Úvodní informace. Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní. verze: :18

Podobné dokumenty
Úvodní informace. Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní. verze: :47

(K611MSAP) prof. Miroslav Vlček. 24. února Ústav aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT

Úvodní informace Matematické modelování Modelování systémů a procesů (11MSP)

1. března Organizace Základní informace Literatura Úvod Motivace... 3

Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček. 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015

Inverzní z-transformace. prof. Miroslav Vlček. 25. dubna 2013

Návrh a vyhodnocení experimentu

Inverzní Laplaceova transformace

Diskretizace. 29. dubna 2015

Modelování a simulace Lukáš Otte

Návrh a vyhodnocení experimentu

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic

Laplaceova transformace

Měření dat Filtrace dat, Kalmanův filtr

Elektronické obvody analýza a simulace

Měření dat Filtrace dat, Kalmanův filtr

Parciální diferenciální rovnice

4EK201 Matematické modelování. 11. Ekonometrie

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok

Speciální numerické metody 4. ročník bakalářského studia. Cvičení: Ing. Petr Lehner Přednášky: doc. Ing. Martin Krejsa, Ph.D.

Modelov an ı syst em u a proces

U Úvod do modelování a simulace systémů

11MAMY LS 2017/2018. Úvod do Matlabu. 21. února Skupina 01. reseni2.m a tak dále + M souborem zadané funkce z příkladu 3 + souborem skupina.

APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL

ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ

STATISTIKA LS Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D.

časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.

Ing. Jitka Řezníčková, CSc., Ing. Jan Šleichrt, Ing. Jan Vyčichl, Ph.D.

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt

Základy matematiky pro FEK

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně. V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction

Propojení matematiky, fyziky a počítačů

Bonn, Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Modelování a simulace

DIPLOMOVÁ PRÁCE Nelineární řízení magnetického ložiska

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

Diferenciální rovnice 1

Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb. CW01 - Teorie měření a regulace 10.2 ZS 2010/2011. reg Ing. Václav Rada, CSc.

Úvod do modelování a simulace. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela úvod, organizace výuky

1 Modelování systémů 2. řádu

Flexibilita jednoduché naprogramování a přeprogramování řídícího systému

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

Aplikovaná matematika I

Lineární stabilita a teorie II. řádu

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Řízení a optimalizace Stavové modely a model-prediktivní řízení

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Základy algoritmizace

Diferenciální rovnice 3

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

DISKRÉTNÍ PROCESY V ELEKTROTECHNICE

Odpružená sedačka. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Teorie měření a regulace

Nelineární obvody. V nelineárních obvodech však platí Kirchhoffovy zákony.

PŘÍKLAD PŘECHODNÝ DĚJ DRUHÉHO ŘÁDU ŘEŠENÍ V ČASOVÉ OBLASTI A S VYUŽITÍM OPERÁTOROVÉ ANALÝZY

Odhad stavu matematického modelu křižovatek

AVDAT Nelineární regresní model

Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností

4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

ZS: 2017/2018 NMAF061 F/2 J. MÁLEK. Matematika pro fyziky I. Posluchárna: T2 T1 Konzultační hodiny: pátek 9:40-10:30, posluchárna T5

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY

Vlastnosti členů regulačních obvodů Osnova kurzu

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

1. ÚVOD. Arnošt Žídek, Iveta Cholevová. 15. října 2013 FBI VŠB-TUO

MATEMATIKA PRO INŽENÝRY 21. STOLETÍ

CITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I

Stochastické diferenciální rovnice

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2017/2018

Praha technic/(4 -+ (/T'ERATU"'P. ))I~~

4EK211 Základy ekonometrie

Ing. Michael Rost, Ph.D.

Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

1. Vlastnosti diskretních a číslicových metod zpracování signálů... 15

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

Fyzika laserů. Aproximace rychlostních rovnic. 18. března Katedra fyzikální elektroniky.

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Numerické řešení modelu proudění v porézní hornině s puklinou

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

CO JE A NENÍ NOVÉHO V MODELOVÁNÍ DYNAMICKÝCH SPOJITÝCH SYSTÉMŮ NA POČÍTAČI ZA PŮL STOLETÍ

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová

ZS: 2018/2019 NMAF063 F/3 Josef MÁLEK. Matematika pro fyziky III

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Transkript:

O předmětu Úvodní informace Matematické modelování Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 1. přednáška 11MSP 2019 verze: 2019-02-20 14:18

O předmětu Obsah přednášky 1 O předmětu Základní organizační informace Seznam literatury Hodnocení předmětu Domácí příprava Vstupní znalosti Výstupní znalosti

O předmětu Základní informace Přednášející: Ing. Bohumil Kovář, Ph.D. (kovar@fd.cvut.cz) přednášky út. 13:15-14:45 a 15:00-16:30 Cvičící: Mgr. Lucie Kárná, Ph.D. (karna@fd.cvut.cz) Ing. Alexeeva Elena (alexeele@fd.cvut.cz) Erasmus a výuka v angličtině: Ing. Bohumil Kovář, Ph.D. (kovar@fd.cvut.cz) Garant předmětu: prof. RNDr. Miroslav Vlček, DrSc. (vlcek@fd.cvut.cz)

O předmětu Základní informace Pokračování Domovská stránka předmětu MSP: http://zolotarev.fd.cvut.cz/msp Cvičení: Pravidla jsou na stránkách předmětu. Cvičení pro druhý zápis: Vzhledem ke kapacitě počítačových laboratoří není možné, aby studenti opakující předmět navštěvovali cvičení. Budou odevzdávat elektronicky zadávané domácí úlohy a v průběhu semestru pro ně vypíšeme dva termíny, na kterých si napíšou písemné testy.

O předmětu Literatura I 1 CARLSON, Gordon E. Signal and Linear System Analysis: with Matlab. 2. vyd. New York: John Wiley & Sons, 1998, 768 s. ISBN 04-711-2465-6. 2 CHATURVEDI, Devendra K. Modeling and simulation of systems using MATLAB and Simulink. Boca Raton: CRC Press, 2009, 733 s. ISBN 978-143-9806-722. 3 ALLEN, Roy G. D. Matematická ekonomie. Praha: Academia, 1971, 782 s. 4 OPPENHEIM, Alan V., Alan S. WILLSKY a Syed Hamid NAWAB. Signals and Systems. 2. vyd. Upper Saddle River: Prentice Hall, 1997, 957 s. ISBN 01-381-4757-4. 5 KARBAN, Pavel. Výpočty a simulace v programech Matlab a Simulink. Brno: Computer Press, 2006. ISBN 80-251-1301-9.

O předmětu Literatura II 6 Informace o prostředí MATLAB http://zolotarev.fd.cvut.cz/mni/ http://www.fd.cvut.cz/personal/nagyivan/prpstat/prp/ MatIntro.pdf 7 Matematika-opakování http://euler.fd.cvut.cz/predmety/ml1/

O předmětu Zápočet a zkouška Celkový počet bodů, které studenti mohou během semestru získat, je 40. Ke zkoušce se z toho započítá maximálně 30. Zápočet udělujeme od 25 bodů výše. Body jsou rozděleny následovně: 10 bodů za 3 testy domácí přípravy, 4 body za tři automaticky hodnocené domácí úkoly, 12 bodů za dva praktické testy z Matlabu a Simulinku, 14 bodů za závěrečný test (dva početní příklady po pěti bodech a dvě doplňkové otázky za dva body).

O předmětu Zápočet a zkouška Pokračování V průběhu semestru může být vyhlášeno několik bonusových úloh, jejichž úspěšní a nejrychlejší řešitelé budou odměněni až dvěma bonusovými body. Bonusové body se přičítají k celkovému bodovému zisku v semestru. Bodování zaručuje, že v případě získání zápočtu (25 bodů a výše) můžete automaticky předmět absolvovat s klasifikací dostatečně, případně uspokojivě. V případě, že máte zájem o lepší hodnocení, můžete zbylých 20 bodů získat u zkoušky.

O předmětu Domácí příprava Témata domácích příprav a na ně navázaných testů: 1. Typy systémů 2. Laplaceova transformace, zpětná Laplaceova transformace a řešení diferenciálních rovnic 3. Z-transformace, zpětná Z-transformace a řešení diferenčních rovnic Domácí přípravy jsou zároveň vaší přípravou na závěrečný test.

O předmětu Výsledky 2017/2018 Klasifikováno A E 87 35 Nezapočteno Počet studujících dle KOS ke dni 20. února 2019 = 97

O předmětu Výsledky 2017/2018

O předmětu Výsledky 2017/2018 A 12 B 12 11 C A B C Nulová účast na cvičeních a testech Přestalo docházet na cvičení a testy Nesplnilo požadavky udělení zápočtu

O předmětu Znalosti vstupní Toto jsou znalosti, u nichž předpokládáme, že je ovládáte. Jejich neznalost se neomlouvá. 1 Znalost základních pojmů a operací s vektory a maticemi 2 Znalost práce s komplexními čísly a základů funkcí komplexní proměnné 3 Znalost vlastností trigonometrických, hyperbolických, exponenciálních funkcí 4 Znalost výpočtu součtů nekonečné řady, derivace a integrálů funkce jedné proměnné 5 Znalost práce se zlomky, algebraickými výrazy a běžné středoškolské matematiky 6 Základní znalosti prostředí SCILAB/MATLAB (v rozsahu předmětů 11PT a 11STS)

O předmětu Znalosti výstupní 1 Znalost použití Laplaceovy transformace pro řešení diferenciálních rovnic popisujících spojité lineární časově invariantní systémy 2 Znalost použití Z-transformace pro řešení diferenčních rovnic popisujících diskrétní lineární časově invariantní systémy 3 Znalost nalezení stavového popisu ze slovního zadání dynamického systému 4 Znalost použití pojmu stabilita řešení a metody ověření stability dynamického systému 5 Znalost prostředí MATLAB/SIMULINK pro modelování dynamických systémů a řešení soustav nelineárních diferenciálních a diferenčních rovnic

Obsah přednášky 2 Matematické modelování systémů Jaké cíle může modelování dosáhnout? Klasifikace modelů Fáze modelování Model systému Vnější popis systémů Vnitřní popis systémů 3 Příklady systémů 4 Iterace diferenční rovnice

Sestavení Studium Testování Použití Tento proces opakovaných iterací je pro modelovací projekty typický a je jedním z nejužitečnějších aspektů modelování, pokud jde o lepší pochopení toho, jak systém funguje. Toto rozdělení činnosti v oblasti modelování budeme používat i nadále a bude tvořit strukturu pro zbytek tohoto kurzu.

Systém Definition (Systém) Charakteristické vlastnosti, se kterými vystačíme při modelování: systém považujeme za část prostředí, kterou lze od jejího okoĺı oddělit fyzickou nebo myšlenkovou hranicí, systém se skládá z podsystémů, vzájemně propojených součástí. Je to část našeho světa, která se svým okoĺım nějak interaguje, například prostřednictvím vstupu a výstupu.

Co je modelování? Model Za model můžeme pokládat náhradu nebo zjednodušení skutečného objektu reálného světa z hlediska jeho vlastností a funkčnosti. Modelování je možné pouze pokud zavedeme určitý stupeň abstrakce a aproximace.

Diskrétní a spojitý model vstup? výstup u(t) u[n] spojitý systém diskrétní systém y(t) y[n]

Tvorba modelu

Tvorba modelu Při analýze navrženého modelu chceme učinit co možná nejsilnější rozhodnutí na základě malého množství dat. Správnost našeho návrhu je nutné statisticky vyhodnotit. Problémy: 1 Významné diference ve sledovaných parametrech mohou být způsobeny špatným návrhem modelu, případně měřením dat 2 Je těžké rozlišit, zda diference v datech jsou skutečné nebo způsobené náhodným vlivem.

Proč modelování systémů? Otázky: Jak ověříme správnost výpočtu rychlosti šíření ptačí chřipky? Jak ověříme pevnost nového mostu? Jak ověříme bezpečnost softwaru? Pokud nemůžeme předem prokázat určité vlastnosti na samotného systému, prokážeme hledané vlastnosti na jeho modelu!

Modely reálného světa Antoni Gaudí

Modely reálného světa Antoni Gaudí

Modely reálného světa VW Polo crash test

Vnější popis systémů Vnější popis vychází z popisu systému vektorem vstupu u a vektorem výstupu y. Systém tak chápeme jako černou skříňku, o jejíchž vlastnostech se dozvíme pouze tehdy, jestliže budeme zkoumat její reakci na vnější události (signály, data). Vnější model popisujeme diferenciální rovnicí pro systémy se spojitým časem a diferenční rovnicí pro systémy s diskrétním časem. Uvedená rovnice je obecně vyššího řádu, než 1.

Vnitřní popis systémů Vnitřní, tzv. stavový popis systému používá k popisu dynamiky systému vektor vnitřních stavů x. Vektor vstupů u a vektor výstupních veličin y jsou druhotné veličiny vnitřního popisu. Stavové modely popisujeme soustavou diferenciálních rovnic prvního řádu pro systémy se spojitým časem a soustavou diferenčních rovnic prvého řádu pro systémy s diskrétním časem.

Role matematiky Modelování není samospasitelné: výstupy modelu je vždy třeba ověřovat, možné chyby jsou jak v modelu, tak i v jeho výpočtu. Verifikace: Počítáme správný model. Validace: Model počítá správně.

Obsah přednášky 2 Matematické modelování systémů 3 Příklady systémů 4 Iterace diferenční rovnice

Zombie apokalypsa SIR model (1/8)

Zombie apokalypsa SIR model(2/8) Rovnice SIR modelu S (t) = αi (t)s(t) R (t) = βi (t) I (t) = S (t) R (t) = αi (t)s(t) βi (t) S(t) I (t) R(t) počet zdravých jedinců počet infikovaných počet mrtvých nebo imunních S(t) + I (t) + R(t) = c S (t) + I (t) + R (t) = 0

Zombie apokalypsa SIR model - Numerické řešení (3/8) Co nám tyto rovnice říkají? Předpokládejme, populaci S(0) = 100000 zdravých jedinců, I (0) = 10 Zombies a R(0) = 10 imunních s mírou šíření nákazy α = 0.0001 a úmrtností β = 0.1. V čase t = 0, tedy dnes: S (0) = αi (0)S(0) = 100 R (0) = βi (0) = 1 I (0) = S (0) R (0) = αi (0)S(0) βi (0) = 99 První den Zombie apokalypsy se počet zdravých jedinců sníží o 100, jeden člověk zemře a množství infikovaných vzroste o 99.

Zombie apokalypsa SIR model - Numerické řešení(4/8) Zítra, v čase t = 1 můžeme tedy očekávat S(1) S(0) + S (0) = 99900 R(1) R(0) + R (0) = 11 I (1) I (0) + I (0) = 109 a S (1) = αi (1)S(1) = 1088.91 R (1) = βi (1) = 10.9 I (1) = S (1) R (1) = αi (1)S(1) βi (1) = 1078.01

Zombie apokalypsa SIR model - Numerické řešení (5/8) Rovnice nám umožňují odhadovat změny S, I, R i v minulosti. Pokud známe stav apokalypsy dnes (v čase t = 0), pak můžeme odhadnout hodnoty včera (v čase t = 1) jako S( 1) S(0) S (0) R( 1) R(0) R (0) I ( 1) I (0) I (0) Takto můžeme numericky analyzovat změny S, I a R v čase a predikovat, jak se bude apokalypsa vyvíjet. Jedná se o rekurentní výpočty, které jsou s použitím počítače velmi snadné.

Zombie apokalypsa SIR model - Simulink (6/8)

Zombie apokalypsa SIR model - Simulink (7/8) 10 x 104 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Time offset: 0 α = 0.00015, β = 0.11, S(0) = 100000, I (0) = R(0) = 10

Zombie apokalypsa SIR model - Analytické řešení (8/8) Analýza rovnice pro infikované I (t) = αs(t)i (t) βi (t) = (αs(t) β)i (t) Pokud S(t) > β α pak I (t) > 0 a tedy apokalypsa se zhoršuje a počet Zombies roste, S(t) < β α pak I (t) < 0 situace se lepší a počet Zombies klesá, β α je práh. Počet infikovaných tedy bude klesat, pokud se nám podaří snížit hodnotu koeficientu α, případně i β.

Příklady systémů Příklad variace ceny (1/2) Rovnice nabídky Nabídka dnes závisí na včerejší ceně a to tak, že nabídka stoupá s rostoucí cenou. Pro C > 0 platí n[k] = Cc[k 1] + Au[k]. Rovnice poptávky Poptávka dnes závisí na dnešní ceně a to tak, že poptávka klesá s rostoucí cenou. Pro D > 0 platí p[k] = Dc[k] + Bu[k].

Příklady systémů Příklad variace ceny (2/2) Rovnost nabídky a poptávky n[k] = p[k] pak vede na diferenční rovnici prvního řádu c[k] + C D B A c[k 1] = D u[k].

Příklady systémů Příklad variace ceny 125 120 115 nabídka a poptávka 110 105 100 95 0 1 2 3 4 5 6 cena

Rozdíl mezi lineárním a linearizovaným P D1 D2 S P2 P1 Q1 Q2 Q

Obsah přednášky 2 Matematické modelování systémů 3 Příklady systémů 4 Iterace diferenční rovnice Iterace rovnice ceny

Iterace rovnice ceny Diferenční rovnici, kterou jsme odvodili c[k] + C D B A c[k 1] = D x[k] přepíšeme do kanonického tvaru y[k] + γy[k 1] = βu[k] a postupnými iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počáteční podmínku y[ 1] = 0

Iterace rovnice ceny Pro k = 0: y[0] + γy[ 1] = βu[0] y[0] = β γy[ 1] = β Pro k = 1: y[1] + γy[0] = βu[1] y[1] = β γy[0] = β βγ

Iterace rovnice ceny Pro k = 2: y[2] + γy[1] = βu[2] y[2] = β γy[1] = β βγ + βγ 2 Pro obecné n: y[n] + γy[n 1] = βu[n] y[n] = β γy[n 1] = β ( 1 γ + γ 2 + + ( γ) n)

Iterace rovnice ceny y[n] = β n ( γ) m = β 1 ( γ)n+1 1 + γ m=0 = β 1 + γ + βγ 1 + γ ( γ)n 125 120 115 nabídka a poptávka 110 105 100 95 0 1 2 3 4 5 6 cena

Na závěr Děkuji za pozornost. Až budete utíkat, prosím opatrně.