.9. Eponenciální funkce Předpoklad: 7 Funkce, které už známe: 5 =, =, =,. = =, = =, = =, 3 3 = =, = =, ( 9 = 3, protože 3 = 9. Odmocnina je inverzní k mocnině a proto ověřujeme hodnot odmocnin pomocí mocnění) 7 7 3 = =, = =, 3 Dokázali bchom spočítat s libovolnou přesností i bchom 0 =, 00 =, 000 =, atd ). = (,... počítali Kdž to shrneme: U všech uvedených funkcí měníme číslo, které umocňujeme (základ mocnin, mocněnec), číslo, na které umocňujeme (eponent, mocnitel), zůstává stejné. Umíme umocnit na libovolné reálné číslo. Zkusíme to obrátit. Pořád stejné číslo (třeba dvojku) budeme umocňovat na různá čísla () získáme funkci =. Protože dokážeme umocnit na libovolné reálné číslo bude D ( ) Př. : Doplň tabulku s hodnotami funkce =. -3 - - 0 3 = R. -3 - - 0 3 3 = 8 = = 0 = = = 3 = 8 Pedagogická poznámka: Bohužel se skoro s jistotou objeví několik jedinců, kteří zapomněli na umocňování a budou počítat =, =, Je potřeba je rchle odhalit a zlikvidovat.
Př. : Pomocí tabulk nakresli graf funkce =. Svůj obrázek ověř pomocí libovolného matematického programu. 0 8 6-0 -8-6 - - - 6 8 0 - -6-8 -0
Př. 3: Doplň do tabulk hodnot funkce = pro uvedená v tabulce. Pro každou hodnotu nejprve odhadni hodnotu a poté ji urči pomocí kalkulátoru s přesnosti na tři desetinná čísla. Získané hodnot vužij k zakreslení do grafu funkce. π 3 Odhad 0 < < 0 < < < < π 3 3 < π < π < < π 8 < < 6 3 < 3 < < < 3 < < 3 3
=, 8,85 Získané bod jsou v grafu znázorněn oranžově. 0 8 6 π 3 0,30-0 -8-6 - - - 6 8 0 - -6-8 -0 Př. : Pomocí grafu a tabulk urči vlastnosti funkce = D ( f ) = R (dvojku dokážeme umocnit na cokoliv) H ( f ) = ( 0; ) (výsledk umocňování dvojk musí být vžd kladné, protože umocňujeme kladné číslo) Funkce je rostoucí v R. Funkce je zdola omezená, není shora omezená, nemá maimum ani minimum. Funkce není ani lichá ani sudá. Funkce prochází bodem [ 0; ] (proč je to důležité, uvidíme příští hodinu). Eponenciální funkce je nejen rostoucí, ale dokonce nejrchleji rostoucí funkcí. Zkusíme si 00 porovnat funkce = (ta roste hodně rchle) a = (občejná eponenciální funkce). Nejdříve si nakreslíme graf = : 00 = a
Z grafů nevpadá, že b funkce Zkusíme počítat hodnot: = 0 00 = = Zdá se to jasné, = 00 00 = = = 500 00 = = měla moc šancí 00 = předběhnout. 00 0 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0 0 = nemá šanci. 00 00 00000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000 00 676506008909670305376 00 500 78886090508057856587869673063509030 077078930660650000000000000000000000000000000000 5
= 0000000000 500 373390607896870038969687599566060306 78983936809633796067558837009359057508 8668756007009756558853930533857589376 Že b se funkce = 000 00 = = přece jenom chtla? 00 000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000 = 000 075086078667309850906000805608705533 6073750388370350593693983788569585875 96797553685875856930359857757698578 039356777830985076050637877958530 6798358967398767559655396077069579677 68656766098365638683705668069376 Hodnota funkce = 000 00 = = = je už více než 0 větší!!! 00 000 676506008909670305376000000000000000000000 0000000000000000000 000 8306957553833077689803770088695 00776736857666393703385665986365066998 59663898767737896086305533593356666538 5399989538000068877980087896990063 867865636638836397370600663539709099655 863988089696056336953669703368368 9089858505603798807905890093776500900767 066583050083368976678833706598995396 8707798580059853835508893390099055 957783589670396008957663058755380558376055 83878693055089575783886575355880088 770879655376885909376 00 = se stává outsider. Z funkce = 0000 00 00 = 0000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000 6
7 = 0000 995063688075838883766835850838396838869 585008998593883096639996680369597899 3393097556939378759378593096339 578557300679379567656556605989550550086989 335508608606806855090786608968880908989 8380095396335785065683097390556938806550 96638706759876698553868538669357756 960768368807607385350967683956385896963 89908096053667806673333903655565695306 036803969003359336655997773796657756067 5803079998796073785683768003730885875 90083658565055799608339657358839570 953797699778008695773567306087578363550 783378970703738086639303833069567 690570696533638808856730507399596 7965030998607083080760593306689889 655838065367389587563508975503 33800936095759667560005858566070968 67065506906300867590867090057606785695 95605506855006007598689805937805 788079063955833998707073637676086630 3377870603980339733936567005636993755508 78097809839303578775768509857769379633 599399876886660808368837838076387757736575 7778938973380866073539978309760 7889656977589865358335959867830885 0683766908869050758088658396985770070 33058307586903939606030973565830867059330 0903758355397539397755755905030973 60753785707757398638989830756937955666386 8756999790657037036333587379398 983858733070968850050797783655057863 50008598783897398699508336588070395989 858557797736969878359837830087987 8580389078509058687360577759765375 68775690589099608630085355833083009876 75856333538955097563008887566635686883 359637037793009566935350006780773837 7553760676898636037909667855705075909800 6789880787959533889508307590889550 67666838969799688663633376393903373558007636 787770553857399908668969658658530 936997776306955687688760036777577378 365336968807966988870986366076855639 8605360978755757973856369693087896598 7008050336596886903573936833839359756 87338505097076395395909959856573363656 936039937969999678733580386657599 357587500899839368659880889603367377 68086357056880586397985387563865560536 96608963570883656755333830370090976686 505685575750556775889999733769099683 5750077865057389557509033085308738835 07305339038608036763703955063978900078 5367968090377975333068368795868580379586 900807895537985768985865097088807
7757688359750097350809890558036869 978736063068639568773079596709376 00 Nezbývá než konstatovat, že funkce = je v porovnání s funkcí =, co se týká rchlosti růstu, totální loser. Pedagogická poznámka: Souboj funkcí počítáme na živo pomocí programu MuPAD. Pedagogická poznámka: Následující příklad pojímám jako polopísemku. Jsou k dispozici dvě sad zadání (každé pro jedno oddělení). Student, kteří za 5 minut nestihnou udělat první dva příklad, mají mínus, studenti, kteří stihnou všechno, mají plus. Př. 5: Nakresli graf funkcí: a) d) g) + = b) + = + e) = h) = = c) = = f) = + = + Pokud uvažujeme f ( ) + = = f ( + ). Zvolíme. Vpočteme +. = f + =. + Nakreslíme funkci: ( ) = Pokud uvažujeme f ( ) = = = f ( ). Zvolíme. Vpočteme. = f =. Nakreslíme funkci: ( ) - - -3-3 5 - - - - -5-3 3 - - = Pokud uvažujeme f ( ) = = f ( ). Zvolíme. Vpočteme. = f =. Nakreslíme funkci ( ) Nakreslíme funkci: = f =. ( ) = + + Pokud uvažujeme f ( ) + = = + = f ( + ) +. Zvolíme. Vpočteme +. = f + =. + Nakreslíme funkci ( ) Nakreslíme funkci: + = f + + = +. ( ) 8
- -6 - - - 0 - - - 0 6 - - - Pokud uvažujeme f ( ) = = f ( ). Zvolíme. Vpočteme. Vpočteme. = = Nakreslíme funkci f ( ) = =. Pokud uvažujeme f ( ) = = f ( ). Zvolíme. = f =. Nakreslíme funkci ( ) = f =. Nakreslíme funkci ( ) = f =. Nakreslíme funkci ( ) - - - -3 - - -3 - - - - - = Pokud uvažujeme f ( ) = = f ( ). Zvolíme. Vpočteme. = f =. Nakreslíme funkci ( ) = f =. Nakreslíme funkci ( ) + = = = f, platí: Pokud uvažujeme ( ) + ( ) = = f +. Zvolíme. Vpočteme +. Nakreslíme funkci f ( ) + = + =. + = + =. Nakreslíme funkci f ( ) 9
- - -3-3 - - - - - - Př. 6: Petáková: strana 30/cvičení 66 f 3, f, f 6 strana 30/cvičení 67 g, g Shrnutí: Funkce s neznámou v eponentu se nazývá eponenciální a je nejrchleji rostoucí funkcí. 0