Matematika I: Aplikované úlohy

Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava

260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí 20 m/s. Hráč se nachází v poli 22 m od pálkaře ve směru letu míče a běží rychlostí 10 ms 1. Stihne chytit míč? Určete čas a vzdálenost dopadu pro obecnou rychost v a úhel α. zanedbáme odpor vzduchu Šikmý vrh je dán parametrickými rovnicemi: Rovnice má dvě řešení, počáteční čas t = 0 a čas dopadu na zem: xt = v t cosα yt = v t sinα 1 2 g t2 Vzdálenost dopadu je t dopad = 20 9.81. = 2.0387 s kde t je čas nabývající hodnot od 0 do doby dopadu na zem, g = 9.81 m s 2 je konstanta, v je počáteční rychlost a α je elevační úhel. Míč má v každém čase t polohu [xt, yt]. 5 v = 20α = 30 [xt, yt] 0 5 10 15 20 25 30 35 Spočítáme čas dopadu na zem, při kterém má míč y-ovou souřadnici rovnu 0. Do rovnice dosadíme za y = 0, sin30 = 1 2 a g = 9.81: 0 = 10t 9.81 2 t2 xt dopad = v t dopad cosα = 20 20 9.81 cos30. = 35.32 m Hráč v poli je od místa dopadu vzdálen 35.32-22=13.32 m. Tuto vzdálenost uběhne za: t = 13.32 = 1.332 s. 10 Spočítáme čas a vzdálenost dopadu na zem pro obecné hodnoty v a α. Do rovnice dosadíme za y = 0 a g = 9.81: 0 = v t sinα 1 9.81 t2 2 t dopad = 2 9.81 v sinα xt dopad = 2 9.81 v2 sinα cosα

f 1 Matematika I - aplikované úlohy 261. Řy 284 - Fotbalista Zadání Fotbalista kope na bránu ze vzdálenosti 11 m a chce trefit těsně pod horní břevno 2 m. Rychlost míče při výkopu je 20 m/s. Pod jakým úhlem musí vystřelit, aby se trefil? zanebnáme odpor vzduchu Do rovnic popisující šikmý vrh dosadíme souřadnice cíle x = 11, y = 2 a v = 20, g = 9.81: x = v t cosα y = v t sinα 1 2 g t2 11 = 20t cosα 2 = 20t sinα 1 9.81 t2 2 A hledáme t 0, t dopad a α 0, 90, jako řešení soustavy rovnic. Z první rovnice vyjádříme sinα a z druhé cosα: 11 = 20t cosα cosα = 11 20t 2 = 20t sinα 1 2 9.81 t2 sinα = 4 + 9.81t2 40t Zavedeme substituci z = t 2 a rovnici vyřešíme. 96.2361z 2 1521.52z + 500 = 0 z 1 = 15.4745 t 1 = z 1 = 3.9338 z 1 = 0.3357 t 2 = z 2 = 0.5794 Ze prvního vztahu vyjádříme α = arccos 11 20 t a spočítáme hledané úhly: 11 α 1 = arccos = 1.43 rad =. 82 20 t 1 11 α 2 = arccos = 0.32 = rad =. 18 20 t 2 Fotbalista se trefí pro hodnoty úhlu α 1 = 82 za 3.9338 s nebo α 2 = 18 za 0.5794 s. Dosadíme do známého vztahu sin 2 α + cos 2 α = 1: sin 2 α + cos 2 α = 1 20 4 + 9.81t 2 2 11 2 + = 1 40t 20t 4 + 9.81t 2 2 + 4 11 2 = 40 2 t 2 96.2361t 4 1521.52t 2 + 500 = 0 10 0 α 2 = 82 α 2 = 18 5 10 cíl = [11, 2]

262. Řy 285 - Krabice Zadání Z desky o rozměrech 80 cm a 50 cm vyřízneme v rozích čtverce a složíme krabici. Určete délku strany čtverce tak, aby objem složené krabice byl co největší? Lze do výsledné krabice nasypat 10 litrů? Vyřešte úlohu pro obecné rozměry desky a, b. Bude-li mít deska čtvercové rozměry, bude mít krabice tvar krychle? Zakreslíme si desku s výřezy: Rovnice má řešení x = 10. Výsledná krabice má rozměry podstavy 40 cm a 30 cm a výšku 10 cm. Objem krabice bude: V10 = 80 2 1050 2 1010 = 12000 cm 2 = 12 litrů. x b pro obecné rozměry je: x a x = a + b a 2 ab + b 2 6 Výška krabice je x, rozměry podstavy jsou 80 2x a 50 2x. Pak objem krabice je dán vztahem: Vx = 80 2x50 2xx. Hledáme maximum funkce Vx na intervalu 0; 25. Najdeme stacionární bod funkce Vx: V x = 0 12x 2 520x + 4000 = 0 Bude-li deska čtvercem, pak a = b a řešení je x = a 6. Krabice má rozměry: a objem má hodnotu: 2 3 a 2 3 a 1 6 a V = 2 27 a3.

263. Řy 286 - Drát na výrobu sítí Zadání Rybář má drát dlouhý 30 metrů. Potřebuje jej rozdělit na dvě části, z jedné vyrobí kostru na kruhovou sít a z druhé části vyrobí kostu na čtvercovou sít. V jakém poměru drát rozdělit, aby součet obsahů obou sítí byl co nejmenší? Kolik bude obsah kruhové sítě? Drát rozdělíme na dvě části. x 30-x r Část pro obvod kruhu označíme x, pak část pro čtverec je 30 x. Pro obvody platí vztah: o kruh : 2πr = x r = x 2π očtverec : 4a = 30 x a = 30 x 4 Hledáme hodnotu x tak, aby součet obsahů kruhu a čtverce byl co největší. Součet obsahů se spočítá: x 2 30 x 2 S =πr 2 + a 2 = π + = x2 30 x2 + 2π 4 4π 16 a Hodnota součtu obsahů S závisí na hodnotě x a proto je Sx funkcí proměnné x: Sx = x2 30 x2 + 4π 16 Najdeme stacionární bod funkce Sx: S x =0 2x 230 x + = 0 4π 16 4x π30 x = 0 8π x = 30π 4 + π. = 13.2 Drát rozdělíme na část o délce 13.2 pro kruh a 16.8 pro čtverec. Spočítáme poměr částí drátu: 30π x 30 x = 4+π 30 30π 4+π = π 4 S kruh = x2 30π 2 4π = π = 547.39 4 + π

264. Řy 287 - Křižování lodí I Zadání Trasy dvou lodí se protínají v pravém úhlu. Když je obchodní lod v průsečíku tras, tak je pirátská ještě 20 km vzdálená od onoho průsečíku. Obchodní lod jede rychlostí 30 km/h a pirátská 50 km/h. Jaká je minimální vzdálenost, kterou od sebe lodi budou mít? Jaká musí být rychlost pirátské lodi, aby mohli piráti zaútočit dělem s dostřelem 6 km? Nakreslíme si polohu lodí podle popisu v zadání, tedy pro čas t = 0 viz obr.1. Za čas t ujede obchodní lod trasu o délce 30t a pirátská lod trasu o délce 50t. Na druhé obrázku je zobrazena poloha lodí v čase t. 20 pirátská lod trasa obchodní lodi obchodní lod trasa pirátské lodi obr. 1: Poloha lodí v čase t = 0 50t pirátská lod s trasa obchodní lodi obchodní lod 30t trasa pirátské lodi obr. 2: Poloha lodí v čase t Vzdálenost lodí je v čase t vyjádřená vztahem: s 2 = 30t 2 + 20 50t 2. Vyjádříme vzdálenost jako funkci proměnné t: st = 30t 2 + 20 50t 2 Nejmenší vzdálenost najdeme jako minimum této funkce: s t = 0 2 30 2 t 10020 50t 2 30t 2 + 20 50t 2 = 0 2 30 2 t 10020 50t = 0 t = 5. = 0.29 hod 17 s0.29 = 10.289 km Pro obecnou rychlost pirátské lodi vzdálenost lodi vyjádřena funkcí: st = 30t 2 + 20 v t 2 Nejmenší vzdálenost najdeme jako minimum této funkce: s t = 0 2 30 2 t 2v20 v t 2 30t 2 + 20 v t 2 = 0 t = 20v 30 2 + v 2 Lodě budou k sobě nejblíž v čase t min = 20v. Dosadíme tento čas do 30 2 +v 2 vztahu a zjistíme potřebnou rychlost lodi, při které bude nejmenší vzdálenost 6 km. st min = 600 v 2 + 900 6 = 600 v 2 + 900 v = 95.39 km/h

265. Řy 288 - Křižování lodí II Zadání Trasy dvou lodí se protínají v úhlu α. Když je obchodní lod v průsečíku tras, tak je pirátská ještě 20 km vzdálená od onoho průsečíku. Obchodní lod jede rychlostí 30 km/h a pirátská 50 km/h. Jaká je minimální vzdálenost, kterou od sebe lodi budou mít? Spočítejte úlohu pro α = 60 a α = 45. Za čas t ujede obchodní lod trasu o délce 30t a pirátská lod trasu o délce 50t. Na obrázku je zobrazena poloha lodí v čase t. 50t pirátská lod s trasa obchodní lodi 30t α obchodní lod trasa pirátské lodi Nejmenší vzdálenost najdeme jako minimum této funkce: 2 30 2 t 10020 50t 2 cosπ α3020 50t + 30t 50 2 30t 2 + 20 50t 2 230t20 50t cosπ α s t = 0 = 0 2 30 2 t 10020 50t 2 cosπ α3020 50t + 30t 50 = 0 rovnice je: t = 18t 20 + 50t 12 cosπ α = 0 5 + 3 cosπ α 17 Spočítáme nejmenší vzdálenost a čas, ve kterém ji bude dosaženo, pro zadané hodnoty úhlu α: Vzdálenost lodí je v čase t vyjádřená pomocí kosinové věty vztahem: s 2 = 30t 2 + 20 50t 2 230t20 50t cosπ α Vyjádříme vzdálenost jako funkci proměnné t: st = 30t 2 + 20 50t 2 230t20 50t cosπ α α = 60 = π 3 α = 45 = π 4 t = 5 + 3 cos 2π 3. = 0.2059 hod 17 s0.2059 = 13.8673 km t = 5 + 3 cos 3π 4. = 0.1693 hod 17 s0.1693 = 15.5461 km

ˇ Matematika I - aplikované úlohy 266. Řy 289 - Přeprava ořechů Zadání Veverka potřebuje od jednotlivých stromů roznést ořechy do svých skrýší. Množství ořechů, které se urodí u jednotlivých stromů a kapacity skrýší jsou uvedené v tabulkách. Možné cesty jsou zobrazeny v grafu. strom č. 1 2 3 úroda 100 150 100 skrýš č. 1 2 3 4 5 má kapacitu 20 80 60 100 90 strom č.1 strom č. 2 strom č. 3 skrýš č. 1 skrýš č. 2 skrýš č. 3 skrýš č. 4 skrýš č. 5 Veverka potřebuje od jednotlivých stromů roznést ořechy do svých skrýší. Jednotlivé cesty označíme a, b, c, d, e, f, g 100 strom č.1 150 strom č.2 100 strom č.3 c a b g e f d 20 skrýš č. 1 80 skrýš č. 2 60 skrýš č. 3 100 skrýš č. 4 90 skrýš č. 5 Součet počtu ořechů, které jsou odneseny od prvního stromu, musí být roven úrodě tohoto stromu. Tedy musí platit a + b + c = 100. Obdobně sestavíme rovnice i k ostatním stromům. Další rovnice dostaneme z úvahy, že součet počtu ořechů, přinesených do skrýše, musí být roven kapacitě této skrýše. Pak dostaneme soustavu lineárních rovnic: a + b + c = 100 e + g = 150 d + f = 100 a = 20 f = 80 b + d = 60 c + g = 100 e = 90 Soustavu lineárních rovnic zapíšeme maticově: 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 a 0 0 0 1 0 1 0 0 b 1 0 0 0 0 0 0 0 c 0 0 0 0 0 1 0 0 d = e 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 f g 0 0 0 0 1 0 0 0 100 150 100 20 80 60 100 90

267. Řy 290 - Tajné zprávy I Zadání Kryptografie neboli šifrování je nauka o metodách utajování smyslu zpráv převodem do podoby, která je čitelná jen se speciální znalostí. Slovo kryptografie pochází z řečtiny, kryptós je skrytý a gráphein znamená psát. Jednou z jeho metod je i maticové šifrování. Zašifrujte tajnou zprávu: P I R A T I O D J E L I Pomocí kódovací matice: 1 2 A = 0 3 Písmena v abecedě očíslujeme: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Před šifrováním se znaky převedou na čísla A 1, B 2,..., Z 26, mezera 27. P I R A T I O D J E L I 16 9 18 1 20 9 27 15 4 10 5 12 9 Zašifrovaná zpráva se zapíše po posloupcích do matice počet řádků matice je určen řádem kódovací matice A. Případný chybějící znak na konci se doplní mezerou: 16 18 20 27 4 5 9 9 1 9 15 10 12 27 A vynásobí se zleva maticí A: 1 2 16 18 20 27 4 5 9 34 20 38 57 24 29 63 0 3 9 1 9 15 10 12 27 = 27 3 27 45 30 36 81 Čísla z matice přepíšeme po sloupcích do vzkazu, který může být poslán veřejně, nebot bez znalosti kódovací matice A je nezjistilený: 34 27 20 3 38 27 57 45 24 30 29 36 63 81

268. Řy 291 - Tajné zprávy II Zadání Rozluštěte tajné zprávy: zpráva č. 1: 38 36 41 7 69-7 42 1 81 31 zpráva č. 2: 43 30-2 46 25 21 50 37-36 35 22-26 20 11 2 Zprávy byly zašifrovany pomocí kódovacích matic: zpráva č. 1: A = 3 2 4 1 zpráva č. 2: B = 1 2 1 0 2 1 1 1 2 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Spočítáme inverzní matici: A pomocí této matice dešiftuje vzkaz: 1 1 2 11 4 3 A 1 = 1 1 2 11 4 3 38 41 69 42 81 36 7 7 1 31 = 10 5 5 4 13 4 13 27 15 21 Vzkaz po sloupcí přečteme: 10 4 5 13 5 27 4 15 13 21 J D E M E D O M U Rozšifrujeme druhou zprávu: 1 5 5 5 0 1 3 1 2 1 2 43 46 50 35 20 30 25 37 22 11 2 21 36 26 2 = 13 21 13 13 9 9 10 5 1 3 12 5 27 20 5

269. Řy 292 - Plachta nad bazén Zadání V rozích bazénu o rozměrech 10 m 10 m umístíme tyče o délkách 2, 3, 5 m. Na konce tyčí připevníme plachtu. Jaká bude délka tyče ve čtvrtém rohu, chceme-li aby se plachta neprohýbala? Kolik existuje možností rozmístění tyčí? Při které z nich bude potřeba nejkratší tyč. Tyče umístíme tak jak je zobrazeno na obrázku: B 1 = [10, 0, 5] [10, 0, 0] z A 1 = [0, 0, 2] [0, 0, 0] D 1 = [10, 10,?] C 1 = [0, 10, 3] [0, 10, 0] x [10, 10, 0] Hledáme z-ovou souřadnici bodu [10, 10,?]. Body na koncích tyčí určují rovinu, ta je určena body A 1 = [0, 0, 2], B 1 = [10, 0, 5], C 1 = [0, 10, 3]. Určíme rovnici této roviny. Její směrové vektory jsou B 1 A 1 = 10, 0, 3 a C 1 A 1 = 0, 10, 1. Parametrické vyjádření roviny je: x =10t y =10s z =2 + 3t + s t, s R y Hledaný bod má souřadnice D 1 = [10, 10, 6], tedy délka čtvrté tyče je 6 m. Existuje i jiná možnost, jak rozmístit tyče. Bude v protilehlém rohu ke čtvrté tyči například tyč o délce 3 m, pak je rovina určena body A 2 = [0, 0, 3], B 2 = [10, 0, 5], C 2 = [0, 10, 2]. A směrové vektory roviny jsou B 2 A 2 = 10, 0, 2 a C 2 A 2 = 0, 10, 1. Parametrické vyjádření roviny je: x =10t y =10s z =3 + 3t s t, s R Hledaný bod má souřadnice D 2 = [10, 10, 4], tedy délka čtvrté tyče je 4 m. Bude-li ti tyč o délce 5 m v protilehlém rohu ke čtvrté tyči, rovina pak bude určena body A 3 = [0, 0, 5], B 3 = [10, 0, 3], C 3 = [0, 10, 2]. Hledaný bod má souřadnice D 3 = [10, 10, 0], tedy žádná tyč není potřeba a plachtu lze připevnit na zem. Hledáme z-ovou souřadnici bodu [10, 10,?]. x =10t 10 = 10t t = 1 y =10s 10 = 10s s = 1 z =2 + 3t + s z = 2 + 3 + 1 z = 6