Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv
|
|
- Ján Černý
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 tegrace hodot Value-at-Risk lieárích subportfolií a bázi vícerozměrého ormálího rozděleí výosů aktiv Josef Volý Abstrakt říspěvek je věová popisu a aplikaci metodiky Value at Risk při výpočtu itegrovaé hodoty Value at Risk lieárích sub-portfolií za předpokladu, že výosy aktiv sub-portfolií se chovají dle vícerozměrého ormálího rozděleí. Nejprve je představe přístup Value at Risk, poté je a základě vlastostí vícerozměrého ormálího rozděleí a vzorce pro aalytický výpočet hodoty Value at Risk odvozea formule pro určeí itegrovaé hodoty Value at Risk. tegrace je ověřea a reálých datech českého kapitálového trhu. Výsledky jsou iterpretováy. líčová slova Value at Risk, vícerozměré ormálí rozděleí, itegrovaá hodota Value at Risk. Úvod otřeba řízeí a elimiace fiačích rizik je důsledkem začé promělivosti fiačích trhů, jež se projevuje ve volatilitě poteciálí ztráty ebo zisku spojeých s vlastictvím fiačích aktiv a portfolií. Aalýza a řízeí fiačích rizik se des opírá o velmi rozviutou a prakticky využívaou metodu Value at Risk. odstata tohoto přístupu již byla diskutováa v publikacích řady autorů, blíže Jorio (000), Dowd (998), Holto (003); trží stadard této metody uvedla baka J.. Morga přístupem RiskMetrics, blíže Logerstay ad Specer (996). Metodologie RiskMetrics je založea a předpokladu, že výosy aktiv portfolia mají vícerozměré ormálí rozděleí. eto přístup je vhodý pro lieárí portfolia (akcie, obligace a komodity), kde relativí změy výosů portfolia jsou lieárí fukcí změ výosů rizikových faktorů (ce fiačích istrumetů). U velkých fiačích istitucí zpravujících řadu rozsáhlých portfolií je možé kvatifikovat riziko u každého dílčího portfolia a základě metodologie Value at Risk. Vziká však požadavek, jak vyčíslit výši pravděpodobé ztráty pro celou fiačí istituci, tz. jak itegrovat hodoty Value at Risk držeých portfolií. Zaměříme-li se pouze a lieárí portfolia, pak vzhledem k charakteristikám statistického rozděleí výosů aktiv a liearitě agregace výosů aktiv portfolií, lze provést spojeí lieárích portfolií růzých fiačích trhů a vypočíst itegrovaou hodotu Value at Risk tohoto globálího portfolia. Cílem příspěvku je odvodit vztah pro aalytický výpočet itegrovaé hodoty Value at Risk za předpokladu vícerozměrého ormálího rozděleí výosů aktiv portfolia a ověřit možost itegrace a reálých datech českého kapitálového trhu. g. Josef Volý, Vysoká škola báňská echická uiverzita Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací, Sokolská třída 33, 70 Ostrava, josef.voly.ekf@vsb.cz. 435
2 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 tegrace hodot Value at Risk. Metodologie Value at Risk lze defiovat dvěma přístupy, jejichž podstata závisí a způsobu iterpretace: (a) Ztráta z portfolia aktiv bude větší ež předem staoveá hladia ztráty (VAR ), a daé hladiě výzamosti za určitý časový iterval. vrzeí lze zapsat tímto vztahem r ( ZRÁA ) =, graficky Obr. č.. Obr. č. : Value at Risk v oboru ztráty -st. Distribučí fukce Fukce hustoty = ZS ZRÁA (b) Zisk z portfolia aktiv bude meší ež předem určeá hladia zisku ( VAR ), a staoveé hladiě výzamosti za daý časový iterval. vrzeí lze zapsat takto r ZS =, graficky Obr. č.. ( ) Obr. č. : Value at Risk v oboru zisku -st. Distribučí fukce Fukce hustoty = ZS ZS Je tedy zřejmé, že pro odvozeí hodoty Value at Risk portfolia pro daé je ezbyté určit rozděleí pravděpodobosti přírůstku hodoty portfolia aktiv. Hodota Value at Risk může být staovea aalytickým způsobem ebo pomocí simulačích techik. ro potřebu tohoto příspěvku se zaměřme a aalytické řešeí hodoty Value at Risk portfolia, jež vychází ze dvou základích předpokladů: (i) výosy aktiv portfolia se chovají jako áhodá proměá dle vícerozměrého ormálího rozděleí R N ( Ε ( R),Σ), (ii) přírůstek hodoty portfolia lze vyjádřit lieárí kombiací áhodých výosů aktiv portfolia R a absolutí částky ivestovaé do každého aktiva δ, Π = R δ + + R δ. oté hodotu Value at Risk lze defiovat ásledujícím vztahem = Φ ( Π) ( Π) E, () 436
3 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 kde Φ je hodota iverzí fukce k distribučí fukci ormovaého ormálího rozděleí a hladiě pravděpodobosti, E ( Π ) je středí hodota přírůstku hodoty portfolia a Π je směrodatá odchylka přírůstku hodoty portfolia. ( ). Charakteristika statistického rozděleí výosů aktiv portfolia ředpokládejme rozměrý áhodý vektor spojitých výosů aktiv portfolia R = ( R,, R ), kde R ( ) = l S, t S, t a R N( E( R ), ). Dále uvažujme rozměrý vektor středích hodot výosů aktiv portfolia E ( R) = ( E( R ),, E( R ) a rozměrou kovariačí matici Σ, kde je -tý diagoálí prvek kovariačí matice, pak áhodý vektor výosů aktiv portfolia má -rozměré ormálí rozděleí R N ( Ε ( R),Σ), jehož fukce hustoty je defiováa takto N( R; E( R), Σ) = ( π ) Σ exp{ 0,5( R E( R ) Σ ( R E( R )}, a distribučí fukce dle ásledujícího vztahu F { } dr dr R R ( R,, R ) ( ) Σ exp 0,5( R E( R ) Σ ( R E( R ) = π. Následující obrázek zázorňuje rozděleí áhodého vektoru výosů aktiv pro případ ormovaého dvourozměrého ormálího rozděleí. Obr.č.3: Normovaé dvourozměré ormálí rozděleí výosů aktiv portfolia df R R Dále předpokládejme rozměrý vektor absolutího možství peěz, ivestovaého do -tého aktiva v portfoliu δ = ( δ,, δ ). Má-li áhodý vektor výosů aktiv portfolia R N ( E( R),Σ), pak přírůstek hodoty portfolia Π, má ormálí rozděleí Π N ( E( Π), ( Π ). řírůstek hodoty portfolia je defiová vztahem Π = δ R = δ R, () středí hodota přírůstku hodoty portfolia vzorcem 437
4 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 ( Π) = δ E( R ) δ E( R) = Ε, (3) rozptyl přírůstku hodoty portfolia výrazem Π = δ δ = δ Σ, pro i, j =,,, (4) ( ) δ i j i ij j a směrodatá odchylka přírůstku hodoty portfolia takto Π = δ δ = δ Σ, pro i, j =,,. (5) ( ) δ i j i ij j ro itegraci hodot Value at Risk dále uvažujme rozděleí tohoto portfolia aktiv a dvě sub-portfolia tak, že áhodý vektor výosů aktiv portfolia je možé rozložit a dvě podmožiy R ( R, R ) =, kde R a R platí R ( ( ), N E R Σ ) a R N ( ( ), E R Σ ), s vektorem absolutích částek ivestovaých do aktiv portfolia δ = ( δ,δ ), s odpovídajícím vektorem středích hodot Ε ( R) = ( E( R ), E( R ) a rozměrou kovariačí maticí výosů aktiv portfolia Σ Σ Σ =, Σ Σ kde Σ je rozměrá a Σ je rozměrá kovariačí matice sub-portfolií, pro + = a Σ je rozměrá kovariačí matice výosů aktiv mezi sub-portfolií. Rozptyl přírůstku hodoty portfolia skládajícího se ze dvou sub-portfolií je poté defiová takto ( Π) δ Σδ = δ Σδ + δ Σδ + δ Σδ, (6) kde výrazy δ δ Σ představují rozptyly přírůstků hodot sub-portfolií, výraz δ δ Σ δ Σ a δ je kovariace mezi sub-portfolií..3 Odvozeí formule pro výpočet itegrovaé hodoty Value at Risk ro výpočet itegrovaé hodoty Value at Risk portfolia skládajícího se ze dvou subportfolií vyjděme ze vztahu pro aalytický výpočet, vzorec (). Vzhledem k symetričosti ormálího rozděleí pro které platí, že Φ = Φ, pak vzorec () lze zapsat takto = Φ δ Σδ δ E( R). (7) V ěkterých aplikacích metody Value at Risk se předpokládá, že středí hodota výosu aktiv a tedy i portfolia se rová ule. Empiricky byla tato skutečost ověřea zejméa u krátkodobých výosů, tj. deí, týdeí a měsíčí, blíže Zmeškal (004). Jestliže E ( R ) = 0, pak také Ε ( Π ) = 0 a po úpravě výrazu (7), lze vypočíst takto = Φ δ Σδ, (8) o ásledující úpravě = ( Φ ) δ Σδ = ( Φ ) δ Σδ, je obdrže výraz, (9) o dosazeí do (9) za δ Σδ vzorec (5) dostaeme = Φ δ Σ δ + δ Σ δ + δ Σ δ, ( ) ( ) po rozásobeí hodotou ( Φ ) pak = ( Φ ) δ Σδ + ( Φ ) δ Σδ + ( Φ ) δ Σδ. 438
5 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 Výrazy ( ) δ Σδ a ( ) δ Σδ Φ sub-portfolií = + + tedy určea vztahem Φ a ( Φ ) δ Σ jsou vztahy pro výpočet hodot Value at Risk. o substituci obdržíme δ. Hodota Value at Risk celkového portfolia je ( Φ ) δ Σ = + + δ. (0) ovariaci celkového portfolia lze vyjádřit výrazem Σδ = φ δ Σδ δ Σδ δ, () kde po úpravě φ = δ Σδ, δ Σδ δ Σδ () je parametr φ korelace mezi sub-portfolií, kde φ platí φ ; +. Dosadíme-li do (0) výraz () obdržíme = ( Φ ) φ δ Σδ δ Σ + + δ. Vzhledem k tomu, že výrazy Φ δ Σδ =, (3) a Φ δ Σδ =, (4) po úpravě je itegrovaá hodota Value at Risk portfolia, ozačme ji + +, vyjádřea takto = φ. (5) Dosadíme-li zpět do vzorce (5) středí hodotu přírůstků hodoty portfolia E( Π) = δ E( R), pak vzorec pro aalytický výpočet hodoty je ásledující ( ) = E Π φ. (6) Z výše uvedeého rozkladu vyplývá, že lze itegrovat dvě lieárí sub-portfolia a určit itegrovaou hodotu Value at Risk globálího portfolia a základě dílčích hodot Value at Risk sub-portfolií a daé hladiě pravděpodobosti dle vzorce (6) za předpokladu, že výosy aktiv sub-portfolií mají vícerozměré ormálí rozděleí. 3 Ověřeí itegrace hodot Value at Risk portfolia Cílem této kapitoly je ověřeí možosti výpočtu a základě hodot Value at Risk sub-portfolií. Jak bylo uvedeo v předchozích odstavcích, mají-li výosy dílčích aktiv portfolia vícerozměré ormálí rozděleí R N ( E( R),Σ), vzhledem k lieárí agregaci výosů aktiv portfolia a absolutích částek ivestovaých do každého aktiva, má přírůstek hodoty portfolia ormálí rozděleí Π N ( E( Π) ; ( Π ) a je možé určit hodotu Value at Risk portfolia a hladiě pravděpodobosti. Je-li toto portfolio rozděleo a dvě sub-portfolia, pak hodotu lze odvodit a základě dílčích hodot Value at Risk sub-portfolií, a koeficietu korelace φ pro φ ; +, přičemž musí platit rovost =. 439
6 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září Charakteristiky portfolia ředpokládejme akciové portfolio českého kapitálového trhu o aktivech. Charakteristiky portfolia určeé a základě 5 deích časových řad ce titulů portfolia uvádí ab. č.. Data v tabulce jsou uspořádáy do dvou podskupi, představující dílčí subportfolia. rví sub-portfolio obsahuje tituly ásledujících emitetů: ČEZ, a. s., Český telecom, a. s., ErsteBak, a. s., omerčí baka, a. s., Zetiva, a. s., Uipetrol, a. s. Druhé sub-portfolio poté tituly emitetů: hilip Morris ČR, a. s., Severočeské doly, a. s., Severočeská eergetika, a. s., Stavby silic a železic, a. s., aramo, a. s. δ E ( R ) Aktivum č % ČEZ ,35 Český telecom 5 5-0,5 ErsteBak ,09 omerčí baka ,05 Zetiva 0-0, Uipetrol 33-0,3 hilip Morris ČR ,07 Severočeské doly ,08 Severočeská eergetika ,08 Středočeská eergetika ,09 Stavby silic a železic ,8 aramo ,08 ab.č.: Charakteristiky aktiv portfolia ovariačí matici deích výosů uvádí ásledující tabulka. ČEZ Č Erste b. B Zetiva Uip. hil. M. Sev. d. S. e. St. e. Stav. s. ar. ČEZ 0,0004 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0003 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 Č 0,000 0,000 0,0000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 Erste b. 0,000 0,0000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 B 0,000 0,000 0,000 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 Zetiva 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 Uip. 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,0000-0,000 0,000 hil. M. 0,000 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0,0000 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,0000 Sev. d. 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0,0000 0,0008 0,0000 0,0000 0,000 0,000 S. e. 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,000 St. e. 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0000 0,0000 Stav. s. 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0004 0,000 ar. 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,000 0,0000 0,000 0,0008 ab.č.: ovariačí matice 3. Algoritmus výpočtu i. Výpočet hodot aalytickým přístupem, dle vzorce (), a základě íže defiovaých vstupích parametrů ( E ( Π ) dle vztahu (3), ( Π ) dle vztahu (5) a Φ a hladiě pravděpodobosti 5%). ii. Rozklad kovariačí matice Σ a sub-matice Σ, Σ, Σ. 440
7 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 iii. Určeí hodot a, dle vzorců (3) a (4), za předpokladu, že středí hodota přírůstků hodot sub-portfolií je rova ule. iv. Výpočet koeficietu korelace φ mezi sub-portfolii podle vztahu (). v. Dopočet hodoty podle vzorce (6). 3.3 Řešeí příkladu, iterpretace výsledků a aalýza citlivosti Veškeré vstupí parametry jsou vypočtey ve třech variatách, tz. pro celé portfolio,. sub-portfolio a. sub-portfolio. Nezbytý rozklad kovariačí matice a sub-matice je provede takto Σ Σ = Σ Σ Σ M = M 6, 6 6,7 6,. 7, 7,6 7 7,, O N,6 M M,6,7 M M,7 N O, M M Vstupí parametry výpočtu hodot Value at Risk, E ( Π ), ( Π ) pravděpodobosti 5%, uvádí ab. č. 3. ( Π E ) ( Π ) ( Π ) a Φ a hladiě Ukazatel č č č - ortfolio celkem -407, , ,58,65. sub-portfolio -93, ,8 998,05,65. sub-portfolio -34, ,9 3 5,05,65 ab.č.3: Vstupí parametry k výpočtu hodot Value at Risk Nejprve jsou vypočtey hodoty dílčích portfolií, tz. u celého portfolia, u. subportfolia a. sub-portfolia. oté jsou určey hodoty a za předpokladu, že středí hodota přírůstků hodot sub-portfolií je rova ule. oeficiet korelace je determiová ve výši φ = 0, 3. Výsledky shruje ab. č. 4. ( Π ) Ukazatel E č č ortfolio celkem -407, ,4. sub-portfolio -93,5 735,6. sub-portfolio -34,3 6 05,9. sub-portfolio 0 64,64. sub-portfolio ,6 ortfolio po itegraci -407, ,4 ab.č.4: Výsledé hodoty Value at Risk Hodota deí ztráty portfolia a hladiě pravděpodobosti 5% bude vyšší ež 6 784,4 č. Je-li toto portfolio rozděleo a dvě sub-portfolia, poté hodota deí ztráty. subportfolia a hladiě pravděpodobostí 5% bude vyšší ež 735,6 č a. sub-portfolia vyšší ež 6 05,9 č. tegrujeme-li zpět tato sub-portfolia a základě výše uvedeé procedury, Φ 95% 44
8 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 obdržíme hodotu ztráty itegrovaého portfolia a hladiě pravděpodobostí 5% ve výši 6 784,4 č, čímž je ověřea itegrovatelost portfolií. Výše ztráty itegrovaého portfolia je ovšem závislá a míře korelace výosů aktiv apříč portfolií, tz. a výši koeficietu korelace φ. Důkaz uvádí ab. č. 5 a Obr. č. 4, prezetující aalýzu citlivosti hodoty ztráty itegrovaého portfolia v závislosti a míře korelace mezi výosy sub-portfolií φ, a hladiě pravděpodobosti 5%. φ -,00-0,50 0,00 +0,50 +,00 (v č) 4 557, , ,6 7 7, ,08 ab. č.5: Výsledé hodoty závislosti a φ, a hladiě pravděpodobosti 5% Z tabulky je zřejmé, že roste-li míra korelace mezi aktivy apříč sub-portfolií (roste koeficiet korelace φ ), roste výše deí ztráty itegrovaého portfolia a daé hladiě pravděpodobosti. ro hodotu φ = + je výše deí ztráty itegrovaého portfolia rova součtu ztrát sub-portfolií a daé hladiě pravděpodobosti. Obr.č.4: Závislost hodoty a koeficietu korelace φ, a hladiě pravděpodobosti 5% 4 Závěr V příspěvku byla popsáa problematika výpočtu ukazatele Value at Risk portfolia aalytickým přístupem za předpokladu vícerozměrého ormálího rozděleí výosů aktiv portfolia. Dále bylo demostrováo odvozeí formule pro výpočet itegrovaé hodoty Value at Risk portfolia a základě dílčích hodot Value at Risk lieárích sub-portfolií, jež je možé aplikovat a základě charakteristik vícerozměrého ormálího rozděleí. tegrace ukazatelů Value at Risk byla ověřea a reálých datech akciového portfolia českého kapitálového trhu a hladiě pravděpodobosti 5%. Z výsledků vyplyulo, že mají-li výosy aktiv portfolia vícerozměré ormálí rozděleí, lze a základě lieárí agregace výosů a absolutích částech ivestovaých do aktiv určit přírůstky hodoty portfolia, jež mají ormálí rozděleí a poté určit hodotu Value at Risk. Je-li toto portfolio rozděleo a dvě sub-portfolia, pak itegrovaou hodotu Value at Risk lze vypočíst a základě dílčích hodot Value at Risk sub-portfolií (za předpokladu ulové středí hodoty přírůstku hodot sub- 44
9 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 portfolií) a koeficietu korelace mezi sub-portfolií. Je zřejmé, že výši itegrovaé hodoty Value at Risk ovlivňuje koeficiet korelace mezi sub-portfolií. S rostoucí mírou korelace, roste itegrovaá hodota Value at Risk. eto přístup je vhodý pouze pro lieárí portfolia, skládající se apř. z akciových, komoditích a měových pozic, kde relativí změa výosů portfolia je lieárí fukcí změy výosů rizikových faktorů (ce fiačích istrumetů). uto itegraci lze využít zejméa v případě, kdy kapacití možosti hardwaru fiačí istituce eumožňují zpracováí velkého možství dat simultaě a jedom počítači a tudíž je ezbyté kvatifikaci rizika provést odděleě a poté hodoty itegrovat. Literatura [] CAROL, A.: Risk Maagemet ad Aalysis, Measurig ad Modellig Fiacial risk. New York: Joh Wiley & Sos p. [] CHOUDHRY, M.: A troductio to Value-at-Risk. Chichester: Joh Wiley & Sos p. [3] AMDEM, S. J.: Value at Risk ad Expected Shortfall for Liear ortfolios with Elliptically Distributed Risk Factors. Workig paper [4] LONGERSAEY, J., Specer, M.: RiskMetrics M echical Documet. New York: J.. Morga/Reuters, p. [5] RACHEV, S.., MENN. CH., FABOZZ, J. F.: Fat-ailed ad Skewed Asset Retur Distributios, mplicatios for Risk Maagemet, ortfolio Selectio, ad Optio ricig. New Jersey: Joh Wiley & Sos p. [6] ONG, Y. L.: he Multivariate Normal Distributio. New York: Spriger-Verlag p. [7] ZMEŠAL, Z. et al.: Fiacial models. Ostrava: VSB-echical Uiversity of Ostrava, p. Summary his paper is devoted to the descriptio ad the applicatio of Value at Risk methodology for estimatio of itegrated value of Value at Risk, which is based o Value at Risk of the liear sub-portfolios. he basic assumptio is multivariate ormal distributio of uderlyig assets retur. First, Value at Risk approach is preseted. Next, there is derived formula for estimatio itegrated value of Value at Risk. tegratio is verified o model sample of equity portfolio of the Czech capital market. Results are iterpreted. 443
12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceVYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VíceVaR analýza citlivosti, korekce
VŠB-TU Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra fiací.-. září 008 VaR aalýza citlivosti, korekce Fratišek Vávra, Pavel Nový Abstrakt Práce se zabývá rozbory citlivosti ěkterých postupů, zahrutých pod zkratkou
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VícePE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová
PE 30 Podiková ekoomika Garat: Eva KISLINGEROVÁ Téma Metody mezipodikového srováváí Eva Kisligerová Téma Eva Kisligerová Vysoká škola ekoomická v Praze 003 - Mezipodikové srováváí Poprvé 956- koferece
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VícePro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).
STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
Více4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ
4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu
VícePopisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem
Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme
VíceÚloha III.S... limitní
Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími
Více2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT
2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
VícePODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)
Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VícePravděpodobnostní modely
Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Vícevají statistické metody v biomedicíně
Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk
Vícevají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví
Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceZáklady statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková
Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
VíceÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu
ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období
VíceKatedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti
Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,
VíceGenerování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí
Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta
Více2. Finanční rozhodování firmy (řízení investic a inovací)
2. Fiačí rozhodováí firmy (řízeí ivestic a iovací) - fiačí rozhodováí je podmožiou fiačího řízeí (domiatí) - kompoety = složky: výběr optimálí variaty zdrojů fiacováí užití získaých prostředků uvážeí vlivu
VícePODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)
Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VíceSTATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
VíceEKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model
EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ
VícePODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)
Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím
VícePODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)
Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím
VícePravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci
Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou
VíceMetody zkoumání závislosti numerických proměnných
Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy
Více13 Popisná statistika
13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceAnalýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace
Aalýza a zpracováí sigálů 4. Diskrétí systémy,výpočet impulsí odezvy, kovoluce, korelace Diskrétí systémy Diskrétí sytém - zpracovává časově diskrétí vstupí sigál ] a produkuje časově diskrétí výstupí
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
Více1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu
1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
VíceS polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické
5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí
Více} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy
Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,
VíceI. Výpočet čisté současné hodnoty upravené
I. Výpočet čisté současé hodoty upraveé Příklad 1 Projekt a výrobu laserových lamp pro dermatologii vyžaduje ivestici 4,2 mil. Kč. Předpokládají se rovoměré peěží příjmy po zdaěí ve výši 1,2 mil. Kč ročě
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
VícePevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.
evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
VíceREGRESNÍ DIAGNOSTIKA. Regresní diagnostika
4.11.011 REGRESNÍ DIAGNOSTIKA Chemometrie I, David MILDE Regresí diagostika Obsahuje postupy k posouzeí: kvality dat pro regresí model (přítomost vlivých bodů), kvality modelu pro daá data, splěí předpokladů
VíceIAJCE Přednáška č. 12
Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích
Více1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti
Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi
VíceSpolehlivost a diagnostika
Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore
VícePODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)
Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceČíselné charakteristiky náhodných veličin
Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí
VíceDynamická pevnost a životnost Statistika
DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické
VícePřednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat
DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo
VíceMOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ
PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT
VíceTeorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:
Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí
Více10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR
Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo
VíceUPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ
3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,
VíceTESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ
TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 9. Modely časových řad II.
Lieárí a adaptiví zpracováí dat 9. Modely časových řad II. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Opakováí K čemu je dobré vytvářet modely procesů geerující časové řady? Dekompozice časový řad: jaké
Více2,3 ČTYŘI STANDARDNÍ METODY I, ČTYŘI STANDARDNÍ METODY II
2,3 ČTYŘI STADARDÍ METODY I, ČTYŘI STADARDÍ METODY II 1.1.1 Statické metody a) ARR - Average Rate of Retur průměrý ročí čistý zisk (po zdaěí) ARR *100 % ( 20 ) ivestic do projektu V čitateli výrazu ( 20
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VíceStatistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc
Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2
SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých
VíceSekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
VíceStatistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.
Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový
VíceAnalýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály
Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam
Více