BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV FYZIKÁLNÍHO INŽENÝRSTVÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV FYZIKÁLNÍHO INŽENÝRSTVÍ FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF PHYSICAL ENGINEERING FYZIKA METAMATERIÁLŮ PHYSICS OF METAMATERIALS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR MARTIN LÁSKA prof. RNDr. PETR DUB, CSc. BRNO 9

Vysoké učeí techické v Brě, fakulta strojího Ižeýrství Ústav fyzikálího ižeýrství Akademický rok: 8/9 ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE studet: Marti Láska který studuje v bakalářském studijím programu obor: Fyzikálí ižeýrství (39R) Ředitel ústavu Vám v souladu se zákoem c./998 o vysokých školách a se Studijím a zkušebím řádem VUT v Brě určuje ásledující téma bakalářské práce: v aglickém jazyce: Fyzika metamateriálů Physics of Metamaterials Stručá charakteristika problematiky úkolu: Metamateriály připravovaé v posledích letech moderími techologiemi vykazují eobvyklé vlastosti, které emají běžé přírodí materiály. Mezi tyto vlastosti, které otevírají cestu k řadě zajímavých aplikací, patří záporý idex lomu. Porozuměí ovým jevům vyžaduje detailí kritické posouzeí teorie optických vlastostí látek. Cíle bakalářské práce:. Proveďte rešerši o fyzikálích základech metamateriálů a jejich užití.. Proveďte podpůré výpočty vysvětlující využití metamateriálů v oboru viditelého světla v oblasti plasmoiky. 3

Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Petr Dub, CSc. Termí odevzdáí bakalářské práce je staove časovým pláem akademického roku 8/9. V Brě, de..8 L.S. prof. RNDr. Tomáš Šikola, CSc. Ředitel ústavu doc. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc. Děka fakulty 4

Abstrakt Tato bakalářská práce je věováa elektrodyamice metamateriálů, které mají současě záporou permitivitu a permeabilitu. Je ukázáo, že takové prostředí je popsáo záporým idexem lomu, což má výrazé důsledky v oblasti optiky. Mezi ě patří zejméa opačý lom, který je demostrová simulací iterakce gaussovského moochromatického svazku s prostředím s idexem lomu = v programu COMSOL Multiphysics. Dále je studováo šířeí elektromagetické eergie v tomto prostředí: ejprve je ukázáo, že rychlost šířeí elektromagetické eergie je rova grupové rychlosti, která má opačý směr ež rychlost fázová. Poté jsou zformulováy Freselovy vztahy ve tvaru, který je platý pro kladý i záporý idex lomu. Summary The bachelor work deals with electrodyamics of metamaterials for which both the electric permittivity ad magetic permeability are simultaeously egative. It is show that the double egative media are described by a egative refractio idex which has a importat impact o optics laws. I particular, the egative refractio is demostrated by simulatio of iteractio of the Gauss moochromatic beam impigig o a egative refractive material. Next, the electromagetic eergy propagatio i the egative refractive materials is studied. It is show that the eergy propagatio velocity equals the group velocity, which has the opposite sig tha the phase velocity. Fially, Fresel formulas valid both for positive ad egative refractio idex are give. 5

Klíčová slova Elektrodyamika prostředí se záporým idexem lomu, eergie elektromagetického pole v disperzím prostředí, metamateriály, záporá permitivita, záporá permeabilita, záporý idex lomu, Poytigův vektor, grupová rychlost, rychlost šířeí eergie, Freselovy vztahy. Keywords Electrodyamics of egative refractive materials, electromagetic eergy i dispersive media, metamaterials, Left-Haded light, double egative media, egative permittivity, egative permeability, egative idex of refractio, Poytig vector, group velocity, eergy propagatio velocity, Fresel formulas. LÁSKA, M. Fyzika metamateriálů. Bro: Vysoké učeí techické v Brě, fakulta strojího ižeýrství, 9. 44 s. Vedoucí bakalářské práce prof. RNDr. Petr Dub, CSc. Prohlášeí Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci a téma Fyzika metamateriálů vypracoval samostatě pod vedeím prof. RNDr. Petra Duba, CSc. Dále prohlašuji, že veškeré podklady, ze kterých jsem čerpal, jsou uvedey v sezamu použité literatury. Nemám závažý důvod proti užití tohoto školího díla ve smyslu ustaoveí zákoa č. / Sb., včetě možých trestě právích důsledků vyplývajících z ustaoveí 5 trestího zákoa č. 4/96 Sb. V Brě de:.. podpis 6

Poděkováí Na tomto místě bych rád poděkoval prof. RNDr. Petru Dubovi, CSc, který moji práci trpělivě pročítal, vedl mě a svými připomíkami apomohl moji práci zkvalitit. Zároveň bych rád poděkoval Ig. Jakubu Zlámalovi, Ph.D., který obohatil moji bakalářskou práci prostředictvím simulačího programu Comsol Multiphysics. Děkuji své rodiě za poskytutí zázemí při studiu a Fakultě strojího ižeýrství a za to, že jsem mohl a této úloze erušeě pracovat. 7

8

Obsah Úvod Idex lomu 3. Maxwellovy rovice... 3. Roviá vla... 3.3 Záporý a kladý idex lomu... 5.4 Sellův záko... 8 3 Šířeí eergie 9 3. Eergie elektromagetického pole v látce... 9 3. Poytigův vektor... 3.3 Rychlosti světla v prostředí... 4 Iterakce vly s rozhraím 5 4. Freselovy vztahy... 5 4. Příklad: rozhraí vakuum prostředí s =... 9 5 Závěr 33 Dodatek A Kramersovy-Kroigovy relace a jejich důsledky 35 Dodatek B Permitivita a permeabilita metamateriálů 39 Literatura 43 9

Úvod The physics of egative refractive materials ca be extremely couter-ituitive. Stadard otios ad ituitios of electromagetic theory ca be misleadig, ad uexpected situatios arise with the egative refractive materials. This has mostly bee resposible for the iitial severe criticism ad debate as well as the later explosio of research i this area []. Před 4 lety se ruský fyzik V. Veselago [] teoreticky zabýval otázkou, jak by se šířila elektromagetická vla v prostředí, které by mělo jak permitivitu ε, tak permeabilitu současě záporé. V přírodě se však takové látky evyskytují; zatímco permitivita apř. u kovů je ve viditelé oblasti záporá, jejich permeabilita je kladá ( r se eliší příliš od jedé). Veselagova práce se stala podětem k hledáí umělých materiálů (yí azývaých metamateriály), charakterizovaých efektiví permitivitou a efektiví permeabilitou, které by byly a témže frekvečím itervalu současě záporé. Materiály, které by měly ve stejé frekvečí oblasti záporou permitivitu a permeabilitu, lze uměle vyrobit. Základími stavebími kamey těchto metamateriálů ejsou atomy, ale útvary jako jsou teké kovové tyčiky a mikrorezoátory. Takové materiály byly poprvé zkostruováy a koci devadesátých let pro oblast mikrovl (apř. přehledové čláky [] a [3]). V současé době se pomocí aotechologií začíají vyrábět metamateriály pro oblasti ifračerveého až viditelého zářeí [4], [5]. V prostředí, kde ε a jsou současě kladé (double positive media), tvoří vektory E, H, k pravotočivou soustavu, zatímco v prostředí, kde ε a jsou obě záporé (double egative media), je tato trojice E, H, k levotočivá. Proto se takové prostředí ozačuje jako L-materiál (z ag. Left-Haded material ebo také Left-Haded light). L-materiál je také popsá záporým idexem lomu. V předkládaé práci ejprve podrobě pojedáme o idexu lomu, který je dá řešeím rovice = ε. Ukážeme, že je třeba být pečlivý při odmocňováí tohoto výrazu, eboť permitivita ε ( ω) = ε ( ω) + i ε ( ω) a permeabilita ( ω) = ( ω) + i ( ω) jsou komplexí fukce frekvece, jejichž reálé a imagiárí složky jsou svázáy Kramersovými-Kroigovými relacemi, které plyou z kauzality. Následující 3. kapitola je věováa eergii elektromagetického pole v izotropím disperzím prostředí a jejímu šířeí. Především ukážeme souvislost rychlosti šířeí eergie s grupovou rychlostí. Ve 4. kapitole pojedáme ejprve o Freselových vzorcích, které jsou v učebicích optiky a elektrodyamiky uváděy ve tvaru, který je použitelý je pro prostředí, kde ε, a tedy i, jsou současě kladé. Budeme pečlivě sledovat odvozeí Freselových vztahů tak, aby výsledek byl použitelý pro kladý i záporý idex lomu. V druhé části této kapitoly se Nadále budeme permitivitou rozumět relativí permitivitu a budeme ji ozačovat ε bez idexu r (aalogicky pro permeabilitu).

budeme zabývat případem, kdy elektromagetická vla dopadá z vakua a prostředí s idexem lomu =. V Dodatku A jsou uvedey Kramersovy-Kroigovy relace a jejich důsledky potřebé pro aše úvahy. Dodatek B je věová permitivitě a permeabilitě metamateriálů.

Idex lomu Materiály se záporým idexem lomu přiáší vědcům široké pole působosti. Idex lomu je pro optiku klíčový a z každé jeho změy plyou pro tuto oblast fyziky důsledky. Přitom je myšleka záporého idexu lomu podstatou správé iterpretace fudametálích zákoů optiky.. Maxwellovy rovice Elektromagetické pole v látce je popsáo čtyřmi vektory, itezitou elektrického pole E, elektrickou idukcí D, itezitou magetického pole H a magetickou idukcí B. Tyto vektory pole jsou svázáy Maxwellovými rovicemi D = ρ r, (.) B =, (.) B E =, (.3) t D H = jr +. (.4) t Dále budeme uvažovat prostředí, v ěmž se ebudou vyskytovat volé proudy, a volé áboje ρ =. r j r =,. Roviá vla Základím rysem Maxwellových rovic je, že jejich řešeí lze alézt ve tvaru harmoických roviých vl [ i( ωt k r) ] E, D, H, B ~ exp. (.5) Dosadíme-li rovici (.5) do vztahu (.) až (.4), dostaeme i k D =, (.a) i k B =, (.a) i k E = iωb, (.3a) 3

ik H = iωd. (.4a) Dále budeme uvažovat lieárí izotropí prostředí, v ěmž D = ε ε ( )E, (.6) ω B = ( )H, (.7) ω kde permitivita ε = ε (ω) a permeabilita = (ω) závisí a frekveci. Pro permitivitu ε a permeabilitu vakua platí ε = / c. Dosadíme-li (.6) a (.7) do (.a) a (.4a), dostaeme ε ε ( ω) k E, (.b) = k B =, (.b) k E = ωb, (.3b) ω k B = ε ( ω) ( ω) E. (.4b) c Prví dvě rovice (.b) a (.b) vyjadřují, že (pokud ε ( ω) ) pole E a B jsou trasverzálí. Z rovic (.3b) a (.4b) dostaeme jedu rovici pro B a jedu pro E k k E = ω ε ( ω) ( ω) E, k k B = ω ε ( ω) ( ω) B. Protože platí k k E = k( k E) k E, kde vzhledem k (.b) k E =, jsou výsledé rovice ve tvaru k k ω ε ( ω) ( ω) = E, (.8a) c ω ε ( ω) ( ω) = B. (.8b) c Z rovic (.8a,b) plye, že má-li E a B, musí platit ω k = ε ( ω) ( ω), (.9) c 4

kde souči relativí permitivity a relativí permeability je kvadrát idexu lomu, = ε ( ω) ( ω). (.) Z rovic (.b) až (.4b) je patré, že trojice E, B, k tvoří pravotočivý systém. Vzhledem k tomu, že prostředí je izotropí, můžeme osy x, y, z volit libovolě. Zvolíme je tedy tak, jak je zázorěo a obr.. Obr. E, B, k tvoří pravotočivý systém. Vyjádříme-li vlový vektor pomocí idexu lomu, pak roviá vla z obr. bude mít tvar z E = E exp iω t. (.) c.3 Záporý a kladý idex lomu Idex lomu vyjádříme z rovice (.) ( ω ) = ε ( ω) ( ω), kde ε (ω) a (ω) jsou obecě komplexí, ( ω) = ε ( ω) + i ε ( ω), kde ε = Re( ε ) a ε = Im( ε ) ε ( ω) = ( ω) + i ( ω), kde = Re( ) a = Im ( ), (.). (.3) Reálé a imagiárí složky jsou svázáy Kramersovými-Kroigovými relacemi, z ichž plye, že s disperzí je spojea absorpce (viz Dodatek A). Imagiárí část permitivity a permeability vyjadřují disipaci eergie v látce, což je charakteristické pro pasiví materiály. Z toho plye (pro časovou závislost exp( iωt) ) [6, s. 74] ε >, >. (.4) 5

Opačým případem je eergiově aktiví prostředí (apř. laser), ve kterém dochází k zesíleí eergie a kde platí ε <, <. Reálé části permitivity a permeability mohou přitom být jak kladé tak i záporé. Případem, kdy ε <, což vede k evaescetím vlám, se ebudeme zabývat. Nadále se budeme zabývat případem, kdy ε >. Posledí erovost může astat buď pro a) ε > a >, ebo pro b) ε < a <. Zatímco případ a) charakterizuje běžé optické prostředí, případ b) astává u metamateriálů. Protože ε (ω) a (ω) jsou obecě komplexí fukce, je komplexí i idex lomu ( ω) = ( ω) + i ( ω), kde = Re( ) a = Im( ) Dosadíme-li (.5) za idex lomu do (.), dostaeme výraz E = E ω z exp z exp iω t c c.. (.5) Bez ztráty a obecosti budeme předpokládat, že elektromagetická vla dopadá z vakua zleva a prostředí vyplňující poloprostor z >. Pokud pro z pole emá divergovat, pak musí platit >. (.6) Dosazeím (.) a (.3) do (.) dostaeme = ( ε + iε )( + i ) = ( ε + ε ) + i( ε + ε ), (.7) kde Re ( ) = ( ε + ε ) a Im ( ) = ( ε + ε ) a) ε > a > b) ε < a < je ( ). Tedy pro Im > (viz bod α a obr. ), a je zázorěo body α, α. Im < (viz bod β a obr. ), a je zázorěo body β, β. je ( ) 6

Obr. Gaussova rovia pro (body α a β ) a (body α, α a β, β ). Body α, α, α přísluší případu, kdy ε > a >. Body β, β, β přísluší případu, kdy ε < a <. Vzhledem k tomu, že pro imagiárí část idexu lomu má platit podmíka (.6), fyzikálí smysl má v případě a), pro které R ( ) > b), pro které R ( ) < e, ( bod α ), e, ( bod β ). Ve frekvečí oblasti, kde je slabá disipace klademe ε a a a) pro ε > a > dostáváme = + ε, b) pro ε < a < dostáváme = ε. Často se idexem lomu míí je jeho reálá část, tj. R e( ). Detailí studie pro všechy případy kombiací zaméek reálých a imagiárích částí permitivity ε ( ω) a permeability ( ω) je provedea v [7]. 7

.4 Sellův záko Sellův záko patří k základím zákoům popisující šířeí vlěí, které přechází z prostředí o idexu lomu do prostředí o idexu lomu. Je důležitou součástí geometrické optiky, kde popisuje lom paprsku světla a obecě elektromagetického zářeí a roviém rozhraí. Sellův záko je vyjádře rovicí siα siα =. (.8) Rovice (.8) zůstává v platosti i pro šířeí elektromagetického zářeí v prostředí o záporém idexu lomu, kdy < (viz obr. 3). Shelby et al. [8] provedli experimet dokazující, že Sellův záko je platý i pro materiály se záporým idexem lomu. Experimet spočíval v měřeí úhlů světelých svazků procházející hraolem vyrobeého z metamateriálu. Z tohoto experimetálího uspořádáí lze určit efektiví idex lomu ef daého materiálu. a) b) Obr. 3 Sellův záko. a) >, > b) >, <. 8

3 Šířeí eergie V této kapitole budeme studovat eergii a její šířeí v izotropím disperzím eohraičeém prostředí. Šířeí eergie je charakterizováo rychlostí v E, která je uvedea do souvislostí s grupovou rychlostí v g. 3. Eergie elektromagetického pole v látce Z Maxwellových rovic (.3) a (.4), kde ρ v =, j v =, plye záko zachováí eergie v látce (tzv. Poytigův teorém) D B div S = E + H, (3.) t t kde a levé straě vystupuje Poytigův vektor vyjadřující rychlost přeosu eergie a jedotku plochy, S = E H, (3.) a pravá straa vyjadřuje časovou derivaci hustoty eergie elektromagetického pole u t D B = E + H. (3.3) t t Hustota eergie elektromagetického pole se obvykle vyjadřuje vztahem [9, s. ] u ε ε + = E H. (3.4) Teto vztah zřejmě elze převzít pro prostředí, kde ε < a <, protože potom by byla hustota eergie záporá. Vztah (3.4) lze totiž iterpretovat jako hustotu eergie elektromagetického pole pouze pro prostředí bez disperze. Z Kramersových-Kroigových relací plye, že záporá permitivita a permeabilita utě vyžaduje disperzi. Odvodit vztah, který by vyjadřoval hustotu eergie elektromagetického pole v prostředí s disperzí, eí I the presece of dispersio, o such simple iterpretatio is possible. Moreover, i the geeral case of arbitrary dispersio, the electromagetic eergy caot be ratioally defied as a thermodyamic quatity. This is because the presece of dispersio i geeral sigifies a dissipatio of eergy, i.e. a dispersive medium is also a absorbig medium. [6, s. 7] 9

triviálí. Poprvé jej odvodil v roce 9 L. Brilloui. Pro středí hodotu hustoty eergie platí [6, s. 75] d d < u ω >= [ ε ε ( ω) ω] Eω + [ ( ω) ω] H ω, (3.5) dω dω kde před hraatou závorkou vystupuje z důvodu časového středováí. Z termodyamických důvodů musí být středí hodota hustoty eergie kladá. Z Kramersových-Kroigových relací ve frekvečí oblasti, kde je slabá absorpce (tedy daleko od rezoace), plye (viz dodatek A) d dω d dω [ ε ( ω) ω] >, [ ( ω) ω] > (3.6) a tudíž vskutku < u ω > >. Kdybychom euvažovali v rovici (3.5) disperzi, tak d d ( ε εω) = ε ε a ( ω) =. Výsledě by se tedy výraz (3.5) roval středí hodotě dω dω výrazu (3.4). 3. Poytigův vektor Poytigův vektor S popisuje tok eergie a jeho směr udává v každém bodě směr šířeí eergie. V dielektrickém prostředí je Poytigův vektor defiová vztahem (3.). Vyjádřímeli itezitu magetického pole H pomocí magetické idukce B, dostaeme S = E B. (3.7) ( ω) Pro materiály se záporou permeabilitou míří Poytigův vektor a opačou strau, ež je tomu u běžých materiálů. Proto se v literatuře prostředí se současě záporými ε a ozačuje jako L-materiál. L říká, že trojice vektorů levotočivý ortogoálí systém. Na obr. 4 je vidět pravotočivý systém E, B, S tvoří v izotropím prostředí E, B, k a levotočivý systém E, B, S. Poytigův vektor S je v rovié vlě atiparalelí s vlovým vektorem k. Elektromagetická vla se a roviém rozhraí s L-materiálem láme a opačou strau od kolmice ež v běžém materiálu (obr. 5).

Obr. 4 Šířeí eergie a fáze v L-materiálech. Poytigův vektor S je v rovié vlě atiparalelí s vlovým vektorem k. a) b) c) d) Obr. 5 Sellův záko. Materiál s kladým idexem lomu > (a) tok eergie, (b) vlový vektor, a materiál se záporým idexem lomu < (c) tok eergie, (d) vlový vektor. 3.3 Rychlosti světla v prostředí V látkovém prostředí se defiují tři rychlosti: fázová rychlost a rychlost šířeí eergie v E. Fázová rychlost je dáa vztahem v f, grupová rychlost v g c v f = ω =, (3.8) k kde je idex lomu, o kterém bylo pojedáváo v kap..3.

Grupová rychlost je dáa vztahem kde dω v g = = d k c g, (3.9) g = + ω (3.) ω je grupový idex lomu [, s. 5]. Rychlost šířeí elektromagetické eergie je v izotropím prostředí rovoběžá s Poytigovým vektorem a pro její velikost platí [, s. 5] S v E =, (3.) < > u ω kde S vyjadřuje velikost středí hodoty Poytigova vektoru a < u ω > je středí hodota hustoty eergie daá vztahem (3.5). Ve výrazech pro Poytigův vektor a hustotu eergie vystupuje itezita elektrického pole E a itezita magetického pole H. Tyto veličiy jsou v rovié vlě svázáy rovicemi (.3b) a (.4b), z ichž plye ε ε ( ω) H ω = E ω. (3.) ( ω) Pomocí (3.) upravíme výraz pro středí hodotu Poytigova vektoru (3.) ε ε ( ω) ( ω) ε ( ω) ε ( ω) ( ω) ( ω) S = Eω = Eω = c ε ( ω) ( ω) ( ω) E ω, (3.3) kde opět vystupuje z důvodu časového středováí. Klíčové je správě odmocit výraz ( ω) ( ω) / ( ω), aby výsledek byl platý eje pro kladé ε ( ω) a ( ω) ε současě záporé hodoty. Obecě platí ε ( ω) ( ω) = = ( ω) ( ω) ( ω) >, ale i pro jejich, (3.4) protože a) pro ε ( ω) > a ( ω) > b) pro ε ( ω) < a ( ω) < je = + je = a ( ω) ( ω) =, =. a ( ω) ( ω)

Dosazeím (3.4) do (3.3) získáme S = Eω. (3.5) c ( ω) Nyí se věujme středí hodotě hustoty eergie. Rovici (3.5) můžeme pomocí vztahu (3.) upravit do tvaru u ω ( ω) ε ( ω) + ω ( ω) ( ω) ε = ε ε ( ω) ω ω Eω 4 + ω. (3.6) Derivací se přesvědčíme, že platí ( ) [ ω ε ( ω) ( ω) ] = ε ( ω) ( ω) ε ( ω) + ω ( ω) ε + ω ω ω ω ω Protože ε =, lze výraz (3.7) upravit do podoby ( ω) ω. (3.7) g c ( ω ε ) = ( ω ) = ω + ω = =, (3.8) ω ω ω ω ω ω vg kde jsme přihlédli k rovici (3.) defiující grupový idex lomu dostaeme koečou podobu výrazu pro hustotu eergie g. Po těchto úpravách u ω ε ε c g = Eω = Eω. (3.9) ( ω) ( ω) vg Středí hodota hustoty eergie je kladá. To vyžaduje, aby ω platilo >, a) pro ( ) > b) pro ( ) < g ω platilo <. g Tyto erovosti vyplývají z Kramersových-Kroigových relací (viz Dodatek A). 3

Obr. 6 Grupová a fázová rychlost v materiálu vykazující současě záporé ε a. Dosazeím za S z rovice (3.5) a za u ω z rovice (3.9) do defiice rychlosti šířeí eergie (3.) dostaeme v E = v g. (3.) Grupová rychlost tedy určuje rychlost šířeí eergie, která má u L-materiálů opačý směr ež fázová rychlost (3.8), viz obr. 6. Zdůrazěme, že všechy výše uvedeé vztahy byly odvozey pro slabou absorpci, mimo oblast rezoace 3. 3 V oblasti rezoace může být grupová rychlost záporá, ale i větší ež rychlost světla. Grupová rychlost v této oblasti emá výzam šířeí eergie []. 4

4 Iterakce elektromagetické vly s rozhraím V této kapitole budeme studovat iterakci elektromagetické vly s rozhraím. Nejprve kriticky posoudíme Freselovy vztahy a uvedeme je ve tvaru platém pro kladý i záporý idex lomu. Poté budeme studovat rozhraí vakuum-prostředí se záporým idexem lomu =, kdy všecha eergie prochází a žádá se eodráží zpět. 4. Freselovy vztahy Dopadá-li elektromagetická vla a materiálové rozhraí, část dopadajícího zářeí se láme, šíří se do prostředí, a část se odráží. Je-li rozhraí rovié a rozlehlé, pak ze symetrie plye, že tečé složky vlových vektorů všech vl jsou stejé. Pouze jejich složka z se měí v závislosti a idexu lomu. Z toho dostaeme Sellův záko, o kterém bylo pojedáo v čl. ( r ) ( i) ( t ) ( i).4. K získáí amplitudy odražeé vly r = E / E a amplitudy lomeé vly t = E / E, kde ( i) ( r ) ( t) E, E, E jsou pořadě itezity elektrického pole dopadající, odražeé a lomeé vly, musíme v místě materiálového rozhraí ( z = ) využít okrajové podmíky požadující spojitost tečých složek itezit E t a H t. V případě izotropího prostředí lze řešit odděleě (i) (i) případ S-polarizace, E je kolmé k roviě dopadu, a P-polarizaci, E leží v roviě dopadu. Výklad Freselových vztahů je uvede ve všech učebicích optiky a elektromagetismu. V kize Elektrodyamika kotiua od L. D. Ladaua [6, p. 95] jsou Freselovy vztahy odvozey pro =, což je pro áš případ epoužitelé. Jiý přístup k řešeí problému volí Obr. 7 Iterakce rovié elektromagetické vly s izotropím homogeím (eabsorbujícím) prostředím s kladým idexem lomu (S-polarizace). Tok eergie je vyjádře Poytigovým vektorem S (červeá barva). 5

ve své kize Classical Electrodyamics J. D. Jackso [, kap. 7], který přímo s počítá. Jackso ale akoec provádí algebraické úpravy platé je pro >. O Freselových vztazích, které by byly platé i pro záporý idex lomu, eí v literatuře soustavěji pojedáo, a proto se jimi budeme zabývat pro kladý i záporý idex lomu 4. S-polarizace Ze spojitosti E t v roviě rozhraí ( = ) z plye E + E = E (4.) ( i) ( r) ( t) x x x a ze spojitosti H t ( i) ( r) ε ( t) ( E ) θ E cosθ = ε E x x cos x, (4.) kde byla užita rovice (.3a). Z rovic (4.) a (4.) plye ε ε ε ε cosθ cosθ cosθ cosθ ( r) E x r s = = =, ( i) (4.3) Ex ε ε ε ε cosθ + cosθ cosθ + cosθ kde dle Sellova zákoa (.8) cosθ si θ = ( / ). (4.4) Poěvadž pro kladé i záporé platí (3.4), tj. ε =, rovici (4.3) můžeme upravit do podoby 5 r s cosθ ( / ) si θ =, (4.5) cosθ + ( / ) si θ 4 Při výpočtech byl sledová postup uvedeý v []. 5 Pro všechy případy uvažujme, že θ < θ m, kde θ m je mezí úhel. 6

Obr. 8 Iterakce rovié elektromagetické vly s izotropím homogeím (eabsorbujícím) prostředím se záporým idexem lomu (S-polarizace). Tok eergie je vyjádře Poytigovým vektorem S (červeá barva). která je platá pro kladý i záporý idex lomu. Jackso provedl úpravu, která platí je pro kladý idex lomu, a proto jako Freselův vztah uvádí rovici (viz (7.39) v []) r s cosθ si θ =. (4.6) cosθ + si θ Je zřejmé, že pokud bude, čitatel v (4.6) bude větší ež jmeovatel a r >, což eí fyzikálě možé. < s Pro koeficiet propustosti t = + r pak platí s s ( t) cosθ E y ts = = ( i) (4.7) E y cosθ + ( / ) si θ Koeficiet propustosti platý pouze pro kladý idex lomu zí (viz (7.39) v []): cosθ t s =. (4.8) cosθ + si θ 7

8 P-polarizace Pro úplost uvedeme Freselovy vztahy pro p-polarizaci (které jsem vypočetl) platé pro kladý i záporý idex lomu: si ) / ( cos si ) / ( cos θ θ θ θ r p + =, (4.9) si ) / ( cos cos θ θ θ t p + =. (4.) V Jacksoově učebici alézáme Freselovy koeficiety ve tvaru (viz (7.4) v []) si cos si cos θ θ θ θ r p + =, (4.) si cos cos θ θ θ t p + =, (4.) které jsou platé pouze pro >.

4. Příklad: rozhraí vakuum prostředí s =. Vše, co bylo doposud řečeo, ázorě objasíme a příkladu, kdy dopadá elektromagetická vla z vakua = a prostředí se záporým idexem lomu =, kdy edochází k odrazu (viz (4.6), (4.9)). Nejprve uvažujme kolmý dopad rovié moochromatické vly. V tomto případě E a H leží v roviě rozhraí ( z = ), a proto jsou spojité. Z defiice Poytigova vektoru S = E H tedy ihed plye, že platí S = S, zatímco pro vlové vektory platí k = k (viz obr. 9), idex ozačuje vakuum a idex prostředí s idexem lomu =. Obr. 9 Šířeí elektromagetické vly z prostředí s = do prostředí s = (kolmý dopad). Při šikmém dopadu svazku z vakua a materiálové rozhraí astává lom. Na obr. je řeše problém lomu gaussovského moochromatického svazku dopadajícího pod úhlem 3 a prostředí s idexem lomu =. Svazek měl vlovou délku,5 m a byl polarizovaý kolmo k roviě dopadu. Je vidět, že fáze vly se šíří opačým směrem ež Poytigův vektor S. 9

a) b) c) d) Obr. Demostrace opačého lomu. Byl řeše stacioárí D problém lomu gaussovského moochromatického svazku dopadajícího pod úhlem 3 z vakua a prostředí se záporým idexem lomu. Svazek měl vlovou délku,5 m a byl polarizovaý kolmo k roviě dopadu zaostřeý a rozhraí materiálů (miimálí poloměr ve waistu m). Obrázky a) až d) zázorňují lom elektromagetické vly v časových itervalech odpovídající posuvu o 4 vlové délky. Je vidět, že fáze vly v oblasti s = se šíří opačým směrem ež Poytigův vektor S, který je zázorě šipkami. Vedle obrázku je vždy zázorěa stupice vyzačující itezitu elektrického pole. V obrázcích jsou a horizotálích (x) a vertikálích (z) osách rozměry oblasti v metrech. Vertikálí osa je kolmá a roviu rozhraí. V horí části každého obrázku (z > ) je kladý idex lomu = a ve spodí části (z < ) je záporý idex lomu = a = ε =. Obrázky byly získáy pomocí RF (radiofrequecy) modulu programu COMSOL Multiphysics. (Výpočty provedl J. Zlámal). 3

Obr. Materiál s = láme světelé paprsky a opačou strau od kolmice, ež je tomu u běžých materiálů. Světlo, které vychází z bodového zdroje v předmětové roviě (pro l < d), je fokusováo uvitř destičky a ásledě i v obrazové roviě. Obraz vziká ve vzdáleosti d od objektu (upraveo dle []). Zajímavá situace astává v případě, kdy máme vrstvu se záporým idexem lomu umístěou ve vakuu. Obr. demostruje případ dvojitého rozhraí, kdy je vitří vrtsva s idexem lomu = a = ε = obklopea vakuem. Veškerá eergie destičkou prochází a žádá její část se eodráží zpět. Lze vidět, že paprsky vycházející z bodového zdroje v předmětové roviě jsou dvakrát lámáy a fokusováy. Poprvé uvitř destičky a podruhé v obrazové roviě. Poprvé detailě teoreticky popisuje tuto superčočku J. B. Pedry [3]. Teto fokusující prvek eí čočkou v běžém slova smyslu, protože apř. efokusuje paprsky z ekoeča. Zatím se hledají možosti realizace těchto superčoček. Limitujícím faktorem realizace superčoček je jejich vlastí výroba. Je jedoduché provádět simulace a výpočty, ale samoté experimety jsou velmi áročé. Pedry opět přišel s myšlekou z roku 6, že by metamateriály mohly lámat světlo kolem daého objektu a tím jej udělat pro lidské oko eviditelým. Moho vědců yí pracuje a vývoji metamateriálových struktur, které by vykazovaly tyto požadovaé vlastosti. Jak je vidět z dřívějších prací, realizace superčoček má výzamé praktické využití. Vyrobit je je opravdu velmi jedoduché, říká Pedry. Je je otázkou udělat to správě [5]. 3

3

5 Závěr V této bakalářské práci byly provedey podrobé výpočty a byla věováa pozorost místům, kde v elektrodyamice a optice dochází k odlišostem metamateriálů od běžých materiálů. Výpočty vyžadují v těchto místech zvýšeou obezřetost. Z Maxwellových rovic pro lieárí izotropí prostředí byl v prví kapitole odvoze vztah pro idex lomu = ε ( ω) ( ω). Detailě jsme poukázali a problematiku jeho odmocňováí, které může vést k záporé hodotě. Podstaté je, že záporý idex lomu lze získat pouze pro určitou frekvečí oblast, ve které jsou permitivita ε a permeabilita současě záporé. Je to důsledek kauzality, z íž plyou Kramersovy-Kroigovy relace, které svazují reálé a imagiárí části permitivity a permeability. Dále jsme studovali šířeí eergie v eohraičeém izotropím disperzím prostředí. Bylo detailě ukázáo, že v oblasti mimo rezoaci se grupová rychlost v g rová rychlosti šířeí elektromagetické eergie v E, která má opačý směr ež rychlost fázová. Freselovy vztahy jsme podrobili kritice a jejich odvozeí jsme věovali pozorost tak, aby výsledek byl platý pro kladý i záporý idex lomu. Na závěr jsme se zabývali šířeím eergie tekou vrstvičkou s = obklopeou vakuem. To by mohlo alézt využití apř. u tzv. superčoček [3], [5]. Materiály se záporým idexem lomu ám kladou otázku, do jaké míry lze v optice a oblastech aplikací převzít vztahy běžé elektrodyamiky. Lze pro všechy případy formálě ahradit? Odpověď zí: elze. Zatímco Sellův záko se zachovává, Poytigův vektor S je zde atiparalelí s vlovým vektorem k, což má za ásledek, že se grupová rychlost šíří v opačém směru ež rychlost fázová. Využití metamateriálů v celé oblasti frekvečího spektra přiáší do budouca moho možostí. Nicméě tato problematika vyžaduje ještě moho úsilí. Praktické aplikace budou požadovat ízkozrátové materiály, což je velká výzva pro materiálové desigéry. 33

34

Dodatek A Kramersovy-Kroigovy relace a jejich důsledky Odezva a podmět ( t ) F i v lieárím prostředí je dáa vztahem Fout ( t) = dt G( t t ) Fi ( t ). (A) Při iterakci elektromagetického zářeí s prostředím je podmětem ( t ) F i itezita elektrického pole E (respektive itezita magetického pole H ) a odezvou F out (t) je elektrická idukce D (respektive magetická idukce B ). Vzhledem ke kauzalitě pro odezvovou fukci platí: ( t t ) = g pro t > t. (A) Tato podmíka zásadím způsobem určuje chováí permeability a permitivity: platí pro ě Kramersovy-Kroigovy relace [6], které se odvozují pomocí teorie komplexích fukcí. Fourierovou trasformací (A) dostaeme ( ω) F ( ω) F ( ω) = G, (A3) out i kde out (ω) F i ω jsou pořadě Fourierovy obrazy (t) trasformace odezvové fukce, F, ( ) G ( ω) dτ G( τ ) exp( iωt) =. F out, F i ( t ) a ( ω) G je Fourierova G permitivita,. Reálé a imagiárí části V elektromagetismu je Fourierova trasformace odezvové fukce ( ω) ε ( ω) = ε ( ω) + i ε ( ω) a permeabilita ( ω) = ( ω) + i ( ω), kde ε ( ω) = Re( ε ( ω) ) ε ( ω) = Im( ε ( ω) ), ( ω) = Re( ( ω) ), ( ω) = Im( ( ω) ) permitivity ε ( ω) a permeability ( ω) jsou svázáy Kramersovými-Kroigovými relacemi ( ω) ε ε ( ω) = P dx, (A4a) π x ω - ( ω) ε ε ( ω) = P dx, (A4b) π x ω - 35

( ω) ( ω) = P dx, (A5a) π x ω - ( ω) ( ω) = P dx, (A5b) π x ω - kde P vyjadřuje hlaví hodotu itegrálu. Ve frekvečí oblasti, kde je slabá absorpce, vychází z Kramersových-Kroigových relací podstaté erovosti [6, s. 8] d dω ( ε ( ω) ω) >, (A6a) d dω ( ( ω) ω) >. (A6b) Tyto erovosti jsou důležité pro diskusi středí hodoty hustoty eergie u ω (viz odst. 3.5). S užitím (A6a,b) také dokážeme, že a) pro ε ( ω) >, ( ω) > b) pro ε ( ω) <, ( ω) < je >, g je <. g Důkaz: Nerovici (A6a) vyásobíme a erovici (A6b) vyásobíme ε a obě erovosti sečteme. Pro ε > a > dostaeme d ε ( εω) = ω + ε >, (A7a) dω ω d ε ( ω) = ωε + ε >, (A7b) dω ω zatímco proε < a < dostaeme d ε ( εω) = ω + ε <, (A8a) dω ω d ε ( ω) = ωε + ε <. (A8b) dω ω 36

37 Rovice (A7a) a (A7b), resp. rovice (A8a) a (A8b) sečteme a po úpravách dostaeme < > = + = + = + + g ω ω ω ω ε ω ε ω ε ω, (A9) kde horí erovost platí pro > ε a > (kdy i > ) a spodí erovost platí pro < ε a < (kdy i < ). Z relace (A9) také plye, že g je vždy kladé. Zdůrazěme, že výše uvedeé vztahy byly odvozey pro slabou absorpci, mimo oblast rezoace.

38

Dodatek B Permitivita a permeabilita metamateriálů Permitivita ε ( ω) = ε ( ω) + i ε ( ω) a permeabilita ( ω) ( ω) + ( ω) elektrické a magetické vlastosti materiálů. Jejich imagiárí části ε ( ω) a ( ω) = i charakterizují popisují ztráty v prostředí a jsou vždy kladé; jiak by při průchodu elektromagetické vly materiálem došlo k jejímu zesíleí, což je možé apř. u laseru. Reálé části permitivitty ε ( ω) a permeability ( ω) mohou být kladé i záporé. Dvojice ε ( ω), ε ( ω) a ( ω), ω jsou svázáy Kramersovými-Kroigovými relacemi, které plyou z kauzality. ( ) U běžě se vyskytujících materiálů elze dosáhout ve viditelé frekvečí oblasti současě záporé reálé části permitivity a permeability. Materiály, které vykazují záporou permitivitu ve frekvečí oblasti viditelého spektra, jsou apř. kovy (stříbro, hliík), jejichž komplexí permitivitu lze vyjádřit z Drudeho modelu [4, s. 93]. ωp ε ( ω) = ε ( ω) + iε ( ω) =, (B) ω ω ( + iγ ) kde ω p e = (B) m ε e je plasmová frekvece, a γ 3 s - je tlumeí. 9 m -3 je kocetrace elektroů, m e je hmotost elektrou Materiály, které by ve stejé frekvečí oblasti měly permitivitu a permeabilitu současě záporou, lze uměle vyrobit. Základími stavebími kamey těchto metamateriálů ejsou atomy, ale útvary jako jsou teké kovové tyčiky a mikrorezoátory (obr., 3). Metamateriál lze považovat za kotiuum, a tedy jej lze popisovat pomocí efektiví permitivity a efektiví permeability, v případě zářeí s vlovými délkami λ >> a, kde a je rozměr základí buňky metamateriálů (vzdáleosti drátků ebo rozměr mikrorezoátorů). Nejprve byly zkostruováy metamateriály pro oblasti mikrovl a v současé době se pomocí aotechologií začíají vyrábět metamateriály pro oblasti ifračerveého až viditelého zářeí [4], [5]. Jako příklad prostředí se záporým idexem lomu uvedeme materiál, který zkostruoval v roce David R. Smith pomocí kombiace pole drátků (se záporou permitivitou) spolu s polem štěrbiových rezoátorů (se záporou permeabilitou), viz obr. 4. Metamateriál se záporou efektiví permitivitou, již lze vyjádřit pomocí Drudeho modelu, je vytvoře ze stejých periodicky uspořádaých kovových drátků (viz obr. ). V tomto případě je ve výrazu pro plasmovou frekveci (B) kocetrace elektroů ahrazea efektiví elektroovou kocetrací ef r π =, (B4) a 39

Obr. Materiál se záporou permitivitou: systém periodicky uspořádaých hliíkových drátků [, s. 3]. Obr. 3 Materiál se záporou permeabilitou: systém štěrbiových rezoátorů [3]. a) b) Obr. 4 a) Struktura metamateriálu zkostruovaého z pole drátků a štěrbiových rezoátorů [3]. b) Struktura štěrbiových rezoátorů v měděém obvodu spojeá s měděými drátky vykazující současě záporou permitivitu a permeabilitu. Struktura má a výšku cm []. 4

kde r je poloměr drátku a a je rozměr buňky, a hmotost elektrou je ahrazea efektiví hmotostí m ef, která je určea vlastí idukčosti tyčiky. Frekvečí závislost efektiví permitivity takového materiálu je a obr. 5. Pro hliíkové drátky s r = m a a = mm leží. Tato oblast je zajímavá proto, že pro i lze z mikrorezoátorů o rozměrech řádově v desítkách mikrometrů vytvořit metamateriál se záporou permeabilitou. efektiví plasmová frekvece v oblasti mikrovl ( GHz) Vyrobit prostředí se záporou permeabilitou je mohem áročější. Prví ávrh pochází od J. Pedryho z roku 999 []. Materiály se záporou permeabilitou zahrují feromagetické systémy opakujících štěrbiových rezoátorů, viz obr. 3. Permeabilitu takového materiálu lze popsat Lorezovým modelem ω) = ( ω) + i ( ω) ( ef ef ef Fω =, (B3) ω ω + iωγ kde F vyjadřující stupeň zaplěí buňky materiálem je aalogií síly oscilátoru, ω je resoačí frekvece v oblasti mikrovl, a Γ je tlumeí. Frekvečí závislost efektiví permeability takového materiálu je a obr. 5. Obr. 5 Frekvečí závislost efektiví permitivity a permeability metamateriálu. Permitivita je popsáa Drudeho modelem (B) s plasmovou frekvecí ω a permeabilita Lorezovým modelem (B3), kde resoačí frekvece ω =, ω a síla oscilátoru F =, 56. Barevě je 4 vyzačea oblast, kde jsou permitivita a permeabilita současě záporé. p p 4

4

Literatura [] Ramakrisha S. A.: Physics of egative refractive idex materials. Rep. Prog. Phys. 68 (5) 449. [] Veselago V. G.: The electrodyamics of substaces with simultaeously egative values of ε ad. Sov. Phys. Usp. (968) 59. [3] Pedry J. B., Smith D. R.: Reversig light with egative refractio. Phys. Today, Jue 4, 37. [4] Shalaev V. M.: Optical egative-idex metamaterials. Nature Photoics (7) 4. [5] Lezec H. J. et al.: Negative refractio at visible frequecies. Sciece 36 (7) 43. [6] Ladau L. D., Lifšic J. M, Pitajevskij L.P.: Electrodyamics of Cotiuous Media (d ed.), Butterworth-Heiema,. [7] Ramakrisha S. A., Marti O. J. F.: Resolvig the wave vector i egative refractive idex media. Optics Letters 3 (5) 66. [8] Shelby R.A., Smith D. R., Schultz S.: Experimetal verificatio of a egative idex of refractio. Sciece 9 () 77. [9] Kvasica J.: Teorie elektromagetického pole, Academia, Praha 985. [] Miloi P. W.: Fast light, Slow Light ad Left Haded Light (Series i Optics ad Optoelectroics), IOP Publ., Bristol-Philadelphia 5. [] Jackso J.D.: Classical Electrodyamics, (3rd ed.), J. Wiley, 999. [] Pedry J. B.: Negative refractio. Cotem. Phys. 45 (4) 9. [3] Pedry J. B.: Negative Refractio Makes a Perfect Les. Phys. Rev. Lett. 85 () 3966. [4] Kittel Ch.: Úvod do Fyziky pevých látek, Academica, Praha, 985. [5] Brumfield G.: Ideal focus. Nature 459 (9) 54. 43