Biomechanika srdečněcévnísoustavy a konstitutivnímodelování

Biomechanika srdečněcévnísoustavy a konstitutivnímodelování Biomechanika a lékařsképřístroje Biomechanika I LukášHorný Laboratoř biomechaniky člověka Ústavu mechaniky Fakulty strojní ČVUT v Praze

M Konstitutivní modelování Hyperelasticita Teorie M Deformace M Napětí M3 Jak zahrnout nelinearitu M4 Jak zahrnout anisotropii M5 Jak zahrnout viskoelasticitu

Deformace Konfigurace Referenční konfigurace (materiálové souřadnice) (,, ) X = XE + X E + XE X = X X X 3 3 3 E, e 3 3 E, e E, e Zdeformovanáneboli průběžnákonfigurace (prostorové souřadnice) (,, ) x = xe + xe + xe x = x x x 3 3 3

Deformace Konfigurace x = x(x) x = x (X,X,X 3 ) x = x (X,X,X 3 ) x 3 = x 3 (X,X,X 3 ) E, e 3 3 E, e E, e Vyjadřujeme souřadnice po deformaci x pomocí souřadnic před deformací X (Lagrange).

Deformace Konfigurace Deformace je zobrazení, které převádí materiálové body z prostoru referenční konfigurace do prostoru průběžné konfigurace. deformace : X x E, e 3 3 E, e E, e Uvědomme si, že zatímco materiálový bod je unikátní (je to jeden a tentýž bod v celém průběhu deformace), způsobů vyjádření jeho souřadnic je nekonečně mnoho. http://en.wikipedia.org/wiki/finite_strain_theory

Deformace Deformačnígradient V matematikcé analýze při zkoumání lokálního chování funkcí (čili zobrazení z R do R) jste se omezili na zkoumání diferenciálu. Totéž provedeme při zkoumání deformace. deformace : X x čili deformace : R 3 R 3 Deformační gradient F dx = FdX Deformační gradient převádí referenční diferenciální vektor zdeformovaný diferenciální vektor, vyjadřuje tak derivaci dx/dx.

Deformačnígradient Deformace dx = FdX F ik = x i / X K Čili rozepsáno po složkách derivujeme tři složky souřadnic podle dalších třech složek souřadnic; celkem tedy devětkrát. Deformační gradient je tenzor druhého řádu definovaný nad tenzorovou bází, která vznikne složením báze počáteční konfigurace a zdeformované. F = F e E + F e E +... + F e E + F e E 3 3 33 3 3 x x x x F = e E + e E +... + e E + e E X X X X 3 3 3 3 3 3

Deformačnígradient Deformace F = F e E + F e E +... + F e E + F e E 3 3 33 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F = F 0 0 0 F 0 0 0... F 0 0 0 F 0 0 0 + + + 3 + 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F F F 3 = F F F 3 F F F 3 3 33 Zápis báze často vynecháváme a tenzor reprezentujeme maticí jeho složek.

Deformačnígradient Deformace Deformační gradient v sobě nese informaci o pohybu kontinua v bodě. Tato informace se skládá z takzvaných strečů a rotace elementu jako tuhého celku. Polární rozklad F = RU = vr

Deformace Příklad Homogenní deformace Uvažujme objekt tvaru krychle, který se deformuje do kvádru tak, že x = λ X x = λ X x 3 = λ 3 X 3 X 3 x 3 F ik = x i / X K F = x / X = λ F = x / X = λ F 33 = x 3 / X 3 = λ 3 F λ 0 0 = 0 λ 0 0 0 λ 3 λ 3 E e E 3 e 3 F = F 3 = F 3 = F = F 3 = F 3 = 0 X x λ λ E e X x

Velkédeformace Odvozujeme několik měr deformace (a každá je energeticky konjugovaná s nějakou mírou napětí) C = F T F E = ½(F T F I) U F =RU lnu b = FF T pravý Cauchy-Greenův tenzor deformace Green-Lagrangeův Pravý tenzor strečů Henckyho tenzor deformace levý Cauchy-Greenův e = ½(I F -T F - ) Euler-Almansiho http://en.wikipedia.org/wiki/finite_strain_theory

Velkédeformace Příklad Homogenní deformace Tenzory deformace pak mají tvar: F λ 0 0 = 0 λ 0 0 0 λ 3 λ 0 0 ε = 0 λ 0 0 0 λ 3 C λ 0 0 = 0 λ 0 0 0 λ 3 lnu ln λ 0 0 = 0 lnλ 0 0 0 lnλ 3 ( λ ) 0 0 E = 0 ( λ ) 0 0 0 ( λ 3 ) e ( λ ) 0 0 = 0 ( λ ) 0 0 0 ( λ3 )

Velkédeformace Pozor! C λ 0 0 = 0 λ 0 0 0 λ 3 λ 0 0 0 λ 0 b = 0 0 λ 3 Maticová reprezentace totiž neukazuje bázové vektory C b λ 0 0 = 0 λ 0 = λ E E + λ E E + λ E E + 0 E E + E E + E E 0 0 λ 3 ( ) 3 3 3 3 3 λ 0 0 = 0 λ 0 = λ e e + λ e e + λ e e + 0 e e + e e + e e 0 0 ( ) 3 3 3 3 3 λ 3 Referenční báze {E,E,E 3 } Průběžná báze {e, e, e 3 }

Velkédeformace Pozor také na nesymetrické tenzory! Obecně totiž neplatí u v = v u Uvažujme prostý smyk podle obrázku X x k x = X + kx x = X x 3 = X 3 X x F k 0 = 0 0 0 0 C k 0 = k + k 0 0 0 Tenzory obsahující v názvu slovo deformace jsou symetrické. Proč?

Deformace Míry deformace při jednoosém tahu True scale C = F T F F Míry deformace E = ½(F T F I) ε lnu e = ½(I F -T F - )

Různémíry deformace dávajírůznémíry napětí Referenční konfigurace L A = BH AE x Průběžná konfigurace l a = bh ae x ae x f σ = a ( e e ) ( e e ) xx x x x x Průběžná konfigurace Skutečné napětí σ = f/a P AE x ( e E ) = ( e E ) xx x X x X f A Smíšená konfigurace Smluvní napětí P = f/a http://en.wikipedia.org/wiki/stress_measures S ( E ) σ ( ) P XX X X xx X X xx ( X X ) AE E = E x λ E = E λ E xx Referenční konfigurace Druhé Piola-Kirchhoffovo napětí S = σ/λ x xx

Různémíry deformace dávajírůznémíry napětí Ještě jednou! Abychom získali druhé Piola-Kirchhoffovo napětí S, transformuje skutečnénapětí σinverznítransformacík transformaci, kteráproběhla, kdyžsíla deformovala průřez do průběžné konfigurace; čili A a: a = λ x A Druhé Piola-Kirchhoffovo napětí tedy je S XX = (λ x ) - σ xx

Napětí Transformace mezi tenzory napětí Znovu připomeňme, že deformační gradient F převádí referenční vektor na zdeformovaný vektor x =FX S = F σf -T J σ = T J FSF P FS = S = F P P = JσF T σ = T J PF http://en.wikipedia.org/wiki/stress_measures

Hyperelasticita Připomeňme si tíhový a elektrický potenciál Potenciál je měrná energie (v případě tíhy na jednotku hmotnosti). Představuje tedy práci, kterou by mohl vykonat jednotkový hmotný bod dík působení tíhového pole. V = U/m = mgh/m = gh Intenzita tíhového pole je pak dána: V/ h = g Potenciál elektrického pole náboje q je V = /(4πε)q /r když potenciální energie přenesená na částici s nábojem q ve vzdálenosti rje U = /(4πε)q q /r Intenzita elektrického pole je pak dána: E = - V/ r = /(4πε)q /r

Hyperelasticita Elastická potenciální energie U = ρw Hustota deformační energie (elastický potenciál) W = ½σ ij ε ij D formulace Hookeův zákon σ = Eε W = ½Eε W/ ε = Eε = σ http://en.wikipedia.org/wiki/hyperelastic_material

Hyperelasticita 3D zobecněný Hookeův zákon µ µ µ 0 0 0 σ µ µ µ 0 0 0 ε σ ε σ µ µ µ 0 0 0 33 E ε 33 = σ 3 ( + µ )( µ ) µ ε3 0 0 0 0 0 σ ε 3 3 σ µ 0 0 0 0 0 ε µ 0 0 0 0 0 σ = Cε W = ½Cεε σ ij = W/ ε ij Ověřte si alespoň pro jednu složku

Hyperelasticita Elastický potenciál: Zajišťuje Implicitní splnění. zákona termodynamiky Zjednodušuje práci s nelineární materiálovou závislostí - mocninná, exponenciální, logaritmická Umožňuje snadnou implementaci anisotropie Ve forměvolnéenergie lze snadno rozšířit pro nevratnéděje (viskoelastický potenciál) Implementováno v MKP balících

Napětía elastický potenciál Míry napětí a deformace jsou konjugovány tak, že práce vnitřních sil (skalár) při deformaci je vždy stejná P = W F ( F) σ = ( ) F J W F F T σ = W J F C ( C) F T S W = = C ( C) W ( E) E http://en.wikipedia.org/wiki/hyperelastic_material

Nestlačitelný materiál Deformace elastomerůa měkkých tkáníjsou často modelovány jako isochorické děje dv J = = detf = I = I = λ λ λ = dv C b 3 3 3 V takovém případěse na objemových složkách tenzoru deformace nekonána práce vnitřních sil. Takže odpovídající složky napětí nelze přímo určit z W. Zavádíme tudíž je jako neurčitý Lagrangeův multiplikátor p a určujeme z okrajových podmínek. W ( F) T ( C) ( ) W = W + p J P = pf F W ( F) W T ( C) T σ = F pi = F F pi F C W ( C) S = pc C

Tvary konstitutivních modelů Fungův exponenciální tvar (967, 979, 983) Lineární závislost mezi tuhostí a napětím E dσ a = = a + bσ ( e bε σ = ) dε b W µ = α ( ( I ) ) 3 e α ( + + 3 3) W = µ e α λ λ λ α ( ) + p J

Tvary konstitutivních modelů Jednoosý tah W = p σ λ λ σ σ W = λ p λ 33 3 W = λ p λ 3 ( + + 3 3) W = µ e α λ λ λ α W λ = µλ ( + + 3 3) e α λ λ λ σ = 0 λ = λ λ λ λ = 33 3 3 µ= 0 α= 0 µ= 0 α= λ = λ = 3 µ= α= λ 3 e α λ + λ = λ µ= α= σ µ λ

Tvary konstitutivních modelů Gentův logaritmický tvar (996) Large strain stiffening je převeden na limitovanou průtažnost. W µ J 3 m ln I = Jm µ= J m = 0.5 λ 46 max. I 3 I 3 > > + > 0 J 3 m J J m m I

Tvary konstitutivních modelů Jednoosý tah W = p σ λ λ σ W = λ p λ W = p σ λ 33 3 λ 3 σ = J µ Jmλ λ λ + 3 λ m µ J 3 m 3 W ln λ + λ + λ = Jm W µ J λ m = σ = 0 λ = λ λ λ λ = λ λ λ J I + 33 3 3 3 3 m σ = = µ = J m = 0.4 µ = J m = 0.7 µ = J m = µ = J m = 0 λ λ