a m dotýkají. Všechny dotyky jsou vnější. Najděte r. Řešení 21 112 22. Karel, Lukáš a Marek čekají na výplatu. Karel má dostat 15 zlat áků, Lukáš 10 a Marek 12. Výplatčí rozděluje zlat áky po jednom. Náhodně si vybere jednoho z nich (který ještě nedostal tolik, kolik žádá) a dá mu minci. Toto opakuje než rozdá 30 zlat áků, poté usne. Jaká je pravděpodobnost, že Karel nedostane zaplaceno celou částku? Řešení 22 1128/1147 23. Máme klasickou šachovnici 8 8 s očíslovanými řadami 1 až 8 a jednoho střelce. Střelec se pohybuje obvyklým způsobem s tím rozdílem, že z řady a musí táhnout do řady b < a. Kolik je možností, jakými se střelec dostane z libovolného bílého pole 8. řady (tj. sečtěte možnosti ze všech těchto polí) na jakékoliv bílé pole 1. řady? Nezapomeňte, že stejnou cestu je přitom možno projet více možnostmi. Řešení 23 2739 24. Necht N je 3-ciferné přirozené číslo tvořené různými nenulovými číslicemi. Jaký nejmenší výsledek můžeme dostat, když N vydělíme jeho ciferným součtem? Řešení 24 10.5 25. Necht n N je sudé. Napište hodnotu součinu x 1 x 3... x n 1, kde x i je kořenem polynomu x n + 2x n 1 + 3x n 2 + + 2x + 1 a x 1 x 2 x n, pro n = 2016. Řešení 25 1 26. Je dán trojuhelník ABC a bod D jako průsečík osy úhlu BAC a úsečky BC. Pokud AD + AB = CD a AC + AD = BC, jaké jsou velikosti úhlů trojuhelníku ABC postupně při vrcholech A, B a C ve stupních? Řešení zadejte ve formě (úhel.úhel.úhel) Řešení 26 (120.40.20) 27. Číslo x a x 2 dávají stejný čtyřciferný zbytek po dělení číslem 10000. Jaký? Řešení 27 9376 28. Toník se dívá na kouli o průměru 10 cm ze vzdálenosti 50 cm (měřeno od středu koule do středu úsečky spojující jeho oči, které mají zanedbatelnou velikost). Toníkovy oči jsou od sebe vzdáleny 8cm. Jak velkou plochu povrchu koule v centimetrech čtverečních celkem vidí (alespoň jedním okem)? Řešení 28 153.94 29. Kolika způsoby můžu zaplatit částku 2016 korun, pokud mám k dispozici neomezený počet jednokorun, pětikorun a desetikorun. Řešení 29 41006 30. Najděte počet všech trojciferných čísel xyz takových, že 2019-ciferné číslo xyzxyzxyz... xyz je dělitelné číslem 91. Řešení 30 9 4

31. Určete objem tělesa s touto sítí, kde a = 1. Řešení 31 mathrace.png 32. Uvažme číslo 0, a01ba01ba01..., kde a, b jsou nějaké číslice. Toto číslo lze vyjádřit ve tvaru 224/n, n N. Zapište součet a + b + n. Řešení 32 1119 33. Mějme posloupnosti (a 0, a 1,...), (b 0, b 1,...) definované rekurentními vzorci a 0 = 1, a n+1 = 2 an, b 0 = 1, b n+1 = 6 bn. Najděte přirozené číslo n, pro které platí b n a 100 b n+1. Řešení 33 97 34. Uspořádaná dvojice (m, n) nezáporných celých čísel je pěkná, pokud sečtení čísel m a n v desítkové soustavě nevyžaduje přenos přes desítku. Najděte počet pěkných uspořádaných dvojic (m, n) takových, že m + n = 1492. Řešení 34 300 35. Jsou dvě kružnice k a l s poloměry 8 a 6 v rovině se vzdáleností středů 12. V bodě A, jednom bodu z průsečíků k a l, vedeme přímku p tak, že tětivy QP a P R mají stejnou délku, kde Q leží na k a R na l. Najděte druhou mocninu délky QP. Řešení 35 130 5

36. Necht P 0 (x) = x 3 + 313x 2 77x 8 a P n (x) = P n 1 (x n) pro n N. Jakej je koeficient u členu x v polynomu P 20 (x). Řešení 36 763 37. Rozložte číslo abbcabbcabc = a 10 10 + b 10 9 +... + 10b + c na součin prvočísel a čísla, jehož cifry jsou a, b nebo c (logická disjunkce), pokud víte, že a+c = b. Součin napište ve tvaru p 1.p 2... p n.f(a, b, c), kde p 1 p 2 p n, n 1 a kde f(a, b, c) je číslo s ciframi a,b a c. Řešení 37 29.181.21149.ac 38. Náhodně vybereme ze šachovnice 8 8 3 políčka, jaká je pravděpodobnost, že budou tvořit písmeno L. Řešení 38 7/1488 39. Dva reálné kořeny p a q funkce f(x) = x 3 +ax+b, a p+4 a q 3 jsou kořeny g(x) = x 3 +ax+b+240. Jaký je součet všech přípustných hodnot b. Řešení 39 420 40. Najděte největší přirozené číslo n pro které lze n! vyjádřit jako součin n 3 po sobě jdoucích přirozených čísel. Řešení 40 23 41. Kolik uspořádaných čtveřic (x, y, z, w) přirozených čísel menších než 500 splňuje x + w = y + z a yz xw = 93? Řešení 41 870 42. Necht M = {a 1, a 2,..., a n } je podmnožina celých čísel a je zadána operace a b = a + ab 2b (POZOR, pokud a nebo b je ve tvaru c d, je třeba psát závorky, obecně totiž (a b) c a (b c)). Necht n je nejmenší přirozené číslo, pro které platí, že libovolné celé číslo se dá napsat pouze pomocí a 1, a 2,..., a n, (, ) a (příklad zápisu: 22 = (3 4) 3, kde 3 a 4 jsou prvky M). Najděte taková a 1, a 2,...a n, aby absolutní hodnota ze součinu a 1.a 2...a n byla co nejmenší. Prvky vypište od nejmenšího po největší ve tvaru a 1.a 2.....a n. Řešení 42-1.1 43. Postavme figurku na číslo 1 odpovídající kombinační číslu ( 0 0) v Pascalově trojúhelníku. Krokem rozumíme přesun figurky z čísla odpovídajícího ( ) ( n k na jedno z čísel odpovídajících n+1 ) ( k a n+1 k+1). Na jaké největší číslo se může figurka dostat po provedení m 20 kroků, přičemž čísla před a po jednotlivém kroku se mohou lišit maximální o (20 m) 2? Řešení 43 220 44. Pro přirozené číslo n necht f(n) je součin nenulových číslic desítkového zápisu čísla n (Pokud je n jednociferné, pak f(n) = n). Dále necht F = f(1) + f(2)... f(999). Jaký je největší prvočíselný dělitel čísla F? Řešení 44 103 45. V kartézské soustavě souřadnic body (0, 0), (x 1, 11) a (x 2, 37) jsou vrcholy rovnostranného trojúhelníku. Najděte hodnotu čísla x 1 x 2. Řešení 45 315 6