Jiří Zmatlík 1, Pavel Zdvořák Problémy hodoceí výkoosti a zůsobilosti řízeí rocesů v rámci eslěí ormality rozděleí domiatího zaku jakosti Klíčová slova: eshodý rodukt, zaky jakosti měřitelé a zaky jakosti eměřitelé, riziko vziku eshodých roduktů, odíl eshodých roduktů, lemetsovy idexy, odhad eshodých roduktů ři trasformaci rozděleí Úvod Čláek se zabývá výkoostí a zůsobilostí, což je vlastost výrobích a evýrobích rocesů a systémů, výrobích automatizovaých a středě automatizovaých zařízeí a měřicích systémů trvale dosahovat výstuy vysoké kvality a kvalitativích ormativích stadardů. Řeší roblémy v říadě, že výstuy z rocesů emají ormálí rozděleí ravděodobosti, či očet ozorováí je malý. Čláek se dále zabývá hodoceím výkoosti a zůsobilosti v říadě eměřitelých zaků jakosti avazující a statistickou regulaci srováím. ílem je secifikovat ohledy a využití idexů výkoosti a zůsobilosti, ejsou-li lě slěy výchozí odmíky ormality dat, odlehlosti ozorováí, statisticky stabilích rocesů. Součástí je též ohled staoveí odhadu eshodých roduktů. 1 Odhad rizika vziku eshodých roduktů Dosud ejčastějším kritériem jakosti výroby bylo riziko (ravděodobost vziku eshodých roduktů. Produkt je eshodý, jestliže sledovaý zak jakosti leží mimo toleračí ole, což je atré z obrázku č. 1. 1 Ig. Jiří Zmatlík, Ph.D. (*1969 ůsobí v oblasti alikovaé matematiky a statistiky v rámci řízeí odiku. Obhájil disertačí ráci v oblasti statistického řízeí jakosti. Působí a České zemědělské uiverzitě v Praze a Provozě ekoomické fakultě a katedře statistiky. Předáší a cvičí ředměty alikovaé statistiky. Zabývá se zejméa statistickými modely v zemědělství a metodami alikovatelými ro zlešováí jakosti. Ig. Pavel Zdvořák (*1956 je odboríkem v oblasti řízeí a techologie doravy jako součást logistických rocesů. Působí jako odborý asistet v oblasti řízeí a techologie doravy a ČVUT v Praze a Fakultě doraví v Ústavu logistiky a maagemetu doravy. Zabývá se zejméa doravími systémy a techologiemi, alikovaými matematickými modely v doravě a logistice se zaměřeím a ekoomickou odstatu roblematiky. 1
USL LSL φ(- U φ(- U Obrázek 1: Riziko vziku eshodých roduktů V říadě ormálího rozděleí zaku jakosti lze odvodit vztahy ro riziko P (ravděodobost vziku eshodých roduktů: LSL µ USL µ P P( X LSL + P( X USL P( X LSL + 1 P( X USL Φ( + 1 Φ( LSL µ µ USL Φ( + Φ( Φ( L + Φ( U Φ distribučí fukce ormovaého ormálího rozděleí µ a arametry rocesu Pravděodobost vziku eshodých roduktů bude ro obecý říad ležet v itervalu [Φ( k, Φ( k ]. Hodota ravděodobosti Φ( k odovídá situaci, že středí hodota sledovaého zaku jakosti leží urostřed toleračího ole vymezeého toleračími mezemi. Ilustrativí ukázka Je uvažová výrobí roces s ormálím rozděleím zaku jakosti, jehož arametry jsou µ 14 a, cílová hodota τ 15 a toleračí meze byly staovey a hodoty USL 4 a LSL 5. P 10 Φ( L + Φ( Φ( + Φ( 0,00178 USL µ 4 14 10 9 µ LSL 14 5 1 U U L Pravděodobost vziku eshodých roduktů ukazuje, že z 1 000 roduktů budou cca rodukty eshodé.
V raxi se často vyskytují říady, kdy očet ozorováí ro odhad arametrů rocesu µ a eí dostatečě velký a je uté odhadout riziko vziku eshodých roduktů z malých výběrů. Naříklad firma Geeral Motors vyracovala zjedodušeou studii zůsobilosti ro 50 o sobě jdoucích měřeých hodot domiatího zaku jakosti. Pro aměřeých hodot sledovaého zaku jakosti x 1, x x z rocesu s řibližě ormálím rozděleím latí íže uvedeé vztahy: 1 z 0 ro z x s 1 z 1ro z x + s z T (, A( z ro A( z ( 1 ( z x s ( z x Pravděodobost vziku eshodých roduktů je P: P 1 USL( + LSL x S T výběrový růměr vzorku směrodatá odchylka rocesu distribučí fukce Studetova rozděleí rozsah souboru Ilustrativí ukázka Je uvažová vzorek o rozsahu 10, u ěhož byly staovey výběrové charakteristiky: výběrový růměr 7,195; výběrová směrodatá odchylka 0,0041. Výrobí roces má staovey toleračí meze a hodoty USL 7,0 a LSL 7,18. Platí 10 1 z 7,195 0,0041 7,18 10 10 1 z 7,195 + 0,0041 7,067 10 Vzhledem k tomu, že LSL 7,18 je meší ež vyočteá z hodota, je ravděodobost eshodých roduktů ulová. USL dosahuje hodoty 7,0, což je méě ež vyočteá hodota z 0,067, ravděodobost vziku eshodých roduktů se staoví ze Studetova rozděleí dle ásledujícího vztahu: A ( USL (10 1 10 10 (7,0 7,195 0,0041 (7,0 7,195,66
Pravděodobost vziku eshodých roduktů je dáa: P USL + LSL 1 USL + 0 1 T 0,0144 1 ( 8;,66 Secifikace výkoosti a zůsobilosti vycházející z ašeho vzorku charakterizuje riziko vziku eshodých roduktů v úrovi 1,44 %. Hodoceí zůsobilosti u měřitelých zaků jakosti s eormálím rozděleím Klasické ukazatele výkoosti a zůsobilosti jsou kostruováy ro data s ormálím rozděleím, řičemž ormalitu je třeba vždy ověřit omocí statistických testů. Neotvrdí-li testy ormalitu dat, existuje ěkolik možostí řešeí daé situace [8,7]: Provést trasformaci dat, aby bylo dosažeo ormálího rozděleí, a ostuovat cestou ro ormálí rozděleí. Obtížé je alezeí vhodé trasformace dat, řičemž a závěr je uté rovést zětou trasformaci. Obvykle se využívá trasformace Z X k, kde k se volí iterativě tak, aby data vykazovala ormálí rozděleí, tj. řibližě ulový koeficiet šikmosti. Zjistit ty rozděleí a alézt kvatily, které vymezují 99,7 % hodot statistického souboru. Problémem je alezeí tyu rozděleí vzhledem aříklad k malému očtu aměřeých hodot. Aroximovat data vhodým teoretickým rozděleím a staovit otřebé kvatily. Využít seciálích ukazatelů výkoosti a zůsobilosti, které evyžadují ormalitu dat. Pro rozděleí Beta, Gama a Studetovo avrhul v roce 1989 lemets idexy a k, které vycházejí z filozofie idexů ro ormálí rozděleí ravděodobosti dat. Tyto idexy jsou defiováy dle íže uvedeých vztahů: mi( k L, U L U USL LSL U L M LSL M L USL M U M U L M horí kvatil dolí kvatil mediá Postu ro staoveí těchto idexů je ásledující: 1. Secifikují se toleračí meze USL a LSL. 4
. Určí se charakteristiky olohy (výběrový růměr, variability (výběrová směrodatá odchylka, šikmosti (koeficiet šikmosti, kvatilová šikmost a charakteristiky šičatosti (koeficiet šičatosti.. Ve seciálích tabulkách lemets (1989 se alezou hodoty, stadardizovaých kvatilů L, U ro zvoleou ravděodobost a vyočteé hodoty šikmosti a šičatosti. 4. Staoví se hodoty kvatilů ro daý výběrový růměr a ro daou směrodatou odchylku, řičemž latí rovice: L U x s L x + s U 5. Staoví se hodota mediáu M ze vztahu: M x + s M 6. Vyočítají se lemetsovy ukazatele [4] výkoosti a zůsobilosti výše defiovaé. lemetsova metoda byla dolěa o další idexy zůsobilosti, které vycházejí z ásledujících íže uvedeých vztahů: m * m mk USL LSL U L 6 ( + ( M T 6 mi( USL T, T LSL U L ( + ( M T 6 USL M mi( U M ( + ( M T, M ( L M LSL + ( M T Jak již bylo zmíěo, lemetsova metoda eí oužitelá ro jakékoliv eormálí rozděleí. Je tedy uté vybrat určitý ty rozděleí a osoudit jeho ředoklady omocí testu χ ebo Kolmogorovým-Smirovovým testem. Při zalosti arametrů rozděleí je uté staovit kvatily x 0,0015 a x 0,99865, které vymezují 99,7 % souboru jako iterval šesti sigma v ormálím rozděleí. Byly avržey ásledující ukazatelé výkoosti a zůsobilosti, kde µ je středí hodota a T je cílová hodota sledovaého zaku jakosti. T m LSL mi( m x 0,0015 T LSL mi( T x 0,0015 USL m, x m 0,99865 USL T, x T 0,99865 5
Pro jedostraou toleraci, je-li USL rovo cílové hodotě, je možé vyjádřit ukazatele zůsobilosti a T v ásledujícím tvaru: T x LSL x x 0,0015 T LSL T x 0,0015 Pro jedostraou toleraci, je-li LSL rovo cílové hodotě zaku jakosti, je možé ukazatele zůsobilosti vyjádřit ve tvaru: T USL x x x 0,99865 USL T x T 0,99865 Problematikou kostrukce těchto idexů zůsobilosti je alezeí kvatilů, které vyžadují rozsah souboru větší ež 800. Dooručuje se však místo kvatilů x 0,0015 a x 0,99865 racovat s hodotami x mi a x max. To však může zůsobit zkresleí a vést k roblematice extrémích hodot. Hodoceí zůsobilosti u eměřitelých zaků jakosti Zůsobilost rocesu lze hodotit také v říadě, že zak jakosti je eměřitelá diskrétí áhodá veličia, lze staovit očet ebo odíl eshodých roduktů a očet ebo odíl eshod. K hodoceí zůsobilosti se ejčastěji oužívají růměré úrově výskytu eshodých roduktů ebo eshod. Mají-li tyto růměré míry charakterizovat zůsobilost rocesu, je uté, aby shromážděé údaje charakterizovaly statisticky zvládutý roces. Zůsobilost rocesu v tomto říadě odovídá úrovi cetrálí římky v regulačím diagramu. Průměrě dosahovaé úrově se obvykle vyjadřují v jedotkách m (arts er millio ebo dm (defects er millio, okud je výskyt eshodých roduktů a eshod ízký. Zůsobilost rocesů a kvalitativích zaků jakosti lze vyjádřit ekvivalety a k ředstavujícími hodoty idexů měřitelého a ormálě rozložeého zaku jakosti, kterému odovídá staoveý růměrý odíl eshodých výrobků. Vztahy ro ekvivalety idexů a k jsou ásledující: Ekv, Ekv, u k u 1 u1, u kvatily ormovaého ormálího rozděleí 1 1 růměrý odíl eshodých roduktů u statisticky stabilího rocesu 6
Staoveí ekvivaletů ukazatelů zůsobilosti je ve své odstatě iverzí úlohou k odhadu ravděodobosti eshodých roduktů a základě idexů zůsobilosti měřitelých zaků jakosti. Při hodoceí zůsobilosti se růměrý odíl eshodých roduktů orovává s hodotou, která je ožadováa zákazíkem. Porováí je tedy možé ouze u skuiy roduktů, řičemž roces je zůsobilý a výkoý, okud latí: 0 0 růměrý odíl eshodých roduktů limitovaý zákazíkem V ěkterých říadech je ožadováo, aby růměrý odíl žádé odskuiy eřesáhl mez staoveou zákazíkem, tedy latí: j ro j (1, 0 k Průměrý odíl eshodých roduktů je áhodá veličia, u které je vhodé staovit kofidečí iterval a α % hladiě výzamosti. Pro rozsah výběru 0 je jedostraý kofidečí iterval dá vztahem: x + 1 + 1 (1 d + + 1 P U, t + u1 α (1 (1 d + 1 ( + 1 x očet eshodých roduktů ve výběru rozsah áhodého výběru α hladia výzamosti d tabelovaý arametr závislý a hladiě výzamosti, ro α 0,05 je d 0,67 u 1-α kvatil ormovaého ormálího rozděleí horí mez jedostraého kofidečího itervalu P U,t Šířka kofidečího itervalu [8] závisí a odhadu odílu eshodých roduktů, a zvoleé hladiě výzamosti a a rozsahu výběru. Závislost šířky kofidečího itervalu a rozsahu výběru je výzamá. V metodice ěmeckého sdružeí automobilového růmyslu byl zavede idex k, at defiovaý rovicí: k, at max max (1 maximálí říustá úroveň odílu eshodých 7
růměrý rozsah odskuiy růměrý odíl eshodých roduktů u statisticky stabilího rocesu směrodatá odchylka odílu eshodých roduktů Používáí tohoto idexu zůsobilosti se říliš eulatilo. Požadavek a odíl eshodých roduktů je řísější, eboť směrodatá odchylka odílu eshodých roduktů se staoví z růměrého rozsahu logické odskuiy, ikoliv z celkového očtu kotrolovaých roduktů. Dle tohoto idexu je roces okládá za zůsobilý, jestliže latí vztah: k, at max UL Závěr Hodoceí výkoosti a zůsobilosti výrobích a evýrobích rocesů, měřících zařízeí a dalších rocesů je komlexí záležitostí. Byly avržey lemetsovy idexy ro data s Beta, Gama a Studetovým rozděleím, vycházející z filozofie idexů ro výstuy statisticky stabilích rocesů s ormálím rozděleím ravděodobosti. Součástí čláku je i metodika staoveí ukazatelů zůsobilosti a výkoosti ro eměřitelé výstuy ři statistické regulaci srováím. Ukazatelé výkoosti a zůsobilosti v tomto říadě riciiálě avazují a měřitelé a ormálě rozděleé statisticky stabilí výstuy rocesů. Hodoceí zůsobilosti a výkoosti je zásadí záležitostí ro zvyšováí kokureceschoosti firmy v globálím tržím rostředí. 8
Literatura: [1] Mykiska, A. hmelík, V. Matušů, M. Řízeí a zabezečováí jakosti. ČVUT Praha, 1998 [] Neadál, J. Noskievičová, D. Petříková, R. Plura, J. Tošeovský, J. Moderí systémy řízeí jakosti. Maagemet Press, 1998 [] Neadál, J. Měřeí v systémech maagemetu jakosti. Maagemet ress, 001 [4] Normy maagemetu jakosti ČSN EN ISO 9000: 000. Český ormalizačí istitut, 000 [5] Piskáček, B. Kašová, V. Zmatlík, J. Řízeí jakosti. ČVUT Praha, 001 [6] Plura, J. Pláováí a eustálé zlešováí jakosti. omuter Press, 001 [7] Pyzdek, T. Giude to SP, Volume, Alicatios ad Secial Toics. Publishig Ic., Tusco, Arizoa,199 [8] Tošeovský, J. Noskievičová, D. Statistické metody ro zlešováí jakosti. Motaex a. s., 000 [9] Tošeovský, J. Statistika v řízeí jakosti. DTO, Ostrava, 1995 Praha, sre 018 Lektorovali: doc. RNDr. Bohumír Štědroň, Sc. Uiverzita Karlova RNDr. Ivo Moll, Sc. České vysoké učeí techické v Praze 9