Bakoví sttut vysoká škola Praha Katedra IT Statstcké zpracováí dat Bakalářská práce Autor: Ja Culka Iformačí techologe, Maaţer projektů Vedoucí práce: Mgr. Olga Procházková Praha Červe, 00
Prohlášeí: Prohlašuj, ţe jsem akalářskou prác zpracoval samostatě a s pouţtím uvedeé lteratury. Ve Strakocích de 5. 6. 00 Ja Culka
Poděkováí: Chtěl ych poděkovat paí Mgr. Olze Procházkové, vedoucí mé akalářské práce, za odoré kozultace, ceé formace, ochotu, vstřícost a čas, který m př zpracováí této akalářské práce věovala.
Aotace Statstka ývá často součástí ěkterých matematckých a statstckých prací č úloh. Především se vyuţívá př prác s reálým daty, tedy v ěţém ţvotě. V takovém případě dokáţe správá statstcká aalýza ušetřt čas, peíze eo třea odhadout udoucí vývoj. A to je právě sahou a výzamem této akalářské práce. Nejprve vysthout všechy ejdůleţtější statstcké ukazatele a pojmy, které jsou vyjádřey pomocí vzorců a defc. Na jedoduchých pomocých příkladech zázort jejch uţtí. Následě pak poukázat a prác s reálým daty a a zveřejěí reálých statstckých výsledků pomocí taulek a grafů. Koečým koceptem a výsledkem této akalářské práce jsou tedy teoretcké základy a pojmy z olast statstky. Následující praktcká část se zaývá hospodařeím města Strakoce, a to především jejch příjmy a výdaj za ěkolk posledích let. V samotém závěru je tedy koečé zhodoceí a celková rozvaha z vytvořeých taulek, grafů a výpočtů z reálých dat města Strakoce, které yly zhotovey a základě teoretckých zalostí. Aotato Statstcs ofte forms part of some mathematcal ad statstcal works or tasks. It s partcularly used whe workg wth real data; that s real lfe. I such case, a correct statstcal aalyss may save tme, moey or possly estmate future developmet. Ad ths s the ma am ad tet of ths Bachelor s Thess. Frstly, the thess teds to specfy all most mportat statstcal dees ad terms defed y meas of formulas ad deftos ad to demostrate ther use o smple eamples. Addtoally, t wll rg atteto to workg wth real data ad to pulshg real statstc results usg charts ad graphs. Therefore, the fal cocept ad outcome of the preset thess cludes theoretcal grouds ad terms from the feld of statstcs. The followg practcal part deals wth facal maagemet of the Tow of Strakoce, partcular the comes ad epeses for the last several years. The cocluso provdes fal evaluato ad overall alace usg tales, graphs ad calculatos ased o real data of the Strakoce tow whch were created o the ass of theoretcal kowledge.
Osah Úvod... 7. Statstka... 8. Kocepce statstcké sluţy v ČR... 8. Základí pojmy... 9.. Statstcký souor a jedotka... 9.. Statstcké zaky... 9. Získáváí a zpracováí statstckých údajů.... Statstcké zjšťováí.... Statstcké zpracováí..... Tříděí statstckých údajů..... Výpočet ukazatelů.....3 Pulkace výsledků....3 Statstcký rozor... 3 3. Výpočet statstckých ukazatelů... 4 3. Ukazatele polohy (středí hodoty)... 4 3.. Průměry... 4 3.. Ostatí středí hodoty... 7 3. Ukazatele varalty... 8 3.. Ukázka výpočtu ukazatelů varalty... 4. Idey a ukazatele... 5 4. Ukazatele... 5 4.. Základí ukazatele... 5 4.. Poměrí ukazatele... 6 4..3 Vlastost ukazatelů... 7 4. Idey... 8 4.. Děleí deů podle růzých hledsek... 8 4.. Jedotlvé typy deů... 9 5. Časové řady... 33 5. Tříděí časových řad... 33 5. Součtové časové řady... 34 5.3 Vyrováí časových řad... 35 6. Závslost, regrese a korelace... 37 5
6. Zkoumáí závslost... 37 6. Regrese... 38 6.3 Korelace... 39 7. Zpracováí získaých dat... 40 7. Taulky výdajů a příjmů... 4 7. Poměrý ukazatel vývoje... 43 7.. Řetězové dey... 43 7.. Bazcké dey... 44 7.3 Grafy příjmů a výdajů... 44 7.4 Poměrý ukazatel struktury... 46 7.5 Zhodoceí hospodařeí města... 48 7.6 Vyrováí časových řad... 50 7.6. Zhodoceí vyrováí časových řad... 58 8. Závěry a doporučeí... 59 Sezam pouţté lteratury... 60 Sezam pouţtých grafů, taulek a vzorců... 6 6
Úvod Statstka aízí moho typů ukazatelů a moţostí, které lze vyuţít př realzac statstcké aalýzy ějakých reálých dat. Je jţ a řeštel eo samotém statstkov, které z aízeých moţostí vyuţje. Statstk y se měl rozhodovat a základě svých zkušeostí a samozřejmě předloţeých dat. Shromaţďováí a tříděí dat jsou důleţtou součástí správého rozhodutí. Bezchyá data jsou co ejvhoděj a ejpřehleděj zapsáa do taulek. Podle typu daých dat se staoví koečá rozhodutí pro pouţtí těch ejvhodějších ukazatelů, grafů a dále tak pulkovat co ejvhoděj výsledky. Cílem této akalářské práce je za pomoc statstckých ukazatelů zpracovat reálá ekoomcká, demografcká data a poté z výsledých hodot provést celkový rozor. Bakalářská práce se ezaývá pouze samotým zpracováím reálých dat, ale také teoretckým výkladem. Proto lze tuto prác rozdělt do dvou částí. A to a část teoretckou a část zaývající se právě zpracováím reálých dat. Teoretcká část se zaývá podroěj pláem statstckého zkoumáí a detalěj popsuje všechy tř etapy. Jedá se o statstcké zjšťováí, statstcké zpracováí a statstcký rozor. Osahem těchto kaptol jsou defce základích pojmů, moţost pulkace výsledků a pops všech základích ukazatelů společě s příkladem výpočtu. Teoretcká část se také pozastavuje u časových řad eo u měřeí závslost za pomoc regrese a korelace. Následující, praktcká část se a základě typu reálých dat zaývá především sledováím vývoje, struktury a udoucí progózou. Jedá se totţ o data příjmů a výdajů města Strakoce za ěkolk let. Všechy výpočty jsou řádě doloţey taulkam a grafy, z jejchţ kocepce jsou vyvozea závěrečá zhodoceí. Ta se saţí pozastavt eje ad statstckým zpracováím, ale ad celkovým hospodařeím města Strakoce. 7
. Statstka Ve statstce jsou výsledkem přesé číselé formace, ze kterých s můţeme udělat a daé téma č prolém svůj vlastí ázor a pohled. V moha případech je rozhodujícím faktorem koečý výsledek, kol jedotlvé čost, které před ím ásledovaly. Celý proces je sloţe z ěkolka čostí. Mez ty ejdůleţtější patří shromaţďováí, zazameáváí a zpracováí dat. Dále také rozor jevů a procesů, které musí splňovat určté podmíky dle matematckých pravdel. Výsledé číselé formace jsou a prví pohled určtým vodítkem. Na základě pozáí daého tématu můţeme učt koečá rozhodutí. Lze tedy říct, ţe pozáí ve statstce úzce souvsí s rozhodováím. []. Kocepce statstcké sluţy v ČR Základem je státí statstcká sluţa, která je spravováa dle zákoa o státí statstcké sluţě. Jedá se o záko č. 89/995 S. Ta dává dohromady vše potřeé o socálím, ekoomckém a ekologckém vývoj v České repulce. Kompletí státí statstckou sluţu spravuje Český statstcký úřad (dále je ČSÚ), dále také msterstva, statstcká odděleí eo útvary. Mez hlaví úkoly ČSÚ patří vytvářeí statstckých klasfkací, číselíků a regstrů. Dále půsoí u přdělováí rodých a detfkačích čísel a zaývá se zpracováím výsledků z vole, sčítáím ldu atd. Český statstcký úřad je ástupcem Státího úřadu statstckého (SÚS), který vzkl jţ v roce 99. [] [4] Kolegum Předseda ČSÚ Česká statstcká rada Místopředsedové Sekce Správa Dvze Odory Okresy Okresy Samostatá odděleí Orázek č. Kocepce statstcké služy v ČR [] 8
V čele ČSÚ (vz or. č. ) stojí předseda, který je jmeová prezdetem, a to s doporučeím vlády. Česká statstcká rada zaměstává především specalsty z hledska teore, ale prae. Kolegum předsedy má a svém programu vše co souvsí se státí statstckou sluţou. Tř místopředsedové jsou v čele úseků, jejchţ úkolem je zajstt kompletí souhr všech odorých čostí. Jedím z úseků jsou sekce. Ty se dále dělí a odory a samostatá odděleí. Správa úzce spolupracuje se státí statstckou sluţou, a to v rámc území Prahy a Středích Čech. Dvze má podoé úkoly jako správa, ale ve městech České Budějovce, Plzeň, Ústí ad Laem, Hradec Králové, Bro a Ostrava. []. Základí pojmy Statstka zkoumá vlastost a vztahy mez jedotlvým velčam, které jsou součástí velkých souorů. Tyto velčy se ozačují jako statstcké jedotky. Výsledé číselé údaje poskytují potřeé formace o celých velkých souorech. Statstcké jedotky a souory jsou popsáy v ásledujícím tetu. [7].. Statstcký souor a jedotka Určtá vymezeá část ějakého ojektu z velké moţy se azývá statstcký souor. Jedá se apř. o souor studetů určté školy, souor učtelů určtého věku atd. Za pomoc velč času a prostoru musí ýt souor jedozačě vymeze. [7] Souory jsou dále rozděley ještě a meší část, a ty se ozačují jako statstcké jedotky. Statstcké jedotky jsou prvky statstckého souoru. Statstcké jedotky se dále dělí a hmoté a ehmoté ojekty. Hmoté ojekty jsou apř. osoy, stroje, udovy atd. Mez ehmoté se řadí apř. výkazy práce, výkazy úrazů atd. [7].. Statstcké zaky Statstcký zak je určtou vlastostí statstcké jedotky sledovaého statstckého souoru. Statstcké zaky lze rozlšovat z růzých hledsek. Jedou z varat rozlšeí statstckých zaků je děleí a zaky shodé a zaky zkoumaé. Tím dalším děleím můţe ýt tříděí a zaky kvattatví a kvaltatví. [7] Zaky shodé zůstávají po celou dou zkoumáí určtého statstckého souoru eměé. Shodé jsou především statstcké jedotky. Pokud tedy udeme apř. zkoumat začky automolů ve městě Písek; Písek je právě tím shodým zakem. V celém statstckém souoru se eude mět. [7] 9
Naopak zaky, které ejsou kostatí a jsou aktuálím předmětem šetřeí se azývají zaky zkoumaé. Tyto zaky aývají hodot o růzých velkostí. V ašem případě se tedy jedá o začky automolů, které se udou určtě lšt. [7] U kvattatvích zaků je určtá vlastost vyjádřea číslem. Kvattatví zaky jsou tedy číselé vlastost. Jedá se apř. o příjmy, výdaje, mzdy atd. Tyto zaky lze dále dělt do dvou skup. Prví, ve které zaky aývají lovolého počtu reálých hodot. Zatímco ve druhé skupě kol. [7] Hodoty, které jsou vyjádřey slově se řadí do skupy zaků kvaltatvích. Tyto zaky se dále dělí a moţé a alteratví. Ty moţé dovolují více eţ dvě změy, zatímco ty alteratví aývají pouze dvou omě (apř. ao, e). [7] 0
. Získáváí a zpracováí statstckých údajů Celý proces od samotého získáváí přes zpracováí statstckých údajů aţ po závěrečé hodoceí popsuje or. č.. Jedá se o tř základí etapy. Tou prví je statstcké zjšťováí. Jedá se o shromaţďováí všech potřeých údajů a ásledé důkladé prověřeí jejch správost. Statstcké zpracováí se zaývá především výpočty, které lze prezetovat více způsoy. Pomocí statstckého rozoru se určují potřeá opatřeí a závěrečá vyhodoceí. Jedotlvé etapy jsou detalěj popsáy v dalších kaptolách. [] Plá statstckého zkoumáí Statstcké zjšťováí Získáváí a shromaţďováí údajů Statstcké zpracováí Tříděí Výpočet Pulkace ukazatelů a Statstcký rozor Závěry Opatřeí Orázek č. Etapy statstckých prací []. Statstcké zjšťováí Prvím krokem statstckého zkoumáí je právě statstcké zjšťováí. Potřeé údaje o zkoumaé jedotce se získají od tzv. zpravodajské jedotky. Zpravodajskou jedotkou můţe ýt apř. ochod, který podává formace o svých produktech. Podle osahu lze statstcké zjšťováí dělt a vyčerpávající a evyčerpávající. Jedá se o to, zda jsou zahruty všechy moţé jedotky eo e. Neţ dojde k zpracováí formací musí ýt odstraěo co ejvíce chy. Chyy se mohou vyskytout dvojího druhu. Ať uţ úmyslé eo áhodé. Kompletí formace jsou a úplý koec této etapy podroey tzv. kotrole úplost tak, ay jejch kozstetost yla co ejvyšší. []. Statstcké zpracováí V této fáz jsou potřeé údaje přpravey k samotému zpracováí. Pomocí statstckého zjšťováí jsou vstupem této etapy ezchyá a ověřeá data. Tato data eol údaje se dále třídí dle růzých hledsek tak, ay se s m co ejlépe pracovalo. Poté se jţ počítají statstčtí ukazatele, jejchţ výsledky se co ejvhoděj pulkují. Statstcké
zpracováí se podle typu zpracováí dělí a ručí zpracováí a zpracováí výpočetí techkou. Ručí zpracováí se realzuje pouze za pouţtí mamálě psacích strojů eo malé výpočetí techky. V deší doě se samozřejmě v co ejvětší míře vyuţívá zpracováí za pomoc počítačů. [].. Tříděí statstckých údajů Do kategore statstckého zpracováí patří tříděí získaých a shromáţděých dat. Je doré s uvědomt co ude prortou a tedy podle čeho a jak statstcké údaje třídt. Podle daé prorty se staoví tzv. třídcí zak. Dále jsou vytvořey skupy po ěkolka případech. Přesý počet případů v kaţdé skupě určuje četost. Jedotlvé případy mohou aývat růzých omě. [].. Výpočet ukazatelů Výpočtu statstckých charakterstk se detalě věuj v dalších kaptolách. Jsou zde rozeráy ukazatele polohy, ukazatele varalty, ukazatele vývoje, časové řady atd...3 Pulkace výsledků Statstcké údaje je třea co ejefektvěj pulkovat. Sdělováí a právě pulkace výsledků se provádí třem způsoy. A to slovím popsem, taulkam a grafcky. [] Sloví pops je as ejméě přehledá a olíeá pulkace výsledků. Tato forma se pouţívá zřídka. [] Taelárí pulkace je jţ mohem přehledější, uspořádaější a hed a prví pohled dokáţe čteář podat jasě a zřetelě výsledek statstckého zpracováí. Statstcké taulky se dělí a tř základí druhy podle sloţtost osahu. A to a: [] Taulky prosté (data se etřídí, základí údaje ez větších úprav) Taulky skupové (tříděí údajů pouze podle jedoho třídcího zaku) Taulky komačí (tříděí podle dvou a více zaků) Taulky a celková taulková pulkace y měla splňovat určtá pravdla. (Např., adps taulky se píše pouze ad taulku, hlavčka je pro vysvětleí jedotlvých sloupců, legeda charakterzuje osah jedotlvých řádků atd.). [] Grafy patří k dalšímu prostředku pulkace výsledků. Oprot taulkám představují určtě mohem větší přehledost. Mez jejch evýhody patří především to, ţe je elze
zcela všude uplatt a ejsou dokoale přesé. I grafy y měly splňovat určté předpoklady a řídt se podle určtých doporučeích. Důleţtá je správá vola druhu grafu. Závsí především a účelu, za kterým yl graf vytvoře. Mez základí typy grafů patří: [] Graf spojcový (vývoj v čase, rozděleí četostí) Graf sloupcový (srováí věcé, prostorové eo v čase) Graf kruhový (zorazuje strukturu celku) Graf orázkový (k vyjádřeí ějakého jevu vyuţívá schematcký orázek) Kartogram (určté území zázorňuje a mapě pomocí šrafováí eo arev) Kartodagram (spojeí mapy s grafem).3 Statstcký rozor Vstupem statstckého rozoru jsou data eol výsledky získaé pomocí statstckého zpracováí. A a jejch základě je právě úkolem rozoru vyvodt závěr a daé téma a dát ávrh eo aídout ějaké řešeí do udouca. Statstcký rozor tedy musí ojast a avrhout ová řešeí tak, ay egatví stráky věc yly co ejvíce potlačey a aopak ty poztví ještě více posílly. [] 3
3. Výpočet statstckých ukazatelů Tato kaptola avazuje a kaptolu... Spadá tedy do etapy statstckého zpracováí, které je podřazeo pláu statstckého zkoumáí. Budou zde detalě popsáy všechy ukazatele, dey závslost. 3. Ukazatele polohy (středí hodoty) Ukazatele polohy se ěkdy ozačují také jako středí hodoty. Zkoumaé velčy v daém souoru se musí co ejvíce zoect tak, ay leţely mez mmálí a mamálí hodotou, tz. ve středu, a proto také ázev středí hodoty. [7] Středí hodoty lze dělt a: [] Průměry (artmetcký, geometrcký, harmocký, kvadratcký) Ostatí středí hodoty (modus, medá) Zatímco průměr má zoecňující charakter a zaývá se všem hodotam má své velké evýhody. Jedou z ch je, ţe pokud jeda z hodot ude velm vysoká eo aopak ízká, průměr je pak ovlvě a jeho hodota můţe ýt velm zkresleá. Ostatí středí hodoty jako jsou modus a medá ezasáhe výkyv ěkterých hodot takovým způsoem jako u průměru. [7] 3.. Průměry Artmetcký průměr je ezpochyy ejpouţívaější středí hodotou. Začí se jako ( s pruhem). Podle rozsáhlost daého zkoumaého souoru se artmetcký průměr dále dělí a prostý a váţeý. Pokud se počet hodot eopakuje a souor eí rozsáhlý vyuţívá se prostý artmetcký průměr, který je vyjádře tímto vzorcem: [] = = Vzorec č. Prostý artmetcký průměr [7]... 4
Názorou ukázkou výpočtu artmetckého průměru je příklad č.. Jako příklad jsem zvoll výpočet průměré mzdy zaměstaců. Zaměstac Zaměstaec A Zaměstaec B Zaměstaec C Zaměstaec D Mzda 5035 Kč 345 Kč 738 Kč 637 Kč 5035 345 738 637 = = 7734 Kč 4 Průměrá mzda zaměstaců v této frmě je tedy po zaokrouhleí 7734 Kč. Příklad č. Výpočet průměré mzdy zaměstaců Jakmle u rozsáhlejšího souoru dochází k opakováí jedotlvých hodot je vhodější vyuţít váţeý artmetcký průměr. Te je vyjádře vzorcem č.. Zde se jedotlvé údaje ásoí počtem kolkrát se v celém souoru opakují, coţ je tzv. četost eo váha. Součet všech součů hodot a vah je tedy dále vyděle celkovou sumou četostí v daém šetřeém souoru. [] =...... k k k k = k Vzorec č. Vážeý artmetcký průměr [7] Pokud ovšem astae stuace, ţe údaje jsou epřehledé př pouţtí váţeého artmetcké průměru z důvodu rozsáhlost souoru je moţé vyuţít pro roztříděí údajů tervalové četost. Dále se určí střed tervalu. [] Jeho výpočet zázorňuje příklad č.. Výška ţáků [cm] Střed tervalu ( ) Počet ţáků ( ) Výška celkem ( ) 60-70 65 3 495 70-80 75 5 875 80-90 85 4 740 90-00 95 4 780 00 a více 05 3 65 celkem (suma) - 9 3505 Příklad č. Výška žáků 5
3505 84,47 9 cm Průměrá výška ţáků ve třídě je 84,47 cm. Pouze pro kladé hodoty se pouţívá geometrcký průměr. Začí se jako G. Oprot artmetckému průměru je te geometrcký vţdy meší eo jemu rove. Pouţívá se především u časových řad. Geometrcký průměr je vyjádře vzorcem č. 3. Souč všech kladých hodot je pod -tou odmocou. [4] G = (.... ) = Vzorec č. 3 Geometrcký průměr [7] Geometrcký průměr ývá zpravdla vţdy meší, mamálě rove průměru artmetckému. Pokud je rove lze určt tzv. artmetcko-geometrcký průměr. [4] růst/pokles zsku () růst 0% růst 30% G = 5,,3,5,05 0, 95 =,3 růst 5% Průměrý růst je,3%. růst 5% pokles 5% Příklad č. 3 Výpočet geometrckého průměru Harmocký průměr lze vyuţít je pro všechy eulové hodoty. Začí se H. Ve zkratce lze říc, ţe harmocký průměr je převráceou hodotou průměru artmetckého. Jeho vyuţtí je především tam, kde jsou hodoty přílš ízké č vysoké. [7] Kvadratcký průměr se pouţívá apříklad př výpočtu efektví hodoty střídavého apětí a proudu eo směrodaté odchylky. Začí se K a lze defovat tak, ţe pokud všechy hodoty daého souoru umocíme, tak odmocěím artmetckého průměru ze stejých hodot v šetřeém souoru získáme právě kvadratcký průměr. [5] 6
3.. Ostatí středí hodoty Do kategore ostatích středích hodot se řadí modus a medá. Ty zkoumají úrově jedotlvých jevů. Na rozdíl od průměru eodpovídá jejch výsledá hodota všem hodotám zkoumaého souoru. Mezí hodoty tedy emají a koečý výsledek vlv. [7] Nejčastěj vyskytující se velča ve zkoumaém souoru se azývá modus. Modus se začí jako ˆ ( se stříškou). Předpokladem rychlého a sadého výpočtu je roztříděí sledovaého souoru dle jedotlvých četostí. Př zkoumáí rozsáhlejších souorů se pro zjedodušeí vyuţívá tzv. tervalových četostí. V takovém případě musí ýt tervaly stejě velké. Jak dochází ke zkresleí výsledé hodoty. [7] Jako příklad výpočtu vyuţj příklad č.. Jestlţe je modus ejčastěj se vyskytující hodotou výsledek je: ˆ = 75 Výška v rozmezí od 70 do 80 cm yla aměřea hed u pět ţáků, a to ylo právě ejvíce z celého souoru 9-t ţáků. Střed tohoto tervalu je tedy ejčastější. Medá je prostředí hodota celého uspořádaého zkoumaého souoru. Ozačuje se jako ~ ( s vlovkou). V ěkterých případech dostává předost právě medá před výpočtem pomocí průměrů. Medá totţ eí ovlvě etrémím výkyvy hodot a jeho výsledek eí tedy tolk zkresle. Př výpočtu medáu se musí vycházet z celkového počtu hodot. Záleţí jestl je celkový počet četostí sudý eo lchý počet. [] [7] ~ =, je-l lché ~ =, je-l sudé Vzorec č. 4 Medá [3] Opět pouţj příklad č. jako ukázku pro výpočet medáu. U tohoto příkladu yla aměřea výška u 9-t ţáků z jedé třídy. Jelkoţ celkový počet 9 je lché číslo ude zde pouţt te prví, kratší vzorec a výpočet ude vypadat takto: ~ = = 0 9 = 85 Medá vyšel 85. Výsledkem je desátá hodota v uspořádaém souoru. Pokud tedy udu vycházet z taulky pro příklad č., tak pro medá platí hodota 85 cm. 7
3. Ukazatele varalty Pro kompletí zhodoceí zkoumaého souoru z pohledu statstky estačí určt pouze ukazatele polohy, ale je důleţté zjstt jejch varaltu. Ta je určtým měřítkem pro posouzeí kvalty úrově středích hodot. To ovšem eí jedý důvod jejch pouţtí. Své uplatěí mají apř. př zkoumáí dosaţeí ějakého cíle (dlouhodoého pláu), tedy v časových řadách. Charakterstk pro určeí varalty je velké moţství. V dalším tetu rozeírám ty ejčastější a ejpouţívaější z ch. [] [7] Jedou z velč pro určeí varalty je varačí rozpětí. Varačí rozpětí se začí písmeem R. Jeho úkolem je určt rozpětí hodot sledovaého souoru. Oecě lze říc, ţe čím je hodota varačího rozpětí ţší, tím je vyšší podoost celého souoru. [] Ukázka výpočtu se achází v kaptole 3... Varačí rozpětí lze vyjádřt takto: R = ma - m Vzorec č. 5 Varačí rozpětí [] Další velčou pro zjštěí varalty daého zkoumaého souoru je průměrá odchylka a relatví průměrá odchylka. O průměré odchylce lze říc, ţe je rovoměrým rozloţeím kolem artmetckého průměru. Ty hodoty, které jsou vyšší eţ artmetcký průměr lze ozačt jako kladé odchylky. Zatímco ţší hodoty jsou záporé odchylky. Př správém postupu y měl ýt součet kladé a záporé odchylky rove 0. Př samotém výpočtu průměré odchylky se jak s kladým, tak záporým odchylkam počítá v asolutí hodotě. Ke koečému výsledku průměré odchylky lze dojít tak, ţe se jedotlvé odchylky od artmetckého průměru sečtou v asolutí hodotě a jejch součet se dělí počtem jedotlvých hodot. [] Ukázka výpočtu se opět achází v kaptole 3... Průměrou odchylku lze vyjádřt takto: d k Vzorec č. 6 Průměrá odchylka z prostého artmetcké průměru [] Relatví průměrá odchylka vyjadřuje poměr mez průměrou odchylkou a artmetckým průměrem v procetech. Začí se rd a lze j vyjádřt takto: [] 8
d rd = 00 [%] Vzorec č. 7 Relatví průměrá odchylka [] Dosud vypočítaé odchylky vyplývají z prostého artmetckého průměru. Pokud ude přcházet v alteratvu váţeý artmetcký průměr musí se přhlíţet k jedotlvým vahám sledovaého souoru. [] Vztah pro výpočet průměré odchylky z váţeého artmetckého průměru ude potom tedy vypadat takto: d k k Vzorec č. 8 Průměrá odchylka z vážeého artmetcké průměru [] Příklad výpočtu se achází v kaptole 3... Výpočet relatví průměré odchylky se př pouţtí váţeého artmetckého průměru eměí, platí stále tedy vzorec č. 7. Mez ejpouţívaější velčy pro určeí varalty jak z praktckého, tak z teoretckého hledska patří rozptyl a směrodatá odchylka. [7] Zjedodušeě lze říc, ţe rozptyl je artmetcký průměr z druhých moc odchylek od jejch artmetckého průměru. Umocěí zde plí především fukc toho, ay yly výsledé hodoty rozptylu vţdy kladé, tak jako u průměrých odchylek. Rozptyl se začí řeckým písmeem sgma σ. Samotý rozptyl se spíše pouţívá k teoretckým účelům a rozdíl od směrodaté odchylky. Ta je k měřeí varalty přímo určeá. Příklad výpočtu pro rozptyl je v kaptole 3... Jelkoţ rozptyl úzce souvsí s artmetckým průměrem je důleţté pokud vychází z prostého eo váţeého artmetckého průměru. Vztahy pro rozptyl vypadají potom takto: [] [7] σ = k k, σ = k Vzorec č. 9 Rozptyl z prostého, resp. vážeého artmetckého průměru [] 9
Z praktckého hledska se vyuţívá více směrodatá odchylka. Ta je úzce spjata s rozptylem a vychází přímo z ěho. [7] Jak uvádí Kaňoková: Směrodatá odchylka je kvadratckým průměrem odchylek hodot velčy od jejch artmetckého průměru ( ) a udává jak se v průměru odchylují jedotlvé hodoty sledovaé velčy od jejch hodoty průměré. [7, s. 76] Směrodatá odchylka je tedy druhou odmocou rozptylu, z čehoţ vychází jak vzorec, tak samoté ozačeí. Směrodatá odchylka se začí σ. I v tomto případě se rozlšují dva vztahy podle toho pokud vycházíme z prostého eo váţeého artmetckého průměru. Příklad výpočtu je uvede v kaptole 3.. a vztahy vypadají takto: [] σ = k, σ = k k Vzorec č. 0 Směrodatá odchylka z prostého, resp. vážeého artmetckého průměru [] Rozptyl a směrodatá odchylka se řadí do kategore tzv. asolutí varalty. Z toho plye, ţe elze porovat varaltu určtých hodot ve více souorech. Pokud tedy dochází k porováí apř. mez dvěma a více souory vyuţívá se tzv. relatví varalta. A do této kategore patří také varačí koefcet. Jedá se o závslost mez směrodatou odchylkou a artmetckým průměrem vyjádřeou v procetech. Varačí koefcet se začí písmeem v a příklad výpočtu je uvede v kaptole 3... Vztah vypadá takto: [] [7] v = 00 [%] Vzorec č. Varačí koefcet [] 0
Kvatly eol kvatlové charakterstky se v pra ve většě případech pouţívají tehdy, pokud se místo artmetckého průměru k výpočtu ukazatele polohy volí medá. Potom se směrodatá odchylka ahrazuje právě tzv. mezkvatlovou odchylkou. Nejčastěj pouţívaé kvatly se azývají kvartly. Ty dělí seřazeé hodoty, které jsou prvky zkoumaého souoru a čtvrty. Jţ méě vyuţívaé jsou decly (dělí souor a desety) a percetly (dělí souor a sety). A právě kvartly a jejch odchylka jsou uvedey jako příklad výpočtu v kaptole 3... Kvartly se dělí a dolí a horí. Dolí se začí Q a horí Q 3. Vztahy pro dolí, horí kvatl a mezkvartlovou odchylku potom vypadají takto: [6] Q = 4 4, je-l děltelé čtyřm Q =, eí-l děltelé čtyřm, kde je číslo 4 zaokrouhleé a ejlţší vyšší celé číslo Vzorec č. Dolí kvartl [6] Q 3 = 3 4 3 4, je-l děltelé čtyřm Q 3 = 3, eí-l děltelé čtyřm, kde 3 je číslo 4 3 zaokrouhleé a ejlţší vyšší číslo Vzorec č. 3 Horí kvartl [6] Q() = Q Q 3 Vzorec č. 4 Mezkvartlová odchylka [6]
3.. Ukázka výpočtu ukazatelů varalty Pro příklad výpočtu všech ukazatelů varalty jsem zvoll data z ČSÚ. Jedá se o počet oyvatel české árodost rozděleých dle věkových kategorích ţjících a území České repulky. Jedotlvé údaje jsou aktualzovaé k datu. 3. 00. Kromě základích údajů (věk + příslušý počet oyvatel) osahuje íţe uvedeá taulka všechy potřeé velčy a mezvýsledky pro výpočet ukazatelů varalty. [5] věk počet Střed oyvatel tervalu [ ] -4 788760 9 788760 7098840-7,66 8499,99 764,93 603344387,30 5-9 3567 7 3567 5466639-9,66 6347,57 386,4 45686,60 0-9 790570 4,5 790570 9368965 -,6 967,75 47,80 684673,90 30-39 68345 34,5 68345 3390,50 -,6 33397,6 4,65 87783,7 40-49 648563 44,5 648563 886053,50 7,84 5086467,74 6,5 3989504,90 50-59 68340 54,5 68340 3444530 7,84 65,36 38,36 00038945,40 60-69 35995 64,5 35995 36839,50 7,84 00998, 775, 790399,40 70-79 5888 74,5 5888 8765656 37,84 9535,30 43,07 3607075,40 80+ 66804 85 66804 5678340 48,34 39483,95 337,0 56887,60 suma 4474788 64033765,50 786660,9 88338060 Příklad č.4 Ukazatele varalty Varačí rozpětí R = ma - m = 85-9 = 76 Varačí rozpětí je rovo hodotě 76. Sledovaý souoru se tedy pohyoval v rozmezí 76-t hodot. V tomto případě se jedá o věk. Průměrá odchylka d k k = 786660,9 4474788 = 7,47 Př výpočtu průměré odchylky se musí ejprve zjstt artmetcký průměr. Jelkoţ se jedá o rozsáhlejší souor s ěkolkaásoým opakováím hodot počítal jsem váţeý artmetcký průměr. Te vyšel 36,66. V taulce jsou vdět pomocé výpočty. A právě z váţeého artmetckého průměru vychází průměrá odchylka. V taulce jsou opět zahruty pomocé výpočty pro realzac průměré odchylky (, ).
Relatví průměrá odchylka Rozptyl d rd = 00 7,47 = 00 36,66 47,65 % σ = k k = 88338060 4474788 = 40,83 I vzorec pro rozptyl musí vycházet z váţeého artmetckého průměru. Pro výpočet rozptylu jsou v taulce opět uvede pomocé výpočty,,. Rozptyl tedy v tomto případě vyšel 40,83. Směrodatá odchylka je odmocou rozptylu. Směrodatá odchylka σ = k k = 40, 83 = 0,5 Varačí koefcet v = 00 0,5 = 00 36,66 = 55,95 % Mezkvartlová odchylka Př výpočtu mezkvartlové odchylky je důleţtým faktorem celkový počet zkoumaých hodot. Pouţtí správého vzorce pro výpočet dolího a horího kvartlu závsí především a tom, zda je suma četostí děltelá čtyřm. V příkladě č. 4 yla suma četostí 4474788, tedy děltelá čtyřm. Výpočet vypadal potom takto: Q = = 4,5 4, 5 8697 8698 4 4 = 4,5 Q 3 = = 54,5 54, 5 3 3 335609 335609 4 4 = 54,5 3
Q() = Q 3 Q = 54,5 4, 5 = 5 Závěr V roce 00 yl průměrý počet oyvatel české árodost a území České repulky 36,66 let. Z pohledu statstky yl souor zkoumaý v rozpětí 76 let. V průměru se věková hrace od artmetckého průměru 36,66-t let lšla o hodotu 7,47 let, tedy o 47,65 %. Hodota rozptylu se ve většě případech vyuţívá především pro výpočet směrodaté odchylky, vyjadřuje totţ pouze varaltu áhodých hodot kolem středí hodoty zkoumaého souoru. Hodota směrodaté odchylky 0,5 azačuje, ţe se od see jedotlvé zkoumaé hodoty vzájemě odlšují a to aţ o 55,95 %. Hodota mezkvartlové odchylky zde eí podstatá z pohledu vyhodoceí. Byla pouţta pouze jako ukázka výpočtu. V pra se totţ ve spojeí se směrodatou odchylku epouţívá. 4
4. Idey a ukazatele 4. Ukazatele S ukazatel se kaţdý z ás setkává deě, a to apř. v rozhlase, televz eo a teretu. Jedá se apř. o eport, mport, průměrou produktvtu, průměrý hodový výko atd. Ve většě případech je cílem ukazatelů ajít určtý ekoomcký oraz ějaké skutečost a prezetovat vhodě její výsledek. Vyuţtí tedy spadá především do hospodářské statstky. Ukazatele se mohou dělt podle růzých hledsek. Jedo z děleích můţe ýt a ukazatele základí, do kterých opět spadá ěkolk typů a druhů. [3] A jako další větší olast mohou ýt tzv. poměrí ukazatele, které vyuţívají ke srováí poměr růzých velč. 4.. Základí ukazatele Pokud zjedodušíme ukazatel pouţívaý ve statstce jako takový, lze ho rozdělt a dvě základí část. A to a statstcký ukazatel a údaj. Statstcký ukazatel je určtý stav skutečost, který je vyjádře proměou velčou a má svoj logckou strukturu. Zatímco údaj je přímo hodota vysthující daý statstcký ukazatel. Děleí základích ukazatelů se můţe rát tedy z růzých hledsek a oorů. Můţe tedy vypadat ásledově: [3] Prmárí ukazatele (lze je jedozačě určt, ejsou odvozeé) Sekudárí ukazatele (je ještě ěkolk prcpů vzku, v zásadě jsou odvozeé) Dále: Asolutí ukazatele (ukazatele prmárí a ěkteré sekudárí - časové) Relatví ukazatele (především ukazatele sekudárí) Dále také: Okamţkové ukazatele (určey pro určtý terval) Itervalové ukazatele (tyto aopak k určtému tervalu) 5
A eo: Eteztí ukazatele (udává rozpětí sledovaého ojektu, asolutí čísla) Iteztí ukazatele (udává teztu sledovaého ojektu, poměr čísel) 4.. Poměrí ukazatele Poměrí ukazatele jsou ve své podstatě ástrojem k porováí eo srováí dvou, ale více souorů. V předchozích kaptolách yly pouţty ke srováí apř. průměry. Ty jsou yí tedy ahrazey tzv. poměrem. Poměr se pouţívá tam, kde eí základ srovávaých souorů stejý. A to ývá ve většě případech. Je málokdy se stae, ţe apř. dva sledovaé souory mají stejý počet hodot eo vah. Př pouţtí poměru jsou důleţté dvě velčy. Srovávaá hodota a základ. Tyto dvě velčy se mez seou vydělí a jejch výsledkem je právě poměrý ukazatel. Tak, ay yla efektvta výsledku poměrého ukazatele co ejvyšší ývá pravdlem, ţe v čtatel je srovávaá hodota a ve jmeovatel pouţtý základ. Podle typu srováí lze dále poměré ukazatele dělt a poměré ukazatele struktury, poměré ukazatele splěí pláu eo také poměré ukazatele vývoje. [] Poměrí ukazatele struktury se vyzačují tím, ţe dochází ke srováí pouze určté část celku. Tato část se porovává s celým celkem jako takovým. Pouţívá se především v takových stuacích, kde je třea zjstt jak výzamou rol určtá část v celém celku hraje. Takových částí ývá v celku většou ěkolk a proto se počítá jejch procetuálí podíl. Srovávaou hodotou je zde tedy určtá část souoru a základem celý souor. [] Potom vzorec pro poměré ukazatele struktury vypadá takto: část 00 celek [%] Vzorec č. 5 Poměrý ukazatel struktury [] Poměrý ukazatel splěí pláu dokazuje do jaké míry se shoduje skutečá hodota s tou předpokládaou. Teto poměrý ukazatel má vyuţtí hlavě v ekoomckém a techckém odvětví. Např. př sledováí skutečých trţe s předpokládaým, př sledováí plěí pláu výroy eo sledováí ákladů a výrou za určté zúčtovací odoí. V tomto případě je srovávaou hodotou skutečost a základem předpoklad eol plá. [] Vzorec pro poměrý ukazatel splěí pláu vypadá potom takto: 6
realta plá 00 [%] Vzorec č. 6 Poměrý ukazatel splěí pláu [] Poměrý ukazatel vývoje sleduje určtý jev v ěkolka časových horzotech, tedy jeho dlouhodoý vývoj. I u poměrého ukazatele vývoje je výsledá hodota prezetováa v procetuálí podoě tak, ay edocházelo ke zkresleí hodot. Vyšší hodoty totţ vţdy ezameají vyšší zsky, trţy apod. Teto ukazatel se vyuţívá apř. př dlouhodoém sledováí vývoje zsků, trţe eo výdajů. Pro přehledější pulkac vývoje lze vyuţít poměré ukazatele vývoje se stálým základem eo se základem pohylvým. [] Ty se stálým základem se ozačují písmeem S. V tomto případě se vyuţívá tzv. azckých deů. Bazcké dey porovávají jedotlvé hodoty s jedou, pevě daou, od které se určuje růst eo pokles sledovaého ojektu. [] Poměrý ukazatel vývoje s pohylvým základem se začí písmeem T a vyuţívá tzv. řetězových deů. Ty se od těch azckých lší především tím, ţe jedotlvé hodoty se porovávají s tou ejlţší předcházející. [] 4..3 Vlastost ukazatelů Ukazatel jako takový slouţí především k pozáí určté skutečost a je důleţtým předpokladem př vytvářeí celkového rozoru a vyhodoceí. A z toho vyplývají jeho vlastost. Mez základí vlastost ukazatelů patří stejorodost, srovatelost a shrovatelost. [6] [3] To, ţe je ukazatel stejorodý splňuje asolutí relatví ukazatel, ale pouze za určtých podmíek. Samotá stejorodost závsí a uspořádáí šetřeých velč. Asolutí ukazatel lze prohlást za stejorodý pokud jsou jedotlvé velčy upravey tak, ţe mohou ýt vzájemě sečtey. Zatímco relatví ukazatel je stejorodý tehdy, pokud se skládá ze dvou stejorodých asolutích ukazatelů. [3] Srovatelost lze vyuţít u těch ukazatelů, u kterých je př jejch porováí výsledkem reálá velča. [3] Zatímco shrovatelost umoţňuje z určtého šetřeého ojektu získat pomocí jedotlvých hodot jedu výsledou. Ukazatele lze také dělt podle toho, zda jsou přímo shrovatelé, epřímo shrovatelé eo eshrovatelé. [3] 7
4. Idey Ide lze charakterzovat jako srováí dvou hodot jedoho typu ukazatele. Výsledkem deu je tedy podíl dvou hodot ukazatele. Zatímco v čtatel je hodota ukazatele v porovávaém tvaru ( ), tak ve jmeovatel je ukazatel v tzv. základím tvaru ( 0 ), který je ozačová jako základ deu (vz vzorec č. 7). V ěkterých případech se dey vyjadřují procetuelě. V takovém případě je podíl ukazatelů vyásoe stem. Rozdíl oou ukazatelů se azývá asolutí rozdíl eo dferece a mmo jé ývá jedou z příč dalšího zkoumáí. Výsledá hodota asolutího rozdílu se ozačuje řeckým písmeem (delta) a vyjadřuje rostoucí, klesající eo ulový asolutí přírůstek. [0] I ( ), () = 0 0 Vzorec č. 7 Ide, asolutí rozdíl deu (dferece) [0] 4.. Děleí deů podle růzých hledsek Tak jako ukazatele, tak dey lze dělt a porovávat podle růzých hledsek č faktorů, které mají vlv a výsledou hodotu. Jedím z ejčastějších hledsek je posuzováí deů dle času. Pokud je tedy hlavím měřítkem právě čas, lze dey zařadt a dělt podle dvou odoí a to a: [0] Základí odoí (je základem porováí) Běţé odoí (srovávaé odoí) Podle vlastostí daých ukazatelů se dey dále dělí a: [0] Idey ojemové (eteztí ukazatele) Idey úrově (teztí ukazatele) Do kategore ojemových deů patří tzv. eteztí ukazatele (q). Jejch charakterstckou vlastostí je moţství eo velkost. Jedá se tedy apř. o počet ţáků v jedé třídě, počet vyroeých kusů atd. Jedotlvé počty kusů eo ţáků lze sečíst. Pak jsou to tzv. stejorodé eteztí ukazatele. Musí ovšem splňovat podmíku toho, ţe 8
všechy hodoty ukazatele spadají do jedé kategore a mají tedy stejý výzam. Pokud tomu tak eí elze je sčítat a ozačují se jako estejorodé eteztí ukazatele. [0] Hlavím měřítkem deů úrově je tezta. Proto také ázev teztí ukazatele. Jsou podílem dvou eteztích ukazatelů a v pra se jedá apř. o velkost trţe, tezty práce atd. Iteztí ukazatele se ozačují písmeem p a lze je také ještě dělt do dalších kategorí. A to a stejorodé a estejorodé. Ty stejorodé lze vyjádřt pomocí průměru. Jedotlvé hodoty musí ovšem spadat do jedé kategore. Pokud tomu tak eí ozačují se jako estejorodé a s průměrem elze počítat. [0] 4.. Jedotlvé typy deů Idey lze dále dělt do třech kategorí. Na dvduálí jedoduché dey, dvduálí složeé dey a dey souhré. [3] Idvduálí jedoduché dey Tyto dey porovávají dvě stejorodé velčy (eteztí eo teztí) vyskytující se v jedé kategor dat (apř. třída ţáků, výroa v jedé dvz atd.). [] Tyto dey lze také dále odlšt podle typu ukazatele. Ukazatele, s kterým se zde pracuje jsou totţ hlavím měřítkem dalšího děleí dvduálích jedoduchých deů. S eteztím ukazatel totţ pracuje tzv. dvduálí jedoduchý de možství. Teto de vyjadřuje změu eteztího ukazatele v ěţém odoí oprot základímu. [3] Společě s asolutím rozdílem eol dferecí lze vyjádřt takto: q q, q = q q 0 q 0 Vzorec č. 8 Idvduálí jedoduchý de možství a jeho asolutí rozdíl [3] Ide, který se zaývá především teztím ukazatel a sleduje jejch změu v určtém tzv. ěţém odoí oprot základímu se azývá dvduálí jedoduchý de úrově. [3] Te lze vyjádřt společě s asolutím rozdílem takto: p p, p = p p 0 p 0 Vzorec č. 9 Idvduálí jedoduchý de úrově a jeho asolutí rozdíl [3] 9
Idvduálí složeé dey Idvduálí sloţeé dey se zaývají porováím průměrých změ jedotlvých stejorodých ukazatelů, které jsou sloţey z jedotlvých částích spadajících do jedoho šetřeého souoru. Rozděleí dvduálích sloţeých deů je opět závslé a typu č sloţeí ukazatele. Idvduálí složeý de možství lze vyuţít pouze u eteztích velč. Vyjadřuje podíl součtů jedotlvých hodot za ěţé a základí odoí. [] Vzorec společě s asolutím rozdílem vypadá potom takto: I q q q 0, q q Vzorec č. 0 Idvduálí složeý de možství a jeho asolutí rozdíl [3] q 0 Idvduálí složeý de úrově pracuje s teztím ukazatel. Jelkoţ jsou ovšem esčtatelé zaývá se průměry jedotlvých hodot, a to v ěţém odoí oprot základímu. [] Potom ho lze v základím tvaru s asolutím rozdílem vyjádřt takto: p p p I p, p 0 p 0 Vzorec č. Idvduálí složeý de úrově a jeho asolutí rozdíl [3] Ide stálého složeí vyjadřuje poměr změy určté hodoty teztího ukazatele ke změě průměré hodoty teztího ukazatele. Je zde důleţté potlačt eteztí velču, a proto se počítá teto de uď pro ěţé eo základí odoí. Z toho tedy plye, ţe estují dva vzorce pro výpočet tohoto deu. [] [3] Pro de struktury oprot předchozímu deu platí, ţe jedotlvé teztí hodoty jsou stálé a eměé. Ide struktury slouţí totţ především pro zjštěí změ jedotlvých eteztích hodot. Zameá to, ţe mohou opět astat dvě stuace eol můţe ýt de struktury vyjádře dvěma vzorc. Iteztí velča je uď v základím eo v ěţém odoí. A proto je tedy eměá. [] [3] 30
Souhré dey Souhré dey se vyuţívají především př pouţtí estejorodých ukazatelů. Předchozí kaptoly apověděly, ţe sčítat a zprůměrovat lze pouze takové ukazatele, které jsou stejorodé. Zjedodušeě se dá říc, ţe spadají do jedé kategore apř. druhu zoţí, výroku atd. Ale souhré dey mají právě uplatěí především pro estejorodé eteztí a teztí ukazatele, které elze sečíst a zprůměrovat. Ideů spadajících do kategore souhrých je moho a větša z ch převzala ázev od svého autora. [3] Jede z ch je souhrý de hodoty. Jeho úkolem je vyjádřt změu hodoty půsoeím eteztích a teztích ukazatelů. Vzorec má podoou strukturu jako u dvduálího sloţeého deu. [] Vzorec vypadá tedy takto: I h q q 0 p p 0 Vzorec č. Souhrý de hodoty [] Dalším typem je souhrý de možství (ojemu). Te porovává pouze eteztí ukazatele. V podstatě dochází k přepočtu z estejorodých eteztích ukazatelů a ukazatele stejorodé za pomoc tzv. koefcetů. Fukc koefcetů zde plí teztí velčy, které jsou ve stálém tvaru základího eo ěţého odoí. Základí vzorce pro výpočet souhrého deu moţství (ojemu) jsou tedy dva. Jede pro teztí ukazatele v základím odoí a druhý pro teztí ukazatele v ěţém odoí (vz vzorec č. 3). Některé lteratury se zaývají dalším typy těchto deů, které právě mají ázvy po svých autorech. Jedá se apř. o Loweův ojemový de, Laspeyresův ojemový de, Paascheho ojemový de eo Fsherův ojemový de. [] [3] I o q q 0 p p 0 0, I o q q 0 p p Vzorec č. 3 Souhrý de možství v základím, resp. ěžém odoí [] Souhré dey úrově (cey) jsou přesým opakem předchozího typu deů, tedy deů moţství. Souhré dey úrově (cey) totţ slouţí k porováí pouze 3
teztích ukazatelů. Fukc tzv. koefcetů zde tetokrát plí eteztí ukazatele, jejchţ hlavím úkolem je přemět estejorodé teztí ukazatele a stejorodé. Eteztí ukazatel je opět ve stálém stavu, a to uď v základím eo ěţém odoí. Vzorce pro souhré dey úrově (cey) udou opět dva (vz vzorec č. 4). Některé lteratury se zmňují opět o dalších typech deů. Jedá se o Loweův ceový de, Laspeyresův ceový de, Paascheho ceový de a Fsherův ceový de. [] [3] I c q q p p 0, I c Vzorec č. 4 Souhrý de úrově v ěžém, resp. základím odoí [] q q 0 0 p p 0 3
5. Časové řady K základím metodám statstckého zkoumáí patří sledováí a vyhodoceí dosavadích zpracovaých velč. Ať uţ v ekoomcké, hospodářské, ale jé olast dokáţe odhad udoucího vývoje pomoc v ěkolka ohledech. Např. př rozhodováí o udoucích pláech, projektech atd. A právě v těchto olastech mají své vyuţtí časové řady. Dokáţou totţ a základě dosavadích zjštěých velč vytvořt přlţou progózu udoucího stavu. Více sledovaých a zjštěých velč, řad a odoích za předchozí dou zaručuje větší přesost výsledku časových řad a tedy lepší odhad udoucího vývoje. Jedotlvé velčy, s kterým se dále pracuje musí splňovat určté podmíky a doporučeí. Jedím z ch je to, ţe všechy velčy musí ýt stejého charakteru. Zkoumaé velčy musí ýt po celou dou sledováí stejé především z hledska osahu. Jak dochází ke zkresleí výsledku časové řady, a to ývá právě ejčastější příčou edokoalých progóz a odhadů. Podle typu velč a jejch vlastostí lze časové řady rozdělt dle růzých hledsek. [7] 5. Tříděí časových řad Časové řady lze dělt: [9] a) podle rozhodého časového okamžku: Itervalové (hodota určté velčy za časový terval) Okamţkové (hodota určté velčy k daému okamţku) ) podle perodcty: Dlouhodoé (víceleté, většou od jedoho roku a více) Krátkodoé (ývají do jedoho roku - půlročí, čtvrtletí, měsíčí) c) podle druhu sledovaých ukazatelů: Časové řady prmárích ukazatelů (jedá se o ty přímo pozorovaé velčy) Časové řady sekudárích ukazatelů (jsou to jţ odvozeé velčy) 33
d) podle způsou vyjádřeí údajů: Časové řady aturálích ukazatelů (hodoty vyjádřey v aturálích jedotkách) Časové řady peěţích ukazatelů (peěţí forma vyjádřeí) Toto je jeda z moţostí jak lze jedotlvé časové řady dělt podle růzých hledsek. Tou ejpouţívaější varatou je děleí a tervalové a okamţkové časové řady. To se uvádí v převáţé většě lteratur. U tervalových časových řad je tím ejdůleţtějším parametrem terval, který ovlvňuje velkost celé časové řady. Pokud astae stuace, ţe jedotlvé tervaly ejsou stejé, jedou z moţostí je vyuţtí tzv. přepočtu a jedotkový terval. Ve zkratce dochází k tomu, ţe jedotlvé hodoty jsou vyděley skutečou hodotou a teto výsledek se dále ásoí hodotou stejou pro všechy tervaly. Potom takto upraveé tervaly lze podrot součtu. [] Naopak okamžkové časové řady mají za rozhodující parametr okamţk eo stav. Pouţívají se k vyjádřeí ějakého stavu. Např. počtu oyvatel, porodost atd. k ějakému určtému datu. Součtu mez jedotlvým stavy zde eí potřea. K tzv. shrováí jedotlvých hodot se u okamţkové časové řady vyuţívá chroologckého průměru. Pokud jsou jedotlvé tervaly okamţků stejé vyuţívá se prostý chroologcký průměr. Jestlţe však astae stuace, ţe tervaly časových okamţků ejsou stejě velké musí se počítat s váţeým chroologckým průměrem. [] Pokud jde o grafcké zázorěí časových řad jsou ejvhodější spojcové grafy. Pro tervalové časové řady lze vyuţít graf sloupcový. [7] 5. Součtové časové řady Do této kategore spadají epochyě tervalové časové řady. Jedá se tedy o takové časové řady, jejchţ tervaly lze shrovat součtem. Poté lze zrekostruovat tzv. kumulatví časové řady a časové řady klouzavých průměrů ozačující se hromadě pod jedím pojmem právě jako součtové časové řady. [7] Kumulatví časová řada vychází ze stadardí tervalové řady. K výsledé hodotě kumulatví časové řady se totţ dospěje postupým ačítáím všech hodot chroologcky po soě jdoucích tervalů. Kumulovaé hodoty formují o tom, jak se měí určtá sledovaá velča od začátku pozorováí aţ po samotý koec. Následě lze porovat skutečou kumulovaou hodotu od pláovaé a realzovat tak apř. průěţou kotrolu plěí pláu, příjmů č výdajů atd. [7] 34
Další varatou součtové časové řady je tzv. časová řada klouzavých (pohylvých) úhrů, ěkdy také ozačovaá jako klouzavé průměry. Jedotlvé klouzavé úhry jsou vţdy stejě velké a dochází tak k součtu jedotlvých, po soě jdoucích tervalů. Klouzavé úhry jsou vţdy počítáy za ějaké časové odoí. Zvoleé časové odoí (týdeí, měsíčí, ročí atd.) je rozděleo do stejých časových tervalů. Tyto časové tervaly se avzájem překrývají. V pra to zameá, ţe pokud apř. ude přcházet v úvahu časová řada o -t měsíčích tervalech a úkolem ude vypočítat tříměsíčí klouzavé úhry, potom ude postup ásledující. Časová řada o -t měsících se rozdělí a ezprostředě po soě jdoucí tříměsíčí tervaly. Zameá to tedy, ţe prvím tervalem ude. aţ 3. měsíc, druhým. aţ 4. měsíc, třetím 3. aţ 6. měsíc atd. Prví klouzavý úhr je rove součtu prvích tří měsíců a posledí klouzavý úhr zase těch posledích třech. [7] Vola časové řady a především její délka se ve většě případech určuje a základě dlouhodoých zkušeostí. Základím typy klouzavých průměrů jsou prosté klouzavé průměry, vážeé klouzavé průměry a cetrovaé klouzavé průměry. Ty váţeé od prostých, jak uţ apovídá sám ázev, se lší především pouţtím artmetckého průměru. Cetrovaé se řadí do kategore specálích klouzavých průměrů. [] 5.3 Vyrováí časových řad V předešlých kaptolách yla zmíka o tom, ţe jedou z vlastostí časových řad je schopost progózy udoucího stavu. Jţ samotý pohled a řadu čísel hodě apoví, zda se ude jedat o rostoucí č klesající vývoj. Tak, ay mohl ýt však odhad provede co ejpřesěj je důleţté ze všech zkoumaých hodot v časové řadě vysthout tzv. tredovou sloţku. Musí se počítat s tím, ţe a tredovou sloţku v moha případech půsoí hodoty, které j svým kolísáím ovlvňují. Jedá se především o výkyvy hodot eo áhodé kolísáí. Tyto čtele je potřea co ejvíce omezt a mmum. Skutečé hodoty jsou tedy do udouca ahrazey pouze teoretckým výpočty, které charakterzují určtý udoucí tred. A to je právě hlavím úkolem vyrováí časových řad. [] Samotá statstka aízí ěkolk moţostí vyrováí časové řady. Jedotlvé moţost a metody se od see lší pouţtím určté matematcké fukce, vyjádřeé apř. přímkou, epoecálí křvkou eo paraolou atd. Podle hodot časové řady se volí ta ejvhodější metoda. Tou ejpouţívaější je vyrováí časové řady pomocí přímky. Zde se vyuţívá leárí fukce, jejíţ grafckým vyjádřeím je právě přímka. Pro přímku je charakterstcká růstová kostatí fukce. Někdy se tato fukce také ozačuje jako dvou parametrová. A to z toho důvodu, ţe k vyrováí časové řady je potřea zát dva základí 35
parametry (vz vzorec č. 5). Tato fukce má především své vyuţtí v takové časové řadě, kde jedotlvé hodoty vykazují téměř stejé přírůstky. [7] y. y, y, y 0 0 Vzorec č. 5 Parametry a výsledá tredová leárí fukce [] Pokud však jedotlvé hodoty jsou leárího charakteru a mají tedec růst eo klesat vyuţívá se vyrováí časové řady kvadratckou fukcí. Výpočet se určuje tzv. metodou ejmeších čtverců, a to za pomoc tří rovc (vz vzorec č. 6). [7] 0 y 0 3 y 0 3 4 y Vzorec č. 6 Tř rovce pro výpočet výsledé tredové kvadratcké fukce [] Z pohledu eleárích velč se pouţívá tzv. mocá fukce. Vyuţívá se vyrováí časové řady epoecálí tredovou fukcí. Tato fukce se pouţívá v takových případech, jestlţe se jedá o téměř stejé hodoty růstu. Pokud se však tempo růstu měí a líţí se k jedé kostatí hodotě je vhodější pouţít tzv. modfkovaou (posuutou) epoecálí fukc. Výpočet osahuje tzv. parametr posuutí. [7] Dalším typem je leárě lomeá tredová fukce. Ta své vyuţtí achází především v takových časových řadách, kde jedotlvé přírůstky ve výsledku vlastě vyjadřují pokles. A te je vystţe právě hyperolckou fukcí. [7] Mez další skupu tredových fukcí patří takové fukce, které jsou závslé a tzv. odu asyceí. Sem se řadí apř. Törqustova fukce, logstcká fukce atd. Ty uţ jsou ovšem méě zámé a vyuţívaé. [7] 36
6. Závslost, regrese a korelace Pojmy jako závslost, regrese a korelace jsou osahem této kaptoly. Jedotlvé termíy se vzájemě prolíají a avazují a see. Závslost jako taková je popsáa určtým velčam a a základě jejch charakteru j lze dále dělt. Samotou míru závslost mez zkoumaým velčam udává korelace eol tzv. korelačí aalýza. Případě také zkoumá tzv. míru tezty (těsost). Úkolem regrese eol regresí aalýzy je vyjádřt vztah mez daým velčam matematckým tvarem. [] Jedotlvým pojmy se zaývají dále ásledující kaptoly. 6. Zkoumáí závslost V jakékol olast kaţdodeího ţvota lze sledovat určtou vzájemou vazu mez určtým jevy. V pra se jedá apř. o vztah mez počtem prodaých výroků a zskem. Vţdy jede jev vyvolává te druhý. Základem je ovšem ějaký ásledek, který vyvolá příču. Zatímco příču jevu lze ozačt jako ezávslé proměé, tak ásledek jsou závslé proměé velčy. Nezávslé proměé velčy se ve většě případech ozačují písmeem a závslé proměé velčy písmeem y. Závslost jako takovou lze podle typu velč dále rozlšovat. [] Jestlţe ezávsle proměá hodota () je spjata je se závsle proměou hodotou (y) jedá se o fukčí závslost. Ta se ěkdy také azývá jako pevá. [] Dalším typem je závslost stochastcká. Někdy ozačováa jako volá. A to z toho důvodu, ţe ezávsle proměá hodota () tetokrát přísluší více hodotám závslé proměé (y). Tato závslost se zkoumá př větším počtu jevů. [] Mez jedotlvým jevy můţe astat tzv. ezávslost. Potom je středí hodota (y) v závslost a hodotě () eměá. [] Př sledováí určtého vztahu mez dvěma velčam ( a y) jsou tyto velčy popsáy určtým matematckým vztahem. To je úkolem regresí aalýzy. Dalším z úkolů je sledovat, zda je mez jedotlvým velčam ějaká závslost. Pokud je mez m tzv. míra tezty (těsost). To je úkolem korelačí aalýzy. Jejch podroějším popsem se zaývají ásledující kaptoly. [] 37
6. Regrese Regrese určuje matematcký tvar mez velčam a vysthuje jejch průěh k určté zkoumaé závslost. Pro určeí regrese se vyuţívá tzv. regresí aalýzy. Regresí aalýza vyuţívá regresích fukcí (spojc tredů). Na základě regresích fukcí lze vytvořt grafcké zorazeí zkoumaých velč, coţ je mohem přehledější forma prezetace zkoumaých dat. To eí ovšem jedá moţost a výhoda regresí aalýzy. Za pomoc regresích fukcí s lze totţ vytvořt také určtou progózu dat. Především předpověď do udouca ývá hodě vyuţíváa. Podoě jako u časových řad. Samotá matematcká progóza lze realzovat jak před, tak za hrací zorazeých hodot. Je moţé také zjstt přlţou přesost daé matematcké progózy pomocí tzv. těsost závslost. To uţ je ovšem v rámc korelace, kterou se zaývá ásledující kaptola. [8] K odhadu jedotlvých parametrů jţ aměřeých velč se často v pra vyuţívá tzv. metody ejmeších čtverců. Nejprve se musí k doposud aměřeým hodotám zvolt ejvhodější a odpovídající křvka. To je totţ prvím krokem kaţdého statstka. Nejdříve se zvolí typ fukce. Pro kaţdou regresí fukc odpovídá já křvka. Metoda mmálích čtverců jţ pouze hledá ty ejvhodější a ejpřesější hodoty pro daou zvoleou fukc. Tyto fukce mají ázev podle tvaru křvky. Mez ty ejpouţívaější tedy patří: [8] Leárí Epoecálí Mocá Logartmcká Polyomcká Mez ejjedodušší patří leárí fukce eo také leárí spojce tredu. K vyrováí aměřeých hodot se vyuţívá přímka. Je vyuţíváa většou u hodot, které rostou eo klesají téměř kostatí měrou. [8] Další moţostí je epoecálí spojce tredu. Její křvka se vyuţívá především v stuacích, pokud hodoty stoupají eo klesají po stále větších perodách. A tehdy, jestlţe aměřeé velčy ejsou záporé eo ulové. [8] Pro mocou spojc tredu je charakterzující to, ţe j eí moţé opět vyuţít pro ulové a záporé hodoty. Své vyuţtí achází tam, kde data stoupají po určtých stejých perodách (apř. po sekudě, mutě atd.). [8] 38