Viskoelastická deformace v geofyzikálních aplikacích

Viskoelastická deformace v geofyzikálních aplikacích Řešitel: Kateřina Sládková Vedoucí: doc. RNDr. Ondřej Čadek, CSc. (KG) Konzultant: RNDr. Ondřej Souček, Ph.D. (MÚ)

Termální konvekce v zemském plášti

ROVNICE A MODELY PLÁN

PLÁN ROVNICE A MODELY CÍL A MOTIVACE

PLÁN ROVNICE A MODELY CÍL A MOTIVACE NUMERICKÉ METODY

PLÁN ROVNICE A MODELY CÍL A MOTIVACE NUMERICKÉ METODY POSTUP PRÁCE

PLÁN ROVNICE A MODELY CÍL A MOTIVACE NUMERICKÉ METODY POSTUP PRÁCE PŘIDÁVÁNÍ VISKOELASTICKÝCH ČLENŮ

PLÁN ROVNICE A MODELY CÍL A MOTIVACE NUMERICKÉ METODY POSTUP PRÁCE PŘIDÁVÁNÍ VISKOELASTICKÝCH ČLENŮ TESTOVÁNÍ KÓDU

PLÁN ROVNICE A MODELY CÍL A MOTIVACE NUMERICKÉ METODY POSTUP PRÁCE PŘIDÁVÁNÍ VISKOELASTICKÝCH ČLENŮ TESTOVÁNÍ KÓDU VIZUALIZACE

Zákony zachování

Zákony zachování hmoty: d dt + divv =0

Zákony zachování hmoty: hybnosti: d dt + divv =0 dv dt = div T+ f

Zákony zachování hmoty: hybnosti: momentu hybnosti: d dt + divv =0 dv dt = div T+ f T=T T

Zákony zachování hmoty: hybnosti: momentu hybnosti: energie: d dt + divv =0 dv dt = div T+ f T=T T de dt =T D div q

Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0

Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f

Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t

Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t S=2 D viskózní reologie

Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t S=2 D viskózní reologie = (p, T, D, r)

Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t O t relaxs+ S=2 D = (p, T, D, r) Maxwellovská reologie

Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t t relax @S S=2 D Maxwellovská reologie @t + = (p, T, D, r)

Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t S 2( 1 + 2 )D = 2D 2 O D D O S Oldroyd-B reologie

Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t O O S 2( 1 + 2 )D = 2D 2D DS Oldroyd-B reologie = @ +(v r) (W W) + a(d + D), a2 [ 1, 1] t a @t

Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t O O S 2( 1 + 2 )D = 2D 2D DS Oldroyd-B reologie = @ +(v r) (W W) + a(d + D), a2 [ 1, 1] t a @t O @ a = 1 := + v r rv (rv)t @t

MOTIVACE A CÍL MODELOVÁNÍ GEOMATERIÁLŮ

MOTIVACE A CÍL MODELOVÁNÍ GEOMATERIÁLŮ dosud: viskózní kapaliny Maxwell, většinou pouze t relax @S @t + S=2 D

MOTIVACE A CÍL MODELOVÁNÍ GEOMATERIÁLŮ dosud: viskózní kapaliny Maxwell, většinou pouze t relax @S @t + S=2 D skutečnost: viskoelastické kapaliny

MOTIVACE A CÍL MODELOVÁNÍ GEOMATERIÁLŮ dosud: viskózní kapaliny Maxwell, většinou pouze t relax @S @t + S=2 D skutečnost: viskoelastické kapaliny CÍL: srovnání viskózní a viskoelastické deformace

MOTIVACE A CÍL MODELOVÁNÍ GEOMATERIÁLŮ dosud: viskózní kapaliny Maxwell, většinou pouze t relax @S @t + S=2 D skutečnost: viskoelastické kapaliny CÍL: srovnání viskózní a viskoelastické deformace VÝSLEDEK: role elasticity

Oldroydův-B model 1) Rovnice 3 4 R 2 2 1

Oldroydův-B model 1) Rovnice rovnice kontinuity: div v =0 3 4 R 2 2 1

Oldroydův-B model 1) Rovnice 3 rovnice kontinuity: div v =0 přírůstková pohybová rovnice: 4 R 2 1 2 rp + div S=RaT e z

Oldroydův-B model 1) Rovnice 3 rovnice kontinuity: div v =0 přírůstková pohybová rovnice: 4 R 2 1 2 reologický vztah: rp + div S=RaT e z S 2( 1 + 2 )D = 2D 2 O D D O S

Oldroydův-B model 1) Rovnice rovnice kontinuity: div v =0 3 4 R 2 2 přírůstková pohybová rovnice: 1 reologický vztah: rp + div S=RaT e z S 2( 1 + 2 )D = 2D 2 O D D O S rovnice přenosu tepla: @T @t = 4T v rt

Oldroydův-B model 2) Okrajové a počáteční podmínky 3 4 R 2 2 1

Oldroydův-B model 2) Okrajové a počáteční podmínky 3 free-slip: v n =0 S n =((S n) n)n 4 R 2 2 1

Oldroydův-B model 2) Okrajové a počáteční podmínky free-slip: konstantní teplota: v n =0 S n =((S n) n)n 3 4 R 2 1 2 T 1 T 3 = T bot = T top

Oldroydův-B model 2) Okrajové a počáteční podmínky free-slip: konstantní teplota: v n =0 S n =((S n) n)n 3 4 R 2 1 2 T 1 T 3 = T bot = T top zrcadlové podmínky: q n 2 =0 q n 4 =0

Oldroydův-B model 2) Okrajové a počáteční podmínky free-slip: konstantní teplota: v n =0 S n =((S n) n)n 3 4 R 2 1 2 T 1 T 3 = T bot = T top zrcadlové podmínky: q n 2 =0 q n 4 =0 počáteční podmínka T (t 0 )=T 0

Numerické metody

Numerické metody počáteční teplota T 0

Numerické metody počáteční teplota T 0 Stokes

Numerické metody počáteční teplota T 0 Stokes rychlost v

Numerické metody počáteční teplota T 0 Stokes rychlost v teplotní rovnice

Numerické metody počáteční teplota T 0 Stokes rychlost v teplotní rovnice teplota T

Numerické metody prostorová diskretizace: konečné diference počáteční teplota T 0 Stokes rychlost v teplotní rovnice teplota T

Numerické metody prostorová diskretizace: konečné diference časová diskretizace počáteční teplota T 0 Stokes teplotní rovnice: Adams-Bashfortovo schéma reologický vztah: zpětná Eulerova metoda rychlost v teplotní rovnice teplota T

Numerické metody prostorová diskretizace: konečné diference časová diskretizace počáteční teplota T 0 Stokes teplotní rovnice: Adams-Bashfortovo schéma reologický vztah: zpětná Eulerova metoda implementace: rychlost v teplotní rovnice teplota T vlastní program v jazyce Fortran 90

Konečné diference - síť

Konečné diference - proč?

Konečné diference - proč? pravidelná oblast

Konečné diference - proč? pravidelná oblast stabilní schéma i pro velké kontrasty viskozit

Konečné diference - proč? pravidelná oblast stabilní schéma i pro velké kontrasty viskozit i v nejjednodušším provedení, poměrně přesné: O(h 2 )

Konečné diference - proč? pravidelná oblast stabilní schéma i pro velké kontrasty viskozit i v nejjednodušším provedení, poměrně přesné: O(h 2 ) standardně používané

Konečné diference - proč? pravidelná oblast stabilní schéma i pro velké kontrasty viskozit i v nejjednodušším provedení, poměrně přesné: standardně používané náš úkol: O(h 2 ) nadstavba nad standardními geofyzikálními kódy

Numerické knihovny

Numerické knihovny počáteční teplota T 0 Stokes rychlost v teplotní rovnice teplota T

Numerické knihovny Stokes

Numerické knihovny Ax=b Stokes

Numerické knihovny Ax=b knihovna LAPACK Stokes

Numerické knihovny Ax=b knihovna LAPACK Stokes subroutiny DGBTRF, DGBTRS

Numerické knihovny Ax=b knihovna LAPACK Stokes subroutiny DGBTRF, DGBTRS DGBTRF: LU rozklad pásové matice A částečné pivotování se záměnou řádků

Numerické knihovny Ax=b knihovna LAPACK Stokes subroutiny DGBTRF, DGBTRS DGBTRF: LU rozklad pásové matice A částečné pivotování se záměnou řádků DGBTRS: řeší systém Ax=b

Numerické knihovny

Numerické knihovny počáteční teplota T 0 Stokes rychlost v teplotní rovnice teplota T

Numerické knihovny teplotní rovnice

Numerické knihovny časová integrace teplotní rovnice

Numerické knihovny časová integrace explicitně - Adams-Bashfortova metoda: metoda řádu k silně stabilní teplotní rovnice 1x vyhodnocování funkce za krok

Numerické knihovny časová integrace explicitně - Adams-Bashfortova metoda: metoda řádu k silně stabilní teplotní rovnice 1x vyhodnocování funkce za krok knihovna IMSL

Numerické knihovny časová integrace explicitně - Adams-Bashfortova metoda: metoda řádu k silně stabilní teplotní rovnice 1x vyhodnocování funkce za krok knihovna IMSL subroutina DIVPAG

Časový krok

Časový krok omezení pro zaručení stability kontrolujeme Courrantovým kritériem

Časový krok omezení pro zaručení stability kontrolujeme Courrantovým kritériem dt konv = min i,j dxi v x (i, j), dz j v z (i, j)

Časový krok omezení pro zaručení stability kontrolujeme Courrantovým kritériem dt konv = min i,j dxi v x (i, j), dz j v z (i, j) dt dif = dx2 apple, apple = k 0 c p

Časový krok omezení pro zaručení stability kontrolujeme Courrantovým kritériem dt konv = min i,j dxi v x (i, j), dz j v z (i, j) dt dif = dx2 apple, apple = k 0 c p dt cour = c min(dt cour,dt dif ),c2 (0, 1)

-2D\eta_2\Big(\nabla\mathbf{v}\dot \epsilon + \dot \epsilon(\nabla\mathbf{v})^t \Big) + D\Big(\nabla\mathbf{v}\sigma+ \sigma (\nabla\mathbf{v})^t \Big)

Postup práce S=2 1 D -2D\eta_2\Big(\nabla\mathbf{v}\dot \epsilon + \dot \epsilon(\nabla\mathbf{v})^t \Big) + D\Big(\nabla\mathbf{v}\sigma+ \sigma (\nabla\mathbf{v})^t \Big) 1. Oberbeck-Boussinesq pro newtonovskou tekutinu

Postup práce S = 2( 1 + 2 )D +2D 2 @D @t D @S @t -2D\eta_2\Big(\nabla\mathbf{v}\dot \epsilon + \dot \epsilon(\nabla\mathbf{v})^t \Big) + D\Big(\nabla\mathbf{v}\sigma+ \sigma (\nabla\mathbf{v})^t \Big) 1. Oberbeck-Boussinesq pro newtonovskou tekutinu 2. + časová parciální derivace

Postup práce @D S = 2( 1 + 2 )D +2D 2 D @S +2D 2 v rd Dv rs @t @t -2D\eta_2\Big(\nabla\mathbf{v}\dot \epsilon + \dot \epsilon(\nabla\mathbf{v})^t \Big) + D\Big(\nabla\mathbf{v}\sigma+ \sigma (\nabla\mathbf{v})^t \Big) 1. Oberbeck-Boussinesq pro newtonovskou tekutinu 2. + časová parciální derivace 3. + advekční členy

Postup práce @D S = 2( 1 + 2 )D +2D 2 D @S +2D 2 v rd Dv rs @t @t 2D 2 rv D+D(rv) T + D rv S+S(rv) T -2D\eta_2\Big(\nabla\mathbf{v}\dot \epsilon + \dot \epsilon(\nabla\mathbf{v})^t \Big) + D\Big(\nabla\mathbf{v}\sigma+ \sigma (\nabla\mathbf{v})^t \Big) 1. Oberbeck-Boussinesq pro newtonovskou tekutinu 2. + časová parciální derivace 3. + advekční členy 4. + korotační členy

@D S = 2( +2D 2 D @S 1 + 2 )D +2D 2 v rd Dv rs @t @t 2D 2 rv D+D(rv) T + D rv S+S(rv) T

@D @t, @S @t

@D @t, @S @t zpětné Eulerovo schéma členy v aktuálním čase převedem na LS rovnice, tedy do matice zbylé členy zůstanou na PS

@S @t, @D @t S = 2( 1 + 2 )D + 2D 2 @D @t D @D @t

@S @t, @D @t S = 2( 1 + 2 )D + 2D 2 @D @t D @D @t D= 1 2 rv +(rv) T, @D @t = D n D n 1 dt, S @t = S n S n 1 dt

@S @t, @D @t S = 2( 1 + 2 )D + 2D 2 @D @t D @D @t D= 1 2 rv +(rv) T, @D @t = D n D n 1 dt, S @t = S n S n 1 dt S n =( 1 + 2 ) rv n +(rv n ) T + D 2 rv n +(rv n ) T rv n 1 (rv n 1 ) T D dt dt (S n S n 1 )

@S @t, @D @t S = 2( 1 + 2 )D + 2D 2 @D @t D @D @t D= 1 2 rv +(rv) T, @D @t = D n D n 1 dt, S @t = S n S n 1 dt S n =( 1 + 2 ) rv n +(rv n ) T + D 2 rv n +(rv n ) T rv n 1 (rv n 1 ) T D dt dt (S n S n 1 ) S n 1+ D dt =( 1 + 2 + D 2 dt ) rv n +(rv n ) T D 2 dt rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt S n 1

@S @t, @D @t S = 2( 1 + 2 )D + 2D 2 @D @t D @D @t D= 1 2 rv +(rv) T, @D @t = D n D n 1 dt, S @t = S n S n 1 dt S n =( 1 + 2 ) rv n +(rv n ) T + D 2 rv n +(rv n ) T rv n 1 (rv n 1 ) T D dt dt (S n S n 1 ) S n 1+ D dt =( 1 + 2 + D 2 dt ) rv n +(rv n ) T D 2 dt rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt S n 1 S n 2 + 1 dt rv n +(rv n ) T = dt + D D 2 rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt + D dt + D S n 1

S n @S @t, @D @t 2 + 1 dt rv n +(rv n ) T = dt + D D 2 rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt + D dt + D S n 1 virtuální viskozita

S n @S @t, @D @t 2 + 1 dt rv n +(rv n ) T = dt + D D 2 rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt + D dt + D S n 1 w = virtuální viskozita 2 + 1 dt dt + D v

S n @S @t, @D @t 2 + 1 dt rv n +(rv n ) T = dt + D D 2 rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt + D dt + D S n 1 w = virtuální viskozita 2 + 1 dt dt + D v n rw n +(rw n ) T = D 2 rw n 1 +(rw n 1 ) T + D dt + 2 dt + D dt + D S n 1

S n @S @t, @D @t 2 + 1 dt rv n +(rv n ) T = dt + D D 2 rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt + D dt + D S n 1 w = virtuální viskozita 2 + 1 dt dt + D v n rw n +(rw n ) T = D 2 rw n 1 +(rw n 1 ) T + D dt + 2 dt + D dt + D S n 1 levá strana rovnice zavedeme do viskózní části

S n @S @t, @D @t 2 + 1 dt rv n +(rv n ) T = dt + D D 2 rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt + D dt + D S n 1 w = virtuální viskozita 2 + 1 dt dt + D v n rw n +(rw n ) T = D 2 rw n 1 +(rw n 1 ) T + D dt + 2 dt + D dt + D S n 1 levá strana rovnice zavedeme do viskózní části pravá strana rovnice přidáme k silám z viskózního modelu

@D S = 2( +2D 2 D @S 1 + 2 )D +2D 2 v rd Dv rs @t @t 2D 2 rv D+D(rv) T + D rv S+S(rv) T

2D 2 v rd Dv rs

2D 2 v rd Dv rs řešíme explicitně výpočet derivací pomocí Fornbergova schématu 2.řádu

2D 2 v rd D 2 v n 1 r rv n 1 +(rv n 1 ) T Dv rs řešíme explicitně výpočet derivací pomocí Fornbergova schématu 2.řádu

2D 2 v rd D 2 v n 1 r rv n 1 +(rv n 1 ) T Dv rs Dv n 1 rs n 1 řešíme explicitně výpočet derivací pomocí Fornbergova schématu 2.řádu

2D 2 v rd D 2 v n 1 r rv n 1 +(rv n 1 ) T Dv rs Dv n 1 rs n 1 řešíme explicitně výpočet derivací pomocí Fornbergova schématu 2.řádu převedeme na škálované rychlosti dt + D v n = dt + 2 (dt + D) w n w n

2D 2 v rd D 2 D 2 v n 1 r rv n 1 +(rv n 1 ) T 2wn 1 rw n 1 +(rw n 1 ) T dt + D dt + 2 (dt + D) Dv rs Dv n 1 rs n 1 řešíme explicitně výpočet derivací pomocí Fornbergova schématu 2.řádu převedeme na škálované rychlosti dt + D v n = dt + 2 (dt + D) w n w n

2D 2 v rd D 2 řešíme explicitně D 2 v n 1 r rv n 1 +(rv n 1 ) T 2wn 1 rw n 1 +(rw n 1 ) T dt + D dt + 2 (dt + D) Dv rs Dv n 1 rs n 1 dt + D D dt + 2 (dt + D) w n 1rS n 1 výpočet derivací pomocí Fornbergova schématu 2.řádu převedeme na škálované rychlosti dt + D v n = dt + 2 (dt + D) w n w n

Fornbergovo schéma pseudospektrální metoda 2.řád - jako ve viskózním případě

Fornbergovo schéma pseudospektrální metoda 2.řád - jako ve viskózním případě k d f x= k dx i X j=0 cki,j f (xj ), k = 0, 1,, m; i = k, k + 1,, n

Fornbergovo schéma pseudospektrální metoda 2.řád - jako ve viskózním případě d k f dx k x= ix c k i,jf(x j ),k=0, 1,,m; i = k, k +1,,n j=0

Testování kódu - Newton

Testování kódu - Newton Blankenbachův benchmark 2D teplotní konvekce tekutiny Boussinesqova typu v obdelníkové oblasti R qz dx kontrola Nusseltova čísla: Nu = R apple dx T d

Testování kódu - Newton Blankenbachův benchmark 2D teplotní konvekce tekutiny Boussinesqova typu v obdelníkové oblasti R qz dx kontrola Nusseltova čísla: Nu = R apple dx energetický test, tj. platnost vychází s přesností nejméně 0,1% Z T d c p @T @t dx = Z @ q nds

Blankenbachův benchmark výpočty pro různá Rayleighova čísla a různá rozlišení Ra = Tgd3 1

Blankenbachův benchmark výpočty pro různá Rayleighova čísla a různá rozlišení Ra = Tgd3 1 D. Moore (Courrantovo kritérium, konečné diference, rovnoměrné posunuté sítě, T explicitně)

Blankenbachův benchmark výpočty pro různá Rayleighova čísla a různá rozlišení Ra = Tgd3 1 D. Moore (Courrantovo kritérium, konečné diference, rovnoměrné posunuté sítě, T explicitně) Rayleigh 10 4 10 5 10 6 rozlišení Moore výpočet Moore výpočet Moore výpočet 48x48 4,870 4,870 10,423 10,409 21,078 20,950 96x96 4,881 4,881 10,507 10,504 21,759 21,729

Testování kódu - Oldroyd-B

Testování kódu - Oldroyd-B zatím implementovaná parciální časová derivace

Testování kódu - Oldroyd-B zatím implementovaná parciální časová derivace testujeme limity jdoucí k viskóznímu případu

Testování kódu - Oldroyd-B zatím implementovaná parciální časová derivace testujeme limity jdoucí k viskóznímu případu 1) D<<1, 2 << 1

Testování kódu - Oldroyd-B zatím implementovaná parciální časová derivace testujeme limity jdoucí k viskóznímu případu 1) D<<1, 2 << 1 2) běh s parciální časovou derivací - konečné ustálený stav 2! 0 D, 2

VIZUALIZACE

VIZUALIZACE 1) viskózní model s různými Rayleighovými čísly: Ra= 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 ; Ra = Tgd3 1

VIZUALIZACE 1) viskózní model s různými Rayleighovými čísly: Ra= 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 ; Ra = Tgd3 1 2) běhy s parciální časovou derivací, pro různá Deborah čísla a 2 D= D = 1 10 2, 10 1 ; ; 2 = 10 4, 10 3 µ 1

VISKÓZNÍ BĚHY

Rayleighovo číslo 1e4

VISKOELASTICKÉ BĚHY

Ra = 10 4,D= 10 2, 2 = 10 4, 60x60 Nu=4,3879 Nu(visko)=4,8757

Nusselt: 6.9-7.0 Nu(visko)=10,4548 Ra = 10 5,D= 10 2, 2 = 10 4, 60x60

Ra = 10 4,D= 10 1, 2 = 10 3, 60x60 Nu: 0.9999 Nu(visko)=4,8757

Ra = 10 5,D= 10 1, 2 = 10 3, 60x60 Nu: 1.1-3.1 Nu: 10,4542 D! 0, 2! 0 Nu(visko)=10,4548

Ra = 10 6,D= 10 1, 2 = 10 3, 60x60 Nu: 1.0-3.7 D! 0, 2! 0 Nu: 21,69 Nu(visko)=21,6943

Ra = 10 4,D= 10 2, 2 = 10 3, 60x60 Nu=4,3851 Nu(visko)=4,8757

Ra = 10 5,D= 10 2, 2 = 10 3, 60x60 Nu=6.8-7.3 Nu(visko)=10,4548

Ra = 10 6,D= 10 2, 2 = 10 3, 60x60 Nu=6.89-7.1 Nu(visko)=21,6943

Děkuji za pozornost.