VYUŽITÍ WAVELETŮ PŘI ANALÝZE ČASOVÝCH ŘAD. TEORETICKÁ ČÁST USING WAVELETS BY TIME SERIES ANALYSIS. THEORETICAL PART Vraslava Mošová Moravsá vysoá šola Olomouc, Úsav nformay a alované maemay vraslava.mosova@mvso.cz Absra: Waveley sou moderní maemacý rosřede, erý se využívá ředevším ř zracování nerůzněších sgnálů. Waveleová ransformace umožňue odděl od sebe aroxmace a dealy sgnálu a a rosředncvím rahování očs sgnál od šumu oř. sgnál omrmova.schonos odlš od sebe aroxmace a dealy lze využí ř analýze časových řad. Př waveleovém rozladu časové řady aroxmace oresonduí se sysemacou složou a dealy zase s nesysemacou složou řady. V ombnac s Boxovým-Jennsovým modely waveleová ransformace ředsavue alernavní násro analýze a rognózování časových řad.článe e zaměřen na eorecou záladnu éo roblemay. Klíčová slova: Časové řady, Boxovy Jennsovy modely, waveley, víceúrovňová analýza, waveleové oefceny. Absrac: Waveles are a recen mahemacal ool ha s used n he sgnal rocessng. Wavele ransformaon gves ossbly o searae aroxmaons and deals of a sgnal and hen by usng resholdng o clear nose from he sgnal or o comress he sgnal. I s ossble o use he ably o dsngush aroxmaons from deals by analyss of he me seres. The wavele aroxmaons corresond o he sysemac ar of he seres and he deals corresond o he non sysemac ar of he seres by sgnal rocessng. The wavele ransformaon n combnaon wh Box-Jenns models reresens an alernave ool for analyss and redcon n me seres. The aer resens he heorecal bass of he corresondng ssues. Keywords: Tme seres, Box Jenns models, waveles, mulresoluon analyss, wavele coeffcens. Úvod Analýza časových řad e ro eonoma důležou čnnosí, roože umožňue odhal záonos, eré funguí v dané řadě. Poud se sávaící odmíny radálně nezmění, lze na záladě zísaných oznaů odhadnou, aým směrem se bude ubíra další vývo řady v neblžším období. Vedle lascých meod vorby regresních nebo Boxových-Jennsových modelů řady lze ř zoumání časových řad využí aé Fourerovu a waveleovou ransformac. Cílem ohoo článu e seznám čenáře s eorecou záladnou ro využí waveleové ransformace ř rognózování časových řad. První čás exu se ýá časových řad a ech zracování rosředncvím Boxovy Jennsovy meodologe (vz [], [5]). Druhá čás e věnována waveleům a ěm 3
vlasnosem waveleové ransformace, eré sou ouželné ř rác s časovým řadam (vz [], [3], [4], [6]). Časové řady. Časové řady a orelogramy Časovou řadu můžeme vymez ao množnu chronologcy usořádaných hodno řady určého uazaele. Hodnoy časové řady budeme znač y, =,,..., T. Budeme ředoláda, že řada se sládá z nesysemacé náhodné složy I a ze sysemacých slože: rendu T (dlouhodobé endence), cylcé složy C (oaue se v nervalu delším než eden ro), sezónní složy S (oaue se v nervalu raším než eden ro). V říadě, že varabla hodno časové řady e zhruba onsanní v čase, můžeme sá y = T + C + S + I. Z různých yů grafcého znázornění časové řady s lze uvoř hrubou ředsavu o ednolvých charaersách řady o eím vývoovém rendu. K zevrubněšímu sudu a slouží meody umožňuící sesav maemacý model, erý odovídá dané řadě. Jedním ze zůsobů, a aový model vyvoř, e využí Boxovy-Jennsovy meodologe. Boxovy-Jennsovy modely se onsruuí ro saconární rocesy,. aové časové řady, eré maí ro všechna onsanní sřední hodnou onsanní rozyl a echž orelační ovaranční funce sou závslé ouze na časové vzdálenos náhodných velčn. Konsruované modely se oíraí o nformace zísané z orelogramů. grafů rezduální auoorelační funce (ACF) a arcální auoorelační funce (PACF) se zožděním. Auoregres - ého řádu defnueme vzahem y φ y + φ y +... + φ y + a, = ve erém φ ředsavue arcální regresní oefcen a a e velčna neorelovaná s hodnoam y, y,..., y +. Zaímco ACF vyovídá o rozsahu lneární závslos mez y a y, erá může bý ovlvněna orelací s velčnam y, y,..., y +, PACF odává nformac o rozsahu lneární závslos od vlvu velčn y, y,..., y + očšěnou. V grafech ACF se na ednu osu vynášeí zoždění a na druhou osu hodnoy výběrové auoorelace T ( y y)( y y) r =, ( y y) = T ro y = y, =,,..., T. V grafech PACF se na vodorovnou osu vynášeí ednolvá T = zoždění a na svslou osu hodnoy výběrové arcální auoorelační funce, = = =, = f, f, f,, =,,..., f r de f. f, f r r,, 4
. Boxovy-Jennsovy modely V roce 976 Box a Jenns navrhl nový násro ro analýzu časových řad - model ARIMA. Uveďme s ednolvé záladní yy rocesů, ze erých se ARIMA sládá, yy, eré sou rozšířením modelu ARIMA. B y AR() - auoregresní model řádu má odobu y φ y + φ y +... + φ y + a, = a zde zasuue bílý šum. Poud B e oeráor zěného osunuí, ro erý laí = y, e možné ředchozí vzah řesa na var φ ( B) y = a, φ ( B) = ( φb... φ B ). Uvažovaný roces e saconární, eslže ořeny olynomu φ (B ) leží vně ednoového ruhu. V říadě, že sřední hodnoa rocesu µ 0, e roces AR() osán vzahem y = c + φ y + φ y +... + φ y + a, c = µ φ y φ y... φ y. Proces AR() s amaue roů zě, de byl, a od oho se aé odvíeí další redované hodnoy časové řady. MA(q) - roces louzavých růměrů řádu q e určen dferenční rovncí y = a θ a θ a... θ a. + q q Př ouží oeráoru zěného osunuí má uvedený vzah var y = θ B) a, θ ( B) = ( θ B... θ B q ( q Proces e nverblní, dyž ořeny olynomu θ (B) leží vně ednoového ruhu. Proces MA(q) s amaue, de byl a aé ešě dalších q osledních slože bílého šumu. Předověď se děe na záladě odhadu z bílého šumu. ARMA(,q) - ombnovaný roces, erý e osán rovncí y = φ y +... + φ y + a θa... θqa Pomocí oeráoru zěného osunuí e lze sá ve formě φ B) y = θ ( B) a. q q ( q Proces e saconární, dyž ořeny olynomu φ (B ) leží vně ednoového ruhu a nverblní, dyž ořeny olynomu θ (B) leží vně ednoového ruhu. Proces s amaue, de byl, solu q s dalším hodnoam časové řady a qsložam bílého šumu. Předověď e roo ombnací hodno redovaných z auoregresní funce a z odhadů ro bílý šum. Model se oužívá v říadě, dy řada má endenc zůsa blízo dlouhodobého růměru,. ř zracování aových údaů ao sou míra nezaměsnanos, změny v cenovém ndexu, úroové sazby, oměr dluhu HDP frmy. Inegrovaný roces I - nesaconární roces určený rovncí y = δ + y + a, de onsana δ 0 ovlvňue zrychlení nebo zomalení rocesu. Pro δ = 0 hovoříme o rocesu náhodné rocházy. Analýza rocesu se rovádí užím dferencí y = y y. Proces s amaue de e, ale zaomněl, a se sem dosal, a dále se ohybue náhodně. Předověď se realzue řdáním odhadnué hodnoy ) δ e sávaícímu ozorování. Proces se využívá nař. ř modelování chování acových rhů. q q ).. 5
ARIMA(,d,q) - auoregresní negrovaný roces louzavých růměrů řádu, d, q. Model ohoo rocesu ř ouží oeráoru zěného osunuí má var d φ B)( B) y = θ ( B) a. ( q K analýze sudovaného rocesu se řom využívá dference řádu d. Přomeňme s, že dference sou defnovány vzahy d d d y = y y, =,3,..., T,, y = y y, = d,..., T. Model ARIMA(,d,q) se o ransformac omocí dference řádu d chová ao nverblní model ARMA(,q). Proces ARIMA e vhodný alova na hladá, omalu se měnící daa, u nchž se neočeává, že hodnoy zůsanou blízo dlouhodobého růměru. Model se oužívá ř sudu HDP nebo vah ndexu sořebelsých cen. SARIMA(,d,q) (P,D,Q) - sezonní negrovaný roces s délou sezóny s. Př ouží oeráoru zěného osunuí lze model vyádř ve formě s d s D s φ B ) φ ( B)( B) ( B ) y = θ ( B) θ ( B ) a. P ( q Q Zde e řád rocesu AR, d e řád rosé dference, q e řád rocesu MA, s e déla sezónní erody, P e řád sezónního rocesu AR, D e řád sezónní dference a Q e řád sezónního rocesu MA..3 Konsruce modelu Konsruce vhodného modelu časové řady sesává ze ří fází: výběru modelu, ověření modelu a sanovení odhadu dalšího vývoe řady. V rámc výběru modelu ) Odhadneme ze soncového grafu řady, zda e řada saconární a esl obsahue cylcou složu. ) Poud e o nuné, řadu uravíme omocí vhodné ransformace. Nař. lnearzac řady a sablzac rozylu e možné realzova rosředncvím logarmcé ransformace. 3) Výsy cylcé složy včeně eí erody ověříme omocí - erodogramu (grafcého znázornění rozladu řady na snusové vlny s různým frevencem). Výrazné vrcholy v erodogramu uozorňuí na říomnos cylu, ech oče odovídá oču cylů v řadě. Délu ednolvých cylů odhadneme omocí nevyšších hodno v erodogramu; - omocí orelogramů ACF a PACF, oud se v nch vysyuí vzory, eré se erodcy oauí. 4) Na nunos saconarzova řadu usuzueme - z grafů výběrové ACF a PACF, dyž se v rvním zoždění vysyuí hodnoy blízé edné a osaní hodnoy lesaí omalu; - oud sme zsl, že roces má sezonní složu, v grafu ACF se obevuí vysoé hodnoy v nesezónních frevencích a v grafu PACF sou vysoé hodnoy v sezónních frevencích; - z erodogramu, oud se eho výrazný vrchol nachází v nulové frevenc. Saconarzac řady rovedeme rosředncvím dferencování. 5) Rozhodnuí, erý z Boxových Jennsových modelů s vybereme, lze odeří o var grafů výběrové ACF a PACF. Poud ve saconarzované řadě - výběrová ACF má ro > exonencální nebo exonencálně snusodní var a ro výběrovou PACF e φ = 0 uvažueme roces yu AR(); - dyž ro >q v ACF e ρ = 0 a PACF e omezená exonencálním nebo exonencálně snusodním olesem, rozhodneme se ro model MA(q); 6
- dyž ro q> má ACF od zoždění q- exonencální nebo exonencálně snusodní oles a ro >q e PACF od zoždění -q omezená exonencálním nebo exonencálně snusodním olesem, zvolíme ARMA(,q). Př ověřování adevános modelu ARIMA se esování auoorelace nesysemacé složy oužívaí buď hodnoy výběrové auoorelační funce ) ) aa r = ), a (sříšou e označen odhad říslušné velčny) nebo e možné využí Box-Pearsonova esu s esovacím rérem K ) Q = T, r = eré má χ ( K q) rozložení, a esova hyoézu, že auoorelace nesysemacé složy sou nulové. V říadě, že nesysemacá složa není auoorelovaná, esuí se ešě aramery modelu µ, φ, θ omocí -esů ) ) ) µ φ θ µ = ), =, =,,...,, φ ) θ =, =,,..., q. ) S S S µ φ Po ověření modelu e možné řsou e onsruc ředověd omocí odmíněné sřední hodnoy E ( yt + h yt, yt, yt,...). Konréní onsruc ředovědí ro ARIMA model e možné naí v []. K orovnání valy ednolvých modelů valy redce lze využí něerý z následuících yů chyb: Průměrná absoluní rocenuální chyba T ) y y MAPE = 00 T = y růměrná rocenuální chyba T ) ( y y ) MPE = 00 T = y nebo růměrná čvercová chyba T ) MSE = ( y ) y. T = θ. Přílad Na následuících obrázcích sou zachyceny něeré grafcé výsuy z rogramu Sasca, eré byly zísány ř analýze časové řady rerezenuící vývo míry nezaměsnanos v USA v leech 960 až 009. Na Obr.. e soncový graf éo řady 7
Obr.. Soncový graf 0 9 Graf roměnné: nezaměsnanos 0 9 nezaměsnanos 8 7 6 5 4 3 8 7 6 5 4 3 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 55 Čísla říadů Na Obr... sou zachyceny orelogramy říslušné modelu ARIMA(,0,) Obr.. Korelogramy 8
Předověď (rosřední řva v oncové čás grafu) na dalších 5 le s využím modelu ARIMA(,0,) e zachycena na Obr.3. Obr..3 Předověď 9.
3 WAVELETY A WAVELETOVÁ TRANSFORMACE 3. Co sou waveley? Efevním násroem využívaným ř analýze časových řad sou aé negrální ransformace. Fourerova ransformace umožňue omocí erodogramu odhal sezónnos v časové řadě. Waveleová ransformace zase odděl sysemacou složu časové řady od nesysemacé. Waveleovou ransformac lze cháa ao alernavu ransformac Fourerově. Fourerova nx ransformace se odvíí od Fourerovy báze { e }, erá ředsavue v rosoru L (0,π ) sysém n Z dlaovaných a osunuých snusových vln. V říadě waveleové ransformace ožadueme, aby báze onsruovaná v L ( R ) měla odobné vlasnos ao báze Fourerova. Pro eno účel e vhodné ouží funce, erým se říá waveley. To roo, že se daí zobraz ao malé vlny, eré v neonečnu rychle lesaí nule. Podněem e zoumání waveleů byly neenom důvody eorecé (vyvoření báze v rosoru funcí negrovaelných s vadráem), ale důvody racé (zracování sgnálu). První Haarův wavele - byl ouž už v roce 908 s cílem vyvoř orogonální báz v rosoru L ( R ). V roce 984 Morle za omoc waveleu, erý e součnem funce s omaním nosčem (zv. oenní funce) nx a funce e, zavedl soou waveleovou (zv. oénovou) ransformac. V roce 986 zonsruovala Ingrd Doubechová řídu waveleů, eré maí ro daný nosč maxmální možný oče nulových momenů. Tyo waveley a využla ř realzac dsréní waveleové ransformace. Na Obr. 3. sou rvní dva ze zmíněných waveleů zachyceny grafcy. Obr. 3. Haarův a Morleův wavele.0 Haar : Morle: 0.6 0.5 0.4 0..0 0.5 0.5.0.5.0 0.5.0 4 4 0. 0.4 0.6 3. Waveleová ransformace Pro wavele ψ defnueme waveleovou ransformac funce f L ( R) vzahem x-b W ψ(f)(a,b)= f(x)ψ dx, a a de a e šála (měřío) a b e ranslace. Hodnoy W ψ (f)(a,b) ro evně daná ( a, b) se nazývaí waveleové oefceny. V říadě, že ( a, b) R, hovoříme o soé waveleové ransformac. Když a a b sou dsréní hodnoy, mluvíme o dsréní waveleové ransformac. Z důvodu efevy výoču e zvyem olož a =, b =, ro, Z. Waveleová ransformace má a var R ( x ). W, = f(x)ψ dx a R 0
Dsréní reonsruce funce se realzue z ěcho oefcenů omocí dsréní nverzní waveleové ransformace f(x) W ψ ( x ). 3.3 Mulrozad Sandardzovaný sysém = Z Z ( x )}, Z, { ovšem nemusí bý ro obecnou func ψ oronormální. Jednou z možnosí, a zísa oronormální báz v L ( R ), e realzace víceúrovňového mulrozladu (MRA). Teno zůsob onsruce waveleů, erý v roce 988 navrhl francouzsý maema Malla, e osaven na onsruc aových rosorů L ( R), Z, ro eré laí exsue V0 Ze zůsobu onsruce rosorů V V +, V = { 0}, U Z I Z V ϕ a, že { } Z = L ( R), V ϕ ( x ) e úlná orogonální množna v L ( R), f V f ( x) V. 0 V e vdě, že exsuí odrosory W orogonální že V + = V W. Taé role šálové funce ϕ e v MRA odsaná. Poud V e mulrozlad se šálová funcí ϕ, erá slňue dlaační rovnc ϕ ( x) = aϕ( x ), a řdruženým waveleem říslušným uvažovanému mulrozladu e funce ψ ( x) = b ϕ( x ), b = ( ) a. (Prouže nad a značí omlexně sdružené číslo.) Na Obr. 3. Daubechové solu s říslušnou šálovou funcí. Z Z V a, e zobrazen wavele Obr. 3. Šálovací funce a wavele Daubechové Db4.0 0.5 4 6 Pomocí dlaací a ranslací šálových funcí a řdružených waveleů lze generova rosory res. W. Defnueme 0.5.0 šálovací wavele funce V
Prosor V W = san = san { ϕ }, de ϕ ( x), = ϕ( x ), { } ψ, de ψ ( x) = ψ ( x ).,, Z, Z V + = V W W... W,, 0 0 lze nerreova ao aroxmační rosor rosoru L ( R). To znamená, že lbovolnou func f L ( R) e možné rozlož a f ( x) = Z a0ϕ 0 ( x) + bψ ( x). = Z V uvedeném rozladu sou a 0, =< f,ϕ0, > aroxmační (šálové) oefceny a b, =< f,ψ, > waveleové oefceny funce f na úrovn a defnueme e rosředncvím salárního součnu v L ( R ). Výoče oefcenů robíhá na záladě Mallaova algormu (vz [5]) ve dvou fázích - deomozce a reonsruce. Během rocesu deomozce se sočíaí hodnoy aroxmačních. Aroxmační oefceny řísluší nízým frevencím oefcenů { a, } a dealních oefcenů { } b, a v časových řadách odovídaí rendu. Dealní oefceny a aří vyšším frevencím, eré mohou bý nerreovány ao šum. 3.4 Přílad Pro daový soubor {,,3,4,5,6,7,8 } chceme sočía oefceny waveleové ransformace realzované 3 rosředncvím Haarova waveleu. Proože soubor obsahue hodno, e možné usuečn říúrovňový waveleový rozlad. Schéma rozladu se dá grafcy zachy ve formě sromu (vz Obr.3.3). Obr. 3.3 Schéma waveleového rozladu 0 0, 0, 0 0, 0 0, 0, 0, Hodnoy aroxmačních oefcenů se v omo říadě očíaí ao souče dvou sousedních hodno z ředchozí fáze rozladu, erý se vydělí, a hodnoy dealů se sanoví ao rozdíl dvou sousedních hodno dělený. V rosředí sofwaru Mahemaca obdržíme:
{0}->{.3,4.94975,7.7787,0.6066}, {}->{-0.70707,-0.70707,-0.70707,-0.70707}, {0,0}->{5.,3.}, {0,}->{-.,-.}, {0,0,0}->{.779}, {0,0,}->{-5.65685}}. Zísané waveleové oefceny e možné ešě řed reonsrucí modfova. Cílem e reduova nebo odsran nežádoucí nebo nadbyečná daa. a) Odsranění nechěného rendu ze sgnálu se dosáhne vymazáním slože s nízou frevencí zn. odsraní se aroxmační waveleové oefceny. b) Šum ze sgnálu zmzí, dyž se oloží rovny nule waveleové oefceny b,, eré maí menší frevenc než vybraný ráh λ. Vedle ohoo vrdého rahování e aé možné ouží měého rahování, ř erém se waveleové oefceny modfuí nař. následovně: ~ 0 ro b, < λ, b, = sgn b, b, λ ro b, λ. Po rovedení říslušných úrav realzueme zěnou reonsruc omocí nverzní waveleové ransformace alované na uravené oefceny. 3.5 Přílad Na následuícím obrázu e znázorněn waveleový rozlad daového souboru z Příladu.. Obr. 3.4 Rozlad da na aroxmace adealy 8 6 4 0 0 30 40 50 dealy aroxmace 3
4 ZÁVĚR Waveley sou moderní maemacý aará, erý nachází ulanění ř zracování zvuových a obrazových sgnálů, v numercé maemace v rámc analýzy sascých da. Přednosí waveleové ransformace e eí myšlenová ednoduchos, erá e blízá osvědčeným Fourerovsým řísuům. Navíc Mallaův algormus výoču waveleových oefcenů umožňue zrychlení výoču omocí rychlé Fourerovy ransformace. Vlasnos waveleového rozladu římo vybízeí eho využí ř sudu časových řad. Ja uvdíme ve druhé čás článu, e waveleová ransformace ve soení s Boxovým-Jennsovým modely užečným násroem redc dalšího vývoe časové řady. Poděování Teno řísěve vznl s fnanční odorou a v rámc řešení roeu GAČR P403//8: Vývo neonvenčních modelů manažersého rozhodování v odnové eonomce a veřené eonom. LITERATURA [] Arl, J., Arlová, M., Rublíová, E. Analalýza eonomcých časových řad s řílady. VŠE Praha, 004. ISBN:978-80-47-343-5 [] Jansen, M., Oonncx P. Second Generaon Waveles and Alcaons. Srnger Verlag London, 005. ISBN -8533-96-0 [3] Nazar, K. Zálady eore waveleů. Karolnum Praha 004. ISBN 80-46-0957-6. [4] Segeh, K Numercý sofware I. Karolnum Praha, 998. ISBN 80-784-67-9 [5] Segel, A. F. Praccal Busness Sascs. Elselver, 0. ISBN 9780385083, [6] Švec, M. Waveleové ransformace. UJEP Úsí nad Labem, 008. ISBN 80-46-0957-6. 4